Sekä 7. että 8. luokalla ratkaisimme usein yhtälöitä graafisesti. Oletko huomannut, että melkein kaikissa näissä esimerkeissä yhtälöillä oli "hyvät" juuret? Nämä olivat kokonaislukuja, jotka löytyivät helposti kaavioiden avulla, varsinkin ruudulliselta paperilta. Mutta näin ei aina ole, olemme vain poimineet "hyviä" esimerkkejä tähän mennessä.
Tarkastellaan kahta yhtälöä: = 2 - x ja = 4 - x. Ensimmäisellä yhtälöllä on yksi juuri x \u003d 1, koska funktioiden y \u003d ja y \u003d 2 - x kaaviot leikkaavat yhdessä pisteessä A (1; 1) (kuva 112). Toisessa tapauksessa funktioiden - fs ja y \u003d 4 - x kaaviot leikkaavat myös yhdessä pisteessä B (kuva 113), mutta "huonoilla" koordinaateilla. Piirustuksen avulla voimme päätellä, että pisteen B abskissa on suunnilleen yhtä suuri kuin 2,5. Tällaisissa tapauksissa he eivät puhu täsmällisestä, vaan likimääräisestä yhtälön ratkaisusta ja kirjoittavat näin:
Tämä on yksi syistä, miksi matemaatikot päättivät ottaa käyttöön käsitteen reaaliluvun likimääräisestä arvosta. On toinen syy, ja ehkä vielä tärkeämpi: mikä on reaaliluku? Tämä on ääretön desimaali. Mutta on hankalaa tehdä laskelmia äärettömillä desimaaliluvuilla, joten käytännössä käytetään reaalilukujen likimääräisiä arvoja. Esimerkiksi luvulle he käyttävät likimääräistä yhtälöä 3,141 tai 3,142. Ensimmäistä kutsutaan luvun n likimääräiseksi arvoksi (tai likiarvoksi) puutteen tarkkuudella 0,001; toista kutsutaan ylimääräisen luvun k likimääräiseksi arvoksi (likiarvoksi) tarkkuudella 0,001. Tarkempia likiarvoja voidaan ottaa: esim.
3,1415 - likimääräinen puute tarkkuudella 0,0001; 3,1416 on ylimääräinen approksimaatio, jonka tarkkuus on 0,0001. Voit ottaa vähemmän tarkkoja likiarvoja, esimerkiksi tarkkuudella 0,01: 3,14 puutteelle, 3,15 ylimäärälle.
Käytit likimääräistä tasa-arvomerkkiä » 5.-6. luokan matematiikan kursseilla ja luultavasti myös fysiikan kursseilla, ja me käytimme sitä aiemmin esimerkiksi 27 §:ssä.
Esimerkki 1 Etsi likimääräiset arvot puutteelle ja ylimäärälle tarkkuudella 0,01 numeroille:
Ratkaisu,
a) Tiedämme, että = 2,236 . 2,24 on ylimääräinen approksimaatio, jonka tarkkuus on 0,01.
b) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236.... Näin ollen 2 + 4,23 on likimääräinen arvio puutteen tarkkuudella 0,01; 2 + 4,24 on ylimääräinen approksimaatio, jonka tarkkuus on 0,01.
c) Meillä on 0,31818... (katso § 26). Siten 0,31 on likimääräinen puute tarkkuudella 0,01; 0,32 on ylimääräinen approksimaatio tarkkuudella 0,01.
Approksimointia puutteella ja approksimaatiota ylimäärällä kutsutaan joskus luvun pyöristämiseksi.
Määritelmä.
Approksimaatiovirhe (absoluuttinen virhe) on x:n tarkan arvon ja sen likimääräisen arvon a välisen erotuksen moduuli: approksimaatiovirhe on | x - a |.
Esimerkiksi likimääräisen tasa-arvon virhe ilmaistaan muodossa tai vastaavasti muodossa ,
Herää puhtaasti käytännöllinen kysymys: kumpi approksimaatio on parempi, puutteen vai ylimäärän suhteen, eli missä tapauksessa virhe on pienempi? Tämä tietysti riippuu tietystä numerosta, jolle likiarvot tehdään. Yleensä positiivisia lukuja pyöristäessä käytetään seuraavia sääntöjä:
haarukka:
Sovelletaan tätä sääntöä kaikkiin tässä osiossa tarkasteltuihin lukuihin; Valitaan tarkasteltaville luvuille ne approksimaatiot, joiden virhe osoittautuu pienimmäksi.
1) = 3,141592... . Tarkkuudella 0,001 meillä on 3,142; tässä ensimmäinen hylätty numero on 5 (neljännellä desimaalipilkun jälkeen), joten otimme ylimääräisen likiarvon.
Tarkkuudella 0,0001 meillä on 3,1416 - ja tässä otimme ylimääräisen likiarvon, koska ensimmäinen hylätty numero (viidennellä paikalla desimaalipilkun jälkeen) on 9. Mutta tarkkuudella 0,01, meidän on otettava puutelikiarvo : 3.14.
2) = 2,236... . Tarkkuudella 0,01 meillä on 2,24
(ylimääräinen likiarvo). ¦
3) 2 + = 4,236... . Tarkkuudella 0,01 meillä on 2 + 4,24 (ylimääräinen likiarvo).
4) = 0,31818... . Tarkkuudella 0,001 meillä on 0,318 (likimääräinen puute).
Katsotaanpa viimeistä esimerkkiä yksityiskohtaisemmin. Otetaan suurennettu fragmentti koordinaattiviivasta (kuva 114).
Piste kuuluu segmenttiin , mikä tarkoittaa, että sen etäisyydet janan päistä eivät ylitä janan pituutta. Pisteetäisyydet päistä
segmentit ovat vastaavasti yhtä suuret 
segmentti on 0,001. tarkoittaa, 
ja 
Joten molemmissa tapauksissa (sekä likimääräisen luvun puutteella että ylimääräisellä likimäärällä) virhe ei ylitä 0,001.
Toistaiseksi olemme sanoneet: likiarvot 0,01:een, 0,001:een jne. Nyt voimme puhdistaa terminologian käytön.
Jos a on luvun x ja likimääräinen arvo, mo sanotaan, että likiarvon virhe ei ylitä h tai että luku x on yhtä suuri kuin luku a c
h asti.
Miksi on tärkeää pystyä löytämään lukujen likimääräiset arvot? Tosiasia on, että on käytännössä mahdotonta käyttää äärettömiä desimaalilukuja ja käyttää niitä määrien mittaamiseen. Käytännössä monissa tapauksissa tarkkojen arvojen sijasta otetaan likiarvoja ennalta määrätyllä tarkkuudella (virheellä). Tämä ajatus on upotettu myös laskimiin, joiden näytöillä näkyy viimeinen desimaalimurto, eli likimäärä näytöllä näkyvästä numerosta (harvinaisia poikkeuksia lukuun ottamatta, kun näytetty luku on viimeinen desimaalimurto, joka sopii näyttö).
| 1. | 2. | 3. | |||
| 4. | 5. | 6. | |||
| 7. | 8. | 9. | |||
| 10. | 11. | 12. | |||
| 13. | 14. | 15. | |||
| 16. | 17. | 18. | |||
| 19. |  | 20. | 21. | ||
| 22. | 23. | 24. | |||
| 25. | 26. | 27. | |||
| 28. | 29. | 30. |
Tehtävä 6.12.
