Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin selitys. Työ tapahtuu ryhmissä. Jokaisessa ryhmässä on asiantuntija, joka ohjaa ja ohjaa opiskelijoiden työtä. Auttaa heikkoja oppilaita uskomaan vahvuuteensa näiden yhtälöiden ratkaisemisessa.

Ladata:

Esikatselu:

Aiheeseen liittyvä oppitunti

" Homogeeniset trigonometriset yhtälöt"

(10. luokka)

Kohde:

1. esitellä homogeenisten I ja II asteen trigonometristen yhtälöiden käsite;
2. muotoilla ja laatia algoritmi homogeenisten I ja II asteen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi;
3. opettaa ratkaisemaan homogeenisia I ja II asteen trigonometrisiä yhtälöitä;
4. kehittää kykyä tunnistaa malleja, yleistää;
5. herättää kiinnostusta aihetta kohtaan, kehittää solidaarisuuden tunnetta ja tervettä kilpailua.

Oppitunnin tyyppi : oppitunti uuden tiedon muodostamisessa.

Käyntilomake: työ ryhmissä.

Varustus: tietokone, multimedian asennus

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

Oppitunnilla tiedon arvioinnin luokitusjärjestelmä (opettaja selittää tiedon arviointijärjestelmän, täyttää arviointilomakkeen opettajan opiskelijoiden joukosta valitsema riippumaton asiantuntija). Oppituntiin liittyy esitys. Liite 1.

Arviointilomake nro.

n\n	Sukunimi Etunimi	Kotitehtävät	kognitiivinen toiminta	Yhtälöiden ratkaiseminen	Riippumaton Työ	Arvosana

II. Perustietojen päivittäminen..

Jatkamme tutkimusta aiheesta "Trigonometriset yhtälöt". Tänään oppitunnilla tutustumme sinuun toisen tyyppisillä trigonometrisilla yhtälöillä ja menetelmillä niiden ratkaisemiseksi, ja siksi toistamme oppimamme. Kaiken tyyppiset trigonometriset yhtälöt, kun ne on ratkaistu, pelkistyvät yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Muistakaamme yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden päätyypit. Käytä nuolia löytääksesi lausekkeet.

III. Motivaatio oppimiseen.

Meidän on työstettävä ristisanatehtävän ratkaisemista. Kun se on ratkaistu, opimme nimen uudentyyppisille yhtälöille, joita opimme ratkaisemaan tänään oppitunnilla.

Kysymykset projisoidaan taululle. Opiskelijat arvaavat, riippumaton asiantuntija syöttää pisteet pisteytykseen vastanneille opiskelijoille.

Kun ristisanatehtävä on ratkaistu, kaverit lukevat sanan "homogeeninen".

Ristisanatehtävä.

Jos kirjoitat oikeat sanat, saat yhden trigonometrisen yhtälön tyypin nimen.

1. Sen muuttujan arvo, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi? (juuri)

2. Kulmien mittayksikkö? (radiaani)

3. Numeerinen kerroin tuotteessa? (Kerroin)

4. Matematiikan osa, joka tutkii trigonometrisiä funktioita? (Trigonometria)

5. Mitä matemaattista mallia tarvitaan trigonometristen funktioiden käyttöönottoon? (Ympyrä)

6. Mikä trigonometrisista funktioista on parillinen? (Kosini)

7. Mikä on todellisen tasa-arvon nimi? (Identiteetti)

8. Tasa-arvo muuttujan kanssa? (Yhtälö)

9. Yhtälöt, joilla on samat juuret? (vastaava)

10. Joukko yhtälön juuria? (Ratkaisu)

IV. Uuden materiaalin selitys.

Oppitunnin aiheena on "Homogeeniset trigonometriset yhtälöt". (Esitys)

Esimerkkejä:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin4x = cos4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 synti 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
9. sin2x + 2cos2x = 1

V. Itsenäinen työskentely

Tavoitteet: testata kokonaisvaltaisesti opiskelijoiden tietämystä kaikentyyppisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, kannustaa opiskelijoita itsetutkiskeluun, itsehillintään.
Opiskelijoita pyydetään tekemään 10 minuuttia kirjallista työtä.
Oppilaat tekevät töitä tyhjille paperiarkeille kopiointia varten. Ajan jälkeen itsenäisen työn huiput kerätään ja kopioinnin ratkaisut jäävät opiskelijoille.
Itsenäisen työn tarkastus (3 min) suoritetaan keskinäisellä tarkastuksella.
. Oppilaat tarkistavat naapurin kirjalliset työt värikynällä ja kirjoittavat muistiin todentajan nimen. Anna sitten lehdet.

Sitten ne luovutetaan riippumattomalle asiantuntijalle.

