Bernoullin testikaavio. Bernoullin kaava
Tehdään muutama testi. Lisäksi tapahtuman $A$ esiintymistodennäköisyys kussakin kokeessa ei riipu muiden kokeiden tuloksista. Tällaisia kokeita kutsutaan tapahtuman A suhteen riippumattomiksi. Eri riippumattomissa kokeissa tapahtumalla A voi olla joko eri todennäköisyydet tai yksi ja sama. Otamme huomioon vain ne riippumattomat kokeet, joissa tapahtumalla $A$ on sama todennäköisyys.
Monimutkaisella tapahtumalla tarkoitamme yksinkertaisten tapahtumien yhdistelmää. Tehdään n koetta. Jokaisessa kokeilussa tapahtuma $A$ voi tapahtua tai ei. Oletetaan, että jokaisessa kokeessa tapahtuman $A$ esiintymistodennäköisyys on sama ja yhtä suuri kuin $p$. Tällöin todennäköisyys $\overline A $ (tai A :n esiintymättä jättäminen) on yhtä suuri kuin $P(( \overline A ))=q=1-p$.
Olkoon vaadittava laskemaan todennäköisyys, että sisään n-testitapahtuma $A$ tapahtuu k- kertaa ja $n-k$ kertaa - ei tule. Tätä todennäköisyyttä merkitään $P_n (k)$. Lisäksi tapahtuman $A$ esiintymisjärjestys ei ole tärkeä. Esimerkki: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$
$P_5 (3)-$ viiden kokeen tapahtumassa $A$ ilmestyi 3 kertaa ja 2 ei ilmestynyt. Tämä todennäköisyys voidaan löytää käyttämällä Bernoullin kaavaa.
Bernoullin kaavan johtaminen
Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseen mukaan todennäköisyys, että tapahtuma $A$ tapahtuu $k$ kertaa ja $n-k$ kertaa ei tapahdu, on yhtä suuri kuin $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. Ja tällaisia monimutkaisia tapahtumia voi olla niin monta kuin $C_n^k $ voi olla. Koska monimutkaiset tapahtumat ovat yhteensopimattomia, yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summaa koskevan lauseen mukaan meidän on laskettava yhteen kaikkien monimutkaisten tapahtumien todennäköisyydet, ja niitä on tasan $C_n^k $. Tällöin tapahtuman $A$ esiintymistodennäköisyys on täsmälleen k kerran n testeissä on $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Bernoullin kaava.
Esimerkki. Noppia heitetään 4 kertaa. Laske todennäköisyys, että yksi ilmestyy puolet ajasta.
Ratkaisu. $A = $ (yhden ulkonäkö)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 dollaria
Se on helppo nähdä suurilla arvoilla n todennäköisyyttä on melko vaikea laskea valtavien lukujen takia. Osoittautuu, että tämä todennäköisyys voidaan laskea paitsi Bernoullin kaavalla.
Jos suoritetaan useita kokeita ja tapahtuman A todennäköisyys kussakin kokeessa ei riipu muiden kokeiden tuloksista, tällaisia kokeita kutsutaan ns. riippumaton tapahtumasta A .
Eri riippumattomissa kokeissa tapahtumalla A voi olla joko eri todennäköisyydet tai sama todennäköisyys. Tarkastellaan edelleen vain sellaisia riippumattomia kokeita, joissa tapahtumalla A on sama todennäköisyys.
Alla käytämme käsitettä monimutkainen tapahtumia, ymmärrystä sen kautta useiden erillisten tapahtumien yhdistelmä, joita kutsutaan ns yksinkertainen .
Anna sen tuottaa n riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa A voi tapahtua tai ei. Oletetaan, että tapahtuman A todennäköisyys jokaisessa kokeessa on sama, eli se on yhtä suuri kuin R . Siksi myös tapahtuman A toteutumisen todennäköisyys kussakin kokeessa on vakio ja yhtä suuri kuin q = 1 - s .
Asetetaan itsellemme tehtäväksi laskea todennäköisyys, että n testit, tapahtuma A tapahtuu täsmälleen k kertaa, ja siksi niitä ei toteuteta n-k yhden kerran. On tärkeää korostaa, että tapahtuman A ei tarvitse toistua tarkasti k kertaa tietyssä järjestyksessä.