Laajenna Fourier-sarjassa jaksollinen funktio f(x) jaksolla, joka on annettu välillä .
| 1. | f(x)= . | 2. | f(x)= |
| 3. | f(x)= | 4. | f(x)= |
| 5. | f(x)= | 6. | f(x)= |
| 7. | f(x)= | 8. | f(x)= |
| 9. | f(x)= | 10. | f(x)= |
| 11. | f(x)= | 12. | f(x)= |
| 13. | f(x)= | 14. | f(x)= |
| 15. | f(x)= | 16. | f(x)= |
| 17. | f(x)= | 18. | f(x)= |
| 19. | f(x)= | 20. | f(x)= |
| 21. | f(x)= | 22. | f(x)= |
| 23. | f(x)= | 24. | f(x)= |
| 25. | f(x)= | 26. | f(x)= |
| 27. | f(x)= | 28. | f(x)= |
| 29. | f(x)= | 30. | f(x)= |
Tehtävä 6.13.
Laajenna välillä (0; π) annettu funktio f (x) Fourier-sarjaksi jatkaen (laajentaen) sitä parillisella ja parittomalla tavalla. Piirrä kaavioita jokaiselle jatkolle.
| 1. | f(x) = e x | 2. | f(x)=x2 | 3. | f(x)=x2 |
| 4. | f(x) = ch x | 5. | f (x) \u003d e - x | 6. | f (x) = (x - 1) 2 |
| 7. | f(x) = 3 – x / 2 | 8. | f(x) = sh2x | 9. | f (x) = e 2 x |
| 10. | f (x) = (x - 2) 2 | 11. | f(x) = 4x/3 | 12. | f(x) = chx/2 |
| 13. | f (x) = e 4 x | 14. | f(x)=(x+1)2 | 15. | f(x) = 5 – x |
| 16. | f(x) = sh 3 x | 17. | f (x) \u003d e - x / 4 | 18. | f (x) = (2 x - 1) 2 |
| 19. | f(x) = 6x/4 | 20. | f (x) = ch 4 x | 21. | f (x) \u003d e - 3 x |
| 22. | f (x) = x 2 + 1 | 23. | f(x) = 7 - x / 7 | 24. | f(x) = sh x /5 |
| 25. | f (x) \u003d e - 2 x / 3 | 26. | f (x) = (x - π) 2 | 27. | f(x) = 10 – x |
| 28. | f(x) = ch x / π | 29. | f (x) = e 4 x / 3 | 30. | f (x) = (x - 5) 2 |
Tehtävä 6.14.
Laajenna Fourier-sarjassa määrätyllä aikavälillä jaksollinen funktio f (x) jaksolla .
| 1. | 2. | ||
| 3. | 4. | ||
| 5. |  | 6. | |
| 7. |  | 8. | |
| 9. |  | ||
 | |||
 |  |
||
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
 |  |
||
 |
Tehtävä 6.15.
Etsi tämän numeerisen sarjan summa käyttämällä Fourier-sarjan funktion f (x) laajennusta määritetyllä aikavälillä.
| 1. |  | |
| 2. | ||
| 3. |  | |
| 4. | ||
| 5. |  | |
| 6. |  | |
| 7. | ||
| 8. |  |  |
| 9. | ||
 | ||
| 11. | ||
| 12. |  | |
| 13. |  | |
| 14. |  | |
| 15. | ||
| 16. |  | |
| 17. |  | |
| 18. |  | |
| 19. |  | |
| 20. |  | |
| 21. |  | |
| 22. |  | |
| 23. |  | |
| 24. |  | |
| 25. |  | |
| 26. | ||
| 27. |  | |
| 28. |  | |
| 29. |  | |
| 30. |  |
Valvontatyö numero 7.
"Todennäköisyysteoria"
Tehtävä 7.1.
1. Kumpikin kahdesta 5 urheilijan joukkueesta arvostaa numerot. Kaksi veljestä ovat eri joukkueissa. Laske todennäköisyys, että veljet saavat: a) luvun 4; b) sama numero.
2. Laite sisältää kaksi identtistä itsenäisesti toimivaa lohkoa, joiden häiriöttömän toiminnan todennäköisyys on 0,8. Laske todennäköisyys, että seuraavat asiat toimivat ilman vikaa: a) vain yksi lohko; b) vähintään yksi lohko.
3. Tukiasema lähetti tavarat kahteen myymälään. Todennäköisyys toimittaa oikea-aikaisesti jokaiselle niistä on 0,8. Laske todennäköisyys, että tavarat saapuvat ajoissa: a) vain yksi myymälä; b) vähintään yksi kauppa.
4. Aikataulun mukainen vene saattaa myöhästyä kahdesta riippumattomasta syystä: huonosta säästä ja laitteiden toimintahäiriöistä. Huonon sään todennäköisyys on 0,3, epäonnistumisen todennäköisyys on 0,4. Laske todennäköisyys, että vene myöhästyy: a) vain huonon sään vuoksi; b) mistä tahansa syystä.
5. Kaksintaistelun ehdot edellyttävät 2 laukausta jokaisesta kaksintaistelusta vuorollaan ensimmäiseen osumaan asti. Heidän yhdellä laukauksella osumisen todennäköisyys on 0,2 ja 0,3. Laske todennäköisyys, että ensimmäinen kaksintaistelija: a) osuu vastustajaan toisella laukauksella; b) lyödä vastustajaa.
6. Todennäköisyys, että hyökkääjät tekevät maalin yhdellä laukauksella maalia kohti, on 0,3. Laske todennäköisyys, että kahden iskun jälkeen syntyy: a) vain yksi maali; b) vähintään yksi maali.
7. Todennäköisyys, että tutka-asema (RLS) havaitsee risteilyohjuksen ajoissa, on 0,8. Päivystyksessä on kaksi tutkaa. Laske todennäköisyys, että ohjus havaitaan: a) vain yhdellä tutalla; b) vähintään yksi tutka.
8. Auton numerossa on neljä numeroa. Laske todennäköisyys, että vastaantulevan auton numeron numeroiden summa: a) on yhtä suuri kuin kaksi; b) enintään kaksi.
9. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti nimetty kaksinumeroinen luku: a) on jaollinen kolmella; b) jonka numeroiden summa on 1.
10. Laatiossa on viisi valkoista ja kaksi punaista palloa. Laske todennäköisyys, että kaksi satunnaisesti vedettyä palloa ovat: a) samanvärisiä; b) valkoinen.
11. Kaksi henkilöä, toisistaan riippumatta, nousevat kahdeksanvaunun sähköjunaan. Selvitä heidän tapaamisensa todennäköisyys.
12. Ohjuksessa on kaksi useaa taistelukärkeä, jotka osuvat kohteeseen toisistaan riippumatta todennäköisyyksillä 0,8 ja 0,7. Laske todennäköisyys, että kohteeseen osuu: a) vain yksi taistelukärki; b) vähintään yksi taistelukärki.
13. Laatiossa on viisi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laske todennäköisyys, että kaksi satunnaisesti vedettyä palloa ovat: a) erivärisiä; b) musta.
14. Laske todennäköisyys, että kaksi ohikulkijaa syntyi: a) yhdessä kuukaudessa; b) kesällä.
15. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valitun kaksinumeroisen luvun numeroiden summa: a) on viisi; b) alle viisi.
16. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valitun kaksinumeroisen luvun numeroiden tulo: a) on kolme; b) vähemmän kuin kolme.
17. Kalasaannin todennäköisyys onkijalle purettaessa on 0,2 ja 0,3. Jokaisella oli yksi purema. Laske todennäköisyys, että heidän kokonaissaaliinsa on: a) yksi kala; b) vähintään yksi kala.
18. Puhelinnumerossa on 6 numeroa. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valitun luvun numeroiden summa: a) on 2; b) vähemmän kuin 2.
19. Laske todennäköisyys, että sana "erinomainen" kirjoitetaan kahdeksan satunnaisen kirjoituskoneen painalluksen jälkeen. Näppäimistö sisältää 40 näppäintä.
