Antiderivatiivinen funktio ja määrittelemätön integraali

Fakta 1. Integrointi on differentioinnin käänteinen toiminta, nimittäin funktion palauttaminen tämän funktion tunnetusta derivaatasta. Toiminto on näin palautettu F(x) kutsutaan antijohdannainen toimintoa varten f(x).

Määritelmä 1. Toiminto F(x f(x) tietyin väliajoin X, jos kaikille arvoille x tästä aikavälistä tasa-arvo pätee F "(x)=f(x), eli tämä toiminto f(x) on antiderivatiivisen funktion johdannainen F(x). .

Esimerkiksi funktio F(x) = synti x on funktion antijohdannainen f(x) = cos x koko lukurivillä, koska mille tahansa x:n arvolle (synti x)" = (cos x) .

Määritelmä 2. Funktion epämääräinen integraali f(x) on kaikkien sen antijohdannaisten joukko. Tässä tapauksessa käytetään merkintää

∫

f(x)dx

,

missä on merkki ∫ kutsutaan integraalimerkiksi, funktioksi f(x) – integrointitoiminto ja f(x)dx – integrointi-ilmaisu.

Eli jos F(x) – jokin antijohdannainen for f(x), Tuo

∫

f(x)dx = F(x) +C

Missä C - mielivaltainen vakio (vakio).

Jotta ymmärtäisit funktion antiderivaattien joukon merkityksen määrittelemättömänä integraalina, seuraava analogia on sopiva. Olkoon ovi (perinteinen puinen ovi). Sen tehtävänä on olla "ovi". Mistä ovi on tehty? Tehty puusta. Tämä tarkoittaa, että funktion "olla ovi" integrandin, eli sen määrittelemättömän integraalin antiderivaattien joukko on funktio "olla puu + C", jossa C on vakio, joka tässä yhteydessä voi tarkoittaa esimerkiksi puun tyyppiä. Aivan kuten ovi valmistetaan puusta joillakin työkaluilla, funktion johdannainen "valmistetaan" antiderivaatisesta funktiosta käyttämällä kaavoja, jotka opimme tutkiessamme derivaatta .

Sitten yleisten esineiden ja niitä vastaavien antijohdannaisten taulukko ("olla ovi" - "olla puu", "olla lusikka" - "olla metalli" jne.) on samanlainen kuin perustaulukko määrittelemättömät integraalit, jotka annetaan alla. Epämääräisten integraalien taulukko listaa yleiset funktiot osoittaen antiderivaatat, joista nämä funktiot on "valmistettu". Osassa epämääräisen integraalin löytämisongelmia on annettu integrandit, jotka voidaan integroida suoraan ilman suurta vaivaa, eli käyttämällä epämääräisten integraalien taulukkoa. Monimutkaisemmissa ongelmissa integrandi on ensin muutettava, jotta voidaan käyttää taulukkointegraaleja.

Fakta 2. Palautettaessa funktiota antiderivaatta, meidän on otettava huomioon mielivaltainen vakio (vakio) C, ja jotta et kirjoita luetteloa antiderivaatteista, joiden vakiot ovat 1:stä äärettömään, sinun on kirjoitettava joukko antiderivaatteja mielivaltaisella vakiolla C esimerkiksi näin: 5 x³+C. Joten mielivaltainen vakio (vakio) sisältyy antiderivaatin ilmaisuun, koska antiderivaata voi olla funktio, esimerkiksi 5 x³+4 tai 5 x³+3 ja differentioituna 4 tai 3 tai mikä tahansa muu vakio menee nollaan.

Esitetään integrointiongelma: tälle funktiolle f(x) löytää sellainen toiminto F(x), jonka johdannainen yhtä kuin f(x).

Esimerkki 1. Etsi funktion antiderivaattien joukko

Ratkaisu. Tämän funktion antiderivaatti on funktio

Toiminto F(x) kutsutaan funktion antijohdannaiseksi f(x), jos johdannainen F(x) on yhtä suuri kuin f(x), tai, mikä on sama asia, erotus F(x) on yhtä kuin f(x) dx, eli

(2)

Siksi funktio on funktion antijohdannainen. Se ei kuitenkaan ole ainoa johdannainen . Ne toimivat myös funktioina

Missä KANSSA– mielivaltainen vakio. Tämä voidaan varmistaa erottelulla.

Siten, jos funktiolla on yksi antiderivaata, niin sillä on ääretön määrä antiderivaataita, jotka eroavat vakiotermillä. Kaikki funktion antiderivaatat on kirjoitettu yllä olevassa muodossa. Tämä seuraa seuraavasta lauseesta.

Lause (muodollinen tosiasialausunto 2). Jos F(x) – toiminnon antijohdannainen f(x) tietyin väliajoin X, sitten mikä tahansa muu johdannainen f(x) samalla aikavälillä voidaan esittää muodossa F(x) + C, Missä KANSSA– mielivaltainen vakio.

Seuraavassa esimerkissä siirrytään integraalitaulukkoon, joka annetaan kappaleessa 3, määrittelemättömän integraalin ominaisuuksien jälkeen. Teemme tämän ennen koko taulukon lukemista, jotta yllä olevan olemus on selvä. Ja taulukon ja ominaisuuksien jälkeen käytämme niitä kokonaisuudessaan integroinnin aikana.

