Surjektio, injektio ja bijektio
Kuvauksen f: X määrittelevä sääntö (tai funktio /) voidaan esittää tavanomaisesti nuolilla (kuva 2.1). Jos joukossa Y on ainakin yksi alkio, johon mikään nuoli ei osoita, niin tämä tarkoittaa, että funktion f arvoalue ei täytä koko joukkoa Y, ts. f(X) C Y.
Jos arvoalue / osuu yhteen Y:n kanssa, ts. f(X) = Y, silloin tällaista funktiota kutsutaan surjektioksi) tai lyhyesti sanottuna surjektioksi, ja funktion / sanotaan kuvaavan joukon X joukolle Y (toisin kuin yleisessä tapauksessa, jossa joukko X kuvataan joukko Y määritelmän 2.1 mukaisesti). Joten / : X on surjektio, jos Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Tässä tapauksessa kuvassa vähintään yksi nuoli johtaa jokaiseen joukon Y elementtiin (kuva 2.2). Tässä tapauksessa useat nuolet voivat johtaa joihinkin Y:n elementteihin. Jos vain yksi nuoli ei johda mihinkään elementtiin y € Y, niin / sitä kutsutaan injektiofunktioksi tai injektioksi. Tämä funktio ei välttämättä ole surjektiivinen, ts. nuolet eivät johda kaikkiin joukon Y elementteihin (kuva 2.3).
- Eli funktio /: X -Y Y on injektio, jos jollakin kahdella eri elementillä X:stä on kuvansa kartoittaessa / kaksi eri elementtiä Y:stä tai Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjektio, injektio ja bijektio. Käänteinen kartoitus. Kartoitusten koostumus on joukkojen tulos. Näytä aikataulu. Kuvausta /: X->Y kutsutaan bijektiiviseksi eli bijektioksi, jos jokainen y:n 6 Y elementti on jonkin kuva ja ainoa elementti X:stä, ts. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.
Tietyssä tapauksessa joukot X ja Y voivat olla samat (X = Y). Sitten bijektiivinen funktio kuvaa joukon X itseensä. Joukon bijektiota itseensä kutsutaan myös muunnokseksi. 2.3. Käänteinen kartoitus Olkoon /: X -? Y on tietty bijektio ja olkoon y € Y. Merkitään /_1(y):llä ainoata elementtiä x € X siten, että /(r) = y. Siten määrittelemme kuvan 9: Y Xу, joka on jälleen bijektio. Sitä kutsutaan käänteiseksi kuvaukseksi tai käänteiseksi bijektioksi /. Usein sitä kutsutaan myös yksinkertaisesti käänteisfunktioksi ja merkitään /"*. Kuvassa 2.5 funktio d on juuri käänteisfunktio /, eli d = f"1.
Esimerkkejä ongelmien ratkaisuista
Kuvaukset (funktiot) / ja ovat keskenään käänteisiä. On selvää, että jos funktio ei ole bijektio, niin sen käänteisfunktiota ei ole olemassa. Todellakin, jos / ei ole injektiivinen, niin jokin alkio y € Y voi vastata useita alkioita x joukosta X, mikä on ristiriidassa funktion määritelmän kanssa. Jos / ei ole surjektiivinen, niin Y:ssä on elementtejä, joille X:ssä ei ole esikuvia, ts. näille elementeille ei ole määritelty käänteisfunktiota. Esimerkki 2.1. A. Olkoon X = Y = R - joukko reaalilukuja. Funktio /, joka määritellään kaavalla y = For -2, i,y € R, on bijektio. Käänteisfunktio on x = (y + 2)/3. b. Reaalimuuttujan x reaalifunktio f(x) = x2 ei ole surjektiivinen, koska negatiiviset luvut arvosta Y = R eivät ole kuvia X = K:n elementeistä kuten /: Γ -> Y. Esimerkki 2.2. Olkoon A" = R ja Y = R+ positiivisten reaalilukujen joukko. Funktio f(x) = ax, a > 0, af 1, on bijektio. Käänteisfunktio on Z"1 (Y) = 1°8a Y
- Surjektio, injektio ja bijektio. Käänteinen kartoitus. Kartoitusten koostumus on joukkojen tulos. Näytä aikataulu. 2.4. Kuvausten kokoonpano Jos f:X-*Y ja g:Y-*Zy, niin kuvausta (p:X -+Z, joka on määritelty kullekin a: 6 A":lle kaavalla =) kutsutaan kuvausten koostumukseksi (superpositioksi) (funktiot) / ja d> tai kompleksifunktio, ja sen nimi on rho/ (kuva 2.6).
