NUMEROJÄRJESTELYT VI

§ l48. Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa

Tähän asti summista puhuttaessa olemme aina olettaneet, että näiden summien termien määrä on äärellinen (esim. 2, 15, 1000 jne.). Mutta kun ratkaistaan ​​joitain tehtäviä (etenkin korkeampaa matematiikkaa), on käsiteltävä äärettömän määrän termien summia

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Mitä nämä määrät ovat? Määritelmän mukaan äärettömän määrän termejä summa a 1 , a 2 , ..., a n , ... kutsutaan summan S rajaksi n ensimmäinen P numerot milloin P -> ∞ :

S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Raja (2) voi tietysti olla olemassa tai ei. Näin ollen summan (1) sanotaan olevan olemassa tai ei ole olemassa.

Kuinka selvittää, onko summa (1) olemassa kussakin tapauksessa? Yleinen ratkaisu tähän kysymykseen menee paljon ohjelmamme soveltamisalan ulkopuolelle. On kuitenkin yksi tärkeä erikoistapaus, jota meidän on nyt harkittava. Puhumme äärettömästi pienenevän geometrisen progression ehtojen summauksesta.

Päästää a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... on äärettömästi pienenevä geometrinen progressio. Tämä tarkoittaa, että | q |< 1. Сумма первых P tämän etenemisen jäseniä on yhtä suuri kuin

Muuttujien rajoja koskevista peruslauseista (ks. § 136) saadaan:

Mutta 1 = 1, a q n = 0. Siksi

Joten äärettömästi pienenevän geometrisen etenemisen summa on yhtä suuri kuin tämän edistymisen ensimmäinen termi jaettuna yhdellä miinus tämän etenemisen nimittäjä.

1) Geometrisen progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... summa on

ja geometrisen progression summa on 12; -6; 3; - 3/2, ... on yhtä suuri

2) Yksinkertainen jaksollinen murtoluku 0,454545 ... muuttuu tavalliseksi.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi esitämme tämän murto-osan äärettömänä summana:

Tämän yhtälön oikea puoli on äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa, jonka ensimmäinen termi on 45/100 ja nimittäjä 1/100. Siksi

Kuvatulla tavalla voidaan saada myös yleissääntö yksinkertaisten jaksollisten jakeiden muuntamisesta tavallisiksi jakeiksi (ks. luku II, § 38):

Jos haluat muuntaa yksinkertaisen jaksollisen murtoluvun tavalliseksi, sinun on toimittava seuraavasti: laita osoittajaan desimaaliluvun jakso ja nimittäjään - numero, joka koostuu yhdeksästä, joka on otettu niin monta kertaa kuin jaksossa on numeroita desimaaliluvusta.

3) Sekoitettu jaksollinen jae 0,58333 .... muuttuu tavalliseksi jakeeksi.

Esitetään tämä murto-osa äärettömänä summana:

Tämän yhtälön oikealla puolella kaikki termit, alkaen luvusta 3/1000, muodostavat äärettömästi pienenevän geometrisen progression, jonka ensimmäinen termi on 3/1000 ja nimittäjä 1/10. Siksi

Kuvatulla tavalla voidaan saada myös yleissääntö sekajaksollisten jakeiden muuntamisesta tavallisiksi jakeiksi (ks. luku II, § 38). Emme tarkoituksella sisällytä sitä tähän. Tätä hankalaa sääntöä ei tarvitse muistaa. On paljon hyödyllisempää tietää, että mikä tahansa sekoitettu jaksollinen murtoluku voidaan esittää äärettömästi pienenevän geometrisen progression ja jonkin luvun summana. Ja kaava

äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaa varten täytyy tietysti muistaa.

Harjoituksena kehotamme sinua, alla olevien ongelmien nro 995-1000 lisäksi, palaamaan vielä kerran tehtävään nro 301 § 38.

Harjoitukset

995. Mitä kutsutaan äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaksi?

996. Etsi äärettömästi pienenevien geometristen progressioiden summat:

997. Millä arvoilla X etenemistä

vähenee loputtomasti? Etsi tällaisen etenemisen summa.