Vaihtoehto 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x - 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin2x⁄sinx=0

Vaihtoehto 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Yhteenveto oppitunnista

VII. Kotitehtävät:

Kotitehtävät - 12 pistettä (läksylle annettiin 3 yhtälöä 4 x 3 = 12)

Opiskelijatoiminta - 1 vastaus - 1 piste (enintään 4 pistettä)

Yhtälöiden ratkaiseminen 1 piste

Itsenäinen työ - 4 pistettä

Oppitunnin aihe: "Homogeeniset trigonometriset yhtälöt"

(10. luokka)

Kohde: esitellä homogeenisten I ja II asteen trigonometristen yhtälöiden käsite; muotoilla ja laatia algoritmi homogeenisten I ja II asteen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi; opettaa ratkaisemaan homogeenisia I ja II asteen trigonometrisiä yhtälöitä; kehittää kykyä tunnistaa malleja, yleistää; herättää kiinnostusta aihetta kohtaan, kehittää solidaarisuuden tunnetta ja tervettä kilpailua.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuden tiedon muodostamisessa.

Suorituslomake: työ ryhmissä.

Laitteet: tietokone, multimedian asennus

Tuntien aikana

Ajan järjestäminen

Opiskelijoiden tervehtiminen, huomion saaminen.

Oppitunnilla tiedon arvioinnin luokitusjärjestelmä (opettaja selittää tiedon arviointijärjestelmän, täyttää arviointilomakkeen opettajan opiskelijoiden joukosta valitsema riippumaton asiantuntija). Oppituntiin liittyy esitys. .

Perustietojen päivittäminen.

Riippumaton asiantuntija ja konsultit tarkastavat ja arvioivat kotitehtävät ennen oppituntia ja arviointilomaketta.

Opettaja tekee yhteenvedon läksyistä.

Opettaja: Jatkamme tutkimusta aiheesta "Trigonometriset yhtälöt". Tänään oppitunnilla tutustumme sinuun toisen tyyppisillä trigonometrisilla yhtälöillä ja menetelmillä niiden ratkaisemiseksi, ja siksi toistamme oppimamme. Kaiken tyyppiset trigonometriset yhtälöt, kun ne on ratkaistu, pelkistyvät yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Ryhmissä tehdyt henkilökohtaiset kotitehtävät tarkistetaan. Esityksen "Yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisut" puolustaminen

(Ryhmän työn arvioi riippumaton asiantuntija)

Motivaatio oppimiseen.

Opettaja: Meidän on työstettävä ristisanatehtävän ratkaisemista. Kun se on ratkaistu, opimme nimen uudentyyppisille yhtälöille, joita opimme ratkaisemaan tänään oppitunnilla.

Kysymykset projisoidaan taululle. Opiskelijat arvaavat, riippumaton asiantuntija syöttää pisteet pisteytykseen vastanneille opiskelijoille.

Kun ristisanatehtävä on ratkaistu, kaverit lukevat sanan "homogeeninen".

Uuden tiedon assimilaatio.

Opettaja: Oppitunnin aiheena on "Homogeeniset trigonometriset yhtälöt".

Kirjoitetaan oppitunnin aihe vihkoon. Homogeeniset trigonometriset yhtälöt ovat ensimmäisen ja toisen asteen.

Kirjoitetaan ensimmäisen asteen homogeenisen yhtälön määritelmä. Käytän esimerkkiä tämän tyyppisen yhtälön ratkaisun näyttämiseen, teet algoritmin ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi.

Tyyppiyhtälö a sinx + b cosx = 0 kutsutaan ensimmäisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi.

Harkitse yhtälön ratkaisua, kun kertoimet a ja sisään eri kuin 0.

Esimerkki: sinx + cosx = 0

R jakamalla yhtälön molemmat osat termillä cosx:lla, saadaan

Huomio! Nollalla jakaminen on mahdollista vain, jos tämä lauseke ei muutu missään luvuksi 0. Analysoidaan. Jos kosini on 0, niin sini on myös 0, koska kertoimet ovat erilaisia ​​kuin 0, mutta tiedämme, että sini ja kosini katoavat eri pisteissä. Siksi tämä operaatio voidaan suorittaa tämän tyyppistä yhtälöä ratkaistaessa.

Algoritmi ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi: jakamalla yhtälön molemmat osat cosx:lla, cosx 0

Tyyppiyhtälö a sin mx +b cos mx = 0 he kutsuvat myös ensimmäisen asteen homogeenista trigonometrista yhtälöä ja ratkaisevat myös yhtälön molempien osien jaon kosinilla mx.

Tyyppiyhtälö a synti 2 x +b sinx cox +c cos2x = 0 kutsutaan homogeeniseksi toisen asteen trigonometriseksi yhtälöksi.

