1 . Kuperan nelikulmion diagonaalien summa on suurempi kuin sen kahden vastakkaisen sivun summa.

2 . Jos segmentit yhdistävät vastakkaisten sivujen keskipisteet nelikulmio

a) ovat yhtä suuret, silloin nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa;

b) ovat kohtisuorassa, niin nelikulmion lävistäjät ovat yhtä suuret.

3 . Puolisuunnikkaan sivupuolen kulmien puolittajat leikkaavat sen keskiviivalla.

4 . Puolet suunnikkaan ovat yhtä suuret ja . Sitten suunnikkaan kulmien puolittajien leikkauspisteiden muodostama nelikulmio on suorakulmio, jonka lävistäjät ovat yhtä suuria kuin .

5 . Jos kulmien summa puolisuunnikkaan kannassa on 90°, niin puolisuunnikkaan kantojen keskipisteet yhdistävä jana on yhtä suuri kuin niiden puolikasero.

6 . Sivuilla AB Ja ILMOITUS suunnikas ABCD otettuja pisteitä M Ja N niin suoraa NEITI Ja NC jaa suuntaviiva kolmeen yhtä suureen osaan. löytö MN, Jos BD=d.

7 . Puolisuunnikkaan kantojen kanssa yhdensuuntainen suora jana, joka on puolisuunnikkaan sisäpuolella, on jaettu kolmeen osaan lävistäjällään. Sitten sivujen vieressä olevat segmentit ovat yhtä suuret.

8 . Puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta kantaan vedetään suora viiva, joka on yhdensuuntainen kannan kanssa. Tämän linjan segmentti puolisuunnikkaan sivujen välissä on yhtä suuri kuin .

9 . Puolisuunnikas jaetaan sen kannan suuntaisella suoralla, joka on yhtä suuri kuin ja , kahteen yhtä suureen puolisuunnikkaan. Sitten tämän linjan sivujen välissä oleva segmentti on yhtä suuri kuin .

10 . Jos jokin seuraavista ehdoista on totta, neljä pistettä A, B, C Ja D makaa samalla ympyrällä.

A) CAD=CBD= 90°.

b) pisteet A Ja SISÄÄN makaa suoran viivan toisella puolella CD ja kulma CAD yhtä suuri kuin kulma CBD.

c) suora AC Ja BD leikkaavat pisteessä NOIN Ja O A OS=OV OD.

11 . Suora viiva, joka yhdistää pisteen R nelikulmion diagonaalien leikkauspiste ABCD kanssa piste K linjan risteyksiä AB Ja CD, jakaa puolen ILMOITUS puoliksi. Sitten hän jakaa puoliksi ja sivuiksi Aurinko.

12 . Kuperan nelikulmion jokainen sivu on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan. Vastakkaiset jakopisteet vastakkaisilla puolilla on yhdistetty segmenteillä. Sitten nämä segmentit jakavat toisensa kolmeen yhtä suureen osaan.

13 . Kaksi suoraa jakaa kummankin kuperan nelikulmion vastakkaiset sivut kolmeen yhtä suureen osaan. Sitten näiden viivojen välissä on kolmasosa nelikulmion pinta-alasta.

14 . Jos ympyrä voidaan piirtää nelikulmioon, niin jana, joka yhdistää pisteet, joissa piirretty ympyrä koskettaa nelikulmion vastakkaisia ​​puolia, kulkee diagonaalien leikkauspisteen kautta.

15 . Jos nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, niin sellaiseen nelikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä.

16. Sisäänkirjoitetun nelikulmion, jossa on keskenään kohtisuorat lävistäjät, ominaisuudet. Nelikulmio ABCD piirretty säteen ympyrään R. Sen diagonaalit AC Ja BD ovat keskenään kohtisuorassa ja leikkaavat pisteessä R. Sitten

a) kolmion mediaani ARV kohtisuoraan sivuun nähden CD;

b) katkoviiva AOC jakaa nelikulmion ABCD kahdeksi samankokoiseksi hahmoksi;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 ja AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;

e) etäisyys ympyrän keskipisteestä nelikulmion sivuun on puolet vastakkaisesta sivusta.

e) jos kohtisuorat putosivat sivulle ILMOITUS ylhäältä SISÄÄN Ja KANSSA, ylittää diagonaalit AC Ja BD kohdissa E Ja F, Että BCFE- rombi;

g) nelikulmio, jonka kärjet ovat pisteen projektioita R nelikulmion sivuilla ABCD,- sekä kirjoitettu että kuvattu;

h) nelikulmio, jonka muodostavat nelikulmion ympyrän tangentit ABCD, piirretty sen kärkipisteisiin, voidaan piirtää ympyrään.

17 . Jos a, b, c, d- nelikulmion peräkkäiset sivut, S on sen alue, niin Ja tasa-arvo pätee vain kirjoitettu nelikulmio jonka lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa.

18 . Brahmaguptan kaava. Jos syklisen nelikulmion sivut ovat yhtä suuret a, b, c Ja d, sitten sen alue S voidaan laskea kaavalla,

Missä - nelikulmion puolikehä.

19 . Jos nelikulmio, jossa on sivut A, b, c, d voidaan piirtää ja sen ympärille voidaan kuvata ympyrä, niin sen pinta-ala on yhtä suuri kuin .

20 . Piste P sijaitsee neliön sisällä ABCD, ja kulma PAB yhtä suuri kuin kulma RVA ja on tasa-arvoinen 15°. Sitten kolmio DPC- tasasivuinen.

21 . Jos kyseessä on syklinen nelikulmio ABCD tasa-arvo on tyytyväinen CD = AD+BC, sitten sen kulmien puolittajat A Ja SISÄÄN leikkaavat sivulta CD.

22 . Jatkoja vastakkaisille puolille AB Ja CD syklinen nelikulmio ABCD leikkaavat pisteessä M, ja puolueet ILMOITUS Ja Aurinko- pisteessä N. Sitten

a) kulman puolittajat AMD Ja D.N.C. keskenään kohtisuorassa;

b) suora MQ Ja NQ leikkaa nelikulmion sivut rombin kärjessä;

c) leikkauspiste K näistä puolittajista sijaitsee janalla, joka yhdistää nelikulmion lävistäjien keskipisteet ABCD.

23 . Ptolemaioksen lause. Syklisen nelikulmion kahden vastakkaisen sivuparin tulojen summa on yhtä suuri kuin sen diagonaalien tulo.

24 . Newtonin lause. Missä tahansa rajatussa nelikulmiossa diagonaalien keskipisteet ja piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsevat samalla suoralla.

25 . Mongen lause. Suorat, jotka on vedetty vastakkaisiin sivuihin nähden kohtisuorassa olevan sisäänkirjoitetun nelikulmion sivujen keskipisteiden läpi, leikkaavat yhdessä pisteessä.

27 . Neljä ympyrää, jotka on rakennettu kuperan nelikulmion sivuille halkaisijana, peittävät koko nelikulmion.

29 . Kuperan nelikulmion kaksi vastakkaista kulmaa ovat tylpäjä. Tällöin näiden kulmien kärjet yhdistävä lävistäjä on pienempi kuin toinen diagonaali.

30. Suunnikkaan ulkopuolisille sivuille rakennettujen neliöiden keskipisteet muodostavat itse neliön.

Nelikulmio on piirretty ympyrään, jos sen kaikki kärjet ovat ympyrällä. Tällainen ympyrä on rajattu nelikulmion ympärille.

Aivan kuten jokaista nelikulmiota ei voida kuvata ympyrän ympärillä, ei jokaista nelikulmiota voida piirtää ympyrään.

Ympyrään piirretyllä kuperalla nelikulmiolla on se ominaisuus, että sen vastakkaiset kulmat laskevat yhteen 180°. Jos siis annetaan nelikulmio ABCD, jossa kulma A on vastakkainen kulmaa C ja kulma B vastakkainen kulmaa D vastaan, niin ∠A + ∠C = 180° ja ∠B + ∠D = 180°.

