Tämä artikkeli on omistettu tekniikoille, joilla ratkaistaan ​​erilaisia ​​yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka sisältävät
muuttuja moduulimerkin alla.

Jos törmäät kokeessa yhtälöön tai epäyhtälöön moduulin kanssa, voit ratkaista sen,
tuntematta lainkaan erityisiä menetelmiä ja käyttämällä vain moduulimäärittelyä. Totuus,
se voi viedä puolitoista tuntia arvokasta koeaikaa.

Siksi haluamme kertoa sinulle tekniikoista, jotka yksinkertaistavat tällaisten ongelmien ratkaisua.

Ensinnäkin muistetaan se

Harkitse erilaisia ​​tyyppejä yhtälöt moduulilla. (Epätasa-arvosta lisää myöhemmin.)

Vasen moduuli, oikea numero

Tämä on yksinkertaisin tapaus. Ratkaistaan ​​yhtälö

On vain kaksi lukua, joiden moduuli on neljä. Nämä ovat 4 ja -4. Siksi yhtälö
vastaa kahden yksinkertaisen yhdistelmää:

Toisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Ensimmäisen ratkaisut: x = 0 ja x = 5.

Vastaus: 0; 5.

Muuttuva sekä moduulin alla että moduulin ulkopuolella

Tässä sinun on laajennettava moduulia määritelmän mukaan. . . tai kuvittele!

Yhtälö jakautuu kahteen tapaukseen riippuen moduulin alla olevan lausekkeen etumerkistä.
Toisin sanoen se vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu: . Toisessa järjestelmässä ei ole ratkaisuja.
Vastaus: 1.

Ensimmäinen tapaus: x ≥ 3. Irrota moduuli:

Luku , joka on negatiivinen, ei täytä ehtoa x ≥ 3, joten se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Selvitetään, täyttääkö numero tämän ehdon. Tätä varten teemme eron ja määritämme sen merkin:

Siten enemmän kuin kolme ja siksi se on alkuperäisen yhtälön juuri

Toinen tapaus: x< 3. Снимаем модуль:

Numero . on suurempi kuin , ja siksi se ei täytä ehtoa x< 3. Проверим :

Tarkoittaa,. on alkuperäisen yhtälön juuri.

Poistetaanko moduuli määritelmän mukaan? On pelottavaa edes ajatella sitä, koska erottaja ei ole täydellinen neliö. Käytetään paremmin seuraavaa pohdintaa: yhtälö muotoa |A| = B vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

Sama, mutta hieman erilainen:

Toisin sanoen ratkaisemme kaksi yhtälöä, A = B ja A = −B, ja valitsemme sitten juuret, jotka täyttävät ehdon B ≥ 0.

Aloitetaan. Ensin ratkaisemme ensimmäisen yhtälön:

Sitten ratkaisemme toisen yhtälön:

Nyt tarkastetaan jokaisessa tapauksessa oikean puolen merkki:

Siksi vain ja sopivat.

Toisen asteen yhtälöt |x| = t

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Koska , on kätevää tehdä muutos |x| = t. Saamme:

Vastaus: ±1.

Modulus on yhtä kuin modulo

Puhumme yhtälöistä muotoa |A| = |B|. Tämä on kohtalon lahja. Ei moduulilaajennuksia määritelmän mukaan! Se on yksinkertaista:

Harkitse esimerkiksi yhtälöä: . Se vastaa seuraavaa sarjaa:

On vielä ratkaistava jokainen populaatioyhtälö ja kirjoitettava vastaus muistiin.

Kaksi tai useampi moduuli

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Emme vaivaudu jokaiseen moduuliin erikseen ja avaa sitä määritelmän mukaan - vaihtoehtoja on liikaa. On olemassa järkevämpi tapa - intervallimenetelmä.

Moduulien alla olevat lausekkeet häviävät pisteistä x = 1, x = 2 ja x = 3. Nämä pisteet jakavat lukujonon neljään väliin (intervalle). Merkitsemme nämä pisteet numeroviivalle ja asetamme kunkin lausekkeen merkit moduulien alle saatuihin intervalliin. (Etumerkkien järjestys on sama kuin yhtälön vastaavien moduulien järjestys.)

Siksi meidän on tarkasteltava neljää tapausta - kun x on kussakin välissä.

Tapaus 1: x ≥ 3. Kaikki moduulit poistetaan "plussalla":

Tuloksena oleva arvo x = 5 täyttää ehdon x ≥ 3 ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri.

Tapaus 2: 2 ≤ x ≤ 3. Viimeinen moduuli on nyt poistettu "miinusmerkillä":

Saatu x:n arvo on myös sopiva - se kuuluu tarkasteltuun väliin.