Esimerkiksi, jos puhumme tapahtuman tapahtumisesta MUTTA kolme kertaa neljässä kokeessa seuraavat monimutkaiset tapahtumat ovat mahdollisia: AAA, AAA, AAA, AAA. Äänite AAA tarkoittaa, että ensimmäisessä, toisessa ja kolmannessa kokeessa tapahtuma MUTTA tuli, mutta neljännessä testissä se ei ilmestynyt, ts. kävi päinvastoin MUTTA; muilla merkinnöillä on vastaava merkitys.
Merkitse haluttu todennäköisyys R p (k) . Esimerkiksi symboli R 5 (3) tarkoittaa todennäköisyyttä, että viidessä kokeessa tapahtuma toistuu tasan 3 kertaa ja siksi ei tapahdu 2 kertaa.
Ongelma voidaan ratkaista käyttämällä niin sanottua Bernoullin kaavaa.
Bernoullin kaavan johtaminen. Yhden yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys, joka koostuu siitä, että P testitapahtuma MUTTA tulee k kerran eikä tule n - k kertaa, riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseen mukaan on yhtä suuri p k q n - k . Tällaisia monimutkaisia tapahtumia voi olla niin monta kuin on niiden yhdistelmiä P elementtejä k elementtejä, ts. C n k .
Näiden monimutkaisten tapahtumien jälkeen yhteensopimaton, sitten yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulauseen mukaan haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin kaikkien mahdollisten monimutkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa. Koska kaikkien näiden monimutkaisten tapahtumien todennäköisyydet ovat samat, haluttu todennäköisyys (tapahtuman k tapahtuma-ajat MUTTA sisään P testit) on yhtä suuri kuin yhden monimutkaisen tapahtuman todennäköisyys kerrottuna niiden lukumäärällä:
Tuloksena olevaa kaavaa kutsutaan Bernoullin kaava .
Esimerkki 1. Todennäköisyys, että yhden päivän sähkönkulutus ei ylitä vahvistettua normia, on yhtä suuri p = 0,75 . Laske todennäköisyys, että seuraavan 6 päivän aikana sähkönkulutus ei ylitä 4 päivää normaalia.
Ratkaisu. Todennäköisyys normaalille sähkönkulutukselle kunkin 6 päivän aikana on vakio ja yhtä suuri kuin p = 0,75 . Siksi myös sähkön ylikulutuksen todennäköisyys päivittäin on vakio ja yhtä suuri q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
Haluttu todennäköisyys Bernoullin kaavan mukaan on yhtä suuri kuin:
Lyhyt teoria
Todennäköisyysteoria käsittelee kokeita, jotka voidaan toistaa (ainakin teoriassa) rajoittamattoman määrän kertoja. Toistetaan jokin koe kerran, eivätkä jokaisen toiston tulokset riipu aiempien toistojen tuloksista. Tällaisia toistosarjoja kutsutaan itsenäisiksi kokeiksi. Tällaisten testien erikoistapaus ovat riippumattomat Bernoullin oikeudenkäynnit, joille on ominaista kaksi ehtoa:
1) kunkin testin tulos on yksi kahdesta mahdollisesta tuloksesta, joita kutsutaan vastaavasti "onnistuneeksi" tai "epäonnistuneeksi".
2) "onnistumisen" todennäköisyys jokaisessa seuraavassa testissä ei riipu aikaisempien testien tuloksista ja pysyy vakiona.
Bernoullin lause
Jos tehdään sarja riippumattomia Bernoulli-kokeita, joissa jokaisessa "menestys" tapahtuu todennäköisyydellä , niin todennäköisyys, että "menestys" kokeissa tapahtuu täsmälleen kerran, ilmaistaan kaavalla:
missä on epäonnistumisen todennäköisyys.
- elementtien yhdistelmien lukumäärä (katso kombinatoriikan peruskaavat)
Tätä kaavaa kutsutaan Bernoullin kaava.
Bernoullin kaavan avulla voit päästä eroon suuresta määrästä laskelmia - todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskuja - riittävän suurella määrällä testejä.
Bernoullin testikaaviota kutsutaan myös binomiaaliksi ja vastaavia todennäköisyyksiä binomiaaliksi, joka liittyy binomikertoimien käyttöön.
Bernoullin kaavion mukainen jakauma mahdollistaa erityisesti tapahtuman todennäköisimmän esiintymismäärän löytämisen.