20. Kaksi shakinpelaajaa pelaa kahden pelin ottelun. Todennäköisyys voittaa jokaisessa pelissä ensimmäisellä niistä on 0,6. Millä todennäköisyydellä hän voittaa: a) vain yhden pelin; 2) vähintään yksi peli.
21. Kaksi ampujaa ampui kumpikin yhden laukauksen maaliin todennäköisyydellä p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Laske todennäköisyys sille, että a) vain yksi osuma; b) vähintään yksi osuma.
22. Todennäköisyys ylittää tango kahdella hyppääjällä on vastaavasti p 1 = 0,8, p 2 = 0,7. Laske todennäköisyys, että: a) vain yksi niistä ottaa korkeuden; b) vähintään yksi niistä ottaa korkeuden.
23. Auton numero koostuu neljästä numerosta. Laske todennäköisyys, että vastaantulevan auton numero sisältää: a) kolme viitosta peräkkäin; b) kolme viisi.
24. Palopaikalle on lähetetty kaksi joukkuetta, jotka voidaan sammuttaa ajoissa todennäköisyyksillä p 1 = 0,9, p 2 = 0,8. Mikä on palon sammumisen todennäköisyys, jos tähän: a) riittää yksi käsky; b) molemmat komennot tarvitaan.
25. Kaksi lentokonetta ampuu yhden ohjuksen kohteeseen osumistodennäköisyydellä p 1 =0,8, p 2 =0,9. Laske todennäköisyys osua kohteeseen: a) kahdella ohjuksella; b) vain yksi ohjus.
26. Laite koostuu kolmesta itsenäisesti toimivasta lohkosta A, B, C, joiden häiriöttömän toiminnan todennäköisyydet P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Selvitä laitteen häiriöttömän toiminnan todennäköisyys, jos tämä edellyttää yksikön A ja vähintään yhden yksikön B, C toimintaa.
27. Todennäköisyys täyttää kuukausisuunnitelma yrityksen kahdella työpajalla on p 1 =0,9, p 2 =0,7. Olettaen, että liikkeet toimivat toisistaan riippumatta, selvitä todennäköisyydet, että: a) vain yksi myymälä täyttää suunnitelman; b) vähintään yksi työpaja täyttää suunnitelman.
28. Sähköpiirin osa koostuu sarjaan kytketyistä elementeistä A, B, joiden vikatodennäköisyys on p 1 \u003d 0,1, p 2 \u003d 0,2. Elementti B monistetaan sen kanssa rinnakkain kytketyn elementin C avulla (p 3 \u003d 0,2). Laske osion häiriöttömän toiminnan todennäköisyys: a) ilman elementtiä C; b) jos saatavilla.
29. Kaksi tykkiä ampuu yhden ammuksen kohteeseen osumistodennäköisyydellä p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Laske todennäköisyys, että kohde osuu: a) vain yhteen ammukseen; b) vähintään yksi ammus.
30. Sairaudilla A, B on samat oireet kuin potilaalla. Sairauksien todennäköisyydet ovat P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. Olettaen, että henkilö voi saada sairauksia toisistaan riippumatta, laske todennäköisyys, että potilas on sairas: a) vain yksi sairauksista; b) vähintään yksi sairaus.
Tehtävä 7.2.
1. 70 % samantyyppisistä myytävistä silitysraudoista valmistetaan yrityksessä A, 30 % - yrityksessä B. Vikojen osuus yrityksessä A on 5 %, yrityksessä B - 2 %. a) Laske viallisen raudan ostamisen todennäköisyys; b) ostettu rauta osoittautui vialliseksi. Millä todennäköisyydellä sitä valmistaa A-tehdas?
2. Urnassa on 2 valkoista ja 3 mustaa palloa. Yksi niistä otetaan satunnaisesti ja laitetaan sivuun. Sitten vedetään toinen pallo. a) Laske todennäköisyys, että hän on valkoinen; b) vedetty toinen pallo on valkoinen. Mikä on todennäköisyys, että ensimmäinen pallo oli musta?
3. Laite on täydennetty tehtaiden 1 (toimittaa 60 % yksiköistä), 2 (toimittaa 40 % yksiköistä) valmistamalla yksiköllä. Rejektien osuus tehtaalla 1 on 0,05, tehtaalla 2 - 0,07. a) Laske todennäköisyys, että laite on viallinen; b) laite osoittautui vialliseksi. Laske todennäköisyys, että syyllinen on kasvi 1.
4. Laakereita koottaessa käytetään palloja, joista 30 % toimittaa korjaamo 1 ja 70 % korjaamo 2. Hylkäysluvut korjaamoissa ovat 0,1 ja 0,05. a) Laske viallisen laakerin todennäköisyys; b) laakeri osoittautui vialliseksi. Selvitä todennäköisyys, että kauppa 1 on syyllinen.
5. Kahdessa uurnassa on 2 valkoista ja 3 mustaa palloa. Pallo siirretään satunnaisesti ensimmäisestä toiseen, sitten pallo otetaan toisesta. a) Laske todennäköisyys, että hän on valkoinen; b) irrotettu pallo on valkoinen. Millä todennäköisyydellä musta pallo vaihdettiin?
6. Kaksi työpajaa valmistaa kumpikin 50 % samantyyppisistä televisioista, jotka tulevat myyntiin. Kauppa 1 valmistaa 5 % viallisista televisioista, kauppa 2 - 7 %. a) Määritä viallisen television ostotodennäköisyys; b) selvitä todennäköisyys, että ostettu televisio oli korjaamon 1 valmistama, jos se osoittautui vialliseksi.
7. Jalostusasemalla 1 saatujen siementen itävyys (itävyystodennäköisyys) on 0,9, asemalla 2 - 0,8. Sama määrä siemeniä molemmilta asemilla tulee myyntiin. a) Selvitä ostettujen siementen itävyys; b) Satunnaisesti valittu siemen ei itänyt kylvettynä. Millä todennäköisyydellä se kasvaa asemalla 1?
8. Kaksi korjaamoa toimittaa saman määrän pultteja kokoonpanoa kohti. Rejektien osuus ensimmäisessä kaupassa on 0,1, toisessa - 0,2. a) Laske todennäköisyys, että kokoonpanoa varten satunnaisesti otettu pultti on viallinen; b) pultti osoittautui vialliseksi. Millä todennäköisyydellä sen teki kauppa 2?
9. Sairauden piilevä jakso voi olla pitkä 30 % tapauksista ja lyhyt 70 % tapauksista. Toipumistodennäköisyys on 0,9 pitkällä aikavälillä ja 0,6 lyhyillä ajanjaksoilla. a) Laske satunnaisesti valitun potilaan toipumisen todennäköisyys; b) selvittää todennäköisyys, että piilevä jakso oli pitkä, jos potilas toipui.
10. Tilastojen mukaan vuoden aikana sairastuneista vasikoista sairastuu 20 % lämpimänä vuodenaikana ja 80 % kylmänä vuodenaikana. Lämpimänä vuodenaikana sairastuneen vasikan toipumisen todennäköisyys on 0,9, kylmänä 0,8. a) Laske satunnaisesti valitun potilaan toipumisen todennäköisyys; b) laske todennäköisyys, että vasikka sairastui lämpimänä vuodenaikana, jos hän toipuu.
11. Yksikkö on varustettu vastuksella yhdestä kolmesta tehtaasta, jotka vastaavat 60 %, 30 % ja 20 % toimituksesta. Rejektien prosenttiosuus vastusten joukossa on 0,3 laitoksella 1, 0,2 - laitoksella 2, 0,1 - laitoksella 3. A) Laske valmistetun yksikön viallisuuden todennäköisyys; b) selvitä todennäköisyys, että viallinen yksikkö on varustettu tehdas 1 vastuksella.
