Tämä artikkeli paljastaa kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön johdosta suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, joka sijaitsee tasossa. Johdetaan yhtälö suorasta suorasta, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Näytämme ja ratkaisemme visuaalisesti useita esimerkkejä käsiteltyyn materiaaliin liittyen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen kuin saadaan kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö, on tarpeen kiinnittää huomiota joihinkin tosiasioihin. On olemassa aksiooma, joka sanoo, että kahden ei-samana pisteen kautta tasossa on mahdollista piirtää suora ja vain yksi. Toisin sanoen tason kaksi annettua pistettä määritetään näiden pisteiden läpi kulkevalla suoralla.

Jos taso on annettu suorakaiteen muotoisella koordinaattijärjestelmällä Oxy, niin mikä tahansa siinä kuvattu suora vastaa tason suoran yhtälöä. Myös suoran suuntavektoriin on yhteys, jotka riittävät kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön muodostamiseen.

Harkitse esimerkkiä samanlaisen ongelman ratkaisemisesta. On tarpeen muotoilla yhtälö suoralle alle, joka kulkee kahden suorakulmaisessa koordinaatistossa olevien yhteensopimattomien pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) kautta.

Tason suoran kanonisessa yhtälössä, jonka muoto on x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y määritetään suoralla, joka leikkaa sen pisteessä, jonka koordinaatit on M 1 (x 1, y 1) ohjausvektorilla a → = (a x , a y) .

On tarpeen muodostaa kanoninen yhtälö suoralle a, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) .

Suoralla a on suuntavektori M 1 M 2 → ja koordinaatit (x 2 - x 1, y 2 - y 1), koska se leikkaa pisteet M 1 ja M 2. Olemme saaneet tarvittavat tiedot kanonisen yhtälön muuntamiseksi suuntavektorin M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinaatteilla ja niillä olevien pisteiden M 1 koordinaatteilla. (x 1, y 1) ja M2 (x 2, y 2). Saadaan yhtälö muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Harkitse alla olevaa kuvaa.

Laskennan jälkeen kirjoitetaan suoran parametriset yhtälöt tasoon, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2) . Saamme yhtälön muodossa x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ tai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Tarkastellaanpa muutamaa esimerkkiä tarkemmin.

Esimerkki 1

Kirjoita yhtälö suoralle viivalle, joka kulkee 2 annetun pisteen kautta koordinaattein M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Ratkaisu

Kanoninen yhtälö suoralle, joka leikkaa kaksi pistettä, joiden koordinaatit ovat x 1, y 1 ja x 2, y 2, on muotoa x-x 1 x 2-x 1 = y-y 1 y 2-y 1. Ongelman ehdon mukaan meillä on x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. On tarpeen korvata numeeriset arvot yhtälössä x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Tästä saadaan, että kanoninen yhtälö on muotoa x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Vastaus: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jos on tarpeen ratkaista ongelma toisen tyyppisellä yhtälöllä, voit aluksi siirtyä kanoniseen yhtälöön, koska siitä on helpompi päästä mihin tahansa muuhun.

Esimerkki 2

Laadi yleinen yhtälö suorasta, joka kulkee O x y -koordinaatistossa olevien pisteiden kautta, joiden koordinaatit ovat M 1 (1, 1) ja M 2 (4, 2).

Ratkaisu

Ensin sinun on kirjoitettava muistiin tietyn suoran kanoninen yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen kautta. Saadaan yhtälö muotoa x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Tuomme kanonisen yhtälön haluttuun muotoon, niin saamme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Vastaus: x - 3 y + 2 = 0 .

Esimerkkejä tällaisista tehtävistä pohdittiin koulun oppikirjoissa algebratunneilla. Koulutehtävät erosivat siinä, että kaltevuuskertoimella varustetun suoran yhtälö tunnettiin muotoa y \u003d k x + b. Jos sinun on löydettävä kulmakertoimen k ja luvun b arvo, jossa yhtälö y \u003d k x + b määrittää O x y -järjestelmässä suoran, joka kulkee pisteiden M 1 (x 1, y 1) ja M kautta 2 (x 2, y 2) , jossa x 1 ≠ x 2 . Kun x 1 = x 2 , niin kulmakerroin saa äärettömän arvon ja suora M 1 M 2 määritellään yleisellä epätäydellisellä yhtälöllä muotoa x - x 1 = 0 .

Koska pisteet M 1 ja M 2 ovat suoralla, niin niiden koordinaatit täyttävät yhtälön y 1 = k x 1 + b ja y 2 = k x 2 + b. On tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b k:n ja b:n suhteen.

