Koska kulman radiaanimitalle on ominaista kulman suuruuden löytäminen kaaren pituuden kautta, on mahdollista kuvata graafisesti radiaanimitan ja astemitan välinen suhde. Piirrä tätä varten koordinaattitasolle ympyrä, jonka säde on 1 niin, että sen keskipiste on origossa. Positiiviset kulmat piirretään vastapäivään ja negatiiviset myötäpäivään.
Merkitään kulman astemitta tavalliseen tapaan ja radiaanimitta ympyrän päällä olevien kaarien avulla. P 0 - kulman origo. Loput ovat pisteitä. 
kulman sivujen leikkaus ympyrän kanssa.
Määritelmä: Ympyrää, jonka säde on 1 ja jonka keskipiste on origossa, kutsutaan yksikköympyräksi.
Kulmien nimeämisen lisäksi tällä ympyrällä on vielä yksi ominaisuus: se voi edustaa mitä tahansa reaalilukua tämän ympyrän yhdellä pisteellä. Tämä voidaan tehdä täsmälleen samalla tavalla kuin numerorivillä. Taivutamme lukuviivaa siten, että se on ympyrän päällä.
P 0 on luvun 0 origo, piste. Positiiviset luvut on merkitty positiiviseen suuntaan (vastapäivään) ja negatiiviset luvut negatiiviseen suuntaan (myötäpäivään). Jana, joka on yhtä suuri kuin α, on kaari P 0 P α.
Mikä tahansa luku voidaan esittää ympyrän pisteellä P α, ja tämä piste on ainutlaatuinen jokaiselle numerolle, mutta voit nähdä, että lukujoukko α+2πn, jossa n on kokonaisluku, vastaa samaa pistettä P α .
Jokaisella pisteellä on omat koordinaatit, joilla on erityiset nimet.
Määritelmä:α:n kosini kutsutaan yksikköympyrän lukua α vastaavan pisteen abskissaksi.
Määritelmä:α:n sini on yksikköympyrän lukua α vastaavan pisteen ordinaatti.
Pα (cosα, sinα).
Geometriasta:
Suorakaiteen kulman kosini kolmio on vastakkaisen kulman suhde hypotenuusaan. Tässä tapauksessa hypotenuusa on yhtä suuri kuin 1, eli kulman kosini mitataan segmentin OA pituudella.
Kulman sini suorakulmaisessa kolmiossa on viereisen jalan suhde hypotenuusaan. Toisin sanoen sini mitataan segmentin OB pituudella.
Kirjataan muistiin luvun tangentin ja kotangentin määritelmät.
Missä cos α≠0
Missä sinα≠0
Tehtävä mielivaltaisen luvun sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvojen löytämiseksi joitain kaavoja käyttämällä rajoittuu sinα-, cosα-, tgα- ja ctgα-arvojen löytämiseen, missä 0≤α≤π/2 .
Taulukko trigonometristen funktioiden perusarvoista
| α | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2 pi | |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° | |
| sinα | |||||||
| cosα | ½ | -1 | |||||
| tgα | - | ||||||
| ctgα | - | - | - |
Etsi lausekkeiden arvo.
Yksi matematiikan haaroista, joiden kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavoilla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään numeroa pi laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia loogisia ketjuja.
Trigonometrian alkuperä
Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.
Historiallisesti suorakulmaiset kolmiot ovat olleet pääasiallinen tutkimuskohde tässä matemaattisen tieteen osassa. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää tarkasteltavan kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän kuvion ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.
Ensimmäinen taso
Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat tämän matematiikan osan arkielämän käytön rajojen laajentamisen.
Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijoiden käytössä on fysiikka ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, joiden parissa työ alkaa lukiossa.
Pallomainen trigonometria
Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osiota ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi, että maan pinta ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pintamerkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteinen tila.
Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.
Suorakulmainen kolmio
Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.
Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.
Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.
Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.
Määritelmä
Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.
Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.
Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.
Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.
Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.
Yksinkertaisimmat kaavat
Trigonometriassa ei voi tulla ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.
Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.
Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa johtaa itsenäisesti vaaditut monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.
Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen
Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.
Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu aiemmista - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suureksi kuin beeta-kulma.
Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.
Lauseet
Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.
Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.
Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että vähennä kahden sivun neliöiden summasta niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.
Virheitä huolimattomuudesta
Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.
