Hyvin usein monet ihmiset ihmettelevät, miksi nollalla jakoa ei voida käyttää? Tässä artikkelissa puhumme yksityiskohtaisesti siitä, mistä tämä sääntö tuli, sekä siitä, mitä toimia voidaan suorittaa nollalla.

Yhteydessä

Nollaa voidaan kutsua yhdeksi mielenkiintoisimmista numeroista. Tällä numerolla ei ole merkitystä, se tarkoittaa tyhjyyttä sanan varsinaisessa merkityksessä. Jos minkä tahansa luvun viereen asetetaan nolla, tämän luvun arvo tulee kuitenkin useita kertoja suuremmaksi.

Numero itsessään on hyvin mystinen. Sitä käyttivät muinaiset mayat. Mayoille nolla merkitsi "alkua", ja myös kalenteripäivät alkoivat nollasta.

Erittäin mielenkiintoinen tosiasia on, että nollamerkki ja epävarmuusmerkki olivat samanlaisia. Tällä mayat halusivat osoittaa, että nolla on sama merkki kuin epävarmuus. Euroopassa nimitys nolla ilmestyi suhteellisen äskettäin.

Monet ihmiset tietävät myös nollaan liittyvän kiellon. Kuka tahansa sanoo sen ei voi jakaa nollalla. Koulun opettajat sanovat tämän, ja lapset yleensä pitävät sanaansa. Yleensä lapset joko eivät yksinkertaisesti ole kiinnostuneita tietämään tätä, tai he tietävät, mitä tapahtuu, jos he kuultuaan tärkeän kiellon kysyvät heti: "Miksi et voi jakaa nollalla?" Mutta kun vanhenet, kiinnostuksesi herää ja haluat tietää enemmän tämän kiellon syistä. Siitä on kuitenkin perusteltua näyttöä.

Toiminnot nollalla

Ensin sinun on määritettävä, mitä toimia voidaan suorittaa nollalla. Olemassa useita erilaisia ​​toimia:

• Lisäys;
• Kertominen;
• Vähennyslasku;
• Jako (nolla numerolla);
• Eksponentointi.

Tärkeä! Jos lisäät nollan mihin tahansa numeroon summauksen aikana, tämä luku pysyy samana eikä muuta sen numeerista arvoa. Sama tapahtuu, jos vähennät nollan mistä tahansa luvusta.

Kertomalla ja jakamalla asiat ovat hieman erilaisia. Jos kerro mikä tahansa luku nollalla, silloin tuotteesta tulee myös nolla.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Kirjoitetaan tämä lisäyksenä:

Nollaa on yhteensä viisi, joten niin käy

Yritetään kertoa yksi nollalla. Tulos on myös nolla.

Nolla voidaan myös jakaa millä tahansa muulla luvulla, joka ei ole yhtä suuri. Tässä tapauksessa tulos on , jonka arvo on myös nolla. Sama sääntö koskee negatiivisia lukuja. Jos nolla jaetaan negatiivisella luvulla, tulos on nolla.

Voit myös rakentaa minkä tahansa numeron nollaasteeseen asti. Tässä tapauksessa tulos on 1. On tärkeää muistaa, että ilmaisu "nolla nollan potenssiin" on täysin merkityksetön. Jos yrität nostaa nollan mihin tahansa tehoon, saat nollan. Esimerkki:

Käytämme kertolaskua ja saamme 0.

Onko siis mahdollista jakaa nollalla?

Joten tässä päästään pääkysymykseen. Onko mahdollista jakaa nollalla? ollenkaan? Ja miksi emme voi jakaa lukua nollalla, kun otetaan huomioon, että kaikki muut toimet, joissa on nolla, ovat olemassa ja niitä sovelletaan? Tähän kysymykseen vastaamiseksi on tarpeen kääntyä korkeamman matematiikan puoleen.

Aloitetaan käsitteen määritelmästä, mikä on nolla? Koulun opettajat sanovat, että nolla ei ole mitään. Tyhjyys. Eli kun sanot, että sinulla on 0 kahvoja, se tarkoittaa, että sinulla ei ole kahvoja ollenkaan.

