Tarkastellaan m lineaarisen yhtälön järjestelmää, joka sisältää n muuttujaa

(1)

Tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti:

Tai matriisimuodossa: Ax = B.

Lineaarisissa ohjelmointitehtävissä otetaan huomioon epävarmat yhtälöjärjestelmät, ts. jolla on ääretön määrä ratkaisuja. Sitten systeemimatriisin arvo r

,
pienempi kuin muuttujien lukumäärä: rn. Tämä tarkoittaa, että lineaarisesti riippumattomien yhtälöiden maksimimäärä kohdassa (1) on yhtä suuri kuin r. Oletetaan, että järjestelmässä (1) lineaarisesti riippumattomien yhtälöiden lukumäärä on m, ts. r = m. Algebrasta tiedetään, että tässä tapauksessa on m muuttujaa, kerrointa jotka muodostavat järjestelmässä (1) matriisin, jossa on nollasta poikkeava determinantti. Tällaista determinanttia kutsutaan perus-molliksi ja vastaavia muuttujia kutsutaan perusmuuttujiksi. Loput n – m muuttujaa kutsutaan vapaiksi muuttujiksi. Perusmuuttujat voidaan ilmaista vapailla muuttujilla käyttämällä järjestelmän (1) yhtälöitä, antaa mielivaltaisia ​​arvoja vapaille muuttujille ja löytää perusmuuttujien arvot Cramerin kaavoilla. Tuloksena on yksi järjestelmän (1) ratkaisuista.

Määritelmä 1. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän (1) ratkaisua, joka on saatu vapaiden muuttujien nolla-arvoilla, kutsutaan perusratkaisuksi.

Perusmuuttujat ja siten perusratkaisun nollasta poikkeavat komponentit vastaavat lineaarisen yhtälöjärjestelmän kerroinmatriisin lineaarisesti riippumattomia sarakkeita. Tämä antaa meille mahdollisuuden antaa erilaisen määritelmän perusratkaisusta lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Määritelmä 2. Lineaariyhtälöjärjestelmän perusratkaisu on tämän järjestelmän ratkaisu, jonka nollasta poikkeavat komponentit vastaavat tämän järjestelmän kerroinmatriisin lineaarisesti riippumattomia sarakkeita.

Perusmuuttujat voivat olla eri ryhmiä, jotka sisältävät m muuttujaa kohdassa (1) määritellyistä n muuttujasta. Suurin mahdollinen määrä tapoja valita m muuttujaa joukosta, joka sisältää n muuttujaa, on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä . Saattaa kuitenkin olla tapauksia, joissa järjestelmän (1) valitun m muuttujan kertoimista koostuvan matriisin vastaava determinantti on nolla. Siksi perusmuuttujien ryhmien lukumäärä ei ylitä . Jokaiselle perusmuuttujaryhmälle löytyy vastaava järjestelmän (1) perusratkaisu. Yllä olevasta päättelystä seuraa lause:

Lause. Määrittämättömän järjestelmän perusratkaisujen lukumäärä (1), jossa järjestelmämatriisin järjestysr = m < nei ylitä .

Esimerkki. Etsi kaikki yhtälöjärjestelmän (2) perusratkaisut:

(2)

Ratkaisu. Ilmeisesti r = m = 2, n = 4. Perusmuuttujien ryhmien kokonaismäärä on enintään = 6. Järjestelmämatriisin muuttujien kertoimien ensimmäinen, toinen ja neljäs sarake ovat kuitenkin verrannollisia, joten toisen kertaluvun determinantit, jotka koostuvat minkä tahansa kahden näistä kolmesta sarakkeesta, ovat nolla. Loput setit:
,
Ja
.

Muuttujien joukolle
determinantti, joka koostuu niiden kertoimista d = = –2 0. Näin ollen näitä muuttujia voidaan pitää perusmuuttujina,
- vapaa. Määritetään nolla-arvot vapaille muuttujille:
Ratkaisemme järjestelmän:

(3)
, missä
.

Yleensä lineaarisella yhtälöllä on muoto:

Yhtälöllä on ratkaisu: jos ainakin yksi tuntemattomien kertoimista on eri kuin nolla. Tässä tapauksessa mitä tahansa -ulotteista vektoria kutsutaan yhtälön ratkaisuksi, jos yhtälöstä tulee identiteetti, kun sen koordinaatit korvataan.