Esimerkki 2. Etsi joukot antiderivatiivisia funktioita:

Ratkaisu. Löydämme joukot antiderivatiivisia funktioita, joista nämä toiminnot on "valmistettu". Kun mainitset kaavoja integraalitaulukosta, hyväksy toistaiseksi vain se, että tuollaisia ​​kaavoja on olemassa, ja tutkimme itse määrittelemättömien integraalien taulukkoa hieman pidemmälle.

1) Sovelletaan kaavaa (7) integraalitaulukosta for n= 3, saamme

2) Käyttämällä kaavaa (10) integraalitaulukosta for n= 1/3, meillä on

3) Siitä lähtien

sitten kaavan (7) mukaisesti n= -1/4 löydämme

Itse funktio ei ole kirjoitettu integraalimerkin alle. f, ja sen tulo erotuksen mukaan dx. Tämä tehdään ensisijaisesti sen osoittamiseksi, millä muuttujalla antijohdannaista haetaan. Esimerkiksi,

, ;

tässä molemmissa tapauksissa integrandi on yhtä suuri kuin , mutta sen epämääräiset integraalit tarkasteluissa tapauksissa osoittautuvat erilaisiksi. Ensimmäisessä tapauksessa tätä funktiota pidetään muuttujan funktiona x, ja toisessa - funktiona z .

Prosessia funktion määrittelemättömän integraalin löytämiseksi kutsutaan funktion integroimiseksi.

Epämääräisen integraalin geometrinen merkitys

Oletetaan, että meidän on löydettävä käyrä y=F(x) ja tiedämme jo, että tangentin kulman tangentti kussakin sen pisteessä on annettu funktio f(x) tämän kohdan abskissa.

Derivaatan geometrisen merkityksen mukaan tangentin kaltevuuskulman tangentti käyrän tietyssä pisteessä y=F(x) yhtä suuri kuin johdannaisen arvo F"(x). Joten meidän on löydettävä tällainen funktio F(x), mille F"(x)=f(x). Tehtävässä vaadittava toiminto F(x) on antijohdannainen f(x). Ongelman ehtoja ei tyydytä yksi käyrä, vaan käyräperhe. y=F(x)- yksi sellaisista käyristä ja mikä tahansa muu käyrä voidaan saada siitä rinnakkaisella siirrolla akselia pitkin Oy.

Kutsutaanpa funktion antiderivatiivisen funktion kuvaajaa f(x) integraalikäyrä. Jos F"(x)=f(x), sitten funktion kuvaaja y=F(x) on integraalikäyrä.

Fakta 3. Epämääräinen integraali esitetään geometrisesti kaikkien integraalikäyrien perheellä , kuten alla olevassa kuvassa. Kunkin käyrän etäisyys koordinaattien origosta määräytyy mielivaltaisella integrointivakiolla C.

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

Fakta 4. Lause 1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi ja sen differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi.

Fakta 5. Lause 2. Funktion differentiaalin epämääräinen integraali f(x) on yhtä suuri kuin funktio f(x) jatkuvaan ajankohtaan asti , eli

(3)

Lauseet 1 ja 2 osoittavat, että differentiaatio ja integrointi ovat keskenään käänteisiä operaatioita.

Fakta 6. Lause 3. Integrandin vakiotekijä voidaan ottaa pois epämääräisen integraalin etumerkistä , eli

Oppitunti 2. Integraalilaskenta

Epämääräinen integraali ja sen geometrinen merkitys. Epämääräisen integraalin perusominaisuudet.

Perusmenetelmät määrittelemättömän integraalin integroimiseksi.

Tarkka integraali ja sen geometrinen merkitys.

Newton-Leibnizin kaava. Määrätyn integraalin laskentamenetelmät.

Kun tiedät funktion derivaatan tai differentiaalin, voit löytää itse funktion (palauttaa funktion). Tätä toimintaa, erilaistumisen käänteistä, kutsutaan integraatioksi.

Antiderivatiivinen toiminto suhteessa annettuun funktioon kutsutaan seuraavaa funktiota
, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin annettu funktio, ts.

Tätä toimintoa varten Antiderivatiivisia toimintoja on ääretön määrä, koska jokin toiminnoista
, on myös antijohdannainen .

Kaikkien tietyn funktion antiderivaattien joukkoa kutsutaan sen epämääräinen integraali on merkitty symbolilla:

, Missä

kutsutaan integrandiksi, funktioksi
- integrand-toiminto.

Epämääräisen integraalin geometrinen merkitys. Geometrisesti epämääräinen integraali on ryhmä integraalikäyriä tasolla, joka on saatu funktion kuvaajan rinnakkaissiirrolla
ordinaatta-akselia pitkin (kuva 3).

Epämääräisen integraalin perusominaisuudet

Ominaisuus 1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

Ominaisuus 2. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi:

Ominaisuus 3. Funktion differentiaalin integraali on yhtä suuri kuin tämä funktio plus const:

Ominaisuus 4. Integraalin lineaarisuus.

Taulukko perusintegraalista

	Integraali
tehoa
suuntaa antava
trigonometrinen
käänteinen trigonometrinen

Integroinnin perusmenetelmät

Integrointimenetelmä osien mukaan on menetelmä, joka sisältää kaavan:

.