Esimerkki : synti 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x=0

Kerroin a on eri kuin 0, ja siksi, kuten edellisessä yhtälössä, cosx ei ole yhtä suuri kuin 0, ja siksi voit käyttää menetelmää jakaa yhtälön molemmat osat cos 2 x:llä.

Saamme tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Ratkaisemme ottamalla käyttöön uuden muuttujan olkoon tgx = a, niin saadaan yhtälö

a 2 + 2a - 3 = 0

D \u003d 4 - 4 (-3) \u003d 16

a 1 = 1 a 2 = -3

Takaisin vaihtoon

Vastaus:

Jos kerroin a \u003d 0, yhtälö on muodossa 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0, ratkaisemme sen ottamalla yhteisen tekijän cosx pois suluista. Jos kerroin c \u003d 0, yhtälö on muodossa sin2x + 2sinx cosx \u003d 0, ratkaisemme sen ottamalla yhteisen tekijän sinx pois suluista. Algoritmi ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön ratkaisemiseksi:

Katso, onko asin2 x termi yhtälössä.

Jos yhtälössä on termi asin2 x (eli a 0), yhtälö ratkaistaan ​​jakamalla yhtälön molemmat puolet cos2x:llä ja lisäämällä sitten uusi muuttuja.

Jos yhtälössä ei ole termiä asin2 x (eli a = 0), yhtälö ratkaistaan ​​faktorointimenetelmällä: cosx otetaan pois suluista. Homogeeniset yhtälöt muotoa a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 ratkaistaan ​​samalla tavalla

Algoritmi homogeenisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi on kirjoitettu oppikirjaan sivulla 102.

Liikuntaminuutti

Homogeenisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisen taitojen muodostuminen

Ongelmakirjojen avaaminen sivu 53

1. ja 2. ryhmä päättävät nro 361-c

3. ja 4. ryhmä päättävät nro 363-v

Näytä ratkaisu taululle, selitä, täydennä. Riippumaton asiantuntija arvioi.

Ratkaisuesimerkkejä tehtäväkirjasta nro 361-c
sinx - 3cosx = 0
jaamme yhtälön molemmat puolet cosx 0:lla, saamme

nro 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
jaamme yhtälön molemmat puolet cos2x:llä, saamme tg2x + tgx – 2 = 0

ratkaista ottamalla käyttöön uusi muuttuja
olkoon tgx = a, niin saadaan yhtälö
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
takaisin vaihtoon

Itsenäinen työ.

Ratkaise yhtälöt.

2 cos - 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Itsenäisen työn lopussa työ ja keskinäinen todentaminen muuttuvat. Oikeat vastaukset näkyvät taululla.

Sitten ne luovutetaan riippumattomalle asiantuntijalle.

Tee-se-itse-ratkaisu

Yhteenveto oppitunnista.

Millaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä tapasimme oppitunnilla?

Algoritmi ensimmäisen ja toisen asteen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Kotitehtävät: § 20.3 luettu. Nro 361 (d), 363 (b), lisätty vaikeusaste lisäksi nro 380 (a).

Ristisanatehtävä.

Jos kirjoitat oikeat sanat, saat yhden trigonometrisen yhtälön tyypin nimen.

Sen muuttujan arvo, joka muuttaa yhtälön todelliseksi yhtälöksi? (juuri)

Kulman yksikkö? (radiaani)

Numeerinen kerroin tuotteessa? (Kerroin)

Matematiikan ala, joka tutkii trigonometrisiä toimintoja? (Trigonometria)

Mitä matemaattista mallia tarvitaan trigonometristen funktioiden käyttöönottoon? (Ympyrä)

Mikä trigonometrisista funktioista on parillinen? (Kosini)

Mitä todellista tasa-arvoa kutsutaan? (Identiteetti)

Tasa-arvo muuttujan kanssa? (Yhtälö)

Yhtälöt, joilla on samat juuret? (vastaava)

Yhtälön juurten joukko ? (Ratkaisu)

Arviointipaperi

№
n\n

Sukunimi, opettajan nimi

Kotitehtävät

Esittely

kognitiivinen toiminta
opiskella

Yhtälöiden ratkaiseminen

Riippumaton
Työ

Kotitehtävät - 12 pistettä (läksylle annettiin 3 yhtälöä 4 x 3 = 12)

Esittely - 1 piste

Opiskelijatoiminta - 1 vastaus - 1 piste (enintään 4 pistettä)

Yhtälöiden ratkaiseminen 1 piste

Itsenäinen työ - 4 pistettä

Ryhmän luokitus:

"5" - 22 pistettä tai enemmän
"4" - 18 - 21 pistettä
"3" - 12 - 17 pistettä

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme käyttää henkilötietoja myös sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietojasi, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun kannalta.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Tämän videotunnin avulla opiskelijat voivat tutkia homogeenisten trigonometristen yhtälöiden aihetta.

