Tällä oppitunnilla opimme hajottamaan neliötrinomit lineaarisiksi tekijöiksi. Tätä varten on muistettava Vietan lause ja sen käänteiskappale. Tämä taito auttaa meitä hajottamaan neliötrinomit nopeasti ja kätevästi lineaarisiksi tekijöiksi ja myös yksinkertaistamaan lausekkeista koostuvien murtolukujen pelkistämistä.

Joten takaisin toisen asteen yhtälöön , jossa .

Se, mitä meillä on vasemmalla, kutsutaan neliötrinomiksi.

Lause on totta: Jos ovat neliötrinomin juuret, niin identiteetti on tosi

Missä on johtava kerroin, ovat yhtälön juuret.

Joten meillä on toisen asteen yhtälö - neliötrinomi, jossa toisen yhtälön juuria kutsutaan myös toisen asteen trinomin juuriksi. Siksi, jos meillä on neliötrinomin juuret, tämä trinomi jaetaan lineaarisiin tekijöihin.

Todiste:

Tämä tosiasia todistetaan käyttämällä Vieta-lausetta, jota tarkastelimme aikaisemmilla oppitunneilla.

Muistetaan mitä Vietan lause kertoo meille:

Jos ovat neliön trinomin juuret, joille , Sitten .

Tämä lause sisältää seuraavan väitteen, että .

Näemme, että Vieta-lauseen mukaan, eli korvaamalla nämä arvot yllä olevaan kaavaan, saadaan seuraava lauseke

Q.E.D.

Muista, että todistimme lauseen, että jos ovat neliötrinomin juuret, niin hajoaminen on pätevä.

Muistetaan nyt esimerkki toisen asteen yhtälöstä, jolle valittiin juuret Vietan lauseella. Tästä tosiasiasta voimme saada seuraavan yhtälön todistetun lauseen ansiosta:

Tarkastetaan nyt tämän tosiasian oikeellisuus yksinkertaisesti laajentamalla sulkuja:

Näemme, että kerroimme oikein, ja mikä tahansa trinomi, jos sillä on juuret, voidaan laskea tämän lauseen mukaisesti lineaarisiksi tekijöiksi kaavan mukaan

Tarkastetaan kuitenkin, onko tällainen tekijöiden jakaminen mahdollista jollekin yhtälölle:

Otetaan esimerkiksi yhtälö. Ensin tarkistetaan erottajan merkki

Ja muistamme, että oppimamme lauseen täyttämiseksi D:n on oltava suurempi kuin 0, joten sisään Tämä tapaus faktorointi tutkitulla lauseella on mahdotonta.

Siksi muotoilemme uuden lauseen: jos neliötrinomilla ei ole juuria, sitä ei voida hajottaa lineaarisiin tekijöihin.

Joten, olemme tarkastelleet Vieta-lausetta, mahdollisuutta hajottaa neliötrinomi lineaarisiksi tekijöiksi, ja nyt ratkaisemme useita ongelmia.

Tehtävä 1

Tässä ryhmässä ratkaisemme ongelman päinvastoin kuin esitetty. Meillä oli yhtälö, ja löysimme sen juuret, jotka hajosivat tekijöiksi. Tässä tehdään päinvastoin. Oletetaan, että meillä on toisen asteen yhtälön juuret

Käänteinen ongelma on tämä: kirjoita toisen asteen yhtälö niin, että ne olivat sen juuret.

On 2 tapaa ratkaista tämä ongelma.

Koska ovat siis yhtälön juuret on toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat numeroita. Avataan nyt sulut ja tarkistetaan:

Tämä oli ensimmäinen tapa, jolla loimme annetuilla juurilla toisen asteen yhtälön, jolla ei ole muita juuria, koska millä tahansa toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi juuria.

Tämä menetelmä sisältää käänteisen Vieta-lauseen käytön.

Jos ovat yhtälön juuret, ne täyttävät ehdon, että .

Vähennetylle toisen asteen yhtälölle , , eli tässä tapauksessa , ja .

Näin ollen olemme luoneet toisen asteen yhtälön, jolla on annetut juuret.

