a)

Ratkaisu.

Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen.

Tehdään piirustus:

Yhtälö y = 0 asettaa x-akselin;

- x=-2 ja x=1 - suora, yhdensuuntainen akselin kanssa OU;

- y \u003d x 2 +2 - paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin ja jonka kärki on pisteessä (0;2).

Kommentti. Paraabelin rakentamiseksi riittää, kun etsitään sen koordinaattiakselien ja sen leikkauspisteiden pisteet, ts. laittaa x=0 etsi leikkauspiste akselin kanssa OU ja ratkaisemalla vastaavan toisen asteen yhtälön, etsi leikkauspiste akselin kanssa vai niin .

Paraabelin kärkipiste löytyy kaavojen avulla:

Voit piirtää viivoja ja piste pisteeltä.

Välillä [-2;1] funktion kuvaaja y = x 2 +2 sijaitsee akselin yli Härkä , siksi:

Vastaus: S \u003d 9 neliöyksikköä

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikka vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla Vai niin?

b) Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=-e x , x=1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu.

Tehdään piirustus.

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle vai niin , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Vastaus: S=(e-1) neliöyksikkö" 1,72 neliöyksikköä

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä hahmo sijaitsee useimmiten sekä ylä- että alapuoliskolla.

Kanssa) Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Ratkaisu.

Ensin sinun on tehtävä piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet ja suora Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen.

Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a = 0 , integroinnin yläraja b = 3 .

Rakennamme annetut suorat: 1. Paraabeli - kärki pisteessä (1;1); akselin leikkauspiste Vai niin - pisteet (0;0) ja (0;2). 2. Suora - 2. ja 4. koordinaattikulman puolittaja. Ja nyt Huomio! Jos segmentillä [ a;b] jokin jatkuva funktio f(x) suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta: . Ja sillä ei ole väliä, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella vai akselin alapuolella, vaan on tärkeää, kumpi kaavio on KORKEAMALLA (suhteessa toiseen kaavioon) ja kumpi on ALALLA. Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

On mahdollista rakentaa viivoja piste pisteeltä, kun taas integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia).

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: S \u003d 4,5 neliöyksikköä

Itse asiassa, jotta voit löytää kuvion alueen, sinun ei tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, joten tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon tärkeämpi asia. Tässä suhteessa on hyödyllistä päivittää tärkeimpien perusfunktioiden kaavioiden muisti ja pystyä vähintään rakentamaan suora ja hyperboli.

Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja jatkuvan funktion kaavio janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää abskissa:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali. Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys.

Geometrian kannalta varma integraali on AREA.

Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia . Integrandi määrittelee käyrän tasolle, joka sijaitsee akselin yläpuolella (haluavat voivat täydentää piirustuksen), ja itse kiinteä integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensimmäinen on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia ​​on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbolit, muiden funktioiden kuvaajat. Funktiokaavioita on kannattavampaa rakentaa kohtisuoraan.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittelee akselin):

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yli, siksi:

Vastaus:

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikka vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi tasaisen kuvion pinta-ala, jota rajoittavat viivat , .

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Siksi integraation alaraja , integraation yläraja .

On parasta olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjat piste kerrallaan, kun integraation rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Ja nyt työkaava: Jos välissä on jatkuva toiminto suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva funktio, sitten näiden funktioiden ja suorien kaavioiden rajaama kuvion alue, löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Esimerkki 4

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään ensin piirustus:

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä välinpitämättömyyden vuoksi tapahtuu usein "häiriötä", että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu hahmon alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvion pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia.

Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suorakäyrä;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolagraafi.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali

Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Sanoin luokassa, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE.

Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion pinta-alaa. Tarkastellaan esimerkiksi tarkkaa integraalia . Integrandi määrittelee tietyn käyrän tasolle (se voidaan aina piirtää haluttaessa), ja itse kiinteä integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensimmäinen on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia ​​on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbolit, muiden funktioiden kuvaajat. Funktiokaavioita on kannattavampaa rakentaa kohta kohdalta, pistemäisen rakentamisen tekniikka löytyy vertailumateriaalista.

Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.
Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittelee akselin):

En hauta kaarevaa puolisuunnikasta, on selvää, mistä alueesta tässä puhutaan. Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yli, siksi:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa , katso luento Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä.

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen , , ja akselin rajoittaman kuvan pinta-ala

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla?