Tätä varten löydämme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Tällaisilla k:n ja b:n arvoilla tietyn kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on muodossa y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 tai y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Tällaisen valtavan määrän kaavojen muistaminen kerralla ei toimi. Tätä varten on tarpeen lisätä toistojen määrää ongelmien ratkaisemisessa.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle kulmakertoimelle, joka kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit ovat M 2 (2, 1) ja y = k x + b.

Ratkaisu

Ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavaa, jonka kaltevuus on muotoa y \u003d k x + b. Kertoimien k ja b on saatava sellainen arvo, että tämä yhtälö vastaa suoraa, joka kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit ovat M 1 (- 7 , - 5) ja M 2 (2 , 1) .

pisteitä M 1 ja M 2 jotka sijaitsevat suoralla, niin niiden koordinaattien tulee kääntää yhtälö y = k x + b oikea yhtälö. Tästä saadaan, että - 5 = k · (- 7) + b ja 1 = k · 2 + b. Yhdistetään yhtälö järjestelmään - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ja ratkaistaan.

Korvaamalla saamme sen

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nyt arvot k = 2 3 ja b = - 1 3 korvataan yhtälöllä y = k x + b . Saamme, että haluttu yhtälö, joka kulkee annettujen pisteiden läpi, on yhtälö, jonka muoto on y = 2 3 x - 1 3 .

Tämä ratkaisutapa määrää ennalta suuren ajan kulutuksen. On olemassa tapa, jolla tehtävä ratkaistaan ​​kirjaimellisesti kahdessa vaiheessa.

Kirjoitamme M 2 (2, 1) ja M 1 (- 7, - 5) kautta kulkevan suoran kanonisen yhtälön, jonka muoto on x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Siirrytään nyt kaltevuusyhtälöön. Saamme, että x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Vastaus: y = 2 3 x - 1 3 .

Jos kolmiulotteisessa avaruudessa on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y z, jossa on kaksi annettua ei-yhdenmukaista pistettä, joiden koordinaatit ovat M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), Niiden läpi kulkeva suora viiva M 1 M 2, on tarpeen saada tämän suoran yhtälö.

Meillä on kanoniset yhtälöt muotoa x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ja parametriset yhtälöt muotoa x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ pystyvät asettamaan suoran O x y z -koordinaatistossa, joka kulkee pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (x 1, y 1, z 1) suuntausvektorilla a → = (a x, a y, a z) .

Suora M 1 M 2 sillä on muotoa M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) oleva suuntavektori, jossa suora kulkee pisteen M 1 (x 1 , y 1, z) kautta 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), joten kanoninen yhtälö voi olla muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 tai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 puolestaan ​​parametrinen x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ tai x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tarkastellaan kuvaa, joka esittää 2 annettua pistettä avaruudessa ja suoran yhtälöä.

Esimerkki 4

Kirjoita kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään O x y z määritellyn suoran yhtälö, joka kulkee annettujen kahden pisteen läpi koordinaatilla M 1 (2, - 3, 0) ja M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Ratkaisu

Meidän on löydettävä kanoninen yhtälö. Koska puhumme kolmiulotteisesta avaruudesta, se tarkoittaa, että kun suora kulkee annettujen pisteiden läpi, haluttu kanoninen yhtälö on muotoa x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Ehdolla meillä on, että x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Tästä seuraa, että tarvittavat yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Vastaus: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämä artikkeli jatkaa aihetta tasaisen suoran yhtälöstä: harkitse tällaista yhtälöä suoran yleisenä yhtälönä. Määritellään lause ja todistetaan se; Selvitetään, mikä on epätäydellinen suoran yleinen yhtälö ja kuinka tehdä siirtymiä yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin. Vahvistamme koko teorian kuvin ja käytännön ongelmien ratkaisemisen avulla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Olkoon tasossa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä O x y.

Lause 1

Mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö, jonka muoto on A x + B y + C \u003d 0, jossa A, B, C ovat joitain reaalilukuja (A ja B eivät ole yhtä suuri kuin nolla samanaikaisesti), määrittää suoran suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa. Mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa puolestaan ​​määräytyy yhtälöllä, jonka muoto on A x + B y + C = 0 tietylle arvojoukolle A, B, C.

Todiste

Tämä lause koostuu kahdesta kohdasta, todistamme niistä jokaisen.