12. Kriisivaiheessa tauti voi siirtyä yhtä suurella todennäköisyydellä ohimeneväksi (C) ja hidasta (B) muotoon. Toipumistodennäköisyydet ovat 0,95 muodolle C ja 0,8 muodolle B. a) Laske satunnaisesti valitun potilaan toipumisen todennäköisyys; b) selvitä todennäköisyys, että sairaus on siirtynyt muotoon C, jos potilas on parantunut.
13. Tämän taudin tapauksessa esiintyy yhtä usein muotoja A ja B, jotka määräävät sen jatkokulkua. Tapauksessa A potilas toipuu kuukauden sisällä todennäköisyydellä 0,8, tapauksessa B - todennäköisyydellä 0,6. a) Laske satunnaisesti valitun potilaan toipumisen todennäköisyys kuukaudessa; b) selvitä taudin etenemisen todennäköisyys muodossa A, jos potilas toipuu kuukauden sisällä.
14. Todennäköisyys, että troolari täyttää suunnitelman tankkaussäiliöaluksen saapuessa ajoissa, on 0,8, ennenaikaisen saapumisen yhteydessä - 0,4. Tankkeri saapuu ajoissa 90 prosentissa tapauksista. a) Määritä todennäköisyys, että troolari toteuttaa suunnitelman; b) laskea oikea-aikaisen tankkauksen todennäköisyys, jos tiedetään, että troolari on täyttänyt suunnitelman.
15. Kesä voi olla kuivaa 20 % ajasta, liian märkää 30 % ajasta ja normaalia muun ajan. Sadon kypsymisen todennäköisyys on 0,7, 0,6 ja 0,9. a) Laske sadon kypsymisen todennäköisyys satunnaisesti valittuna vuonna; b) laske todennäköisyys, että kesä oli kuiva, jos sato oli kypsä.
16. Tällä alueella esiintyy vain sairauksia A ja B, joiden oireita ei voi ulkoisesti erottaa. Potilaiden joukossa A esiintyy 30%:lla tapauksista, B - 70%. Toipumisen todennäköisyys sairauksista on 0,6 ja 0,3. a) selvittää todennäköisyys, että satunnaisesti otettu potilas paranee; b) Millä todennäköisyydellä parantuneella henkilöllä oli sairaus A?
17. Kohde voidaan ottaa käyttöön ajoissa suunnitellulla laitetoimituksella todennäköisyydellä 0,9, toimituksella viiveellä - todennäköisyydellä 0,6. Suunniteltuja toimituksia havaittiin keskimäärin 80 %:ssa tilauksista, viivästyneitä toimituksia - 20 %:ssa. a) Mikä on todennäköisyys, että esine toimitetaan ajoissa? b) selvittää oikea-aikaisen toimituksen todennäköisyys, jos tiedetään, että esine on toimitettu ajallaan.
18. Ydinreaktio voi tuottaa tyypin A hiukkasia 70 %:ssa ja tyypin B hiukkasia 30 %:ssa tapauksista. Laite havaitsee hiukkaset A todennäköisyydellä 0,8, hiukkaset B - todennäköisyydellä 1. a) Määritä hiukkasen havaitsemisen todennäköisyys tulevassa kokeessa; b) Laite havaitsi hiukkasen ulkonäön. Kuinka todennäköisesti se on tyyppi B?
19. Vuoden ensimmäisellä puoliskolla syntyneistä keskipaino ylittää 60 % vastasyntyneistä, vuoden toisella puoliskolla - 30 %. Olettaen, että syntyvyys molemmilla puoliskoilla on sama, selvitä: a) satunnaisesti valitun lapsen ylipainoisuuden todennäköisyys; b) lapsen saamisen todennäköisyys vuoden ensimmäisellä puoliskolla, jos hän on ylipainoinen.
20. Katodin emittoima elektroni voi olla "nopea" todennäköisyydellä 0,7 ja "hidas" - todennäköisyydellä 0,3. Todennäköisyys, että "nopeat" elektronit osuvat kohteeseen on 0,9, "hitaat" - 0,4. Laske todennäköisyys, että: a) elektroni osuu kohteeseen; b) elektroni oli "hidas", jos se saavutti kohteen.
21. Harmaajänistä jahtaava kettu ohittaa hänet 30 %:ssa, valkoinen jänis 20 %:ssa. Molempia jänistyyppejä löytyy metsästä yhtä usein. a) Millä todennäköisyydellä kettu saa kiinni satunnaisesti törmänneen jänisen? b) selvitä todennäköisyys, että ohitettu jänis oli harmaa.
22. Lentokoneen myöhästymisen todennäköisyys epäsuotuisissa olosuhteissa (huono sää, tekniset syyt) on 0,6 ja suotuisissa olosuhteissa - 0,1. Epäsuotuisia olosuhteita havaittiin 20 prosentilla lennoista, suotuisia 80 prosentilla. Laske todennäköisyys, että: a) kone myöhästyy seuraavalla lennolla; b) myöhästymiseen liittyi epäsuotuisat olosuhteet.
23. Samantyyppiset tuotteet tulevat myyntiin tehtailta 1 ja 2, jotka toimittavat 60 % ja 40 % tuotteista. Rejektien osuus tehtaalla 1 on 0,05, tehtaalla 2 - 0,07. Laske todennäköisyys, että: a) ostettu tuote on viallinen; b) viallinen tuote on valmistanut tehdas 2.
24. Kaksi erää sisältää saman määrän samantyyppisiä osia ja niiden hylkäysosuudet (viallisten osien todennäköisyys) ovat 0,1 ja 0,2. Eristä valitaan satunnaisesti yksi, josta osa poistetaan. a) Määritä todennäköisyys, että se on viallinen; b) Laske todennäköisyys, että vialliseksi osoittautunut osa kuului ensimmäiseen erään.
25. Pommikoneen osumisen todennäköisyys selkeällä säällä on 0,9, huonolla säällä - 0,7. Selkeää säätä 1. kesäkuuta havaittiin 60%:ssa tapauksista, huonoa säätä - 40%. Laske todennäköisyys, että 1. kesäkuuta: a) maali osuu; b) sää oli selkeä, jos kohteeseen tiedetään osuneen.
26. Kaksi shakinpelaajaa A ja B pelaavat yhtä peliä. Todennäköisyys, että A voittaa, jos hänellä on valkoisia nappuloita, on 0,7, jos hänellä on mustia nappuloita - 0,4. Nappuloiden väri määräytyy ennen peliä arvalla. Laske todennäköisyys, että: a) shakinpelaaja A voittaa; b) A pelasi mustilla nappuloilla, jos tiedetään, että hän voitti.
27. Aluksen oikea-aikaisen saapumisen todennäköisyys moottorin häiriöttömän toiminnan tapauksessa on 0,8 ja sen rikkoutuessa - 0,1. Moottori on aiemmin toiminut moitteettomasti 90 %:lla aluksen matkoista. Laske todennäköisyys, että: a) alus ei myöhästy seuraavalla matkalla; b) moottorihäiriöt, jos aluksen tiedetään myöhästyvän.
28. Laitetta voidaan käyttää 30 % tapauksista vaikeissa olosuhteissa, joissa se epäonnistuu todennäköisyydellä 0,3, ja 70 % tapauksista - edullisissa olosuhteissa, joissa se epäonnistuu todennäköisyydellä 0,1. Laske todennäköisyys, että: a) laite epäonnistuu; b) viallista laitetta on käytetty epäsuotuisissa olosuhteissa.