Tehtävä #2

Sinun on vähennettävä murto-osaa.

Meillä on trinomi osoittajassa ja trinomi nimittäjässä, ja trinomit voidaan kertoa tai olla kertomatta. Jos sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan, niiden joukossa voi olla yhtä suuria kertoimia, joita voidaan vähentää.

Ensinnäkin on tarpeen kertoa osoittaja.

Ensin sinun on tarkistettava, voidaanko tämä yhtälö ottaa huomioon, löytää erottaja . Koska , niin etumerkki riippuu tulosta (on oltava pienempi kuin 0), tässä esimerkissä eli annetulla yhtälöllä on juuret.

Ratkaisussa käytämme Vieta-lausetta:

Tässä tapauksessa, koska olemme tekemisissä juurien kanssa, on melko vaikeaa yksinkertaisesti poimia juuria. Mutta näemme, että kertoimet ovat tasapainossa, eli jos oletetaan, että , ja korvataan tämä arvo yhtälöön, niin saadaan seuraava järjestelmä: eli 5-5=0. Siten olemme valinneet yhden tämän toisen asteen yhtälön juurista.

Etsimme toista juuria korvaamalla yhtälöjärjestelmässä jo tunnetun, esim. ts. .

Siten olemme löytäneet toisen asteen yhtälön molemmat juuret ja voimme korvata niiden arvot alkuperäiseen yhtälöön kertoaksemme sen:

Muista alkuperäinen ongelma, meidän piti vähentää murto-osaa.

Yritetään ratkaista ongelma korvaamalla osoittaja .

Ei pidä unohtaa, että tässä tapauksessa nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin 0, ts.

Jos nämä ehdot täyttyvät, olemme vähentäneet alkuperäisen murto-osan muotoon .

Tehtävä #3 (tehtävä parametrilla)

Millä parametrin arvoilla on toisen asteen yhtälön juurien summa

Jos tämän yhtälön juuret ovat olemassa, niin , kysymys kuuluu milloin.

Neliötrinomien tekijöihin jakaminen on yksi niistä koulutehtävistä, jotka jokainen kohtaa ennemmin tai myöhemmin. Kuinka tehdä se? Mikä on kaava neliötrinomin laskemiseen? Käydään se läpi vaihe vaiheelta esimerkkien avulla.

Yleinen kaava

Neliötrinomien tekijöihin jako suoritetaan ratkaisemalla toisen asteen yhtälö. Tämä on yksinkertainen tehtävä, joka voidaan ratkaista useilla menetelmillä - etsimällä diskriminantti Vieta-lauseen avulla on myös graafinen tapa ratkaista se. Kaksi ensimmäistä menetelmää opiskellaan lukiossa.

Yleinen kaava näyttää tältä:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Tehtävän suoritusalgoritmi

Neliötrinomien kertomista varten sinun tulee tuntea Witin lause, olla käsillä ratkaisuohjelma, osata löytää ratkaisu graafisesti tai etsiä toisen asteen yhtälön juuria diskriminanttikaavan kautta. Jos neliötrinomi on annettu ja se on otettava huomioon, toimintojen algoritmi on seuraava:

1) Yhdistä alkuperäinen lauseke nollaan yhtälön saamiseksi.

2) Anna samanlaiset termit (tarvittaessa).

3) Etsi juuret millä tahansa tunnetulla menetelmällä. Graafista menetelmää käytetään parhaiten, jos tiedetään etukäteen, että juuret ovat kokonaislukuja ja pieniä lukuja. On muistettava, että juurien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälön maksimiaste, eli toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.

4) Korvaava arvo X lausekkeeseen (1).

5) Kirjoita neliötrinomien kertoimet muistiin.