1. Osoitetaan, että yhtälö A x + B y + C = 0 määrittelee tasossa olevan suoran.

Olkoon jokin piste M 0 (x 0, y 0), jonka koordinaatit vastaavat yhtälöä A x + B y + C = 0 . Siten: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä yhtälöiden A x + B y + C \u003d 0 vasemmalta ja oikealta puolelta yhtälön A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 vasen ja oikea puoli, saadaan uusi yhtälö, joka näyttää A:lta (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Se vastaa A x + B y + C = 0 .

Tuloksena oleva yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 on välttämätön ja riittävä ehto vektorien n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x) kohtisuoralle. 0, y - y 0) . Siten pistejoukko M (x, y) määrittää suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa suoran, joka on kohtisuorassa vektorin n → = (A, B) suuntaan. Voimme olettaa, että näin ei ole, mutta silloin vektorit n → = (A, B) ja M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) eivät olisi kohtisuorassa, ja yhtälö A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ei olisi totta.

Siksi yhtälö A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 määrittää tietyn suoran suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa, ja siksi vastaava yhtälö A x + B y + C \u003d 0 määrittelee saman linjan. Näin olemme todistaneet lauseen ensimmäisen osan.

1. Osoitetaan, että mikä tahansa suora suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa voidaan antaa ensimmäisen asteen yhtälöllä A x + B y + C = 0 .

Asetetaan suora a suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään tasolle; piste M 0 (x 0 , y 0), jonka kautta tämä suora kulkee, sekä tämän suoran normaalivektori n → = (A , B) .

Olkoon olemassa myös jokin piste M (x , y) - suoran liukuluku. Tässä tapauksessa vektorit n → = (A , B) ja M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja niiden skalaaritulo on nolla:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Kirjoitetaan uudelleen yhtälö A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , määritellään C: C = - A x 0 - B y 0 ja saadaan lopuksi yhtälö A x + B y + C = 0 .

Joten olemme todistaneet lauseen toisen osan ja olemme todistaneet koko lauseen kokonaisuutena.

Määritelmä 1

Yhtälö, joka näyttää A x + B y + C = 0 - Tämä on suoran suoran yleinen yhtälö tasossa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässäO x y .

Todistetun lauseen perusteella voidaan päätellä, että kiinteässä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa olevalle tasolle annettu suora ja sen yleinen yhtälö liittyvät erottamattomasti toisiinsa. Toisin sanoen alkuperäinen viiva vastaa sen yleistä yhtälöä; suoran yleinen yhtälö vastaa annettua suoraa.

Lauseen todistuksesta seuraa myös, että kertoimet A ja B muuttujille x ja y ovat suoran normaalivektorin koordinaatit, joka saadaan suoran yleisestä yhtälöstä A x + B y + C = 0.

Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä suoran yleisestä yhtälöstä.

Olkoon yhtälö 2 x + 3 y - 2 = 0, joka vastaa suoraa suoraa annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Tämän suoran normaalivektori on vektori n → = (2, 3) . Piirrä piirustukseen annettu suora viiva.

Myös seuraavaa voidaan väittää: piirustuksessa näkemämme suora määräytyy yleisellä yhtälöllä 2 x + 3 y - 2 = 0, koska tietyn suoran kaikkien pisteiden koordinaatit vastaavat tätä yhtälöä.

Saatamme yhtälön λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 kertomalla yleisen suorayhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla luvulla λ. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yleisyhtälöä, joten se kuvaa samaa viivaa tasossa.

Määritelmä 2

Suoran suoran täydellinen yleinen yhtälö- tällainen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, jossa luvut A, B, C ovat nollia poikkeavia. Muuten yhtälö on epätäydellinen.

Analysoidaan kaikki epätäydellisen suoran yleisen yhtälön muunnelmat.

1. Kun A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, yleisestä yhtälöstä tulee B y + C \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yleinen yhtälö määrittelee suoran suoran suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y, joka on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa, koska minkä tahansa x:n todellisen arvon kohdalla muuttuja y saa arvon. - C B. Toisin sanoen suoran A x + B y + C \u003d 0 yleinen yhtälö, kun A \u003d 0, B ≠ 0, määrittelee niiden pisteiden (x, y) paikan, joiden koordinaatit ovat samat. - C B.
2. Jos A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, yleisestä yhtälöstä tulee y \u003d 0. Tällainen epätäydellinen yhtälö määrittelee x-akselin O x .
3. Kun A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, saadaan epätäydellinen yleinen yhtälö A x + C \u003d 0, joka määrittää y-akselin suuntaisen suoran.
4. Olkoon A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, silloin epätäydellinen yleinen yhtälö on muodossa x \u003d 0, ja tämä on koordinaattiviivan O y yhtälö.
5. Lopuksi, kun A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, epätäydellinen yleinen yhtälö saa muotoa A x + B y \u003d 0. Ja tämä yhtälö kuvaa suoraa, joka kulkee origon kautta. Todellakin, lukupari (0, 0) vastaa yhtälöä A x + B y = 0, koska A · 0 + B · 0 = 0 .