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman kuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle, niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi tasaisen kuvion pinta-ala, jota rajoittavat viivat , .

Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsitään paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Siksi integraation alaraja , integraation yläraja .
On parempi olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista.

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa linjat piste kerrallaan, kun integraation rajat selvitetään ikään kuin "itse". Eri kaavioiden pistekohtaista rakennustekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti ohjeessa Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistan, että pistemäisellä rakentamisella integraation rajat selviää useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava: Jos segmentillä jokin jatkuva funktio suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva funktio, niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso yksinkertainen esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus . Koska akseli on yhtälöllä ja funktion kuvaaja sijaitsee akselin alapuolella, niin

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen ympäröimä kuvion alue, .

Kun pinta-alan laskemiseen liittyviä ongelmia ratkaistaan ​​tietyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat olivat oikein, mutta huolimattomuuden vuoksi ... löysi väärän hahmon alueen, näin tottelevainen palvelijasi sotki useita kertoja. Tässä tosielämän tapaus:

Esimerkki 7

Laske viivojen , , , , rajoittaman kuvion pinta-ala.

Piirretään ensin:

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä huomaamattomuuden vuoksi tapahtuu usein, että sinun on löydettävä vihreällä varjostettu hahmon alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvion pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on suorakäyrä;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä on hyperbolagraafi.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala,
Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa ja piirretään kohta kohdalta:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": .
Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä? Voi olla ? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin. Tai juuri. Entä jos emme saaneetkaan kaaviota oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integraation rajoja analyyttisesti.

Etsitään suoran ja paraabelin leikkauspisteet.
Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

Tämän seurauksena,.

Jatkoratkaisu on triviaali, tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä, laskelmat eivät ole helpoimpia.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, oppitunnin päätteeksi harkitsemme kahta tehtävää vaikeammaksi.

Esimerkki 9

Laske viivojen , , rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Piirustuksen pistekohtaista rakentamista varten on tarpeen tietää sinusoidin ulkonäkö (ja yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kuvaajat), sekä joitain siniarvoja, ne löytyvät trigonometrinen taulukko. Joissain tapauksissa (kuten tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavamainen piirustus, jossa graafit ja integrointirajat tulee esittää periaatteessa oikein.

Integrointirajojen kanssa ei ole tässä ongelmia, ne seuraavat suoraan ehdosta: - "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Teemme lisäpäätöksen:

Jaksolla funktion kuvaaja sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

(1) Kuinka sinit ja kosinit integroidaan parittomiin potenssiin, voidaan nähdä oppitunnissa Trigonometristen funktioiden integraalit. Tämä on tyypillinen tekniikka, puristamme pois yhden sinin.

(2) Käytämme muodossa trigonometristä perusidentiteettiä

(3) Muutetaan muuttuja , sitten:

Uudet integraation uudelleenjaot:

Kuka on todella huono bisnes korvausten kanssa, mene oppitunnille Korvausmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa. Vieraile sivulla niille, jotka eivät ole kovin selkeitä korvausalgoritmista tietyssä integraalissa Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä.

Alamme pohtia kaksoisintegraalin todellista laskentaprosessia ja tutustua sen geometriseen merkitykseen.

Kaksoisintegraali on numeerisesti yhtä suuri kuin litteän hahmon pinta-ala (integrointialue). Tämä on kaksoisintegraalin yksinkertaisin muoto, kun kahden muuttujan funktio on yhtä suuri kuin yksi: .

Tarkastellaanpa ensin ongelmaa yleisellä tasolla. Nyt tulet yllättymään kuinka yksinkertaista se todella on! Lasketaan viivoilla rajatun litteän hahmon pinta-ala. Varmuuden vuoksi oletamme, että välissä . Tämän kuvan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin:

Kuvataan aluetta piirustuksessa:

Valitaan ensimmäinen tapa ohittaa alue:

Tällä tavalla:

Ja heti tärkeä tekninen temppu: iteroidut integraalit voidaan tarkastella erikseen. Ensin sisäinen integraali, sitten ulompi integraali. Tämä menetelmä on erittäin suositeltavaa teekannujen aloittelijoille.