Ensinnäkin tavallisia murtolukuja ei pidä muuntaa desimaaliluvuiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen tavalliseksi murtoluvuksi, ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.
Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.
Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.
Sovellus
Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.
Lopulta
Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.
Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.
Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.
Käsitteet sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat trigonometrian pääluokat - matematiikan haara, ja ne liittyvät erottamattomasti kulman määritelmään. Tämän matemaattisen tieteen hallussapito edellyttää kaavojen ja lauseiden ulkoa oppimista ja ymmärtämistä sekä kehittynyttä tilaajattelua. Siksi trigonometriset laskelmat aiheuttavat usein vaikeuksia koululaisille ja opiskelijoille. Voit voittaa ne tutustumalla trigonometrisiin funktioihin ja kaavoihin.
Käsitteet trigonometriassa
Ymmärtääksesi trigonometrian peruskäsitteet, sinun on ensin päätettävä, mitä suorakulmainen kolmio ja kulma ympyrässä ovat ja miksi kaikki trigonometriset peruslaskut liittyvät niihin. Kolmio, jonka yksi kulmista on 90 astetta, on suorakulmainen kolmio. Historiallisesti ihmiset käyttivät tätä lukua usein arkkitehtuurissa, navigoinnissa, taiteessa, tähtitiedossa. Näin ollen, tutkiessaan ja analysoimalla tämän luvun ominaisuuksia, ihmiset tulivat laskemaan sen parametrien vastaavat suhteet.
Suorakulmaisiin kolmioihin liittyvät pääluokat ovat hypotenuusa ja jalat. Hypotenuusa on kolmion sivu, joka on oikeaa kulmaa vastapäätä. Jalat ovat vastaavasti kaksi muuta puolta. Minkä tahansa kolmion kulmien summa on aina 180 astetta.
Pallotrigonometria on trigonometrian osa, jota ei opeteta koulussa, mutta tutkijat käyttävät sitä soveltavissa tieteissä, kuten tähtitiedeessä ja geodesiassa. Kolmion ominaisuus pallomaisessa trigonometriassa on, että sen kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta.
Kolmion kulmat
Suorakulmaisessa kolmiossa kulman sini on halutun kulman vastakkaisen jalan suhde kolmion hypotenuusaan. Vastaavasti kosini on viereisen jalan ja hypotenuusan suhde. Molemmilla arvoilla on aina arvo pienempi kuin yksi, koska hypotenuusa on aina pidempi kuin jalka.
Kulman tangentti on arvo, joka on yhtä suuri kuin halutun kulman vastakkaisen haaran suhde viereiseen haaraan tai sinistä kosiniin. Kotangentti puolestaan on halutun kulman viereisen haaran suhde vastakkaiseen kakettiin. Kulman kotangentti voidaan saada myös jakamalla yksikkö tangentin arvolla.
yksikköympyrä
Yksikköympyrä geometriassa on ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin yksi. Tällainen ympyrä muodostetaan suorakulmaisessa koordinaatistossa, jossa ympyrän keskipiste osuu yhteen alkupisteen kanssa, ja sädevektorin alkusijainti määräytyy X-akselin positiivisen suunnan (abskissa-akselin) mukaan. Jokaisella ympyrän pisteellä on kaksi koordinaattia: XX ja YY, eli abskissan ja ordinaatin koordinaatit. Valitsemalla mikä tahansa ympyrän piste XX-tasossa ja laskemalla kohtisuoraa siitä abskissa-akselille, saadaan suorakulmainen kolmio, jonka säde on muodostettu valittuun pisteeseen (merkitkäämme sitä kirjaimella C), joka on piirretty kohtisuoraan X-akseli (leikkauspiste on merkitty kirjaimella G) ja jana abskissa-akselilla origon (piste merkitään kirjaimella A) ja leikkauspisteen G välillä. Tuloksena oleva kolmio ACG on suorakulmainen kolmio, joka on merkitty ympyrä, jossa AG on hypotenuusa ja AC ja GC ovat jalkoja. Ympyrän AC säteen ja abskissa-akselin segmentin välinen kulma, jossa on merkintä AG, määritellään α:ksi (alfa). Joten cos α = AG/AC. Koska AC on yksikköympyrän säde ja se on yhtä suuri kuin yksi, käy ilmi, että cos α=AG. Samoin sin α=CG.