Ratkaistun yhtälöjärjestelmän yleiset ominaisuudet

Esimerkki 20.1

Kuvaa yhtälöjärjestelmä.

Ratkaisu:

1. Onko kyseessä ristiriitainen yhtälö?(Jos kertoimet, tässä tapauksessa yhtälöllä on muoto: ja kutsutaan kiistanalainen.)

• Jos järjestelmä sisältää jotain ristiriitaista, sellainen järjestelmä on epäjohdonmukainen eikä sillä ole ratkaisua.

2. Etsi kaikki sallitut muuttujat. (Tuntematon kutsutaansallittu yhtälöjärjestelmälle, jos se sisältyy johonkin järjestelmän yhtälöistä kertoimella +1, mutta ei sisälly muihin yhtälöihin (eli se sisältyy kertoimella, joka on yhtä suuri kuin nolla).

3. Onko yhtälöjärjestelmä ratkaistu? (Yhtälöjärjestelmää kutsutaan ratkaistuksi, jos jokainen järjestelmän yhtälö sisältää ratkaistun tuntemattoman, jonka joukossa ei ole satunnaisia)

Ratkaistut tuntemattomat, jotka on otettu jokaisesta järjestelmän yhtälöstä, muodostuvat täydellinen joukko ratkaistuja tuntemattomia järjestelmät. (esimerkissämme tämä on)

Myös koko joukkoon sisältyviä sallittuja tuntemattomia kutsutaan perus(), ei sisälly sarjaan - vapaa ().

Yleisessä tapauksessa ratkaistu yhtälöjärjestelmä on muotoa:

Tässä vaiheessa tärkeintä on ymmärtää, mikä se on ratkaistu tuntematon(sisältyy hintaan ja ilmainen).

Yleistä Erityiset Perusratkaisut

Yleinen ratkaisu ratkaistu yhtälöjärjestelmä on joukko ratkaistujen tuntemattomien ilmauksia vapaiden termien ja vapaiden tuntemattomien kautta:

Yksityinen päätös kutsutaan ratkaisuksi, joka saadaan yleisestä ratkaisusta vapaiden muuttujien ja tuntemattomien tietyille arvoille.

Perusratkaisu on erityinen ratkaisu, joka saadaan yleisestä vapaiden muuttujien nolla-arvoille.

• Perusratkaisua (vektoria) kutsutaan rappeutunut, jos sen nollasta poikkeavien koordinaattien määrä on pienempi kuin sallittujen tuntemattomien määrä.
• Perusratkaisu on ns ei-degeneroitunut, jos sen nollasta poikkeavien koordinaattien määrä on yhtä suuri kuin koko joukkoon sisältyvän järjestelmän sallittujen tuntemattomien lukumäärä.

Lause (1)

Ratkaistu yhtälöjärjestelmä on aina johdonmukainen(koska siinä on ainakin yksi ratkaisu); Lisäksi, jos järjestelmässä ei ole vapaita tuntemattomia,(eli yhtälöjärjestelmässä kaikki sallitut sisältyvät perusteeseen) sitten se määritellään(sillä on ainutlaatuinen ratkaisu); jos on vähintään yksi vapaa muuttuja, niin järjestelmää ei ole määritelty(sillä on ääretön määrä ratkaisuja).

Esimerkki 1. Etsi yhtälöjärjestelmän yleinen, perusratkaisu ja mikä tahansa tietty ratkaisu:

Ratkaisu:

1. Tarkistammeko, onko järjestelmä valtuutettu?

• Järjestelmä on ratkaistu (koska jokainen yhtälö sisältää ratkaistun tuntemattoman)

2. Sisällytämme sallittuja tuntemattomia joukkoon - yksi jokaisesta yhtälöstä.

3. Kirjoitamme muistiin yleisen ratkaisun sen mukaan, mitä sallittuja tuntemattomia sisällytimme joukkoon.

4. Tietyn ratkaisun löytäminen. Tätä varten rinnastamme vapaat muuttujat, joita emme sisällyttäneet joukkoon, mielivaltaisiin numeroihin.

Vastaus: yksityinen ratkaisu(yksi vaihtoehdoista)

5. Perusratkaisun löytäminen. Tätä varten laskemme vapaat muuttujat, joita emme sisällyttäneet joukkoon, nollaan.

Lineaaristen yhtälöiden alkeismuunnokset

Lineaariyhtälöjärjestelmät pelkistetään vastaaviksi ratkaistuiksi järjestelmiksi käyttämällä alkeismuunnoksia.