1) Laske sisäinen integraali, kun integrointi suoritetaan muuttujan "y" yli:

Epämääräinen integraali tässä on yksinkertaisin, ja sitten käytetään banaalista Newton-Leibnizin kaavaa, sillä ainoalla erolla integroinnin rajat eivät ole numerot, vaan funktiot. Ensin korvasimme ylärajan "y":ksi (antiderivatiivinen funktio), sitten alarajan

2) Ensimmäisessä kappaleessa saatu tulos on korvattava ulkoisella integraalilla:

Koko ratkaisun kompaktimpi merkintätapa näyttää tältä:

Tuloksena oleva kaava - tämä on täsmälleen työkaava litteän hahmon alueen laskemiseksi "tavallisen" kiinteän integraalin avulla! Katso oppitunti Pinta-alan laskeminen kiinteällä integraalilla, siellä hän on joka käänteessä!

Tuo on, pinta-alan laskemisen ongelma kaksoisintegraalin avulla vähän erilainen ongelmasta löytää alue käyttämällä tiettyä integraalia! Itse asiassa ne ovat yksi ja sama!

Näin ollen vaikeuksia ei pitäisi syntyä! En käsittele kovin monia esimerkkejä, koska olet itse asiassa toistuvasti kohdannut tämän ongelman.

Esimerkki 9

Ratkaisu: Kuvataan aluetta piirustuksessa:

Valitaan seuraava järjestys alueen läpikulkua varten:

Tässä ja jäljempänä en käsittele alueen läpikulkua, koska ensimmäinen kappale oli hyvin yksityiskohtainen.

Tällä tavalla:

Kuten jo totesin, aloittelijoiden on parempi laskea iteroidut integraalit erikseen, noudatan samaa menetelmää:

1) Ensin käsittelemme sisäistä integraalia käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:

2) Ensimmäisessä vaiheessa saatu tulos korvataan ulompaan integraaliin:

Piste 2 on itse asiassa litteän hahmon alueen löytäminen määrätyn integraalin avulla.

Vastaus:

Tässä on niin typerä ja naiivi tehtävä.

Utelias esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 10

Laske kaksoisintegraalin avulla tasokuvan pinta-ala, jota rajoittavat viivat , ,

Esimerkki lopullisesta ratkaisusta oppitunnin lopussa.

Esimerkeissä 9-10 on paljon kannattavampaa käyttää ensimmäistä tapaa ohittaa alue, uteliaat lukijat voivat muuten muuttaa ohituksen järjestystä ja laskea alueet toisella tavalla. Jos et tee virhettä, luonnollisesti saadaan samat pinta-ala-arvot.

Mutta joissakin tapauksissa toinen tapa ohittaa alue on tehokkaampi, ja nuoren nörtin kurssin päätteeksi harkitsemme vielä paria esimerkkiä tästä aiheesta:

Esimerkki 11

Laske kaksoisintegraalin avulla viivojen rajoittaman tasokuvan pinta-ala.

Ratkaisu: Odotamme innolla kahta paraabelia tuulella, jotka lepäävät heidän kyljellään. Ei tarvitse hymyillä, samanlaisia ​​asioita useissa integraaleissa kohdataan usein.

Mikä on helpoin tapa piirtää?

Esitetään paraabeli kahtena funktiona:
- ylähaara ja - alahaara.

Kuvittele samalla tavalla paraabeli ylä- ja alaosaan oksat.

Seuraavaksi piirretään asemat piste kerrallaan, jolloin tuloksena on tällainen outo kuva:

Kuvan pinta-ala lasketaan kaksoisintegraalilla seuraavan kaavan mukaan:

Mitä tapahtuu, jos valitsemme ensimmäisen tavan ohittaa alue? Ensinnäkin tämä alue on jaettava kahteen osaan. Ja toiseksi, tarkkailemme tätä surullista kuvaa: . Integraalit eivät tietenkään ole supermonimutkaisen tason, mutta ... on vanha matemaattinen sanonta: joka on ystävällinen juurien kanssa, ei tarvitse kuittausta.

Siksi ehdossa annetusta väärinkäsityksestä ilmaisemme käänteiset funktiot:

Tämän esimerkin käänteisfunktioilla on se etu, että ne asettavat välittömästi koko paraabelin ilman lehtiä, tammenterhoja, oksia ja juuria.

Toisen menetelmän mukaan alueen läpikulku on seuraava:

Tällä tavalla:

Kuten sanotaan, tunne ero.