Esimerkkejä

Harjoittelu antaa sinun lopulta ymmärtää, kuinka tämä tehtävä suoritetaan. Esimerkit havainnollistavat neliötrinomin kertoimia:

sinun täytyy laajentaa ilmaisua:

Käytämme algoritmiamme:

1) x 2 -17x+32=0

2) samankaltaisia ​​termejä vähennetään

3) Vieta-kaavan mukaan tälle esimerkille on vaikea löytää juuria, joten on parempi käyttää lauseketta diskriminantille:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Korvaa hajoamisen pääkaavassa löytämämme juuret:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Sitten vastaus on:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Tarkastetaan, vastaavatko diskriminantin löytämät ratkaisut Vieta-kaavoja:

14,845 . 2,155=32

Näihin juuriin sovelletaan Vietan lausetta, ne löytyivät oikein, mikä tarkoittaa, että myös saamamme tekijöiden jako on oikea.

Samalla tavalla laajennamme 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Edellisessä tapauksessa ratkaisut olivat ei-kokonaislukuja, vaan reaalilukuja, jotka on helppo löytää edessä olevalla laskimella. Harkitse nyt monimutkaisempaa esimerkkiä, jossa juuret ovat monimutkaisia: kerro x 2 + 4x + 9. Vieta-kaavan mukaan juuria ei löydy, ja diskriminantti on negatiivinen. Juuret ovat monimutkaisella tasolla.

D = -20

Tämän perusteella saamme juuri meitä kiinnostavat juuret -4 + 2i * 5 1/2 ja -4-2i * 5 1/2, koska (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Halutun laajennuksen saamme korvaamalla juuret yleiseen kaavaan.

Toinen esimerkki: sinun on kerrottava lauseke 23x 2 -14x + 7.

Meillä on yhtälö 23x2 -14x+7 =0

D = -448

Joten juuret ovat 14+21,166i ja 14-21,166i. Vastaus tulee olemaan:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Otetaan esimerkki, joka voidaan ratkaista ilman erottimen apua.

Olkoon tarpeen hajottaa toisen asteen yhtälö x 2 -32x + 255. Ilmeisesti se voidaan ratkaista myös diskriminantilla, mutta tässä tapauksessa on nopeampaa löytää juuret.

x 1 = 15

x2=17

Keinot x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Online-laskin.
Binomin neliön valinta ja neliötrinomin kertoimet.

Tämä matematiikkaohjelma erottaa binomiaalin neliön neliötrinomista, eli tekee muodon muunnoksen:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) ja kertoi neliötrinomin: \(ax^2+bx+c \nuoli oikealle a(x+n)(x+m) \)

Nuo. tehtävät rajoittuvat numeroiden \(p, q \) ja \(n, m \) löytämiseen

Ohjelma ei ainoastaan ​​anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille valmistautuessaan kokeisiin ja kokeisiin, kun he testaavat tietoja ennen yhtenäistä valtionkoetta, vanhemmille hallitsemaan monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Näin voit toteuttaa omaa ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustasoa ratkaistavissa tehtävissä nostetaan.

Jos et tunne neliötrinomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt neliöpolynomin syöttämiseksi

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaislukuina tai murtolukuina.
Lisäksi murtolukuja voidaan syöttää ei vain desimaalin, vaan myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtoluvuissa murto-osa kokonaisluvusta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi kirjoittaa desimaalit seuraavasti: 2,5x - 3,5x^2

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Numeerista murtolukua syötettäessä osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Tulo: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Tulos: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Kun syötät lausekkeen voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa, kun ratkaistaan, esitetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkki: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Yksityiskohtainen ratkaisuesimerkki

Binomin neliön valinta.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Vastaus:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisointi.$$ ax^2+bx+c \nuoli oikealle a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\vasen(x^2+x-2 \oikea) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \oikea) = $$ $$ 2 \vasen(x -1 \oikea) \vasen(x +2 \oikea) $$ Vastaus:$$2x^2+2x-4 = 2 \vasen(x -1 \oikea) \vasen(x +2 \oikea) $$

Päättää

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei ehkä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota, ole hyvä sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Neliöbinomiaalin erottaminen neliötrinomista

Jos neliötrinomi ax 2 + bx + c esitetään muodossa (x + p) 2 + q, missä p ja q ovat reaalilukuja, niin he sanovat, että alkaen neliötrinomi, binomiaalin neliö on korostettuna.

