Matemaattinen merkintä("matematiikan kieli") - monimutkainen graafinen merkintä, jonka avulla voidaan esittää abstrakteja matemaattisia ideoita ja tuomioita ihmisen luettavassa muodossa. Se muodostaa (monimutkaisuudessaan ja monimuotoisuudessaan) merkittävän osan ihmiskunnan käyttämistä ei-puhe-merkkijärjestelmistä. Tässä artikkelissa kuvataan yleisesti hyväksyttyä kansainvälistä merkintätapaa, vaikka menneisyyden eri kulttuureissa oli omansa, ja osa niistä on jopa ollut rajallisesti käytössä tähän asti.
Huomaa, että matemaattista merkintää käytetään pääsääntöisesti joidenkin luonnollisten kielten kirjoitetun muodon yhteydessä.
Perus- ja sovelletun matematiikan lisäksi matemaattista merkintää käytetään laajasti fysiikassa sekä (epätäydellisessä laajuudessaan) tekniikassa, tietojenkäsittelytieteessä, taloustieteessä ja todellakin kaikilla ihmisen toiminnan aloilla, joilla käytetään matemaattisia malleja. Oikean matemaattisen ja sovelletun merkintätavan eroja käsitellään tekstin aikana.
Tietosanakirja YouTube
1 / 5
✪ Kirjaudu sisään / sisään matematiikka
✪ Matematiikka luokka 3. Taulukko moninumeroisten lukujen numeroista
✪ Asetit matematiikassa
✪ Matematiikka 19. Math hauskaa - Shishkin koulu
Tekstitykset
Hei! Tämä video ei käsittele matematiikkaa, vaan pikemminkin etymologiaa ja semiotiikkaa. Mutta olen varma, että pidät siitä. Mennä! Oletko tietoinen, että matemaatikoilta kesti useita vuosisatoja ratkaisun etsiminen kuutioyhtälöille yleisessä muodossa? Tämä on osittain miksi? Koska selkeille ajatuksille ei ollut selkeitä symboleja, olipa sitten meidän aikamme. Hahmoja on niin paljon, että voi hämmentyä. Mutta et voi huijata meitä, selvitetään se. Tämä on käänteinen iso kirjain A. Tämä on itse asiassa englanninkielinen kirjain, joka on lueteltu ensin sanoissa "all" ja "any". Venäjän kielellä tämä symboli voidaan kontekstista riippuen lukea näin: kenelle tahansa, kaikille, kaikille, kaikille ja niin edelleen. Tällaista hieroglyfiä kutsutaan universaaliksi kvantoriksi. Ja tässä on toinen kvantori, mutta jo olemassa. Englannin e-kirjain heijastui Paintissa vasemmalta oikealle, mikä vihjasi ulkomaiseen verbiin "olemassa", mielestämme luemme: olemassa, on olemassa, on toinen samanlainen tapa. Huutomerkki lisäisi ainutlaatuisuutta tällaiseen eksistentiaaliseen kvantoriin. Jos tämä on selvää, siirrytään eteenpäin. Olet luultavasti törmännyt määrittelemättömiin integraaleihin yhdestoista luokassa, joten haluan muistuttaa, että tämä ei ole vain jonkinlainen antiderivaata, vaan kokoelma integrandin kaikista antiderivaatteista. Älä siis unohda C:tä - integroinnin vakiota. Muuten, itse kiinteä kuvake on vain pitkänomainen s-kirjain, kaiku latinalaisesta sanasta summa. Tämä on nimenomaan määrätyn integraalin geometrinen merkitys: kuvion alueen etsiminen kaavion alla summaamalla äärettömän pienet arvot. Minulle tämä on romanttisin aktiviteetti laskennassa. Mutta koulugeometria on hyödyllisin, koska se opettaa loogista kurinalaisuutta. Ensimmäisellä kurssilla sinulla pitäisi olla selkeä käsitys siitä, mikä on seuraus, mitä vastaavuus on. No, et voi sekoittua välttämättömyyden ja riittävyyden välillä, ymmärrätkö? Yritetään jopa kaivaa hieman syvemmälle. Jos päätät opiskella korkeampaa matematiikkaa, voin kuvitella kuinka huonosti henkilökohtaisessa elämässäsi on, mutta siksi suostut varmasti voittamaan pienen harjoituksen. Tässä on kolme pistettä, joista jokaisella on vasen ja oikea puoli, jotka sinun on yhdistettävä johonkin kolmesta piirretystä symbolista. Pysähdy, kokeile sitä itse ja kuuntele sitten, mitä minulla on sanottavaa. Jos x=-2, niin |x|=2, mutta vasemmalta oikealle, joten lause on jo rakennettu. Toisessa kappaleessa vasemmalle ja oikealle puolelle on kirjoitettu täysin sama asia. Ja kolmatta kohtaa voidaan kommentoida seuraavasti: jokainen suorakulmio on suunnikas, mutta ei jokainen suuntaviiva ole suorakulmio. Kyllä, tiedän, ettet ole enää pieni, mutta silti suosionosoitukseni niille, jotka ovat selviytyneet tästä harjoituksesta. No, okei, riittää, muistetaan numerojoukot. Laskennassa käytetään luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen. Luonnossa -1 omenaa ei ole olemassa, mutta muuten kokonaislukujen avulla voit puhua sellaisista asioista. Kirjain ℤ huutaa meille nollan tärkeästä roolista, rationaalilukujen joukkoa merkitään kirjaimella ℚ, eikä tämä ole sattumaa. Englannin kielessä sana "osamäärä" tarkoittaa "asennetta". Muuten, jos