29. Urnasta, jossa on 3 valkoista ja 2 mustaa palloa, otetaan 2 palloa vuorotellen. Ensimmäisen väriä ei tunneta. Laske todennäköisyys, että: a) toinen pallo on valkoinen; b) ensimmäinen pallo oli musta, jos toinen oli valkoinen.
30. Kaksi korjaamoa toimittaa samantyyppisiä yksiköitä tuotteen kokoamista varten. Ensimmäinen niistä toimittaa 60% kaikista solmuista, toinen - 40%. Todennäköisyys, että solmu on viallinen, on 0,2 kaupassa 1 ja 0,3 kaupassa 2. Laske todennäköisyys, että: a) satunnaisesti valittu solmu on viallinen; b) viallinen kokoonpano tuli liikkeestä 1.
Tehtävä 7.3.
Rakenna jakaumasarja, jakaumafunktio ja sen graafi, selvitä satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus ja varianssi - satunnaistapahtuman A esiintymismäärä alla esitetyssä riippumattomien testien sarjassa.
1. Kolikkoa heitetään 4 kertaa. A - vaakunan menetys yhdellä heitolla, Р(А)=0,5.
2. Ampuja ampuu maaliin 3 kertaa. A - osuma yhdellä laukauksella, P(A)=0,6.
3. Kalastaja heittää siimansa kolme kertaa. A - purenta yhdellä heitolla, P (A) \u003d 0,3.
4. Uurnasta, jossa on 2 valkoista ja 3 mustaa palloa, vedetään sattumanvaraisesti pallo (jos se on valkoinen, on tullut A), joka palautetaan uurnaan. Kokemus toistetaan 3 kertaa.
5. 3 kurpitsansiementä kylvetään. Itävyys (yhden siemenen itämistodennäköisyys A) on P(A)=0,8.
6. Alkuainehiukkanen voidaan rekisteröidä laitteella (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,7. Kolme hiukkasta lentää vuorotellen laitteen edessä.
7. A - tapahtuma, joka tapahtuu, kun vastaantulevan auton numeron ensimmäinen numero on nolla. Kaksi autoa ohittaa vuorotellen.
8. A - auton sähkölaitteiden vika vuoden aikana, P (A) \u003d 0,3. Kolmea ajoneuvoa harkitaan.
9. A - tapahtuma, jossa urheilija rikkoo maailmanennätyksen, Р(А)=0,2. Kilpailuun osallistuu kolme urheilijaa.
10. Ase ampuu kolme ammusta maaliin. A - ammuksen osuma, P(A)=0,8.
11. Kirjahyllystä satunnaisesti otettu kirja voi osoittautua oppikirjaksi (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,4. Kolme kirjaa on haettu.
12. Syntyessään positroni voi saada kiertosuuntauksen oikealle (tapahtuma A) tai vasemmalle, Р(А)=0,6. 3 positronia otetaan huomioon.
13. Sinisen saven esiintyminen osoittaa timanttikertymän mahdollisuutta (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A) = 0,4. Sinistä savea löytyy kolmelta alueelta.
14. Kukinta-aikana kasvi voi pölyttyä (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,8. 4 kasvia otetaan huomioon.
15. Onkija voi saada kalan puremalla (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,4. Kalastaja sai kolme puremaa.
16. Ydinreaktiossa resonanssihiukkanen (tapahtuma A) voi muodostua todennäköisyydellä P(A)=0,2. Kolme reaktiota otetaan huomioon.
17. Maahan sijoitettu taimi voidaan hyväksyä (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,7. Taimia on istutettu kolme.
18. Voimalaitoksen generaattori voi vikaantua vuoden aikana (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,2. Generaattorin kolmen vuoden käyttöaika on huomioitu.
19. Päivän aikana kattilassa oleva maito voi hapantua (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,4. Kolmen ruukun tapausta tarkastellaan.
20. Pilvikammiossa otetussa valokuvassa kokeessa (tapahtuma A) rekisteröidään partikkeli todennäköisyydellä P(A)=0,5. 4 koetta suoritettiin.
21. A - parillisen määrän pisteitä ilmaantuu noppaa heitettäessä. Noppia heitetään 4 kertaa.
22. Kolme tykkiä ampuu kohteisiinsa, A - ammus osuu maaliin, P(A)=0,7.
23. Purettaessa onkija voi vetää kalan ulos (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,6. Purema tapahtui 4 kalastajalla.
24. Sähkömoottorin roottorin isku johtaa sen vaurioitumiseen todennäköisyydellä P (A) = 0,8. Kolme samantyyppistä moottoria harkitaan.
25. Osaa valmistettaessa se voi osoittautua vialliseksi (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,2. Kolme kappaletta on tehty.
26. Kone toimii moitteettomasti vuoden (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,8. Työpajassa on 4 konetta.
27. A - parittoman määrän pisteitä ilmaantuu noppaa heitettäessä. Noppia heitetään 4 kertaa.
28. Juna voi saapua aikataulussa (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,9. Kolme lentoa harkitaan.
29. Keskimäärin 30 %:ssa tapauksista operaattori tekee virheen (tapahtuma A) kirjoittaessaan sivua tekstiä. Artikkeli sisältää 4 sivua tekstiä.
30. Tiedustelulentokone voi havaita kohteen (tapahtuma A) todennäköisyydellä P(A)=0,8. Kolme lentokonetta lähetettiin paikantamaan kohde.
Tehtävä 7.4.
Kun on annettu satunnaismuuttujan RV X jakaumafunktio F(x), etsi jakautumistiheys ja piirrä se. Laske todennäköisyys P( a≤X≤ b) osuu CB:n arvoon tietyllä aikavälillä, matemaattinen odotus ja hajonta.
1. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Tehtävä 7.5.
Etsi todennäköisyys putoaa annettuun väliin [ a,b] normaalijakauman satunnaismuuttujan arvot X jos sen matemaattinen odotus tunnetaan M[X] ja varianssi D[X].
| Var. | M[X] | D[X] | b | |
| -2 | ||||
| -1 | ||||
| -1 | ||||
| -8 | -9 | |||
| -2 | ||||
| -1 | ||||
Walter A. Aue / flickr.com
Amerikkalaiset fyysikot ovat tarkentaneet aika-avaruuden ulottuvuutta vertaamalla etäisyyttä lähteeseen, joka on laskettu gravitaatioaaltojen vaimenemisesta ja sähkömagneettisen säteilyn punasiirtymästä. Tutkijat suorittivat tällaisia laskelmia GW170817-tapahtumalle ja havaitsivat, että aika-avaruutemme ulottuvuus on suunnilleen sama kuin D≈ 4,0 ± 0,1. Lisäksi he asettivat alarajan gravitonin elinajalle, joka oli noin 450 miljoonaa vuotta. Artikkelin ennakkopainos on saatavilla osoitteessa arXiv.org.
Päivitetty: Heinäkuussa 2018 artikkeli olijulkaistu julkaisussa Journal of Cosmology and Astroparticle Physics.
Yleinen suhteellisuusteoria ja standardimalli rakentuvat olettamukselle, että elämme neliulotteisessa aika-avaruudessa. Tarkemmin sanottuna (3 + 1)-ulotteisessa: 3 spatiaalista ulottuvuutta ja yksi ajallinen. Toisaalta tiedemiehillä on taipumus epäillä alkeellisinta väitettä. Ehkä aika-avaruutemme ulottuvuus ei ole täsmälleen yhtä suuri kuin neljä, vaan vain hyvin lähellä tätä arvoa? Todellakin, on teorioita, joissa aika-avaruutemme on upotettu korkeamman ulottuvuuden tiloihin. Siksi yleisesti ottaen maailmamme neliulotteisuus on todistettava, eikä sitä saa pitää itsestäänselvyytenä.