Yleensä, jos yksi nelikulmion vastakkaisten kulmien pari summautuu 180°, toisen parin summa on sama. Tämä johtuu siitä, että kuperassa nelikulmiossa kulmien summa on aina 360°. Tämä seikka puolestaan ​​seuraa siitä tosiasiasta, että kuperille monikulmioille kulmien summa määräytyy kaavalla 180° * (n – 2), jossa n on kulmien (tai sivujen) lukumäärä.

Voit todistaa syklisen nelikulmion ominaisuuden seuraavasti. Piirretään nelikulmio ABCD ympyrään O. Meidän on todistettava, että ∠B + ∠D = 180°.

Kulma B on piirretty ympyrään. Kuten tiedät, tällainen kulma on yhtä suuri kuin puolet kaaresta, jolla se lepää. Tässä tapauksessa kulmaa B tukee kaari ADC, mikä tarkoittaa ∠B = ½◡ADC. (Koska kaari on yhtä suuri kuin sen muodostavien säteiden välinen kulma, voidaan kirjoittaa, että ∠B = ½∠AOC, jonka sisäalue sisältää pisteen D.)

Toisella puolella nelikulmion kulma D lepää kaarella ABC, eli ∠D = ½◡ABC.

Koska kulmien B ja D sivut leikkaavat ympyrän samoissa pisteissä (A ja C), ne jakavat ympyrän vain kahdeksi kaareksi - ◡ADC ja ◡ABC. Koska kokonaisen ympyrän summa on 360°, ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Siten saatiin seuraavat yhtäläisyydet:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Ilmaistaan ​​kulmien summa:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Laitetaan ½ suluista:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Korvataan kaarien summa niiden numeerisella arvolla:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Havaitsimme, että sisäänkirjoitetun nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°. Tämä oli se, mikä piti todistaa.

Se, että sisäänkirjoitetulla nelikulmiolla on tämä ominaisuus (vastakkaisten kulmien summa on 180°), ei tarkoita, että mikä tahansa nelikulmio, jonka vastakkaisten kulmien summa on 180°, voidaan piirtää ympyrään. Vaikka todellisuudessa tämä on totta. Tätä tosiasiaa kutsutaan sisäänkirjoitettu nelikulmatesti ja se on muotoiltu seuraavasti: jos kuperan nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, niin sen ympärille voidaan kuvata ympyrä (tai piirtää ympyrään).

Voit todistaa kokeen sisäänkirjoitetulle nelikulmiolle ristiriitaisesti. Olkoon nelikulmio ABCD, jonka vastakkaisten kulmien B ja D summa on 180°. Tässä tapauksessa kulma D ei ole ympyrän päällä. Ota sitten janan CD sisältävältä suoralta piste E siten, että se on ympyrän päällä. Tuloksena on syklinen nelikulmio ABCE. Tällä nelikulmolla on vastakkaiset kulmat B ja E, mikä tarkoittaa, että niiden summa on 180°. Tämä seuraa piirretyn nelikulmion ominaisuudesta.

Osoittautuu, että ∠B + ∠D = 180° ja ∠B + ∠E = 180°. Kuitenkin nelikulmion ABCD kulma D kolmion AED suhteen on ulkoinen ja siksi suurempi kuin tämän kolmion kulma E. Olemme siis päätyneet ristiriitaan. Tämä tarkoittaa, että jos nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, se voidaan aina piirtää ympyrään.

Tämä artikkeli sisältää vähimmäistiedot ympyrästä, joka vaaditaan matematiikan yhtenäisen valtionkokeen läpäisemiseen.

Ympärysmitta on joukko pisteitä, jotka sijaitsevat samalla etäisyydellä tietystä pisteestä, jota kutsutaan ympyrän keskipisteeksi.

Minkä tahansa ympyrän päällä olevan pisteen osalta yhtäläisyys täyttyy (janan pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Janaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, kutsutaan sointu.

Ympyrän keskipisteen läpi kulkevaa sointua kutsutaan halkaisija ympyrä() .

Ympärysmitta:

Ympyrän pinta-ala:

Ympyrän kaari:

Kahden pisteen välissä olevaa ympyrän osaa kutsutaan kaari ympyrät. Ympyrän kaksi pistettä määrittelevät kaksi kaarta. Sointu kattaa kaksi kaarta: ja . Yhtäsuuret sointeet muodostavat yhtäläiset kaaret.

Kahden säteen välistä kulmaa kutsutaan keskikulma :

Kaaren pituuden selvittämiseksi teemme osuuden:

a) kulma on annettu asteina:

b) kulma on annettu radiaaneina:

Halkaisija kohtisuorassa jänteeseen nähden , jakaa tämän sointeen ja sen jakamat kaaret puoliksi:

Jos sointuja Ja ympyrät leikkaavat pisteen , silloin niiden sointosegmenttien tulot, joihin ne on jaettu pisteellä, ovat keskenään yhtä suuret:

Tangentti ympyrää.

Suoraa, jolla on yksi yhteinen piste ympyrän kanssa, kutsutaan tangentti ympyrään. Suoraa, jolla on kaksi yhteistä pistettä ympyrän kanssa, kutsutaan sekantti

Ympyrän tangentti on kohtisuorassa tangenttipisteeseen piirretyn säteen suhteen.

Jos annetusta pisteestä ympyrään vedetään kaksi tangenttia, niin tangenttisegmentit ovat keskenään yhtä suuret ja ympyrän keskipiste on kulman puolittajalla kärjen kanssa tässä pisteessä:

Jos tangentti ja sekantti piirretään annetusta pisteestä ympyrään, niin tangenttisegmentin pituuden neliö on yhtä suuri kuin koko sekanttisegmentin ja sen ulkoosan tulo :

Seuraus: yhden sekantin koko segmentin ja sen ulkoosan tulo on yhtä suuri kuin toisen sekantin koko segmentin ja sen ulkoosan tulo:

Kulmat ympyrässä.

Keskikulman astemitta on yhtä suuri kuin kaaren astemitta, jolla se lepää:

Kutsutaan kulmaa, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivuilla on jänteitä merkitty kulma . Sisäänkirjoitettu kulma mitataan puolella kaaresta, johon se laskeutuu:

∠∠

Sisäänkirjoitettu kulma halkaisijalla on oikea:

∠∠∠

Yhdellä kaarella merkityt kulmat ovat yhtä suuret :

Yhtä jännettä sulkevat sisäänkirjoitetut kulmat ovat yhtä suuret tai niiden summa on yhtä suuri

∠∠

Kolmioiden kärjet, joilla on annettu kanta ja yhtä suuret kulmat kärjessä, ovat samalla ympyrällä:

Kahden sointeen välinen kulma (kulma, jonka kärki on ympyrän sisällä) on yhtä suuri kuin puolet tietyn kulman sisällä ja pystykulman sisällä olevien ympyrän kaarien kulma-arvojen summasta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Kahden sekantin välinen kulma (kulma, jonka kärki on ympyrän ulkopuolella) on yhtä suuri kuin kulman sisällä olevien ympyrän kaarien kulma-arvojen puolet.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Kirjattu ympyrä.

Ympyrä on nimeltään merkitty monikulmioon , jos se koskettaa sen reunoja. Piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsee monikulmion kulmien puolittajien leikkauspisteessä.

Kaikki polygonit eivät mahdu ympyrään.

Monikulmion alue, johon ympyrä on piirretty löytyy kaavan avulla

tässä on monikulmion puolikehä ja piirretyn ympyrän säde.

Täältä piirretty ympyrän säde on yhtä suuri

Jos ympyrä on piirretty kuperaan nelikulmioon, niin vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat yhtä suuret . Kääntäen: jos kuperassa nelikulmiossa vastakkaisten sivujen pituuksien summat ovat yhtä suuret, niin nelikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä:

Voit piirtää ympyrän mihin tahansa kolmioon, ja vain yhteen. Ympyrän keskipiste sijaitsee kolmion sisäkulmien puolittajien leikkauspisteessä.