Tätä menetelmää käytetään, jos integraali
on helpompi ratkaista kuin
. Yleensä tämä menetelmä ratkaisee muodon integraalit
, Missä
on polynomi, ja se on yksi seuraavista funktioista:
,
,
, , ,
,
.

Tarkastellaanpa jotain toimintoa
, määritetty välissä
, riisiä. 4. Suoritetaan 5 operaatiota.

1. Jaetaan väli pisteillä mielivaltaisella tavalla osat. Merkitään
, ja suurin näiden osittaisten osien pituuksista on merkitty , kutsumme sitä murskausarvoksi.

2. Jokaisella osittaisella tontilla
otetaan mielivaltainen kohta ja laske siinä olevan funktion arvo
.

3. Säveltetään teos

4. Tehdään summa
. Tätä summaa kutsutaan kokonaissummaksi tai Riemannin summaksi.

5. Vähentämällä murskausta (lisäämällä murskauspisteiden määrää) ja samalla ohjaamalla murskausaste nollaan (
) eli (lisäämällä murskauskohtien määrää varmistamme, että kaikkien osaosien pituus pienenee ja pyrkii nollaan
), löydämme integraalisummien sarjan rajan

Jos tämä raja on olemassa eikä se riipu jakomenetelmästä ja pisteiden valinnasta, sitä kutsutaan selvä integraali funktiosta intervallin yli ja se merkitään seuraavasti:
.

Määrätyn integraalin geometrinen merkitys. Oletetaan, että funktio on jatkuva ja positiivinen välissä. Harkitse kaarevaa puolisuunnikasta ABCD(Kuva 4). Kumulatiivinen summa
antaa meille kantavien suorakulmioiden pinta-alojen summan
ja korkeudet
. Se voidaan ottaa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alan likimääräiseksi arvoksi ABCD , eli

,

Lisäksi tämä yhtäläisyys on sitä tarkempi, mitä hienompi murskaus ja rajassa n→+∞ Ja λ → 0 me tulemme saamaan:

.

Tämä on määrätyn integraalin geometrinen merkitys.

Määrätyn integraalin perusominaisuudet

Ominaisuus 1. Määrätty integraali, jolla on samat rajat, on yhtä suuri kuin nolla.

Ominaisuus 2. Kun integroinnin rajoja vaihdetaan, kiinteä integraali vaihtaa etumerkin vastakkaiseksi.

Ominaisuus 3. Integraalin lineaarisuus.

Ominaisuus 4. Mitä tahansa numerot ovat, jos funktio
integroitavissa jokaiseen intervalliin
,
,
(Kuva 5), ​​sitten:

Lause. Jos funktio on jatkuva välissä, niin tämän funktion määrällinen integraali välissä on yhtä suuri kuin tämän funktion minkä tahansa antiderivaatan arvojen ero integroinnin ylä- ja alarajalla, ts.

(Newton-Leibnizin kaava) .

Tämä kaava vähentää määrällisten integraalien löytämisen epämääräisten integraalien löytämiseksi. Ero
kutsutaan antiderivaatin lisäykseksi ja merkitään
.

Tarkastellaan tärkeimpiä tapoja laskea määrätty integraali: muuttujien muutos (substituutio) ja integrointi osilla.

Korvaus (muuttujan muutos) määrätyssä integraalissa - sinun on tehtävä seuraavat:

Ja
;

Kommentti. Arvioitaessa määrättyjä integraaleja substituutiolla, ei ole tarvetta palata alkuperäiseen argumenttiin.

2. Integrointi osilla määrättyyn integraaliin tulee käyttämään kaavaa:

.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Harjoitus 1. Etsi epämääräinen integraali suoralla integroinnilla.

1.
. Käyttämällä epämääräisen integraalin ominaisuutta, otamme vakiotekijän pois integraalin etumerkistä. Sitten suorittamalla alkeellisia matemaattisia muunnoksia, pelkistämme integrand-funktion potenssimuotoon:

.

Tehtävä 2. Etsi epämääräinen integraali käyttämällä muuttujan muutosmenetelmää.

1.
. Tehdään muuttujamuutos
, Sitten. Alkuperäinen integraali saa muotoa:

Siten olemme saaneet taulukkomuodon määrittelemättömän integraalin: potenssifunktion. Käyttämällä sääntöä potenssifunktion määrittelemättömän integraalin löytämiseksi, löydämme:

Kun olet tehnyt käänteisen vaihdon, saamme lopullisen vastauksen:

Tehtävä 3. Etsi epämääräinen integraali käyttämällä osien integrointimenetelmää.

1.
. Otetaan käyttöön seuraava merkintä: merkitys ... perus konsepti kiinteä laskenta- konsepti epävarma kiinteä ... epävarma kiinteä Perus ominaisuuksia epävarma kiinteä Käytä taulukkoa pää epävarma ...

Akateemisen tieteenalan "korkeampi matematiikka" syklin työohjelma

Työohjelma

... perus lait... Integraali laskenta yhden muuttujan Antiderivaatin funktiot. Epävarma kiinteä Ja hänen ominaisuuksia ... kiinteä Ja hänen geometrinen merkitys. Integraali... koordinaatit. Epävarma kiinteä ja... ja käytännöllinen luokat". Petrushko I.M., ...

Funktiota, joka voidaan palauttaa sen derivaatasta tai differentiaalista kutsutaan antijohdannainen.