- Siten kompleksifunktio ennen f toteuttaa säännön: i Apply / ensin ja sitten di, ts. operaatioiden koostumuksessa "ennen / sinun on aloitettava operaatiosta / joka sijaitsee oikealla. Huomaa, että koostumus Kuva. 2.6-kuvaukset ovat assosiatiivisia, eli jos /: X -+Y, d: Y Z ja h: Z-*H> niin (hog)of = = ho(gof)i, joka on helpompi kirjoittaa muodossa ho muotoon /. Tarkistetaan tämä seuraavasti: Millä tahansa wK:lla "oaicecmee X on määritelty kartoitus 1x -X X, jota kutsutaan identtisiksi, usein myös merkitty idx:llä ja annettu kaavalla Ix(x) = x Vx € A". Sen -toiminto on, että se jättää kaiken paikoilleen.
Jokainen piste M voidaan liittää reaalilukupariin (i, y), jossa x on pisteen Mx koordinaatti koordinaattiakselilla Ox ja y on pisteen Mu koordinaatti koordinaattiakselilla Oy. Pisteet Mx ja Mu ovat pisteestä M pudonneiden kohtisuorien kantaa Ox- ja Oy-akselilla. Lukuja x ja y kutsutaan pisteen M koordinaateiksi (valitussa koordinaattijärjestelmässä), x:tä pisteen M abskissaksi ja y on tämän pisteen ordinaatit. On selvää, että jokainen reaalilukupari (a, b) a, 6 6R vastaa pistettä M tasossa, jonka koordinaatit ovat nämä luvut. Ja päinvastoin, jokainen tason piste M vastaa reaalilukujen a ja 6 paria (a, 6). Yleisessä tapauksessa parit (a, b) ja (6, a) määrittelevät eri pisteet, ts. On tärkeää, kumpi kahdesta luvusta a ja b on ensin parin nimeämisessä. Puhumme siis tilatusta parista. Tässä suhteessa pareja (a, 6) ja (6, a) pidetään samanarvoisina keskenään ja ne määrittelevät saman pisteen tasolla, jos vain a = 6. Surjektio, injektio ja bijektio. Käänteinen kartoitus.
Kartoitusten koostumus on joukkojen tulos. Näytä aikataulu. Kaikkien reaalilukuparien joukkoa, samoin kuin tason pisteiden joukkoa, merkitään R2. Tämä nimitys liittyy joukkoteorian tärkeään käsitteeseen joukkojen suorasta (tai dek-artov) tulosta (usein he puhuvat yksinkertaisesti joukkojen tulosta). Määritelmä 2.2. Joukkojen A ja B tulo on mahdollisten järjestettävien parien (x, y) joukko Ax B, jossa ensimmäinen alkio otetaan A:sta ja toinen B:stä siten, että kahden parin (x, y) ja (&", y") on määritetty ehdot x = x" ja y = y7. Pareja (i, y) ja (y, x) pidetään erilaisina, jos xy. Tämä on erityisen tärkeää pitää mielessä, kun joukot A ja B kohtaa siis yleisessä tapauksessa A x B f B x A eli mielivaltaisten joukkojen tulo ei ole kommutatiivinen, vaan se on distributiivinen joukkojen liiton, leikkauspisteen ja eron suhteen: jossa tarkoittaa yhtä kolmesta nimetystä operaatiot. Joukkojen tulo eroaa merkittävästi kahden joukon ilmoitetuista operaatioista. Näiden operaatioiden suorittamisen tuloksena saadaan joukko, jonka alkiot (jos se ei ole tyhjä) kuuluvat toiseen tai molempiin alkuperäisistä joukoista. Tuloksen alkiot joukot kuuluvat uuteen joukkoon ja edustavat erityyppisiä objekteja verrattuna alkuperäisten joukkojen alkioihin Samanlainen kuin määritelmä 2.2
Voimme ottaa käyttöön käsitteen useammasta kuin kahdesta sarjasta koostuva tuote. Joukkot (A x B) x C ja A*x (B x C) tunnistetaan ja niitä merkitään yksinkertaisesti A x B x C, joten. Toimii Ah Au Ah Ah Ah Ah jne. merkitään yleensä A2:lla, A3:lla jne. On selvää, että tasoa R2 voidaan pitää todellisten lukujen joukon kahden kopion tulona R x R (tämän vuoksi tason pistejoukon nimitys kahden pistejoukon tuloksi numeroviivalla). Geometrisen (kolmiulotteisen) avaruuden pistejoukko vastaa numeroviivan pistejoukon kolmen kopion tuloa R x R x R, jota merkitään R3.