Tapaus 3: 1 ≤ x ≤ 2. Toinen ja kolmas moduuli poistetaan "miinusmerkillä":

Olemme saaneet oikean numeerisen yhtälön mille tahansa x:lle tarkastelusta väliltä, ​​ne toimivat tämän yhtälön ratkaisuina.

Tapaus 4: x ≤ 1 ≤ 1. Toinen ja kolmas moduuli poistetaan "miinusmerkillä":

Ei mitään uutta. Tiedämme jo, että x = 1 on ratkaisu.

Vastaus: ∪ (5).

Moduuli moduulin sisällä

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Aloitamme laajentamalla sisäistä moduulia.

1) x ≤ 3. Saamme:

Moduulin alla oleva lauseke häviää kohdassa . Tämä kohta kuuluu harkittuun
intervalli. Siksi meidän on tarkasteltava kahta alitapausta.

1.1) Tässä tapauksessa saamme:

Tämä x:n arvo ei ole hyvä, koska se ei kuulu tarkasteltavaan väliin.

1.2). Sitten:

Tämä x-arvo ei myöskään ole hyvä.

Joten arvolle x ≤ 3 ei ole ratkaisuja. Siirrytään toiseen tapaukseen.

2) x ≥ 3. Meillä on:

Tässä olemme onnekkaita: lauseke x + 2 on positiivinen tarkasteluvälillä! Siksi alitapauksia ei enää ole: moduuli poistetaan "plussalla":

Tämä x:n arvo on tarkasteluvälissä ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri.

Näin kaikki tämän tyyppiset tehtävät ratkaistaan ​​- avaamme sisäkkäiset moduulit vuorotellen, alkaen sisäisestä.

Ohje

Jos moduuli esitetään jatkuvana funktiona, niin sen argumentin arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Moduuli on nolla, ja minkä tahansa positiivisen luvun moduuli on sen moduuli. Jos argumentti on negatiivinen, sen etumerkki vaihtuu miinuksesta plussaksi sulkien avaamisen jälkeen. Tämän perusteella voidaan päätellä, että vastakohdan moduulit ovat yhtä suuret: |-x| = |x| = x.

Kompleksiluvun moduuli saadaan kaavasta: |a| = √b ² + c ² ja |a + b| ≤ |a| + |b|. Jos argumentti sisältää kertoimena positiivisen luvun, se voidaan ottaa pois hakasulkumerkistä, esimerkiksi: |4*b| = 4*|b|.

Jos argumentti esitetään kompleksilukuna, laskennan helpottamiseksi hakasulkeissa olevan lausekkeen termien järjestys on sallittu: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, koska (2-3) on pienempi kuin nolla.

Potenttiin nostettu argumentti on samanaikaisesti saman kertaluvun juuren merkin alla - se ratkaistaan: √a² = |a| = ±a.

Jos sinulla on edessäsi tehtävä, joka ei määrittele moduulisulujen laajentamisen ehtoa, sinun ei tarvitse päästä eroon niistä - tämä on lopputulos. Ja jos haluat avata ne, sinun on määritettävä merkki ±. Esimerkiksi sinun on löydettävä lausekkeen √(2 * (4-b)) ² arvo. Hänen ratkaisunsa näyttää tältä: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Koska lausekkeen 4-b etumerkkiä ei tunneta, se on jätettävä sulkeisiin. Jos lisäät lisäehdon, esimerkiksi |4-b| >

Nollan moduuli on yhtä suuri kuin nolla, ja minkä tahansa positiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin itsensä. Jos argumentti on negatiivinen, sen etumerkki vaihtuu miinuksesta plussaksi sulkien avaamisen jälkeen. Tämän perusteella voidaan päätellä, että vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret: |-x| = |x| = x.

Kompleksiluvun moduuli saadaan kaavasta: |a| = √b ² + c ² ja |a + b| ≤ |a| + |b|. Jos argumentti sisältää kertoimena positiivisen kokonaisluvun, se voidaan ottaa pois hakasulkumerkistä, esimerkiksi: |4*b| = 4*|b|.

Moduuli ei voi olla negatiivinen, joten mikä tahansa negatiivinen luku muunnetaan positiiviseksi: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Jos argumentti esitetään kompleksilukuna, niin laskennan helpottamiseksi on sallittua muuttaa hakasulkeissa olevan lausekkeen termien järjestystä: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, koska (2-3) on pienempi kuin nolla.

