Monte Carlo -menetelmän ydin on seuraava: sinun on löydettävä arvo A jokin tutkittu määrä. Valitse tätä varten satunnaismuuttuja X, jonka matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin a: M(X) = a.

Käytännössä he tekevät näin: he laskevat (pelaavat) n satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot x i, selvitä niiden aritmeettinen keskiarvo

Ja he ottavat a* halutusta luvusta a arviona (likimääräinen arvo). Monte Carlo -menetelmän käyttäminen edellyttää siis satunnaismuuttujien pelaamista.

Olkoon tarpeen pelata diskreetti satunnaismuuttuja X, ts. laske sen mahdollisten arvojen sarja x i (i=1,2, ...) tietäen X:n jakautumislain. Otetaan käyttöön merkintä: R on jatkuva satunnaismuuttuja, joka on jakautunut tasaisesti välillä (0,1) ); r i (j=1,2,...) – satunnaisluvut (mahdolliset R:n arvot).

Sääntö: Jakelulain määrittelemän diskreetin satunnaismuuttujan X toistamiseksi

X x 1 x 2 ... x n

P p 1 p 2 … p n

1. Jaa akselin tai väli (0,1) n osaväliin:

Δ1 =(0;r 1), Δ2 =(r 1; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 + р 2 +…+р n -1; 1).

2. Valitse satunnaisluku r j . Jos r j osui osaväliin Δi, niin toistettava arvo sai mahdollisen arvon x i. .

Täydellisen tapahtumaryhmän pelaaminen

Vaaditaan testejä, joissa jokaisessa esiintyy yksi koko ryhmän tapahtumista, joiden todennäköisyydet ovat tiedossa. Täydellisen tapahtumaryhmän pelaaminen tarkoittaa diskreetin satunnaismuuttujan pelaamista.

Sääntö: Jotta voidaan pelata testejä, joissa jokaisessa tapahtuu jokin koko ryhmän tapahtumista A 1, A 2, ..., A n, joiden todennäköisyydet p 1, p 2, ..., p n tunnetaan, riittää, että pelataan diskreetti arvo X seuraavalla jakautumissäännöllä:

P p 1 p 2 … p n

Jos testissä arvo X sai mahdollisen arvon x i =i, niin tapahtuma A i tapahtui.

Jatkuvan satunnaismuuttujan pelaaminen

Tunnetaan jatkuvan satunnaismuuttujan X jakaumafunktio F. Se vaaditaan toistamaan X, ts. laske mahdollisten arvojen sarja x i (i=1,2, ...).

A. Käänteisfunktioiden menetelmä. Sääntö 1. Jatkuvan satunnaismuuttujan X x i, kun tiedät sen jakaumafunktion F, sinun on valittava satunnaisluku r i, tehtävä sen jakautumisfunktio ja ratkaistava tuloksena oleva yhtälö F(x i) = r i x i:lle.

Jos todennäköisyystiheys f(x) tunnetaan, käytetään sääntöä 2.

Sääntö 2. Pelaamaan mahdollista arvoa Jatkuvan satunnaismuuttujan X x i, kun tiedät sen todennäköisyystiheyden f, sinun tulee valita satunnaisluku r i ja ratkaista x i:n yhtälö

tai yhtälö

jossa a on X:n pienin mahdollinen lopullinen arvo.

B. Superpositiomenetelmä. Sääntö 3. Toistaakseen satunnaismuuttujan X mahdollisen arvon, jonka jakaumafunktio

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

missä F k (x) – jakaumafunktiot (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, sinun on valittava kaksi riippumatonta satunnaislukua r 1 ja r 2 ja satunnaislukua r 1 käyttäen, toista diskreetin apusatunnaismuuttujan Z mahdollinen arvo (säännön 1 mukaan):

p C 1 C 2 … C n

Jos käy ilmi, että Z=k, niin ratkaise yhtälö F k (x) = r 2 x:lle.

Huomautus 1. Jos jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheys on annettu muodossa

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

missä f k ovat todennäköisyystiheydet, kertoimet C k ovat positiivisia, niiden summa on yhtä suuri, ja jos osoittautuu, että Z=k, niin ratkaise (säännön 2 mukaan) x i:n suhteen tai yhtälö

Normaalin satunnaismuuttujan likimääräinen toisto

Sääntö. Mahdollisen arvon arvioimiseksi x i normaalista satunnaismuuttujasta X parametreilla a=0 ja σ=1, sinun on lisättävä 12 riippumatonta satunnaislukua ja vähennettävä 6 saadusta summasta:

Kommentti. Jos haluat suunnilleen pelata normaalia satunnaismuuttujaa Z matemaattisilla odotuksilla A ja keskihajonnan σ, sitten, kun on pelattu x i:n mahdollinen arvo yllä olevan säännön mukaisesti, etsitään haluttu mahdollinen arvo kaavalla: z i =σx i +a.

Määritelmä 24.1.Satunnaisia ​​numeroita nimeä mahdolliset arvot r jatkuva satunnaismuuttuja R, jakautuvat tasaisesti välillä (0; 1).

1. Diskreetin satunnaismuuttujan toistaminen.

Oletetaan, että haluamme pelata diskreetin satunnaismuuttujan X, eli saada sarja sen mahdollisista arvoista, tietäen jakautumislakia X:

X x 1 X 2 … x n

r r 1 R 2 … r p .

Tarkastellaan satunnaismuuttujaa, joka on jakautunut tasaisesti (0, 1) R ja jaa väli (0, 1) pisteillä, joilla on koordinaatit R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r p-1 päällä P osavälit, joiden pituudet ovat yhtä suuret kuin todennäköisyydet samoilla indekseillä.

Lause 24.1. Jos jokaiselle väliin osuvalle satunnaisluvulle on annettu mahdollinen arvo, toistettavalla arvolla on tietty jakautumislaki:

X x 1 X 2 … x n

r r 1 R 2 … r p .

Todiste.

Tuloksena olevan satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat yhtenevät joukon kanssa X 1 , X 2 ,… x n, koska välien lukumäärä on yhtä suuri P, ja osuessaan r j välissä satunnaismuuttuja voi ottaa vain yhden arvoista X 1 , X 2 ,… x n.

Koska R on jakautunut tasaisesti, niin sen todennäköisyys putoaa kuhunkin väliin on yhtä suuri kuin sen pituus, mikä tarkoittaa, että jokainen arvo vastaa todennäköisyyttä p i. Näin ollen pelattavalla satunnaismuuttujalla on tietty jakautumislaki.

Esimerkki. Toista 10 diskreetin satunnaismuuttujan arvoa X, jonka jakelulain muoto on: X 2 3 6 8

R 0,1 0,3 0,5 0,1

Ratkaisu. Jaetaan väli (0, 1) osaväleiksi: D 1 - (0; 0,1), D 2 - (0,1; 0,4), D 3 - (0,4; 0,9), D 4 - (0,9; 1). Kirjoitetaan satunnaislukutaulukosta 10 numeroa: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Ensimmäinen ja seitsemäs numero ovat välillä D 1, joten näissä tapauksissa toistettu satunnaismuuttuja sai arvon X 1 = 2; kolmas, neljäs, kahdeksas ja kymmenes numero osuivat väliin D 2, joka vastaa X 2 = 3; toinen, viides, kuudes ja yhdeksäs numero olivat välillä D 3 - tässä tapauksessa X = x 3 = 6; Viimeisellä välijaksolla ei ollut numeroita. Joten mahdolliset arvot pelasivat X ovat: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Vastakkaisten tapahtumien näytteleminen.

Olkoon vaadittava testien pelaaminen, joista jokaisessa on tapahtuma A ilmestyy tunnetulla todennäköisyydellä R. Tarkastellaan diskreettiä satunnaismuuttujaa X, saa arvon 1 (jos tapahtuma A tapahtui) todennäköisyydellä R ja 0 (jos A ei tapahtunut) todennäköisyydellä q = 1 – s. Sitten toistamme tämän satunnaismuuttujan edellisessä kappaleessa ehdotetulla tavalla.

Esimerkki. Pelaa 10 haastetta, joista jokaisessa on tapahtuma A ilmestyy todennäköisyydellä 0,3.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujalle X jakautumislain kanssa X 1 0

R 0,3 0,7

saamme välit D 1 – (0; 0,3) ja D 2 – (0,3; 1). Käytämme samaa satunnaislukuotosta kuin edellisessä esimerkissä, jonka numerot nro 1, 3 ja 7 kuuluvat väliin D 1 ja loput - väliin D 2. Siksi voimme olettaa, että tapahtuma A esiintyi ensimmäisessä, kolmannessa ja seitsemännessä kokeessa, mutta ei esiintynyt muissa kokeissa.

3. Koko tapahtumaryhmän pelaaminen.

Jos tapahtumia A 1 , A 2 , …, A p, joiden todennäköisyydet ovat yhtä suuret R 1 , R 2 ,… r p, muodostavat täydellisen ryhmän, voit pelata erillistä satunnaismuuttujaa leikkimistä varten (eli mallintaa heidän esiintymisjärjestyksensä testisarjassa) X jakautumislain kanssa X 1 2 … P, olemme tehneet tämän samalla tavalla kuin kohdassa 1. Samalla uskomme, että

r r 1 R 2 … r p

Jos X ottaa arvon x i = i, niin tässä testissä tapahtuma tapahtui A i.

4. Jatkuvan satunnaismuuttujan toistaminen.

a) Käänteisfunktioiden menetelmä.

Oletetaan, että haluamme pelata jatkuvaa satunnaismuuttujaa X, eli saa jonon sen mahdollisista arvoista x i (i = 1, 2, …, n), tietäen jakelufunktion F(x).