Lisäksi näiden tietojen tiedossa on mahdollista määrittää ympyrän pisteen C koordinaatti, koska cos α=AG ja sin α=CG, mikä tarkoittaa, että pisteellä C on annetut koordinaatit (cos α; sin α). Tietäen, että tangentti on yhtä suuri kuin sinin ja kosinin suhde, voimme määrittää, että tg α \u003d y / x ja ctg α \u003d x / y. Kun otetaan huomioon negatiivisen koordinaatiston kulmat, voidaan laskea, että joidenkin kulmien sini- ja kosiniarvot voivat olla negatiivisia.
Laskelmat ja peruskaavat
Trigonometristen funktioiden arvot
Otettuaan huomioon trigonometristen funktioiden olemuksen yksikköympyrän kautta, voimme johtaa näiden funktioiden arvot joillekin kulmille. Arvot on lueteltu alla olevassa taulukossa.
Yksinkertaisimmat trigonometriset identiteetit
Yhtälöitä, joissa trigonometrisen funktion etumerkin alla on tuntematon arvo, kutsutaan trigonometrisiksi. Identiteetit, joiden arvo on sin x = α, k on mikä tahansa kokonaisluku:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, ei ratkaisuja.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identiteetit arvolla cos x = a, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, ei ratkaisuja.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identiteetit arvolla tg x = a, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identiteetit, joiden arvo on ctg x = a, jossa k on mikä tahansa kokonaisluku:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Valokaavat
Tämä vakiokaavojen luokka tarkoittaa menetelmiä, joilla voit siirtyä muodon trigonometrisista funktioista argumentin funktioihin, toisin sanoen muuntaa minkä tahansa arvon kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti kulman vastaaviksi indikaattoreiksi. väli 0 - 90 astetta laskennan helpottamiseksi.
Kaavat pienennysfunktioiden kulman sinille näyttävät tältä:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos a;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Kulman kosinille:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + a) = -sin a;
- cos(1800 - a) = -cos a;
- cos(1800 + a) = -cos a;
- cos(2700 - a) = -sin a;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - a) = cos a;
- cos(3600 + α) = cos α.
Yllä olevien kaavojen käyttö on mahdollista kahdella säännöllä. Ensinnäkin, jos kulma voidaan esittää arvona (π/2 ± a) tai (3π/2 ± a), funktion arvo muuttuu:
- synnistä cosiin;
- cosista syntiin;
- tg:stä ctg:hen;
- ctg:stä tg:hen.
Funktion arvo pysyy muuttumattomana, jos kulma voidaan esittää muodossa (π ± a) tai (2π ± a).
Toiseksi pelkistetyn funktion merkki ei muutu: jos se oli alun perin positiivinen, se pysyy sellaisena. Sama pätee negatiivisiin funktioihin.
Lisäyskaavat
Nämä kaavat ilmaisevat kahden kiertokulman summan ja eron sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot trigonometristen funktioidensa suhteen. Kulmat merkitään yleensä α:na ja β:na.
Kaavat näyttävät tältä:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(a ± β) = (-1 ± ctg a * ctg β) / (ctg a ± ctg β).
Nämä kaavat pätevät kaikille kulmille α ja β.
Kaksois- ja kolmoiskulmakaavat
Kaksois- ja kolmoiskulman trigonometriset kaavat ovat kaavoja, jotka yhdistävät kulmien 2α ja 3α funktiot kulman α trigonometrisiin funktioihin. Johdettu summauskaavoista:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2a = 2tga/(1 - tg^2a).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3a = (3tgα - tg^3a)/(1-tg^2a).
Siirtyminen summasta tuotteeseen
Kun otetaan huomioon, että 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), tätä kaavaa yksinkertaistamalla saadaan identiteetti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Samoin sina - sinp = 2sin(a - β)/2 * cos(a + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(a + β) / cosa * cosβ; tga-tgp = sin(a-p)/cosa*cosp; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Siirtyminen tuotteesta summaan
Nämä kaavat seuraavat summan tuloksi siirtymisen identiteetistä:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosa * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Vähennyskaavat
Näissä identiteeteissä sinin ja kosinin neliö- ja kuutiopotenssit voidaan ilmaista monikulmaisen ensimmäisen potenssin sininä ja kosinina:
- sin^2 a = (1 - cos2a)/2;
- cos^2a = (1 + cos2a)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 a = (3 * cosa + cos3a)/4;
- sin^4 a = (3 - 4cos2a + cos4a)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universaali korvaus
Universaalit trigonometriset korvauskaavat ilmaisevat trigonometriset funktiot puolikulman tangentin muodossa.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), kun taas x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), missä x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), missä x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), kun taas x \u003d π + 2πn.