Annetaan määritelmät:

1) ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö näyttää sin x + b cos x = 0;

2) toisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö näyttää sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Tarkastellaan yhtälöä a sin x + b cos x = 0. Jos a on nolla, yhtälö näyttää tältä b cos x = 0; jos b on nolla, yhtälö näyttää siniltä x = 0. Nämä ovat yhtälöt, joita kutsuimme yksinkertaisimmiksi ja jotka ratkaisimme aiemmin aiemmissa aiheissa.

Harkitse nyt vaihtoehtoa, kun a ja b eivät ole nolla. Jakamalla yhtälön osat kosinilla x ja suoritamme muunnos. Saamme tg x + b = 0, jolloin tg x on yhtä suuri kuin - b/a.

Yllä olevasta seuraa, että yhtälö a sin mx + b cos mx = 0 on ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö. Ratkaise yhtälö jakamalla sen osat cos mx:llä.

Katsotaanpa esimerkkiä 1. Ratkaise 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Jaa ensin yhtälön osat kosinilla (x / 2). Kun tiedetään, että sini jaettuna kosinilla on tangentti, saadaan 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Muunnettaessa lauseke saadaan tangentin (x / 2) arvoksi 5/7. Tämän yhtälön ratkaisu on x = arctan a + πn, tässä tapauksessa x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Tarkastellaan yhtälöä a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) kun a on yhtä suuri kuin nolla, yhtälö näyttää tältä b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Muuntamalla saadaan lauseke cos x (b sin x + c cos x) = 0 ja siirrytään ratkaisuun kahdesta yhtälöstä. Kun yhtälön osat on jaettu kosinilla x, saadaan b tg x + c = 0, mikä tarkoittaa tg x = - c/b. Kun tiedetään, että x \u003d arctan a + πn, niin ratkaisu tässä tapauksessa on x \u003d arctg (- c / b) + πn.

2) jos a ei ole nolla, niin jakamalla yhtälön osat kosinin neliöllä saadaan yhtälö, joka sisältää tangentin, joka on neliö. Tämä yhtälö voidaan ratkaista ottamalla käyttöön uusi muuttuja.

3) kun c on nolla, yhtälö saa muotoa a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Tämä yhtälö voidaan ratkaista ottamalla x:n sini pois suluista.

1. katso, onko yhtälössä synti 2 x;

2. jos yhtälössä on termi a sin 2 x, niin yhtälö voidaan ratkaista jakamalla molemmat osat kosinin neliöllä ja lisäämällä sitten uusi muuttuja.

3. jos yhtälö a sin 2 x ei sisällä, niin yhtälö voidaan ratkaista ottamalla pois sulut cosx.

Tarkastellaan esimerkkiä 2. Otetaan kosini ja saadaan kaksi yhtälöä. Ensimmäisen yhtälön juuri on x = π/2 + πn. Toisen yhtälön ratkaisemiseksi jaamme tämän yhtälön osat kosinilla x, muunnoksilla saadaan x = π/3 + πn. Vastaus: x = π/2 + πn ja x = π/3 + πn.

Ratkaistaan ​​esimerkki 3, yhtälö muotoa 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ja etsitään sen juuret, jotka kuuluvat segmenttiin - π - π. Koska Koska tämä yhtälö on epähomogeeninen, on välttämätöntä pelkistää se homogeeniseen muotoon. Kaavalla sin 2 x + cos 2 x = 1 saadaan yhtälö sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Jakamalla kaikki yhtälön osat cos 2 x:llä saadaan tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Uuden muuttujan z = tg 2x käyttöönoton avulla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka juuri on z = 1. Sitten tg 2x = 1, mikä tarkoittaa, että x = π/8 + (πn)/2. Koska tehtävän ehdon mukaan sinun on löydettävä juuret, jotka kuuluvat segmenttiin - π - π, ratkaisu näyttää tältä - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

TEKSTIN TULKINTA:

Homogeeniset trigonometriset yhtälöt

Tänään analysoimme, kuinka "homogeeniset trigonometriset yhtälöt" ratkaistaan. Nämä ovat erityislaatuisia yhtälöitä.

Tutustutaan määritelmään.

Tyyppiyhtälö ja sinx+bcosx = 0 (ja sini x plus on kosini x on nolla) kutsutaan ensimmäisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi;

muodon yhtälö a synti 2 x+bsynti xcosx+ccos 2 x= 0 (ja sinineliö x plus on sini x kosini x plus se kosinineliö x on yhtä suuri kuin nolla) kutsutaan toisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi.

Jos a = 0, yhtälö saa muodon bcosx = 0.

Jos b = 0 , sitten saamme ja sin x = 0.