jossain Brooklynissa afrikkalainen amerikkalainen lähestyy sinua ja sanoo: "Pidä se todellisena!" - voit olla varma, että olet matemaatikko, reaalilukujen ihailija. No, sinun pitäisi lukea jotain kompleksiluvuista, se on hyödyllisempää. Palaamme nyt takaisin, palaamme tavallisimman kreikkalaisen koulun ensimmäiselle luokalle. Lyhyesti sanottuna, muistetaan muinaiset aakkoset. Ensimmäinen kirjain on alfa, sitten betta, tämä koukku on gamma, sitten delta, jota seuraa epsilon ja niin edelleen, viimeiseen kirjaimeen omega. Voit olla varma, että kreikkalaisilla on myös isot kirjaimet, mutta surullisista asioista emme nyt puhu. Suhtaudumme paremmin iloisiin - rajoihin. Mutta täällä ei vain ole arvoituksia, on heti selvää, mistä sanasta matemaattinen symboli ilmestyi. No, siksi voimme siirtyä videon viimeiseen osaan. Yritä kuunnella numerosarjan rajan määritelmä, joka on nyt kirjoitettu edessäsi. Napsauta mieluummin taukoa ja ajattele, niin saat iloa vuoden ikäisestä lapsesta, joka on oppinut sanan "äiti". Jos jollakin nollaa suuremmalla epsilonilla on positiivinen kokonaisluku N, niin että kaikilla N:tä suuremmilla numeerisen sekvenssin luvuilla epäyhtälö |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Yleistä tietoa
Järjestelmä kehittyi luonnollisten kielten tavoin historiallisesti (katso matemaattisten merkintöjen historiaa) ja on organisoitunut luonnollisten kielten kirjoittamisen tapaan, lainaten sieltä myös monia symboleja (pääasiassa latinalaisista ja kreikkalaisista aakkosista). Symbolit, kuten tavallisessa kirjoituksessa, on kuvattu kontrastisilla viivoilla tasaisella taustalla (musta valkoisella paperilla, vaalea tummalla taululla, kontrasti näytöllä jne.), ja niiden merkitys määräytyy ensisijaisesti muodon ja suhteellisuuden perusteella. asemaa. Väriä ei oteta huomioon eikä sitä yleensä käytetä, mutta kirjaimia käytettäessä niiden ominaisuuksilla, kuten tyylillä ja jopa kirjasintyypillä, jotka eivät vaikuta tavallisen kirjoituksen merkitykseen, voi olla semanttinen rooli matemaattisessa merkinnässä.
Rakenne
Tavallinen matemaattinen merkintä (erityisesti ns matemaattiset kaavat) kirjoitetaan yleensä merkkijonoon vasemmalta oikealle, mutta ne eivät välttämättä muodosta peräkkäistä merkkijonoa. Erilliset merkkilohkot voivat sijaita rivin ylä- tai alaosassa, vaikka merkit eivät mene päällekkäin pystysuunnassa. Lisäksi jotkin osat sijaitsevat kokonaan viivan ylä- tai alapuolella. Kieliopillisesti lähes mitä tahansa "kaavaa" voidaan pitää hierarkkisesti organisoituna puutyyppisenä rakenteena.
Standardointi
Matemaattinen merkintätapa edustaa järjestelmää sen komponenttien suhteen, mutta yleensä ei muodostavat muodollisen järjestelmän (itse matematiikan ymmärtämisessä). Kaikissa monimutkaisissa tapauksissa niitä ei voi edes purkaa ohjelmallisesti. Kuten mikä tahansa luonnollinen kieli, myös "matematiikan kieli" on täynnä epäjohdonmukaisia nimityksiä, homografioita, erilaisia (puhujien joukossa) tulkintoja siitä, mitä pidetään oikeana jne. Matemaattisista symboleista ei ole edes ennakoitavissa olevaa aakkostoa, ja erityisesti siksi, että kysymys ei ole aina yksiselitteisesti ratkaistu, pitääkö kahta nimitystä eri merkkinä vai yhden merkin eri kirjoitusasuina.
Osa matemaattisista merkinnöistä (pääasiassa mittauksiin liittyvästä) on standardoitu ISO 31 -11:ssä, mutta yleisesti ottaen merkinnöistä ei ole standardisoitua.
Matemaattisen merkinnän elementit
Numerot
Käytä tarvittaessa lukujärjestelmää, jonka kantaluku on pienempi kuin kymmenen, kantaluku kirjoitetaan alaindeksillä: 20003 8 . Lukujärjestelmiä, joiden kantakanta on suurempi kuin kymmenen, ei käytetä yleisesti hyväksytyssä matemaattisessa merkinnässä (vaikka tiede itse tietysti tutkii niitä), koska niille ei ole tarpeeksi lukuja. Tietojenkäsittelytieteen kehityksen yhteydessä on tullut ajankohtaiseksi heksadesimaalilukujärjestelmä, jossa numerot 10:stä 15:een merkitään kuudella ensimmäisellä latinalaiskirjaimella A:sta F:iin. Tietojenkäsittelytieteessä käytetään useita erilaisia lähestymistapoja tällaisten lukujen osoittamiseen. , mutta niitä ei siirretä matematiikkaan.
Ylä- ja alaindeksimerkit
Sulkumerkit, vastaavat symbolit ja erottimet
Sulkuja "()" käytetään:
Hakasulkeita "" käytetään usein merkityksien ryhmittelyssä, kun joudut käyttämään useita sulkupareja. Tässä tapauksessa ne on sijoitettu ulkopuolelle ja (siisti typografialla) niiden korkeus on suurempi kuin sisällä olevat kiinnikkeet.