Piirretyn ympyrän säde yhtä kuin . Tässä

Rajoitettu ympyrä.

Ympyrä on nimeltään kuvattu polygonista , jos se kulkee monikulmion kaikkien kärkien läpi. Ympyrän keskipiste on monikulmion sivujen kohtisuorien puolittajien leikkauspisteessä. Säde lasketaan ympyrän säteeksi, jonka kolmion rajaa tietyn monikulmion mitkä tahansa kolme kärkeä:

Ympyrä voidaan kuvata nelikulmion ympärillä silloin ja vain, jos sen vastakkaisten kulmien summa on yhtä suuri .

Minkä tahansa kolmion ympärillä voit kuvata ympyrän, ja vain yhtä. Sen keskipiste on kolmion sivujen kohtisuorien puolittajien leikkauspisteessä:

Circumradius lasketaan kaavoilla:

Missä ovat kolmion sivujen pituudet ja sen pinta-ala.

Ptolemaioksen lause

Syklisessä nelikulmiossa diagonaalien tulo on yhtä suuri kuin sen vastakkaisten sivujen tulojen summa:

Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta

• Euklidisessa geometriassa kaiverrettu nelikulmio on nelikulmio, jonka kaikki kärjet ovat samalla ympyrällä. Tätä ympyrää kutsutaan rajattu ympyrä nelikulmio, ja kärkien sanotaan olevan samalla ympyrällä. Tämän ympyrän keskustaa ja sen sädettä kutsutaan vastaavasti keskusta Ja säde rajattu ympyrä. Muut ehdot tälle nelikulmiolle: nelikulmio on yhdellä ympyrällä, viimeisen nelikulmion sivut ovat ympyrän jänteitä. Kupera nelikulmio oletetaan yleensä kuperaksi nelikulmioksi. Alla annetut kaavat ja ominaisuudet ovat voimassa kuperassa tapauksessa.
• He sanovat, että jos ympyrä voidaan piirtää nelikulmion ympärille, Tuo nelikulmio on merkitty tähän ympyrään, ja päinvastoin.

Yleiset kriteerit nelikulmion kirjoittamiselle

• Kuperan nelikulmion ympärillä $\backslash pi$ radiaaneja), eli:

$\backslash kulma\; A+\backslash kulma\; C\; =\; \backslash kulma\; B\; +\; \backslash kulma\; D\; =\; 180^\backslash circ$

tai kuvassa:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• On mahdollista kuvata minkä tahansa nelikulmion ympärillä oleva ympyrä, jossa sen sivujen neljä kohtisuoraa puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä (tai sen sivujen keskipisteet, eli niiden keskipisteiden kautta kulkevien sivujen kohtisuorat).
• Voit kuvata ympyrän minkä tahansa nelikulmion ympärillä, jonka vieressä on yksi ulkokulma annettu sisäinen kulma, on täsmälleen sama kuin toinen vastakkainen sisäkulma annettu sisäkulma. Pohjimmiltaan tämä tila on nelikulmion kahden vastakkaisen sivun antiparallelismin tila. Kuvassa Alla on vihreän viisikulmion ulko- ja vierekkäiset sisäkulmat.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Risteys X voi olla ympyrän sisäinen tai ulkoinen. Ensimmäisessä tapauksessa saadaan syklinen nelikulmio on ABCD, ja jälkimmäisessä tapauksessa saadaan sisäänkirjoitettu nelikulmio ABDC. Kun se leikkaa ympyrän sisällä, yhtälö ilmoittaa, että niiden osien pituuksien tulo, joissa piste X jakaa yhden diagonaalin, on yhtä suuri kuin niiden segmenttien pituuksien tulo, joissa piste X jakaa toisen diagonaalin. Tämä ehto tunnetaan "leikkaussointulauseena". Meidän tapauksessamme piirretyn nelikulmion lävistäjät ovat ympyrän jänteitä.
• Toinen sisällyttämisen kriteeri. Kupera nelikulmio ABCD ympyrä on merkitty silloin ja vain jos

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Erityiset kriteerit nelikulmion kirjoittamiselle

Yksinkertainen piirretty (ilman itseleikkauskohtaa) nelikulmio on kupera. Ympyrä voidaan kuvata kuperan nelikulmion ympärillä silloin ja vain, jos sen vastakkaisten kulmien summa on 180° ( $\backslash pi$ radiaani). Voit kuvata ympyrän ympärillä:

• mikä tahansa antiparallelogrammi
• mikä tahansa suorakulmio (erityistapaus on neliö)
• mikä tahansa tasakylkinen puolisuunnikas
• mikä tahansa nelikulmio, jolla on kaksi vastakkaista suoraa kulmaa.

Ominaisuudet

Kaavat diagonaaleilla

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

Osoittimen vierekkäisten sivujen parin viimeisessä kaavassa a Ja d, b Ja c nojaa niiden päät diagonaalisen pituuden varaan e. Samanlainen väite pätee nimittäjään.

• Kaavat diagonaalien pituuksille(seuraukset ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ Ja $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Kaavat kulmilla

Sykliselle nelikulmiolle, jossa on sivujen sarja a , b , c , d, puolikehä s ja kulma A osapuolten välillä a Ja d, trigonometriset kulmafunktiot A annetaan kaavoilla

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Kulma θ diagonaalien välissä on:s.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Jos vastakkaiset puolet a Ja c leikkaavat kulmassa φ , niin se on yhtä suuri

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Missä s siellä on puolikehä. :s.31

Nelikulmion ympärille rajatun ympyrän säde

Parameshvaran kaava

Jos nelikulmio, jolla on peräkkäiset sivut a , b , c , d ja puolikehä s piirretty ympyrään, sen säde on yhtä suuri kuin Parameshwarin kaava:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Sen johti intialainen matemaatikko Parameshwar 1400-luvulla (n. 1380–1460).

• Kupera nelikulmio (katso kuva oikealla), joka muodostuu neljästä datasta Mikelin suorat linjat, on piirretty ympyrään silloin ja vain, jos Mikel-piste M nelikulmion on suoralla, joka yhdistää kaksi kuudesta viivojen leikkauspisteestä (ne, jotka eivät ole nelikulmion kärjet). Eli milloin M makaa päällä E.F..

Kriteeri, jonka mukaan kahdesta kolmiosta muodostuva nelikulmio on piirretty tiettyyn ympyrään

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Viimeinen ehto antaa diagonaalin lausekkeen f nelikulmio, joka on piirretty ympyrään sen neljän sivun pituuksien kautta ( a, b, c, d). Tämä kaava seuraa välittömästi, kun kerrotaan ja rinnastetaan toisiinsa olemusta ilmaisevien kaavojen vasen ja oikea osa Ptolemaioksen ensimmäinen ja toinen lause(Katso edellä).

Kriteeri, jonka mukaan kolmiosta suoralla viivalla leikattu nelikulmio on merkitty tiettyyn ympyrään

• Kolmion sivulle vastakkainen ja sen leikkaava suora katkaisee siitä nelikulmion, jonka ympärille voidaan aina kuvata ympyrä.
• Seuraus. Antirinnakkaiskuvan ympärille, jossa kaksi vastakkaista puolta ovat vastakkaisia, on aina mahdollista kuvata ympyrä.

Ympyrään piirretyn nelikulmion pinta-ala

Brahmaguptan kaavan muunnelmia

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ missä p on nelikulmion puolikehä. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Muut aluekaavat

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Missä θ mikä tahansa diagonaalien välinen kulma. Edellyttäen, että kulma A ei ole suora, pinta-ala voidaan ilmaista myös muodossa :s.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Missä R on ympyrän säde. Suorana seurauksena meillä on eriarvoisuus

$S\backslash le\; 2R^2,$

missä yhtäläisyys on mahdollista jos ja vain jos tämä nelikulmio on neliö.