998. Tasasivuisessa kolmiossa, jossa on sivu a uusi kolmio piirretään yhdistämällä sen sivujen keskipisteet; uusi kolmio kirjoitetaan tähän kolmioon samalla tavalla ja niin edelleen loputtomiin.

a) kaikkien näiden kolmioiden kehän summa;

b) niiden pinta-alojen summa.

999. Neliössä, jossa on sivu a uusi neliö piirretään yhdistämällä sen sivujen keskipisteet; neliö kirjoitetaan tähän neliöön samalla tavalla ja niin edelleen loputtomiin. Etsi kaikkien näiden neliöiden ympärysmittojen summa ja niiden pinta-alojen summa.

1000. Tee äärettömästi pienenevä geometrinen progressio siten, että sen summa on 25/4 ja sen termien neliöiden summa on 625/24.

Geometrinen progressio on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on nollasta poikkeava ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Geometrisen etenemisen käsite

Geometrinen eteneminen on merkitty b1,b2,b3, …, bn, … .

Geometrisen virheen minkä tahansa termin suhde sen edelliseen termiin on sama luku, eli b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Tämä seuraa suoraan aritmeettisen progression määritelmästä. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi. Yleensä geometrisen progression nimittäjä merkitään kirjaimella q.

Äärettömän geometrisen progression summa |q|:lle<1

Yksi tapa asettaa geometrinen progressio on asettaa sen ensimmäinen termi b1 ja geometrisen virheen q nimittäjä. Esimerkiksi b1=4, q=-2. Nämä kaksi ehtoa antavat geometrisen progression 4, -8, 16, -32, … .

Jos q>0 (q ei ole yhtä kuin 1), niin eteneminen on monotoninen sarja. Esimerkiksi sekvenssi, 2, 4,8,16,32, ... on monotonisesti kasvava sekvenssi (b1=2, q=2).

Jos nimittäjä q=1 geometrisessa virheessä, niin kaikki geometrisen etenemisen jäsenet ovat keskenään yhtä suuria. Tällaisissa tapauksissa etenemisen sanotaan olevan vakiosekvenssi.

Jotta numeerinen sarja (bn) olisi geometrinen progressio, on välttämätöntä, että jokainen sen jäsen toisesta alkaen on naapurijäsenten geometrinen keskiarvo. Eli on tarpeen täyttää seuraava yhtälö
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), mille tahansa n>0:lle, jossa n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Laitetaan nyt (Xn) - geometrinen progressio. Geometrisen progression q nimittäjä, jossa |q|∞).
Jos nyt merkitsemme S:llä äärettömän geometrisen progression summaa, niin seuraava kaava pätee:
S=x1/(1-q).

Harkitse yksinkertaista esimerkkiä:

Laske äärettömän geometrisen progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... summa.

S:n löytämiseksi käytämme äärettömän aritmeettisen edistyksen summan kaavaa. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Jos jokainen luonnollinen luku n vastaa oikeaa lukua a n , sitten he sanovat, että annettu numerosarja :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Joten numeerinen sarja on luonnollisen argumentin funktio.

Määrä a 1 nimeltään sekvenssin ensimmäinen jäsen , numero a 2 — sekvenssin toinen jäsen , numero a 3 — kolmas ja niin edelleen. Määrä a n nimeltään sekvenssin n:s jäsen , ja luonnollinen luku n — hänen numeronsa .

kahdelta naapurijäseneltä a n ja a n +1 jäsensekvenssit a n +1 nimeltään myöhemmin (kohti a n ), a a n — Edellinen (kohti a n +1 ).

Jos haluat määrittää sekvenssin, sinun on määritettävä menetelmä, jonka avulla voit löytää sekvenssin jäsenen millä tahansa numerolla.

Usein sekvenssi on annettu n. termikaavat , eli kaava, jonka avulla voit määrittää sekvenssin jäsenen sen numeron perusteella.