Määritelmä. Toiminto F(x) nimeltään antijohdannainen toimintoa varten

f(x) jollakin aikavälillä, jos tämän aikavälin jokaisessa pisteessä

F"(x) = f(x)

tai mikä on myös

dF(x) = f(x)dx

Esimerkiksi, F(x) = sin x on antijohdannainen f(x) = cos x koko numerorivillä OX, koska

(sin x)" = cos x

Jos toiminto F(x) funktiolle on olemassa antiderivaatti f(x) päällä [ a; b], sitten funktio F(x) + C, Missä C mikä tahansa reaaliluku on myös antiderivatiivinen for f(x) millä tahansa arvolla C. Todella ( F(x) + C)" = F"(x) + C" = f(x).

Esimerkki.

Määritelmä. Jos F(x) yksi toiminnon antijohdannaisista f(x) päällä [ a; b], sitten lauseke F(x) + C, Missä C kutsutaan mielivaltaiseksi vakioksi epämääräinen integraali toiminnosta f(x) ja se on merkitty symbolilla ʃ f(x)dx(lue: määrittelemätön integraali f(x) päällä dx). Niin,

ʃ f (x ) dx = F (x ) +C ,

Missä f(x) kutsutaan integrandifunktioksi, f(x)dx- integrandi ilmaisu, x on integroinnin muuttuja ja symboli ʃ on määrittelemättömän integraalin merkki.

Epämääräisen integraalin ominaisuudet ja sen geometriset ominaisuudet.

Epämääräisen integraalin määritelmästä seuraa, että:

1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

Todella, F"(x) = f(x) ja ʃ f(x)dx = F(x)+C. Sitten

2. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi

Todella,

3. Derivaatan määrittelemätön integraali on yhtä suuri kuin itse funktio plus mielivaltainen vakio:

Todella, F"(x) = f(x). Sitten,

4. Differentiaalin määrittelemätön integraali on yhtä suuri kuin differentioituva funktio plus mielivaltainen vakio:

Todella, . Sitten,

5. Vakiokerroin k(k≠ 0) voidaan ottaa epämääräisen integraalin etumerkiksi:

6. Funktion äärellisen luvun algebrallisen summan epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin näiden funktioiden integraalien algebrallinen summa:

Kutsutaan kuvaajaa antiderivaatta Integraalikäyrän F(x).. Kaavio kaikista muista antiderivaatteista F(x) + C saatu integraalikäyrän rinnakkaissiirrolla F(x) akselia pitkin OY.

Esimerkki.

Taulukko perusintegraalista

Integroinnin perustekniikat

1. Suora (taulukkomuotoinen) integrointi.

Suora (taulukko) integrointi on integraalin pelkistämistä taulukkomuotoon käyttämällä alkeismatematiikan perusominaisuuksia ja kaavoja.

Esimerkki 1.

Ratkaisu:

Esimerkki2 .

Ratkaisu:

Esimerkki3 .

Ratkaisu:

2. Menetelmä eron alle saattamiseksi.

Esimerkki 1.

Ratkaisu:

Esimerkki2 .

Ratkaisu:

Esimerkki3 .

Ratkaisu:

Esimerkki4 .

Ratkaisu:

Esimerkki5 .

Ratkaisu:

Esimerkki6 .

Ratkaisu:

Esimerkki7 .

Ratkaisu:

Esimerkki8 .

Ratkaisu:

Esimerkki9 .

Ratkaisu:

Esimerkki10 .

Ratkaisu:

3. Toinen tapa kytkeä differentiaaliin.

Esimerkki 1.

Ratkaisu:

Esimerkki2 .

Ratkaisu:

4. Muuttujan korvausmenetelmä.

Esimerkki.

Ratkaisu:

5. Osien integrointimenetelmä.

Tämän kaavan avulla otetaan seuraavan tyyppiset integraalit:

1 tyyppi

, kaava pätee n- kerran, loput dv.

2 tyyppi.

, Kaavaa sovelletaan kerran.

Esimerkki1 .

Ratkaisu:

Esimerkki 2.

Ratkaisu:

Esimerkki3 .

Ratkaisu:

Esimerkki4 .

Ratkaisu:

RATIONAALISTEN MURKKOJEN INTEGROINTI.

Rationaalinen murtoluku on kahden polynomin - asteen suhde m ja - astetta n,

Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1. Jos , käytä kulmajakomenetelmää poistaaksesi koko osan.

2. Jos nimittäjässä on myös neliötrinomi, käytetään täydellisen neliön yhteenlaskumenetelmää.

Esimerkki 1.

Ratkaisu:

Esimerkki2 .

Ratkaisu:

3. Epämääräisten kertoimien menetelmä jaettaessa oikea rationaalinen murto yksinkertaisten murtolukujen summaksi.

Mikä tahansa oikea rationaalinen murtoluku, jossa voidaan esittää yksinkertaisten murtolukujen summana:

Missä A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ epävarmat kertoimet.

Määrittämättömien kertoimien löytämiseksi oikea puoli on vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi. Koska nimittäjä on sama kuin oikean puolen murto-osan nimittäjä, ne voidaan hylätä ja osoittajat voidaan rinnastaa. Sitten, yhtälöi kertoimet samoilla asteikoilla x vasemmalla ja oikealla puolella, saamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän kanssa n- tuntematon. Kun tämä järjestelmä on ratkaistu, löydämme tarvittavat kertoimet A, B, C, D ja niin edelleen. Ja siksi jaamme oikean rationaalisen murto-osan yksinkertaisemmiksi murtoiksi.