Korkeammassa matematiikassa "nollan" käsite on laajempi. Se ei tarkoita lainkaan tyhjyyttä. Tässä nollaa kutsutaan epävarmuudeksi, koska jos teemme vähän tutkimusta, käy ilmi, että kun jaamme nollan nollalla, voimme saada minkä tahansa muun luvun, joka ei välttämättä ole nolla.

Tiesitkö, että ne yksinkertaiset aritmeettiset operaatiot, joita opiskelit koulussa, eivät ole niin tasa-arvoisia keskenään? Perustoiminnot ovat yhteen- ja kertolasku.

Matemaatikoille käsitteitä "" ja "vähennys" ei ole olemassa. Sanotaan: jos vähennät kolme viidestä, sinulle jää kaksi. Tältä näyttää vähentäminen. Kuitenkin matemaatikot kirjoittaisivat sen näin:

Siten käy ilmi, että tuntematon ero on tietty luku, joka on lisättävä 3:een, jotta saadaan 5. Eli sinun ei tarvitse vähentää mitään, sinun on vain löydettävä sopiva luku. Tämä sääntö koskee lisäystä.

Asiat ovat hieman eri tavalla kerto- ja jakosäännöt. Tiedetään, että kertominen nollalla johtaa nollatulokseen. Jos esimerkiksi 3:0=x, jos käännät merkinnän, saat 3*x=0. Ja luku, joka kerrottiin nollalla, antaa tuotteessa nollan. Osoittautuu, että nollan tuotteessa ei ole numeroa, joka antaisi muuta arvoa kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että nollalla jakaminen on merkityksetöntä, eli se sopii sääntöämme.

Mutta mitä tapahtuu, jos yrität jakaa nollan itsestään? Otetaan jokin epämääräinen luku x:ksi. Tuloksena oleva yhtälö on 0*x=0. Se voidaan ratkaista.

Jos yritämme ottaa nollan x:n sijaan, saamme 0:0=0. Kuulostaako loogiselta? Mutta jos yritämme ottaa minkä tahansa muun luvun, esimerkiksi 1, x:n sijaan, saamme tulokseksi 0:0=1. Sama tilanne tapahtuu, jos otamme minkä tahansa muun numeron ja liitä se yhtälöön.

Tässä tapauksessa käy ilmi, että voimme ottaa minkä tahansa muun luvun tekijäksi. Tuloksena on ääretön määrä erilaisia ​​lukuja. Joskus nollalla jakaminen korkeammassa matematiikassa on vielä järkevää, mutta silloin yleensä tulee tietty ehto, jonka ansiosta voimme silti valita yhden sopivan luvun. Tätä toimintoa kutsutaan "epävarmuuden paljastamiseksi". Tavallisessa aritmetiikassa nollalla jako menettää taas merkityksensä, koska emme voi valita yhtä lukua joukosta.

Tärkeä! Et voi jakaa nollaa nollalla.

Nolla ja ääretön

Ääretön löytyy hyvin usein korkeammasta matematiikasta. Koska koululaisten ei yksinkertaisesti ole tärkeää tietää, että on olemassa myös matemaattisia operaatioita, joissa on ääretön, opettajat eivät voi selittää lapsille kunnolla, miksi nollalla jakaminen on mahdotonta.

Opiskelijat alkavat oppia matemaattisia perussalaisuuksia vasta instituutin ensimmäisenä vuonna. Korkeampi matematiikka tarjoaa suuren joukon ongelmia, joihin ei ole ratkaisua. Tunnetuimmat ongelmat ovat äärettömyyden ongelmat. Ne voidaan ratkaista käyttämällä matemaattinen analyysi.

Voidaan soveltaa myös äärettömyyteen matemaattiset perusoperaatiot: yhteenlasku, kertominen luvulla. Yleensä he käyttävät myös vähennys- ja jakolaskua, mutta loppujen lopuksi ne jäävät silti kahteen yksinkertaiseen operaatioon.