Lause 24.2. Jos r i on satunnaisluku, sitten mahdollinen arvo x i pelataan jatkuvaa satunnaismuuttujaa X tietyllä jakelufunktiolla F(x), vastaava r i, on yhtälön juuri

F(x i) = r i. (24.1)

Todiste.

Koska F(x) kasvaa monotonisesti välillä 0:sta 1:een, silloin argumentilla on (ja ainutlaatuinen) arvo x i, jossa jakaumafunktio ottaa arvon r i. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä (24.1) on ainutlaatuinen ratkaisu: x i= F -1 (r i), Missä F-1 - funktio käänteisesti F. Osoitetaan, että yhtälön (24.1) juuri on tarkasteltavan satunnaismuuttujan mahdollinen arvo X. Oletetaan ensin se x i on jonkin satunnaismuuttujan x mahdollinen arvo, ja todistamme, että x:n todennäköisyys putoaa väliin ( s, d) on yhtä suuri kuin F(d) – F(c). Itse asiassa monotonisuuden takia F(x) ja tuo F(x i) = r i. Sitten

Siksi siis todennäköisyys, että x putoaa väliin ( c, d) on yhtä suuri kuin jakaumafunktion inkrementti F(x) tällä välillä, joten x = X.

Toista jatkuvan satunnaismuuttujan 3 mahdollista arvoa X, jakautuvat tasaisesti välissä (5; 8).

F(x) = , eli yhtälö on ratkaistava, valitaan 3 satunnaislukua: 0,23; 0,09 ja 0,56 ja korvaa ne tähän yhtälöön. Otetaan vastaavat mahdolliset arvot X:

b) Superpositiomenetelmä.

Jos toistettavan satunnaismuuttujan jakaumafunktio voidaan esittää kahden jakaumafunktion lineaarisena yhdistelmänä:

sitten, mistä lähtien X®¥ F(x) ® 1.

Otetaan käyttöön apu diskreetti satunnaismuuttuja Z jakautumislain kanssa

Z 12. Valitaan 2 riippumatonta satunnaislukua r 1 ja r 2 ja pelaa mahdollista

PC 1 C 2

merkitys Z numeron mukaan r 1 (katso kohta 1). Jos Z= 1, etsimme haluttua mahdollista arvoa X yhtälöstä, ja jos Z= 2, niin ratkaisemme yhtälön .

Voidaan todistaa, että tässä tapauksessa pelattavan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on yhtä suuri kuin annettu jakaumafunktio.

c) Normaalin satunnaismuuttujan likimääräinen toisto.

Koska varten R, tasaisesti jakautuneena (0, 1), sitten summalle P riippumattomat, tasaisesti jakautuneet satunnaismuuttujat välillä (0,1). Sitten keskirajalauseen nojalla normalisoitu satunnaismuuttuja at P® ¥ jakauma on lähellä normaalia parametrien kanssa A= 0 ja s = 1. Erityisesti melko hyvä approksimaatio saadaan, kun P = 12:

Eli toistaa normalisoidun normaalin satunnaismuuttujan mahdollinen arvo X, sinun on lisättävä 12 riippumatonta satunnaislukua ja vähennettävä summasta 6.

Lähetä hyvä työsi tietokanta on yksinkertainen. Käytä alla olevaa lomaketta

Opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, ovat sinulle erittäin kiitollisia.

Lähetetty osoitteessa http://www.allbest.ru/

OPPITUNTI 1

Satunnaisten tapahtumien simulointi tietyllä jakautumislailla

Diskreetin satunnaismuuttujan pelaaminen

Olkoon tarpeen pelata diskreetti satunnaismuuttuja, ts. saada sarja sen mahdollisista arvoista x i (i = 1,2,3,...n), tietäen X:n jakautumislain:

Merkitään R:llä jatkuva satunnaismuuttuja. R:n arvo jakautuu tasaisesti välillä (0,1). R j:lla (j = 1,2,...) merkitään satunnaismuuttujan R mahdollisia arvoja. Jaetaan väli 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Sitten saamme:

Voidaan nähdä, että indeksin i osavälin pituus on yhtä suuri kuin todennäköisyys P samalla indeksillä. Pituus

Näin ollen, kun satunnaisluku r i osuu väliin, satunnaismuuttuja X saa arvon x i todennäköisyydellä P i .

Siinä on seuraava lause:

Jos jokainen väliin osuva satunnaisluku liittyy mahdolliseen arvoon x i , niin toistettavalla arvolla on annettu jakautumislaki

Algoritmi jakautumislain määrittelemän diskreetin satunnaismuuttujan toistamiseksi

1. On tarpeen jakaa 0r-akselin väli (0,1) n osaväliin:

2. Valitse (esimerkiksi satunnaislukutaulukosta tai tietokoneesta) satunnaisluku r j .

Jos r j osui väliin, niin toistettava diskreetti satunnaismuuttuja sai mahdollisen arvon x i .

Jatkuvan satunnaismuuttujan pelaaminen

Olkoon tarpeen pelata jatkuvaa satunnaismuuttujaa X, ts. saada sarja sen mahdollisista arvoista x i (i = 1,2,...). Tässä tapauksessa jakaumafunktio F(X) tunnetaan.

Olemassa Seuraava lause.

Jos r i on satunnaisluku, niin toistetun jatkuvan satunnaismuuttujan X mahdollinen arvo x i tunnetulla jakaumafunktiolla F(X), joka vastaa r i:tä, on yhtälön juuri

Algoritmi jatkuvan satunnaismuuttujan toistamiseksi:

1. Sinun on valittava satunnaisluku r i .

2. Yhdistä valittu satunnaisluku tunnettuun jakaumafunktioon F(X) ja muodosta yhtälö.

3. Ratkaise tämä yhtälö x i:lle. Tuloksena oleva arvo x i vastaa samanaikaisesti satunnaislukua r i . ja annettu jakautumislaki F(X).

Esimerkki. Toista 3 mahdollista jatkuvan satunnaismuuttujan X arvoa tasaisesti jaettuna intervalliin (2; 10).

X-arvon jakaumafunktiolla on seuraava muoto:

Ehdolla a = 2, b = 10, joten

Jatkuvan satunnaismuuttujan toistamisalgoritmin mukaisesti rinnastamme F(X) valittuun satunnaislukuun r i .. Saamme tästä:

Korvaa nämä luvut yhtälöön (5.3) Saat vastaavat mahdolliset x:n arvot:

Satunnaisten tapahtumien mallintamisen ongelmat tietyllä jakauman lailla

1. On toistettava 10 diskreetin satunnaismuuttujan arvoa, ts. saada sarja sen mahdollisista arvoista x i (i=1,2,3,…n), tietäen X:n jakautumislain

Valitaan satunnaisluku r j satunnaislukutaulukosta: 0.10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Palvelupyyntöjen vastaanottotiheyteen sovelletaan eksponentiaalista jakautumislakia (), x, parametri l tunnetaan (jäljempänä l = 1/t - pyyntöjen vastaanoton intensiteetti)

l=0,5 pyyntöä/tunti. Määritä arvojen järjestys hakemusten vastaanottamisen välisten ajanjaksojen kestoon. Toteutusten lukumäärä on 5. Luku r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

Oppitunti 2

Jonojärjestelmä

Järjestelmiä, joissa toisaalta esitetään massiivisia pyyntöjä minkä tahansa palvelun suorittamiseksi ja toisaalta nämä pyynnöt tyydytetään, kutsutaan jonojärjestelmiksi. Mikä tahansa QS palvelee pyyntövirran täyttämistä.

QS sisältää: vaatimusten lähde, saapuva virta, jono, palveleva laite, lähtevä pyyntövirta.

SMO on jaettu:

QS tappioineen (epäonnistumisen)

Jono ja odotus (rajoittamaton jonon pituus)

QS rajoitetulla jonon pituudella

QS rajoitetulla odotusajalla.

Kanavien tai palvelulaitteiden lukumäärän perusteella QS-järjestelmät voivat olla yksikanavaisia ​​tai monikanavaisia.

Vaatimuslähteen sijainnin mukaan: avoin ja suljettu.

Palveluelementtien lukumäärän mukaan vaatimusta kohti: yksivaiheinen ja monivaiheinen.

Yksi luokituksen muodoista on D. Kendall -luokitus - A/B/X/Y/Z

A - määrittää ajan jakautumisen saapuvien välillä;

B - määrittää palveluajan jakautumisen;

X - määrittää palvelukanavien lukumäärän;

Y - määrittää järjestelmän kapasiteetin (jonon pituuden);

Z - määrittää palvelujärjestyksen.

Kun järjestelmän kapasiteetti on ääretön ja palvelujono noudattaa ensin tullutta palvele ensin -periaatetta, Y/Z-osat jätetään pois. Ensimmäinen numero (A) käyttää seuraavia symboleja:

M-jakaumalla on eksponentiaalinen laki,

G - palveluprosessia koskevien oletusten puuttuminen tai se on tunnistettu symbolilla GI, joka tarkoittaa toistuvaa palveluprosessia,

D-deterministinen (kiinteä käyttöaika),

E n - Erlang n. kerta,

NM n - hyper-Erlangin n:s kertaluku.

Toinen numero (B) käyttää samoja symboleja.

Neljäs numero (Y) osoittaa puskurin kapasiteetin, ts. enimmäismäärä paikkoja jonossa.

Viides numero (Z) ilmaisee valintamenetelmän jonosta odotusjärjestelmässä: SP-saa todennäköisyys, FF-first in-first out, LF-last in-first out, PR-priority.