- Reaalilukujen n joukon tuloa merkitään Rn:llä. Tämä joukko edustaa kaikkia mahdollisia n:n reaaliluvun X2) xn £ R ryhmiä (xj, X2, xn), ja mikä tahansa piste x* Rn:stä on sellainen reaalilukujen xn £ K* kokoelma (xj, x, x*).
- N:n mielivaltaisen joukon tulo on n (yleensä heterogeenisen) elementin järjestetyn joukon joukko. Tällaisille joukoille käytetään nimiä tuple tai n-ka (lausutaan "enka") Esimerkki 2.3 Olkoon A = (1, 2) ja B = (1, 2) Sitten joukko A x B voidaan tunnistaa neljä tason R2 pistettä, joiden koordinaatit ilmoitetaan listattaessa tämän joukon alkioita Jos C = ( 1,2) ja D = (3,4), niin Esimerkki 2.4 Olkoon sitten Joukkojen E geometrinen tulkinta x F ja F x E on esitetty kuvassa 2.8. # Kuvausta varten /: X voidaan luoda joukko järjestettyjä pareja (r, y), joka on suoratulon X x Y osajoukko.
- Tällaista joukkoa kutsutaan kuvauksen f kuvaajaksi (tai funktion i* kuvaajaksi" - Esimerkki 2.5. Tapauksessa XCR ja Y = K, jokainen järjestetty pari määrittää tason R2 pisteen koordinaatit. X on lukuviivan R väli, jolloin funktion kuvaaja voi edustaa jotakin suoraa (kuva 2.9) Esimerkki 2.6 On selvää, että kun XCR2 ja Y = R funktion kuvaaja on tietty joukko R3:n pisteitä , joka voi edustaa tiettyä pintaa (kuva 2.10).
Tarkastellaanpa toista tärkeää yleisen vastaavuuskäsitteen erikoistapausta - joukkojen kartoitusta. Jos yhteensopiva R sarjojen välillä X Ja Y elementin kuva AX voi olla tyhjä tai sisältää useita elementtejä.
Joukkojen elementtien välinen suhde X Ja Y nimeltään näyttö X VY , jos jokainen elementti X monilta X vain yksi joukon elementti vastaa Y. Tätä elementtiä kutsutaan elementin kuvaX tällä näytöllä: f(x). Tällaisen kuvauksen kaaviossa jokaisesta joukon pisteestä X Vain yksi nuoli tulee ulos (kuva 29).
Harkitse seuraavaa esimerkkiä . Antaa X- paljon opiskelijoita yleisössä ja Y- monta tuolia samassa auditoriossa. Vastaa "opiskelija" X istuu tuolilla klo» sarjat näyttö X VY. Opiskelijan kuva X on tuoli.
Antaa X = Y = N- joukko luonnollisia lukuja. Vastaava "luvun desimaalimerkintä" X sisältää klo numeroa" määrittää näytön N V N. Tällä näytöllä numero 39 vastaa numeroa 2 ja numero 45981 vastaa numeroa 5 (39 on kaksinumeroinen luku, 45981 on viisinumeroinen luku).
Antaa X- monta nelikulmiota, Y- monia piirejä. Vastaava "nelikulmio" X piirrettynä ympyrään klo» ei ole näyttö X V Y, koska on nelikulmioita, joita ei voida piirtää ympyrään. Mutta tässä tapauksessa he sanovat, että tulos on kartoitus joukosta X joukkoon Y.
Jos näyttö X V Y siten, että jokainen elementti y monilta
Y vastaa yhtä tai useampaa elementtiä X monilta X, niin tällaista kartoitusta kutsutaan setin näyttö X useilleY.