Mutta mitä tapahtuu jos yrität:

• Ääretön kerrottuna nollalla. Teoriassa, jos yritämme kertoa minkä tahansa luvun nollalla, saamme nollan. Mutta ääretön on määräämätön joukko lukuja. Koska emme voi valita yhtä lukua tästä joukosta, lausekkeella ∞*0 ei ole ratkaisua ja se on täysin merkityksetön.
• Nolla jaettuna äärettömyydellä. Täällä tapahtuu sama tarina kuin yllä. Emme voi valita yhtä numeroa, mikä tarkoittaa, että emme tiedä millä jakaa. Ilmaisulla ei ole merkitystä.

Tärkeä!Ääretön on hieman eri asia kuin epävarmuus! Äärettömyys on yksi epävarmuuden tyypeistä.

Kokeillaan nyt jakaa ääretön nollalla. Näyttäisi siltä, ​​että epävarmuutta pitäisi olla. Mutta jos yritämme korvata jakamisen kertolaskulla, saamme hyvin varman vastauksen.

Esimerkiksi: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Se käy näin matemaattinen paradoksi.

Vastaus miksi et voi jakaa nollalla

Ajatuskoe, yrittää jakaa nollalla

Johtopäätös

Joten nyt tiedämme, että nolla on lähes kaikkien toimintojen alainen, paitsi yksi ainoa. Et voi jakaa nollalla vain siksi, että tulos on epävarmuus. Opimme myös suorittamaan operaatioita nollalla ja äärettömällä. Tällaisten toimien seurauksena on epävarmuus.

Jos luku jaetaan äärettömyydellä, tuleeko osamäärä olemaan nolla? Jatkoi sisällä ja sain parhaan vastauksen

Vastaus henkilöltä Olenka[aloittelija]
kaikki 0
Krab Вark
Oraakkeli
(56636)
Ei. Tarkka nolla. Kun jakaja pyrkii äärettömään, osamäärä pyrkii nollaan. Ja jos emme jaa äärettömyyteen pyrkivällä luvulla, vaan itse äärettömyydellä (muuten, tarkemmin sanottuna, sitä ei pidetä virallisesti ollenkaan numerona, vaan sitä pidetään erityisenä symbolina, joka täydentää numeroiden nimeämistä) - tasan nolla.

Vastaus osoitteesta Iugeus Vladimir[guru]
Vaikka jaat nollan, vaikka kertoisit sen millä tahansa luvulla, se on silti nolla!

Vastaus osoitteesta 1 23 [guru]
jos jokin paska pyrkii nollaan, niin sen kertominen jollakin äärellisellä (luvulla tai rajoitetulla funktiolla) on turhaa, koska kaikki pyrkii nollaan.
mutta jos kerrot sen jollain tavalla, joka pyrkii äärettömyyteen, vaihtoehtoja voi olla.

Vastaus osoitteesta Krab Вark[guru]
Kun mikä tahansa luku jaetaan äärettömällä, tulos on nolla. Tarkka nolla, ei "nollaan pyrkimistä". Ja sitten, riippumatta siitä, millä luvulla kerrot sen, nolla. Ja tulos nollan jakamisesta millä tahansa muulla kuin nollalla on nolla, vain kun nolla jaetaan nollalla, tulosta ei määritellä, koska mikä tahansa luku sopii osamääräksi.

Luku 0 voidaan kuvitella tiettynä rajana, joka erottaa reaalilukujen maailman imaginaarisista tai negatiivisista. Epäselvän sijainnin vuoksi monet operaatiot tällä numeerisella arvolla eivät noudata matemaattista logiikkaa. Nollalla jakamisen mahdottomuus on tästä hyvä esimerkki. Ja sallitut aritmeettiset operaatiot nollalla voidaan suorittaa käyttämällä yleisesti hyväksyttyjä määritelmiä.

Nollan historia

Nolla on vertailupiste kaikissa vakionumerojärjestelmissä. Eurooppalaiset alkoivat käyttää tätä numeroa suhteellisen äskettäin, mutta muinaisen Intian viisaat käyttivät nollaa tuhat vuotta ennen kuin eurooppalaiset matemaatikot käyttivät säännöllisesti tyhjää lukua. Jo ennen intiaaneja nolla oli pakollinen arvo mayojen numerojärjestelmässä. Nämä amerikkalaiset käyttivät kaksidesimaalilukujärjestelmää, ja kunkin kuukauden ensimmäinen päivä alkoi nollalla. On mielenkiintoista, että mayojen keskuudessa "nollaa" merkitsevä merkki osui täysin yhteen "äärettömyyttä" tarkoittavan merkin kanssa. Näin ollen muinaiset mayat päättelivät, että nämä määrät ovat identtisiä ja tuntemattomia.