Katsotaanpa mahdollisia vaihtoehtoja esimerkkien avulla:

1. Jos nimittäjätekijät ovat lineaarisia ja erilaisia:

2. Jos nimittäjätekijöiden joukossa on lyhyitä tekijöitä:

3. Jos nimittäjän tekijöiden joukossa on neliötrinomi, jota ei voida kertoa:

Esimerkkejä: Jaa rationaalinen murto yksinkertaisimpien murtolukujen summaksi. Integroi.

Esimerkki 1.

Koska murtolukujen nimittäjät ovat yhtä suuret, myös osoittajien on oltava yhtä suuret, ts.

Esimerkki 2.

Esimerkki3 .

Epämääräisen integraalin käsite. differentiaatio on toimenpide, jolla sen derivaatta tai differentiaali löydetään tietylle funktiolle. Jos esimerkiksi F(x) = x 10, niin F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Liittäminen - Tämä on erilaistumisen vastakohta. Käyttämällä integraatiota funktion tietyn derivaatan tai differentiaalin yli, funktio löydetään. Jos esimerkiksi F" (x) = 7x 6, niin F (x) == x 7, koska (x 7)" = 7x 6.

Differentioituva funktio F(x), xЄ]a; b[ kutsutaan antijohdannainen funktiolle f (x) välillä ]a; b[, jos F" (x) = f (x) jokaiselle xЄ]a:lle; b[.

Siten funktiolle f(x) = 1/cos 3 x antiderivaata on funktio F(x)= tan x, koska (tg x)"= 1/cos 2 x.

Kaikkien antiderivatiivisten funktioiden joukko f(x) välillä ]а; b[ kutsutaan epämääräinen integraali funktiosta f(x) tälle välille ja kirjoita f (x)dx = F(x) + C. Tässä f(x)dx on integrandi;

F(x)-integraalifunktio; integroinnin x-muuttuja: C on mielivaltainen vakio.

Esimerkiksi 5x 4 dx = x 5 + C, koska (x 3 + C)" = 5x 4.

Annetaan määrittelemättömän integraalin perusominaisuudet. 1. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin tämä mielivaltaiseen vakioon lisätty funktio, ts.

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois epämääräisen integraalin etumerkistä:

af(x)dx = a f(x)dx

4. Funktioiden algebrallisen summan epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin kunkin funktion epämääräisten integraalien algebrallinen summa:

(f 1 (x) ± f 2 (x)) dx = f 1 (x) dx ± f 2 (x) dx.

Integroinnin peruskaavat

(taulukkointegraalit).

6.

Esimerkki 1. löytö

Ratkaisu. Tehdään korvaukseksi 2 - 3x 2 = t, sitten -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Seuraavaksi saamme

Esimerkki 3. löytö

Ratkaisu. Laitetaan 10x = t; sitten 10dx = dt, mistä dx=(1/10)dt.

3.

Joten kun etsit sinl0xdx, voit käyttää kaavaa sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, missä k=10.

Sitten sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Itsetestauskysymykset ja harjoitukset

1. Mitä toimintaa kutsutaan integraatioksi?

2. Mitä funktiota kutsutaan funktion f(x) antiderivaataksi?

3. Määrittele epämääräinen integraali.

4. Listaa määrittelemättömän integraalin pääominaisuudet.

5. Kuinka voit tarkistaa integraation?

6. Kirjoita integroinnin peruskaavat (taulukkointegraalit).

7. Etsi integraalit: a) b) c)

missä a on alaraja, b on yläraja, F (x) on jokin funktion f (x) antiderivaata.

Tästä kaavasta voidaan nähdä menettely tietyn integraalin laskemiseksi: 1) löytää jokin tietyn funktion antiderivaatta F (x); 2) selvitä F (x):n arvo, kun x = a ja x = b; 3) laske ero F (b) - F (a).

Esimerkki 1. Laske integraali

Ratkaisu. Käytetään murto- ja negatiivisen eksponentin potenssin määritelmää ja lasketaan kiinteä integraali:

2. Integrointisegmentti voidaan jakaa osiin:

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:

4. Funktioiden summan integraali on yhtä suuri kuin kaikkien termien integraalien summa:

2) Määritetään integroinnin rajat muuttujalle t. Kun x=1 saamme tn =1 3 +2=3, kun x=2 saamme tb =2 3 +2=10.

Esimerkki 3. Laske integraali

Ratkaisu. 1) laita cos x=t; sitten – sinxdx =dt ja

sinxdx = -dt. 2) Määritetään integroinnin rajat muuttujalle t: t n =cos0=1:t =cos (π/2)=0.

3) Ilmaisemalla integrandin t:llä ja dt:llä ja siirtymällä uusiin rajoihin saadaan

Lasketaan jokainen integraali erikseen:

Esimerkki 5. Laske paraabelin y = x 2, suorien x = - 1, x = 2 ja abskissa-akselin rajoittaman kuvan pinta-ala (kuva 47).