Joukko X kutsutaan kartoituksen määritelmäalueeksi f: XY, ja paljon Y- tämän kartoituksen saapumisalue. Osa saapumisaluetta, joka koostuu kaikista kuvista y monilta Y, kutsutaan kartoitusarvojoukoksi f.
Jos y=f(x), sitten kutsutaan x:tä elementin y prototyyppi kun näytetään f. Elementin kaikkien esikuvien joukko klo he kutsuvat sitä täydelliseksi prototyypiksi: f(y).
Näytöt ovat seuraavan tyyppisiä: injektiivinen, surjektiivinen ja bijektiivinen.
Jos jokaisen elementin täydellinen prototyyppi yY sisältää enintään yhden elementin (voi olla tyhjä), niin tällaisia kuvauksia kutsutaan injektiivinen.
Näytöt XY sellasta f(X) = Y, kutsutaan kartoituksiksi X koko joukolle Y tai surjektiivinen(jokaisesta sarjan kohdasta X esiin tulee nuoli ja suunnan vaihtamisen jälkeen jokaisessa sarjan pisteessä X päättyy) (Kuva 31).
Jos kartoitus on injektiivinen ja surjektiivinen, sitä kutsutaan yksi-yhteen tai bijektiiviseksi.
Aseta näyttö X kutsutaan setiksi bijektiivinen, jos jokainen elementti XX sopii yhteen elementtiin yY, ja jokainen elementti yY vastaa vain yhtä elementtiä XX(Kuva 32) .
Bijektiiviset kartoitukset luovat yhtä suuret joukot : X~Y.
Esimerkki . Antaa - X monta takkia vaatekaapissa, Y- siellä on paljon koukkuja. Yhdistetään jokainen takki siihen koukkuun, jossa se riippuu. Tämä kirjeenvaihto on kartoitus X sisäänY. Se on injektiivinen, jos missään koukussa ei ole enemmän kuin yksi takki tai jotkut koukut ovat vapaita. Tämä kartoitus on surjektiivinen, jos kaikki koukut ovat täynnä tai joissakin on useita takkeja. Se on bijektiivinen, jos jokaisessa koukussa on vain yksi takki.
Tärkeä rooli matematiikassa on kahden joukon välisten yhteyksien luomisella, ja se liittyy ensimmäisen joukon elementeistä muodostettujen objektiparien ja toisen joukon vastaavien elementtien huomioimiseen. Joukkojen kartoitus on erityisen tärkeää.
Antaa olla mielivaltaisia joukkoja. Näyttö sarjat X asetetaan Y jokaista sääntöä kutsutaan f, jonka mukaan joukon jokainen elementti liittyy joukon täysin tiettyyn (yksittäiseen) elementtiin.
Se, että f on kartoitus, joka on kirjoitettu lyhyesti muodossa: .
Myös nimitystä käytetään. Useimmiten näytöt on merkitty kirjaimilla f, q, F.
Joten asettaaksesi sarjan näytön X joukossa jokainen elementti on liitettävä yhteen ja vain yhteen elementtiin.
Jos elementti X alkaen X vastaava elementti kohteesta Y, sitten he soittavat tapa elementtejä , A X – elementin prototyyppi kun näytetään, joka on kirjoitettu muodossa .
Kuvauksen määritelmästä seuraa, että jokainen elementti alkaen X kuva on ainutlaatuinen, mutta elementillä voi olla useita prototyyppejä tai niitä ei välttämättä ole ollenkaan. Elementin kaikkien esikuvien joukkoa kutsutaan sen täydellinen prototyyppi ja sitä merkitään . Täten, .
Kuva osajoukosta A ja käänteinen kuva osajoukosta SISÄÄN kun näytetään:
Esimerkiksi, anna ja ole kartoitus A V A, joka vastaa jokaista elementtiä A alkaen A divisioonan loppuosa A numerolla 4. Sitten meillä on:
Ominaisuuksista, kuvista ja prototyypeistä riippuen kartoitukset erotetaan: surjektiivinen, injektiivinen ja bijektiivinen.
Kartoitus on ns surjektiivinen , jos niitä. jokainen elementti kohteesta näyttää vähintään yhden elementin kohteesta X tai mille tahansa.