Lause (2)

Jos mitään kerro järjestelmän yhtälö jollain nollasta poikkeavalla luvulla, ja jätä loput yhtälöt ennalleen, sitten . (eli jos kerrot yhtälön vasemman ja oikean puolen samalla luvulla, saat yhtälön, joka vastaa tätä)

Lause (3)

Jos lisää toinen mihin tahansa järjestelmän yhtälöön, ja jätä sitten kaikki muut yhtälöt ennalleen saamme tätä vastaavan järjestelmän. (eli jos lisäät kaksi yhtälöä (lisäämällä niiden vasemman ja oikean puolen), saat yhtälön, joka vastaa tietoja)

Lauseen (2 ja 3) seuraus

Jos lisää toinen yhtälö yhtälöön kerrottuna tietyllä luvulla, ja jätä kaikki muut yhtälöt ennalleen, niin saamme tätä vastaavan järjestelmän.

Kaavat järjestelmäkertoimien uudelleenlaskentaa varten

Jos meillä on yhtälöjärjestelmä ja haluamme muuttaa sen ratkaistuksi yhtälöjärjestelmäksi, Jordan-Gaussin menetelmä auttaa meitä tässä.

Jordanin muutos ratkaisevalla elementillä voit saada yhtälöjärjestelmälle ratkaistu tuntematon yhtälössä numerolla . (esimerkki 2).

Jordan-muunnos koostuu kahden tyyppisistä alkeismuunnoksista:

Oletetaan, että haluamme tehdä alemman yhtälön tuntemattomasta ratkaistuksi tuntemattomaksi. Tätä varten meidän on jaettava luvulla , jotta summa on .

Esimerkki 2 Lasketaan järjestelmän kertoimet uudelleen

Kun yhtälö luvulla jaetaan luvulla, sen kertoimet lasketaan uudelleen käyttämällä kaavoja:

Jos haluat sulkea pois yhtälöstä numerolla , sinun on kerrottava yhtälö numerolla ja lisättävä tähän yhtälöön.

Lause (4) Järjestelmän yhtälöiden lukumäärän vähentämisestä.

Jos yhtälöjärjestelmä sisältää triviaalin yhtälön, niin se voidaan jättää pois järjestelmästä ja saadaan alkuperäistä vastaava järjestelmä.

Lause (5) Yhtälöjärjestelmän yhteensopimattomuudesta.

Jos yhtälöjärjestelmä sisältää epäjohdonmukaisen yhtälön, se on epäjohdonmukainen.

Jordan-Gaussin menetelmäalgoritmi

Algoritmi yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi Jordan-Gauss-menetelmällä koostuu useista samankaltaisista vaiheista, joissa jokaisessa toiminnot suoritetaan seuraavassa järjestyksessä:

1. Tarkistaa, onko järjestelmä epäjohdonmukainen. Jos järjestelmä sisältää epäjohdonmukaisen yhtälön, se on epäjohdonmukainen.
2. Mahdollisuus vähentää yhtälöiden määrää tarkistetaan. Jos järjestelmä sisältää triviaaliyhtälön, se on yliviivattu.
3. Jos yhtälöjärjestelmä on ratkaistu, kirjoita muistiin järjestelmän yleinen ratkaisu ja tarvittaessa yksittäiset ratkaisut.
4. Jos järjestelmää ei ole ratkaistu, yhtälössä, joka ei sisällä ratkaistua tuntematonta, valitaan ratkaiseva elementti ja Jordan-muunnos suoritetaan tällä elementillä.
5. Palaa sitten kohtaan 1

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälöjärjestelmä Jordan-Gaussin menetelmällä.

löytö: kaksi yleistä ja kaksi vastaavaa perusratkaisua

Ratkaisu:

Laskelmat näkyvät alla olevassa taulukossa:

Taulukon oikealla puolella on yhtälöiden toiminnot. Nuolet osoittavat, mihin yhtälöön ratkaisuelementin yhtälö lisätään kerrottuna sopivalla kertoimella.