Otetaan binomiaalin neliö trinomista 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Tätä varten esitämme 6x luvun 2 * 3 * x tulona ja sitten lisäämme ja vähennämme 3 2 . Saamme:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Että. me valitsi binomiaalin neliön neliötrinomista ja osoitti, että:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Neliötrinomin kertoimia

Jos neliötrinomi ax 2 +bx+c esitetään muodossa a(x+n)(x+m), missä n ja m ovat reaalilukuja, niin operaatio sanotaan suoritetuksi neliötrinomin kertoimet.

Käytämme esimerkkiä osoittamaan, kuinka tämä muunnos tehdään.

Otetaan kertoimella neliötrinomi 2x 2 +4x-6.

Otetaan kerroin a suluista, ts. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Muunnetaan suluissa oleva lauseke.
Tätä varten esitämme 2x erotuksena 3x-1x ja -3 -1*3. Saamme:
$$ = 2(x^2+3 \cpiste x -1 \cpiste x -1 \cpiste 3) = 2(x(x+3)-1 \cpiste (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Että. me kerroin neliötrinomin kertoimella ja osoitti, että:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Huomaa, että neliötrinomin tekijöihin jakaminen on mahdollista vain, kun tätä trinomia vastaavalla toisen asteen yhtälöllä on juuret.
Nuo. meidän tapauksessamme trinomin 2x 2 +4x-6 faktorointi on mahdollista, jos toisen asteen yhtälöllä 2x 2 +4x-6 =0 on juuret. Factoring-prosessissa havaitsimme, että yhtälöllä 2x 2 +4x-6 =0 on kaksi juuria 1 ja -3, koska näillä arvoilla yhtälö 2(x-1)(x+3)=0 muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Kirjat (oppikirjat) Yhtenäisen valtiontutkinnon tiivistelmät ja OGE-testit verkossa Pelit, palapelit Toimintojen piirtäminen Venäjän kielen oikeinkirjoitussanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäjän koulujen luettelo Venäjän toisen asteen koulujen luettelo Venäjän yliopistojen luettelo Tehtäväluettelo

Neliötrinomin kertoimia voi olla hyödyllistä ratkaistaessa epäyhtälöitä tehtävästä C3 tai tehtävästä parametrilla C5. Myös monet B13-sanatehtävät ratkeavat paljon nopeammin, jos tunnet Vietan lauseen.

Tätä lausetta voidaan tietysti tarkastella 8. luokan näkökulmasta, jossa se ensimmäisen kerran on hyväksytty. Mutta tehtävämme on valmistautua kokeeseen hyvin ja oppia ratkaisemaan koetehtävät mahdollisimman tehokkaasti. Siksi tällä oppitunnilla lähestymistapa on hieman erilainen kuin koulun lähestymistapa.

Yhtälön juurien kaava Vietan lauseen mukaan tiedä (tai ainakin nähnyt) monia:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

missä "a, b" ja "c" ovat neliötrinomin "ax^2+bx+c" kertoimet.

Oppiaksesi käyttämään lausetta helposti, ymmärrämme, mistä se tulee (se on todella helpompi muistaa tällä tavalla).

Otetaan yhtälö `ax^2+ bx+ c = 0`. Lisämukavuuden vuoksi jaamme sen "a":lla ja saamme "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0". Sellainen yhtälö kutsutaan pelkistetyksi toisen asteen yhtälöksi.

Tärkeitä opetuspisteitä: mikä tahansa neliöpolynomi, jolla on juuret, voidaan jakaa hakasulkeisiin. Oletetaan, että meidän omamme voidaan esittää muodossa "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)", missä "k" ja "l" - joitain vakioita.

Katsotaan kuinka sulut avautuvat:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Siten "k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)".

Tämä eroaa hieman klassisesta tulkinnasta Vietan lauseet- siitä etsimme yhtälön juuria. Ehdotan etsiä termejä kannattimen laajennukset- joten sinun ei tarvitse muistaa miinusta kaavasta (eli `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Riittää, kun valitaan kaksi tällaista lukua, joiden summa on yhtä suuri kuin keskimääräinen kerroin ja tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Jos tarvitsemme ratkaisun yhtälöön, se on ilmeistä: juuret `x=-k` tai `x=-l` (koska näissä tapauksissa yksi suluista on nolla, mikä tarkoittaa, että koko lauseke on yhtä kuin nolla).