Erikoistapaukset
Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden erityistapaukset on annettu alla (k on mikä tahansa kokonaisluku).
Yksityinen sine:
| sin x arvo | x arvo |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk tai 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk tai -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk tai 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk tai -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk tai 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk tai -2π/3 + 2πk |
Kosiniosamäärät:
| cos x arvo | x arvo |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Yksityinen tangentille:
| tg x arvo | x arvo |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangenttiosamäärät:
| ctg x arvo | x arvo |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Lauseet
Sinilause
Lauseena on kaksi versiota - yksinkertainen ja laajennettu. Yksinkertainen sinilause: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Tässä tapauksessa a, b, c ovat kolmion sivut ja α, β, γ ovat vastaavasti vastakkaisia kulmia.
Laajennettu sinilause mielivaltaiselle kolmiolle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Tässä identiteetissä R tarkoittaa ympyrän sädettä, johon annettu kolmio on merkitty.
Kosinilause
Identiteetti näytetään seuraavasti: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Kaavassa a, b, c ovat kolmion sivut ja α on sivun a vastakkainen kulma.
Tangenttilause
Kaava ilmaisee kahden kulman tangenttien ja niitä vastakkaisten sivujen pituuden välisen suhteen. Sivut on merkitty a, b, c ja vastaavat vastakkaiset kulmat ovat α, β, γ. Tangenttilauseen kaava: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangenttilause
Yhdistää kolmioon piirretyn ympyrän säteen sen sivujen pituuteen. Jos a, b, c ovat kolmion sivut ja vastaavasti A, B, C ovat niiden vastakkaiset kulmat, r on piirretyn ympyrän säde ja p on kolmion puolikehä, seuraavat identiteetit pidä:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Sovellukset
Trigonometria ei ole vain teoreettinen tiede, joka liittyy matemaattisiin kaavoihin. Sen ominaisuuksia, lauseita ja sääntöjä käyttävät käytännössä useat ihmisen toiminnan alat - tähtitiede, lento- ja merinavigointi, musiikin teoria, geodesia, kemia, akustiikka, optiikka, elektroniikka, arkkitehtuuri, taloustiede, konetekniikka, mittaustyöt, tietokonegrafiikka, kartografia, valtameri ja monet muut.
Sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat trigonometrian peruskäsitteitä, joilla voit matemaattisesti ilmaista kolmion kulmien ja sivujen pituuksien välistä suhdetta ja löytää halutut suureet identiteettien, lauseiden ja sääntöjen avulla.
Luulen, että ansaitset enemmän. Tässä on avaimeni trigonometriaan:
- Piirrä kupoli, seinä ja katto
- Trigonometriset funktiot ovat vain prosentteja näistä kolmesta muodosta.
Metafora sinille ja kosinille: kupoli
Sen sijaan, että katsoisit itse kolmioita, kuvittele ne toiminnassa etsimällä tietyn esimerkin tosielämästä.
Kuvittele, että olet keskellä kupolia ja haluat ripustaa elokuvaprojektorin valkokankaan. Osoitat sormella kupua jossain "x" kulmassa, ja siitä kohdasta tulee ripustaa näyttö.
Kulma, johon osoitat, määrittää:
- sini(x) = sin(x) = näytön korkeus (lattiasta kupoliin)
- kosini(x) = cos(x) = etäisyys sinusta ruutuun (kerroksen mukaan)
- hypotenuusa, etäisyys sinusta näytön yläreunaan, aina sama, yhtä suuri kuin kupolin säde
Haluatko näytön olevan mahdollisimman suuri? Ripusta se yläpuolellesi.
Haluatko näytön roikkuvan mahdollisimman kaukana sinusta? Ripusta se suoraan kohtisuoraan. Näytön korkeus on nolla tässä asennossa ja se roikkuu niin pitkälle kuin pyysit.
Korkeus ja etäisyys näytöstä ovat kääntäen verrannollisia: mitä lähempänä näyttö roikkuu, sitä korkeampi sen korkeus on.