Taulukon kolme ensimmäistä riviä sisältävät tuntemattomien kertoimet ja alkuperäisen järjestelmän oikeat puolet. Ensimmäisen Jordan-muunnoksen tulokset, jonka erotuselementti on yhtä suuri kuin yksi, on annettu riveillä 4, 5, 6. Toisen Jordan-muunnoksen tulokset, jonka erotuselementti on yhtä suuri kuin (-1), on annettu riveillä 7, 8, 9 Koska kolmas yhtälö on triviaali, se voidaan jättää huomiotta.

Tämä online-laskin löytää yleisen ratkaisun lineaariselle yhtälöjärjestelmälle Jordan-Gaussin menetelmällä. Yksityiskohtainen ratkaisu annetaan. Laskemiseksi valitse yhtälöiden lukumäärä ja muuttujien lukumäärä. Syötä sitten tiedot soluihin ja napsauta "Laske" -painiketta.

Katso alta teoreettinen osa ratkaisun löytämisestä lineaariseen yhtälöjärjestelmään Jordan-Gaussin menetelmällä.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Numeron esitys:

Kokonaisluvut ja/tai yhteiset murtoluvut
Kokonaisluvut ja/tai desimaalit

Paikkojen lukumäärä desimaalierottimen jälkeen

×

Varoitus

Tyhjennä kaikki solut?

Sulje Tyhjennä

Tietojen syöttöohjeet. Numerot syötetään kokonaislukuina (esimerkit: 487, 5, -7623 jne.), desimaalilukuina (esim. 67., 102,54 jne.) tai murtolukuina. Murtoluku tulee syöttää muodossa a/b, jossa a ja b (b>0) ovat kokonaislukuja tai desimaalilukuja. Esimerkit 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 jne.

Jordan-Gaussin menetelmä

Jordan-Gaussin menetelmä on menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi ja myös menetelmä käänteismatriisin löytämiseksi. Tämä menetelmä on muunnos Gaussin menetelmästä.

Jordan-Gauss-menetelmän ensimmäinen vaihe on samanlainen kuin Gauss-menetelmä (suora Gauss-liike), jota voi tarkastella yksityiskohtaisesti sivulla "Gauss-menetelmä verkossa". Jordan-Gaussin menetelmän toinen vaihe (käänteinen) koostuu lineaariyhtälöjärjestelmän kerroinmatriisin kaikkien elementtien nollaamisesta johtavien elementtien yläpuolelle. Huomaa, että tässä tarkastelemme mielivaltaista lineaariyhtälöjärjestelmää, jossa muuttujien määrä ei välttämättä ole yhtä suuri kuin rajoitusten määrä.

Harkitse seuraavaa lineaarista yhtälöjärjestelmää:

(1)

Kirjoitetaan järjestelmä (1) matriisimuodossa:

Ax=b

(2)

(3)

A- kutsutaan järjestelmän kerroinmatriisiksi, b– rajoitusten oikea puoli, x− löydettävien muuttujien vektori. Anna ranking( A)=s.

Rakennetaan laajennettu matriisi järjestelmästä:

Jos ,..., ovat nolla, niin lineaariyhtälöjärjestelmällä on ratkaisu, mutta jos ainakin yksi näistä luvuista on eri kuin nolla, järjestelmä on epäjohdonmukainen. Toisin sanoen järjestelmä (2) on johdonmukainen silloin ja vain jos matriisin arvo on A yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo ( A|b).

Antaa . Sitten käänteisessä järjestyksessä, alkaen johtavasta elementistä, käytämme käänteistä Gaussin liikettä. Käänteisen liikkeen ydin on nollata kaikki laajennetun matriisin elementit, jotka ovat korkeammat kuin johtavat elementit.

Nollataan siis kaikki sarakkeen elementit s, elementin yläpuolella. Koska ≠0, lisäämme rivit 1,2,... p− 1 viivalla s, kerrottuna vastaavasti.

Laajennettu matriisi on seuraavanlainen:

Jaa jokainen rivi sitä vastaavalla alkuelementillä (jos johtava elementti on olemassa):

Sitten ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Matriisitallennustyyppi: Ax=b, Missä

Merkitään a ij elementtejä i- rivi ja j sarake.

Ensimmäinen taso. Eteenpäin Gaussin liike

a yksitoista. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 2,3 rivillä 1 kerrottuna luvulla 1/2,-3/2:

Jätetään pois elementin yläpuolella olevan matriisin 3. sarakkeen elementit a 33. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 1, 2 rivillä 3 kerrottuna -3/2, -5/4:

Jaamme jokaisen matriisin rivin vastaavalla alkuelementillä (jos johtava elementti on olemassa):

Matriisitallennustyyppi: Ax=b, Missä

Merkitään a ij elementtejä i- rivi ja j sarake.