Näytän esimerkiksi algoritmin, kuinka jakaa neliöpolynomin hakasulkeisiin.

Esimerkki yksi. Algoritmi neliötrinomin faktorointiin

Polkumme on neliötrinomi `x^2+5x+4`.

Se pienenee (kerroin "x^2" on yhtä suuri kuin yksi). Hänellä on juuret. (Varmuuden vuoksi voit arvioida erottimen ja varmistaa, että se on suurempi kuin nolla.)

Lisävaiheet (ne täytyy oppia suorittamalla kaikki koulutustehtävät):

1. Tee seuraava merkintä: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Jätä vapaata tilaa pisteiden sijasta, lisäämme sinne sopivat numerot ja merkit.
2. Näytä kaikki mahdollisia vaihtoehtoja, kuinka voit jakaa luvun 4 kahden luvun tuloksi. Saamme "ehdokkaiden" parit yhtälön juurille: `2, 2` ja `1, 4`.
3. Arvioi, mistä parista saat keskimääräisen kertoimen. Ilmeisesti se on "1, 4".
4. Kirjoita $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Seuraava askel on asettaa kyltit lisättyjen numeroiden eteen.

   Kuinka ymmärtää ja muistaa ikuisesti, mitä merkkejä pitäisi olla suluissa olevien numeroiden edessä? Yritä laajentaa niitä (sulut). Kerroin ennen x:ää ensimmäiseen potenssiin on '(± 4 ± 1)' (emme vielä tiedä merkkejä - meidän on valittava), ja sen pitäisi olla '5'. Ilmeisesti tässä on kaksi plussaa $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Suorita tämä toimenpide useita kertoja (hei, harjoitustehtävät!), eikä tästä tule koskaan enempää ongelmia.

Jos sinun on ratkaistava yhtälö `x^2+5x+4`, sen ratkaisu ei nyt ole vaikeaa. Sen juuret ovat "-4, -1".

Toinen esimerkki. Neliötrinomin faktorointi eri etumerkkien kertoimilla

Meidän on ratkaistava yhtälö `x^2-x-2=0`. Pohjimmiltaan diskriminantti on positiivinen.

Noudatamme algoritmia.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. On vain yksi kokonaislukukerroin 2: `2 · 1`.
3. Ohitamme asian - ei ole mitään, mistä valita.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Lukujemme tulo on negatiivinen (`-2` on vapaa termi), mikä tarkoittaa, että yksi niistä on negatiivinen ja toinen positiivinen.
   Koska niiden summa on yhtä suuri kuin "-1" (kerroin "x", niin "2" on negatiivinen (intuitiivinen selitys - kaksi on suurempi kahdesta numerosta, se "vetää" enemmän negatiiviseen suuntaan). Saamme $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Kolmas esimerkki. Neliötrinomin kertoimia

Yhtälö "x^2+5x -84 = 0".

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Arvon 84 jakaminen kokonaislukuihin: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Koska tarvitsemme lukujen erotuksen (tai summan) olevan 5, pari "7, 12" sopii.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Toivoa, tämän neliötrinomin hajottaminen suluihin ymmärrettävästi.

Jos tarvitset ratkaisun yhtälöön, niin tässä se on: `12, -7`.

Harjoittelutehtävät

Tässä on muutamia esimerkkejä, jotka on helppo tehdä ratkaistaan ​​Vietan lauseella.(Esimerkit otettu matematiikasta, 2002.)

1. "x^2+x-2=0".
2. "x^2-x-2=0".
3. "x^2+x-6=0".
4. "x^2-x-6=0".
5. "x^2+x-12=0".
6. "x^2-x-12=0".
7. "x^2+x-20=0".
8. "x^2-x-20=0".
9. "x^2+x-42=0".
10. "x^2-x-42=0".
11. "x^2+x-56=0".
12. "x^2-x-56=0".
13. "x^2+x-72=0".
14. "x^2-x-72=0".
15. "x^2+x-110=0".
16. "x^2-x-110=0".
17. "x^2+x-420=0".
18. "x^2-x-420=0".