Nämä yhtälöt ovat alkeellisia trigonometrisiä, ja pohdimme niiden ratkaisua aikaisemmissa aiheissamme

Harkitse tapaus, jossa molemmat kertoimet ovat nollasta poikkeavat. Jaa yhtälön molemmat puolet asyntix+ bcosx = 0 aikaväliltä cosx.

Voimme tehdä tämän, koska kosini x ei ole nolla. Loppujen lopuksi jos cosx = 0 , sitten yhtälö asyntix+ bcosx = 0 ottaa muodon asyntix = 0 , a≠ 0 siis syntix = 0 . Mikä on mahdotonta, koska trigonometrisen perusidentiteetin mukaan synti 2x+cos 2 x=1 .

Jakamalla yhtälön molemmat puolet asyntix+ bcosx = 0 aikaväliltä cosx, saamme: + =0

Tehdään muunnokset:

1. Koska = tg x siis =ja tg x

2 pienentää cosx, sitten

Siten saamme seuraavan lausekkeen ja tg x + b = 0.

Tehdään muunnos:

1. Siirrä b vastakkaisen merkin lausekkeen oikealle puolelle

ja tg x \u003d - b

2. Päästä eroon kertoimesta ja jakamalla yhtälön molemmat puolet a:lla

tg x= -.

Johtopäätös: Muodon yhtälö ja syntiämx+bcosmx = 0 (ja sini em x plus kosini em x on nolla) kutsutaan myös ensimmäisen asteen homogeeniseksi trigonometriseksi yhtälöksi. Ratkaise se jakamalla molemmat puolet cosmx.

ESIMERKKI 1. Ratkaise yhtälö 7 sin - 5 cos \u003d 0 (seitsemän sini x kahdella miinus viisi kosini x kahdella on nolla)

Ratkaisu. Jaamme yhtälön molemmat osat termillä cos:lla, saamme

1. \u003d 7 tg (koska sinin ja kosinin suhde on tangentti, niin seitsemän sini x kahdella jaettuna kosinilla x kahdella on yhtä suuri kuin 7 tangentti x kahdella)

2. -5 = -5 (kun lyhennettynä cos)

Näin saimme yhtälön

7tg - 5 = 0, Muunnetaan lauseke, siirretään miinus viisi oikealle vaihtaen etumerkkiä.

Olemme pelkistäneet yhtälön muotoon tg t = a, missä t=, a =. Ja koska tällä yhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle a ja nämä ratkaisut näyttävät

x \u003d arctg a + πn, yhtälömme ratkaisu näyttää tältä:

Arctg + πn, etsi x

x \u003d 2 arctan + 2πn.

Vastaus: x \u003d 2 arctg + 2πn.

Siirrytään homogeeniseen toisen asteen trigonometriseen yhtälöön

asin 2 x+b sin x cos x +Kanssacos2 x = 0.

Tarkastellaan useita tapauksia.

I. Jos a = 0, yhtälö saa muodon bsyntixcosx+ccos 2 x= 0.

Kun ratkaistaan ​​e sitten käytämme yhtälöiden faktorointimenetelmää. Otetaan pois cosx suluissa ja saamme: cosx(bsyntix+ccosx)= 0 . Missä cosx= 0 tai

b sin x +Kanssacos x = 0. Ja me tiedämme jo kuinka ratkaista nämä yhtälöt.

Jaamme yhtälön molemmat osat termillä cosx:lla, saamme

1 (koska sinin ja kosinin suhde on tangentti).

Siten saamme yhtälön: b tg x+c=0

Olemme pelkistäneet yhtälön muotoon tg t = a, missä t= x, a =. Ja koska tällä yhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle a ja nämä ratkaisut näyttävät

x \u003d arctg a + πn, niin yhtälömme ratkaisu on:

x \u003d arctg + πn, .

II. Jos a≠0, niin jaamme yhtälön molemmat osat termeiltä cos 2 x.

(Vastaan ​​samalla tavalla, kuten ensimmäisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön tapauksessa, kosini x ei voi kadota).

III. Jos c = 0, yhtälö saa muodon asynti 2 x+ bsyntixcosx= 0. Tämä yhtälö ratkaistaan ​​faktorointimenetelmällä (poista syntix suluissa).

Joten yhtälön ratkaisemisessa asynti 2 x+ bsyntixcosx+ccos 2 x= 0 voit seurata algoritmia:

ESIMERKKI 2. Ratkaise yhtälö sinxcosx - cos 2 x= 0 (sini x kertaa kosini x miinus kolme kertaa kosinin neliö x on yhtä suuri kuin nolla).

Ratkaisu. Tehdään kertoimet (sulussa cosx). Saada

cos x(sin x - cos x)= 0, ts. cos x=0 tai sin x - cos x= 0.

Vastaus: x \u003d + πn, x \u003d + πn.