Ensimmäinen taso. Suora Gaussin liike.

Jätetään pois elementin alapuolella olevan matriisin 1. sarakkeen alkiot a yksitoista. Voit tehdä tämän lisäämällä rivit 2,3 rivillä 1 kerrottuna 4/3:lla, 5/3:lla:

Toinen vaihe. Gaussin käänne

Jätetään pois elementin yläpuolella olevan matriisin 2. sarakkeen elementit a 22. Voit tehdä tämän lisäämällä rivin 1 riville 2 kerrottuna -3/10:

Ilmaistaan ​​muuttujat x 1 , x 2 suhteessa muihin muuttujiin.

Sitten vektoriratkaisu voidaan esittää seuraavasti:

,

x 3 on mielivaltainen reaaliluku.

§1. Lineaariyhtälöjärjestelmät.

Näytä järjestelmä

kutsutaan järjestelmäksi m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.

Tässä
- tuntematon, - tuntemattomien kertoimet,
- yhtälöiden vapaat ehdot.

Jos kaikki yhtälöiden vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla, järjestelmää kutsutaan homogeeninen.Päätöksellä järjestelmää kutsutaan numerokokoelmaksi
, kun ne korvataan järjestelmään tuntemattomien sijaan, kaikki yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi. Järjestelmää kutsutaan liitos, jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteensopivaa järjestelmää, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu, kutsutaan varma. Näitä kahta järjestelmää kutsutaan vastaava, jos niiden ratkaisujen joukot ovat samat.

Järjestelmä (1) voidaan esittää matriisimuodossa yhtälön avulla

(2)

.

§2. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien yhteensopivuus.

Kutsutaan järjestelmän (1) laajennettua matriisia matriisiksi

Kronecker-Capellin lause. Järjestelmä (1) on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys:

.

§3. Järjestelmäratkaisun lineaariset yhtälöt kanssan tuntematon.

Harkitse epähomogeenistä järjestelmää n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon:

(3)

Cramerin lause.Jos järjestelmän päädeterminantti (3)
, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka määritetään kaavoilla:

nuo.
,

Missä - determinantista saatu determinantti korvaus sarakkeesta vapaiden jäsenten sarakkeeseen.

Jos
, ja ainakin yksi niistä ≠0, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Jos
, niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua.

Järjestelmä (3) voidaan ratkaista käyttämällä sen matriisimuotoa (2). Jos matriisin sijoitus A on yhtä suuri n, eli
, sitten matriisi A on käänteinen
. Matriisiyhtälön kertominen
matriisiin
vasemmalla, saamme:

.

Viimeinen yhtälö ilmaisee menetelmän lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi käänteismatriisin avulla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälöjärjestelmä käänteismatriisin avulla.

Ratkaisu. Matriisi
ei rappeutunut, koska
, mikä tarkoittaa, että on olemassa käänteinen matriisi. Lasketaan käänteismatriisi:
.

,

Harjoittele. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä.

§4. Mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen.

Olkoon (1) muotoinen epähomogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä.

Oletetaan, että järjestelmä on johdonmukainen, ts. Kronecker-Capellin lauseen ehto täyttyy:
. Jos matriisi sijoitus
(tuntemattomien lukumäärä), järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos
, niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua. Anna minun selittää.

Olkoon matriisin sijoitus r(A)= r< n. Koska
, sitten on jokin nollasta poikkeava molli järjestys r. Kutsutaan sitä perus-molliksi. Tuntemattomia, joiden kertoimet muodostavat perus-mollin, kutsutaan perusmuuttujiksi. Kutsumme jäljellä olevia tuntemattomia vapaiksi muuttujiksi. Järjestetään yhtälöt uudelleen ja numeroidaan muuttujat uudelleen niin, että tämä sivu sijaitsee järjestelmämatriisin vasemmassa yläkulmassa:

.

Ensimmäinen r rivit ovat lineaarisesti riippumattomia, loput ilmaistaan ​​niiden kautta. Siksi nämä rivit (yhtälöt) voidaan hylätä. Saamme:

Annetaan vapaille muuttujille mielivaltaiset numeeriset arvot: . Jätetään vain perusmuuttujat vasemmalle ja siirretään vapaat oikealle puolelle.