Neliömäisiä "" ja pyöreitä "()" sulkumerkkejä käytetään osoittamaan suljettuja ja avoimia tiloja, vastaavasti.
Aaltosulkeet "()" ovat yleensä käytössä , vaikka niitä koskee sama varoitus kuin hakasulkeisiin. Vasenta "(" ja oikeaa ")" -sulkua voidaan käyttää erikseen; niiden tarkoitus on kuvattu.
Hakasulkumerkit " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» siistillä typografialla tulee olla tylpät kulmat ja siten erota vastaavista, joilla on suora tai terävä kulma. Käytännössä tätä ei kannata toivoa (etenkään käsin kirjoitettaessa kaavoja) ja ne on erotettava toisistaan intuition avulla.
Symmetristen (pystyakselin suhteen) symbolien pareja, mukaan lukien muut kuin luetellut, käytetään usein korostamaan kaavan osaa. Parillisten hakasulkeiden tarkoitus on kuvattu.
Indeksit
Sijainnista riippuen erotetaan ylä- ja alaindeksit. Yläindeksi voi tarkoittaa (mutta ei välttämättä tarkoita) eksponentiota to , noin muusta käyttötarkoituksesta.
Muuttujat
Tieteissä on joukkoja suureita, ja mikä tahansa niistä voi ottaa joko joukon arvoja ja kutsua muuttuja arvo (muunnelma) tai vain yksi arvo ja sitä kutsutaan vakioksi. Matematiikassa suuret usein poikkeavat fysikaalisesta merkityksestä, ja sitten muuttuja muuttuu abstrakti(tai numeerinen) muuttuja, joka on merkitty jollakin symbolilla, jota ei ole varattu yllä mainitulla erityisellä merkinnällä.
Muuttuva X katsotaan annetuksi, jos sen vaatima arvojoukko on määritelty (x). On kätevää pitää vakioarvoa muuttujana, jolle vastaava joukko (x) koostuu yhdestä elementistä.
Toiminnot ja operaattorit
Matemaattisesti näiden välillä ei ole merkittävää eroa operaattori(unaarinen), kartoitus ja toiminto.
Kuitenkin viitataan, että jos kuvauksen arvon tallentamiseksi annetuista argumenteista on määritettävä , niin tämän kuvauksen symboli tarkoittaa funktiota, muissa tapauksissa se puhuu todennäköisemmin operaattorista. Yhden argumentin joidenkin funktioiden symboleja käytetään hakasulkeiden kanssa ja ilman. Esimerkiksi monet perusfunktiot sin x (\näyttötyyli \sin x) tai sin (x) (\displaystyle \sin(x)), mutta alkeisfunktioita kutsutaan aina toimintoja.
Operaattorit ja suhteet (unääri ja binaari)
Toiminnot
Funktioon voidaan viitata kahdessa mielessä: sen arvon ilmaisuna annetuilla argumenteilla (kirjoitettu f (x) , f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) jne.) tai itse asiassa funktiona. Jälkimmäisessä tapauksessa laitetaan vain funktiosymboli, ilman sulkuja (vaikka ne usein kirjoittavat sen satunnaisesti).
Matemaattisessa työssä käytetyille yleisille funktioille on monia merkintöjä ilman lisäselityksiä. Muuten funktio on kuvattava jotenkin, eikä se perusmatematiikassa pohjimmiltaan eroa ja on täsmälleen sama mielivaltaisella kirjaimella. F-kirjain on suosituin muuttujafunktioissa, usein käytetään myös g:tä ja suurinta osaa kreikasta.
Ennalta määritetyt (varatut) nimitykset
Yksikirjaimille nimityksille voidaan kuitenkin haluttaessa antaa erilainen merkitys. Esimerkiksi kirjainta i käytetään usein indeksinä kontekstissa, jossa kompleksilukuja ei käytetä, ja kirjainta voidaan käyttää muuttujana joissakin kombinatoriikassa. Myös joukkoteoriasymbolit (kuten " ⊂ (\displaystyle \subset )" ja " ⊃ (\displaystyle \supset )) ja propositiolaskenta (kuten " ∧ (\displaystyle \wedge )" ja " ∨ (\displaystyle\vee )”) voidaan käyttää toisessa merkityksessä, yleensä järjestysrelaationa ja vastaavasti binäärioperaationa.
Indeksointi
Indeksointi piirretään (yleensä alhaalta, joskus ylhäältä) ja se on tavallaan tapa laajentaa muuttujan sisältöä. Sitä käytetään kuitenkin kolmessa hieman erilaisessa (vaikka päällekkäisessä) mielessä.
Itse asiassa numeroita
Sinulla voi olla useita eri muuttujia merkitsemällä ne samalla kirjaimella, samalla tavalla kuin käyttämällä . Esimerkiksi: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Yleensä niitä yhdistää jokin yhteinen piirre, mutta yleensä tämä ei ole välttämätöntä.
Lisäksi "indekseina" voit käyttää paitsi numeroita myös mitä tahansa merkkejä. Kuitenkin, kun toinen muuttuja ja lauseke kirjoitetaan indeksiksi, tämä merkintä tulkitaan "muuttujaksi, jonka numero määrittää indeksilausekkeen arvon."
Tensorianalyysissä
Lineaarialgebrassa, tensorianalyysissä, differentiaaligeometriassa indekseillä (muuttujien muodossa) kirjoitetaan
Kurssi käyttää geometrinen kieli, joka koostuu matematiikan (erityisesti lukion uudessa geometrian kurssissa) otetuista merkinnöistä ja symboleista.