ESIMERKKI 3. Ratkaise yhtälö 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (kahden x kolmen sinineliö miinus kaksi x sinin ja kahden x kosinin plus kolmen x kahden x:n kosinin neliö) ja etsi sen väliin (- π; π) kuuluvat juuret.

Ratkaisu. Tämä yhtälö ei ole homogeeninen, joten suoritamme muunnoksia. Yhtälön oikealla puolella oleva luku 2 korvataan tulolla 2 1

Koska trigonometrisen perusidentiteetin mukaan sin 2 x + cos 2 x \u003d 1, niin

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = avaamalla sulut saadaan: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Joten yhtälö 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 saa muodon:

3sin 2 2x - 2sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x =0.

Olemme saaneet toisen asteen homogeenisen trigonometrisen yhtälön. Sovelletaan termikohtaista jakoa cos 2 2x:llä:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja z= tg2х.

Meillä on z 2 - 2 z + 1 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö. Huomioimalla vasemmalla puolella olevan lyhennetyn kertolaskukaavan - erotuksen neliön (), saamme (z - 1) 2 = 0, ts. z = 1. Palataan käänteiseen substituutioon:

Olemme vähentäneet yhtälön muotoon tg t \u003d a, jossa t \u003d 2x, a \u003d 1. Ja koska tällä yhtälöllä on ratkaisu mille tahansa arvolle a ja nämä ratkaisut näyttävät

x \u003d arctg x a + πn, niin yhtälömme ratkaisu on:

2x \u003d arctg1 + πn,

x \u003d + , (x on yhtä kuin summa pi kertaa kahdeksan ja pi en kertaa kaksi).

Meidän on löydettävä sellaiset x:n arvot, jotka sisältyvät väliin

(- π; π), so. tyydyttää kaksois-epäyhtälö - π x π. Koska

x= +, sitten - π + π. Jaa kaikki tämän epäyhtälön osat π:llä ja kerrotaan 8:lla, saadaan

siirrä yksikköä oikealle ja vasemmalle muuttamalla merkin miinus ykköseksi

jakaa neljällä saamme

mukavuussyistä valitsemme kokonaislukuosat murtoluvuissa

-

Tämä epäyhtälö täyttyy seuraavalla kokonaisluvulla n: -2, -1, 0, 1

"Ihmisen suuruus on hänen kyvyssään ajatella."
Blaise Pascal.

Oppitunnin tavoitteet:

1) Koulutuksellinen- perehdyttää opiskelijat homogeenisiin yhtälöihin, pohtia niiden ratkaisumenetelmiä, edistää valmiuksien muodostumista aiemmin tutkittujen trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

2) Koulutuksellinen- kehittää opiskelijoiden luovaa toimintaa, kognitiivista toimintaa, loogista ajattelua, muistia, kykyä työskennellä ongelmatilanteessa, saavuttaa kyky oikein, johdonmukaisesti, rationaalisesti ilmaista ajatuksiaan, laajentaa opiskelijoiden näköaloja, nostaa heidän matemaattisen kulttuurinsa taso.

3) Koulutuksellinen- viljellä halua itsensä kehittämiseen, kovaa työtä, muodostaa kykyä taitavasti ja tarkasti suorittaa matemaattisia tietueita, viljellä aktiivisuutta, edistää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan.

Oppitunnin tyyppi: yhdistetty.

Laitteet:

1. Rei'ityskortit kuudelle opiskelijalle.
2. Kortit opiskelijoiden itsenäiseen ja yksilölliseen työhön.
3. Seittää "Trigonometristen yhtälöiden ratkaisu", "Numeerinen yksikköympyrä".
4. Sähköistetyt trigonometriataulukot.
5. Esitys oppitunnille (Liite 1).

Tuntien aikana

1. Organisaatiovaihe (2 minuuttia)

Keskinäinen tervehdys; opiskelijoiden valmiuden tarkistaminen oppitunnille (työpaikka, ulkonäkö); huomion järjestäminen.

Opettaja kertoo oppilaille oppitunnin aiheen (dia 2) ja selittää, että työpöydällä olevaa monistetta käytetään oppitunnin aikana.

2. Teoreettisen materiaalin toisto (15 minuuttia)

Tehtävät reikäkorteilla(6 henkilöä) . Työaika reikäkorteilla - 10 min (Liite 2)

Tehtäviä ratkaisemalla opiskelija oppii, missä trigonometrisiä laskelmia sovelletaan. Seuraavat vastaukset saadaan: kolmiomittaus (tekniikka, joka mahdollistaa etäisyyksien mittaamisen lähellä oleviin tähtiin tähtitieteessä), akustiikka, ultraääni, tomografia, geodesia, kryptografia.

(dia 5)

etukysely.