Tehtäviin:

l on vastaanotettujen hakemusten keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti

µ - keskimääräinen tarjottujen hakemusten lukumäärä aikayksikköä kohti

Kanavan 1 kuormituskerroin tai prosenttiosuus ajasta, jolloin kanava on varattu.

Pääasialliset tunnusmerkit:

1) P reject - epäonnistumisen todennäköisyys - todennäköisyys, että järjestelmä kieltäytyy palvelusta ja vaatimus menetetään. Tämä tapahtuu, kun kanava tai kaikki kanavat ovat varattu (TFoP).

Monikanavaiselle QS:lle P open =P n, jossa n on palvelukanavien lukumäärä.

QS:lle, jonka jonon pituus on rajoitettu P open =P n + l, missä l on jonon sallittu pituus.

2) Suhteellinen q ja absoluuttinen A järjestelmän kapasiteetti

q= 1-P auki A=ql

3) Järjestelmän vaatimusten kokonaismäärä

L sys = n - SMO:lle epäonnistumisten kanssa, n on huollon käyttämien kanavien lukumäärä.

QS, jossa on odotus ja rajoitettu jonon pituus

L sys = n+L viileä

jossa L cool on palvelun alkamista odottavien pyyntöjen keskimääräinen määrä jne.

Otamme huomioon jäljellä olevat ominaisuudet, kun ratkaisemme ongelmia.

Yksikanavaiset ja monikanavaiset jonojärjestelmät. Järjestelmät, joissa on vikoja.

Yksinkertaisin yksikanavainen malli, jossa on todennäköisyyspohjainen syöttövirta ja huoltomenettely, on malli, jolle on tunnusomaista sekä vaatimusten vastaanottamisen että palvelun kestojen eksponentiaalinen jakautuminen. Tässä tapauksessa pyyntöjen vastaanoton välisten ajanjaksojen keston jakautumistiheydellä on muoto

Palvelun kestojen jakautumisen tiheys:

Pyyntöjen ja palveluiden kulku on yksinkertaista. Anna järjestelmän toimia vikojen kanssa. Tämän tyyppistä QS:ää voidaan käyttää mallinnettaessa lähetyskanavia paikallisissa verkoissa. On tarpeen määrittää järjestelmän absoluuttinen ja suhteellinen suorituskyky. Kuvitellaan tämä jonojärjestelmä graafin muodossa (kuva 2), jossa on kaksi tilaa:

S 0 - kanava vapaa (odottaa);

S 1 - kanava on varattu (pyyntöä huolletaan).

Kuva 2. Yksikanavaisen QS:n tilakaavio, jossa on vikoja

Merkitään tilatodennäköisyyksiä: P 0 (t) - "kanavavapaan" tilan todennäköisyys; P 1 (t) - "kanava varattu" -tilan todennäköisyys. Merkittyä tilagraafia käyttämällä laadimme Kolmogorov-differentiaaliyhtälöjärjestelmän tilantodennäköisyyksiin:

Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmässä on ratkaisu, joka ottaa huomioon normalisointiehdon P 0 (t) + P 1 (t) = 1. Tämän järjestelmän ratkaisua kutsutaan epävakaaksi, koska se riippuu suoraan t:stä ​​ja näyttää tältä:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

On helppo varmistaa, että yksikanavaiselle QS:lle, jossa on vikoja, todennäköisyys P 0 (t) ei ole muuta kuin järjestelmän suhteellinen kapasiteetti q. Todellakin, P 0 on todennäköisyys, että hetkellä t kanava on vapaa ja hetkellä t saapuva pyyntö palvellaan, ja siksi tietyllä ajalla t palveltujen pyyntöjen lukumäärän keskimääräinen suhde vastaanotettujen pyyntöjen määrään. on myös yhtä suuri kuin P 0 (t), eli q = P 0 (t).

Pitkän aikavälin (at) jälkeen saavutetaan kiinteä (vakaa) tila:

Suhteellisen suorituskyvyn tuntemalla on helppo löytää absoluuttinen. Absoluuttinen suorituskyky (A) on pyyntöjen keskimääräinen määrä, jonka jonojärjestelmä voi palvella aikayksikköä kohden:

Todennäköisyys kieltäytyä palvelemasta pyyntöä on yhtä suuri kuin "kanava varattu" -tilan todennäköisyys:

Tämä P open -arvo voidaan tulkita toimittamattomien hakemusten keskimääräiseksi osuudeksi jätetyistä hakemuksista.

Suurimmassa osassa tapauksista käytännössä jonojärjestelmät ovat monikanavaisia, ja siksi mallit, joissa on n palvelevaa kanavaa (missä n>1) ovat epäilemättä kiinnostavia. Tämän mallin kuvaamalle jonotusprosessille on tunnusomaista tulovirran l intensiteetti, kun taas enintään n asiakasta (sovellusta) voidaan palvella rinnakkain. Yhden pyynnön keskimääräinen palveluaika on 1/m. Tulo- ja lähtövirrat ovat Poisson. Tietyn palvelukanavan toimintatapa ei vaikuta järjestelmän muiden palvelukanavien toimintatapaan, ja kunkin kanavan palveluprosessin kesto on eksponentiaalisen jakautumislain alainen satunnaismuuttuja. N:n rinnakkaisliitetyn palvelukanavan käytön perimmäinen tavoite on lisätä (verrattuna yksikanavaiseen järjestelmään) palvelupyyntöjen nopeutta palvelemalla n asiakasta samanaikaisesti. Monikanavaisen jonojärjestelmän tilakaavio, jossa on vikoja, on kuvan 4 mukainen.

Kuva 4. Monikanavaisen QS:n tilakaavio, jossa on vikoja

S 0 - kaikki kanavat ovat vapaita;

S 1 - yksi kanava on varattu, loput ovat vapaita;

S k - tarkalleen k kanavaa on varattu, loput ovat vapaita;

S n - kaikki n kanavaa on varattu, loput ovat vapaita.

Kolmogorovin yhtälöt järjestelmän tilojen P 0 , ... , P k , ... P n todennäköisyyksille ovat seuraavanlaisia:

Alkuehdot järjestelmän ratkaisemiseksi ovat:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

Järjestelmän kiinteällä ratkaisulla on muoto:

Todennäköisyyksien P k (3.5.1) laskentakaavoja kutsutaan Erlangin kaavoiksi.

Määritellään monikanavaisen QS:n toiminnan todennäköisyysominaisuudet, joissa on vikoja kiinteässä tilassa:

1) epäonnistumisen todennäköisyys:

koska pyyntö hylätään, jos se saapuu aikana, jolloin kaikki n kanavaa ovat varattuja. Arvo P open kuvaa saapuvan virtauksen huollon täydellisyyttä;

2) todennäköisyys, että pyyntö hyväksytään palveluun (se on myös järjestelmän suhteellinen kapasiteetti q) täydentää P:n avoimena yhdeksi:

3) absoluuttinen suorituskyky

4) palvelun () käyttämien kanavien keskimääräinen määrä on seuraava:

Arvo kuvaa QS:n kuormitusastetta.

Tehtävätoppitunnille 2

1. Yksikanavainen viestintähaara vastaanottaa yksinkertaisimman viestivirran intensiteetillä l = 0,08 viestiä sekunnissa. Lähetysaika jakautuu exp-lain mukaan. Yhden viestin huolto tapahtuu intensiteetillä µ=0,1. Viestit, jotka saapuvat aikoina, jolloin palveleva kanava on varattu lähettämään aiemmin vastaanotettua viestiä, saavat lähetysvirheen.

Coeff. Suhteellinen kanavakuormitus (kanavan varauksen todennäköisyys)

P hylätä todennäköisyys, että viesti ei vastaanoteta

Q solmujen välisen haaran suhteellinen kapasiteetti

Ja viestintähaaran absoluuttinen läpijuoksu.

2. Viestintähaaralla on yksi kanava ja se vastaanottaa viestejä 10 sekunnin välein. Yhden viestin palveluaika on 5 sekuntia. Viestin lähetysaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan. Viestit, jotka saapuvat, kun kanava on varattu, estetään.

Määritellä

Rzan - viestintäkanavan täyttymisen todennäköisyys (suhteellinen kuormituskerroin)

Q - suhteellinen suorituskyky

A - viestintähaaran absoluuttinen kapasiteetti

4. Toissijaisen tietoliikenneverkon solmujenvälisessä haarassa on n = 4 kanavaa. Viestintähaarakanavien kautta lähetettäväksi saapuvien viestien intensiteetti on = 8 viestiä sekunnissa. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on t = 0,1 s. Viesti, joka saapuu aikana, jolloin kaikki n kanavaa on varattu, vastaanottaa tiedonsiirtohaaran lähetyshäiriön. Etsi SMO:n ominaisuudet:

Oppitunti 3

Yksikanavainen järjestelmä valmiustilassa

Tarkastellaan nyt yksikanavaista QS:tä, jossa on odotus. Jonojärjestelmässä on yksi kanava. Saapuva palvelupyyntövirta on yksinkertaisin intensiteetin virta. Palveluvirran intensiteetti on yhtä suuri (eli keskimäärin jatkuvasti varattu kanava lähettää palvelupyyntöjä). Palvelun kesto on satunnaismuuttuja, johon sovelletaan eksponentiaalijakaumaa. Palveluvirta on yksinkertaisin Poisson-tapahtumien kulku. Kun kanava on varattu, vastaanotettu pyyntö on jonossa ja odottaa palvelua. Tämä QS on yleisin mallintamisessa. Yhdellä tai toisella approksimaatioasteella sitä voidaan käyttää simuloimaan melkein mitä tahansa paikallisen tietokoneverkon (LAN) solmua.