Esimerkiksi,

positiivisten parittomien lukujen sarja voidaan antaa kaavalla

a n= 2n- 1,

ja vuorottelujärjestys 1 ja -1 -kaava

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestys voidaan määrittää toistuva kaava, toisin sanoen kaava, joka ilmaisee minkä tahansa sekvenssin jäsenen, alkaen joistakin, edellisten (yhden tai useamman) jäsenen kautta.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jos a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sitten numerosarjan seitsemän ensimmäistä jäsentä asetetaan seuraavasti:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenssit voivat olla lopullinen ja loputon .

Sarjaa kutsutaan perimmäinen jos sillä on rajallinen määrä jäseniä. Sarjaa kutsutaan loputon jos sillä on äärettömän monta jäsentä.

Esimerkiksi,

kaksinumeroisten luonnollisten lukujen sarja:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lopullinen.

Alkunumerojärjestys:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

loputon. ◄

Sarjaa kutsutaan lisääntyy , jos jokainen sen jäsenistä toisesta alkaen on suurempi kuin edellinen.

Sarjaa kutsutaan hiipumassa , jos jokainen sen jäsen toisesta alkaen on pienempi kuin edellinen.

Esimerkiksi,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on nouseva sekvenssi;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on laskeva sekvenssi. ◄

Kutsutaan jonoa, jonka alkiot eivät pienene lukumäärän kasvaessa tai päinvastoin eivät kasva monotoninen sarja .

Erityisesti monotoniset sekvenssit ovat kasvavia ja väheneviä sekvenssejä.

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, johon lisätään sama numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeettinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

a n +1 = a n + d,

missä d - joku numero.

Näin ollen tietyn aritmeettisen progression seuraavan ja edellisen jäsenen välinen ero on aina vakio:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Määrä d nimeltään aritmeettisen progression ero.

Aritmeettisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja erotus.

Esimerkiksi,

jos a 1 = 3, d = 4 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmeettiselle progressiolle ensimmäisellä termillä a 1 ja ero d hänen n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Esimerkiksi,

etsi aritmeettisen progression kolmaskymmenes termi

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-1 + a n+1
	2

jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten aritmeettinen keskiarvo.

luvut a, b ja c ovat jonkin aritmeettisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toinen niistä on yhtä suuri kuin kahden muun aritmeettinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

a n = 2n- 7 , on aritmeettinen progressio.

Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Näin ollen

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Ota huomioon, että n Aritmeettisen progression -th jäsen löytyy paitsi kautta a 1 , mutta myös kaikki aikaisemmat a k

a n = a k + (n- k)d.

Esimerkiksi,

varten a 5 voidaan kirjoittaa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sitten ilmeisesti

a n=	a n-k + a n+k
	2

mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin puolet tämän aritmeettisen progression jäsenten summasta, jotka ovat yhtä kaukana siitä.

Lisäksi jokaiselle aritmeettiselle progressiolle yhtälö on totta:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, koska

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

ensimmäinen n aritmeettisen progression jäsenet on yhtä suuri kuin puolen ääritermien summan tulo termien lukumäärällä:

Tästä seuraa erityisesti, että jos on tarpeen summata ehdot

a k, a k +1 , . . . , a n,

silloin edellinen kaava säilyttää rakenteensa:

Esimerkiksi,

aritmeettisessa progressiossa 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jos aritmeettinen progressio annetaan, niin suuret a 1 , a n, d, n jaS n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos näistä kolmen suuren arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmäksi, jossa on kaksi tuntematonta.

Aritmeettinen progressio on monotoninen sarja. Jossa:

• jos d > 0 , silloin se kasvaa;
• jos d < 0 , silloin se pienenee;
• jos d = 0 , sekvenssi pysyy paikallaan.

Geometrinen eteneminen

geometrinen eteneminen kutsutaan sekvenssiä, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on geometrinen progressio jollekin luonnolliselle luvulle n ehto täyttyy:

b n +1 = b n · q,

missä q ≠ 0 - joku numero.

Siten tämän geometrisen etenemisen seuraavan termin suhde edelliseen on vakioluku:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Määrä q nimeltään geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression asettamiseksi riittää, että määritetään sen ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Esimerkiksi,

jos b 1 = 1, q = -3 , niin sekvenssin viisi ensimmäistä termiä löytyy seuraavasti:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimittäjä q hänen n -termi löytyy kaavasta:

b n = b 1 · q n -1 .