Sini ja kosini ovat prosentteja
Kukaan opiskeluvuosinani ei valitettavasti selittänyt minulle, että trigonometriset funktiot sini ja kosini ovat vain prosentteja. Niiden arvot vaihtelevat +100 %:sta 0:sta -100 %:iin tai positiivisesta maksimista nollaan negatiiviseen maksimiin.
Oletetaan, että maksoin 14 ruplaa veroa. Et tiedä kuinka paljon se on. Mutta jos sanot, että maksoin 95% veroa, ymmärrät, että minut nyljettiin kuin tahmea.
Absoluuttinen korkeus ei tarkoita mitään. Mutta jos siniarvo on 0,95, ymmärrän, että televisio roikkuu melkein kupusi päällä. Hyvin pian se saavuttaa maksimikorkeutensa kupolin keskellä ja alkaa sitten laskea uudelleen.
Miten voimme laskea tämän prosentin? Hyvin yksinkertainen: jaa nykyinen näytön korkeus suurimmalla mahdollisella (kuvun säde, jota kutsutaan myös hypotenuusaksi).
Siksi meille kerrotaan, että "kosini = vastakkainen jalka / hypotenuusa". Tämä kaikki prosenttiosuuden saamiseksi! Paras tapa määritellä sini on "sen hetkisen korkeuden prosenttiosuus suurimmasta mahdollisesta". (Sinistä tulee negatiivinen, jos kulmasi osoittaa "maan alle". Kosinista tulee negatiivinen, jos kulma osoittaa takanasi olevaan kupolipisteeseen.)
Yksinkertaistetaan laskelmia olettamalla, että olemme yksikköympyrän (säde = 1) keskellä. Voimme ohittaa jaon ja ottaa vain sinin, joka on yhtä suuri kuin korkeus.
Jokainen ympyrä on itse asiassa yksittäinen, suurennettu tai pienennetty mittakaavassa haluttuun kokoon. Joten määritä yksikköympyrän suhteet ja käytä tuloksia tiettyyn ympyrän kokoon.
Kokeilu: ota mikä tahansa kulma ja katso, kuinka suuri prosenttiosuus sen korkeudesta leveyteen näyttää:
Sinin arvon kasvukaavio ei ole vain suora. Ensimmäiset 45 astetta peittävät 70 % korkeudesta ja viimeiset 10 astetta (80° - 90°) vain 2 %.
Tämä selventää sinulle: jos kuljet ympyrää, 0 °:ssa nouset melkein pystysuoraan, mutta kun lähestyt kupolin yläosaa, korkeus muuttuu yhä vähemmän.
Tangentti ja sekantti. Seinä
Eräänä päivänä naapuri rakensi muurin oikea selkä vastakkain kupolillesi. Itki ikkunanäkymäsi ja hyvä jälleenmyyntihinta!
Mutta onko tässä tilanteessa mahdollista voittaa jotenkin?
Tietysti kyllä. Entä jos ripustaisimme elokuvakankaan suoraan naapurin seinälle? Tähtäät nurkkaan (x) ja saat:
- tan(x) = tan(x) = näytön korkeus seinällä
- etäisyys sinusta seinään: 1 (tämä on kupolisi säde, seinä ei liiku sinusta minnekään, eikö niin?)
- secant(x) = sec(x) = "tikkaat pituus" sinusta, joka seisot kupolin keskellä ripustetun näytön yläosaan
Selvennetään pari asiaa tangentista eli näytön korkeudesta.
- se alkaa nollasta ja voi nousta äärettömän korkeaksi. Voit venyttää näyttöä yhä korkeammalle seinällä saadaksesi vain loputtoman kankaan suosikkielokuvasi katseluun! (Tällaiseen valtavaan joudut tietysti käyttämään paljon rahaa).
- tangentti on vain sinin suurennettu versio! Ja vaikka sinin kasvu hidastuu, kun liikut kohti kupolin yläosaa, tangentti jatkaa kasvuaan!
Sekansulla on myös kerskumisen aihetta:
- sekantti alkaa 1:stä (tikkaat ovat lattialla, sinusta poispäin seinää kohti) ja alkaa nousta sieltä
- Sekantti on aina pidempi kuin tangentti. Kaltevien tikkaiden, joihin ripustat näytön, on oltava pidempiä kuin itse näyttö, eikö niin? (Epärealistisissa kooissa, kun näyttö on niin pitkä ja tikkaat on asetettava lähes pystysuoraan, niiden koot ovat melkein samat. Mutta silloinkin sekantti on hieman pidempi).