Havainnollistetaan graafisesti kaikki edellä mainitut epätäydellisen suoran yleisen yhtälön tyypit.

Esimerkki 1

Tiedetään, että annettu suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja kulkee pisteen 2 7 , - 11 kautta. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yleinen yhtälö.

Ratkaisu

Y-akselin suuntainen suora saadaan yhtälöllä, jonka muoto on A x + C \u003d 0, jossa A ≠ 0. Ehto määrittää myös sen pisteen koordinaatit, jonka kautta suora kulkee, ja tämän pisteen koordinaatit vastaavat epätäydellisen yleisen yhtälön A x + C = 0 ehtoja, ts. tasa-arvo on oikein:

A 2 7 + C = 0

Siitä on mahdollista määrittää C antamalla A:lle jokin nollasta poikkeava arvo, esimerkiksi A = 7 . Tässä tapauksessa saamme: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Tunnemme molemmat kertoimet A ja C, korvaamme ne yhtälöllä A x + C = 0 ja saamme vaaditun yhtälön suorasta: 7 x - 2 = 0

Vastaus: 7 x - 2 = 0

Esimerkki 2

Piirustus näyttää suoran viivan, on tarpeen kirjoittaa sen yhtälö.

Ratkaisu

Annetun piirustuksen avulla voimme helposti ottaa lähtötiedot ongelman ratkaisemiseksi. Näemme piirustuksessa, että annettu viiva on yhdensuuntainen O x -akselin kanssa ja kulkee pisteen (0 , 3) ​​kautta.

Abskissan suuntainen suora määritetään epätäydellisellä yleisyhtälöllä B y + С = 0. Etsi B:n ja C:n arvot. Pisteen (0, 3) koordinaatit, koska annettu suora kulkee sen läpi, täyttävät suoran yhtälön B y + С = 0, niin yhtälö on voimassa: В · 3 + С = 0. Asetetaan B:lle jokin muu arvo kuin nolla. Oletetaan, että B \u003d 1, tässä tapauksessa yhtälöstä B · 3 + C \u003d 0 löydämme C: C \u003d - 3. Käyttämällä B:n ja C:n tunnettuja arvoja saamme vaaditun suoran yhtälön: y - 3 = 0.

Vastaus: y-3 = 0.

Tietyn tason pisteen kautta kulkevan suoran yleinen yhtälö

Kulkekoon annettu suora pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi, jolloin sen koordinaatit vastaavat suoran yleistä yhtälöä, ts. yhtälö on tosi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Vähennä tämän yhtälön vasen ja oikea puoli suoran yleisen täydellisen yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta. Saamme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yleistä yhtälöä, kulkee pisteen M 0 (x 0, y 0) läpi ja sillä on normaalivektori n → \u003d (A, B) .

Saamamme tulos mahdollistaa suoran yleisen yhtälön kirjoittamisen suoran normaalivektorin tunnetuilla koordinaateilla ja tämän suoran tietyn pisteen koordinaatteilla.

Esimerkki 3

Annettu piste M 0 (- 3, 4), jonka kautta suora kulkee, ja tämän suoran normaalivektori n → = (1, -2) . On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Ratkaisu

Alkuehdot antavat meille mahdollisuuden saada tarvittavat tiedot yhtälön laatimiseksi: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sitten:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - ( - 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Suoran suoran yleinen yhtälö on muotoa A x + B y + C = 0 . Annettu normaalivektori antaa sinun saada kertoimien A ja B arvot, sitten:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Etsitään nyt C:n arvo käyttämällä tehtävän ehdon antamaa pistettä M 0 (- 3, 4), jonka läpi suora kulkee. Tämän pisteen koordinaatit vastaavat yhtälöä x - 2 · y + C = 0 , ts. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Siksi C = 11. Vaadittu suora yhtälö on muodossa: x - 2 · y + 11 = 0 .

Vastaus: x - 2 y + 11 = 0 .

Esimerkki 4

Annettu suora 2 3 x - y - 1 2 = 0 ja tällä suoralla oleva piste M 0. Vain tämän pisteen abskissa tunnetaan, ja se on yhtä suuri kuin -3. On tarpeen määrittää annetun pisteen ordinaatit.