Esimerkiksi,

etsi geometrisen progression seitsemäs termi 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jokainen geometrisen progression jäsen, alkaen toisesta, on yhtä suuri kuin edellisen ja seuraavien jäsenten geometrinen keskiarvo (suhteellinen).

Koska myös päinvastainen on totta, seuraava väite pätee:

luvut a, b ja c ovat jonkin geometrisen progression peräkkäisiä jäseniä, jos ja vain jos toisen neliö on yhtä suuri kuin kahden muun tulo, eli toinen luvuista on kahden muun geometrinen keskiarvo.

Esimerkiksi,

Todistakaamme, että kaavan antama sekvenssi b n= -3 2 n , on geometrinen progressio. Käytetään yllä olevaa lausetta. Meillä on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Näin ollen

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

joka todistaa vaaditun väitteen. ◄

Ota huomioon, että n Geometrisen progression termi löytyy paitsi kautta b 1 , mutta myös mikä tahansa aikaisempi termi b k , jolle riittää käyttää kaavaa

b n = b k · q n - k.

Esimerkiksi,

varten b 5 voidaan kirjoittaa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sitten ilmeisesti

b n 2 = b n - k· b n + k

minkä tahansa geometrisen progression jäsenen neliö toisesta alkaen on yhtä suuri kuin tämän etenemisen siitä yhtä kaukana olevien jäsenten tulo.

Lisäksi yhtäläisyys on totta kaikille geometrisille progressioille:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , koska

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

ensimmäinen n geometrisen progression jäseniä nimittäjällä q ≠ 0 lasketaan kaavalla:

Ja milloin q = 1 -kaavan mukaan

S n= Huom. 1

Huomaa, että jos meidän on laskettava ehdot yhteen

b k, b k +1 , . . . , b n,

sitten käytetään kaavaa:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

eksponentiaalisesti 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jos geometrinen progressio annetaan, niin suureet b 1 , b n, q, n ja S n yhdistää kaksi kaavaa:

Siksi, jos minkä tahansa kolmen näiden suureiden arvot annetaan, kahden muun suuren vastaavat arvot määritetään näistä kaavoista yhdistettynä kahden yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.

Geometriselle etenemiselle ensimmäisellä termillä b 1 ja nimittäjä q tapahtuu seuraavaa monotonisuusominaisuudet :

• eteneminen lisääntyy, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Eteneminen vähenee, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Jos q< 0 , silloin geometrinen eteneminen on etumerkkivuorottelua: sen parittomilla termeillä on sama etumerkki kuin ensimmäisellä termillä ja parillisilla termeillä on päinvastainen etumerkki. On selvää, että vuorotteleva geometrinen eteneminen ei ole monotoninen.

Ensimmäisen tuote n geometrisen progression termit voidaan laskea kaavalla:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Esimerkiksi,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen kutsutaan äärettömäksi geometriseksi progressioksi, jonka nimittäjämoduuli on pienempi kuin 1 , tuo on

|q| < 1 .

Huomaa, että äärettömästi pienenevä geometrinen eteneminen ei välttämättä ole vähenevä sarja. Tämä sopii tapaukseen

1 < q< 0 .

Tällaisella nimittäjällä sekvenssi on merkki-vuorotteleva. Esimerkiksi,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa nimeä numero, johon ensimmäisen summa on n etenemisen kannalta rajoittamattoman määrän kasvun kanssa n . Tämä luku on aina äärellinen ja ilmaistaan ​​kaavalla

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Esimerkiksi,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeettisen ja geometrisen progression välinen suhde

Aritmeettinen ja geometrinen progressio liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan vain kahta esimerkkiä.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , sitten

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Esimerkiksi,

1, 3, 5, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä q , sitten

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa kirjaudu aq .