Muista, että arvot ovat prosenttia. Jos päätät ripustaa näytön 50 asteen kulmaan, tan(50)=1,19. Näyttösi on 19 % suurempi kuin etäisyys seinään (kuvun säde).
(Syötä x=0 ja testaa intuitiotasi - tan(0) = 0 ja sec(0) = 1.)
Kotangentti ja kosekantti. Katto
Uskomatonta, että naapurisi on nyt päättänyt rakentaa katon kupolisi päälle. (Mikä häntä vaivaa? Hän ei ilmeisesti halua sinun kurkistavan häntä, kun hän kävelee pihalla alasti...)
No, on aika rakentaa uloskäynti katolle ja puhua naapurin kanssa. Valitset kaltevuuskulman ja aloitat rakentamisen:
- katon ulostulon ja lattian välinen pystyetäisyys on aina 1 (kupolin säde)
- kotangentti(x) = cot(x) = etäisyys kupolin yläosan ja poistumispisteen välillä
- kosekantti(x) = csc(x) = polun pituus katolle
Tangentti ja sekantti kuvaavat seinää, kun taas kotangentti ja kosekantti kuvaavat lattiaa.
Tällä kertaa intuitiiviset johtopäätöksemme ovat samanlaisia kuin edelliset:
- Jos otat kulman 0°, katolle pääsy kestää ikuisuuden, koska se ei koskaan saavuta kattoa. Ongelma.
- Lyhin "portaat" katolle saadaan, jos rakennat sen 90 asteen kulmaan lattiaan nähden. Kotangentti on yhtä suuri kuin 0 (emme liiku ollenkaan kattoa pitkin, poistumme tiukasti kohtisuorassa) ja kosekantti on yhtä suuri kuin 1 ("tikkaita" on minimaalinen).
Visualisoi yhteydet
Jos kaikki kolme koteloa piirretään kupoli-seinä-lattia-yhdistelmänä, saadaan seuraavaa:
Vau, se on kaikki sama kolmio, suurennettu kooltaan niin, että se ulottuu seinään ja kattoon. Meillä on pystysuorat sivut (sini, tangentti), vaakapuolet (kosini, kotangentti) ja “hypotenukset” (sekantti, kosekantti). (Nuolista näet kuinka pitkälle kukin elementti ulottuu. Kosekantti on kokonaisetäisyys sinusta kattoon).
Pientä taikuutta. Kaikilla kolmioilla on samat yhtäläisyydet:
Pythagoraan lauseesta (a 2 + b 2 = c 2) nähdään, kuinka kunkin kolmion sivut ovat yhteydessä toisiinsa. Lisäksi korkeus-leveyssuhteiden on oltava samat kaikissa kolmioissa. (Astu vain takaisin suurimmasta kolmiosta pienempään. Kyllä, koko on muuttunut, mutta sivujen suhteet pysyvät samoina).
Kun tiedämme, mikä puoli kussakin kolmiossa on 1 (kuvun säde), voimme helposti laskea, että "sin/cos = tan/1".
Olen aina yrittänyt muistaa nämä tosiasiat yksinkertaisen visualisoinnin avulla. Kuvassa näet selvästi nämä riippuvuudet ja ymmärrät mistä ne tulevat. Tämä tekniikka on paljon parempi kuin kuivien kaavojen muistaminen.
Älä unohda muita kulmia
Shh… Ei tarvitse jäädä kiinni yhteen kuvaajaan, kun ajatellaan, että tangentti on aina pienempi kuin 1. Jos lisäät kulmaa, pääset kattoon saavuttamatta seinää:
Pythagoraan yhteydet toimivat aina, mutta suhteelliset koot voivat olla erilaisia.
(Olet luultavasti huomannut, että sinin ja kosinin suhde on aina pienin, koska ne ovat kupolin sisällä.)
Yhteenvetona: mitä meidän tulee muistaa?
Useimmille meistä sanoisin, että tämä riittää:
- trigonometria selittää matemaattisten kohteiden, kuten ympyröiden ja toistuvien intervallien, anatomian
- kupoli/seinä/katto-analogia osoittaa eri trigonometristen funktioiden välisen suhteen
- trigonometristen funktioiden tulos on prosenttiosuudet, joita käytämme skenaariossamme.