Sain järjestelmän r lineaariset yhtälöt kanssa r tuntematon, jonka determinantti on eri kuin 0. Sillä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Tätä järjestelmää kutsutaan lineaariyhtälöjärjestelmän (1) yleiseksi ratkaisuksi. Muuten: kutsutaan perusmuuttujien ilmaisua vapaiden muuttujien kautta yleinen päätös järjestelmät. Siitä voi saada äärettömän määrän yksityisiä ratkaisuja, antaa vapaille muuttujille mielivaltaisia ​​arvoja. Kutsutaan tietty ratkaisu, joka on saatu yleisestä vapaan muuttujan nolla-arvoille perusratkaisu. Erilaisten perusratkaisujen määrä ei ylitä
. Perusratkaisua, jossa on ei-negatiivisia komponentteja, kutsutaan tukea järjestelmäratkaisu.

Esimerkki.

,r=2.

Muuttujat
- perus,
- vapaa.

Lasketaan yhteen yhtälöt; ilmaistaan
kautta
:

- yhteinen päätös.

- yksityinen ratkaisu
.

- perusratkaisu, viite.

§5. Gaussin menetelmä.

Gaussin menetelmä on universaali menetelmä mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien tutkimiseen ja ratkaisemiseen. Se koostuu järjestelmän pelkistämisestä diagonaaliseen (tai kolmiomaiseen) muotoon eliminoimalla peräkkäin tuntemattomat käyttämällä alkeismuunnoksia, jotka eivät riko järjestelmien vastaavuutta. Muuttuja katsotaan poissuljetuksi, jos se sisältyy vain yhteen järjestelmän yhtälöön kertoimella 1.

Elementaariset muunnokset järjestelmät ovat:

Kerrotaan yhtälö muulla kuin nollalla;

Millä tahansa luvulla kerrotun yhtälön lisääminen toiseen yhtälöön;

Yhtälöiden uudelleenjärjestely;

Hylkäämällä yhtälö 0 = 0.

Alkuperäisiä muunnoksia ei voida suorittaa yhtälöille, vaan tuloksena olevien ekvivalenttijärjestelmien laajennetuille matriiseille.

Esimerkki.

Ratkaisu. Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi:

.

Suorittamalla alkeismuunnoksia pienennämme matriisin vasemman puolen yksikkömuotoon: luomme ykkösiä päädiagonaaliin ja nollia sen ulkopuolelle.

Kommentti. Jos alkeismuunnoksia suoritettaessa saadaan yhtälö muotoa 0 = k(Missä Vastaanottaja0), silloin järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmällä voidaan kirjoittaa muotoon taulukoita.

Taulukon vasen sarake sisältää tietoja poissuljetuista (perus)muuttujista. Loput sarakkeet sisältävät tuntemattomien kertoimet ja yhtälöiden vapaat termit.

Järjestelmän laajennettu matriisi tallennetaan lähdetaulukkoon. Seuraavaksi alamme suorittaa Jordan-muunnoksia:

1. Valitse muuttuja , josta tulee perusta. Vastaavaa saraketta kutsutaan avainsarakkeeksi. Valitse yhtälö, jossa tämä muuttuja jää muiden yhtälöiden ulkopuolelle. Vastaavaa taulukon riviä kutsutaan avainriviksi. Kerroin , joka seisoo avainrivin ja avainsarakkeen leikkauskohdassa, kutsutaan avaimeksi.

2. Avainmerkkijonoelementit on jaettu avainelementtiin.

3. Avainsarake on täynnä nollia.

4. Loput elementit lasketaan suorakaidesäännön avulla. Muodosta suorakulmio, jonka vastakkaisissa pisteissä on avainelementti ja uudelleen laskettu elementti; suorakulmion lävistäjällä sijaitsevien elementtien tulosta avainelementin kanssa vähennetään toisen lävistäjän alkioiden tulo ja tuloksena saatu ero jaetaan avainelementillä.

Esimerkki. Etsi yhtälöjärjestelmän yleisratkaisu ja perusratkaisu:

Ratkaisu.

Järjestelmän yleinen ratkaisu:

Perusratkaisu:
.