Ratkaisu. Kaavaa (1) soveltamalla saadaan

nuo. S = 3 neliötä yksiköitä

ABCD-kuvan (kuva 48) pinta-ala, jota rajoittavat jatkuvien funktioiden y = f 1 (x) ja y f 2 = (x) kuvaajat, missä x Є[a, b], janat x = a ja x = b, lasketaan kaavalla

		Kaarevan puolisuunnikkaan aAB Oy-akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa jatkuva käyrä x=f(y), missä y Є [a, b], Oy-akselin segmentti [a, b], janat y = a ja y = b ( kuva 53), laskettu kaavalla Pisteen kulkima polku. Jos piste liikkuu suoraviivaisesti ja sen nopeus v=f(t) on tunnettu ajan t funktio, niin pisteen ajama reitti tietyn ajanjakson aikana lasketaan kaavalla Itsetestauskysymykset 1. Anna määrätyn integraalin määritelmä. 2. Listaa määrätyn integraalin pääominaisuudet. 3. Mikä on määrätyn integraalin geometrinen merkitys? 4. Kirjoita kaavoja tasokuvan pinta-alan määrittämiseksi käyttämällä määrättyä integraalia. 5. Mitä kaavoja käytetään kierroskappaleen tilavuuden laskemiseen? 6. Kirjoita kaava kehon kulkeman matkan laskemiseksi. 7. Kirjoita kaava muuttuvan voiman tekemän työn laskemiseksi. 8. Mitä kaavaa käytetään nesteen paineen voiman laskemiseen levyyn?

Integraalilaskenta.

Antiderivatiivinen toiminto.

Määritelmä: Funktiota F(x) kutsutaan antiderivatiivinen toiminto funktio f(x) janalla, jos yhtälö on tosi tämän janan missä tahansa kohdassa:

On huomattava, että samalle toiminnalle voi olla ääretön määrä antiderivaatteja. Ne eroavat toisistaan ​​jonkin vakioluvun verran.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Epämääräinen integraali.

Määritelmä: Epämääräinen integraali funktio f(x) on joukko antiderivatiivisia funktioita, jotka määritellään suhteella:

Kirjoita ylös:

Edellytys määrittelemättömän integraalin olemassaololle tietyllä segmentillä on funktion jatkuvuus tällä segmentillä.

Ominaisuudet:

1.

2.

3.

4.

Esimerkki:

Epämääräisen integraalin arvon löytäminen liittyy pääasiassa funktion antiderivaatan löytämiseen. Joillekin toiminnoille tämä on melko vaikea tehtävä. Alla tarkastellaan menetelmiä määrittelemättömien integraalien löytämiseksi funktioiden pääluokille - rationaalinen, irrationaalinen, trigonometrinen, eksponentiaalinen jne.

Mukavuuden vuoksi useimpien perusfunktioiden määrittelemättömien integraalien arvot kerätään erityisiin integraalitaulukoihin, jotka ovat joskus melko suuria. Ne sisältävät erilaisia ​​yleisesti käytettyjä toimintoyhdistelmiä. Mutta suurin osa näissä taulukoissa esitetyistä kaavoista on seurauksia toisistaan, joten alla esittelemme perusintegraalien taulukon, jonka avulla voit saada eri funktioiden määrittelemättömien integraalien arvot.

Integraali		Merkitys	Integraali		Merkitys
		lnsinx+ C
		ln

Integrointimenetelmät.

Tarkastellaan kolmea integrointimenetelmää.

Suora integrointi.

Suora integrointimenetelmä perustuu oletukseen antiderivatiivisen funktion mahdollisesta arvosta tämän arvon lisävarmentamisen avulla. Yleisesti ottaen huomaamme, että eriyttäminen on tehokas työkalu integroinnin tulosten tarkistamiseen.

Katsotaanpa tämän menetelmän soveltamista esimerkin avulla:

Meidän on löydettävä integraalin arvo . Perustuu hyvin tunnettuun erilaistumiskaavaan
voimme päätellä, että etsitty integraali on yhtä suuri kuin
, jossa C on jokin vakioluku. Kuitenkin toisaalta
. Näin ollen voimme lopulta päätellä:

Huomaa, että toisin kuin differentiaatiossa, jossa derivaatan löytämiseen käytettiin selkeitä tekniikoita ja menetelmiä, derivaatan löytämisen sääntöjä ja lopuksi derivaatan määritelmää, tällaisia ​​menetelmiä ei ole saatavilla integrointiin. Jos johdannaista etsittäessä käytimme niin sanotusti konstruktiivisia menetelmiä, jotka tiettyjen sääntöjen perusteella johtivat tulokseen, niin antiderivaatta löydettäessä on turvauduttava pääasiassa derivaatta- ja antiderivaatataulukoiden tuntemukseen.

Mitä tulee suoran integroinnin menetelmään, sitä voidaan soveltaa vain joihinkin hyvin rajallisiin toimintoluokkiin. On hyvin vähän toimintoja, joille voit löytää heti antiderivaatin. Siksi useimmissa tapauksissa käytetään alla kuvattuja menetelmiä.

Korvausmenetelmä (muuttujien korvaaminen).

Lause: Jos sinun on löydettävä integraali
, mutta antiderivaata on vaikea löytää, niin käyttämällä korvausta x = (t) ja dx = (t)dt saadaan:

Todiste : Erotetaan ehdotettu tasa-arvo:

Edellä käsitellyn määrittelemättömän integraalin ominaisuuden nro 2 mukaan:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

joka, kun otetaan huomioon käyttöön otettu merkintä, on alkuperäinen oletus. Lause on todistettu.