Brahmaguptan nelikulmiot

Brahmaguptan nelikulmio on nelikulmio, joka on piirretty ympyrään, jonka sivujen pituudet, lävistäjät ja pinta-ala on kokonaisluku. Kaikki mahdolliset Brahmaguptan nelikulmiot, joissa on sivut a , b , c , d, diagonaaleilla e , f, pinta-alalla S, ja rajatun ympyrän säde R voidaan saada poistamalla nimittäjät seuraavista lausekkeista, jotka sisältävät rationaalisia parametreja t , u, Ja v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Esimerkkejä

• Tietyt ympyrään piirretyt nelikulmiot ovat: suorakulmio, neliö, tasakylkinen tai tasakylkinen puolisuunnikas, vastarinnakkais.

Nelikulmat, jotka on piirretty ympyrään, jossa on kohtisuorat lävistäjät (kirjoitetut ortodiagonaaliset nelikulmiot)

Ympyrään, jossa on kohtisuorat lävistäjät, piirrettyjen nelikulmien ominaisuudet

Ympäryssäde ja pinta-ala

Jos nelikulmio on piirretty ympyrään, jolla on kohtisuorat lävistäjät, oletetaan, että lävistäjien leikkauspiste jakaa yhden diagonaalin pituisiksi segmenteiksi s 1 ja s 2, ja jakaa toisen diagonaalin pituussegmenteiksi q 1 ja q 2. Sitten (ensimmäinen yhtäläisyys on Arkhimedesen lause 11" Lemmien kirja)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Missä D- ympyrän halkaisija. Tämä on totta, koska diagonaalit ovat kohtisuorassa ympyrän jänteeseen nähden. Näistä yhtälöistä seuraa, että rajatun ympyrän säde R voidaan kirjoittaa nimellä

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

tai muodossa olevan nelikulmion sivuina

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Siitä seuraa myös

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Brahmaguptan lause pätee sisäänkirjoitetuille poikkikulmaisille nelikulmioille:

Jos syklisellä nelikulmiolla on kohtisuorat diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä $M$, sitten kaksi paria sitä antimediatris kulkea pisteen läpi $M$.

Kommentti. Tässä lauseessa alla antimediatrix ymmärtää segmenttiä $F.E.$ nelikulmio oikealla olevassa kuvassa (analogisesti kohtisuoran puolittajan (mediatriisi) kanssa kolmion sivulla). Se on kohtisuorassa toiselle sivulle ja samalla kulkee nelikulmion vastakkaisen puolen keskeltä.

Kirjoita arvostelu artikkelista "Ympyrään piirretyt nelikulmat"

Huomautuksia

1. Bradley, Christopher J. (2007), Geometrian algebra: suorakulmaiset, alueelliset ja projektiiviset koordinaatit,Highperception, s. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Piirretyt nelikulmiot.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929) Trigonometria, Cambridge University Press, s. 202, O.C.L.C.
4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Edistynyt euklidinen geometria, Dover Publ., 2007 (alkuperäinen 1929).
7. Hoehn, Larry (maaliskuu 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Matemaattinen lehti T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan(2. painos), Courier Dover, s. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa, voi. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited, Mathematical Association of America, s. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Matemaattisten olympialaisten aarteet, Springer, s. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Australian Mathematical Societyn tiedote T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Edistynyt euklidinen geometria, Dover Publ. Co., 2007
21. , Kanssa. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (syyskuu 2003), "Nelikulman alueen maksimointi", College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, s. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Haastavat geometrian ongelmat(2. painos), Courier Dover, s. 104-5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