Jos sinulla on edessäsi tehtävä, joka ei määrittele moduulisulujen laajentamisen ehtoa, sinun ei tarvitse päästä eroon niistä - tämä on lopputulos. Ja jos haluat avata ne, sinun on määritettävä merkki ±. Esimerkiksi sinun on löydettävä lausekkeen √(2 * (4-b)) ² arvo. Hänen ratkaisunsa näyttää tältä: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Koska lausekkeen 4-b etumerkkiä ei tunneta, se on jätettävä sulkeisiin. Jos lisäät lisäehdon, esimerkiksi |4-b| > 0, niin tulos on 2 * |4-b| = 2*(4 - b). Tuntemattomana elementtinä voidaan antaa myös tietty numero, joka tulee ottaa huomioon, koska. se vaikuttaa ilmaisun merkkiin.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Emme valitse matematiikkaa hänen ammattinsa, ja hän valitsee meidät.

Venäläinen matemaatikko Yu.I. Manin

Modulo-yhtälöt

Koulumatematiikan vaikeimpia ratkaistavia ongelmia ovat yhtälöt, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla. Tällaisten yhtälöiden menestyksellinen ratkaiseminen edellyttää moduulin määritelmän ja perusominaisuuksien tuntemista. Luonnollisesti opiskelijoilla tulee olla valmiuksia ratkaista tämän tyyppisiä yhtälöitä.

Peruskäsitteet ja ominaisuudet

Reaaliluvun moduuli (absoluuttinen arvo). merkitty ja se määritellään seuraavasti:

Moduulin yksinkertaiset ominaisuudet sisältävät seuraavat suhteet:

Merkintä, että kaksi viimeistä ominaisuutta pätevät mille tahansa parilliselle asteelle.

Myös jos , missä , sitten ja

Monimutkaisemmat moduuliominaisuudet, joita voidaan käyttää tehokkaasti yhtälöiden ratkaisemisessa moduuleilla, on muotoiltu seuraavien lauseiden avulla:

Lause 1.Kaikille analyyttisille toiminnoille ja epätasa-arvoa

Lause 2. Tasa-arvo on sama kuin eriarvoisuus.

Lause 3. Tasa-arvo vastaa eriarvoisuutta.

Harkitse tyypillisiä esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Yhtälöt, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla.

Yhtälöiden ratkaiseminen moduulilla

Koulumatematiikan yleisin menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla on menetelmä, moduulin laajennuksen perusteella. Tämä menetelmä on yleinen, sen soveltaminen voi kuitenkin yleensä johtaa erittäin hankalia laskelmiin. Tässä suhteessa opiskelijoiden tulee olla tietoisia myös muista, tehokkaampia menetelmiä ja tekniikoita tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Erityisesti, täytyy olla taidot soveltaa lauseita, annettu tässä artikkelissa.

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö. (yksi)

Ratkaisu. Yhtälö (1) ratkaistaan ​​"klassisella" menetelmällä - moduulin laajennusmenetelmällä. Tätä varten katkaisemme numeerisen akselin pisteitä ja väliajoin ja harkitse kolmea tapausta.

1. Jos , niin , , ja yhtälö (1) saa muotoa . Tästä se seuraa. Tässä , joten löydetty arvo ei ole yhtälön (1) juuri.

2. Jos , sitten yhtälöstä (1) saadaan tai .

Siitä lähtien yhtälön (1) juuri.

3. Jos , sitten yhtälö (1) saa muodon tai . Ota huomioon, että .

Vastaus: ,.

Ratkaistaessamme seuraavia yhtälöitä moduulilla, hyödynnämme aktiivisesti moduulien ominaisuuksia tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen tehokkuuden lisäämiseksi.

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Siitä lähtien ja niin se seuraa yhtälöstä. Tässä suhteessa, , , ja yhtälöstä tulee. Täältä saamme. Kuitenkin , joten alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 3 ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Siitä lähtien . Jos sitten , ja yhtälöstä tulee.

Täältä saamme.

Esimerkki 4 ratkaise yhtälö.

Ratkaisu.Kirjoitetaan yhtälö uudelleen vastaavaan muotoon. (2)

Tuloksena oleva yhtälö kuuluu tyypin yhtälöihin.

Lauseen 2 huomioon ottaen voidaan todeta, että yhtälö (2) vastaa epäyhtälöä . Täältä saamme.

Vastaus:.

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Tällä yhtälöllä on muoto. Siksi , Lauseen 3 mukaan, tässä meillä on eriarvoisuus tai .

Esimerkki 6 ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Oletetaan, että. Koska , sitten annettu yhtälö saa toisen asteen yhtälön muodon, (3)

missä . Koska yhtälöllä (3) on yksi positiivinen juuri ja sitten . Tästä saamme kaksi alkuperäisen yhtälön juuria: ja .