Esimerkiksi,

2, 12, 72, . . . on geometrinen progressio, jossa on nimittäjä 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeettinen eteneminen erotuksen kanssa lg 6 . ◄

Jotkut fysiikan ja matematiikan ongelmat voidaan ratkaista lukusarjojen ominaisuuksien avulla. Kaksi yksinkertaisinta kouluissa opetettavaa numerosarjaa ovat algebrallinen ja geometrinen. Tässä artikkelissa tarkastellaan yksityiskohtaisemmin kysymystä siitä, kuinka löytää geometrisen pienenevän etenemisen summa.

geometrinen eteneminen

Nämä sanat tarkoittavat sellaista sarjaa reaalilukuja, joiden alkiot a i täyttävät lausekkeen:

Tässä i on sarjan alkion numero, r on vakioluku, jota kutsutaan nimittäjäksi.

Tämä määritelmä osoittaa, että kun tiedetään mikä tahansa etenemisen termi ja sen nimittäjä, on mahdollista palauttaa koko lukusarja. Esimerkiksi, jos 10. alkio tunnetaan, jakamalla sen r:llä, saadaan 9. alkio, sitten jakamalla se uudelleen, saadaan 8. ja niin edelleen. Näiden yksinkertaisten argumenttien avulla voimme kirjoittaa lausekkeen, joka on kelvollinen tarkasteltavalle lukusarjalle:

Esimerkki etenemisestä, jonka nimittäjä on 2, olisi:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Jos nimittäjä on -2, saadaan täysin erilainen sarja:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrinen eteneminen on paljon nopeampi kuin algebrallinen, eli sen termit kasvavat nopeasti ja pienenevät nopeasti.

Etenemisen i jäsenten summa

Käytännön ongelmien ratkaisemiseksi on usein tarpeen laskea tarkasteltavan numeerisen sekvenssin useiden elementtien summa. Tässä tapauksessa seuraava kaava pätee:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Voidaan nähdä, että i-termien summan laskemiseksi sinun on tiedettävä vain kaksi numeroa: a 1 ja r, mikä on loogista, koska ne määrittävät yksiselitteisesti koko sekvenssin.

Laskeva sekvenssi ja sen termien summa

Tarkastellaan nyt erityistapausta. Oletetaan, että nimittäjän r itseisarvo ei ylitä yhtä, eli -1

Pienevä geometrinen progressio on mielenkiintoista pohtia, koska sen termien ääretön summa pyrkii äärelliseen reaalilukuun.

Saadaan summakaava Tämä on helppo tehdä, jos kirjoitetaan edellisessä kappaleessa annettu lauseke S i:lle. Meillä on:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Tarkastellaan tapausta, jossa i->∞. Koska nimittäjän moduuli on pienempi kuin 1, niin sen nostaminen äärettömään potenssiin antaa nollan. Tämä voidaan varmistaa esimerkillä r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Lopputuloksena pienenemisen äärettömän geometrisen progression ehtojen summa saa muodon:

Tätä kaavaa käytetään usein käytännössä esimerkiksi kuvioiden pinta-alojen laskemiseen. Sitä käytetään myös ratkaisemaan paradoksi Zenon Eleasta kilpikonnan ja Akilleuksen kanssa.

Ilmeisesti geometrisen kasvun äärettömän etenemisen summan (r>1) huomioon ottaminen johtaa tulokseen S ∞ = +∞.

Ongelma etenemisen ensimmäisen termin löytämisessä

Näytämme, kuinka yllä olevia kaavoja tulisi soveltaa käyttämällä esimerkkiä ongelman ratkaisusta. Tiedetään, että äärettömän geometrisen progression summa on 11. Lisäksi sen 7. termi on 6 kertaa pienempi kuin kolmas termi. Mikä on tämän numerosarjan ensimmäinen elementti?

Ensin kirjoitetaan kaksi lauseketta 7. ja 3. elementin määrittämiseksi. Saamme:

Jakamalla ensimmäinen lauseke toisella ja ilmaisemalla nimittäjä, saamme:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

Koska seitsemännen ja kolmannen termin suhde on annettu tehtävän ehdolla, voimme korvata sen ja löytää r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0,63894

Olemme laskeneet r:n viiden merkitsevän numeron tarkkuudella desimaalipilkun jälkeen. Koska tuloksena oleva arvo on pienempi kuin yksi, se tarkoittaa, että eteneminen on pienenemässä, mikä oikeuttaa kaavan käytön sen äärettömälle summalle. Kirjoitamme lausekkeen ensimmäiselle termille summalla S ∞ :

Korvaamme tunnetut arvot tähän kaavaan ja saamme vastauksen:

a 1 \u003d 11 * (1-0,63894) = 3,97166.