1) Käsittelemme sisäisen integraalin:

Korvaamme tuloksen ulompaan integraaliin:

Integrointi muuttujan "y" päälle ei pitäisi olla noloa, jos siinä olisi kirjain "zyu" - olisi hienoa integroida sen päälle. Vaikka kuka lukee oppitunnin toisen kappaleen Kuinka laskea pyörimiskappaleen tilavuus, hän ei enää koe pienintäkään hämmennystä "y":n integroinnista.

Kiinnitä myös huomiota ensimmäiseen vaiheeseen: integrandi on parillinen ja integrointisegmentti on symmetrinen nollan suhteen. Siksi segmentti voidaan puolittaa ja tulos voidaan kaksinkertaistaa. Tätä tekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnissa. Tehokkaat menetelmät lopullisen integraalin laskemiseen.

Mitä lisätä…. Kaikki!

Vastaus:

Testaaksesi integrointitekniikkaasi voit yrittää laskea . Vastauksen pitäisi olla täsmälleen sama.

Esimerkki 12

Laske kaksoisintegraalin avulla viivojen rajoittaman tasokuvan pinta-ala

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. On mielenkiintoista huomata, että jos yrität käyttää ensimmäistä tapaa ohittaa alue, hahmoa ei enää jaeta kahteen, vaan kolmeen osaan! Ja vastaavasti saamme kolme paria iteroituja integraaleja. Joskus se tapahtuu.

Mestarikurssi on päättynyt, ja on aika siirtyä suurmestaritasolle - Kuinka laskea kaksoisintegraali? Ratkaisuesimerkkejä. Yritän olla toisessa artikkelissa olematta niin maani =)

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2:Ratkaisu: Piirrä alue piirustuksessa:

Valitaan seuraava järjestys alueen läpikulkua varten:

Tällä tavalla:
Siirrytään käänteisfunktioihin:


Tällä tavalla:
Vastaus:

Esimerkki 4:Ratkaisu: Siirrytään suoriin funktioihin:


Suoritetaan piirustus:

Muutetaan alueen läpikulkujärjestystä:

Vastaus:

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. litteän hahmon pinta-alan laskeminen määrätyn integraalin avulla. Lopuksi, kaikki ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Ei sitä koskaan tiedä. Tosielämässä sinun on arvioitava kesämökki perustoiminnoilla ja löydettävä sen pinta-ala tietyn integraalin avulla.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä epämääräinen integraali ainakin keskitasolla. Siksi nukkejen tulisi ensin lukea oppitunti Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit luoda lämpimiä ystävällisiä suhteita tietyillä sivulla olevilla integraaleilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Tehtävä "laske pinta-ala määrätyn integraalin avulla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, siksi tietosi ja piirustustaitosi ovat myös kiireellisiä. Vähintään pitää pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli.

Aloitetaan kaarevalla trapetsilla. Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittaa jonkin funktion kuvaaja y = f(x), akseli HÄRKÄ ja linjat x = a; x = b.

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin tietty integraali

Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä sanoimme, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika todeta toinen hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE. Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion pinta-alaa. Harkitse tarkkaa integraalia

Integrand

määrittää tasolle käyrän (se voidaan piirtää haluttaessa), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

, , , .

Tämä on tyypillinen tehtävälausunto. Päätöksen tärkein kohta on piirustuksen rakentaminen. Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Kun rakennat suunnitelmaa, suosittelen seuraavaa järjestystä: ensimmäinen on parempi rakentaa kaikki rivit (jos sellaisia ​​on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbolit, muiden funktioiden kuvaajat. Kohta kohdalta -rakennustekniikka löytyy vertailumateriaalista Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Sieltä löydät myös materiaalia, joka on erittäin hyödyllistä oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu saattaa näyttää tältä.

Tehdään piirustus (huomaa, että yhtälö y= 0 määrittää akselin HÄRKÄ):

Emme kuori kaarevaa puolisuunnikasta, on selvää, mistä alueesta tässä puhutaan. Ratkaisu jatkuu näin:

Aikavälillä [-2; 1] funktiokaavio y = x 2 + 2 sijaitsee akselin yliHÄRKÄ, siksi:

Vastaus: .

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa

,

viitata luentoon Varma integraali. Ratkaisuesimerkkejä. Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikkapa vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei ilmeisesti mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala xy = 4, x = 2, x= 4 ja akseli HÄRKÄ.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin allaHÄRKÄ?

Esimerkki 3

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y = e-x, x= 1 ja koordinaattiakselit.

Ratkaisu: Tehdään piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle HÄRKÄ , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

.