Katso myös

Sivujen lukumäärän mukaan Oikea Kolmiot Nelikulmat Katso myös

Artikkeli sisältää lyhyitä ("Harvard") viittauksia julkaisuihin, joita ei ole lueteltu tai kuvattu väärin bibliografisessa osassa. Luettelo rikkinäisistä linkeistä: , , , , , , , , , – No mitä, kasakkani? (Maria Dmitrievna kutsui Natashaa kasakoksi) - hän sanoi hyväillen Natashaa kädellä, joka lähestyi hänen kättään ilman pelkoa ja iloisesti. – Tiedän, että juoma on tyttö, mutta rakastan häntä. Hän otti päärynän muotoiset yakhon-korvakorut valtavasta verkkosuunnastaan ​​ja antoi ne Natashalle, joka säteili ja punastui syntymäpäiväänsä, kääntyi välittömästi pois hänestä ja kääntyi Pierren puoleen. - Eh, eh! kiltti! "Tule tänne", hän sanoi teeskennellysti hiljaisella ja ohuella äänellä. - Tule, kultaseni... Ja hän kääri uhkaavasti hihat vielä korkeammalle. Pierre lähestyi häntä naiivisti katsoen häntä lasiensa läpi. - Tule, tule, kultaseni! Olin ainoa, joka kertoi isällesi totuuden, kun hänellä oli mahdollisuus, mutta Jumala käskee sen sinulle. Hän pysähtyi. Kaikki olivat hiljaa, odottivat mitä tapahtuisi ja tunsivat, että oli vain esipuhe. - Hyvä, ei mitään sanottavaa! hyvä poika!... Isä makaa sängyllään, ja hän huvittaa itseään, laittaa poliisin karhun selkään. Se on sääli, isä, se on sääli! Olisi parempi lähteä sotaan. Hän kääntyi pois ja ojensi kätensä kreiville, joka tuskin hillitsi itseään nauramasta. - No, tule pöytään, juon teetä, onko aika? - sanoi Marya Dmitrievna. Kreivi käveli edellä Marya Dmitrievnan kanssa; sitten kreivitär, jota johti husaari eversti, oikea henkilö, jonka kanssa Nikolain oli tarkoitus saada rykmentti kiinni. Anna Mikhailovna - Shinshinin kanssa. Berg kätteli Veraa. Hymyilevä Julie Karagina meni Nikolain kanssa pöytään. Heidän takanaan tulivat muut pariskunnat, jotka ulottuivat koko salin poikki, ja heidän takanaan yksi kerrallaan lapsia, opettajia ja kasvattajia. Tarjoilijat alkoivat hämmentää, tuolit kolisevat, musiikki alkoi soida kuorossa ja vieraat asettuivat paikoilleen. Kreivin kotimusiikin äänet korvattiin veitsien ja haarukoiden äänellä, vieraiden puheella ja tarjoilijoiden hiljaisilla askeleilla. Pöydän toisessa päässä kreivitär istui kärjessä. Oikealla on Marya Dmitrievna, vasemmalla Anna Mikhailovna ja muut vieraat. Toisessa päässä istui kreivi, vasemmalla husaari eversti, oikealla Shinshin ja muut miesvieraat. Pitkän pöydän toisella puolella vanhemmat nuoret: Vera Bergin vieressä, Pierre Boriksen vieressä; toisaalta - lapset, tutorit ja ohjaajat. Kristallin, pullojen ja hedelmämaljakoiden takaa kreivi katsoi vaimoaan ja hänen pitkää, sinisillä nauhoilla varusteltua hattuaan ja kaatoi ahkerasti viiniä naapureilleen unohtamatta itseään. Myös kreivitär ananasten takaa, unohtamatta kotiäidin velvollisuuksiaan, katsoi merkitsevästi aviomieheensä, jonka kalju pää ja kasvot, hänestä tuntuivat, erosivat jyrkämmin harmaista hiuksistaan. Naisten päässä kuului tasaista pulinaa; miestenhuoneessa kuului yhä kovemmin ääniä, varsinkin husaari eversti, joka söi ja joi niin paljon, punastuen yhä enemmän, että kreivi oli jo asettamassa häntä esimerkkinä muille vieraille. Berg puhui lempeästi hymyillen Veralle, että rakkaus ei ole maallinen, vaan taivaallinen tunne. Boris nimesi uuden ystävänsä Pierren vieraiksi pöydässä ja vaihtoi katseita häntä vastapäätä istuvan Natashan kanssa. Pierre puhui vähän, katsoi uusia kasvoja ja söi paljon. Aloittaen kahdesta keitosta, joista hän valitsi a la tortuen, [kilpikonnan] ja kulebyakin sekä pähkinän riekon, hän ei jäänyt kaipaamaan yhtäkään ruokaa eikä yhtäkään viiniä, jonka hovimestari pisti salaperäisesti lautasliinaan käärittyyn pulloon. naapurin olkapään takaa sanoen "kuiva Madeira", "unkarilainen" tai "reinin viini". Hän asetti ensimmäisen neljästä kristallilasista, joissa oli kreivin monogrammi, joka seisoi jokaisen laitteen edessä, ja joi mielihyvin katsoen vieraita yhä miellyttävämmällä ilmeellä. Häntä vastapäätä istuva Natasha katsoi Borisia samalla tavalla kuin 13-vuotiaat tytöt katsovat poikaa, jonka kanssa he olivat juuri suudella ensimmäistä kertaa ja johon he ovat rakastuneita. Tämä sama hänen katseensa kääntyi toisinaan Pierreen, ja tämän hauskan, eloisan tytön katseen alla hän halusi nauraa itse, tietämättä miksi. Nikolai istui kaukana Sonyasta, Julie Karaginan viereen, ja taas puhui hänelle samalla tahattomalla hymyllä. Sonya hymyili suurenmoisesti, mutta ilmeisesti mustasukkaisuus piinasi: hän kalpeni, punastui ja kuunteli kaikin voimin, mitä Nikolai ja Julie sanoivat toisilleen. Governess katsoi ympärilleen levottomana, ikään kuin valmistautuessaan taistelemaan vastaan, jos joku päättäisi loukata lapsia. Saksalainen tutor yritti oppia ulkoa kaikenlaisia ​​ruokia, jälkiruokia ja viinejä kuvaillakseen kaiken yksityiskohtaisesti perheelleen Saksaan lähettämässään kirjeessä, ja oli erittäin loukkaantunut siitä, että hovimestari kantoi lautasliinaan käärittyä pullaa. hänet ympärillä. Saksalainen rypisti kulmiaan, yritti osoittaa, ettei hän halunnut saada tätä viiniä, mutta loukkaantui, koska kukaan ei halunnut ymmärtää, että hän ei tarvinnut viiniä sammuttamaan janoaan, ei ahneudesta, vaan tunnollisesta uteliaisuudesta. Pöydän miesten päässä keskustelu muuttui yhä vilkkaammaksi. Eversti kertoi, että sodanjulistusmanifesti oli jo julkaistu Pietarissa ja että hänen itsensä näkemä kopio oli nyt toimitettu kuriirin välityksellä ylipäälliköksi. - Ja miksi meidän on vaikea taistella Bonapartea vastaan? - sanoi Shinshin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [Hän on jo kukistanut Itävallan ylimielisyyden. Pelkään, ettei meidän vuoromme nyt tulisi.] Eversti oli jäykkä, pitkä ja sanguine saksalainen, ilmeisesti palvelija ja isänmaallinen. Hän loukkaantui Shinshinin sanoista. "Ja sitten olemme hyvä suvereeni", hän sanoi lausuen e:n e:n sijaan ja ъ:n ь:n sijaan. "Sitten, että keisari tietää tämän, Hän sanoi manifestissaan, että hän voi katsoa välinpitämättömästi Venäjää uhkaavia vaaroja ja että imperiumin turvallisuus, sen arvokkuus ja liittoutumien pyhyys", hän sanoi jostain syystä korostaen erityisesti Venäjää. sana "liitot", ikään kuin tämä olisi koko asian ydin. Ja hänelle ominaisella erehtymättömällä, virallisella muistilla hän toisti manifestin avaussanat... "ja toiveen, suvereenin ainoan ja välttämättömän päämäärän: rauhan luominen Eurooppaan vankalle perustalle - he päättivät nyt lähettää osan armeija ulkomaille ja tehdä uusia ponnisteluja tämän tarkoituksen saavuttamiseksi. "Siksi olemme hyvä suvereeni", hän päätti, juomalla rakentavasti lasin viiniä ja katsoen takaisin kreiviin rohkaisevasti. – Connaissez vous le proverbe: [Tiedät sananlaskun:] "Erema, Erema, sinun pitäisi istua kotona, teroittaa karat", sanoi Shinshin vinkuen ja hymyillen. – Cela nous convient a merveille. [Tämä on hyödyllistä meille.] Miksi Suvorov - he pilkkoivat hänet, lautasmalli, [päähän,] ja missä meidän Suvorovimme ovat nyt? Je vous demande un peu, [kysyn sinua,] - hän sanoi hyppien jatkuvasti venäjästä ranskaan. "Meidän täytyy taistella viimeiseen veripisaraan asti", sanoi eversti lyöden pöytää, "ja kuolla keisarimme puolesta, niin kaikki on hyvin." Ja väitellä niin paljon kuin mahdollista (hän ​​korosti äänensä erityisesti sanalla "mahdollinen"), niin vähän kuin mahdollista", hän lopetti ja kääntyi jälleen kreiviin. "Näin me tuomitsemme vanhat husaarit, siinä kaikki." Miten tuomitsette, nuori mies ja nuori husaari? - hän lisäsi kääntyen Nikolain puoleen, joka kuultuaan, että kyse oli sodasta, jätti keskustelukumppaninsa ja katsoi kaikilla silmillään ja kuunteli everstiä kaikilla korvillaan. "Olen täysin samaa mieltä kanssasi", vastasi Nikolai punastuneena, käänsi lautasta ja järjesti lasit uudelleen niin päättäväisellä ja epätoivoisella ilmeellä, ikään kuin hän olisi tällä hetkellä alttiina suurelle vaaralle, "olen vakuuttunut siitä, että venäläisten täytyy kuolla. tai voita”, hän sanoi tunteen samalla tavalla kuin muut, kun sana oli jo sanottu, että se oli liian innostunut ja mahtipontinen tähän tilaisuuteen ja siksi hankala. "C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Ihanaa! Se, mitä