Kaikki merkinnät ja symbolit sekä niiden väliset yhteydet voidaan jakaa kahteen ryhmään:
ryhmä I - geometristen kuvioiden nimitykset ja niiden väliset suhteet;
ryhmän II loogisten operaatioiden nimitykset, jotka muodostavat geometrisen kielen syntaktisen perustan.
Seuraavassa on täydellinen luettelo tällä kurssilla käytetyistä matemaattisista symboleista. Erityistä huomiota kiinnitetään symboleihin, joita käytetään osoittamaan geometristen muotojen projektiota.
Ryhmä I
GEOMETRISTEN KUVOJEN MERKINNÄT JA NIIDEN VÄLISET SUHTEET
A. Geometristen muotojen merkitseminen
1. Geometrinen kuvio on merkitty - F.
2. Pisteet on merkitty latinalaisten aakkosten isoilla kirjaimilla tai arabialaisilla numeroilla:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Projektitasoihin nähden mielivaltaisesti sijoitetut viivat on merkitty latinalaisten aakkosten pienillä kirjaimilla:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Tasoviivat on merkitty: h - vaakasuora; f- frontaalinen.
Seuraavaa merkintää käytetään myös suorille viivoille:
(AB) - pisteiden A ja B kautta kulkeva suora viiva;
[AB) - säde, jonka alku on pisteessä A;
[AB] - pisteiden A ja B rajoittama suora jana.
4. Pinnat on merkitty kreikkalaisten aakkosten pienillä kirjaimilla:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Korostaaksesi tapaa, jolla pinta määritellään, sinun tulee määrittää geometriset elementit, joilla se määritellään, esimerkiksi:
α(a || b) - taso α määritetään yhdensuuntaisilla viivoilla a ja b;
β(d 1 d 2 gα) - pinnan β määrittävät johteet d 1 ja d 2, generatriisi g ja yhdensuuntaisuustaso α.
5. Kulmat on ilmoitettu:
∠ABC - kulma kärjen kanssa pisteessä B sekä ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Kulma: arvo (astemitta) ilmaistaan merkillä, joka on sijoitettu kulman yläpuolelle:
Kulman ABC arvo;
Kulman φ arvo.
Suora kulma on merkitty neliöllä, jonka sisällä on piste
7. Geometristen kuvioiden väliset etäisyydet ilmaistaan kahdella pystysegmentillä - ||.
Esimerkiksi:
|AB| - pisteiden A ja B välinen etäisyys (janan AB pituus);
|Aa| - etäisyys pisteestä A viivaan a;
|Aα| - etäisyydet pisteestä A pintaan α;
|ab| - linjojen a ja b välinen etäisyys;
|αβ| pintojen α ja β välinen etäisyys.
8. Projektitasoille hyväksytään seuraavat nimitykset: π 1 ja π 2, missä π 1 on vaakasuuntainen projektiotaso;
π 2 - projektioiden fryuntal taso.
Kun projektiotasoja vaihdetaan tai uusia tasoja otetaan käyttöön, jälkimmäiset merkitsevät π 3, π 4 jne.
9. Projektioakselit on merkitty: x, y, z, missä x on x-akseli; y on y-akseli; z - soveltamisakseli.
Monge-kaavion vakioviiva on merkitty k:llä.
10. Pisteiden, viivojen, pintojen ja geometristen hahmojen projektiot on merkitty samoilla kirjaimilla (tai numeroilla) kuin alkuperäinen, lisättynä sitä projektiotasoa vastaavalla yläindeksillä, jolla ne on saatu:
A", B", C", D", ... , L", M", N", pisteiden vaakaprojektiot; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... pisteiden frontaaliset projektiot; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - viivojen vaakasuorat projektiot; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... viivojen frontaaliset projektiot; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... pintojen vaakaprojektiot; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... pintojen etuprojektiot.
11. Tasojen (pintojen) jäljet on merkitty samoilla kirjaimilla kuin vaaka- tai frontaali, lisättynä alaindeksiin 0α, joka korostaa, että nämä viivat ovat projektiotasolla ja kuuluvat tasoon (pintaan) α.
Joten: h 0α - tason (pinnan) α vaakasuora jälki;
f 0α - tason (pinnan) etuviiva α.
12. Suorien viivojen jäljet (viivat) on merkitty isoilla kirjaimilla, jotka alkavat sanoja, jotka määrittelevät sen projektiotason nimen (latinalaisessa transkriptiossa), jonka viiva ylittää, alaindeksillä, joka ilmaisee viivaan kuulumisen.
Esimerkiksi: H a - suoran (viivan) vaakasuora viiva a;
F a - suoran (linjan) etuviiva a.
13. Pisteiden, viivojen sarja (mikä tahansa kuvio) on merkitty alaindeksillä 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
a1, a2, a3,...,an;
F1, F2, F3,..., Fn jne.
Pisteen apuprojektio, joka saadaan muunnoksen tuloksena geometrisen kuvan todellisen arvon saamiseksi, on merkitty samalla kirjaimella alaindeksillä 0:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Aksonometriset projektiot
14. Pisteiden, viivojen, pintojen aksonometriset projektiot on merkitty samoilla kirjaimilla kuin luonto lisättynä yläindeksiin 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0, β 0, γ 0, δ 0, ...
15. Toissijaiset projektiot osoitetaan lisäämällä yläindeksi 1:
A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0, β 1 0, γ 1 0, δ 1 0, ...