Matemaattiset operaatiot nollalla

Tavalliset matemaattiset operaatiot nollalla voidaan tiivistää muutamaan sääntöön.

Lisäys: jos lisäät nollan mielivaltaiseen numeroon, se ei muuta sen arvoa (0+x=x).

Vähennys: Kun mistä tahansa luvusta vähennetään nolla, vähennysosan arvo pysyy muuttumattomana (x-0=x).

Kertominen: Mikä tahansa luku kerrottuna 0:lla tuottaa 0:n (a*0=0).

Jako: Nolla voidaan jakaa millä tahansa luvulla, joka ei ole nolla. Tässä tapauksessa tällaisen murtoluvun arvo on 0. Ja nollalla jakaminen on kielletty.

Eksponentointi. Tämä toiminto voidaan suorittaa millä tahansa numerolla. Satunnainen luku korotettuna nollapotenssiin antaa 1 (x 0 =1).

Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin 0 (0 a = 0).

Tässä tapauksessa syntyy heti ristiriita: lausekkeessa 0 0 ei ole järkeä.

Matematiikan paradoksit

Monet ihmiset tietävät koulusta, että nollalla jako on mahdotonta. Mutta jostain syystä tällaisen kiellon syytä on mahdotonta selittää. Itse asiassa, miksi nollalla jakamista koskevaa kaavaa ei ole olemassa, mutta muut toimet tällä numerolla ovat melko järkeviä ja mahdollisia? Vastauksen tähän kysymykseen antavat matemaatikot.

Asia on siinä, että tavalliset aritmeettiset operaatiot, joita koululaiset oppivat ala-asteella, eivät itse asiassa ole läheskään yhtä samanarvoisia kuin luulemme. Kaikki yksinkertaiset lukuoperaatiot voidaan vähentää kahteen: yhteen- ja kertolaskuihin. Nämä toiminnot muodostavat itse numerokäsitteen olemuksen, ja muut toiminnot rakentuvat näiden kahden käyttöön.

Yhteen- ja kertolasku

Otetaan tavallinen vähennyslaskuesimerkki: 10-2=8. Koulussa ajatellaan yksinkertaisesti: jos kymmenestä aineesta vähennetään kaksi, kahdeksan jää jäljelle. Mutta matemaatikot katsovat tätä operaatiota täysin eri tavalla. Loppujen lopuksi sellaista operaatiota kuin vähentäminen ei ole olemassa heille. Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa toisella tavalla: x+2=10. Matemaatikoille tuntematon ero on yksinkertaisesti luku, joka on lisättävä kahteen, jotta saadaan kahdeksan. Eikä tässä vaadita vähennystä, sinun on vain löydettävä sopiva numeerinen arvo.

Kerto- ja jakolaskuja käsitellään samalla tavalla. Esimerkissä 12:4=3 voit ymmärtää, että puhumme kahdeksan kohteen jakamisesta kahteen yhtä suureen kasaan. Mutta todellisuudessa tämä on vain käänteinen kaava 3x4 = 12 kirjoittamiselle. Tällaisia ​​esimerkkejä jaosta voidaan antaa loputtomasti.

Esimerkkejä 0:lla jaosta

Tässä tulee hieman selväksi, miksi et voi jakaa nollalla. Kertominen ja jako nollalla noudattavat omia sääntöjään. Kaikki esimerkit tämän suuren jakamisesta voidaan muotoilla muodossa 6:0 = x. Mutta tämä on lausekkeen 6 * x=0 käänteinen merkintä. Mutta kuten tiedät, mikä tahansa luku kerrottuna 0:lla antaa tuotteessa vain 0. Tämä ominaisuus on luontainen nolla-arvon käsitteelle.

