Neliöyhtälöitä tutkitaan luokalla 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on välttämätöntä.
Neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, jossa kertoimet a , b ja c ovat mielivaltaisia lukuja ja a ≠ 0.
Ennen kuin tutkimme tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:
- ei ole juuria;
- Niillä on täsmälleen yksi juuri;
- Niillä on kaksi eri juurta.
Tämä on tärkeä ero toisen asteen ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja ainutlaatuinen. Kuinka määrittää kuinka monta juurta yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.
Syrjivä
Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin diskriminantti on yksinkertaisesti luku D = b 2 − 4ac .
Tämä kaava on tiedettävä ulkoa. Mistä se tulee, ei ole nyt merkitystä. Toinen asia on tärkeä: erottimen merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on. Nimittäin:
- Jos D< 0, корней нет;
- Jos D = 0, on juuri yksi juuri;
- Jos D > 0, on kaksi juuria.
Huomaa: diskriminantti osoittaa juurien määrän, ei ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet ajattelevat. Katso esimerkkejä ja ymmärrät kaiken itse:
Tehtävä. Kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöillä on:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Kirjoitamme ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydämme diskriminantin:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Diskriminantti on siis positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juurta. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminantti on negatiivinen, ei ole juuria. Jäljelle jää viimeinen yhtälö:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla - juuri on yksi.
Huomaa, että kertoimet on kirjoitettu jokaiselle yhtälölle. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia etkä tee typeriä virheitä. Valitse itse: nopeus vai laatu.
Muuten, jos "täytät kätesi", jonkin ajan kuluttua sinun ei enää tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Suoritat tällaiset toiminnot päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tätä jossain 50-70 ratkaistun yhtälön jälkeen - yleensä ei niin paljon.
Toisen yhtälön juuret
Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos diskriminantti D > 0, juuret löytyvät kaavoilla:
Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille
Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne:
Toinen yhtälö:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juuria. Etsitään ne
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(tasaa)\]
Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:
Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tunnet kaavat ja osaat laskea, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä tapahtuu, kun negatiiviset kertoimet korvataan kaavaan. Tässä taas yllä kuvattu tekniikka auttaa: katso kaavaa kirjaimellisesti, maalaa jokainen vaihe - ja päästä eroon virheistä hyvin pian.
Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt
Tapahtuu, että toisen asteen yhtälö on jonkin verran erilainen kuin määritelmässä. Esimerkiksi:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt ovat jopa helpompia ratkaista kuin tavalliset: niiden ei tarvitse edes laskea diskriminanttia. Esittelemme siis uuden konseptin:
Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. muuttujan x eli vapaan alkion kerroin on nolla.
Tietenkin erittäin vaikea tapaus on mahdollinen, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b \u003d c \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö on muotoa ax 2 \u003d 0. Selvästikin tällaisella yhtälöllä on yksi ainoa juuri: x \u003d 0.
Mietitään muita tapauksia. Olkoon b \u003d 0, niin saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön muodossa ax 2 + c \u003d 0. Muunnetaan sitä hieman:
Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeisellä yhtälöllä on järkeä vain, kun (−c / a ) ≥ 0. Johtopäätös:
- Jos epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 + c = 0 tyydyttää epäyhtälön (−c / a ) ≥ 0, on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
- Jos (-c / a )< 0, корней нет.
Kuten näette, diskriminanttia ei vaadittu - epätäydellisissä toisen asteen yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia laskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epäyhtälöä (−c / a ) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan x 2:n arvo ja katsotaan mitä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos on positiivinen luku, on kaksi juuria. Jos negatiivinen, juuria ei ole ollenkaan.
Käsitellään nyt yhtälöitä, jotka ovat muotoa ax 2 + bx = 0, joissa vapaa alkio on yhtä suuri kuin nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: aina on kaksi juurta. Riittää, että polynomi kerrotaan kertoimella:
Yhteisen tekijän poistaminen suluistaTulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Täältä juuret tulevat. Lopuksi analysoimme useita näistä yhtälöistä:
Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ei ole juuria, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Tavoitteet:
- Systematisoida ja yleistää tietoja ja taitoja aiheesta: Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisut.