Oletetaan, että riippumatta siitä, kuinka monta pyyntöä saapuu palvelevan järjestelmän tuloon, tämä järjestelmä (jono + palvelevat asiakkaat) ei voi mahtuu enemmän kuin N-vaatimusta (sovelluksia), eli asiakkaat, jotka eivät ole odotustilassa, pakotetaan palvelemaan muualla. Järjestelmä M/M/1/N. Lopuksi palvelupyyntöjä tuottavalla lähteellä on rajoittamaton (äärettömän suuri) kapasiteetti. QS:n tilakaavio on tässä tapauksessa kuvan 3 mukainen

Kuva 3. Yksikanavaisen QS:n tilakaavio, jossa on odotus (kuoleman ja lisääntymisen kaavio)

QS-tiloilla on seuraava tulkinta:

S 0 - "kanavavapaa";

S 1 - "kanava varattu" (ei jonoa);

S 2 - "kanava varattu" (yksi pyyntö on jonossa);

S n - "kanava varattu" (n -1 sovellusta on jonossa);

S N - "kanava varattu" (N - 1 sovellusta on jonossa).

Tämän järjestelmän kiinteää prosessia kuvataan seuraavalla algebrallinen yhtälöjärjestelmä:

missä p = kuormituskerroin

n - tilanumero.

Ratkaisu yllä olevaan yhtälöjärjestelmään QS-mallillemme on muotoa:

Alkutodennäköisyysarvo QS:lle, jolla on rajoitettu jonon pituus

QS:lle, jossa on ääretön jono Н =? :

P 0 = 1 - s (3.4.7)

On huomioitava, että tietyn QS:n stationaarisuusehdon täyttyminen ei ole välttämätöntä, koska palvelevaan järjestelmään hyväksyttyjen hakemusten määrää ohjataan ottamalla käyttöön jonon pituutta koskeva rajoitus, joka ei saa ylittää (N - 1) , eikä tulovirtauksen intensiteettien suhteella, eli ei suhteella c = l/m.

Toisin kuin yksikanavaisessa järjestelmässä, jota pidettiin edellä ja jossa on rajoittamaton jono, tässä tapauksessa pyyntöjen lukumäärän kiinteä jakautuminen on olemassa kuormitustekijän c rajallisille arvoille.

Määritetään ominaisuudet yksikanavaiselle QS:lle, jossa on odotus ja rajoitettu jonon pituus, joka on yhtä suuri kuin (N - 1) (M/M/1/N), sekä yksikanavaiselle QS:lle, jonka puskurin kapasiteetti on rajoittamaton (M/M/1/?). QS:lle, jossa on ääretön jono, ehto kanssa<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) todennäköisyys kieltäytyä hakemuksen tiedoksiannosta:

Yksi tärkeimmistä ominaisuuksista järjestelmissä, joissa pyyntöjen menetys on mahdollista, on todennäköisyys P-häviö, että mielivaltainen pyyntö katoaa. Tässä tapauksessa mielivaltaisen pyynnön menettämisen todennäköisyys on sama kuin todennäköisyys, että mielivaltaisena ajanhetkenä kaikki odotuspaikat ovat varattuina, ts. seuraava kaava pätee: Р alkaen k = Р Н

2) suhteellinen järjestelmän kapasiteetti:

SMO:lle rajattomastijonossa q = 1, koska kaikki pyynnöt käsitellään

3) absoluuttinen suorituskyky:

4) hakemusten keskimääräinen määrä järjestelmässä:

L S rajoittamattomalla jonolla

5) sovelluksen keskimääräinen viipymä järjestelmässä:

Rajoittamattomaan jonoon

6) asiakkaan (hakemuksen) keskimääräinen jonossaoloaika:

Rajoittamattomalla jonolla

7) jonossa olevien sovellusten (asiakkaiden) keskimääräinen lukumäärä (jonon pituus):

rajoittamattomalla jonolla

Vertaamalla jonon T och keskimääräisen odotusajan lausekkeita ja jonon keskipituuden L och kaavaa sekä pyyntöjen keskimääräistä viipymisaikaa järjestelmässä T S ja pyyntöjen keskimääräistä lukumäärää järjestelmässä L S, me näemme sen

L och =l*T och L s =l* T s

Huomaa, että nämä kaavat pätevät myös monille jonojärjestelmille, jotka ovat yleisempiä kuin tarkasteltavana oleva M/M/1-järjestelmä ja joita kutsutaan Littlen kaavoiksi. Näiden kaavojen käytännön merkitys on se, että ne poistavat tarpeen laskea suoraan T och:n ja T s:n arvot tunnetuilla arvojen L och ja L s arvoilla ja päinvastoin.

Yksikanavaiset tehtävät SMOodotuksella, Kanssaodottaa jarajoitettu jonon pituus

1. Annettu yksirivinen QS, jossa on rajoittamaton jonomuisti. Hakemukset vastaanotetaan t = 14 sekunnin välein. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on t=10 sekuntia. Viestit, jotka saapuvat aikoina, jolloin palveleva kanava on varattu, vastaanotetaan jonossa poistumatta siitä ennen huollon alkamista.

Määritä seuraavat suorituskykyindikaattorit:

2. Solmujen välinen viestintähaara, jossa on yksi kanava ja jonomuisti m=3 vireillä olevaa viestiä varten (N-1=m), vastaanottaa yksinkertaisimman viestivirran intensiteetillä l=5 viestiä. sekunneissa Viestin lähetysaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on 0,1 sekuntia. Viestit, jotka saapuvat aikana, jolloin palveleva kanava on varattu lähettää aiemmin vastaanotettua viestiä ja asemassa ei ole vapaata tilaa, hylätään.

P reject - todennäköisyys, että viesti ei vastaanoteta

L-järjestelmä - jonossa olevien ja viestintähaaraa pitkin lähetettyjen viestien keskimääräinen kokonaismäärä

T och - keskimääräinen aika, jonka viesti on jonossa ennen lähetyksen alkamista

T syst - keskimääräinen kokonaisaika, jonka viesti on järjestelmässä, joka koostuu keskimääräisestä odotusajasta jonossa ja keskimääräisestä lähetysajasta

Q - suhteellinen suorituskyky

A - absoluuttinen läpijuoksu

3. Toissijaisen tietoliikenneverkon solmujen välinen haara, jossa on yksi kanava ja jonomuisti m = 4 (N-1=4) odottavalle viestille, vastaanottaa yksinkertaisimman viestivirran intensiteetillä = 8 viestiä sekunnissa. Viestin lähetysaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on t = 0,1 sekuntia. Jono hylkää viestit, jotka saapuvat silloin, kun palveleva kanava on varattu aiemmin vastaanotetun viestin lähettämisessä ja asemassa ei ole vapaata tilaa.

P avoin - todennäköisyys, että viesti ei vastaanoteta lähetettäväksi solmujen välisen haaran viestintäkanavan kautta;

L och - jonossa olevien viestien keskimääräinen määrä jonon toissijaisen verkon viestintähaaralle;

L-järjestelmä - jonossa olevien ja toissijaisen verkon viestintähaaraa pitkin lähetettyjen viestien keskimääräinen kokonaismäärä;

T och - keskimääräinen aika, jonka viesti on jonossa ennen lähetyksen alkamista;

R zan - todennäköisyys, että tietoliikennekanava on varattu (suhteellinen kanavan kuormituskerroin);

Q on solmujenvälisen haaran suhteellinen kapasiteetti;

A on solmujenvälisen haaran absoluuttinen kapasiteetti;

4. Solmujen välinen viestintähaara, jossa on yksi kanava ja jonomuisti m=2 odottavalle viestille, vastaanottaa yksinkertaisimman viestivirran intensiteetillä l=4 viestiä. sekunneissa Viestin lähetysaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on 0,1 sekuntia. Viestit, jotka saapuvat aikana, jolloin palveleva kanava on varattu lähettää aiemmin vastaanotettua viestiä ja asemassa ei ole vapaata tilaa, hylätään.

Määritä seuraavat viestintähaaran suorituskykyindikaattorit:

P reject - todennäköisyys, että viesti ei vastaanoteta

L och - viestintähaaran jonossa olevien viestien keskimääräinen määrä

L-järjestelmä - jonossa olevien ja viestintähaaraa pitkin lähetettyjen viestien keskimääräinen kokonaismäärä

T och - keskimääräinen aika, jonka viesti on jonossa ennen lähetyksen alkamista

T syst - keskimääräinen kokonaisaika, jonka viesti on järjestelmässä, joka koostuu keskimääräisestä odotusajasta jonossa ja keskimääräisestä lähetysajasta

Rzan - viestintäkanavan varauksen todennäköisyys (suhteellinen kanavan kuormituskerroin c)

Q - suhteellinen suorituskyky

A - absoluuttinen läpijuoksu

5. Toissijaisen tietoliikenneverkon solmujen välinen haara, jossa on yksi kanava ja rajoittamaton määrä odottavien sanomien tallennusjono, vastaanottaa yksinkertaisimman viestivirran intensiteetillä l = 0,06 viestiä sekunnissa. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on t = 10 sekuntia. Viestit, jotka saapuvat silloin, kun viestintäkanava on varattu, vastaanotetaan jonossa eivätkä poistu siitä ennen palvelun alkamista.