Kartoitus on ns injektiivinen , jos joukon eri elementtejä X on kartoitettu joukon eri elementteihin, esim. , tai se on joko tyhjä tai yksivärinen jollekin . Injektiokartoituksia kutsutaan myös investoinnit .
Kartoitus on ns bijektiivinen , tai Yksi yhteen kartoitus, jos se on surjektiivinen ja injektiivinen, ts. jos jollekin on olemassa singleton. Tässä tapauksessa voimme määrittää kuvaukset asettamalla mille tahansa: . Sitä kutsutaan käänteinen k ja on merkitty .
Havainnollistetaan selvyyden vuoksi kartoitustyypit.
Surjektiivinen injektiivinen bijektiivinen
Kuva 12
Aseta näyttö A kutsui itseensä joukon muunnos A. Bijektiivinen joukkomuunnos A nimeltään aseta vaihto A.
Esimerkki kokonaislukujoukon korvaamisesta on yhtälön määrittelemä kuvaus.
Huomaa myös, että joukon kartoitus A V SISÄÄN kutsutaan myös toiminto , määritelty sarjassa A sarjassa olevilla arvoilla SISÄÄN. Tässä tapauksessa elementtiä kutsutaan merkitys toimintoja kohta A. Itse joukko A nimeltään alueella määritelmät funktioita, ja joukko on funktion arvoalue.
Funktiota käsitellään usein muuttujana, joka ottaa arvot kohteesta SISÄÄN ja niin riippuen muuttujasta X, arvot otetaan A, että jokaiselle arvolle A vaihteleva koko X vastaa hyvin tiettyä arvoa . Samaan aikaan he kirjoittavat ja sanovat "funktion" sijaan "funktio".
Tarkastellaan erilaisia kartoituksia ja määritellään niiden tyypit.
1) Anna X– joukko ympyröitä tasossa. Yhdistämällä jokainen ympyrä sen keskustaan, saadaan kartoitus X päällä . Tämä kartoitus ei ole injektiivinen, koska sama piste voi olla äärettömän määrän ympyröitä keskipiste. Mutta se on surjektiivinen, koska mikä tahansa piste on jonkin ympyrän keskipiste. Siksi käänteinen vastaavuus on kaikkialla määritelty, surjektiivinen, mutta ei toiminnallinen.
2) Vastaavuus on numeerinen funktio, joka on määritelty koko reaalilukujoukolle. Tämän funktion arvot ovat joukko ei-negatiivisia lukuja. Koska , funktio ei ole surjektiivinen. Se ei ole injektiivinen, koska . Siksi sillä ei ole käänteisfunktiota.
3) Kartoitus on surjektiivinen ja injektiivinen: millä tahansa on yksi ja vain yksi luku siten, että . Tämä numero on.
4) Joukon kartoitus ( - ei-negatiivisten lukujen joukko) itsessään on määritelty kaikkialla, injektiivinen, mutta ei surjektiivinen. Todellakin, murto-osalle se on tyytyväinen.
Siksi tämän funktion arvojen joukko on intervalli. Käänteisfunktio määritellään tällä aikavälillä ja ottaa ei-negatiivisia arvoja.
5) Säännön määrittelemä kartoitus on injektiokuvaus. Se ei ole bijektiivinen, koska . Kuitenkin, jos määrittelemme kartoituksen samalla tavalla, saadaan bijektiivinen kartoitus. . ; surjektiivisuudesta seuraa vain surjektiivisuus, ja injektiivisuudesta seuraa vain injektio.
3. Jos ja ovat muunnoksia A, silloin niiden koostumus on myös joukon muunnos A.
Johdatus joukkoteoriaan ja kombinatoriikkaan
Käytännön työ nro 8. Kartoitukset. Näyttöjen tyypit
Työhön liittyviä kysymyksiä
- Mikä on "set-to-set -kartoitus"?
- Mikä on "kuva", mikä on "prototyyppi" tässä kartoituksessa?
- Mikä on täynnä f - kuva, mikä on valmis f - prototyyppi, kun se näytetään f?
- Nimeä kartoitustyypit, anna niiden määritelmät ja esimerkkejä.
- Mitkä kaksi joukkoa sanotaan vastaaviksi? Antaa esimerkkejä.
- Mitä joukkoa kutsutaan laskettavaksi? Antaa esimerkkejä.