Sinun ei tarvitse opetella ulkoa kaavoja, kuten 1 2 + pinnasänky 2 = csc 2 . Ne soveltuvat vain tyhmiin testeihin, joissa faktatieto esitetään sen ymmärtämisenä. Piirrä puoliympyrä kupolin, seinän ja katon muodossa, allekirjoita elementit, ja kaikki kaavat pyydetään sinulle paperille.
Sovellus: Käänteisfunktiot
Mikä tahansa trigonometrinen funktio ottaa kulman syötteenä ja palauttaa tuloksen prosentteina. sin(30) = 0,5. Tämä tarkoittaa, että 30 asteen kulma vie 50 % enimmäiskorkeudesta.
Käänteinen trigonometrinen funktio kirjoitetaan sin -1 tai arcsin ("arksiini"). Se kirjoitetaan usein myös useilla ohjelmointikielillä.
Jos korkeutemme on 25 % kupolin korkeudesta, mikä on kulmamme?
Suhdetaulukostamme löydät suhteen, jossa sekantti jaetaan 1:llä. Esimerkiksi sekantti 1:llä (hypotenuusa vaakasuuntaan) on yhtä suuri kuin 1 jaettuna kosinilla:
Oletetaan, että sekanttimme on 3,5, ts. 350 % yksikköympyrän säteestä. Mitä kaltevuuskulmaa seinään nähden tämä arvo vastaa?
Liite: Muutamia esimerkkejä
Esimerkki: Etsi kulman x sini.
Tylsä tehtävä. Monimutkaistaan banaalista "etsi sini" "Mikä on korkeus prosentteina maksimista (hypotenuusa)?".
Huomaa ensin, että kolmio on kierretty. Tässä ei ole mitään vikaa. Kolmiolla on myös korkeus, se näkyy kuvassa vihreällä.
Mitä hypotenuusa on yhtä suuri? Pythagoraan lauseen perusteella tiedämme, että:
3 2 + 4 2 = hypotenuusa 2 25 = hypotenuusa 2 5 = hypotenuusa
Hieno! Sini on prosenttiosuus korkeudesta kolmion pisimmästä sivusta eli hypotenuusasta. Esimerkissämme sini on 3/5 tai 0,60.
Voimme tietysti mennä monella tapaa. Nyt tiedämme, että sini on 0,60 ja voimme yksinkertaisesti löytää arcsinin:
Asin(0,6) = 36,9
Ja tässä on toinen lähestymistapa. Huomaa, että kolmio on "kasvotusten seinään", joten voimme käyttää tangenttia sinin sijaan. Korkeus on 3, etäisyys seinään 4, joten tangentti on ¾ tai 75%. Voimme käyttää arctangenttia siirtyäksemme prosentista takaisin kulmaan:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Esimerkki: Uidatko rantaan?
Olet veneessä ja sinulla on tarpeeksi polttoainetta 2 km purjehtimiseen. Olet nyt 0,25 km päässä rannikosta. Missä suurimmassa kulmassa rantaan nähden siihen voi uida niin, että polttoainetta riittää? Lisäys ongelman ehtoon: meillä on vain taulukko kaarikosinin arvoista.
Mitä meillä on? Rantaviivaa voidaan esittää "seinänä" kuuluisassa kolmiossamme ja seinään kiinnitettyjen "portaiden pituus" voidaan esittää suurimmaksi mahdolliseksi etäisyydeksi veneellä rantaan (2 km). Sekantti ilmestyy.
Ensin sinun on vaihdettava prosenttiosuuksiin. Meillä on 2 / 0,25 = 8, mikä tarkoittaa, että voimme uida 8 kertaa suoran matkan rantaan (tai seinään).
Herää kysymys "Mikä on sekantti 8?". Mutta emme voi antaa siihen vastausta, koska meillä on vain kaarikosineja.
Käytämme aiemmin johdettuja riippuvuuksiamme yhdistämään sekantti kosiniin: "sec/1 = 1/cos"
Luku 8:n sekantti on yhtä suuri kuin ⅛:n kosini. Kulma, jonka kosini on ⅛, on acos(1/8) = 82,8. Ja tämä on suurin kulma, johon meillä on varaa veneessä tietyllä polttoainemäärällä.