1. Mitä yhtälöitä kutsutaan trigonometrisiksi?
2. Millaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä tiedät?
3. Mitä yhtälöitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi trigonometrisiksi yhtälöiksi?
4. Mitä yhtälöitä kutsutaan neliöllisiksi trigonometrisiksi?
5. Muotoile a:n arsinin määritelmä.
6. Muotoile a:n kaarikosinin määritelmä.
7. Muotoile a:n arctangentin määritelmä.
8. Muotoile a:n käänteisen tangentin määritelmä.

Peli "Arvaa salaussana"

Blaise Pascal sanoi kerran, että matematiikka on niin vakava tiede, ettei sitä pidä hukata mahdollisuutta tehdä siitä hieman viihdyttävämpi. Joten suosittelen pelaamaan. Kun olet ratkaissut esimerkit, määritä numerosarja, josta salattu sana koostuu. Latinaksi tämä sana tarkoittaa "sini". (dia 3)

2) arctan (-√3)

4) tg(kaari cos(1/2))

5) tg (kaari ctg √3)

Vastaus: "Taivuta"

Peli "Hajallaan oleva matemaatikko»

Suullisen työn tehtävät projisoidaan näytölle:

Tarkista yhtälöiden ratkaisun oikeellisuus.(oikea vastaus näkyy diassa opiskelijan vastauksen jälkeen). (dia 4)

	Vastaukset virheellisesti	Oikeat vastaukset
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Kotitehtävien tarkistaminen.

Opettaja varmistaa kaikkien opiskelijoiden kotitehtävien oikeellisuuden ja tietoisuuden; tunnistaa tiedon puutteita; parantaa opiskelijoiden tietoja, taitoja ja kykyjä yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa.

1 yhtälö. Opiskelija kommentoi yhtälön ratkaisua, jonka rivit näkyvät diassa kommentin järjestyksessä). (dia 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.

2x \u003d π / 6 + πn, n ∈Z.

x \u003d π / 12+ π/2 n, n ∈Z.

2 yhtälö. Ratkaisu h kirjoitettu taululle opiskelijoille.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Uuden tiedon realisointi (3 minuuttia)

Opiskelijat muistelevat opettajan pyynnöstä tapoja ratkaista trigonometrisiä yhtälöitä. He valitsevat ne yhtälöt, jotka he jo osaavat ratkaista, nimeävät yhtälön ratkaisutavan ja tuloksen . Vastaukset näkyvät diassa. (dia 7) .

Uuden muuttujan esittely:

Nro 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

Olkoon sinx = t, sitten:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Faktorisointi:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 tai 3 sinx - 1 = 0; …

Numero 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

Nro 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Opettaja: Et vielä tiedä kuinka ratkaista kahta viimeistä yhtälötyyppiä. Molemmat ovat samaa tyyppiä. Niitä ei voida pelkistää sinx- tai cosx-funktioiden yhtälöksi. Kutsutaan homogeeniset trigonometriset yhtälöt. Mutta vain ensimmäinen on ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö ja toinen on toisen asteen homogeeninen yhtälö. Tänään oppitunnilla tutustut tällaisiin yhtälöihin ja opit ratkaisemaan ne.

4. Uuden materiaalin selittäminen (25 minuuttia)

Opettaja antaa opiskelijoille homogeenisten trigonometristen yhtälöiden määritelmät, esittelee tapoja ratkaista niitä.

Määritelmä. Kutsutaan yhtälöä muotoa a sinx + b cosx =0, jossa a ≠ 0, b ≠ 0 ensimmäisen asteen homogeeninen trigonometrinen yhtälö.(dia 8)

Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on yhtälö #3. Kirjoitetaan yhtälön yleinen muoto ja analysoidaan se.

ja sinx + b cosx = 0.

Jos cosx = 0, niin sinx = 0.

– Voiko tällainen tilanne tapahtua?

- Ei. Olemme saaneet ristiriidan trigonometrisen perusidentiteetin kanssa.

Tästä syystä cosx ≠ 0. Suoritetaan termi termi jako cosx:lla:

a tgx + b = 0

tgx = -b/a on yksinkertaisin trigonometrinen yhtälö.

Johtopäätös: Ensimmäisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​jakamalla yhtälön molemmat puolet cosx:lla (sinx).

Esimerkiksi: 2 sinx - 3 cosx = 0,

Koska cosx ≠ 0, sitten

tgx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z.

Määritelmä. Kutsutaan yhtälöä muotoa a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , jossa a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 toisen asteen trigonometrinen yhtälö. (dia 8)

Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on yhtälö #4. Kirjoitetaan yhtälön yleinen muoto ja analysoidaan se.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Jos cosx = 0, niin sinx = 0.

Saimme jälleen ristiriidan trigonometrisen perusidentiteetin kanssa.