- Syventää tietoa suorittamalla tehtäviä, joista osa ei ole tuttu tyypiltään tai ratkaisutavaltaan.
- Kiinnostuksen muodostuminen matematiikkaa kohtaan tutkimalla uusia matematiikan lukuja, graafisen kulttuurin koulutusta yhtälökaavioiden rakentamisen kautta.
Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.
Laitteet: kaavioprojektori.
Näkyvyys: taulukko "Vietan lause".
Tuntien aikana
1. Henkinen tili
a) Mikä on polynomin p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 jaon jäännös binomialilla x-a?
b) Kuinka monta juurta kuutioyhtälöllä voi olla?
c) Millä avulla ratkaisemme kolmannen ja neljännen asteen yhtälön?
d) Jos b on parillinen luku toisen asteen yhtälössä, niin mikä on D ja x 1; x 2
2. Itsenäinen työskentely (ryhmissä)
Tee yhtälö, jos juuret tunnetaan (tehtävien vastaukset on koodattu) Käytä "Vieta-lausetta"
1 ryhmä
Juuret: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6
Kirjoita yhtälö:
B=1-2-3+6=2; b = -2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c = -23
d = 6 - 12 + 36 - 18 = 12; d = -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(tämä yhtälö ratkaistaan sitten pöydän ryhmällä 2)
Ratkaisu . Etsimme kokonaislukujuuria luvun 36 jakajien joukosta.
p = ±1; ±2; ±3; ±4; ±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Luku 1 täyttää yhtälön, joten =1 on yhtälön juuri. Hornerin suunnitelma
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0, x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 6
Vastaus: 1; -2; -3; 6 juurien summa 2 (P)
2 ryhmää
Juuret: x 1 \u003d -1; x2 = x3 =2; x 4 \u003d 5
Kirjoita yhtälö:
B=-1+2+2+5-8; b = -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c = 15
D=-4-10+20-10=-4; d = 4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (ryhmä 3 ratkaisee tämän yhtälön taululla)
p = ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5
Vastaus: -1;2;2;5 juurten summa 8(P)
3 ryhmää
Juuret: x 1 \u003d -1; x2 = 1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
Kirjoita yhtälö:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7, s=-7
D=2+6-3-6=-1; d = 1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(tämä yhtälö ratkaistaan myöhemmin taululla ryhmällä 4)
Ratkaisu. Etsimme kokonaislukujuuria luvun 6 jakajista.
p = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p2(x) = x2-x-6 = 0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
Vastaus: -1; 1; -2; 3 Juurien summa 1 (O)
4 ryhmää
Juuret: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3
Kirjoita yhtälö:
B = -2-2-3+3 = -4; b = 4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c = -5
D = -12 + 12 + 18 + 18 = 36; d = -36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36; e=-36
x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(tämä yhtälö ratkaistaan sitten taulukon ryhmällä 5)
Ratkaisu. Etsimme kokonaislukujuuria luvun -36 jakajien joukosta
p = ±1; ±2; ±3…
p(1) = 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p2(x) = x2-9 = 0; x=±3
Vastaus: -2; -2; -3; 3 Juurien summa-4 (F)
5 ryhmää
Juuret: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4
Kirjoita yhtälö
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(tämän yhtälön ratkaisee sitten laudan 6. ryhmä)
Ratkaisu . Etsimme kokonaislukujuuria luvun 24 jakajista.
p = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
Vastaus: -1; -2; -3; -4 summa-10 (I)
6 ryhmää
Juuret: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8
Kirjoita yhtälö
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d = 43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (tämän yhtälön ratkaisee sitten 1 ryhmä laudalla)
Ratkaisu . Etsimme kokonaislukujuuria luvun -24 jakajien joukosta.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3, x 4 \u003d 8
Vastaus: 1; 1; -3; 8 summa 7 (L)
3. Yhtälöiden ratkaisu parametrin kanssa
1. Ratkaise yhtälö x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; jos yksi juurista on (-1)
Vastaa nousevassa järjestyksessä
R = P3 (-1) = -1 + 3-m-15 = 0
x 3 + 3x 2 - 13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Ehdolla x 1 = - 1; D = 1 + 15 = 16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 \u003d -1-4 \u003d -5;
x 3 \u003d -1 + 4 = 3;
Vastaus: - 1; -5; 3
Nousevassa järjestyksessä: -5;-1;3. (b n s)
2. Etsi polynomin x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 kaikki juuret, jos sen jaon jäännökset binomiaaleihin x-1 ja x + 2 ovat yhtä suuret.
Ratkaisu: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2 -6) = 0
Kahden tekijän tulo on nolla silloin ja vain, jos ainakin yksi näistä tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla, kun taas toinen on järkevä.
2 ryhmää. Juuret: -3; -2; yksi; 2;3 ryhmää. Juuret: -1; 2; 6; kymmenen;
4 ryhmää. Juuret: -3; 2; 2; 5;
5 ryhmää. Juuret: -5; -2; 2; neljä;
6 ryhmää. Juuret: -8; -2; 6; 7.
Muista tutkinnon perusominaisuudet. Olkoot a > 0, b > 0, n, m mitä tahansa reaalilukuja. Sitten
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, jos a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m , jos 0
Käytännössä käytetään usein funktioita muotoa y = a x, jossa a on annettu positiivinen luku, x on muuttuja. Tällaisia toimintoja kutsutaan demonstratiivista. Tämä nimi selittyy sillä, että eksponenttifunktion argumentti on eksponentti ja asteen kanta on annettu luku.
Määritelmä. Eksponentiaalinen funktio on muotoa y = a x oleva funktio, jossa a on tietty luku, a > 0, \(a \neq 1\)
Eksponentiaalisella funktiolla on seuraavat ominaisuudet
1) Eksponentiaalisen funktion alue on kaikkien reaalilukujen joukko.
Tämä ominaisuus johtuu siitä, että aste a x, jossa a > 0, on määritelty kaikille reaaliluvuille x.
2) Eksponentiaalisen funktion arvojen joukko on kaikkien positiivisten lukujen joukko.
Tämän vahvistamiseksi meidän on osoitettava, että yhtälöllä a x = b, jossa a > 0, \(a \neq 1\), ei ole juuria, jos \(b \leq 0\), ja sillä on juuri minkä tahansa b > 0 .
3) Eksponentiaalinen funktio y \u003d a x kasvaa kaikkien reaalilukujen joukossa, jos a > 1, ja pienenee, jos 0 Tämä seuraa asteiden (8) ja (9) ominaisuuksista.
Rakennamme eksponentiaalisten funktioiden y \u003d a x kuvaajia arvolle a > 0 ja arvolle 0 Tarkastettujen ominaisuuksien avulla huomaamme, että funktion y \u003d a x kuvaaja arvolle a > 0 kulkee pisteen (0; 1) läpi ja sijaitsee Ox-akselin yläpuolella.
Jos x on 0.
Jos x > 0 ja |x| kasvaa, kaavio nousee nopeasti.
Funktion y \u003d a x 0:ssa kuvaaja Jos x\u003e 0 ja kasvaa, kaavio lähestyy nopeasti Ox-akselia (ylittämättä sitä). Siten x-akseli on kaavion vaakasuora asymptootti.
Jos x 
eksponentiaaliyhtälöt
Tarkastellaan useita esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä, ts. yhtälöt, joissa tuntematon sisältyy eksponenttiin. Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen tiivistyy usein yhtälön a x = a b ratkaisemiseen, jossa a > 0, \(a\neq 1\), x on tuntematon. Tämä yhtälö on ratkaistu potenssiominaisuudella: potenssit, joilla on sama kanta a > 0, \(a \neq 1\) ovat yhtä suuria silloin ja vain, jos niiden eksponentit ovat yhtä suuret.