Esimerkkejä tehtävän ratkaisuista
Esimerkki 1. Olkoon A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N ja B = (0; 1) Z Yhdistetään jokainen numero x A sen jäännös, kun se jaetaan kahdella.
Vastaako tämä karttaa? Minkä tyyppinen tämä näyttö on? Mikä elementti on elementin 6, 7 kuva? Etsitään elementin 1 täydellinen käänteiskuva.
Ratkaisu. Esitetään annettu vastaavuus kaaviolla:
Näemme, että:
1) jokainen joukon elementti A , on lähtökohta;
2) jokaiselle lähtöpisteelle on vain yksi saapumispiste. (Tämä tarkoittaa, että ilmoitettu vastaavuus on joukon kartoitus A joukkoon B);
3) Jokainen joukon elementti SISÄÄN on saapumispiste. (Joten tämä on kartoitus "to").
Koska niitä on monia SISÄÄN on elementti (esimerkiksi 0), jonka prototyyppi ei ole peräisin A , tämä kartoitus ei ole yksittäinen.
Numeron 6 kuva on numero 0 SISÄÄN , luvun 7 kuva on numero 1 SISÄÄN . Numeron 1 täydellinen prototyyppi SISÄÄN on joukko numeroita (1; 3; 5; 7; 9) A .
Esimerkki 2. Olkoon X sarja tasokolmioita, Y = R. Valitaan mittayksikkö pituuksille ja annetaan numero jokaiselle kolmiolle - tämän kolmion kehä. Tuleeko tästä ottelusta kartoitus? Minkä tyyppinen näyttö on? Mikä on numeron täydellinen prototyyppi paikassa R?
Ratkaisu. Jokaisella tason kolmiolla on yksilöllisesti määritelty kehä. Siksi jokainen kolmio sarjasta X vastaa yhtä numeroa kohteesta R , eli tämä kirjeenvaihto on kartoitus X R:lle . Tässä tapauksessa kahdella eri kolmiolla voi olla sama kehä. Toisin sanoen kartoitus ei ole yksittäinen. Lisäksi ei ole olemassa kolmiota, jonka ympärysmitta on yhtä suuri kuin negatiivinen luku, ts. kartoitus ei ole "to"-kartoitus. Antaa osoitteessa R. Sitten:
- klo > 0, täydellinen kuva on joukko kaikkia tason kolmioita, joiden ympärysmitta on yhtä suuri kuin luku klo , tämä sarja on loputon.
- klo ≤ 0, koko kuva on tyhjä joukko.
Esimerkki 3. X = (0; 1; 2; 3; 4) N, Y = Z. Joukon X yhdistäminen f joukkoon Y annetaan seuraavasti:
Määritetään tämän kartoituksen tyyppi ja rakennetaan sen kaavio.
Ratkaisu. Jokaiselle x X Etsitään kuva y Y. Kirjoitamme vastaavat tulokset taulukkoon:
|
y=f(x) |
–2 |
Useita näyttöarvoja f on joukko
A = (–2; 1; 4; 7; 10) Y ja B ≠ Y . Jokainen elementti y B X:ssä prototyyppiä on vain yksi. Siksi meillä on joukosta yksi-yhteen kartoitus X asettaa Y.
Arvoparit (x; y ) taulukosta muodostaa kaavion tästä kartoituksesta f: X→Y . Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tämä kaavio näyttää tältä:
Esimerkki 4. Annettu kaksi sanajoukkoa: X = (punainen; sininen; vihreä; keltainen) ja Y = (solmio; valo; huivi; lakana). Ovatko nämä sarjat vastaavia?
Ratkaisu. Nämä joukot ovat vastaavia, koska niille on mahdollista muodostaa yksi-yhteen-kuvaus “to”.
Esimerkiksi:
Esimerkki 5. Annetut joukot: A = (x | x = 2n, nN) ja
B = ( x | x = , n N ). Ovatko nämä sarjat vastaavia?
Ratkaisu. Nämä joukot ovat vastaavia, koska joukosta on mahdollista valita yksi-yhteen-kartoitus A asettaa B.
Esimerkiksi: f: A B
x = 2 n y = .