sanoit, on upeaa]", sanoi Julie, joka istui hänen vieressään ja huokaisi. Sonya vapisi kaikkialta ja punastui korviin asti, korvien takaa ja niskaan ja hartioihin, Nikolain puhuessa Pierre kuunteli everstin puheita ja nyökkäsi hyväksyvästi päätään. "Se on mukavaa", hän sanoi. "Todellinen husaari, nuori mies", huusi eversti ja löi jälleen pöytää. -Mitä sinä siellä meluat? – Marya Dmitrievnan basson ääni kuului yhtäkkiä pöydän toisella puolella. - Miksi koputat pöytään? - hän kääntyi husaarin puoleen, - kenestä sinä innostut? oikein, luuletko, että ranskalaiset ovat edessäsi? "Puhun totta", sanoi husaari hymyillen. "Kaikki sodasta", kreivi huusi pöydän toisella puolella. - Loppujen lopuksi poikani on tulossa, Marya Dmitrievna, poikani on tulossa. - Ja minulla on neljä poikaa armeijassa, mutta en vaivaudu. Kaikki on Jumalan tahtoa: kuolet liedellä makaamalla, ja taistelussa Jumala armahtaa”, Marya Dmitrievnan paksu ääni kuului vaivattomasti pöydän toisesta päästä. - Tämä on totta. Ja keskustelu keskittyi taas - naiset pöydän päähän, miehet hänen. "Mutta sinä et kysy", sanoi pikkuveli Natashalle, "mutta et kysy!" "Minä kysyn", Natasha vastasi. Hänen kasvonsa punastuivat yhtäkkiä ja ilmaisivat epätoivoista ja iloista päättäväisyyttä. Hän nousi ylös ja kutsui vastapäätä istuvaa Pierreä kuuntelemaan ja kääntyi äitinsä puoleen: - Äiti! – hänen lapsellinen, röyhkeä äänensä kuului pöydän poikki. - Mitä haluat? – kreivitär kysyi peloissaan, mutta nähtyään tyttärensä kasvoista, että kyseessä oli pila, hän heilutti ankarasti kättään ja teki päällään uhkaavan ja kielteisen eleen. Keskustelu vaimeni. - Äiti! millainen kakku siitä tulee? – Natashan ääni kuulosti vielä päättäväisemmin, murtumatta. Kreivitär halusi rypistää kulmiaan, mutta ei voinut. Marya Dmitrievna pudisti paksua sormeaan. "Kasakka", hän sanoi uhkaavasti. Suurin osa vieraista katsoi vanhimpia tietämättä kuinka ottaa tämä temppu. - Tässä minä olen! - sanoi kreivitär. - Äiti! millainen kakku tulee? - Natasha huusi rohkeasti ja oikukas iloisesti, luottaen etukäteen, että hänen kepposensa otettaisiin hyvin vastaan. Sonya ja lihava Petya piiloutuivat naurusta. "Siksi kysyin", Natasha kuiskasi pikkuveljelleen ja Pierrelle, joita hän katsoi uudelleen. "Jäätelöä, mutta he eivät anna sitä sinulle", sanoi Marya Dmitrievna. Natasha näki, ettei ollut mitään pelättävää, ja siksi hän ei pelännyt Marya Dmitrievnaa. - Marya Dmitrievna? mitä jäätelöä! En pidä kermasta. - Porkkana. - Ei, kumpi? Marya Dmitrievna, mikä? – hän melkein huusi. - Haluan tietää! Marya Dmitrievna ja kreivitär nauroivat, ja kaikki vieraat seurasivat heitä. Kaikki eivät nauraneet Marya Dmitrievnan vastaukselle, vaan tämän tytön käsittämättömälle rohkeudelle ja näppäryydelle, joka tiesi kuinka ja uskalsi kohdella Marya Dmitrievnaa sillä tavalla. Natasha jäi jälkeen vasta, kun hänelle kerrottiin, että siellä olisi ananasta. Samppanja tarjoiltiin ennen jäätelöä. Musiikki alkoi taas soida, kreivi suuteli kreivitärtä, ja vieraat nousivat seisomaan ja onnittelivat kreivitärtä, kolkuttaen laseja pöydän poikki kreivin, lasten ja toistensa kanssa. Tarjoilijat juoksivat jälleen sisään, tuolit kolisevat, ja samassa järjestyksessä, mutta punaisemmilla kasvoilla, vieraat palasivat saliin ja kreivin toimistoon. Bostonin pöydät siirrettiin erilleen, juhlat järjestettiin ja kreivin vieraat asettuivat kahteen olohuoneeseen, sohvahuoneeseen ja kirjastoon. Kreivi viuhkaili korttejaan tuskin vastustaa tapaa ottaa iltapäivätorkut ja nauroi kaikelle. Nuoret kokoontuivat kreivittären kiihottamana klavikordin ja harpun ympärille. Julie oli ensimmäinen, joka soitti kaikkien pyynnöstä kappaleen, jossa oli muunnelmia harpulle, ja alkoi yhdessä muiden tyttöjen kanssa pyytää musikaalisuudestaan ​​tunnettuja Natashaa ja Nikolaita laulamaan jotain. Isoksi tytöksi kutsuttu Natasha oli ilmeisesti tästä erittäin ylpeä, mutta samalla arka. - Mitä me laulamme? - hän kysyi. "Avain", vastasi Nikolai. - No, kiirehditään. Boris, tule tänne", Natasha sanoi. - Missä Sonya on? Hän katseli ympärilleen ja näki, että hänen ystävänsä ei ollut huoneessa, juoksi hänen perässään. Natasha juoksi Sonyan huoneeseen eikä löytänyt sieltä ystäväänsä, ja juoksi lastenhuoneeseen - eikä Sonya ollut siellä. Natasha tajusi, että Sonya oli käytävällä rinnassa. Käytävän arkku oli Rostovin talon nuoremman naissukupolven surujen paikka. Todellakin, Sonya ilmavassa vaaleanpunaisessa mekossaan, murskaten sen, makasi kasvot alaspäin lastenhoitajansa likaiselle raidalliselle höyhensängylle, rinnalle ja peitti kasvonsa sormillaan, itki katkerasti ravistellen paljaita olkapäitään. Natashan animoidut kasvot, joilla oli syntymäpäivä koko päivän, muuttuivat yhtäkkiä: hänen silmänsä pysähtyivät, sitten hänen leveä kaulansa vapisi, hänen huulten kulmat roikkuivat. - Sonya! mikä sinä olet?...Mitä, mikä sinua vaivaa? Vau vau!… Ja Natasha, joka avasi suuren suunsa ja tuli täysin tyhmäksi, alkoi karjua kuin lapsi, tietämättä syytä ja vain siksi, että Sonya itki. Sonya halusi nostaa päätään, halusi vastata, mutta hän ei voinut ja piiloutui vielä enemmän. Natasha itki, istui siniselle höyhensängylle ja halasi ystäväänsä. Kerättyään voimansa Sonya nousi seisomaan, alkoi pyyhkiä kyyneleensä ja kertoa tarinaa. - Nikolenka lähtee viikon päästä, hänen... paperinsa... tuli ulos... hän kertoi minulle itse... Kyllä, en silti itkisi... (hän ​​näytti paperin, jota hän piti kädessään) hänen kätensä: se oli Nikolain kirjoittamaa runoutta) En silti itkisi, mutta sinä et sinä voi... kukaan ei voi ymmärtää... millainen sielu hänellä on. Ja hän alkoi taas itkeä, koska hänen sielunsa oli niin hyvä. "Sinä tunnet olosi hyväksi... En kadehdi sinua... Rakastan sinua ja myös Borisia", hän sanoi ja keräsi hieman voimia, "hän on söpö... sinulle ei ole esteitä." Ja Nikolai on serkkuni... Tarvitsen... itse metropoliitin... ja se on mahdotonta. Ja sitten, jos äiti... (Sonya harkitsi kreivitärtä ja soitti äidilleen), hän sanoo, että pilaan Nikolain uran, minulla ei ole sydäntä, että olen kiittämätön, mutta todella... Jumalan tähden... (hän ristisi itsensä) Minäkin rakastan häntä niin paljon, ja teitä kaikkia, vain Vera... Miksi? Mitä minä tein hänelle? Olen niin kiitollinen sinulle, että uhraisin mielelläni kaiken, mutta minulla ei ole mitään... Sonya ei voinut enää puhua ja kätki jälleen päänsä käsiinsä ja höyhensänkyyn. Natasha alkoi rauhoittua, mutta hänen kasvoillaan näkyi, että hän ymmärsi ystävänsä surun tärkeyden. - Sonya! - hän sanoi yhtäkkiä, ikään kuin hän olisi arvannut serkkunsa surun todellisen syyn. – Aivan, Vera puhui kanssasi lounaan jälkeen? Joo? – Kyllä, Nikolai itse kirjoitti nämä runot, ja minä kopioin muita; Hän löysi ne pöydältäni ja sanoi, että hän näyttäisi ne äidille, ja sanoi myös, että olin kiittämätön, että äiti ei koskaan salli hänen mennä naimisiin kanssani, ja hän menisi naimisiin Julien kanssa. Näet kuinka hän on hänen kanssaan koko päivän... Natasha! Minkä vuoksi?