Määritä seuraavat toissijaisen verkon tietoliikennehaaran suorituskykyindikaattorit:

L och - viestintähaaran jonossa olevien viestien keskimääräinen lukumäärä;

L syst - jonossa olevien ja viestintähaaraa pitkin lähetettyjen viestien keskimääräinen kokonaismäärä;

T och - keskimääräinen aika, jonka viesti pysyy jonossa;

T syst on keskimääräinen kokonaisaika, jonka viesti jää järjestelmässä, mikä on keskimääräisen jonossa olevan odotusajan ja keskimääräisen lähetysajan summa;

Rzan on todennäköisyys, että tietoliikennekanava on varattu (suhteellinen kanavan kuormituskerroin);

Q - solmujenvälisen haaran suhteellinen kapasiteetti;

A - solmujenvälisen haaran absoluuttinen kapasiteetti

6. Annettu yksirivinen QS, jossa on rajoittamaton jonomuisti. Hakemukset vastaanotetaan t = 13 sekunnin välein. Keskimääräinen aika yhden viestin lähettämiseen

t = 10 sekuntia. Viestit, jotka saapuvat aikoina, jolloin palveleva kanava on varattu, vastaanotetaan jonossa poistumatta siitä ennen huollon alkamista.

Määritä seuraavat suorituskykyindikaattorit:

L och - jonossa olevien viestien keskimääräinen määrä

L-järjestelmä - jonossa olevien ja viestintähaaraa pitkin lähetettyjen viestien keskimääräinen kokonaismäärä

T och - keskimääräinen aika, jonka viesti on jonossa ennen lähetyksen alkamista

T syst - keskimääräinen kokonaisaika, jonka viesti on järjestelmässä, joka koostuu keskimääräisestä odotusajasta jonossa ja keskimääräisestä lähetysajasta

Rzan - varauksen todennäköisyys (suhteellinen kanavan kuormituskerroin c)

Q - suhteellinen suorituskyky

A - absoluuttinen läpijuoksu

7. Erikoisdiagnostiikkapiste on yksikanavainen QS. Diagnostiikkaa odottavien autojen pysäköintipaikkojen määrä on rajoitettu ja 3 [(N - 1) = 3]. Jos kaikki parkkipaikat ovat varatut eli jonossa on jo kolme autoa, ei seuraavaa diagnostiikkaan saapuvaa autoa sijoiteta huoltojonoon. Diagnostiikkaan saapuvien autojen virtaus jakautuu Poissonin lain mukaan ja sen intensiteetti on = 0,85 (autoa tunnissa). Ajoneuvon diagnoosiaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan ja on keskimäärin 1,05 tuntia.

On määritettävä kiinteässä tilassa toimivan diagnoosiaseman todennäköisyysominaisuudet: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P avoin, q,A, L och, L sys, T och, T sys

Oppitunti 4

Monikanavainen QS, jossa on odotus, odotus ja rajoitettu jonon pituus

Ajatellaanpa monikanavaista jonotusjärjestelmää, jossa on odotus. Tämän tyyppistä QS:ää käytetään usein mallinnettaessa interaktiivisessa tilassa toimivien LAN-tilaajapäätelaitteiden ryhmiä. Jonotusprosessille on tunnusomaista seuraavat: tulo- ja lähtövirrat ovat Poissonin intensiteetit ja vastaavasti; enintään n asiakasta voidaan palvella rinnakkain. Järjestelmässä on n palvelukanavaa. Keskimääräinen palvelun kesto yhdelle asiakkaalle on 1/m kullekin kanavalle. Tämä järjestelmä viittaa myös kuoleman ja lisääntymisen prosessiin.

c=l/nm - tulevan virtauksen intensiteetin suhde palvelun kokonaisintensiteettiin, on järjestelmän kuormituskerroin

(Kanssa<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

missä P 0 on todennäköisyys, että kaikki kanavat ovat vapaita rajoittamattomalla jonolla, k on pyyntöjen lukumäärä.

jos otamme c = l / m, niin P 0 voidaan määrittää rajoittamattomalle jonolle:

Rajoitettu jono:

missä m on jonon pituus

Rajoittamattomalla jonolla:

Suhteellinen kapasiteetti q=1,

Absoluuttinen kapasiteetti A=l,

Keskimääräinen varattujen kanavien lukumäärä Z=A/m

Rajoitetulla jonolla

1 Toissijaisen tietoliikenneverkon solmujen välisessä haarassa on n = 4 kanavaa. Viestintähaarakanavien kautta lähetettäväksi saapuvien viestien intensiteetti on = 8 viestiä sekunnissa. Keskimääräinen aika t = 0,1 yhden viestin lähettämiseen kullakin viestintäkanavalla on t/n = 0,025 sekuntia. Jonossa olevien viestien odotusaika on rajoittamaton. Etsi SMO:n ominaisuudet:

P avoin - viestin lähetyksen epäonnistumisen todennäköisyys;

Q on viestintähaaran suhteellinen kapasiteetti;

A on viestintähaaran absoluuttinen läpijuoksu;

Z - varattujen kanavien keskimääräinen lukumäärä;

L och - jonossa olevien viestien keskimääräinen määrä;

T = keskimääräinen odotusaika;

T syst - viestien keskimääräinen kokonaisaika jonossa pysymiseen ja lähetykseen viestintähaaraa pitkin.

2. Tehtaan mekaaninen konepaja, jossa on kolme pylvästä (kanavaa), suorittaa pienkoneisoinnin korjauksia. Pajalle saapuvien viallisten mekanismien virtaus on Poisson ja sen intensiteetti = 2,5 mekanismia päivässä, yhden mekanismin keskimääräinen korjausaika jakautuu eksponentiaalisen lain mukaan ja on = 0,5 päivää. Oletetaan, että tehtaalla ei ole muuta työpajaa, ja siksi koneistojono konepajan edessä voi kasvaa lähes rajattomasti. Järjestelmän todennäköisyysominaisuuksien seuraavat raja-arvot on laskettava:

Järjestelmän tilojen todennäköisyydet;

Palvelujonossa olevien sovellusten keskimääräinen määrä;

Sovellusten keskimääräinen määrä järjestelmässä;

Keskimääräinen aika, jonka sovellus pysyy jonossa;

Sovelluksen järjestelmässä oleskelun keskimääräinen kesto.

3. Toissijaisen tietoliikenneverkon solmujenvälisessä haarassa on n=3 kanavaa. Viestinnän haarakanavien kautta lähetettäväksi saapuvien viestien intensiteetti on l = 5 viestiä sekunnissa. Yhden viestin keskimääräinen lähetysaika on t=0,1, t/n=0,033 s. Lähetystä odottavien viestien jonovarasto voi sisältää enintään m= 2 viestiä. Viesti, joka saapuu aikana, jolloin jonon kaikki paikat ovat varattu, vastaanottaa tiedonsiirtohaaran lähetyshäiriön. Selvitä QS:n ominaisuudet: P avoin - viestin lähetyksen epäonnistumisen todennäköisyys, Q - suhteellinen läpijuoksu, A - absoluuttinen läpimeno, Z - varattujen kanavien keskimääräinen määrä, L och - viestien keskimääräinen määrä jonossa, T so - keskimääräinen odotusaika aika, T-järjestelmä - keskimääräinen kokonaisaika, jonka viesti pysyy jonossa ja lähetetään viestintähaaraa pitkin.

Oppitunti 5

Suljettu QS

Tarkastellaan konekannan huoltomallia, joka on malli suljetusta jonojärjestelmästä. Tähän asti olemme huomioineet vain jonotusjärjestelmät, joissa saapuvien pyyntöjen intensiteetti ei riipu järjestelmän tilasta. Tässä tapauksessa pyyntöjen lähde on QS:n ulkopuolinen ja tuottaa rajoittamattoman määrän pyyntöjä. Tarkastellaan jonotusjärjestelmiä, joissa se riippuu järjestelmän tilasta ja vaatimusten lähde on sisäinen ja tuottaa rajoitetun pyyntövirran. Esimerkiksi N koneesta koostuvaa konepuistoa huoltaa R-mekaanikkoryhmä (N > R), ja jokaista konetta voi huoltaa vain yksi mekaanikko. Tässä koneet ovat vaatimusten lähteitä (huoltopyyntöjä) ja mekaniikka palvelukanavia. Viallista konetta käytetään huollon jälkeen aiottuun tarkoitukseen ja siitä tulee mahdollinen huoltotarpeiden lähde. Ilmeisesti intensiteetti riippuu siitä, kuinka monta konetta on tällä hetkellä käytössä (N - k) ja kuinka monta konetta huolletaan tai seisoo jonossa huoltoa odottamassa (k). Tarkasteltavana olevassa mallissa vaatimuslähteen kapasiteettia tulisi pitää rajoitettuna. Saapuva vaatimusvirta tulee rajatusta määrästä toimivia koneita (N - k), jotka satunnaisesti hajoavat ja vaativat huoltoa. Lisäksi jokainen kone välillä (N - k) on toiminnassa. Luo Poisson-vaatimusvirran intensiteetillä X riippumatta muista objekteista, kokonaismäärällä (kokonais) tulevalla virralla on intensiteetti. Pyyntö, joka tulee järjestelmään, kun vähintään yksi kanava on vapaa, käsitellään välittömästi. Jos pyyntö löytää kaikki kanavat varattuina palvelemaan muita pyyntöjä, se ei poistu järjestelmästä, vaan joutuu jonoon ja odottaa, kunnes jokin kanavista vapautuu. Näin ollen suljetussa jonojärjestelmässä tuleva vaatimusvirta muodostuu lähtevästä. Järjestelmätilalle S k on tunnusomaista palveltavien ja jonossa olevien pyyntöjen kokonaismäärä k. Tarkasteltavalle suljetulle järjestelmälle ilmeisesti k = 0, 1, 2, ... , N. Lisäksi, jos järjestelmä on tilassa S k, niin toiminnassa olevien kohteiden lukumäärä on yhtä suuri kuin (N - k) . Jos on vaatimusvirran intensiteetti konetta kohti, niin:

Algebrallinen yhtälöjärjestelmä, joka kuvaa suljetun silmukan QS:n toimintaa stationaaritilassa, on seuraava:

Ratkaisemalla tämän järjestelmän löydämme k:nnen tilan todennäköisyyden:

P 0:n arvo määritetään saatujen tulosten normalisoinnin ehdosta käyttämällä kaavoja P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Määritetään seuraavat järjestelmän todennäköisyysominaisuudet:

Palvelujonossa olevien pyyntöjen keskimääräinen määrä:

Pyyntöjen keskimääräinen määrä järjestelmässä (palvelu ja jonotus)

keskimääräinen mekaniikkojen (kanavien) määrä "tyhjinä" työn puutteen vuoksi

Jonossa olevan huolletun kohteen (koneen) joutokäyntisuhde

Tilojen (koneiden) käyttöaste

Palvelukanavien seisokkisuhde (mekaniikka)

Palvelun keskimääräinen odotusaika (jonossa olevan palvelun odotusaika)

Suljettu QS-ongelma

1. Olkoon kaksi saman tuottavuuden omaavaa insinööriä palvelemaan kymmentä henkilökohtaista tietokonetta (PC:tä). Yhden tietokoneen vikojen (vikojen) virta on Poisson, jonka intensiteetti on = 0,2. PC:n ylläpitoaika noudattaa eksponentiaalista lakia. Keskimääräinen aika yhden tietokoneen huoltoon yhden insinöörin toimesta on: = 1,25 tuntia. Seuraavat palvelun organisointivaihtoehdot ovat mahdollisia:

Molemmat insinöörit huoltavat kaikkia kymmentä tietokonetta, joten jos tietokone epäonnistuu, sitä huoltaa yksi vapaista insinööreistä, tässä tapauksessa R = 2, N = 10;

Kumpikin insinööri ylläpitää viittä hänelle osoitettua tietokonetta. Tässä tapauksessa R = 1, N = 5.

On tarpeen valita paras vaihtoehto PC-huollon järjestämiseen.

On tarpeen määrittää kaikki tilojen P k: P 1 - P 10 todennäköisyydet ottaen huomioon, että P k laskentatuloksia käyttämällä laskemme P 0

Oppitunti 6

Liikennelaskenta.

Teleliikenneteoria on osa jonoteoriaa. Teleliikenneteorian perustan loi tanskalainen tiedemies A.K. Erlang. Hänen teoksensa julkaistiin vuosina 1909-1928. Tehdään tärkeät teleliikenteen teoriassa käytetyt määritelmät (TT). Termi "liikenne" vastaa termiä "puhelimen kuormitus". Tämä tarkoittaa QS:n tuloihin saapuvien puheluiden, pyyntöjen ja viestien aiheuttamaa kuormitusta. Liikenteen määrä on se kokonaismäärä, jonka yksi tai toinen resurssi on jäänyt huomaamatta ja jonka aikana tämä resurssi oli käytössä analysoitavana ajanjaksona. Työyksikköä voidaan pitää resurssin toisena ammatina. Joskus voit lukea noin tunnin työn ja joskus vain sekunteja tai tunteja. ITU:n suositukset antavat kuitenkin liikennemäärän erlango-tunteina. Ymmärtääksemme tällaisen mittayksikön merkityksen meidän on otettava huomioon toinen liikenneparametri - liikenteen intensiteetti. Tässä tapauksessa he puhuvat usein liikenteen (kuormituksen) keskimääräisestä intensiteetistä tietyssä tietyssä resurssijoukossa (joukko). Jos kullakin ajanhetkellä t tietystä aikavälistä (t 1,t 2) liikennettä palvelevien resurssien määrä tietystä joukosta on yhtä suuri kuin A(t), niin keskimääräinen liikenteen intensiteetti on

Liikenteen intensiteetin arvoa luonnehditaan keskimääräisenä resurssien määränä, jotka liikenteen palveleminen kuluttaa tietyllä aikavälillä. Kuormituksen intensiteetin mittausyksikkö on yksi Erlang (1 Erl, 1 E), ts. 1 Erlang on sellainen liikenneintensiteetti, joka edellyttää yhden resurssin täyttä käyttöä, eli toisin sanoen jolla resurssi suorittaa yhden sekuntityön arvoisen työn sekunnissa. Amerikkalaisessa kirjallisuudessa voit joskus löytää toisen mittayksikön nimeltä CCS-Centrum (tai sata) Calls Second. CCS-numero heijastaa palvelimen käyttöaikaa 100 sekunnin välein tunnissa. CCS:ssä mitattu intensiteetti voidaan muuntaa Erlangiksi kaavalla 36CCS=1 Erl.

Yhden lähteen tuottama liikenne tuntimäärinä ilmaistuna on yhtä suuri kuin soittoyritysten lukumäärän c tietyllä aikavälillä T ja yhden yrityksen keskimääräisen keston t tulo: y = c t (h-z). Liikenne voidaan laskea kolmella eri tavalla:

1) olkoon puheluiden lukumäärä c tunnissa 1800 ja istunnon keskimääräinen kesto t = 3 minuuttia, jolloin Y = 1800 puhelua. /h. 0,05 h = 90 Earl;

2) olkoon tietyn nipun lähtöjen kaikkien n:n varauksen kestoajat t i kiinteitä ajan T aikana, jolloin liikenne määritetään seuraavasti:

3) tarkkaillaan tietyn säteen samanaikaisesti käytössä olevien lähtöjen määrää tasavälein ajan T aikana, havaintotulosten perusteella muodostetaan ajan x(t) askelfunktio (kuva 8).

Kuva 8. Näytteitä samanaikaisesti varatuista säteen lähdöistä

Liikenne ajan T aikana voidaan arvioida x(t):n keskiarvona tuon ajan aikana:

jossa n on näytteiden lukumäärä samanaikaisesti varatuista lähtöistä. Arvo Y on samanaikaisesti käytössä olevien säteen lähtöjen keskimääräinen määrä ajan T aikana.

Liikenteen vaihtelut. Liikenne toissijaisissa puhelinverkoissa vaihtelee huomattavasti ajan myötä. Liikennekäyrässä on työpäivän aikana kaksi tai jopa kolme huippua (kuva 9).

Kuva 9. Liikenteen vaihtelut päivän aikana

Sitä vuorokauden tuntia, jolloin pitkällä aikavälillä havaittu liikenne on merkittävintä, kutsutaan vilkkaimmaksi tunniksi (BHH). CNN:n liikenteen tuntemus on olennaisen tärkeää, koska se määrittää kanavien (linjojen) määrän, asemien ja solmujen laitteiden määrän. Liikenne samana viikonpäivänä vaihtelee vuodenaikojen mukaan. Jos viikonpäivä on esiloma, tämän päivän NNN on suurempi kuin loman jälkeinen päivä. Verkon tukemien palvelujen määrän kasvaessa liikenne kasvaa. Siksi on ongelmallista ennustaa riittävällä varmuudella liikennehuippujen esiintymistä. Liikennettä valvovat tiiviisti verkkohallinto- ja suunnitteluorganisaatiot. Liikenteenmittaussäännöt ovat ITU-T:n kehittämiä, ja kansalliset verkkohallinnot käyttävät niitä täyttääkseen palvelun laatuvaatimukset sekä oman verkkonsa tilaajille että muiden siihen liitettyjen verkkojen tilaajille. Teleliikenneteoriaa voidaan käyttää käytännön häviöiden tai aseman (solmupisteen) laitteiston volyymin laskemiseen vain, jos liikenne on paikallaan (tilastollisesti tasaista). CHNN:n liikenne täyttää tämän ehdon. Automaattiseen puhelinkeskukseen vuorokaudessa tuleva kuormitus vaikuttaa laitteiden ehkäisyyn ja korjaamiseen. Päivän aikana asemalle tulevan kuorman epätasaisuus määräytyy pitoisuuskertoimella

NNN:n tiukempi määritelmä tehdään seuraavasti. ITU:n suositus E.500 edellyttää 12 kuukauden intensiteettitietojen analysointia, 30 kiireisimmän päivän valitsemista, kyseisten päivien vilkkaimpien tuntien löytämistä ja intensiteettimittausten keskiarvon laskemista näiltä aikaväleiltä. Tätä liikenneintensiteetin (kuormituksen) laskentaa kutsutaan normaaliksi arvioksi liikenneintensiteetistä CHN:llä tai tasolla A. Tiukempi arvio voidaan laskea valitun 30 päivän jakson 5 vilkkaimman päivän keskiarvoksi. Tätä arvosanaa kutsutaan korotetuksi arvosanaksi tai tason B arvosanaksi.

Liikenteen luomisprosessi. Kuten jokainen puhelinverkon käyttäjä tietää, kaikki yritykset muodostaa yhteyttä kutsutun tilaajan kanssa eivät onnistu. Joskus joudut tekemään useita epäonnistuneita yrityksiä ennen kuin haluttu yhteys muodostuu.

Kuva 10. Kaavio tapahtumista muodostettaessa yhteyttä tilaajien välillä

Tarkastellaan mahdollisia tapahtumia simuloitaessa yhteyden muodostumista A- ja B-tilaajien välille (kuva 10). Puhelinverkkojen puheluiden tilastot ovat seuraavat: loppuunsaattujen keskustelujen osuus on 70-50 %, epäonnistuneiden puheluiden osuus 30-50 %. Jokainen tilaajan yritys ottaa QS-syötteen. Onnistuneilla yrityksillä (kun keskustelu on käyty) tulojen ja lähtöjen välisiä yhteyksiä muodostavien kytkinlaitteiden käyttöaika on pidempi kuin epäonnistuneilla yrityksillä. Tilaaja voi keskeyttää yhteyden muodostamisyritykset milloin tahansa. Uudelleenyritykset voivat johtua seuraavista syistä:

Numero valittiin väärin;

Oletus virheestä verkossa;

keskustelun kiireellisyyden aste;

Epäonnistuneet aiemmat yritykset;

B-tilaajan tapojen tunteminen;

Epäilen numeron oikeaa valintaa.