Ratkaisu

Asetetaan pisteen M 0 koordinaattien nimeksi x 0 ja y 0 . Alkutiedot osoittavat, että x 0 \u003d - 3. Koska piste kuuluu annettuun suoraan, sen koordinaatit vastaavat tämän suoran yleistä yhtälöä. Sitten seuraava yhtäläisyys on totta:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Määrittele y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Vastaus: - 5 2

Siirtyminen suoran yleisestä yhtälöstä muun tyyppisiin suoran yhtälöihin ja päinvastoin

Kuten tiedämme, tasossa on useita saman suoran yhtälön tyyppejä. Yhtälön tyypin valinta riippuu ongelman olosuhteista; on mahdollista valita ratkaisulle sopivampi. Tässä on erittäin hyödyllistä taitoa muuntaa eräänlainen yhtälö toisen tyyppiseksi yhtälöksi.

Tarkastellaan ensin siirtymää yleisestä yhtälöstä muodossa A x + B y + C = 0 kanoniseen yhtälöön x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jos A ≠ 0, niin siirretään termi B y yleisen yhtälön oikealle puolelle. Vasemmalla puolella otamme A pois suluista. Tuloksena saamme: A x + C A = - B y .

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa suhteessa: x + C A - B = y A .

Jos B ≠ 0, jätämme vain termin A x yleisen yhtälön vasemmalle puolelle, siirrämme muut oikealle puolelle, saamme: A x \u003d - B y - C. Otamme pois - B suluista, sitten: A x \u003d - B y + C B.

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen suhteeksi: x - B = y + C B A .

Saatuja kaavoja ei tietenkään tarvitse muistaa. Riittää, kun tietää toimintojen algoritmin siirtyessä yleisestä yhtälöstä kanoniseen yhtälöön.

Esimerkki 5

Suoran 3 y - 4 = 0 yleinen yhtälö on annettu. Se on muutettava kanoniseksi yhtälöksi.

Ratkaisu

Kirjoitamme alkuperäisen yhtälön muodossa 3 y - 4 = 0 . Seuraavaksi toimitaan algoritmin mukaan: termi 0 x jää vasemmalle puolelle; ja oikealla puolella otamme ulos - 3 suluista; saamme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Kirjoitetaan saatu yhtälö suhteessa: x - 3 = y - 4 3 0 . Siten olemme saaneet kanonisen muodon yhtälön.

Vastaus: x - 3 = y - 4 3 0.

Suoran suoran yleisen yhtälön muuttamiseksi parametrisiksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen muotoon ja sitten siirtyminen suoran kanonisesta yhtälöstä parametrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä 2 x - 5 y - 1 = 0 . Kirjoita muistiin tämän suoran parametriyhtälöt.

Ratkaisu

Tehdään siirtymä yleisestä yhtälöstä kanoniseen:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 v + 1 ⇔ 2 x = 5 v + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Otetaan nyt tuloksena olevan kanonisen yhtälön molemmat osat yhtä suureksi kuin λ, sitten:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Vastaus:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Yleinen yhtälö voidaan muuntaa suorayhtälöksi, jonka kaltevuus y = k x + b, mutta vain kun B ≠ 0. Vasemman puolen siirtymää varten jätämme termin B y , loput siirretään oikealle. Saamme: B y = - A x - C . Jaetaan tuloksena olevan yhtälön molemmat osat B:llä, joka on eri kuin nolla: y = - A B x - C B .

Esimerkki 7

Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu: 2 x + 7 y = 0 . Sinun on muutettava tämä yhtälö kaltevuusyhtälöksi.

Ratkaisu

Suoritetaan tarvittavat toimenpiteet algoritmin mukaan:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Vastaus: y = -2 7 x .

Suoran suoran yleisestä yhtälöstä riittää, että saadaan yksinkertaisesti yhtälö segmenteissä, jotka ovat muotoa x a + y b \u003d 1. Tällaisen siirtymisen suorittamiseksi siirrämme luvun C yhtälön oikealle puolelle, jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat osat -С:lla ja lopuksi siirrämme muuttujien x ja y kertoimet nimittäjiin:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Esimerkki 8

On tarpeen muuntaa suoran x - 7 y + 1 2 = 0 yleinen yhtälö segmenttien suoran yhtälöksi.

Ratkaisu

Siirretään 1 2 oikealle: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Jaa yhtälön molemmilla puolilla -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Vastaus: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Yleensä käänteinen siirtyminen on myös helppoa: muun tyyppisistä yhtälöistä yleiseen.