Yksittäinen korvausmuunnos mahdollistaa siirtymisen järjestelmän kannasta toiseen: yhden päämuuttujan sijasta yksi vapaista muuttujista tuodaan kantaan. Voit tehdä tämän valitsemalla avainelementin vapaan muuttujan sarakkeesta ja suorittamalla muunnoksia yllä olevan algoritmin mukaisesti.

§6. Tukiratkaisujen löytäminen

Lineaariyhtälöjärjestelmän vertailuratkaisu on perusratkaisu, joka ei sisällä negatiivisia komponentteja.

Järjestelmän vertailuratkaisut löydetään Gaussin menetelmällä, kun seuraavat ehdot täyttyvät.

1. Alkuperäisessä järjestelmässä kaikkien ilmaisten ehtojen on oltava ei-negatiivisia:
.

2. Avainelementti valitaan positiivisten kertoimien joukosta.

3. Jos kantaan lisätyllä muuttujalla on useita positiivisia kertoimia, niin avainviiva on se, jossa vapaan termin suhde positiiviseen kertoimeen on pienin.

Huomautus 1. Jos tuntemattomien eliminointiprosessissa ilmaantuu yhtälö, jossa kaikki kertoimet ovat ei-positiivisia ja vapaa termi
, silloin järjestelmässä ei ole ei-negatiivisia ratkaisuja.

Muistio 2. Jos vapaiden muuttujien kertoimien sarakkeissa ei ole yhtä positiivista elementtiä, siirtyminen toiseen vertailuratkaisuun on mahdotonta.

Esimerkki.

Esimerkki 1. Etsi yleinen ratkaisu ja jokin erityinen järjestelmän ratkaisu

Ratkaisu Teemme sen laskimen avulla. Kirjoitetaan laajennettu ja päämatriisit:

Päämatriisi A on erotettu katkoviivalla. Kirjoitetaan tuntemattomat järjestelmät yläreunaan huomioiden mahdollinen termien uudelleenjärjestely järjestelmän yhtälöissä. Määrittämällä laajennetun matriisin arvon, löydämme samanaikaisesti päämatriisin arvon. Matriisissa B ensimmäinen ja toinen sarake ovat verrannollisia. Kahdesta suhteellisesta sarakkeesta vain yksi voi pudota perus-molliin, joten siirretään esimerkiksi ensimmäinen sarake pisteviivan taakse vastakkaisella merkillä. Järjestelmälle tämä tarkoittaa termien siirtämistä x 1:stä yhtälöiden oikealle puolelle.

Pelkistetään matriisi kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisirivin kertominen muulla kuin nollalla ja lisääminen toiselle riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toisella yhtälöllä, joka ei muuta matriisirivin ratkaisua. järjestelmä. Työskentelemme ensimmäisen rivin kanssa: kerro matriisin ensimmäinen rivi (-3) ja lisää vuorotellen toiseen ja kolmanteen riviin. Kerro sitten ensimmäinen rivi (-2) ja lisää se neljänteen.

Toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia, joten yksi niistä, esimerkiksi toinen, voidaan yliviivata. Tämä vastaa järjestelmän toisen yhtälön yliviivausta, koska se on seurausta kolmannesta.

Nyt työskentelemme toisen rivin kanssa: kerro se (-1) ja lisää se kolmanteen.

Pisteviivalla ympyröidyllä mollilla on korkein kertaluku (mahdollisista alaväreistä) ja se on nollasta poikkeava (se on yhtä suuri kuin päädiagonaalin elementtien tulo), ja tämä molli kuuluu sekä päämatriisiin että laajennettuun matriisiin, joten rangA = soi B = 3.
Pieni on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 2 , x 3 , x 4 , mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 2 , x 3 , x 4 ovat riippuvaisia ​​ja x 1 , x 5 ovat vapaita.
Muunnetaan matriisi jättäen vasemmalle vain kanta-molli (joka vastaa yllä olevan ratkaisualgoritmin kohtaa 4).

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sillä on muoto

Käyttämällä menetelmää tuntemattomien poistamiseksi löydämme:
, ,

Saimme riippuvia muuttujia x 2, x 3, x 4 ilmaisevat relaatiot vapaiden x 1 ja x 5 kautta, eli löysimme yleisen ratkaisun:

Määrittämällä mitä tahansa arvoja vapaille tuntemattomille, saamme minkä tahansa määrän tiettyjä ratkaisuja. Etsitään kaksi erityistä ratkaisua:
1) olkoon x 1 = x 5 = 0, sitten x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) laita x 1 = 1, x 5 = -1, sitten x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Siten löydettiin kaksi ratkaisua: (0,1,-3,3,0) – yksi ratkaisu, (1,4,-7,7,-1) – toinen ratkaisu.