Zenonin kuuluisa paradoksi nopean Akhilleuksen ja hitaan kilpikonnan kanssa

Zeno Elealainen on kuuluisa kreikkalainen filosofi, joka eli 500-luvulla eKr. e. Monet sen apogeeistä tai paradokseista ovat saavuttaneet nykyaikaan, jossa muotoillaan matematiikan äärettömän suuren ja äärettömän pienen ongelma.

Yksi Zenonin tunnetuista paradokseista on Akhilleuksen ja kilpikonnan välinen kilpailu. Zeno uskoi, että jos Akhilleus antaisi kilpikonnalle jonkin verran etumatkaa, hän ei koskaan pystyisi ohittamaan sitä. Anna Akhilleuksen juosta esimerkiksi 10 kertaa nopeammin kuin ryömivän eläimen, joka on esimerkiksi 100 metriä häntä edellä. Kun soturi juoksee 100 metriä, kilpikonna ryömi 10 taaksepäin. Juokseessaan 10 metriä uudelleen Akhilleus näkee, että kilpikonna on ryöminyt vielä 1 metrin. Voit väittää näin loputtomiin, kilpailijoiden välinen etäisyys todella pienenee, mutta kilpikonna on aina edessä.

Hän johti Zenon siihen johtopäätökseen, että liikettä ei ole olemassa, ja kaikki ympäröivä esineiden liike on illuusiota. Tietenkin antiikin kreikkalainen filosofi oli väärässä.

Ratkaisu paradoksiin on siinä, että jatkuvasti pienenevien segmenttien ääretön summa pyrkii äärelliseen lukuun. Yllä olevassa tapauksessa Akhilleuksen kulkemalle matkalle saamme:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Käyttämällä kaavaa äärettömän geometrisen progression summalle, saamme:

S ∞ \u003d 100 / (1-0,1) ≈ 111,111 metriä

Tämä tulos osoittaa, että Akhilleus ohittaa kilpikonnan, kun se ryömi vain 11 111 metriä.

Muinaiset kreikkalaiset eivät tienneet kuinka työskennellä äärettömien suureiden kanssa matematiikassa. Tämä paradoksi voidaan kuitenkin ratkaista, jos kiinnitämme huomiota ei äärettömään määrään aukkoja, jotka Akhilleuksen on voitettava, vaan rajalliseen määrään askeleita, joita juoksija tarvitsee saavuttaakseen tavoitteensa.

Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi, eli jokainen termi eroaa edellisestä q kertaa. (Oletetaan, että q ≠ 1, muuten kaikki on liian triviaalia). On helppo nähdä, että geometrisen progression n:nnen jäsenen yleinen kaava on b n = b 1 q n – 1 ; termit numeroilla b n ja b m eroavat q n – m kertaa.

Jo muinaisessa Egyptissä he tiesivät paitsi aritmeettista, myös geometrista etenemistä. Tässä on esimerkiksi tehtävä Rhindin papyruksesta: ”Seitsemällä kasvolla on seitsemän kissaa; jokainen kissa syö seitsemän hiirtä, jokainen hiiri syö seitsemän tähkäpäätä, jokainen tähkä voi kasvattaa seitsemän mittaa ohraa. Kuinka suuria ovat tämän sarjan luvut ja niiden summa?

Riisi. 1. Muinaisen Egyptin geometrinen etenemisongelma

Tämä tehtävä toistettiin monta kertaa eri muunnelmilla muiden kansojen kesken muina aikoina. Esimerkiksi kirjoitettu XIII vuosisadalla. Leonardo Pisalaisen (Fibonaccin) "Abacus-kirjassa" on ongelma, jossa 7 vanhaa naista ilmestyy matkalla Roomaan (ilmeisesti pyhiinvaeltajia), joista jokaisessa on 7 muulia, joista jokaisessa on 7 pussia, joista jokaisessa sisältää 7 leipää, joista jokaisessa on 7 veistä, joista jokaisessa on 7 vaippaa. Ongelma kysyy, kuinka monta tavaraa on.