Osoittautuu, että ei ole olemassa sellaista lukua, joka kerrottuna 0:lla antaisi mitään konkreettista arvoa, eli tällä ongelmalla ei ole ratkaisua. Sinun ei pitäisi pelätä tätä vastausta, se on luonnollinen vastaus tämän tyyppisiin ongelmiin. On vain niin, että 6:0-ennätyksessä ei ole mitään järkeä, eikä se voi selittää mitään. Lyhyesti sanottuna tämä ilmaus voidaan selittää kuolemattomalla "nollalla jakaminen on mahdotonta".

Onko 0:0-toimintoa? Todellakin, jos nollalla kertominen on laillista, voidaanko nolla jakaa nollalla? Loppujen lopuksi yhtälö muotoa 0x 5=0 on varsin laillinen. Numeron 5 sijasta voit laittaa 0, tuote ei muutu.

Todellakin, 0x0 = 0. Mutta et silti voi jakaa nollalla. Kuten todettiin, jako on yksinkertaisesti kertolasku käänteinen. Jos siis esimerkissä 0x5=0, sinun on määritettävä toinen tekijä, saamme 0x0=5. Tai 10. Tai ääretön. Äärettömän jakaminen nollalla – mitä pidät siitä?

Mutta jos jokin luku sopii lausekkeeseen, siinä ei ole järkeä; emme voi valita vain yhtä loputtomasta määrästä lukuja. Ja jos on, tämä tarkoittaa, että lausekkeessa 0:0 ei ole järkeä. Osoittautuu, että edes nollaa ei voida jakaa nollalla.

Korkeampi matematiikka

Nollalla jako on päänsärky lukion matematiikalle. Teknisissä korkeakouluissa opiskeltu matemaattinen analyysi laajentaa hieman käsitettä ongelmat, joihin ei ole ratkaisua. Esimerkiksi jo tunnettuun lausekkeeseen 0:0 lisätään uusia, joilla ei ole ratkaisuja koulun matematiikan kursseilla:

• ääretön jaettuna äärettömyydellä: ∞:∞;
• ääretön miinus ääretön: ∞−∞;
• yksikkö nostettuna äärettömään potenssiin: 1 ∞ ;
• ääretön kerrottuna 0:lla: ∞*0;
• jotkut muut.

Tällaisia ​​lausekkeita on mahdotonta ratkaista perusmenetelmillä. Mutta korkeampi matematiikka tarjoaa lopullisia ratkaisuja useiden samankaltaisten esimerkkien lisämahdollisuuksien ansiosta. Tämä näkyy erityisesti ongelmien pohdinnassa rajojen teoriasta.

Epävarmuuden vapauttaminen

Rajateoriassa arvo 0 korvataan ehdollisella infinitesimaalimuuttujalla. Ja lausekkeet, joissa haluttua arvoa korvattaessa saadaan jako nollalla, muunnetaan. Alla on tavallinen esimerkki rajan laajentamisesta tavallisilla algebrallisilla muunnoksilla:

Kuten esimerkistä näet, pelkkä murtoluvun pienentäminen johtaa sen arvon täysin järkevään vastaukseen.

Kun tarkastellaan trigonometristen funktioiden rajoja, niiden lausekkeet pyrkivät pienenemään ensimmäiseen merkittävään rajaan. Tarkasteltaessa rajoja, joissa nimittäjästä tulee 0, kun raja korvataan, käytetään toista merkittävää rajaa.

L'Hopital-menetelmä

Joissakin tapauksissa lausekkeiden rajat voidaan korvata niiden johdannaisten rajoilla. Guillaume L'Hopital - ranskalainen matemaatikko, ranskalaisen matemaattisen analyysin koulun perustaja. Hän osoitti, että lausekkeiden rajat ovat yhtä suuret kuin näiden lausekkeiden johdannaisten rajat. Matemaattisessa merkinnässä hänen sääntönsä näyttää tältä.