Uudelleenyritys voidaan tehdä seuraavista olosuhteista riippuen:

Kiireellisyyden asteet;

Epäonnistumisen syiden arviointi;

Arvioimalla toistuvien yritysten toteutettavuutta,

Arviot yritysten välisestä hyväksyttävästä aikavälistä.

Uudelleenyrityksen epäonnistuminen voi johtua vähäisestä kiireellisyydestä. Puheluiden synnyttämää liikennettä on useita: saapuva (ehdotettu) Y n ja jäänyt Y n. Liikenne Y n sisältää kaikki onnistuneet ja epäonnistuneet yritykset, liikenne Y n, joka on osa Y n:ää, sisältää onnistuneita ja joitakin epäonnistuneita yrityksiä:

Y pr = Y r + Y np,

missä Y p on keskustelu (hyödyllinen) liikenne ja Y np on epäonnistuneiden yritysten tuottamaa liikennettä. Yhtälö Y p = Y p on mahdollinen vain ideaalisessa tapauksessa, jos ei ole häviöitä, virheitä soittaessa tilaajaa eikä vastauksia soitetuilta tilaajilta.

Ero saapuvien ja lähetettyjen kuormien välillä tietyn ajanjakson aikana on menetetty kuorma.

Liikenteen ennustaminen. Rajalliset resurssit johtavat aseman ja verkon asteittaiseen laajentamiseen. Verkkohallinto ennustaa liikenteen kasvua kehitysvaiheessa ottaen huomioon, että:

Tuotot määräytyvät siirretyn liikenteen osuuden Y p mukaan, - kustannukset määräytyvät suurimman liikenteen palvelun laadun mukaan;

Suuri osa häviöistä (heikko laatu) tapahtuu harvoin ja on tyypillistä kehitysjakson lopulle;

Suurin määrä puuttuvaa liikennettä tapahtuu aikoina, jolloin häviöitä ei käytännössä ole - jos häviöt ovat alle 10%, tilaajat eivät vastaa niihin. Asemien ja verkon kehittämistä suunniteltaessa suunnittelijan tulee vastata kysymykseen, mitkä ovat palveluntarjonnan laatuvaatimukset (häviöt). Tätä varten on tarpeen mitata liikennehäviöitä maassa hyväksyttyjen sääntöjen mukaisesti.

Esimerkki liikenteen mittauksesta.

Katsotaanpa ensin, kuinka voit näyttää QS:n toiminnan, jossa on useita resursseja, jotka palvelevat samanaikaisesti jonkin verran liikennettä. Puhumme edelleen sellaisista resursseista, kuten palvelimista, jotka palvelevat sovellusten tai vaatimusten virtaa. Yksi visuaalisimmista ja useimmin käytetyistä tavoista kuvata palvelinjoukon palvelupyyntöjä on Gantt-kaavio. Tämä kaavio on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jossa x-akseli kuvaa aikaa ja y-akseli merkitsee poolpalvelimia vastaavat diskreetit pisteet. Kuvassa 11 on Gantt-kaavio kolmen palvelimen järjestelmästä.

Kolmella ensimmäisellä aikavälillä (laskemme ne sekunniksi) ensimmäinen ja kolmas palvelin ovat varattuja, seuraavat kaksi sekuntia - vain kolmas, sitten toinen toimii yhden sekunnin, sitten toinen ja ensimmäinen kaksi sekuntia , ja kaksi viimeistä sekuntia - vain ensimmäinen.

Rakennetun kaavion avulla voit laskea liikenteen määrän ja sen intensiteetin. Kaavio heijastaa vain palvellutta tai ohitettua liikennettä, koska se ei kerro mitään siitä, tuliko järjestelmään pyyntöjä, joita palvelimet eivät pystyneet palvelemaan.

Ohitetun liikenteen määrä lasketaan Gantt-kaavion kaikkien segmenttien kokonaispituutena. Äänenvoimakkuus 10 sekunnissa:

Yhdistämme kuhunkin aikaväliin, joka on piirretty abskissalle, kokonaisluvun, joka on yhtä suuri kuin tällä yksikkövälillä käytössä olevien palvelimien lukumäärä. Tämä arvo A(t) on hetkellinen intensiteetti. Meidän esimerkkiin

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Etsitään nyt keskimääräinen liikenneintensiteetti 10 sekunnin ajanjaksolta

Näin ollen tarkasteltavana olevan kolmen palvelimen järjestelmän keskimääräinen liikenteen intensiteetti on 1,5 Erl.

Peruskuormitusparametrit

Puhelinviestintää käyttävät useat tilaajaryhmät, joille on ominaista:

kuormituslähteiden määrä - N,

keskimääräinen puheluiden määrä yhdestä lähteestä tietyn ajan kuluessa (NNN yleensä) - c,

kytkentäjärjestelmän yhden istunnon keskimääräinen kesto yhtä puhelua palveltaessa on t.

Kuorman intensiteetti tulee olemaan

Tunnistamme eri puhelulähteet. Esimerkiksi,

Keskimääräinen puhelujen määrä CHN:ään yhdestä toimistopuhelimesta;

Keskimääräinen puhelujen määrä yhdestä yksittäisestä huoneistopuhelimesta; satunnainen tapahtuma massapalvelu teleliikenne

laskemalla - sama laitteesta kollektiiviseen käyttöön;

ma:lla - sama yhdestä kolikkokoneesta;

sl:n kanssa - sama yhdestä liitäntälinjasta.

Sitten keskimääräinen puheluiden määrä yhdestä lähteestä:

On olemassa likimääräisiä tietoja vastaavan luokan yhdestä lähteestä tulevien puheluiden keskimääräisestä määrästä:

3,5 - 5, =0,5 - 1, laskenta = 1,5 - 2, ma = 15 - 30, sl = 10 - 30.

On olemassa seuraavan tyyppisiä yhteyksiä, jotka yhteyden tuloksesta riippuen luovat erilaisia ​​puhelinkuormia asemalla:

k р - kerroin, joka osoittaa keskusteluun päättyneiden yhteyksien osuuden;

k з - yhteydet, jotka eivät päättyneet keskusteluun soitetun tilaajan kiireen vuoksi;

k mutta - kerroin, joka ilmaisee niiden yhteyksien osuuden, jotka eivät päätyneet keskusteluun soitetun tilaajan vastaamattomuuden vuoksi;

k osh - yhteydet, jotka eivät päättyneet keskusteluun soittajan virheiden vuoksi;

k ne - puhelut, jotka eivät teknisistä syistä päätyneet keskusteluun.

Normaalin verkon toiminnan aikana näiden kertoimien arvot ovat yhtä suuria kuin:

kp = 0,60 - 0,75; kz = 0,12 - 0,15; k mutta =0,08-0,12; k osh = 0,02-0,05; k ne =0,005-0,01.

Istunnon keskimääräinen kesto riippuu yhteyksien tyypeistä. Jos yhteys esimerkiksi päättyi keskusteluun, laitteen keskimääräinen käyttöaika t-tilassa on yhtä suuri kuin

missä on yhteyden muodostamisen kesto;

t comp. - käyty keskustelu;

t in - puhelun lähettämisen kesto soitetun tilaajan puhelimeen;

t r - keskustelun kesto

missä tco on aseman vastaussignaali;

1,5n - aika soittaa soitetun tilaajan numero (n - merkkien määrä numerossa);

t s on aika, joka tarvitaan yhteyden muodostamiseen kytkentämekanismien avulla ja yhteyden katkaisemiseen keskustelun päätyttyä. Tarkastettujen määrien likimääräiset arvot:

t co = 3 s, t c = 1-2,5 s, t b = 8-10 s, t p = 90-130 s.

Puhelut, jotka eivät pääty keskusteluun, kuormittavat myös puhelinta.

Keskimääräinen aika laitteiden varaamiseen, kun soitettu tilaaja on varattu, on

missä t asennusliitäntä määrittää (4.2.3)

t зз - kiireisen summerin kuulemisaika, t зз =6 s.

Laitteen keskimääräinen käyttöaika, kun soitettu tilaaja ei vastaa

missä t pv - takaisinsoittosignaalin kuunteluaika, t pv = 20 sek.

Jos keskustelua ei käyty tilaajavirheiden vuoksi, niin keskimäärin t osh = 30 sekuntia.

Niiden tuntien kestoa, jotka eivät teknisistä syistä päätyneet keskusteluun, ei määritellä, koska tällaisten tuntien osuus on pieni.

Kaikesta yllä olevasta seuraa, että CNN:n takana olevan lähderyhmän luoma kokonaiskuorma on yhtä suuri kuin yksittäisten toimintotyyppien kuormien summa.

missä on kerroin, joka ottaa huomioon ehdot osakkeina

Seitsennumeroiseen puhelinverkkoon on suunniteltu automaattinen puhelinkeskus, jonka tilaajarakenne on seuraava:

N tili = 4 000, N ind = 1 000, N määrä = 2 000, N ma = 400, N sl = 400.

Yhdestä lähteestä vastaanotettujen puheluiden keskimääräinen määrä CHNN:ssä on yhtä suuri kuin

Kaavojen (4.2.3) ja (4.2.6) avulla löydämme kuorman

1,10,62826767 s = 785,2 Hz.