… Ja taas hän itki katkerammin kuin ennen. Natasha nosti hänet ylös, halasi häntä ja hymyillen kyynelten läpi alkoi rauhoittaa häntä. - Sonya, älä usko häntä, kulta, älä usko häntä. Muistatko kuinka me kaikki kolme puhuimme Nikolenkan kanssa sohvahuoneessa; muistatko illallisen jälkeen? Loppujen lopuksi päätimme kaiken miten se tulee olemaan. En muista miten, mutta sinä muistat kuinka kaikki oli hyvin ja kaikki oli mahdollista. Shinshin-sedän veli on naimisissa serkun kanssa, ja me olemme kakkosserkkuja. Ja Boris sanoi, että tämä on hyvin mahdollista. Tiedätkö, kerroin hänelle kaiken. Ja hän on niin älykäs ja niin hyvä", Natasha sanoi... "Sinä, Sonya, älä itke, kultaseni, Sonya." - Ja hän suuteli häntä nauraen. - Usko on paha, Jumala siunatkoon häntä! Mutta kaikki tulee olemaan hyvin, eikä hän kerro äidille; Nikolenka sanoo sen itse, eikä hän edes ajatellut Julieta. Ja hän suuteli häntä päähän. Sonya nousi seisomaan, ja kissanpentu piristyi, hänen silmänsä loistivat, ja hän näytti olevan valmis heiluttamaan häntäänsä, hyppäämään pehmeille tassuilleen ja leikkiä pallolla taas, kuten hänelle sopi. - Luulet? Eikö? Jumalan toimesta? – hän sanoi, suoristaen nopeasti mekkoaan ja hiuksiaan. - Todellakin, Jumalalta! – Natasha vastasi suoristaen hajallaan olevan karkean hiussäteen ystävänsä punoksen alle. Ja he molemmat nauroivat. - No, mennään laulamaan "The Key". - Mennään. "Tiedätkö, tämä lihava Pierre, joka istui minua vastapäätä, on niin hauska!" – Natasha sanoi yhtäkkiä pysähtyen. - Minulla on hauskaa! Ja Natasha juoksi käytävää pitkin. Sonya, ravistelemalla nukkaa ja piilottaen runot rintaansa, kaulaansa asti ulkonevilla rintaluuilla, kevyin, iloisin askelin, punoittuin kasvoin, juoksi Natashan perässä käytävää pitkin sohvalle. Vieraiden pyynnöstä nuoret lauloivat "Key"-kvartettia, josta kaikki todella pitivät; sitten Nikolai lauloi uudelleen oppimansa laulun. Mukavana yönä kuunvalossa, Kuvittele itsesi onnellisena Että maailmassa on vielä joku, Kuka ajattelee myös sinua! Kuten hän kauniilla kädellään, Kultaista harppua pitkin kävellen, Intohimoisella harmonialla Kutsuu itsekseen, kutsuu sinua! Vielä päivä tai kaksi ja taivas tulee... Mutta ah! ystäväsi ei elä! Eikä hän ollut vielä laulanut viimeisiä sanoja, kun nuoret salissa valmistautuivat tanssimaan ja kuorossa muusikot alkoivat koputtaa jalkojaan ja yskiä. Pierre istui olohuoneessa, jossa Shinshin ikään kuin ulkomailta tulleen vieraan kanssa aloitti hänen kanssaan Pierrelle tylsän poliittisen keskustelun, johon muut liittyivät. Kun musiikki alkoi soida, Natasha astui olohuoneeseen ja meni suoraan Pierren luo nauraen ja punastuen ja sanoi: - Äiti käski pyytää sinua tanssimaan. "Pelkään sekoittavani luvut", sanoi Pierre, "mutta jos haluat olla opettajani..." Ja hän ojensi paksua kätensä laihalle tytölle laskeen sen alas. Kun pariskunnat asettuivat ja muusikot asettuivat riviin, Pierre istuutui pienen neitinsä kanssa. Natasha oli täysin onnellinen; hän tanssi ison kanssa, ulkomailta tulleen kanssa. Hän istui kaikkien edessä ja puhui hänelle kuin iso tyttö. Hänellä oli kädessään tuuletin, jota eräs nuori nainen oli antanut hänen pitää. Ja ottaessaan maallisimman asennon (Jumala tietää, missä ja milloin hän oppi tämän), hän tuuletti itseään ja hymyili viuhkan läpi, puhui herrasmiehelleen. - Mikä se on, mikä se on? Katso, katso", sanoi vanha kreivitär kulkiessaan salin läpi ja osoittaen Natashaa. Natasha punastui ja nauroi. - No, entä sinä, äiti? No, minkälaista metsästystä etsit? Mikä tässä on yllättävää? Kolmannen ekosession puolivälissä olohuoneen tuolit, jossa kreivi ja Marya Dmitrievna leikkivät, alkoivat liikkua, ja suurin osa kunniavieraista ja vanhuksista venytteli pitkän istunnon jälkeen ja laittoi lompakoita ja kukkaroita. taskuissaan, kävelivät ulos salin ovista. Marya Dmitrievna käveli edellä kreivin kanssa - molemmat iloisin kasvoin. Kreivi ojensi leikkisällä kohteliaasti baletin tavoin pyöristetyn kätensä Marya Dmitrievnalle. Hän suoriutui, ja hänen kasvonsa loistivat erityisen rohkea, ovela hymy, ja heti kun ekosaisen viimeinen hahmo oli tanssittu, hän taputti käsiään muusikoille ja huusi kuorolle puhuen ensimmäistä viulua: - Semjon! Tunnetko Danila Kuporin? Tämä oli kreivin suosikkitanssi, jota hän tanssi nuoruudessaan. (Danilo Kupor oli itse asiassa yksi kulmien hahmo.) "Katsokaa isää", Natasha huusi koko salille (täysin unohtaen, että hän tanssi ison kanssa), taivutti kiharan päänsä polvilleen ja purskahti soivaan nauruunsa koko salissa. Todellakin, kaikki salissa katsoivat hymyillen ilosta iloista vanhaa miestä, joka arvokkaan rouvansa, häntä pidemmän Marya Dmitrievnan vieressä, kietoi käsivarsiaan, ravisteli niitä ajoissa, suoritti olkapäitään, väänteli kätensä. jalkoja, hieman lyömällä jalkojaan, ja yhä kukkivampi hymy pyöreillä kasvoillaan, hän valmisteli yleisöä tulevaan. Heti kun Danila Kuporin iloiset, uhmakkaat äänet kuuluivat iloisen chatterboxin kaltaisena, kaikki salin ovet täyttyivät yhtäkkiä toiselta puolelta miesten kasvot ja toisella puolella naisten hymyilevät palvelijoiden kasvot, jotka tulivat ulos katso iloista mestaria. - Isä on meidän! Kotka! – lastenhoitaja sanoi äänekkäästi yhdestä ovesta. Kreivi tanssi hyvin ja tiesi sen, mutta hänen rouvansa ei osannut eikä halunnut tanssia hyvin. Hänen valtava ruumiinsa seisoi pystyssä ja hänen voimakkaat kätensä riippuvat alaspäin (hän ​​ojensi verkkokalvon kreivitärelle); vain hänen ankarat mutta kauniit kasvonsa tanssivat. Se, mikä ilmaistui kreivin koko pyöreässä hahmossa, Marya Dmitrievnassa ilmaistui vain yhä hymyilevänä kasvoina ja nykivänä nenänä. Mutta jos kreivi, joka muuttui yhä tyytymättömämmäksi, kiehtoi yleisön pehmeiden jalkojensa kevyillä käännöillä ja kevyillä hyppyillä, Marya Dmitrievna, jolla oli pienintäkään intoa liikutellessaan olkapäitään tai pyöritellen käsiään vuorotellen ja leimaamalla, ei tehnyt mitään. vähemmän vaikutelman ansioista, mitä kaikki arvostivat hänen lihavuuttaan ja jatkuvasti läsnä olevaa vakavuutta. Tanssi muuttui yhä eloisammaksi. Kollegat eivät kyenneet herättämään huomiota hetkeäkään eivätkä edes yrittäneet tehdä sitä. Kreivi ja Marya Dmitrievna miehittivät kaiken. Natasha veti hihoista ja mekoista kaikilta läsnä olevilta, jotka jo pitivät katseensa tanssijoissa, ja vaati heitä katsomaan isää. Tanssin välissä kreivi hengitti syvään, heilutti ja huusi muusikoille soittamaan nopeasti. Nopeammin, nopeammin ja nopeammin, nopeammin ja nopeammin ja nopeammin, laskenta avautui, nyt varpailla, nyt kantapäässä, ryntäsi Marya Dmitrievnan ympäri ja lopulta käänsi naisensa paikalleen, otti viimeisen askeleen nostaen pehmeän jalkansa ylös. takana, taivuttaa hikinen päätään hymyillen ja heiluttaa oikeaa kättään pyöreästi suosionosoitusten ja naurun myrskyjen keskellä, erityisesti Natashalta. Molemmat tanssijat pysähtyivät, huohottivat raskaasti ja pyyhkivät itseään kambriisilla nenäliinoilla. "Näin he tanssivat meidän aikanamme, ma chere", sanoi kreivi. - Kyllä Danila Kupor! – Marya Dmitrijevna sanoi päästäen henkeä raskaasti ja pitkään ja käärien hihat. Kun Rostovit tanssivat salissa kuudetta englaista väsyneiden muusikoiden äänien tahdissa, ja väsyneet tarjoilijat ja kokit valmistelivat illallista, kuudes isku iski kreivi Bezukhyn. Lääkärit ilmoittivat, ettei toipumisesta ollut toivoa; potilaalle annettiin hiljainen tunnustus ja ehtoollinen; he olivat valmistautumassa häkkiin, ja talossa oli vilskettä ja odotuksen ahdistusta, joka on yleistä sellaisina hetkinä. Talon ulkopuolella, porttien takana, hautausmiehiä tungosta, piiloutuen lähestyviltä vaunuilta odottaen runsasta tilausta kreivin hautajaisiin. Moskovan ylipäällikkö, joka lähetti jatkuvasti adjutantteja tiedustelemaan kreivin asemaa, tuli sinä iltana itse sanomaan hyvästit kuuluisalle Katariinan aatelismiehelle, kreivi Bezukhimille. Upea vastaanottohuone oli täynnä. Kaikki nousivat kunnioittavasti seisomaan, kun ylipäällikkö, ollut noin puoli tuntia potilaan kanssa kahdestaan, tuli sieltä ulos, käänsi hieman jousia ja yritti mahdollisimman nopeasti ohittaa lääkäreiden, papiston ja sukulaisten katseet. kiinnitetty häneen. Prinssi Vasily, joka oli laihtunut ja kalpea näiden päivien aikana, näki ylipäällikön pois ja toisti hänelle hiljaa jotakin useita kertoja. Päällikköstä erotettuaan prinssi Vasily istui yksin salin tuolille, ristiin jalkansa korkealle, lepää kyynärpäänsä polvellaan ja sulki silmänsä kädellä. Istuttuaan tällä tavalla jonkin aikaa, hän nousi seisomaan ja käveli epätavallisen kiireisin askelin, pelästynein silmin ympärilleen katsellen pitkän käytävän läpi talon takaosaan, vanhimman prinsessan luo. Hämärässä valaistussa huoneessa olevat puhuivat epätasaisesti kuiskaten toisilleen ja vaikenivat joka kerta ja katselivat kysymystä ja odotusta täynnä olevat silmät takaisin oveen, joka johti kuolevaisen miehen kammioihin ja kuului vaimean äänen, kun joku tuli ulos. siitä tai syöttänyt sen. "Ihmisraja", sanoi vanha mies, pappi, naiselle, joka istui hänen viereensä ja kuunteli häntä naiivisti, "raja on asetettu, sitä ei voi ylittää." "Mietin, onko liian myöhäistä suorittaa poisto?" - lisäten hengellisen tittelin, rouva kysyi, ikään kuin hänellä ei olisi omaa mielipidettä tästä asiasta.