Oppikirjan piirustusten lukemisen helpottamiseksi havainnollistavan materiaalin suunnittelussa käytettiin useita värejä, joista jokaisella on tietty semanttinen merkitys: mustat viivat (pisteet) osoittavat lähtötiedot; vihreää väriä käytetään graafisten apurakenteiden riveissä; punaiset viivat (pisteet) osoittavat rakennusten tuloksia tai niitä geometrisia elementtejä, joihin on kiinnitettävä erityistä huomiota.
| ei. | Nimitys | Sisältö | Esimerkki symbolisista merkinnöistä |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Ottelu | (AB) ≡ (CD) - pisteiden A ja B kautta kulkeva suora, yhtyy pisteiden C ja D kautta kulkevan suoran kanssa |
| 2 | ≅ | Yhdenmukainen | ∠ABC≅∠MNK - kulma ABC on kongruentti kulman MNK kanssa |
| 3 | ∼ | Samanlaisia | ΔABS∼ΔMNK - kolmiot ABC ja MNK ovat samanlaisia |
| 4 | || | Rinnakkainen | α||β - taso α on yhdensuuntainen tason β kanssa |
| 5 | ⊥ | kohtisuorassa | a⊥b - suorat a ja b ovat kohtisuorassa |
| 6 | risteyttää | d - suorat c ja d leikkaavat | |
| 7 | Tangentit | t l - suora t on suoran l tangentti. βα - pinnan α tangentti taso β |
|
| 8 | → | näytetään | F 1 → F 2 - kuva F 1 on kartoitettu kuvioon F 2 |
| 9 | S | projektiokeskus. Jos projektiokeskus ei ole oikea piste, sen sijainti on osoitettu nuolella, osoittaa projektion suunnan | - |
| 10 | s | Projektion suunta | - |
| 11 | P | Rinnakkais projektio | p s α Rinnakkaisprojektio - rinnakkainen projektio tasoon α suunnassa s |
| ei. | Nimitys | Sisältö | Esimerkki symbolisista merkinnöistä | Esimerkki symbolisista merkinnöistä geometriassa |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Sarjat | - | - |
| 2 | A, B, C,... | Aseta elementit | - | - |
| 3 | { ... } | Sisältää... | F(A, B, C,... ) | Ф(A, B, C,...) - kuva Ф koostuu pisteistä A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Tyhjä setti | L - ∅ - joukko L on tyhjä (ei sisällä elementtejä) | - |
| 5 | ∈ | Kuuluu, on elementti | 2∈N (jossa N on luonnollisten lukujen joukko) - numero 2 kuuluu joukkoon N | A ∈ a - piste A kuuluu suoralle a (piste A on viivalla a) |
| 6 | ⊂ | Sisältää, sisältää | N⊂M - joukko N on osa (osajoukko) joukosta M kaikista rationaaliluvuista | a⊂α - suora a kuuluu tasoon α (ymmärretty mielessä: suoran a pisteiden joukko on tason α pisteiden osajoukko) |
| 7 | ∪ | Yhdistys | C \u003d A U B - joukko C on joukkojen liitto A ja B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - katkoviiva, ABCD on segmenttien liitto [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Monen risteys | М=К∩L - joukko М on joukkojen К ja L leikkauspiste (sisältää sekä joukkoon K että joukkoon L kuuluvia elementtejä). M ∩ N = ∅- joukkojen M ja N leikkauspiste on tyhjä joukko (joukoilla M ja N ei ole yhteisiä alkioita) | a = α ∩ β - suora a on leikkauspiste tasot α ja β ja ∩ b = ∅ - suorat a ja b eivät leikkaa (ei yhteisiä kohtia) |
| ei. | Nimitys | Sisältö | Esimerkki symbolisista merkinnöistä |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | lauseiden konjunktio; vastaa liittoa "ja". Lause (p∧q) on tosi, jos ja vain jos p ja q ovat molemmat tosi | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Pintojen α ja β leikkauspiste on joukko pisteitä (viiva), koostuu kaikista niistä ja vain niistä pisteistä K, jotka kuuluvat sekä pintaan α että pintaan β |
| 2 | ∨ | Lauseiden disjunktio; vastaa liittoa "tai". Lause (p∨q) tosi, kun ainakin yksi lauseista p tai q on tosi (eli joko p tai q tai molemmat). | - |
| 3 | ⇒ | Implikaatio on looginen seuraus. Lause p⇒q tarkoittaa: "jos p, niin q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Jos kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia kolmannen kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa. |
| 4 | ⇔ | Lause (p⇔q) ymmärretään merkityksessä: "jos p, niin q; jos q, niin p" | А∈α⇔А∈l⊂α. Piste kuuluu tasoon, jos se kuuluu johonkin kyseiseen tasoon kuuluvaan suoraan. Päinvastoin on myös totta: jos piste kuuluu jollekin suoralle, kuuluu tasoon, niin se kuuluu myös itse tasoon. |
| 5 | ∀ | Yleinen kvantori kuuluu: kaikille, kaikille, kenelle tahansa. Lauseke ∀(x)P(x) tarkoittaa: "mikä tahansa x: ominaisuus P(x)" | ∀(ΔABC)( = 180°) Minkä tahansa (mikä tahansa) kolmion kulmien arvojen summa kärjessä on 180° |
| 6 | ∃ | Eksistentiaalinen kvantori lukee: olemassa. Lauseke ∃(x)P(x) tarkoittaa: "on x, jolla on ominaisuus P(x)" | (∀α)(∃a) Jokaiselle tasolle α on olemassa suora a, joka ei kuulu tasoon α ja yhdensuuntainen tason α kanssa |
| 7 | ∃1 | Olemassaolon ainutlaatuisuuden kvantori lukee: olemassa on ainutlaatuinen (-th, -th)... Lauseke ∃1(x)(Px) tarkoittaa: "on ainutlaatuinen (vain yksi) x, jolla on ominaisuus Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Jokaiselle kahdelle eri pisteelle A ja B on ainutlaatuinen suora a, kulkee näiden pisteiden läpi. |
| 8 | (px) | Lausekkeen P(x) kielto | ab(∃α )(α⊃а, b). Jos suorat a ja b leikkaavat, ei ole olemassa tasoa a, joka sisältää ne |
| 9 | \ | Negatiivinen merkki | ≠ - jana [AB] ei ole yhtä suuri kuin jana .a? b - suora a ei ole yhdensuuntainen suoran b kanssa |
Matemaattisen symbolismin kehittyminen liittyi kiinteästi matematiikan käsitteiden ja menetelmien yleiseen kehittymiseen. Ensimmäinen Matemaattiset merkit siellä oli merkkejä numeroiden kuvaamiseksi - numeroita, jonka syntyminen ilmeisesti edelsi kirjoittamista. Vanhimmat numerointijärjestelmät - babylonialainen ja egyptiläinen - ilmestyivät jo 3 1/2 tuhatta vuotta eKr. e.