Funktion derivaatta ei putoa kauas, ja L'Hopitalin sääntöjen tapauksessa se osuu täsmälleen samaan paikkaan, johon alkuperäinen funktio osuu. Tämä seikka auttaa paljastamaan 0/0- tai ∞/∞-muotoisia epävarmuuksia ja joitain muita laskennassa esiin tulevia epävarmuuksia raja kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren funktion suhde. Laskenta yksinkertaistuu huomattavasti käyttämällä tätä sääntöä (itse asiassa kaksi sääntöä ja huomautuksia niihin):

Kuten yllä oleva kaava osoittaa, laskettaessa kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren funktion suhteen rajaa, kahden funktion suhteen raja voidaan korvata niiden suhteen rajalla. johdannaiset ja siten saada tietty tulos.

Siirrytään L'Hopitalin sääntöjen tarkempiin muotoiluihin.

L'Hopitalin sääntö kahden äärettömän pienen määrän rajalle. Anna toiminnot f(x) Ja g(x a. Ja ihan siinä kohtaa a a funktion derivaatta g(x) ei ole nolla ( g"(x a ovat yhtä suuret keskenään ja yhtä suuret kuin nolla:

.

L'Hopitalin sääntö kahden äärettömän suuren määrän rajalle. Anna toiminnot f(x) Ja g(x) joilla on derivaattoja (eli differentioituvia) jossain pisteen läheisyydessä a. Ja ihan siinä kohtaa a niillä ei välttämättä ole johdannaisia. Lisäksi pisteen läheisyydessä a funktion derivaatta g(x) ei ole nolla ( g"(x)≠0) ja näiden funktioiden rajat, koska x pyrkii funktion arvoon pisteessä a ovat yhtä suuret keskenään ja yhtä suuret kuin ääretön:

.

Sitten näiden funktioiden suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden johdannaisten suhteen raja:

Toisin sanoen muotoa 0/0 tai ∞/∞ oleville epävarmuuksille kahden funktion suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden derivaattojen suhteen raja, jos jälkimmäinen on olemassa (äärellinen, eli yhtä suuri kuin tietty luku tai ääretön, eli yhtä suuri kuin ääretön).

Huomautuksia.

1. L'Hopitalin sääntöjä sovelletaan myös toimintoihin f(x) Ja g(x) ei ole määritelty milloin x = a.

2. Jos laskettaessa funktioiden derivaattojen suhteen rajaa f(x) Ja g(x) päästään taas epävarmuuteen muotoa 0/0 tai ∞/∞, niin L'Hôpitalin sääntöjä tulee soveltaa toistuvasti (vähintään kahdesti).

3. L'Hopitalin sääntöjä voidaan soveltaa myös silloin, kun funktioiden (x) argumentti ei pyri äärelliseen lukuun a, ja äärettömään ( x → ∞).

Myös muun tyyppiset epävarmuudet voidaan vähentää tyyppien 0/0 ja ∞/∞ epävarmuuksiksi.

"nolla jaettuna nollalla" ja "ääretön jaettuna äärettömyydellä" tyyppien epävarmuustekijöiden paljastaminen

Esimerkki 1.

x=2 johtaa muotoon 0/0 olevaan epävarmuuteen. Tästä syystä saadaan kunkin funktion derivaatta

Polynomin derivaatta laskettiin osoittajassa ja nimittäjässä - kompleksisen logaritmisen funktion derivaatta. Ennen viimeistä yhtäläisyysmerkkiä, tavallista raja, korvaa kahdella X:n sijaan.

Esimerkki 2. Laske kahden funktion suhteen raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä:

Ratkaisu. Arvon korvaaminen tietyllä funktiolla x

Esimerkki 3. Laske kahden funktion suhteen raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä:

Ratkaisu. Arvon korvaaminen tietyllä funktiolla x=0 johtaa muotoon 0/0 olevaan epävarmuuteen. Siksi laskemme osoittajan ja nimittäjän funktioiden derivaatat ja saamme:

Esimerkki 4. Laskea

Ratkaisu. Arvon x, joka on yhtä suuri kuin plus ääretön, korvaaminen tietyllä funktiolla johtaa muotoon ∞/∞ epävarmuuteen. Siksi sovellamme L'Hopitalin sääntöä:

Kommentti. Siirrytään esimerkkeihin, joissa L'Hopitalin sääntöä on sovellettava kahdesti, eli päästään toisten derivaattojen suhteen rajalle, koska ensimmäisten derivaattojen suhteen raja on muotoa 0 oleva epävarmuus. /0 tai ∞/∞.