David Spergelin johtama fyysikon ryhmä asetti tarkat rajat aika-avaruutemme ulottuvuudelle analysoimalla - lähes samanaikaisesti - maan päälle saapuneita gravitaatio- ja sähkömagneettisia aaltoja, jotka säteilevät kahden neutronitähden yhdistymisen aikana. Toisaalta etäisyys aaltolähteeseen voidaan määrittää sähkömagneettisesta komponentista. Toisaalta se voidaan laskea painovoimaaaltojen vaimenemisesta. Ilmeisesti näiden molempien etäisyyksien on oltava samat, mikä asettaa rajoituksia vaimenemisnopeuden ja yleisen suhteellisuusteorian ennustaman nopeuden väliselle erolle. On syytä huomata, että lisävirhe punasiirtymästä määritettyyn etäisyyteen johtuu siitä, että Hubble-vakion arvot mitattuna galaksien taantuman nopeudesta ja kosmisen taustasäteilyn vaihteluista ovat toistensa kanssa. Tässä artikkelissa tutkijat tekivät varmuuden vuoksi laskelmia molemmille arvoille, mutta kokeellisten tietojen virhe oli silti suurempi kuin tämä ero.
Yleisessä suhteellisuusteoriassa gravitaatioaaltojen intensiteetti pienenee käänteisesti lähteen etäisyyden ensimmäisellä potenssilla: h ~ 1/r. Kuitenkin teorioissa, joissa on enemmän ulottuvuuksia, tätä lakia muutetaan ja vaimennus tapahtuu nopeammin: h ~ 1/rγ , jossa γ = ( D− 2)/2 ja D- mittausten määrä. Osoittautuu, että aallon energia näyttää "vuotavan" lisäulottuvuuksiin. Laskemalla "sähkömagneettisen" ja "painovoiman" etäisyyden neutronitähtiin fyysikot päättelivät, että riippuvuusaste γ ≈ 1,00 ± 0,03, eli avaruutemme ulottuvuus D≈ 4,0 ± 0,1.
Todennäköisyysjakauma, jossa elämme D-ulotteinen tila. Eriväriset viivat vastaavat laskelmissa käytetyn Hubble-vakion eri arvoja
Toisaalta toisen tyyppisissä vaihtoehtoisissa teorioissa painovoima seulotaan - pienillä etäisyyksillä se käyttäytyy samalla tavalla kuin neliulotteisessa teoriassa ja suurilla etäisyyksillä se muistuttaa D-ulotteinen. GW170817-tapahtuman rajoitukset huomioon ottaen fyysikot määrittelivät tällaisten teorioiden suojaussäteen olevan noin kaksikymmentä megaparsekkia. Tässä tapauksessa todellinen aaltojen lähde sijaitsee galaksissa NGC 4993 noin neljänkymmenen megaparsekin etäisyydellä.
Lopuksi, gravitaatioaaltojen lisävaimennus voi johtua siitä, että gravitonit ovat epävakaita hiukkasia ja hajoavat matkan aikana lähteestä ilmaisimeen. Tämän oletuksen perusteella fyysikot ovat laskeneet gravitonin eliniän alarajan. Kävi ilmi, että se ei voi olla pienempi kuin 4,5 × 10 8 vuotta.
Gravitaatio- ja sähkömagneettisten komponenttien samanaikaisella rekisteröinnillä oli suuri vaikutus vaihtoehtoisiin painovoimateorioihin. Esimerkiksi viime vuoden joulukuun lopussa vuonna Physical Review Letters Samaan aikaan julkaistiin neljä artikkelia, jotka omistettiin GW170817-tapahtumalle ja erilaisten painovoiman kvanttiteorioiden rajoituksille. Lisäksi tämä tapahtuma on erittäin tiukka painovoiman nopeuden rajoitus - nyt painovoiman nopeuden suhde valonnopeuteen voi poiketa yksiköstä enintään 3 × 10 -15 .
Dmitri Trunin
Kuljettaja Logan Gomez voitti 9. syyskuuta 2007 IRL Indy Pro Series -mestaruuden Chicagoland 100 -kilpailun. Hän voitti toisen sijan voittajan 0,0005 sekunnilla, mikä teki ennätyksen maailman moottoriurheilun maalitiheydestä. Millä laitteilla voidaan mitata aikaa näin tarkasti?
Majakan aallolla Nykyaikaisessa kilpailussa ajoitus on täysin automaattinen. Jokainen auto on varustettu radiomajakalla, joka lähettää radioaaltoja ainutlaatuisella taajuudella. Antennit, jotka sijaitsevat tiukasti määritellyissä paikoissa radalla, poimivat sen signaalin ja määrittävät taajuudella, mikä auto ohitti. Antennit on järjestetty kaksi kerrallaan: tietokone määrittää auton nopeuden mittaamalla ajan, joka kuluu matkaan antennista toiseen. Reitille voidaan sijoittaa jopa 20 antennia. Varikkokaistalla nopeuden säätämiseen käytetään erikoisantenneja. Radiovastaanottimien tiedot lähetetään ajoituskeskukseen, jossa yli 20 insinööriä valvoo jatkuvasti tietokoneiden toimintaa. Varmuuden vuoksi ajoitusjärjestelmää tukee maaliviivalle asennettu infrapunavalokenno.
Tim Skorenko
Juuri Indycar-sarjassa ajoitusvaatimukset ovat tiukimmat. Mikään muu mestaruus ei voi ylpeillä mittaamalla aikaa lähimpään sekunnin kymmenesosaan. Ylivoimainen määrä sarjoja on rajoitettu 0,001 sekuntiin, ja tämä riittää useimmiten marginaalilla, mutta tapahtumia on: esimerkiksi vuoden 1997 Euroopan Grand Prix -karsinnassa Formula 1 -luokassa jopa kolme pilottia onnistui näyttämään. aika, joka vastaa jopa sekunnin tuhannesosaa, - 1.21.072. Paalupaikka meni lopulta Jacques Villeneuvelle, joka suoritti nopeimman kierroksensa muita edellä.
Formula 1:ssä ajoituksen tarkkuus muuttui huomattavasti ajan myötä. Ensimmäisessä mestaruuskilpailussa vuonna 1950 0,1 s riitti täysin huomioimaan lentäjien maaliin. Mestaruussarjaan ei sisältynyt yhtään kilpailua, jossa ero lentäjien välillä olisi alle sekunti. Tarkkuus 0,1 juontaa juurensa moottoriurheilun historian ensimmäisestä GP:stä - Ranskan GP:stä vuonna 1906, jossa voittajan Ferenc Szysin aika Renaultissa oli 12 tuntia 14 minuuttia ja 7,4 sekuntia (ei niin kuin lyhyt ja helppoja tämän päivän kilpailuja, eikö?). Suurimmassa osassa ennen ensimmäistä maailmansotaa pidetyistä kilpailuista tarkkuus ei ylittänyt 1 sekuntia.
Nykyaikaisessa kilpailussa ajoitus on täysin automaattinen. Jokainen auto on varustettu radiomajakalla, joka lähettää radioaaltoja ainutlaatuisella taajuudella. Antennit, jotka sijaitsevat tiukasti määritellyissä paikoissa radalla, poimivat sen signaalin ja määrittävät taajuudella, mikä auto ohitti. Antennit on järjestetty kaksi kerrallaan: tietokone määrittää auton nopeuden mittaamalla ajan, joka kuluu matkaan antennista toiseen. Reitille voidaan sijoittaa jopa 20 antennia. Varikkokaistalla nopeuden säätämiseen käytetään erikoisantenneja. Radiovastaanottimien tiedot lähetetään ajoituskeskukseen, jossa yli 20 insinööriä valvoo jatkuvasti tietokoneiden toimintaa. Varmuuden vuoksi ajoitusjärjestelmää tukee maaliviivalle asennettu infrapunavalokenno.