Siten cosx ≠ 0. Suoritetaan termi termi jako cos 2 x:llä:

ja tg 2 x + b tgx + c = 0 on toisen asteen yhtälö.

Johtopäätös: Oh toisen asteen homogeeniset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ​​jakamalla yhtälön molemmat puolet luvulla cos 2 x (sin 2 x).

Esimerkiksi: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Koska cos 2 x ≠ 0, sitten

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Pyydä oppilasta menemään taululle ja täydentämään yhtälö itse).

Korvaus: tgx = y. 3v 2 - 4v + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 tai y 2 = 1/3

tgx=1 tai tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Opiskelijoiden uuden materiaalin ymmärryksen tarkistusvaihe (1 min.)

Valitse ylimääräinen yhtälö:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(dia 9)

6. Uuden materiaalin yhdistäminen (24 min).

Opiskelijat yhdessä taululle vastaajien kanssa ratkaisevat yhtälöitä uudelle materiaalille. Tehtävät kirjoitetaan dialle taulukon muodossa. Yhtälöä ratkaistaessa diassa oleva kuvan vastaava osa avautuu. 4 yhtälön suorittamisen seurauksena opiskelijoiden eteen avautuu muotokuva matemaatikosta, jolla oli merkittävä vaikutus trigonometrian kehitykseen. (Oppilaat tunnistavat Francois Vietan muotokuvan - suuren matemaatikon, joka antoi suuren panoksen trigonometriaan, löysi pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurten ominaisuuden ja harjoitti kryptografiaa) . (dia 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Koska cosx ≠ 0, sitten

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21 cos 2 x \u003d 0.

Koska cos 2 x ≠ 0, sitten tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

Korvaus: tgx = y.

v 2 - 10 v + 21 = 0

y 1 = 7 tai y 2 = 3

tgx=7 tai tgx=3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Koska cos 2 2x ≠ 0, sitten 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Korvaus: tg2x = y.

3v 2 - 6v + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 tai y 2 = 1

tg2x=5 tai tg2x=1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2x = arctg1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

Koska cos 2 x ≠ 0, sitten 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Korvaus: tg x = y.

5v 2 + 4v - 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 tai y 2 = -1

tgx = 1/5 tai tgx = -1

x = arctg1/5 + πn, n ∈Z

x = arctg(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Ekstrat (kortissa):

Ratkaise yhtälö ja valitse yksi neljästä ehdotetusta vaihtoehdosta, arvaa pelkistyskaavat johtaneen matemaatikon nimi:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Vastausvaihtoehdot:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctaani 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklid

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonard Euler

Oikea vastaus: Leonhard Euler.

7. Eriytetty itsenäinen työskentely (8 min.)

Suuri matemaatikko ja filosofi ehdotti yli 2500 vuotta sitten tapaa kehittää henkisiä kykyjä. "Ajatteleminen alkaa ihmettelystä", hän sanoi. Olemme toistuvasti vakuuttuneita näiden sanojen oikeellisuudesta tänään. Kun olet suorittanut itsenäisen työn kahdella vaihtoehdolla, voit näyttää kuinka opit materiaalin ja selvittää tämän matemaatikon nimen. Käytä itsenäiseen työskentelyyn työpöydälläsi olevaa monistetta. Voit valita itse yhden kolmesta ehdotetusta yhtälöstä. Mutta muista, että ratkaisemalla keltaista vastaavan yhtälön saat vain "3", ratkaisemalla vihreää vastaavan yhtälön - "4", punaisen - "5". (Liite 3)

Riippumatta vaikeustasosta opiskelijat valitsevat, yhtälön oikean ratkaisun jälkeen ensimmäinen vaihtoehto saa sanan "ARIST", toinen - "HOTELLI". Dialta löytyy sana: "ARIST-HOTEL". (dia 11)

Itsenäistä työtä sisältävät esitteet luovutetaan tarkistettavaksi. (Liite 4)

8. Kotitehtävien tallentaminen (1 min)

D/z: §7.17. Laadi ja ratkaise 2 ensimmäisen asteen homogeenista yhtälöä ja 1 toisen asteen homogeeninen yhtälö (käyttämällä kokoamiseen Vietan lausetta). (dia 12)

9. Oppitunnin yhteenveto, arvosana (2 minuuttia)

Opettaja kiinnittää jälleen huomion sellaisiin yhtälötyyppeihin ja teoreettisiin faktoihin, jotka muistettiin oppitunnilla, puhuu niiden oppimisen tarpeesta.

Oppilaat vastaavat kysymyksiin:

1. Millaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä tunnemme?
2. Miten nämä yhtälöt ratkaistaan?

Opettaja panee merkille yksittäisten oppilaiden oppitunnin menestyneimmän työn, antaa arvosanat.