Ensimmäinen Matemaattiset merkit sillä mielivaltaiset arvot ilmestyivät paljon myöhemmin (alkaen 5.-4. vuosisadalta eKr.) Kreikassa. Määrät (pinta-ala, tilavuudet, kulmat) esitettiin segmentteinä ja kahden mielivaltaisen homogeenisen suuren tulo - vastaaviin segmentteihin rakennettuna suorakulmiona. "Aluissa" Euclid (3. vuosisadalla eKr.) määrät on merkitty kahdella kirjaimella - vastaavan segmentin alku- ja loppukirjaimilla ja joskus jopa yhdellä. klo Archimedes (3. vuosisadalla eKr.) jälkimmäinen menetelmä yleistyy. Tällainen nimitys sisälsi mahdollisuudet kirjaimellisen laskennan kehittämiseen. Klassisessa muinaisessa matematiikassa kirjaimellista laskentaa ei kuitenkaan luotu.
Kirjainten esityksen ja laskennan alku syntyi myöhäisen hellenistisen aikakauden tuloksena algebran vapautuessa geometrisesta muodosta. Diophantus (luultavasti 3. vuosisadalla) kirjoitti muistiin tuntemattoman ( X) ja sen asteet seuraavilla merkeillä:
[ - kreikan sanasta dunamiV (dynamis - vahvuus), joka tarkoittaa tuntemattoman neliötä, - kreikan sanasta cuboV (k_ybos) - kuutio]. Tuntemattoman tai sen asteiden oikealle puolelle Diophantos kirjoitti kertoimet, esimerkiksi 3x5 kuvattiin
(jossa = 3). Lisättäessä Diophantus liitti termit toisiinsa, vähentämiseen hän käytti erityistä merkkiä; Diophantus merkitsi yhtäläisyyttä kirjaimella i [kreikan sanasta isoV (isos) - yhtäläinen]. Esimerkiksi yhtälö
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diophantus kirjoittaisi sen näin:
(tässä
tarkoittaa, että yksikössä ei ole kertojaa tuntemattoman potenssin muodossa).
Muutama vuosisataa myöhemmin intiaanit esittelivät erilaisia Matemaattiset merkit useille tuntemattomille (tuntemattomia ilmaisevien värien nimien lyhenteet), neliö, neliöjuuri, vähennetty luku. Siis yhtälö
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Äänityksessä Brahmagupta (7. vuosisata) näyttäisi tältä:
Joo va 3 ja 10 ru 8
Joo va 1 ya 0 ru 1
(ya - yavat - tawat - tuntematon, va - varga - neliöluku, ru - rupa - rupia kolikko - vapaa jäsen, piste numeron yläpuolella tarkoittaa vähennettävää lukua).
Nykyaikaisen algebrallisen symbolismin luominen juontaa juurensa 1300-1600-luvuille; sen määrittivät käytännön aritmetiikka ja yhtälöiden tutkiminen. Eri maissa esiintyy spontaanisti Matemaattiset merkit joillekin toimille ja tuntemattoman suuren tehoille. Kuluu useita vuosikymmeniä ja jopa vuosisatoja ennen kuin yksi tai toinen kätevä symboli kehitetään. Joten lopussa 15 ja. N. Shuke ja minä. Pacioli käytetty yhteen- ja vähennysmerkkejä
(lat. plus ja miinus), saksalaiset matemaatikot esittelivät modernit + (luultavasti lyhenne lat. et) ja -. Takaisin 1700-luvulla voi laskea noin kymmenen Matemaattiset merkit kertolaskuoperaatiota varten.
olivat erilaisia ja Matemaattiset merkit tuntematon ja sen asteet. 1500-luvulla - 1700-luvun alussa. yli kymmenen merkintää kilpaili esimerkiksi pelkästään tuntemattoman neliöstä se(laskennasta - latinalainen termi, joka toimi käännöksenä kreikan kielen dunamiV, K(kvadraamista), , A (2), , Aii, aa, a 2 jne. Siten yhtälö
x 3 + 5 x = 12
italialaisen matemaatikon G. Cardanon (1545) muoto olisi:
saksalaiselta matemaatikolta M. Stiefeliltä (1544):
italialaiselta matemaatikko R. Bombellilta (1572):
Ranskalainen matemaatikko F. Vieta (1591):
englantilaiselta matemaatikko T. Harriotilta (1631):
1500-luvulla ja 1700-luvun alussa yhtäläisyysmerkit ja hakasulut tulevat käyttöön: neliö (R. Bombelli , 1550), pyöreä (N. Tartaglia, 1556), kihara (F. viet, 1593). 1500-luvulla moderni muoto ottaa murtolukujen merkinnän.