Jos kokeiden määrä n hienoa, nauti sitten:
Esimerkki ongelmanratkaisusta
Tehtävä
Tietyn kasvin siementen itävyys on 70%. Mikä on todennäköisyys, että 10 kylvetystä siemenestä: 8, vähintään 8; ainakin 8?
Ongelman ratkaisu
Käytetään Bernoullin kaavaa:
Meidän tapauksessamme
Anna tapahtuman - 10 siemenestä itää 8:
Anna tapahtuman nousta vähintään 8 (eli 8, 9 tai 10)
Anna tapahtuman nousta vähintään 8 (eli 8,9 tai 10)
Vastaus
Keskikokoinen valvontatyön ratkaisemisen kustannukset ovat 700 - 1200 ruplaa (mutta vähintään 300 ruplaa koko tilauksesta). Hintaan vaikuttaa voimakkaasti päätöksen kiireellisyys (päivistä useisiin tunteihin). Online-avun hinta kokeessa / testissä - 1000 ruplasta. lippuratkaisulle.
Hakemuksen voi jättää suoraan chatiin, kun tehtävien kunto on aiemmin heitetty pois ja ilmoitetaan sen ratkaisemisen määräajat. Vastausaika on useita minuutteja.
Tällä oppitunnilla löydämme tapahtuman todennäköisyyden riippumattomissa kokeissa, kun kokeita toistetaan. . Kokeita kutsutaan itsenäisiksi, jos kunkin kokeen yhden tai toisen tuloksen todennäköisyys ei riipu muiden kokeiden tuloksista. . Riippumattomat testit voidaan suorittaa sekä samoissa olosuhteissa että eri olosuhteissa. Ensimmäisessä tapauksessa tapahtuman todennäköisyys kaikissa kokeissa on sama, toisessa tapauksessa se vaihtelee kokeesta toiseen.
Esimerkkejä itsenäisistä uudelleentesteistä :
- yksi laitesolmuista tai kaksi tai kolme solmua epäonnistuu, eikä kunkin solmun vika riipu toisesta solmusta, ja yhden solmun epäonnistumisen todennäköisyys on vakio kaikissa testeissä;
- tietyissä vakioteknologisissa olosuhteissa valmistettu osa tai kolme, neljä, viisi osaa osoittautuu epästandardiksi, ja yksi osa voi osoittautua epästandardiksi riippumatta muista osasta ja todennäköisyydestä, että osa osoittautua epästandardiksi on vakio kaikissa testeissä;
- useista laukauksista maaliin yksi, kolme tai neljä laukausta osui maaliin riippumatta muiden laukausten tuloksesta ja maaliin osumisen todennäköisyys on vakio kaikissa kokeissa;
- kun kolikko asetetaan sisään, kone toimii oikein kerran, kaksi tai useita kertoja riippumatta siitä, mitä muita kolikoita on ollut, ja todennäköisyys, että kone toimii oikein, on vakio kaikissa kokeissa.
Nämä tapahtumat voidaan kuvata yhdellä kaaviolla. Jokainen tapahtuma tapahtuu jokaisessa kokeessa samalla todennäköisyydellä, mikä ei muutu, jos aikaisempien kokeiden tulokset tulevat tunnetuksi. Tällaisia testejä kutsutaan riippumattomiksi, ja kaaviota kutsutaan Bernoullin kaava . Oletetaan, että tällaiset testit voidaan toistaa niin monta kertaa kuin halutaan.
Jos todennäköisyys s tapahtuma A on vakio jokaisessa kokeessa, niin todennäköisyys, että sisään n riippumaton testitapahtuma A tulee m kertaa, sijaitsee Bernoullin kaava :
(missä q= 1 – s- todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu)
Asetetaan tehtävä - löytää todennäköisyys, että tämän tyyppinen tapahtuma saapuu n riippumattomat oikeudenkäynnit tulevat m yhden kerran.
Bernoullin kaava: esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Esimerkki 1 Laske todennäköisyys, että viidestä satunnaisesti valitusta osasta kaksi on standardia, jos todennäköisyys, että jokainen osa on vakio, on 0,9.