"nolla kertaa ääretön" muodon epävarmuustekijöiden paljastaminen

Esimerkki 12. Laskea

.

Ratkaisu. Saamme

Tässä esimerkissä käytetään trigonometristä identiteettiä.

Tyyppien "nolla nollan potenssiin", "ääretön nollan potenssiin" ja "yksi äärettömän potenssiin" olevien epävarmuustekijöiden paljastaminen

Muodon epävarmuudet tai pelkistetään yleensä muotoon 0/0 tai ∞/∞ ottamalla muodon funktion logaritmi

Lausekkeen rajan laskemiseen tulee käyttää logaritmista identiteettiä, jonka erikoistapaus on logaritmin ominaisuus .

Käyttäen logaritmista identiteettiä ja funktion jatkuvuuden ominaisuutta (joka ylittää rajan etumerkin), raja tulisi laskea seuraavasti:

Sinun tulisi erikseen etsiä lausekkeen raja eksponenttia ja rakentaa e löydettyyn asteeseen.

Esimerkki 13.

Ratkaisu. Saamme

.

.

Esimerkki 14. Laske L'Hopitalin säännön avulla

Ratkaisu. Saamme

Laske eksponentin lausekkeen raja

.

.

Esimerkki 15. Laske L'Hopitalin säännön avulla

Menetelmät rajojen ratkaisemiseksi. Epävarmuustekijät.
Toiminnon kasvujärjestys. Korvausmenetelmä

Esimerkki 4

Löydä raja

Tämä on yksinkertaisempi esimerkki ratkaistaksesi itse. Ehdotetussa esimerkissä on taas epävarmuus (suuremmasta kasvuasteesta kuin juuri).

Jos "x" pyrkii "miinus äärettömyyteen"

"Miinus äärettömän" haamu on leijunut tässä artikkelissa pitkään. Tarkastellaan rajoja polynomeilla, joissa . Ratkaisuperiaatteet ja -menetelmät ovat täsmälleen samat kuin oppitunnin ensimmäisessä osassa, lukuun ottamatta useita vivahteita.

Katsotaanpa 4 temppua, joita tarvitaan käytännön tehtävien ratkaisemiseen:

1) Laske raja

Rajan arvo riippuu vain termistä, koska sillä on korkein kasvuaste. Jos sitten moduuliltaan äärettömän suuri negatiivinen luku parilliseen potenssiin, tässä tapauksessa - neljännessä, on yhtä suuri kuin "plus ääretön": . Vakio ("kaksi") positiivinen, Siksi:

2) Laske raja

Tässä on taas vanhempi tutkinto jopa, Siksi: . Mutta sen edessä on "miinus" ( negatiivinen vakio –1), joten:

3) Laske raja

Raja-arvo riippuu vain . Kuten muistat koulusta, "miinus" "hyppää ulos" parittoman asteen alta, niin moduuliltaan äärettömän suuri negatiivinen luku parittomaan potenssiin on yhtä kuin "miinus ääretön", tässä tapauksessa: .
Vakio ("neljä") positiivinen, tarkoittaa:

4) Laske raja

Kylän ensimmäisellä kaverilla on taas outo asteen lisäksi povessa negatiivinen vakio, mikä tarkoittaa: Siten:
.

Esimerkki 5

Löydä raja

Yllä olevien kohtien perusteella tulemme siihen tulokseen, että tässä on epävarmuutta. Osoittaja ja nimittäjä ovat samassa kasvujärjestyksessä, mikä tarkoittaa, että rajassa tulos on äärellinen luku. Selvitetään vastaus heittämällä kaikki paistinpannut pois:

Ratkaisu on triviaali:

Esimerkki 6

Löydä raja

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Ja nyt ehkä hienovaraisimmat tapaukset:

Esimerkki 7

Löydä raja

Johtavat termit huomioon ottaen tulemme siihen tulokseen, että tässä on epävarmuutta. Osoittaja on suurempaa kasvuluokkaa kuin nimittäjä, joten voimme heti sanoa, että raja on yhtä suuri kuin ääretön. Mutta millainen äärettömyys, "plus" vai "miinus"? Tekniikka on sama - päästään eroon osoittajan ja nimittäjän pienistä asioista:

Me päätämme:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 15

Löydä raja

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Likimääräinen näyte lopullisesta suunnittelusta oppitunnin lopussa.