Merkittävä askel eteenpäin matemaattisen symbolismin kehityksessä oli Vietan (1591) esittely. Matemaattiset merkit mielivaltaisille vakioille latinalaisten aakkosten B, D isojen konsonanttien muodossa, mikä mahdollisti hänen ensimmäistä kertaa kirjoittaa muistiin algebrallisia yhtälöitä mielivaltaisilla kertoimilla ja toimia niiden kanssa. Tuntematon Viet kuvasi vokaalit isoilla kirjaimilla A, E, ... Esimerkiksi tietue Vieta
Symboleissamme se näyttää tältä:
x 3 + 3bx = d.
Viet oli algebrallisten kaavojen luoja. R. Descartes (1637) antoi algebran merkeille nykyaikaisen ilmeen, joka merkitsee tuntemattomia latin viimeisillä kirjaimilla. aakkoset x, y, z, ja mielivaltaiset annetut määrät - alkukirjaimilla a, b, c. Hän omistaa myös nykyisen tutkinnon ennätyksen. Descartesin notaatiolla oli suuri etu verrattuna kaikkiin aikaisempiin. Siksi he saivat pian yleismaailmallisen tunnustuksen.
Edelleen kehittäminen Matemaattiset merkit liittyi läheisesti infinitesimaalisen analyysin luomiseen, jonka symbolismin kehittämiseen pohja oli jo pitkälti valmisteltu algebrassa.
Joidenkin matemaattisten merkkien esiintymispäivämäärät
| merkki | merkitys | Kuka esitteli | Kun esiteltiin |
| Yksittäisten esineiden merkit | |||
| ¥ | ääretön | J. Wallis | 1655 |
| e | luonnollisten logaritmien kanta | L. Euler | 1736 |
| p | ympärysmitan suhde halkaisijaan | W. Jones L. Euler | 1706 |
| i | neliöjuuri -1 | L. Euler | 1777 (painossa 1794) |
| i j k | yksikkövektorit, orts | W. Hamilton | 1853 |
| P (a) | yhdensuuntaisuuden kulma | N.I. Lobatševski | 1835 |
| Muuttuvien objektien merkit | |||
| x, y, z | tuntemattomia tai muuttujia | R. Descartes | 1637 |
| r | vektori | O. Koshy | 1853 |
| Merkkejä yksittäisistä leikkauksista | |||
| + | lisäys | saksalaiset matemaatikot | 1500-luvun loppu |
| – | vähennyslasku |
||
| ´ | kertolasku | W. Outred | 1631 |
| × | kertolasku | G. Leibniz | 1698 |
| : | jako | G. Leibniz | 1684 |
| a 2, a 3,…, a n | tutkinnon | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | juuret | K. Rudolph | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Hirsi | logaritmi | I. Kepler | 1624 |
| Hirsi | B. Cavalieri | 1632 |
|
| synti | sinus | L. Euler | 1748 |
| cos | kosini |
||
| tg | tangentti | L. Euler | 1753 |
| kaari synti | arcsininen | J. Lagrange | 1772 |
Sh | hyperbolinen sini | V. Riccati | 1757 |
Ch | hyperbolinen kosini |
||
| dx, ddx,… | ero | G. Leibniz | 1675 (painossa 1684) |
d2x, d3x,… |
|||
| | kiinteä | G. Leibniz | 1675 (painossa 1686) |
| | johdannainen | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | johdannainen | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| y' |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | ero | L. Euler | 1755 |
| | osittainen johdannainen | A. Legendre | 1786 |
| | selvä integraali | J. Fourier | 1819-22 |
| | summa | L. Euler | 1755 |
| P | työ | K. Gauss | 1812 |
| ! | tekijällinen | K. Crump | 1808 |
| |x| | moduuli | K. Weierstrass | 1841 |
| lim | raja | W. Hamilton, monet matemaatikot | 1853, 1900-luvun alku |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | zeta-funktio | B. Riemann | 1857 |
| G | gamma-toiminto | A. Legendre | 1808 |
| AT | beta-toiminto | J. Binet | 1839 |
| D | delta (Laplace-operaattori) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (Hamiltonin operaattori) | W. Hamilton | 1853 |
| Merkkejä muuttuvista toiminnoista | |||
| jx | toiminto | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L. Euler | 1734 |
|
| Yksilöllisten suhteiden merkkejä | |||
| = | tasa-arvo | R. Record | 1557 |
| > | lisää | T. Harriot | 1631 |
| < | Vähemmän |
||
| º | vertailukelpoisuus | K. Gauss | 1801 |
| | rinnakkaisuus | W. Outred | 1677 |
| ^ | kohtisuoraan | P. Erigon | 1634 |
JA. Newton fluxes and fluent -menetelmässään (1666 ja sitä seuraavat vuodet) otti käyttöön merkit suuruusluokan peräkkäisille fluxioille (johdannaisille) (muodossa
ja äärettömän pienellä lisäyksellä o. Hieman aikaisemmin J. Wallis (1655) ehdotti ääretön merkkiä ¥.