Segmenttien suoran yhtälö ja kaltevuusyhtälö voidaan helposti muuntaa yleiseksi yksinkertaisesti keräämällä kaikki termit yhtälön vasemmalle puolelle:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninen yhtälö muunnetaan yleiseksi seuraavan kaavion mukaisesti:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrista siirtymiseksi suoritetaan ensin siirtyminen kanoniseen ja sitten yleiseen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Esimerkki 9

Suoran x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametriyhtälöt on annettu. On tarpeen kirjoittaa muistiin tämän suoran yleinen yhtälö.

Ratkaisu

Tehdään siirtymä parametrisistä yhtälöistä kanoniseen:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Siirrytään kanonisesta yleiseen:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Vastaus: y - 4 = 0

Esimerkki 10

On annettu suoran yhtälö janoissa x 3 + y 1 2 = 1. On tarpeen suorittaa siirtyminen yhtälön yleiseen muotoon.

Ratkaisu:

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vaadittuun muotoon:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Vastaus: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Suoran suoran yleisen yhtälön laatiminen

Yllä sanoimme, että yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa tunnetuilla normaalivektorin koordinaateilla ja sen pisteen koordinaateilla, jonka läpi suora kulkee. Tällainen suora määritellään yhtälöllä A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Samassa paikassa analysoimme vastaavaa esimerkkiä.

Katsotaanpa nyt monimutkaisempia esimerkkejä, joissa ensin on tarpeen määrittää normaalivektorin koordinaatit.

Esimerkki 11

Annettu suoran kanssa yhdensuuntainen suora 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Tunnetaan myös piste M 0 (4 , 1), jonka kautta annettu suora kulkee. On tarpeen kirjoittaa muistiin tietyn suoran yhtälö.

Ratkaisu

Alkuehdot kertovat, että suorat ovat yhdensuuntaisia, jolloin sen suoran normaalivektoriksi, jonka yhtälö pitää kirjoittaa, otetaan suoran n → = (2, - 3) suuntausvektori: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Nyt tiedämme kaikki tarvittavat tiedot suoran yleisen yhtälön muodostamiseksi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Vastaus: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Esimerkki 12

Annettu suora kulkee origon kautta kohtisuoraan suoraa x - 2 3 = y + 4 5 vastaan. On tarpeen kirjoittaa tietyn suoran yleinen yhtälö.

Ratkaisu

Annetun suoran normaalivektori on suoran x - 2 3 = y + 4 5 suuntausvektori .

Sitten n → = (3 , 5) . Suora kulkee origon kautta, ts. pisteen O kautta (0, 0) . Muodostetaan tietyn suoran yleinen yhtälö:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Vastaus: 3 x + 5 y = 0 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja FROM Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa tiedosta

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Suoran ominaisuudet euklidisessa geometriassa.

On äärettömän monta viivaa, jotka voidaan vetää minkä tahansa pisteen läpi.

Kahden eri pisteen kautta on vain yksi suora viiva.

Kaksi ei-yhtenäistä suoraa tasossa joko leikkaavat yhdessä pisteessä tai ovat

rinnakkainen (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa avaruudessa on kolme vaihtoehtoa kahden viivan suhteelliselle sijainnille:

• linjat leikkaavat;

• suorat viivat ovat yhdensuuntaisia;

• suorat leikkaavat.

Suoraan linja- ensimmäisen kertaluvun algebrallinen käyrä: suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora

on annettu tasossa ensimmäisen asteen yhtälöllä (lineaarinen yhtälö).

Suoran suoran yleinen yhtälö.

Määritelmä. Mikä tahansa tason suora voidaan antaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + Wu + C = 0,

ja jatkuvaa A, B ei ole sama kuin nolla samaan aikaan. Tätä ensimmäisen kertaluvun yhtälöä kutsutaan yleistä

suora yhtälö. Vakioiden arvoista riippuen A, B ja FROM Seuraavat erikoistapaukset ovat mahdollisia:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- viiva kulkee origon kautta

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva vai niin

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- akselin suuntainen suora viiva OU

. B = C = 0, A ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa OU

. A = C = 0, B ≠ 0- viiva osuu yhteen akselin kanssa vai niin

Suoran yhtälö voidaan esittää eri muodoissa riippuen mistä tahansa tiedosta

alkuolosuhteet.

Pisteen ja normaalivektorin suoran yhtälö.