Pari muuta mielenkiintoista esimerkkiä muuttujien korvaamisesta:

Esimerkki 16

Löydä raja

Kun rajaan korvataan yksikkö, saadaan epävarmuus. Muuttujan muuttaminen ehdottaa jo itseään, mutta ensin muunnetaan tangentti kaavan avulla. Todellakin, miksi tarvitsemme tangentin?

Huomaa, että siksi . Jos se ei ole täysin selvä, katso siniarvoja trigonometrinen taulukko. Näin pääsemme heti eroon kertoimesta, lisäksi saamme tutumman epävarmuuden 0:0. Olisi mukavaa, jos rajamme olisi nolla.

Korvataan:

Jos sitten

Kosinin alla on "x", joka on myös ilmaistava "te":llä.
Korvaamisesta ilmaisemme: .

Viimeistelemme ratkaisun:

(1) Suoritamme vaihdon

(2) Avaa sulut kosinin alla.

(4) Järjestää ensimmäinen ihana raja, kerro keinotekoisesti osoittaja ja käänteisluku.

Tehtävä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 17

Löydä raja

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Nämä olivat yksinkertaisia ​​tehtäviä heidän luokassaan, käytännössä kaikki voi olla huonomminkin, ja lisäksi pelkistyskaavat, sinun on käytettävä erilaisia trigonometriset kaavat, sekä muita temppuja. Artikkelissa Complex Limits katsoin pari todellista esimerkkiä =)

Loman aattona selvitellään vihdoin tilannetta toisella yhteisellä epävarmuudella:

Epävarmuuden poistaminen "yksi äärettömyyteen"

Tämä epävarmuus on "palveltu" toinen ihana raja, ja tuon oppitunnin toisessa osassa tarkastelimme yksityiskohtaisesti standardiesimerkkejä ratkaisuista, jotka löytyvät useimmissa tapauksissa. Nyt kuva eksponenteineen on valmis, lisäksi oppitunnin viimeiset tehtävät on omistettu "väärennetyille" rajoituksille, joissa NÄYTETÄÄN, että on tarpeen soveltaa toista ihanaa rajaa, vaikka tämä ei ole ollenkaan tapaus.

Toisen merkittävän rajan kahden työkaavan haittana on, että argumentin tulee pyrkiä "plus äärettömyyteen" tai nollaan. Mutta entä jos argumentti pyrkii eri numeroon?

Universaali kaava tulee apuun (joka on itse asiassa seurausta toisesta merkittävästä rajasta):

Epävarmuus voidaan poistaa kaavalla:

Jossain mielestäni olen jo selittänyt mitä hakasulkeet tarkoittavat. Ei mitään erikoista, kiinnikkeet ovat vain kiinnikkeitä. Niitä käytetään yleensä korostamaan matemaattista merkintää selkeämmin.

Korostetaan kaavan olennaiset kohdat:

1) Kyse on noin vain epävarmuudesta eikä mistään muusta.

2) "x"-argumentilla voi olla taipumus mielivaltainen arvo(eikä vain nollaan tai), erityisesti "miinus äärettömyyteen" tai siihen kuka tahansaäärellinen luku.

Tämän kaavan avulla voit ratkaista kaikki oppitunnin esimerkit. Ihanat rajat, jotka kuuluvat 2. merkittävään rajaan. Lasketaan esimerkiksi raja:

Tässä tapauksessa ja kaavan mukaan:

Totta, en suosittele tätä, perinteenä on edelleen käyttää ratkaisun "tavallista" muotoilua, jos sitä voidaan soveltaa. kuitenkin kaavan avulla se on erittäin kätevä tarkistaa"klassisia" esimerkkejä 2. merkittävään rajaan asti.