Ei paha, eikö? Ilman kupoli-seinä-katto -analogiaa olisin hämmentynyt joukossa kaavoja ja laskelmia. Ongelman visualisointi yksinkertaistaa huomattavasti ratkaisun etsimistä, ja lisäksi on mielenkiintoista nähdä, mikä trigonometrinen funktio lopulta auttaa.
Ajattele jokaisessa tehtävässä näin: olenko kiinnostunut kupusta (sin/cos), seinästä (tan/sec) vai katosta (pinnasänky/csc)?
Ja trigonometriasta tulee paljon miellyttävämpää. Helppoja laskelmia sinulle!
Kun suorakulmaisen kolmion ratkaisutehtävät pohdittiin, lupasin esitellä tekniikan sinin ja kosinin määritelmien muistamiseen. Sen avulla muistat aina nopeasti, mikä jalka kuuluu hypotenuusaan (viereinen tai vastapäätä). Päätin, etten lykkää sitä loputtomiin, tarvittava materiaali on alla, lue se 😉
Tosiasia on, että olen toistuvasti havainnut, kuinka 10-11-luokkien oppilailla on vaikeuksia muistaa nämä määritelmät. He muistavat hyvin, että jalka viittaa hypotenuusaan, mutta kumpi- unohda ja hämmentynyt. Virheen hinta, kuten kokeessa tiedät, on menetetty pistemäärä.
Tiedolla, jonka esitän suoraan matematiikalle, ei ole mitään tekemistä. Se liittyy figuratiiviseen ajatteluun ja verbaal-loogisen yhteyden menetelmiin. Aivan oikein, minä itsekin muistan kertakaikkiaanmääritelmätiedot. Jos unohdat ne silti, esiteltyjen tekniikoiden avulla se on aina helppo muistaa.
Muistutan sinua sinin ja kosinin määritelmät suorakulmaisessa kolmiossa:
Kosini suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Joten mitä assosiaatioita sana kosini herättää sinussa?
Luultavasti jokaisella on omansaMuista linkki:
Siten sinulla on välittömästi ilmaus muistissasi -
«… vierekkäisen jalan suhde hypotenuusaan».
Kosinin määritelmän ongelma on ratkaistu.
Jos sinun on muistettava suoran kolmion sinin määritelmä, muistamalla kosinin määritelmä, voit helposti todeta, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Loppujen lopuksi on vain kaksi jalkaa, jos viereisen haaran "varaa" kosini, niin sinille jää vain vastakkainen puoli.
Entä tangentti ja kotangentti? Sama hämmennys. Opiskelijat tietävät, että tämä on jalkojen suhde, mutta ongelmana on muistaa, kumpi viittaa mihinkin - joko vastapäätä viereistä vai päinvastoin.
Määritelmät:
Tangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Kotangentti suorakulmaisen kolmion terävä kulma on viereisen jalan suhde vastakkaiseen:
Kuinka muistaa? On kaksi tapaa. Toinen käyttää myös verbaal-loogista yhteyttä, toinen - matemaattista.
MATEMAATTINEN MENETELMÄ
On olemassa tällainen määritelmä - terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
* Kun muistat kaavan, voit aina määrittää, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.
Samoin.Terävän kulman kotangentti on kulman kosinin suhde sen siniin:
Niin! Kun muistat nämä kaavat, voit aina määrittää, että:
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen
- suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
VERBAALILOOGINEN MENETELMÄ
Tietoja tangentista. Muista linkki:
Eli jos sinun on muistettava tangentin määritelmä, käyttämällä tätä loogista yhteyttä, voit helposti muistaa, mikä se on
"... vastakkaisen jalan suhde viereiseen"
Jos kyse on kotangentista, muista tangentin määritelmä, voit helposti ilmaista kotangentin määritelmän -
"... viereisen jalan suhde vastakkaiseen"
Sivustolla on mielenkiintoinen tekniikka tangentin ja kotangentin muistamiseen " Matemaattinen tandem " , Katso.
MENETELMÄ UNIVERSAL
Voit vain jauhaa.Mutta kuten käytäntö osoittaa, sanallisten ja loogisten yhteyksien ansiosta ihminen muistaa tiedot pitkään, eikä vain matemaattisia.
Toivottavasti materiaalista oli sinulle hyötyä.
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