Määritelmä. Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä vektori komponenteilla (A, B)

kohtisuorassa yhtälön antamaa suoraa vastaan

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A(1, 2) kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Ratkaisu. Muodostetaan kohdissa A \u003d 3 ja B \u003d -1 suoran yhtälö: 3x - y + C \u003d 0. Kertoimen C löytämiseksi

korvaamme tuloksena olevaan lausekkeeseen annetun pisteen A koordinaatit. Saamme: 3 - 2 + C = 0, joten

C = -1. Yhteensä: haluttu yhtälö: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Annetaan kaksi pistettä avaruudessa M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten suora yhtälö,

kulkee näiden pisteiden läpi:

Jos jokin nimittäjistä on nolla, vastaava osoittaja on asetettava nollaksi. Käytössä

tasossa, yllä kirjoitettua suoran yhtälöä on yksinkertaistettu:

jos x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, jos x 1 = x 2 .

Murto-osa = k nimeltään kaltevuustekijä suoraan.

Esimerkki. Etsi pisteiden A(1, 2) ja B(3, 4) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu. Yllä olevaa kaavaa soveltamalla saamme:

Pisteen ja kaltevuuden suoran yhtälö.

Jos suoran suoran yleinen yhtälö Ah + Wu + C = 0 tuo muotoon:

ja nimetä , niin tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan

yhtälö suorasta kulmasta k.

Pisteessä olevan suoran ja suuntausvektorin yhtälö.

Analogisesti pisteen kanssa, joka ottaa huomioon normaalivektorin läpi kulkevan suoran yhtälön, voit syöttää tehtävän

pisteen läpi kulkeva suora ja suoran suuntavektori.

Määritelmä. Jokainen nollasta poikkeava vektori (α 1 , α 2), jonka komponentit täyttävät ehdon

Aα 1 + Bα 2 = 0 nimeltään suoran suuntavektori.

Ah + Wu + C = 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suoralle, jolla on suuntavektori (1, -1) ja joka kulkee pisteen A(1, 2) kautta.

Ratkaisu. Etsimme halutun suoran yhtälön muodossa: Ax + By + C = 0. Määritelmän mukaan

kertoimien on täytettävä seuraavat ehdot:

1 * A + (-1) * B = 0, so. A = B.

Sitten suoran yhtälöllä on muoto: Ax + Ay + C = 0, tai x + y + C / A = 0.

klo x = 1, y = 2 saamme C/A = -3, eli haluttu yhtälö:

x + y - 3 = 0

Segmenttien suoran yhtälö.

Jos suoran yleisessä yhtälössä Ah + Wu + C = 0 C≠0, niin jakamalla -C:llä saadaan:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on, että kerroin a on leikkauspisteen koordinaatti

suora akselilla Vai niin, a b- suoran ja akselin leikkauspisteen koordinaatti OU.

Esimerkki. Suoran suoran yleinen yhtälö on annettu x - y + 1 = 0. Etsi tämän suoran yhtälö segmenteissä.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Suoran suoran normaali yhtälö.

Jos yhtälön molemmat puolet Ah + Wu + C = 0 jakaa numerolla , jota kutsutaan

normalisoiva tekijä, sitten saamme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -suoran suoran normaaliyhtälö.

Normalisointitekijän etumerkki ± on valittava siten, että μ * C< 0.

R- origosta viivaan pudonneen kohtisuoran pituus,

a φ - kulma, jonka tämä kohtisuora muodostaa akselin positiivisen suunnan kanssa Vai niin.

Esimerkki. Annettu suoran suoran yleinen yhtälö 12x - 5v - 65 = 0. Tarvitaan erityyppisten yhtälöiden kirjoittamiseen

tämä suora viiva.

Tämän suoran yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran yhtälö kaltevuuden kanssa: (jakaa 5:llä)

Suoran linjan yhtälö:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

On huomattava, että jokaista suoraa ei voida esittää yhtälöllä segmenteissä, esimerkiksi suorilla,

akselien suuntaisesti tai origon kautta.

Tason viivojen välinen kulma.

Määritelmä. Jos annetaan kaksi riviä y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sitten näiden viivojen välinen terävä kulma

määritellään nimellä

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​jos k 1 = k 2. Kaksi viivaa ovat kohtisuorassa

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + Wu + C = 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat rinnakkaisia, kun kertoimet ovat verrannollisia

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jos myös С 1 \u003d λС, niin viivat ovat samat. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit

löytyy ratkaisuna näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan.

Määritelmä. Pisteen kautta kulkeva suora M 1 (x 1, y 1) ja kohtisuorassa linjaan nähden y = kx + b

esitetään yhtälöllä:

Etäisyys pisteestä viivaan.