KIRJETTUJA JA PYÖREÄT MONIKULMIOT,

§ 106. KIRJOITETTUJEN JA KUVAUTETTUJEN NELIKONEIDEN OMINAISUUDET.

Lause 1. Syklisen nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°.

Piirretään nelikulmio ABCD ympyrään, jonka keskipiste on O (kuva 412). Se on todistettava / A+ / C = 180° ja / B + / D = 180°.

/ A, joka on piirretty ympyrään O, mittaa 1/2 BCD.
/ C, samaan ympyrään merkittynä, mittaa 1/2 BAD.

Näin ollen kulmien A ja C summa mitataan kaarien BCD ja BAD puolisummalla, nämä kaaret muodostavat ympyrän, eli niillä on 360°.
Täältä / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Samoin se on todistettu / B + / D = 180°. Tämä voidaan kuitenkin päätellä toisella tavalla. Tiedämme, että kuperan nelikulmion sisäkulmien summa on 360°. Kulmien A ja C summa on 180°, mikä tarkoittaa, että nelikulmion kahden muun kulman summa pysyy myös 180°.

Lause 2(käänteinen). Jos nelikulmiossa kahden vastakkaisen kulman summa on yhtä suuri 180° , niin sellaisen nelikulmion ympärille voidaan kuvata ympyrä.

Olkoon nelikulmion ABCD vastakkaisten kulmien summa 180°, ts.
/ A+ / C = 180° ja / B + / D = 180° (piirustus 412).

Osoitetaan, että ympyrä voidaan kuvata sellaisen nelikulmion ympärillä.

Todiste. Tämän nelikulmion minkä tahansa 3 kärjen kautta voit piirtää ympyrän, esimerkiksi pisteiden A, B ja C kautta. Missä piste D sijaitsee?

Piste D voi ottaa vain yhden seuraavista kolmesta asennosta: olla ympyrän sisällä, olla ympyrän ulkopuolella, olla ympyrän kehällä.

Oletetaan, että kärki on ympyrän sisällä ja ottaa aseman D" (kuva 413). Sitten nelikulmiossa ABCD" on:

/ B + / D" = 2 d.

Jatkamalla sivua AD" ympyrän leikkauspisteeseen pisteessä E ja yhdistämällä pisteet E ja C, saadaan syklinen nelikulmio ABCE, jossa suoralla lauseella

/ B+ / E = 2 d.

Näistä kahdesta yhtäläisyydestä seuraa:

/ D" = 2 d - / B;
/ E = 2 d - / B;

/ D" = / E,

mutta näin ei voi olla, koska / D", joka on kolmion CD"E ulkopuolella, on oltava suurempi kuin kulma E. Siksi piste D ei voi olla ympyrän sisällä.

On myös todistettu, että kärki D ei voi ottaa asemaa D" ympyrän ulkopuolella (kuva 414).

On vielä huomioitava, että kärjen D on sijaittava ympyrän kehällä, eli yhdettävä pisteen E kanssa, mikä tarkoittaa, että ympyrä voidaan kuvata nelikulmion ABCD ympärillä.

Seuraukset. 1. Ympyrä voidaan kuvata minkä tahansa suorakulmion ympärille.

2. Ympyrä voidaan kuvata tasakylkisen puolisuunnikkaan ympärille.

Molemmissa tapauksissa vastakkaisten kulmien summa on 180°.

Lause 3. Piirretyssä nelikulmiossa vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret. Kuvataan nelikulmio ABCD ympyrän ympärillä (kuva 415), eli sen sivut AB, BC, CD ja DA ovat tämän ympyrän tangentteja.

On todistettava, että AB + CD = AD + BC. Merkitään tangenttipisteitä kirjaimilla M, N, K, P. Yhdestä pisteestä ympyrään piirrettyjen tangenttien ominaisuuksien perusteella (§ 75) saadaan:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Lisätään nämä yhtäläisyydet termi kerrallaan. Saamme:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

eli AB + CD = AD + BC, mikä oli todistettava.

Harjoitukset.

1. Jaksottaisessa nelikulmiossa kaksi vastakkaista kulmaa ovat suhteessa 3:5,
ja kaksi muuta ovat suhteessa 4:5. Määritä näiden kulmien suuruus.

2. Kuvatussa nelikulmassa kahden vastakkaisen sivun summa on 45 cm. Loput kaksi sivua ovat suhteessa 0,2:0,3. Selvitä näiden sivujen pituus.