Huomio! Kahden tyyppisiä tehtäviä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y = 2x – x 2 , y = -x.

Ratkaisu: Ensin sinun on tehtävä piirustus. Piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet y = 2x – x 2 ja suora y = -x. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Integraation alaraja siis a= 0, integroinnin yläraja b= 3. Usein on kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, kun integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Palaamme tehtäväämme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Tehdään piirustus:

Toistamme, että pistemäisessä rakentamisessa integroinnin rajat selvitetään useimmiten "automaattisesti".

Ja nyt työkaava:

Jos segmentillä [ a; b] jokin jatkuva funktio f(x) suurempi tai yhtä suuri jokin jatkuva toiminto g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta:

Täällä ei enää tarvitse ajatella, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, vaan sillä on väliä mikä kaavio on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on selvää, että segmentillä paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi 2. x – x 2 on vähennettävä - x.

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Haluttua lukua rajoittaa paraabeli y = 2x – x 2 yläosa ja suora y = -x alhaalta.

Jaksolla 2 x – x 2 ≥ -x. Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus: .

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso esimerkki nro 3) on kaavan erikoistapaus

.

Koska akseli HÄRKÄ annetaan yhtälöllä y= 0 ja funktion kuvaaja g(x) sijaitsee akselin alapuolella HÄRKÄ, sitten

.

Ja nyt pari esimerkkiä itsenäisestä ratkaisusta

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajaama kuvion alue

Kun pinta-alan laskemiseen liittyviä ongelmia ratkaistaan ​​tietyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus tehtiin oikein, laskelmat olivat oikein, mutta huolimattomuuden vuoksi ... löysi väärän hahmon alueen.

Esimerkki 7

Piirretään ensin:

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä.(tarkastele tilannetta huolellisesti - kuinka luku on rajoitettu!). Mutta käytännössä he päättävät huolimattomuuden vuoksi usein, että heidän on löydettävä vihreällä varjostettu hahmon alue!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että siinä lasketaan kuvion pinta-ala käyttämällä kahta tarkkaa integraalia. Todella:

1) Jaksolla [-1; 1] akselin yläpuolella HÄRKÄ kaavio on suora y = x+1;

2) Akselin yläpuolella olevalla segmentillä HÄRKÄ hyperbelin kuvaaja sijaitsee y = (2/x).

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa

ja tee viivapiirros:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä": b = 1.

Mutta mikä on alaraja? On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä?

Voi olla, a=(-1/3)? Mutta missä on takuu siitä, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin käydä niin a=(-1/4). Entä jos emme saaneetkaan kaaviota oikein?

Tällaisissa tapauksissa täytyy käyttää lisäaikaa ja tarkentaa integraation rajoja analyyttisesti.

Etsi kaavioiden leikkauspisteet

Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

.

Näin ollen a=(-1/3).

Jatkoratkaisu on triviaali. Tärkeintä ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä. Tässä olevat laskelmat eivät ole helpoimpia. Segmentillä

, ,

vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Oppitunnin lopuksi harkitsemme kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala

Ratkaisu: Piirrä tämä kuvio piirustukseen.

Piirtääksesi piirustuksen piste kerrallaan, sinun on tiedettävä sinusoidin ulkonäkö. Yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kaaviot sekä jotkut sinin arvot. Ne löytyvät arvotaulukosta trigonometriset funktiot. Joissain tapauksissa (esimerkiksi tässä tapauksessa) on sallittua rakentaa kaavio, jossa graafit ja integrointirajat tulee esittää periaatteessa oikein.

Tässä ei ole ongelmia integrointirajojen kanssa, ne johtuvat suoraan ehdosta:

- "x" muuttuu nollasta "pi". Teemme lisäpäätöksen:

Segmentillä funktion kuvaaja y= synti 3 x sijaitsee akselin yläpuolella HÄRKÄ, siksi:

(1) Voit nähdä, kuinka sinit ja kosinit integroidaan parittomiin potenssiin oppitunnilla Trigonometristen funktioiden integraalit. Puristamme yhden sinin pois.

(2) Käytämme muodossa trigonometristä perusidentiteettiä

(3) Muutetaan muuttuja t= cos x, sitten: sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

.

.

merkintä: huomioi kuinka kuution tangentin integraali otetaan, tässä käytetään trigonometrisen perusidentiteetin seurausta

.