Oppitunnin keskimääräinen kesto t kaavasta Y=Nct

t = Y/Nc = 2826767/7800*3,8 = 95,4 s.

Lataa tehtävä

1. Puhelinverkkoon, jossa on seitsennumeroinen numerointi, suunnitellaan automaattinen puhelinkeskus, jonka tilaajien rakenteellinen kokoonpano on seuraava:

N uchr = 5000, Nind = 1500, N count = 3000, N ma = 500, N sl = 500.

Määritä asemalle saapuva kuorma - Y, keskimääräinen miehityksen kesto t, jos tiedetään, että

ind = 4, ind = 1, laskenta = 2, ma = 10, sl = 12, t r = 120 s, t in = 10 s, k r = 0,6, t s = 1 s, =1,1 .

Lähetetty osoitteessa Allbest.ru

Samanlaisia ​​asiakirjoja

Tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan käsite. Multiplikatiivinen kongruenttimenetelmä. Jatkuvien satunnaismuuttujien ja diskreettien jakaumien mallinnus. Algoritmi lainanantajan ja lainanottajan välisten taloudellisten suhteiden simulointiin.

kurssityö, lisätty 1.3.2011


Jonoteorian yleiset käsitteet. Mallinnusjonojärjestelmien ominaisuudet. QS-järjestelmien tilakaaviot, niitä kuvaavat yhtälöt. Mallityyppien yleiset ominaisuudet. Supermarketin jonotusjärjestelmän analyysi.

kurssityö, lisätty 17.11.2009


Jonoteorian elementtejä. Jonojärjestelmien matemaattinen mallinnus, niiden luokittelu. Jonojärjestelmien simulointimallinnus. Teorian käytännön soveltaminen, ongelmien ratkaiseminen matemaattisilla menetelmillä.

kurssityö, lisätty 4.5.2011


Satunnaisen prosessin käsite. Jonoteorian ongelmat. Jonojärjestelmien luokittelu (QS). Todennäköisyyspohjainen matemaattinen malli. Satunnaistekijöiden vaikutus kohteen käyttäytymiseen. Yksikanavainen ja monikanavainen QS odotuksella.

kurssityö, lisätty 25.9.2014


Jonojärjestelmän tehokkaan rakentamisen ja toiminnan teoreettisten näkökohtien, sen pääelementtien, luokituksen, ominaisuuksien ja toiminnan tehokkuuden tutkiminen. Jonojärjestelmän mallintaminen GPSS-kielellä.

kurssityö, lisätty 24.09.2010


Dynaamisen ohjelmoinnin, verkkosuunnittelun ja tuotevalmistuksen hallinnan teorian kehittäminen. Peliteorian komponentit taloudellisten prosessien mallinnusongelmissa. Jonoteorian käytännön soveltamisen elementtejä.

käytännön työ, lisätty 1.8.2011


Alkeiskäsitteitä satunnaisista tapahtumista, määristä ja funktioista. Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet. Jakauman epäsymmetrian tyypit. Satunnaismuuttujien jakauman tilastollinen arviointi. Rakenneparametrisen tunnistamisen ongelmien ratkaiseminen.

kurssityö, lisätty 6.3.2012


Jonotusprosessin mallintaminen. Erilaiset jonotuskanavat. Yksikanavaisen jonotusmallin ratkaisu epäonnistumisineen. Palvelun kestojen jakautumisen tiheys. Absoluuttisen suoritustehon määritys.

testi, lisätty 15.3.2016


Tieliikenteen jonojärjestelmän toiminnalliset ominaisuudet, rakenne ja pääelementit. Jonojärjestelmän toiminnan laadun kvantitatiiviset indikaattorit, niiden määrityksen järjestys ja päävaiheet.

laboratoriotyö, lisätty 11.3.2011


Mallintamisen tavoitteen asettaminen. Todellisten esineiden tunnistaminen. Mallin tyypin ja matemaattisen kaavion valinta. Jatkuvan stokastisen mallin rakentaminen. Jonoteorian peruskäsitteet. Tapahtumien kulun määritelmä. Algoritmien asettaminen.

Vaaditaan jatkuvan satunnaismuuttujan X soittamista, ts. saada sarja sen mahdollisista arvoista (i=1, 2, ..., n), tietäen jakaumafunktion F(x).

Lause. Jos on satunnaisluku, niin toistetun jatkuvan satunnaismuuttujan X mahdollinen arvo tietyllä jakaumafunktiolla F (x), joka vastaa , on yhtälön juuri.

Sääntö 1. Löytääksesi mahdollisen arvon, jatkuva satunnaismuuttuja X, kun tiedät sen jakaumafunktion F (x), sinun on valittava satunnaisluku, määritettävä sen jakaumafunktio ja ratkaistava tuloksena oleva yhtälö .

Huomautus 1. Jos tätä yhtälöä ei ole mahdollista ratkaista eksplisiittisesti, turvaudu graafisiin tai numeerisiin menetelmiin.

Esimerkki 1. Toista 3 mahdollista jatkuvan satunnaismuuttujan X arvoa tasaisesti jaettuna intervalliin (2, 10).

Ratkaisu: kirjoitetaan arvon X jakautumisfunktio, joka jakautuu tasaisesti välillä (a, b): .

Ehdon mukaan a=2, b=10, joten .

Sääntöä 1 käyttäen kirjoitamme yhtälön mahdollisten arvojen löytämiseksi, jonka jakaumafunktion rinnastamme satunnaislukuun:

Täältä .

Valitaan 3 satunnaislukua, esim. ... Korvataan nämä luvut yhtälöön, joka on ratkaistu suhteessa ; Tämän seurauksena saamme vastaavat mahdolliset X:n arvot: ; ; .

Esimerkki 2. Jatkuva satunnaismuuttuja X jaetaan jakautumisfunktion määrittelemän eksponentiaalisen lain mukaan (parametri tunnetaan) (x > 0). Meidän on löydettävä selkeä kaava X:n mahdollisten arvojen toistamiseksi.

Ratkaisu: Kirjoitamme yhtälön säännön avulla.

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö: , tai .

Satunnaisluku sisältyy väliin (0, 1); siksi luku on myös satunnainen ja kuuluu väliin (0,1). Toisin sanoen R:n ja 1-R:n arvot jakautuvat tasaisesti. Siksi sen löytämiseksi voit käyttää yksinkertaisempaa kaavaa.

Muistio 2. On tiedossa, että .

Erityisesti, .

Tästä seuraa, että jos todennäköisyystiheys tunnetaan, voidaan yhtälön sijaan pelata X:ää yhtälöiden sijaan.

Sääntö 2. Jatkuvan satunnaismuuttujan X mahdollisen arvon löytämiseksi, kun tiedetään sen todennäköisyystiheys, on valittava satunnaisluku ja ratkaistava sille yhtälö tai yhtälö , jossa a on X:n pienin lopullinen mahdollinen arvo.

Esimerkki 3. Jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheys välissä on annettu; tämän aikavälin ulkopuolella. Meidän on löydettävä selkeä kaava X:n mahdollisten arvojen toistamiseksi.

Ratkaisu: kirjoitetaan yhtälö säännön 2 mukaisesti.

Kun integrointi on suoritettu ja tuloksena saatu toisen asteen yhtälö on ratkaistu , vihdoin saamme sen.

18.7 Normaalin satunnaismuuttujan likimääräinen toisto

Muistetaan ensin, että jos satunnaismuuttuja R jakautuu tasaisesti välillä (0, 1), niin sen matemaattinen odotusarvo ja varianssi ovat vastaavasti yhtä suuret: M(R)=1/2, D(R)=1/12.

Kootaan n riippumattoman, tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan summa välillä (0, 1): .

Tämän summan normalisoimiseksi löydämme ensin sen matemaattisen odotuksen ja varianssin.

Tiedetään, että satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa. Summa sisältää n termiä, joista kunkin matemaattinen odotusarvo M(R) = 1/2 on yhtä suuri kuin 1/2; siksi summan matemaattinen odotus

Tiedetään, että riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin termien varianssien summa. Summa sisältää n itsenäistä termiä, joiden jokaisen varianssi D(R) = 1/12:sta johtuen on yhtä suuri kuin 1/12; siis summan varianssi

Tästä johtuen summan keskihajonta

Normalisoidaan tarkasteltava summa, jolle vähennetään matemaattinen odotus ja jaetaan tulos keskihajonnalla: .

Keskirajalauseen perusteella tämän normalisoidun satunnaismuuttujan jakauma pyrkii normaaliksi parametreilla a = 0 ja . Äärilliselle n:lle jakauma on suunnilleen normaali. Erityisesti n=12:lle saadaan melko hyvä ja kätevä approksimaatio laskelmia varten.

Arviot ovat tyydyttäviä: lähellä nollaa, vähän poikkeaa yhdestä.

Luettelo käytetyistä lähteistä

1. Gmurman V.E. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. – M.: Korkeakoulu, 2001.

2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Matemaattiset tilastot. – M.: Korkeakoulu, 2001.

3. Gmurman V.E. Opas todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen ongelmien ratkaisemiseen. – M.: Korkeakoulu, 2001.

4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. – M.:FORUM:INFRA-M, 2003.

5. Agapov G.I. Ongelmakirja todennäköisyysteoriasta. – M.: Korkeakoulu, 1994.

6. Kolemajev V.A., Kalinina V.N. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. – M.: INFRA-M, 2001.

7. Ventzel E.S. Todennäköisyysteoria. – M.: Korkeakoulu, 2001.

Merkitään välillä (0, 1) tasaisesti jakautunutta SV:tä R:llä ja sen mahdollisia arvoja (satunnaislukuja) r j:llä.

Jaetaan väli)