Esimerkki. Etsi epämääräinen integraali
.

Tehdään vaihto t = sinx, dt = cosxdt.

Esimerkki.

Korvaus
Saamme:

Alla tarkastellaan muita esimerkkejä korvausmenetelmän käytöstä erityyppisille funktioille.

Integrointi osien mukaan.

Menetelmä perustuu hyvin tunnettuun tuotteen johdannaisen kaavaan:

(uv) = uv + vu

missä u ja v ovat joitain x:n funktioita.

Differentiaalimuodossa: d(uv) = udv + vdu

Integroimalla saamme:
, ja määrittelemättömän integraalin yllä olevien ominaisuuksien mukaisesti:

tai
;

Olemme saaneet osittaisen integroinnin kaavan, jonka avulla voimme löytää monien perusfunktioiden integraalit.

Esimerkki.

Kuten näet, integroinnin johdonmukainen soveltaminen osien mukaan mahdollistaa funktion asteittaisen yksinkertaistamisen ja integraalin tuomisen taulukkomuotoiseksi.

Esimerkki.

Voidaan nähdä, että toistuvan osaintegroinnin seurauksena funktiota ei voitu yksinkertaistaa taulukkomuotoon. Viimeinen saatu integraali ei kuitenkaan eroa alkuperäisestä. Siksi siirrämme sen tasa-arvon vasemmalle puolelle.

Siten integraali löydettiin ilman integraalitaulukoita ollenkaan.

Ennen kuin tarkastelemme yksityiskohtaisesti eri funktioluokkien integrointimenetelmiä, annamme vielä useita esimerkkejä määrittelemättömien integraalien löytämisestä vähentämällä ne taulukkomuotoisiksi.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Esimerkki.

Alkuosien integrointi.

Määritelmä: Perus Seuraavia neljää murtotyyppiä kutsutaan:

minä
III.

II.
IV.

m, n – luonnolliset luvut (m  2, n  2) ja b 2 – 4ac<0.

Ensimmäiset kaksi alkeisosien integraalityyppiä voidaan yksinkertaisesti tuoda taulukkoon korvaamalla t = ax + b.

Tarkastellaanpa menetelmää tyypin III alkeismurtolukujen integroimiseksi.

Tyypin III murto-integraali voidaan esittää seuraavasti:

Tässä esitetään yleisessä muodossa tyypin III murto-integraalin pelkistys kahdeksi taulukkointegraaliksi.

Katsotaanpa yllä olevan kaavan soveltamista esimerkkien avulla.

Esimerkki.

Yleisesti ottaen, jos kolmiosaisen ax 2 + bx + c lauseke on b 2 – 4ac >0, murtoluku ei määritelmän mukaan ole alkeisluku, mutta se voidaan kuitenkin integroida edellä esitetyllä tavalla.

Esimerkki.

Esimerkki.

Tarkastellaan nyt menetelmiä tyypin IV yksinkertaisten murtolukujen integroimiseksi.

Tarkastellaan ensin erikoistapausta, jossa M = 0, N = 1.

Sitten muodon integraali
voidaan esittää muodossa valitsemalla nimittäjästä koko neliö
. Tehdään seuraava muunnos:

Otamme tähän yhtäläisyyteen sisältyvän toisen integraalin osittain.

Merkitään:

Alkuperäiselle integraalille saamme:

Tuloksena olevaa kaavaa kutsutaan toistuva. Jos käytät sitä n-1 kertaa, saat taulukkointegraalin
.

Palataan nyt tyypin IV alkeismurto-osan integraaliin yleisessä tapauksessa.

Tuloksena olevassa tasa-arvossa ensimmäinen integraali käyttää korvausta t = u 2 + s pienennetty taulukkomuotoiseksi , ja edellä käsiteltyä toistumiskaavaa sovelletaan toiseen integraaliin.

Huolimatta tyypin IV alkeisfraktion integroimisen ilmeisestä monimutkaisuudesta, käytännössä sitä on melko helppo käyttää pieniasteisille jakeille. n, ja lähestymistavan universaalisuus ja yleisyys mahdollistaa tämän menetelmän hyvin yksinkertaisen toteutuksen tietokoneella.

Esimerkki:

Rationaalisten toimintojen integrointi.

Rationaalisten murtolukujen integrointi.

Rationaalisen murtoluvun integroimiseksi se on hajotettava alkeisosiksi.

Lause: Jos
- oikea rationaalinen murtoluku, jonka nimittäjä P(x) esitetään lineaaristen ja neliöllisten tekijöiden tulona (huomaa, että mikä tahansa polynomi, jolla on todelliset kertoimet, voidaan esittää tässä muodossa: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), tämä murto-osa voidaan hajottaa alkeisosiksi seuraavan kaavion mukaisesti:

missä A i, B i, M i, N i, R i, S i ovat joitain vakiosuureita.

Integroiessaan rationaalisia murtolukuja he turvautuvat alkuperäisen murtoluvun hajottamiseen alkeisosiksi. Löytääkseen suureet A i, B i, M i, N i, R i, S i, ns. epävarmien kertoimien menetelmä, jonka ydin on, että jotta kaksi polynomia olisivat identtiset, on välttämätöntä ja riittävää, että kertoimet samoilla x:n potenssiilla ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan tämän menetelmän käyttöä tietyn esimerkin avulla.