Amerikassa ajanottajat olivat paljon edistyneempiä. AAA-sarjan (myöhemmin CART) sodanjälkeiset kilpailut vaativat useimmiten jopa 0,01:n mittaustarkkuuden. Tämä johtui ensisijaisesti ratojen konfiguraatiosta ja soikeoiden runsaudesta, jossa ratsastajien väliset raot ovat erittäin pienet. Nykyaikaisen IRL:n ajoituksen uskomaton tarkkuus johtuu samasta tekijästä: vuoden 2010 mestaruuden seitsemästätoista vaiheesta kahdeksan pidetään soikealla.
Tapahtumat ja epäonnistumiset
Kilpa-ajan ajoitus liittyy erottamattomasti maailman johtaviin kello- ja elektroniikkavalmistajiin: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines… Lähes kaikki ovat edustettuina eri lajeissa tavalla tai toisella virallisina ajanottajina. Virheet ja epätarkkuudet ajan mittauksessa ovat nykyään käytännössä poissuljettuja. Vuodesta 1992 tähän päivään asti edellä mainitusta 97:n Euroopan GP:stä on tullut Formula 1:n ainoa kronometrinen uteliaisuus, ja jopa tällaiset tapahtumat ovat täysin mahdottomia IRL:ssä.
Nykyään Indycar- ja NASCAR-ajoitusjärjestelmiä pidetään maailman parhaiden joukossa. Jokainen rata on varustettu siten, että eurooppalaiset järjestäjät voivat vain kadehtia. Pisteet menevät 0,0001 sekuntiin (Indycarille), ja live-katsojat voivat milloin tahansa saada tietoa kunkin radalla olevan auton nopeudesta, sen kierrosajasta ja mistä tahansa ympyrän sektoreista, pelatonin aukoista tarkkuudella sektori jne. yleensä maksimaalista tietoa. Kilpailussa, jossa puolet kaudesta pelataan soikealla, ajoitus on äärimmäisen tärkeää. Voittaja määräytyy usein valokuvan perusteella.
Kummallista kyllä, käsite "virallinen ajanottaja" ilmestyi melko äskettäin. Tissot on "johtava" moottoripyöräilyn maailmanmestaruutta tänään, eikä millään muulla yhtiöllä ole oikeutta puuttua asiaan. Jo 30 vuotta sitten jokaisessa yksittäisessä kilpailussa oli omat ajanottajansa, jotka oli "aseistautunut" järjestäjien hankkimilla varusteilla.
Ennen toista maailmansotaa lähes kaikki kilpasarjat ja -luokat ajoitettiin manuaalisesti: radan vieressä seisoivat erikoiskoulutetut ihmiset sekuntikelloineen. He kirjasivat seuraavan auton kierrosajan ja tallensivat tiedot. Siellä oli kuitenkin myös läpimurtoja. Vuonna 1911 ensimmäisessä Indianapolis 500 -kilpailussa insinööri Charlie Warner suunnitteli ja toteutti kaikkien aikojen ensimmäisen puoliautomaattisen ajoitusjärjestelmän. Lähtö-maaliviivaa pitkin ohut lanka venytettiin hieman ja nostettiin hieman tiilipinnoitteen yläpuolelle. Jokainen kone painoi langan maahan, mikä lisäsi sen jännitystä. Vaijeriin kiinnitettiin vasaratiiviste, joka vedettynä teki mustejäljen hitaasti hiipivään jakoteippiin. Mittaustarkkuus saavutti 0,01 s! Kutakin pistettä vastapäätä olevien autojen lukumäärät asetti ajanottaja manuaalisesti. Järjestelmä ei juurtunut hauskasta syystä: keskellä kilpailua kilpailija Herb Littlen auto rikkoi johdon. Uutta vetäessä (kiireilevien autojen edestä juosten) kului ainakin 20 kierrosta, joiden aikana ajoitus oli n. Kilpailun voitto myönnettiin Ray Harrownille Marmonilla, mutta toinen kuuluisa kilpailija Ralph Mulford oli kuolemaansa asti varma, että hän voitti kaikkien aikojen ensimmäisen Indy 500 -kilpailun.
Puoliautomaattisten järjestelmien menestyksellisen käytön kukoistus osuu 1930-luvulle. Indy 500 käytti sitten Stewart-Warner-kronografeja tai valtavia Loughborough-Hayes-kronografeja.
NASCAR-sarjan alkuvuosina ajoitus oli kauhea. Joissakin kilpailuissa mies, jolla oli paperia ja lyijykynä, istui maaliviivalla ja nauhoitti: se ja se menee ensin, se ja se - toiseksi. Totta, tämä koski vain sora- ja mutareittejä. Autodromeilla asiat olivat paremmin. Varsinkin Elhart Laken kilpailussa 1951 käytettiin Streeter-Ametin kronografia. Laite tulosti peräkkäin (sekunnin kymmenesosissa) paperinauhalle jokaisen ohi kulkevan auton ajan, henkilön työn. koostui auton numeroiden kirjoittamisesta kunkin numeron viereen.
Täysautomaattista ajastusjärjestelmää käytettiin ensimmäisen kerran USAC:n mestaruuskilpailussa Ontarion radalla vuonna 1970. Jokainen ajoneuvo oli varustettu lähettimellä, joka lähetti aaltoja omalla ainutlaatuisella taajuudellaan. Lähtö-maalilinjalle asennettiin antenni, joka taltioi kunkin lähettimen värähtelytaajuuden - loput työstä tehtiin tietokoneella.
Ammattimainen ajanottaja David McKinney, joka työskenteli 1960-luvulla erilaisissa kilpailuissa Australiassa ja Uudessa-Seelannissa, antoi meille mielenkiintoisen tiedon: "Jos pätevin ajanottaja, jolla on paras ajanottaja, pystyy "saamaan" tarkasti sekunnin kymmenesosan, hän on vain onneksi." kaikkia kilpa-ajoissa koskaan tehtyjä manuaalisia mittauksia voidaan turvallisesti pitää likimääräisinä.
"Formula 1"
Euroopassa automaattiset järjestelmät ilmestyivät paljon myöhemmin kuin Amerikassa. Kansainvälisissä sarjoissa, kuten Formula 1, vallitsi hämmennys ja horjuminen. 1970-luvun lopulle asti eri GP:t ajoittivat täysin eri ihmiset eri laitteilla ja menetelmillä. Vapaakilpailuissa ajanottajien roolia suorittivat useimmiten ratsastajien vaimot. Esimerkiksi Norma Hill, kaksinkertaisen maailmanmestarin Graham Hillin vaimo, meni miehensä kanssa jokaiseen GP:hen ja ajoi henkilökohtaisesti hänen kierrosaikojaan tarkistaen marsalkkaiden työn.
1970-luvun puolivälissä jatkuvaan hämmennykseen ja virheisiin väsyneenä Ferrari-tiimi alkoi kuljettaa omaa Amerikasta ostettua huipputarkkuusvarustustaan Grand Prix -kilpailuun. Yksi Ferrarin ikuisen kilpailijan, Lotus-tiimin mekaanikoista kysyi pomoltaan Colin Chapmanilta: "Miksi emme tekisi samoin?" "Luuletko todella, että tämä saa automme kulkemaan nopeammin?" Chapman vastasi. Tämä vastaus luonnehtii erittäin tarkasti eurooppalaista asennetta ajanoton tarkkuuteen noina vuosina. Kuitenkin 1970-luvun loppuun mennessä lähes kaikki suuret tiimit allekirjoittivat sopimukset kellovalmistajien kanssa ja kantoivat omat ajastusjärjestelmänsä mukanaan. Yhden kilpailun jälkeen Autosport-lehti kirjoitti: "Tiimit julkaisevat virallisissa raporteissa niin tarkkoja ajoituksia, että Grand Prix -kilpailun järjestäjien viralliset numerot näyttävät siltä kuin ne olisi tehty Mikki Hiiri -kellolla!"