Ratkaisu. Tapahtuman todennäköisyys MUTTA, joka koostuu siitä, että satunnaisesti otettu osa on vakio, on s=0,9 , ja todennäköisyys, että se on epästandardi, on q=1–s=0,1. Ongelman tilassa ilmoitettu tapahtuma (merkitsimme sitä AT) tapahtuu, jos esimerkiksi kaksi ensimmäistä osaa ovat vakioita ja seuraavat kolme eivät ole standardeja. Mutta tapahtuma AT tapahtuu myös, jos ensimmäinen ja kolmas osa ovat vakioita ja loput eivät ole standardeja, tai jos toinen ja viides osa ovat vakioita ja loput eivät ole standardeja. Tapahtumalle on muitakin mahdollisuuksia. AT. Jokaiselle niistä on ominaista se, että viidestä otetusta osasta kaksi, jotka ovat millään paikalla viidestä, osoittautuvat vakioiksi. Siksi tapahtuman eri mahdollisuuksien kokonaismäärä AT on yhtä monta mahdollisuutta sijoittaa kaksi standardiosaa viiteen paikkaan, ts. on yhtä suuri kuin viiden elementin yhdistelmien lukumäärä kahdella, ja .
Jokaisen mahdollisuuden todennäköisyys on todennäköisyyskertolaskulauseen mukaan yhtä suuri kuin viiden tekijän tulo, joista kaksi, jotka vastaavat standardiosien esiintymistä, ovat 0,9 ja loput kolme, jotka vastaavat ei-tekijän esiintymistä. -vakioosat, ovat 0,1, ts. tämä todennäköisyys on. Koska nämä kymmenen mahdollisuutta ovat yhteensopimattomia tapahtumia, summauslauseen mukaan tapahtuman todennäköisyys AT, jota merkitsemme
Esimerkki 2 Todennäköisyys, että kone vaatii työntekijän huomion tunnin sisällä, on 0,6. Olettaen, että koneissa esiintyvät viat ovat riippumattomia, lasketaan todennäköisyys, että tunnin aikana työntekijän huomio vaatii jompikumpi neljästä hänen huoltamastaan koneesta.
Ratkaisu. Käyttämällä Bernoullin kaava klo n=4 , m=1 , s=0,6 ja q=1–s=0,4, saamme
Esimerkki 3 Autovarkon normaalia toimintaa varten linjalla on oltava vähintään kahdeksan autoa ja niitä on kymmenen. Todennäköisyys, että jokainen auto ei poistu linjalle, on 0,1. Selvitä todennäköisyys, että varasto toimii normaalisti seuraavana päivänä.
Ratkaisu. Autobase toimii hyvin (tapahtuma F), jos jompikumpi tai kahdeksan tulee riville (tapahtuma MUTTA) tai yhdeksän (tapahtuma AT), tai kaikki kymmenen autoa -tapahtuma (tapahtuma C). Todennäköisyyslisäyslauseen mukaan
Löydämme jokaisen termin Bernoullin kaavan mukaan. Tässä n=10 , m=8; 10 ja s\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, alkaen s pitäisi tarkoittaa todennäköisyyttä, että auto tulee linjalle; sitten q=0,1. Tuloksena saamme
Esimerkki 4 Olkoon todennäköisyys, että asiakas tarvitsee koon 41 miesten kengän 0,25. Laske todennäköisyys, että kuudesta ostajasta vähintään kaksi tarvitsee koon 41 kenkiä.
Tehdään n koetta tapahtuman A suhteen. Esitellään seuraavat tapahtumat: Аk -- tapahtuma А toteutui k:nnen testin aikana, $ k=1,2,\dots , n$. Tällöin $\bar(A)_(k) $ on päinvastainen tapahtuma (tapahtuma A ei tapahtunut k:nnen kokeen aikana, $k=1,2,\dots , n$).
Mitä ovat vertais- ja riippumattomat kokeilut
Määritelmä
Testejä kutsutaan samantyyppisiksi tapahtuman A suhteen, jos tapahtumien $A1, A2, \dots , An$ todennäköisyydet ovat samat: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (eli tapahtuman A esiintymistodennäköisyys yhdessä kokeessa on vakio kaikissa kokeissa).
Ilmeisesti tässä tapauksessa myös vastakkaisten tapahtumien todennäköisyydet ovat samat: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Määritelmä
Kokeita kutsutaan riippumattomiksi tapahtuman A suhteen, jos tapahtumat $A1, A2, \dots , An$ ovat riippumattomia.