Esimerkki 7 ratkaise yhtälö. (4)

Ratkaisu. Yhtälöstä lähtienvastaa kahden yhtälön yhdistelmää: ja , silloin yhtälöä (4) ratkaistaessa on tarkasteltava kahta tapausta.

1. Jos , niin tai .

Täältä saamme , ja .

2. Jos , niin tai .

Siitä lähtien .

Vastaus: , , , .

Esimerkki 8ratkaise yhtälö . (5)

Ratkaisu. Siitä lähtien ja sitten . Tästä ja yhtälöstä (5) seuraa, että ja , so. tässä meillä on yhtälöjärjestelmä

Tämä yhtälöjärjestelmä on kuitenkin epäjohdonmukainen.

Vastaus: ei juuria.

Esimerkki 9 ratkaise yhtälö. (6)

Ratkaisu. Jos nimetään ja yhtälöstä (6) saadaan

Tai . (7)

Koska yhtälöllä (7) on muoto , tämä yhtälö vastaa epäyhtälöä . Täältä saamme. Siitä lähtien tai .

Vastaus:.

Esimerkki 10ratkaise yhtälö. (8)

Ratkaisu.Lauseen 1 mukaan voimme kirjoittaa

(9)

Ottaen huomioon yhtälön (8) päätämme, että molemmat epäyhtälöt (9) muuttuvat yhtäläisiksi, ts. on yhtälöjärjestelmä

Lauseen 3 mukaan yllä oleva yhtälöjärjestelmä on kuitenkin sama kuin epäyhtälöjärjestelmä

(10)

Ratkaisemalla epäyhtälöjärjestelmä (10) saamme . Koska epäyhtälöjärjestelmä (10) vastaa yhtälöä (8), alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri .

Vastaus:.

Esimerkki 11. ratkaise yhtälö. (11)

Ratkaisu. Antaa ja , Sitten yhtälö (11) merkitsee tasa-arvoa .

Tästä seuraa, että ja . Tässä meillä on siis epätasa-arvojärjestelmä

Ratkaisu tähän eriarvoisuusjärjestelmään ovat ja .

Vastaus: ,.

Esimerkki 12.ratkaise yhtälö. (12)

Ratkaisu. Yhtälö (12) ratkaistaan ​​moduulien peräkkäisen laajentamisen menetelmällä. Tätä varten harkitse useita tapauksia.

1. Jos , niin .

1.1. Jos , sitten ja , .

1.2. Jos sitten . Kuitenkin , siksi tässä tapauksessa yhtälöllä (12) ei ole juuria.

2. Jos , niin .

2.1. Jos , sitten ja , .

2.2. Jos , sitten ja .

Vastaus: , , , , .

Esimerkki 13ratkaise yhtälö. (13)

Ratkaisu. Koska yhtälön (13) vasen puoli on ei-negatiivinen, niin ja . Tässä suhteessa , ja yhtälö (13)

ottaa muodon tai .

Tiedetään, että yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää ja , jonka saamme ratkaisemaan, . Koska , niin yhtälöllä (13) on yksi juuri.

Vastaus:.

Esimerkki 14 Ratkaise yhtälöjärjestelmä (14)

Ratkaisu. Koska ja , sitten ja . Siksi yhtälöjärjestelmästä (14) saadaan neljä yhtälöjärjestelmää:

Yllä olevien yhtälöjärjestelmien juuret ovat yhtälöjärjestelmän (14) juuret.

Vastaus: ,, , , , , , .

Esimerkki 15 Ratkaise yhtälöjärjestelmä (15)

Ratkaisu. Siitä lähtien . Tässä suhteessa yhtälöjärjestelmästä (15) saadaan kaksi yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisen yhtälöjärjestelmän juuret ovat ja , ja toisesta yhtälöjärjestelmästä saamme ja .

Vastaus: , , , .

Esimerkki 16 Ratkaise yhtälöjärjestelmä (16)

Ratkaisu. Järjestelmän (16) ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että .

Siitä lähtien . Tarkastellaan järjestelmän toista yhtälöä. Koska, sitten, ja yhtälöstä tulee, , tai .

Jos korvaamme arvonjärjestelmän (16) ensimmäiseen yhtälöön, sitten , tai .

Vastaus: ,.

Ongelmanratkaisumenetelmien syvempään tutkimiseen, liittyvät yhtälöiden ratkaisuun, jotka sisältävät muuttujia moduulimerkin alla, voit neuvoa opetusohjelmia suositellun kirjallisuuden luettelosta.

1. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille / Toim. MI. Scanavi. - M .: Maailma ja koulutus, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: monimutkaisempia tehtäviä. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 s.

3. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: epätyypilliset menetelmät ongelmien ratkaisemiseen. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.

Onko sinulla kysymyksiä?

Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.