Esimerkki.

Pelkistämällä yhteiseen nimittäjään ja rinnastamalla vastaavat osoittajat, saamme:

Esimerkki.

Koska Jos murtoluku on väärä, sinun on ensin valittava sen koko osa:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 - 25x - 25

Kerrotaan tuloksena olevan murtoluvun nimittäjä. Voidaan nähdä, että kohdassa x = 3 murtoluvun nimittäjä muuttuu nollaan. Sitten:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Joten 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Sitten:

Välttääkseen hakasulkeiden avaamista, ryhmittelyä ja yhtälöjärjestelmän (joka voi joissain tapauksissa osoittautua melko suureksi) ratkaisemista epävarmoja kertoimia löydettäessä ns. mielivaltainen arvomenetelmä. Menetelmän ydin on, että useita (määrittämättömien kertoimien lukumäärän mukaan) mielivaltaisia ​​x:n arvoja korvataan yllä olevaan lausekkeeseen. Laskelmien yksinkertaistamiseksi on tapana ottaa mielivaltaisiksi arvoiksi pisteet, joissa murto-osan nimittäjä on nolla, ts. meidän tapauksessamme - 3, -2, 1/3. Saamme:

Lopulta saamme:

=

Esimerkki.

Etsitään määrittelemättömät kertoimet:

Sitten annetun integraalin arvo:

Joidenkin trigonometrioiden integrointi

toimintoja.

Trigonometristen funktioiden integraaleja voi olla ääretön määrä. Useimpia näistä integraaleista ei voida laskea analyyttisesti ollenkaan, joten tarkastelemme joitakin tärkeimpiä funktiotyyppejä, jotka voidaan aina integroida.

Lomakkeen integraali
.

Tässä R on muuttujien sinx ja cosx jonkin rationaalisen funktion nimitys.

Tämän tyyppiset integraalit lasketaan substituutiolla
. Tämän korvauksen avulla voit muuntaa trigonometrisen funktion rationaaliseksi.

,

Sitten

Täten:

Edellä kuvattu muunnos on ns universaali trigonometrinen substituutio.

Esimerkki.

Tämän korvauksen kiistaton etu on, että sen avulla voit aina muuttaa trigonometrisen funktion rationaaliseksi ja laskea vastaavan integraalin. Haittoja ovat se, että muunnos voi johtaa melko monimutkaiseen rationaaliseen funktioon, jonka integrointi vie paljon aikaa ja vaivaa.

Jos muuttujan rationaalisempaa korvaamista ei kuitenkaan voida soveltaa, tämä menetelmä on ainoa tehokas.

Esimerkki.

Lomakkeen integraali
Jos

toimintoRcosx.

Huolimatta mahdollisuudesta laskea tällainen integraali käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota, on järkevämpää käyttää substituutiota t = sinx.

Toiminto
voi sisältää cosx:n vain parillisissa potenssiissa, ja siksi se voidaan muuntaa rationaaliseksi funktioksi sinx:n suhteen.

Esimerkki.

Yleisesti ottaen tämän menetelmän soveltamiseksi tarvitaan vain funktion oddness suhteessa kosiniin, ja funktioon sisältyvän sinin aste voi olla mikä tahansa, sekä kokonaisluku että murtoluku.

Lomakkeen integraali
Jos

toimintoRon outoa suhteessasinx.

Korvaus tehdään analogisesti edellä tarkasteltavan tapauksen kanssa t = cosx.

Esimerkki.

Lomakkeen integraali

toimintoRjopa suhteellisestisinxJacosx.

Muuntaaksesi funktion R rationaaliseksi, käytä substituutiota

t = tgx.

Esimerkki.

Sinien ja kosinien tulon integraali

erilaisia ​​argumentteja.

Työn tyypistä riippuen sovelletaan yhtä kolmesta kaavasta:

Esimerkki.

Esimerkki.

Joskus trigonometrisiä funktioita integroitaessa on kätevää käyttää hyvin tunnettuja trigonometrisiä kaavoja funktioiden järjestyksen pienentämiseksi.

Esimerkki.

Esimerkki.

Joskus käytetään joitain epätyypillisiä tekniikoita.

Esimerkki.

Joidenkin irrationaalisten funktioiden integrointi.

Kaikilla irrationaalisilla funktioilla ei voi olla alkeisfunktioiden ilmaisemaa integraalia. Irrationaalisen funktion integraalin löytämiseksi sinun tulee käyttää substituutiota, jonka avulla voit muuttaa funktion rationaaliseksi, jonka integraali löytyy aina, kuten aina tiedetään.

Katsotaanpa joitain tekniikoita erilaisten irrationaalisten funktioiden integroimiseksi.

Lomakkeen integraali
Missän- luonnollinen luku.

Käyttämällä korvaamista
toiminto on järkeistetty.

Esimerkki.

Jos irrationaalisen funktion koostumuksessa on eriasteisia juuria, niin uutena muuttujana on rationaalista ottaa sellaisen asteen juuri, joka on yhtä suuri kuin lausekkeen sisältämien juurien asteiden pienin yhteinen kerrannainen.

Havainnollistetaan tätä esimerkillä.

Esimerkki.

Binomidifferentiaalien integrointi.