Geometrisen progression S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) ensimmäisen n jäsenen summa. Tämä kaava voidaan todistaa esimerkiksi seuraavasti: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Lisätään luku b 1 q n S n:ään ja saadaan:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Siten S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), ja saamme tarvittavan kaavan.

Jo yhdellä muinaisen Babylonin savitauluista, jotka ovat peräisin VI vuosisadalta. eKr e., sisältää summan 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Totta, kuten useissa muissakin tapauksissa, emme tiedä, mistä tämä tosiasia oli babylonialaisten tiedossa .

Geometrisen etenemisen nopeaa kasvua useissa kulttuureissa, erityisesti Intiassa, käytetään toistuvasti universumin suunnattomuuden visuaalisena symbolina. Tunnetussa shakin ulkonäöstä kertovassa legendassa hallitsija antaa keksijälleen mahdollisuuden valita palkkion itse, ja hän pyytää sellaisen määrän vehnänjyviä, jotka saadaan, jos sellainen asetetaan shakkilaudan ensimmäiseen soluun. , kaksi toisella, neljä kolmannella, kahdeksan neljännellä jne. aina, kun luku tuplataan. Vladyka luuli, että se oli korkeintaan muutama säkki, mutta hän laski väärin. On helppo nähdä, että kaikista shakkilaudan 64 ruudusta keksijän olisi pitänyt saada (2 64 - 1) jyvä, joka ilmaistaan ​​20-numeroisena numerona; vaikka koko maan pinta kylvettäisiin, tarvittavan jyvien määrän kerääminen kestäisi vähintään 8 vuotta. Tätä legendaa tulkitaan joskus viittaukseksi shakkipelin lähes rajattomiin mahdollisuuksiin.

Se, että tämä numero on todella 20-numeroinen, on helppo nähdä:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (tarkempi laskelma antaa 1,84 10 19). Mutta mietin, voitko selvittää, mihin numeroon tämä numero päättyy?

Geometrinen progressio kasvaa, jos nimittäjä on itseisarvoltaan suurempi kuin 1, tai pienenee, jos se on pienempi kuin yksi. Jälkimmäisessä tapauksessa luku q n voi tulla mielivaltaisen pieneksi riittävän suurelle n:lle. Kun kasvava eksponentiaali kasvaa odottamattoman nopeasti, laskeva eksponentiaali pienenee yhtä nopeasti.

Mitä suurempi n, sitä heikompi luku q n eroaa nollasta ja mitä lähempänä geometrisen progression S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) n jäsenen summa on lukua S \u003d b 1 / (1 - q) . (Niin perusteltu, esimerkiksi F. Viet). Lukua S kutsutaan äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaksi. Kuitenkin vuosisatojen ajan kysymys siitä, mikä on KAIKEN geometrisen progression summauksen merkitys sen äärettömällä määrällä termejä, ei ollut tarpeeksi selvä matemaatikoille.

Vähenevä geometrinen eteneminen näkyy esimerkiksi Zenonin aporioissa "Puuminen" ja "Achilles ja kilpikonna". Ensimmäisessä tapauksessa on selvästi osoitettu, että koko tie (oletetaan pituus 1) on summa loputtomasta määrästä osia 1/2, 1/4, 1/8 jne. Näin se tietysti on äärellisen summan äärettömän geometrisen progression ideoiden näkökulmasta. Ja silti - kuinka tämä voi olla?