Harjoitukset
1. Nimijoukon välissä X = (Andrey; Boris; Mihail; Aleksei; Konstantin; Vasili; Valentina; Clara; Semjon; Maria; Sofia; Oleg; Trofim4 Juri; Jakov) ja sarja Y (venäläisten aakkosten kirjaimet) on muodostettu kirjeenvaihto, jossa jokainen nimi liittyy sen ensimmäiseen kirjaimeen. Näkyykö tämä vastaavuus X:stä Y:ksi ? Jos kyllä, minkä tyyppinen? Etsi kuva sarjasta X . Löydä täydellisiä kirjainten prototyyppejä A, B, K, L. Muodosta kaavio ilmoitetusta vastaavuudesta.
2. Janan AB jokainen piste M Sovitetaan sen projektio M tälle riville L . Tuleeko tästä ottelusta kartoitus? Kumpi? Kuvaile määritelmän aluetta, tämän kartoituksen arvoaluetta.
3. Aseta X koostuu kaikista tason ruuduista ja joukosta Y kaikista piireistä samalla tasolla. Yhdistetään jokainen neliö siihen kirjoitettuun ympyrään. Onko tämä kartoituskartoitus X Y:ksi?
4. Onko mahdollista asettaa näyttö seuraavasti: set Ja osista Y – kolmioista; liittyykö jokainen segmentti kolmioon, jonka keskiviiva on?
5. Onko totta, että noudattaminen f: Z Z
X y = –5 x + 2
onko olemassa kartoitus "to"?
6. Olkoon X – joukko reaalilukuja. Jokainen numero x X Sovitetaan sen neliö. Voidaanko tätä vastaavuutta kutsua palautuvaksi kartoitukseksi?
7. Osoita, että seuraavat joukot ovat laskettavissa:
a) parittomien luonnollisten lukujen joukko;
b) ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko;
c) luonnollisten lukujen neliöiden joukko;
d) luonnollisten lukujen joukko, jotka ovat 5:n kerrannaisia;
e) luonnollisten lukujen kuutioiden joukko.
8. Kaksi sarjaa annetaan: A = (Pariisi; Moskova; Varsova; Krakova; Lontoo; Saransk; Vladimir; Marseille) ja B = (Ranska; Venäjä; Englanti; Puola; Ruotsi; Itävalta). Asetetaan niiden välinen vastaavuus: "kaupunki x A sijaitsee maassa" Rakennetaan kaavioita tästä vastaavuudesta. Tuleeko tästä ottelusta kartoitus? Mikä tyyppi?
9. Ovatko joukot A vastaavia kartalla ja joukossa olevia asutuskuvia B kartalla näkyvän alueen asuttuja alueita?
Yksilöllinen tehtävä
- Valitse näyttö määritetyistä osumista. Ilmoita niiden tyyppi, rakenna kaavio.
2. Piirrä kuvaajat seuraavista suhteista suorakulmaiseen suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään Z . Selvitä jokaisesta suhteesta, onko se kartoitus Z:sta Z:ksi, kartoitetaan Z:ksi Z:ksi , yksi yhteen kartoitus, peittokuva:
1) x + y = 3; 7) klo< х + 2;
2) x – y ≤ 5; 8) y < x + 2;
3) x + y = 4, x > 0; 9) y = 4;
4) x = y, – 4 ≤ x ≤ 6; 10) xy = 24, –6 ≤ x ≤ 6.
5) = y, – 4 ≤ x ≤ 6;
6) x > y;
Itsekontrollitehtävät
Yhdistä seuraavat joukkoparit “=”-merkillä, jos ne ovat yhtä suuria, ja “~”-merkillä, jos ne ovat vastaavia:
1) A - kolmion sivujen joukko,
SISÄÄN - kolmion kulmien joukko;
2) A - monta kirjainta sanassa "korva",
B = (o; k; s; l);
3) A - monta rengasta kannossa,
SISÄÄN – monta vuotta elänyt puun ääressä;
4) monet maanosat ja monet osavaltiot
Näyttö - yksi matematiikan peruskäsitteistä. Kartoitus on mikä tahansa joukkojen välisen vastaavuuden sääntö tai laki. Olkoon ja mielivaltaisia ei-tyhjiä joukkoja. He sanovat, että joukon yhdistäminen joukkoon on annettu (merkintä: tai), jos jokaiselle joukon elementille on määritetty vastaavuus joukon yhdelle, yksilöllisesti määritellylle elementille (.