Pari vuotta artikkelin kirjoittamisen jälkeen ilmestyi 150 tehtävän kokoelma toisen asteen polynomin laajentamiseksi Vieta-lauseen avulla.

Tykkää ja kysy kommenteissa!

On annettu 8 esimerkkiä polynomien tekijöistä. Ne sisältävät esimerkkejä toisen asteen ja bikvadraattisten yhtälöiden ratkaisemisesta, esimerkkejä toistuvista polynomeista ja esimerkkejä kolmannen ja neljännen asteen polynomien kokonaislukujuurien löytämisestä.

1. Esimerkkejä toisen asteen yhtälön ratkaisusta

Esimerkki 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Päätös

Ota x pois 2 suluille:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Yhtälön juuret:
, .

.

Vastaus

Esimerkki 1.2

Kolmannen asteen polynomin kertominen:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Päätös

Otamme x:n pois suluista:
.
Ratkaisemme toisen asteen yhtälön x 2 + 6 x + 9 = 0:
Sen erottava tekijä on.
Koska diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, yhtälön juuret ovat kerrannaisia: ;
.

Tästä saamme polynomin hajotuksen tekijöiksi:
.

Vastaus

Esimerkki 1.3

Viidennen asteen polynomin kertoimella:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Päätös

Ota x pois 3 suluille:
.
Ratkaisemme toisen asteen yhtälön x 2 - 2 x + 10 = 0.
Sen erottava tekijä on.
Koska diskriminantti on pienempi kuin nolla, yhtälön juuret ovat monimutkaisia: ;
, .

Polynomin kertoimella on muoto:
.

Jos olemme kiinnostuneita faktoroinnista todellisilla kertoimilla, niin:
.

Vastaus

Esimerkkejä polynomien faktorointista kaavoilla

Esimerkkejä bikvadraattisista polynomeista

Esimerkki 2.1

Kerroin kaksikvadraattinen polynomi:
x 4 + x 2 - 20.

Päätös

Käytä kaavoja:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Vastaus

Esimerkki 2.2

Bikvadraattiseksi pelkistävän polynomin kertoimella:
x 8 + x 4 + 1.

Päätös

Käytä kaavoja:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Vastaus

Esimerkki 2.3 rekursiivisella polynomilla

Rekursiivisen polynomin faktorointi:
.

Päätös

Rekursiivisella polynomilla on pariton aste. Siksi sillä on juuri x = - 1 . Jaamme polynomin x:llä - (-1) = x + 1. Tuloksena saamme:
.
Teemme vaihdon:
, ;
;


;
.

Vastaus

Esimerkkejä polynomien faktoroinnista kokonaislukujuurilla

Esimerkki 3.1

Polynomin kertolasku:
.

Päätös

Oletetaan yhtälö

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Joten olemme löytäneet kolme juuria:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Koska alkuperäinen polynomi on kolmannen asteen, sillä ei ole enempää kuin kolme juuria. Koska olemme löytäneet kolme juuria, ne ovat yksinkertaisia. Sitten
.

Vastaus

Esimerkki 3.2

Polynomin kertolasku:
.

Päätös

Oletetaan yhtälö

on vähintään yksi kokonaisluvun juuri. Sitten se on luvun jakaja 2 (jäsen ilman x ). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
-2, -1, 1, 2 .
Korvaa nämä arvot yksitellen:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Jos oletetaan, että tällä yhtälöllä on kokonaislukujuuri, niin se on luvun jakaja 2 (jäsen ilman x ). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 2, -1, -2 .
Korvaa x = -1 :
.

Joten olemme löytäneet toisen juuren x 2 = -1 . Olisi mahdollista, kuten edellisessä tapauksessa, jakaa polynomi arvolla, mutta ryhmittelemme termit:
.

Koska yhtälö x 2 + 2 = 0 ei ole todellisia juuria, niin polynomin tekijöinä on muoto.