Lause. Jos piste annetaan M(x 0, y 0), sitten etäisyys linjaan Ah + Wu + C = 0 määritelty:

Todiste. Anna pointin M 1 (x 1, y 1)- kohtisuoran kanta on pudonnut pisteestä M tietylle

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M ja M 1:

(1)

Koordinaatit x 1 ja 1 löytyy ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on tietyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa kulkevan suoran yhtälö

annettu rivi. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Avaruudessa olevan suoran kanoniset yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka määrittelevät suoran, joka kulkee tietyn pisteen kautta kollineaarisesti suuntavektoriin nähden.

Olkoon piste ja suuntavektori annettu. Satunnainen piste on suoralla l vain jos vektorit ja ovat kollineaarisia, eli ne täyttävät ehdon:

.

Yllä olevat yhtälöt ovat suoran kanonisia yhtälöitä.

Numerot m , n ja s ovat suuntavektorin projektioita koordinaattiakseleille. Koska vektori ei ole nolla, niin kaikki luvut m , n ja s ei voi olla nolla samanaikaisesti. Mutta yksi tai kaksi niistä voi olla nolla. Esimerkiksi analyyttisessä geometriassa seuraavat merkinnät ovat sallittuja:

,

mikä tarkoittaa, että vektorin projektiot akseleille Oy ja Oz ovat yhtä suuret kuin nolla. Siksi sekä vektori että kanonisten yhtälöiden antama suora ovat kohtisuorassa akseleita vastaan Oy ja Oz eli lentokoneita yOz .

Esimerkki 1 Laadi yhtälöt suorasta avaruudessa, joka on kohtisuorassa tasoon nähden ja kulkee tämän tason ja akselin leikkauspisteen kautta Oz .

Ratkaisu. Etsi annetun tason ja akselin leikkauspiste Oz. Koska mikä tahansa piste akselilla Oz, on koordinaatit , sitten, olettaen annetussa tason yhtälössä x=y= 0, saamme 4 z- 8 = 0 tai z= 2. Siksi annetun tason leikkauspiste akselin kanssa Oz on koordinaatit (0; 0; 2) . Koska haluttu suora on kohtisuorassa tasoon nähden, se on yhdensuuntainen normaalivektorinsa kanssa. Siksi normaalivektori voi toimia suoran suuntausvektorina annettu lentokone.

Nyt kirjoitetaan halutut yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle A= (0; 0; 2) vektorin suunnassa:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöt

Suora voidaan määrittää kahdella sillä olevalla pisteellä ja Tässä tapauksessa suoran suuntausvektori voi olla vektori . Sitten suoran kanoniset yhtälöt saavat muodon

.

Yllä olevat yhtälöt määrittelevät suoran, joka kulkee kahden tietyn pisteen kautta.

Esimerkki 2 Kirjoita yhtälö suoran avaruudessa kulkevan pisteiden ja .

Ratkaisu. Kirjoitamme halutut suoran yhtälöt yllä esitetyssä muodossa teoreettisessa viitteessä:

.

Koska , Haluttu viiva on kohtisuorassa akseliin nähden Oy .

Suora kuin tasojen leikkausviiva

Suora avaruudessa voidaan määritellä kahden ei-rinnakkaisen tason leikkausviivaksi ja ts. joukkona pisteitä, jotka täyttävät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän

Järjestelmän yhtälöitä kutsutaan myös avaruuden suoran yleisiksi yhtälöiksi.

Esimerkki 3 Laadi suoran suoran kanoniset yhtälöt yleisten yhtälöiden antamaan avaruuteen

Ratkaisu. Jotta voit kirjoittaa suoran kanonisen yhtälön tai, mikä on sama, kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön, sinun on löydettävä minkä tahansa kahden pisteen koordinaatit suoralta. Ne voivat olla esimerkiksi suoran leikkauspisteitä minkä tahansa kahden koordinaattitason kanssa yOz ja xOz .

Suoran ja tason leikkauspiste yOz on abskissa x= 0. Siksi oletetaan tässä yhtälöjärjestelmässä x= 0, saamme järjestelmän, jossa on kaksi muuttujaa:

Hänen päätöksensä y = 2 , z= 6 yhdessä x= 0 määrittää pisteen A(0; 2; 6) halutusta rivistä. Olettaen sitten annetussa yhtälöjärjestelmässä y= 0, saamme järjestelmän

Hänen päätöksensä x = -2 , z= 0 yhdessä y= 0 määrittää pisteen B(-2; 0; 0) suoran leikkaus tason kanssa xOz .

Nyt kirjoitetaan pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöt A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

tai jakamalla nimittäjät -2:lla:

,