Ajoitusvirheiden takia ihmeellisiä tapauksia sattui säännöllisesti. Esimerkiksi sateisen Kanadan GP:n aikana vuonna 1973 turva-auto tuotiin radalle ensimmäistä kertaa. Ajanottajat olivat hämmentyneitä, sekoittuneet round robiniin ja laskeneet väärin ajan ennen ja jälkeen vauhtiauton. Tämän seurauksena Emerson Fittipaldi Lotuksesta, Jackie Oliver Shadowsta ja Peter Revson McLarenista juhlivat jatkuvasti voittoa. Voitto meni jälkimmäiselle - useiden tuntien kiistelyn jälkeen.
Yhtä mielenkiintoinen tarina tapahtui vuoden 1975 Ruotsin GP:ssä. Maaliskuun ratsastaja Vittorio Brambilla oli kaukana pelatonin nopeimmasta, mutta hän otti paalupaikan siinä kilpailussa. Tämä johtui siitä, että maaliskuun suunnittelija Robin Hurd hiipi suoraan tallentimen valokennon eteen puoli sekuntia ennen kuin Brambilla ylitti maaliviivan. Jonkin ihmeen kautta kukaan ei nähnyt tätä, ja laite tallensi Hurdin ajan jalan, eikä kilpailijaa ollenkaan.
Tekniikan voitto
Tämän päivän kilpailut ovat korkean teknologian voitto. Esimerkiksi NASCAR-sarja oli melkein viimeinen, joka siirtyi nykyaikaisiin ajoitusmenetelmiin noudattaen perinteitä mahdollisimman paljon. Mutta nykyään NASCARin ajoitusjärjestelmiä pidetään yhtenä maailman parhaista. Tissot, merentakaisten sarjan virallinen ajanottaja viimeiset neljä vuotta, on varustanut jokaisen radan tavalla, jota eurooppalaiset järjestäjät voivat vain kadehtia. Kilpailussa, jossa kauden 36 kierroksesta 34 on soikeaa, ajoitus on äärimmäisen tärkeää.
Moottoripyörien maailmanmestaruuskilpailuissa käytetään yhtä vakavia järjestelmiä (Tissot on myös sen ajanottaja). Toisin kuin NASCAR, se ei vaadi kehittyneitä valvontajärjestelmiä määrittääkseen, kuka on edellä: moottoripyöräilijät eivät ole niin tiukassa pelatonissa. Mutta koska MotoGP-radat ovat perinteisen eurooppalaisen kokoonpanon eivätkä soikeita, on myös tarpeeksi vaikeuksia. Aikaleikkausten asettaminen tietyissä reitin kohdissa vaatii huolellista harkintaa (ovaalit jaetaan yksinkertaisesti geometrisesti 4-8 osaan).
Nykypäivän tietokonetekniikka käytännössä eliminoi ajoitusvirheiden mahdollisuuden auto- tai moottoripyöräkilpailuissa. Grand Prix -kilpailun järjestäjät ovat pitkään havainneet päässään täysin erilaisia ongelmia - turvallisuus, ekologia jne. Ja ajastimet toimivat itse ja toimivat. Voisi sanoa, että se on kuin kello.
Olkoon se vaadittava löytämään (haittapuolella). Järjestetään laskelmat näin:
Ensin löydetään likimääräinen juuri 1 asti vain kokonaisluvusta 2. Saamme 1 (ja loppuosa on 1). Kirjoitamme luvun 1 juureen ja laitamme pilkun sen perään. Nyt löydämme kymmenesosien määrän. Tätä varten lisäämme luvut 3 ja 5 1:n loppuosaan, pilkun oikealle puolelle, ja jatkamme erotusta ikään kuin poimimme juuren kokonaisluvusta 235. Kirjoitamme tuloksena olevan luvun 5 juureen. kymmenysten paikka. Emme tarvitse juurinumeron (104) jäljellä olevia numeroita. Se, että tuloksena oleva luku 1,5 on todellakin likimääräinen juuri arvoon asti, käy ilmi seuraavasta; jos löytäisimme luvun 235 suurimman kokonaisluvun juuren tarkkuudella 1, saamme 15, mikä tarkoittaa
Jakamalla kukin näistä luvuista 100:lla, saamme:
(Luvun 0.00104 lisäyksestä kaksoismerkin ≤ pitäisi ilmeisesti muuttua merkiksi<, а знак >jää (alkaen 0.00104< 0,01).)
Vaaditaan, että on löydettävä likiarvoon asti haitta. Etsitään kokonaisluku, sitten - kymmenesosien lukumäärä, sitten sadasosien lukumäärä. Kokonaisluvun neliöjuuri on 15 kokonaislukua. Kymmenesosien luvun saamiseksi, kuten olemme nähneet, on tarpeen lisätä kaksi muuta numeroa 23:n jäännökseen desimaalipilkun oikealle puolelle:
Esimerkissämme näitä numeroita ei ole ollenkaan; laita nollat paikoilleen. Lisäämällä ne jäännökseen ja jatkamalla toimintaa ikään kuin etsisimme kokonaisluvun 24800 juuria, löydämme kymmenesosien numeron 7. Vielä on löydettävä sadasosanumero. Tätä varten lisäämme vielä kaksi nollaa jäljellä olevaan osaan 151 ja jatkamme erotusta, ikään kuin löytäisimme kokonaisluvun 2480000 juuren. Saamme 15,74. Se, että tämä luku on todellakin likimääräinen 248:n juuri, miinukseen asti, käy ilmi seuraavasta. Jos löytäisimme suurimman kokonaisluvun neliöjuuren kokonaisluvusta 2480000, saamme 1574, mikä tarkoittaa
Jakamalla kukin näistä luvuista 10 000:lla (1002), saamme:
15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.
Tämä tarkoittaa, että 15,74 on se desimaaliluku, jota kutsuimme likimääräiseksi juuriksi haitalla 248 asti.
Sääntö. Poimimaan tietystä kokonaisluvusta tai tietystä desimaaliluvusta likimääräinen juuri, jonka haitat ovat enintään, enintään, enintään jne., etsi ensin likimääräinen juuri, jonka haita on tarkkuudella 1, erottamalla root kokonaisluvusta (jos sitä ei ole, kirjoita juureen 0 kokonaislukua).
Etsi sitten kymmenesosien määrä. Tätä varten kaksi alistetun luvun numeroa lisätään desimaalipilkun oikealle puolelle jäännökseen (jos niitä ei ole, jäännökselle annetaan kaksi nollaa) ja poimimista jatketaan samalla tavalla kuin tehdään, kun poimitaan juuri kokonaisluvusta. Tuloksena oleva luku kirjoitetaan juureen kymmenesosien tilalle.
Etsi sitten sadasosien lukumäärä. Tätä varten jäljellä olevaan osaan liitetään jälleen kaksi hahmoa, jotka seisovat juuri puretuista oikealla jne.
Näin ollen, kun poimitaan kokonaisluvun juuri desimaaliluvulla numero on jaettava pilkusta alkaen kaksinumeroisiin puoliin, sekä vasemmalle (luvun kokonaislukuosassa) että oikealle (murto-osaan).
Esimerkkejä.
Viimeisessä esimerkissä muunnosimme murtoluvun desimaaliksi laskemalla kahdeksan desimaalin pistettä muodostaaksemme neljä kasvoa, jotka tarvitaan juuren neljän desimaalin löytämiseen.