Ratkaise yhtälö 2 3x 3 x = 576
Koska 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa 8 x 3 x \u003d 24 2 tai muodossa 24 x \u003d, alkaen 24 2 missä x \u003d 2.
Vastaus x = 2
Ratkaise yhtälö 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Sulkemalla yhteisen kertoimen 3 x - 2 vasemmalla puolella, saamme 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25, 3 x - 2 25 \u003d 25,
josta 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Vastaus x = 2
Ratkaise yhtälö 3 x = 7 x
Koska \(7^x \neq 0 \) , yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \, mistä \(\left(\frac(3)( 7) ) \oikea) ^x = 1 \), x = 0
Vastaus x = 0
Ratkaise yhtälö 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Korvaamalla 3 x \u003d t, tämä yhtälö pelkistetään toisen asteen yhtälöksi t 2 - 4t - 45 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön löydämme sen juuret: t 1 \u003d 9, t 2 \u003d -5, josta 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5 .
Yhtälön 3 x = 9 juuri on x = 2 ja yhtälöllä 3 x = -5 ei ole juuria, koska eksponentiaalinen funktio ei voi ottaa negatiivisia arvoja.
Vastaus x = 2
Ratkaise yhtälö 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Kirjoitamme yhtälön muotoon
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, mistä
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Vastaus x = 2
Ratkaise yhtälö 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Koska 3 > 0, \(3 \neq 1\), alkuperäinen yhtälö vastaa yhtälöä |x-1| = |x+3|
Neliöimällä tämän yhtälön saamme sen seurauksen (x - 1) 2 = (x + 3) 2, mistä
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Tarkistus osoittaa, että x = -1 on alkuperäisen yhtälön juuri.
Vastaus x = -1
Tarjoamme sinulle kätevän ilmaisen online-laskin toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen. Ymmärrettävien esimerkkien avulla saat nopeasti selvää, kuinka ne ratkaistaan.
Tuottaa ratkaise toisen asteen yhtälö verkossa, tuo yhtälö ensin yleiseen muotoon:
ax2 + bx + c = 0
Täytä lomakkeen kentät vastaavasti:
Kuinka ratkaista toisen asteen yhtälö
| Kuinka ratkaista toisen asteen yhtälö: | Juurityypit: |
|
1.
Tuo toisen asteen yhtälö yleiseen muotoon: Yleisnäkymä Ax 2:sta +Bx+C=0 Esimerkki: 3x - 2x 2 +1=-1 Pienennä arvoon -2x 2 +3x+2=0 2.
Löydämme diskriminantin D. 3.
Löydämme yhtälön juuret. |
1.
Todelliset juuret. Ja. x1 ei ole sama kuin x2 Tilanne syntyy, kun D>0 ja A ei ole yhtä suuri kuin 0. 2.
Todelliset juuret ovat samat. x1 on x2 3.
Kaksi monimutkaista juurta. x1=d+ei, x2=d-ei, missä i=-(1) 1/2 5.
Yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja. 6.
Yhtälöllä ei ole ratkaisuja. |
Tässä on joitain lisää algoritmin vahvistamiseksi kuvaavia esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisuista.
Esimerkki 1. Tavallisen toisen asteen yhtälön ratkaisu, jolla on eri reaalijuuret.
x 2 + 3 x -10 = 0
Tässä yhtälössä
A = 1, B = 3, C = -10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
neliöjuuri merkitään numerolla 1/2!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
Korvaamme tarkistuksen:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
Esimerkki 2. Neliöyhtälön ratkaiseminen samoilla reaalijuurilla.
x 2 - 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X = -k/A = 4
Korvaava
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d X 2 - 8x + 16
Esimerkki 3. Monimutkaiset juuret sisältävän asteen yhtälön ratkaisu.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
Diskriminantti on negatiivinen - juuret ovat monimutkaisia.
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
, jossa I on -1:n neliöjuuri
Tässä on itse asiassa kaikki mahdolliset toisen asteen yhtälöiden ratkaisutapaukset.
Toivomme, että meidän online-laskin on sinulle erittäin hyödyllistä.
Jos materiaalista oli apua, voit