Riisi. 2. Eteneminen kertoimella 1/2

Achilleusta koskevassa aporiassa tilanne on hieman monimutkaisempi, koska tässä etenemisen nimittäjä ei ole 1/2, vaan jokin muu luku. Oletetaan esimerkiksi, että Akhilleus juoksee nopeudella v, kilpikonna liikkuu nopeudella u ja niiden välinen alkuetäisyys on l. Akhilleus juoksee tämän matkan ajassa l/v, kilpikonna liikkuu etäisyyden lu/v tänä aikana. Kun Akhilleus juoksee tämän segmentin läpi, hänen ja kilpikonnan välinen etäisyys tulee yhtä suureksi kuin l (u / v) 2 jne. Osoittautuu, että kilpikonnan kiinni saaminen tarkoittaa äärettömästi pienenevän geometrisen progression summan löytämistä ensimmäisen kanssa termi l ja nimittäjä u / v. Tämä summa - segmentti, jonka Akhilleus lopulta juoksee kohtaamispaikkaan kilpikonnan kanssa - on yhtä suuri kuin l / (1 - u / v) \u003d lv / (v - u) . Mutta jälleen kerran, kuinka tämä tulos pitäisi tulkita ja miksi siinä on ylipäätään mitään järkeä, ei ollut kovin selvää pitkään aikaan.

Riisi. 3. Geometrinen eteneminen kertoimella 2/3

Arkhimedes käytti geometrisen progression summaa määrittäessään paraabelin segmentin pinta-alaa. Rajattukoon annettu paraabelin segmentti jänteen AB kanssa ja olkoon paraabelin pisteen D tangentti samansuuntainen kuin AB . Olkoon C pisteen AB keskipiste, E pisteen AC keskipiste, F pisteen CB keskipiste. Piirrä DC:n suuntaiset viivat pisteiden A, E, F, B kautta; olkoon pisteessä D piirretty tangentti, nämä suorat leikkaavat pisteissä K , L , M , N . Piirretään myös segmentit AD ja DB. Leikkaa suora EL suoran AD pisteessä G ja paraabelin pisteessä H; suora FM leikkaa suoran DB pisteessä Q ja paraabelin pisteessä R. Yleisen kartioleikkausteorian mukaan DC on paraabelin (eli sen akselin suuntaisen segmentin) halkaisija; se ja tangentti pisteessä D voivat toimia koordinaattiakseleina x ja y, joissa paraabeliyhtälö on kirjoitettu muodossa y 2 \u003d 2px (x on etäisyys D:stä mihin tahansa tietyn halkaisijan pisteeseen, y on a:n pituus tietyn tangentin suuntainen segmentti tästä halkaisijapisteestä johonkin itse paraabelin pisteeseen).

Paraabeliyhtälön perusteella DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , ja koska DK = 2DL , niin KA = 4LH . Koska KA = 2LG, LH = HG. Paraabelin segmentin ADB pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion ΔADB pinta-ala ja segmenttien AHD ja DRB pinta-alat yhdistettyinä. AHD-segmentin pinta-ala on puolestaan ​​yhtä suuri kuin kolmion AHD ja loput segmentit AH ja HD, joilla kullakin voidaan suorittaa sama toimenpide - jakaa kolmioksi (Δ) ja kaksi jäljellä olevaa segmenttiä () jne.:

Kolmion ΔAHD pinta-ala on puolet kolmion ΔALD pinta-alasta (niillä on yhteinen kanta AD ja korkeudet eroavat 2 kertaa), mikä puolestaan ​​on yhtä suuri kuin puolet kolmion pinta-alasta. kolmio ΔAKD ja siten puolet kolmion ΔACD pinta-alasta. Siten kolmion ΔAHD pinta-ala on yhtä suuri kuin neljäsosa kolmion ΔACD pinta-alasta. Samoin kolmion ΔDRB pinta-ala on yhtä suuri kuin neljäsosa kolmion ΔDFB pinta-alasta. Joten kolmioiden ∆AHD ja ∆DRB pinta-alat yhdessä ovat yhtä kuin neljäsosa kolmion ∆ADB pinta-alasta. Tämän toiminnon toistaminen segmenteille AH , HD , DR ja RB valitsee niistä myös kolmioita, joiden pinta-ala on yhteensä 4 kertaa pienempi kuin kolmioiden ΔAHD ja ΔDRB pinta-ala, yhdessä, ja siksi 16 kertaa pienempi kuin kolmion pinta-ala ΔADB . Ja niin edelleen:

Siten Arkhimedes osoitti, että "jokainen suoran ja paraabelin välissä oleva segmentti on neljä kolmasosaa kolmiosta, jolla on sama kanta ja sama korkeus."