Elementtiä kutsutaan tapa elementti, kun se näytetään, ja elementtiä kutsutaan prototyyppi elementti tässä näytössä. Elementtijoukon kuva, kun se näytetään, on joukko kaikkia arvoalueeseen kuuluvia tyypin elementtejä. Kutsutaan kaikkien elementtien joukkoa (), joiden kuvat muodostavat arvoalueen prototyyppi joukko elementtejä (). Sarja on ns määritelmän alue näyttö.
Kartoitus on ns surjektiivinen m , kun jokaisella joukon elementillä (jossa on vähintään yksi käänteinen kuva joukosta (ts. , tai.
Kartoitus on ns injektiivinen, kun joukon jokainen elementti (on kuva vain joukon yhdestä elementistä (eli minkä tahansa joukon kahden eri elementin kuvat ovat erilaisia, eli siitä seuraa.
Kartoitus on ns bijektiivinen tai Yksi yhteen, kun se on sekä injektiivinen että surjektiivinen, ts. Sarjan jokainen elementti on kuva yhdestä ja vain yhdestä joukon elementistä.
Tasa-arvo kaksi kartoitusta ja tarkoittaa määritelmän mukaan, että niiden vastaavat alueet ovat samat (ja), ja.
Tehdä työtä kaksi kuvausta ja se voidaan määritellä kuvaukseksi, joka yhdistää joukon jokaisen elementin joukon elementtiin.
Kartoitusta joukosta joukkoon kutsutaan muuten funktioksi joukossa, jossa on arvoja. Jos joukot ovat yhteneväisiä, kutsutaan joukon bijektiivinen kuvaus itseensä muunnos joukoittain. Yksinkertaisin joukkomuunnos on identtinen- määritellään seuraavasti: . Kutsutaan myös identiteettikartoitus, joka vie jokaisen elementin itselleen yksittäinen muunnos. Jos muunnokset ja annetaan, niin ensin muunnoksen ja sitten muunnoksen peräkkäisestä suorituksesta saatu muunnos on ns. tehdä työtä muunnoksia Ja:.
Saman joukon muunnoksiin sovelletaan seuraavia lakeja:
Muutosten suorittamisen kommutatiivisuuslaki ei yleensä täyty, ts. .
Jos kahden joukon välillä voimme asettaa bijektiivinen mappaus (joka luodaan yksi-yhteen vastaavuus niiden elementtien välille), silloin tällaisia joukkoja kutsutaan vastaava tai yhtä voimakas. Äärilliset joukot ovat ekvivalentteja vain, jos niiden alkioiden lukumäärä on sama.
Äärettömiä joukkoja voidaan myös verrata keskenään.
Kahdella joukolla on sama kardinaliteetti tai niitä kutsutaan ekvivalenteiksi (notaatioiksi), jos niiden elementtien välille voidaan muodostaa yksi-yhteen vastaavuus, ts. jos on mahdollista määritellä jokin sääntö, jonka mukaan yhden joukon jokainen alkio liittyy yhteen ja vain yksi toisen joukon alkio.
Jos tällainen kartoitus on mahdotonta, joukoilla on erilaiset kardinaalit; käy ilmi, että jälkimmäisessä tapauksessa, vaikka kuinka yrittäisimme saattaa molempien joukkojen alkioita vastaavuuteen, jää aina ylimääräisiä elementtejä jäljelle ja lisäksi aina samasta joukosta, johon on suurempi kardinaaliluvun arvo. on määritetty tai he sanovat, että tällä sarjalla on lisää voimaa. Ääretön joukko ja jokin sen osajoukko voivat olla ekvivalentteja. Luonnollisten lukujen joukkoa vastaavaa joukkoa kutsutaan laskettavaksi joukoksi. Jotta joukko olisi laskettavissa, on välttämätöntä ja riittävää, että jokainen joukon alkio liitetään sen järjestysnumeroon. Mistä tahansa äärettömästä joukosta on mahdollista valita laskettava osajoukko. Jokainen laskettavan joukon osajoukko on laskettava tai äärellinen. Laskettava joukko on primitiivisimmin järjestetty ääretön joukko. Kahden laskettavan joukon karteesinen tulo on laskettava. Äärillisen tai äärettömän määrän äärellisten tai laskettavien joukkojen liitto on äärellinen tai laskettava joukko.