Tässä tapauksessa
Tässä tapauksessa tasa-arvo säilyy, kun mikä tahansa tapahtuma Ak korvataan $\bar(A)_(k) $:lla.
Tehdään sarja n samanlaista riippumatonta koetta tapahtuman A suhteen. Käytämme merkintää: p - tapahtuman A todennäköisyys yhdessä testissä; q on päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys. Siten P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ mille tahansa k:lle ja p+q=1.
Todennäköisyys, että n:n kokeen sarjassa tapahtuma A tapahtuu täsmälleen k kertaa (0 ≤ k ≤ n), lasketaan kaavalla:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Tasa-arvoa (1) kutsutaan Bernoullin kaavaksi.
Todennäköisyys, että n samantyyppisen riippumattoman kokeen sarjassa tapahtuma A tapahtuu vähintään k1 kertaa ja enintään k2 kertaa, lasketaan kaavalla:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Bernoullin kaavan soveltaminen suurille n:n arvoille johtaa hankalia laskelmiin, joten näissä tapauksissa on parempi käyttää muita kaavoja - asymptoottisia.
Bernoullin kaavion yleistäminen
Harkitse Bernoullin kaavion yleistystä. Jos sarjassa n riippumatonta koetta, joista jokaisessa on m pareittain yhteensopimaton ja mahdolliset tulokset Ak vastaavilla todennäköisyyksillä Рk= рk(Аk). Tällöin polynomijakauman kaava on voimassa:
Esimerkki 1
Todennäköisyys saada flunssa epidemian aikana on 0,4. Laske todennäköisyys, että yrityksen 6 työntekijästä sairastuu
- täsmälleen 4 työntekijää;
- enintään 4 työntekijää.
Ratkaisu. 1) Ilmeisesti tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan soveltaa Bernoullin kaavaa, jossa n=6; k = 4; p = 0,4; q = 1 - p = 0,6. Käyttämällä kaavaa (1) saamme: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \noin 0.138$.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan käyttää kaavaa (2), jossa k1=0 ja k2=4. Meillä on:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cpiste 0.4^(0) \cpiste 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cpiste 0.4 ^(1) \cpiste 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ noin 0.959.) \end(array)\]
On huomattava, että tämä tehtävä on helpompi ratkaista käyttämällä päinvastaista tapahtumaa - yli 4 työntekijää sairastui. Sitten, kun otetaan huomioon kaava (7) vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksistä, saadaan:
Vastaus: $ \ $ 0,959.
Esimerkki 2
Urna sisältää 20 valkoista ja 10 mustaa palloa. Poistetaan 4 palloa ja jokainen ulos otettu pallo palautetaan uurnaan ennen kuin seuraava arvotaan ja uurnassa olevat pallot sekoitetaan. Laske todennäköisyys, että neljästä vedetystä pallosta on 2 valkoista palloa kuvassa 1.
Kuva 1.
Ratkaisu. Olkoon tapahtuma A se, että valkoinen pallo vedetään. Sitten todennäköisyydet $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Bernoullin kaavan mukaan vaadittu todennäköisyys on $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \oikea)^(2) =\frac(8)(27) $.
Vastaus: $\frac(8)(27) $.
Esimerkki 3
Määritä todennäköisyys, että perheessä, jossa on 5 lasta, syntyy enintään 3 tyttöä. Pojan ja tytön saamisen todennäköisyydet oletetaan olevan samat.
Ratkaisu. Todennäköisyys saada tyttö $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-todennäköisyys saada poika. Tyttöjä perheessä ei ole enempää kuin kolme, mikä tarkoittaa, että perheeseen syntyi joko yksi, kaksi tai kolme tyttöä tai kaikki pojat.
Laske todennäköisyydet, että perheessä ei ole tyttöjä, yksi, kaksi tai kolme tyttöä syntyi: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Siksi vaadittu todennäköisyys on $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Vastaus: $\frac(13)(16)$.
Esimerkki 4
Ensimmäinen ampuja yhdellä laukauksella voi osua kymmenen parhaan joukkoon todennäköisyydellä 0,6, yhdeksän todennäköisyydellä 0,3 ja kahdeksan todennäköisyydellä 0,1. Millä todennäköisyydellä hän osuu kymmenellä laukauksella kymmenen kuusi kertaa, yhdeksän kolmesti ja kahdeksan kahdeksan kertaa?