Esimerkki 2. Tutki yhteensopivuutta, löydä yleinen ja yksi erityinen ratkaisu järjestelmään

Ratkaisu. Järjestetään ensimmäinen ja toinen yhtälö uudelleen siten, että ensimmäisessä yhtälössä on yksi ja kirjoitetaan matriisi B.

Saamme nollia neljänteen sarakkeeseen toimimalla ensimmäisen rivin kanssa:

Nyt saamme kolmannen sarakkeen nollat ​​käyttämällä toista riviä:

Kolmas ja neljäs rivi ovat verrannollisia, joten yksi niistä voidaan yliviivata muuttamatta sijoitusta:
Kerro kolmas rivi (–2) ja lisää se neljänteen:

Näemme, että pää- ja laajennetun matriisien arvot ovat yhtä suuria kuin 4 ja järjestys on sama kuin tuntemattomien lukumäärä, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu:
;
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

Esimerkki 3. Tarkista järjestelmän yhteensopivuus ja etsi ratkaisu, jos se on olemassa.

Ratkaisu. Muodostamme laajennetun matriisin järjestelmästä.

Järjestämme kaksi ensimmäistä yhtälöä uudelleen siten, että vasemmassa yläkulmassa on 1:
Kerro ensimmäinen rivi (-1) ja lisää se kolmanteen:

Kerro toinen rivi (-2) ja lisää se kolmanteen:

Järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska päämatriisiin saimme nollasta koostuvan rivin, joka yliviivataan, kun järjestys löytyy, mutta laajennetussa matriisissa jää viimeinen rivi, eli r B > r A .

Harjoittele. Tutki tämän yhtälöjärjestelmän yhteensopivuutta ja ratkaise se matriisilaskennan avulla.
Ratkaisu

Esimerkki. Todista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus ja ratkaise se kahdella tavalla: 1) Gaussin menetelmällä; 2) Cramerin menetelmä. (kirjoita vastaus muodossa: x1,x2,x3)
Ratkaisu :doc :doc :xls
Vastaus: 2,-1,3.

Esimerkki. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on annettu. Todista sen yhteensopivuus. Etsi järjestelmän yleinen ratkaisu ja yksi erityinen ratkaisu.
Ratkaisu
Vastaus: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Harjoittele. Etsi kunkin järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut.
Ratkaisu. Tutkimme tätä järjestelmää Kronecker-Capellin lauseella.
Kirjoitetaan laajennettu ja päämatriisit:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Tässä matriisi A on lihavoitu.
Pelkistetään matriisi kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisirivin kertominen muulla kuin nollalla ja lisääminen toiselle riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toisella yhtälöllä, joka ei muuta matriisirivin ratkaisua. järjestelmä.
Kerrotaan ensimmäinen rivi (3). Kerro toinen rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Kerrotaan toinen rivi (2). Kerro kolmas rivi (-3). Lisätään 3. rivi toiseen:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Kerro toinen rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Valitulla mollilla on korkein kertaluku (mahdollisista alaväreistä) ja se ei ole nolla (se on yhtä suuri kuin käänteisen diagonaalin elementtien tulo), ja tämä molli kuuluu sekä päämatriisiin että laajennettuun matriisiin, joten rang( A) = soi(B) = 3 Koska päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys, niin järjestelmä on yhteistyökykyinen.
Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1 , x 2 , x 3 , mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1 , x 2 , x 3 ovat riippuvaisia ​​(perus) ja x 4 , x 5 ovat vapaita.
Muunnetaan matriisi jättäen vain kantamolli vasemmalle.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Käyttämällä menetelmää tuntemattomien poistamiseksi löydämme:
Saimme riippuvia muuttujia x 1 , x 2 , x 3 ilmaisevat relaatiot vapaiden x 4 , x 5 kautta, eli löysimme yhteinen päätös:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
epävarma, koska on useampi kuin yksi ratkaisu.

Harjoittele. Ratkaise yhtälöjärjestelmä.
Vastaus:x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Määrittämällä mitä tahansa arvoja vapaille tuntemattomille, saamme minkä tahansa määrän tiettyjä ratkaisuja. Järjestelmä on epävarma