Modernin differentiaali- ja integraalilaskennan symbolismin luoja on G. Leibniz. Erityisesti hän kuuluu tällä hetkellä käytettyyn Matemaattiset merkit erottimet
dx, d 2 x, d 3 x
ja kiinteä
Valtava ansio nykyaikaisen matematiikan symbolismin luomisessa kuuluu L. Euler. Hän otti (1734) yleiseen käyttöön muuttujaoperaation ensimmäisen merkin, nimittäin funktion merkin f(x) (lat. functiosta). Eulerin työn jälkeen monien yksittäisten funktioiden, kuten trigonometristen funktioiden, merkit saivat vakiomerkin. Euler omistaa vakioiden merkinnän e(luonnollisten logaritmien kanta, 1736), p [luultavasti kreikasta perijereia (periphereia) - ympärysmitta, reuna, 1736], imaginaariyksikkö
(ranskasta imaginaire - imaginary, 1777, julkaistu vuonna 1794).
1800-luvulla symbolismin rooli kasvaa. Tällä hetkellä itseisarvon |x| merkit (TO. Weierstrass, 1841), vektori (O. Cauchy, 1853), päättäjä
(MUTTA. Cayley, 1841) ja muut. Monia 1800-luvulla syntyneitä teorioita, kuten tensorilaskentaa, ei voitu kehittää ilman sopivaa symboliikkaa.
Yhdessä määritellyn standardointiprosessin kanssa Matemaattiset merkit modernista kirjallisuudesta löytyy usein Matemaattiset merkit yksittäisten kirjoittajien käyttämä vain tämän tutkimuksen puitteissa.
Matemaattisen logiikan näkökulmasta mm Matemaattiset merkit Seuraavat pääryhmät voidaan hahmotella: A) objektien merkit, B) merkit operaatioista, C) merkit suhteista. Esimerkiksi merkit 1, 2, 3, 4 kuvaavat numeroita, eli aritmeettisesti tutkittuja kohteita. Lisäysmerkki + ei sinänsä edusta mitään objektia; se saa aihesisällön, kun on ilmoitettu, mitkä luvut lisätään: merkintä 1 + 3 kuvaa lukua 4. Merkki > (suurempi kuin) on numeroiden välisen suhteen merkki. Relaation merkki saa varsin määrätyn sisällön, kun osoitetaan, minkä objektien välillä relaatiota tarkastellaan. Edellä oleviin kolmeen pääryhmään Matemaattiset merkit Neljännen vieressä: D) apumerkit, jotka määrittävät päämerkkien yhdistelmäjärjestyksen. Riittävä käsitys tällaisista merkeistä annetaan suluilla, jotka osoittavat toimintojen suoritusjärjestyksen.
Kolmen ryhmän A), B) ja C) merkit ovat kahdenlaisia: 1) yksittäiset merkit tarkasti määritellyistä objekteista, toiminnoista ja suhteista, 2) yleiset merkit "ei-toistuvista" tai "tuntemattomista" objekteista. , toiminta ja suhteet.
Esimerkkejä ensimmäisen tyyppisistä merkeistä voivat toimia (katso myös taulukko):
A 1) Luonnollisten lukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 merkintä; transsendenttiset numerot e ja p; kuvitteellinen yksikkö i.
B 1) Aritmeettisten operaatioiden merkit +, -, ·, ´,:; juurien louhinta, eriyttäminen
joukkojen summan (liiton) È ja tulon (leikkauspisteen) Ç merkit; tämä sisältää myös yksittäisten funktioiden sin, tg, log jne. merkit.
1) Yhtälö- ja epätasa-arvomerkit =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Toisen tyypin merkit kuvaavat mielivaltaisia objekteja, tietyn luokan operaatioita ja suhteita tai objekteja, operaatioita ja suhteita tietyin ennalta määrätyin ehdoin. Esimerkiksi kun kirjoitat henkilöllisyyttä ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 kirjainta a ja b merkitsee mielivaltaisia numeroita; kun tutkitaan toiminnallista riippuvuutta klo = X 2 kirjainta X ja y - mielivaltaiset luvut, jotka liittyvät tietyllä suhteella; yhtälön ratkaisemisessa
X tarkoittaa mitä tahansa numeroa, joka täyttää annetun yhtälön (tämän yhtälön ratkaisemisen tuloksena opimme, että vain kaksi mahdollista arvoa +1 ja -1 vastaavat tätä ehtoa).
Loogisesta näkökulmasta katsottuna on perusteltua kutsua sellaisia yleisiä merkkejä muuttujien merkiksi, kuten matemaattisessa logiikassa on tapana, pelkäämättä sitä tosiasiaa, että muuttujan "muutosalue" saattaa muodostua yhdestä ainoasta. objekti tai jopa "tyhjä" (esimerkiksi yhtälöissä, joissa ei ole ratkaisua). Muita esimerkkejä tällaisista merkeistä ovat:
A 2) Pisteiden, viivojen, tasojen ja monimutkaisempien geometristen muotojen merkitseminen kirjaimilla geometriassa.
B 2) Merkintä f, , j operaattorilaskun funktioille ja merkinnöille, kun yksi kirjain L kuvaa esimerkiksi mielivaltaista lomakkeen operaattoria:
"Muuttuvien suhteiden" merkintä on vähemmän yleinen, ja sitä käytetään vain matemaattisessa logiikassa (vrt. Logiikan algebra ) ja suhteellisen abstrakteissa, enimmäkseen aksiomaattisissa matemaattisissa tutkimuksissa.
Lit.: Cajori, Matemaattisten merkintöjen historia, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Artikkeli sanasta Matemaattiset merkit" Suuressa Neuvostoliitossa Encyclopediassa on luettu 39765 kertaa
