Satunnaismuuttuja Muuttujaa kutsutaan muuttujaksi, joka jokaisen testin tuloksena saa yhden aiemmin tuntemattoman arvon satunnaisista syistä riippuen. Satunnaismuuttujat merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Satunnaismuuttujat voivat olla tyypiltään diskreetti Ja jatkuva.

Diskreetti satunnaismuuttuja- tämä on satunnaismuuttuja, jonka arvot eivät voi olla enempää kuin laskettavia, eli joko äärellisiä tai laskettavia. Lasketavuudella tarkoitetaan sitä, että satunnaismuuttujan arvot voidaan numeroida.

Esimerkki 1 . Tässä on esimerkkejä diskreeteistä satunnaismuuttujista:

a) osumien määrä maaliin $n$ laukauksella, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) kolikkoa heitettäessä pudonneiden tunnusten määrä, tässä mahdolliset arvot ovat $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) alukselle saapuvien alusten lukumäärä (laskettavissa oleva arvosarja).

d) PBX:ään saapuvien puheluiden määrä (laskettavissa oleva arvosarja).

1. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman laki.

Diskreetti satunnaismuuttuja $X$ voi saada arvot $x_1,\pisteet ,\ x_n$ todennäköisyyksillä $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Näiden arvojen ja niiden todennäköisyyksien välistä vastaavuutta kutsutaan Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki. Tämä vastaavuus määritellään pääsääntöisesti taulukolla, jonka ensimmäisellä rivillä on arvot $x_1,\dots ,\ x_n$ ja toisella rivillä on todennäköisyydet $p_1,\pisteet ,\ p_n$, jotka vastaavat näitä arvoja.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pisteet & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pisteet & p_n \\
\hline
\end(array)$

Esimerkki 2 . Olkoon satunnaismuuttuja $X$ noppaa heitettäessä heitettyjen pisteiden lukumäärä. Tällainen satunnaismuuttuja $X$ voi saada seuraavat arvot: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Kaikkien näiden arvojen todennäköisyys on yhtä suuri kuin $1/6$. Sitten satunnaismuuttujan $X$ todennäköisyysjakauman laki:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Kommentti. Koska diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakaumalaissa tapahtumat $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän, niin todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi, eli $ \sum(p_i)=1$.

2. Diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus.

Satunnaismuuttujan odotus asettaa sen "keskeisen" merkityksen. Diskreetille satunnaismuuttujalle matemaattinen odotus lasketaan arvojen $x_1,\pisteet ,\ x_n$ ja näitä arvoja vastaavien todennäköisyyksien $p_1,\pisteet ,\ p_n$ tulojen summana, eli : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään toista merkintää $E\left(X\right)$.

Matemaattisen odotuksen ominaisuudet$M\vasen(X\oikea)$:

1. $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ja suurimman arvon välissä.
2. Vakion matemaattinen odotus on sama kuin itse vakio, ts. $M\left(C\oikea)=C$.
3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois matemaattisen odotuksen etumerkistä: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten summa: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin niiden matemaattisten odotusten tulo: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Esimerkki 3 . Etsitään satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus esimerkistä $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cpiste ((1)\yli (6))+4\cpiste ((1)\yli (6))+5\cpiste ((1)\yli (6))+6\cpiste ((1) )\over (6))=3,5.$$

Voimme huomata, että $M\left(X\right)$ on satunnaismuuttujan $X$ pienimmän ($1$) ja suurimman ($6$) arvojen välissä.

Esimerkki 4 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $3X+5$ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 dollaria.

Esimerkki 5 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ matemaattinen odotus on $M\left(X\right)=4$. Etsi satunnaismuuttujan $2X-9$ matemaattinen odotus.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä saamme $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskreetin satunnaismuuttujan dispersio.

Satunnaismuuttujien mahdolliset arvot, joilla on samat matemaattiset odotukset, voivat hajaantua eri tavoin keskiarvoihinsa. Esimerkiksi kahdessa opiskelijaryhmässä todennäköisyysteorian tentin keskiarvoksi muodostui 4, mutta yhdessä ryhmässä kaikki osoittautuivat hyviksi opiskelijoiksi ja toisessa ryhmässä oli vain C-opiskelijoita ja erinomaisia ​​opiskelijoita. Siksi tarvitaan satunnaismuuttujan numeerinen ominaisuus, joka näyttäisi satunnaismuuttujan arvojen leviämisen sen matemaattisen odotuksen ympärille. Tämä ominaisuus on dispersio.

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi$X$ on yhtä suuri kuin:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Englanninkielisessä kirjallisuudessa käytetään merkintää $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Hyvin usein varianssi $D\left(X\right)$ lasketaan kaavalla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) vasen(X \oikea)\oikea))^2$.

Dispersioominaisuudet$D\vasen(X\oikea)$:

1. Varianssi on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Vakion varianssi on nolla, ts. $D\left(C\oikea)=0$.
3. Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersion etumerkistä edellyttäen, että se on neliöity, ts. $D\left(CX\oikea)=C^2D\left(X\oikea)$.
4. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Riippumattomien satunnaismuuttujien välisen eron varianssi on yhtä suuri kuin niiden varianssien summa, ts. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Esimerkki 6 . Lasketaan satunnaismuuttujan $X$ varianssi esimerkistä $2$.

$$D\left(X\oikea)=\summa^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\vasen(1-3.5\oikea))^2+((1)\yli (6))\cdot (\vasen(2-3.5\oikea))^2+ \pisteet +( (1)\yli (6))\cdot (\vasen(6-3.5\oikea))^2=((35)\yli (12))\noin 2.92.$$

Esimerkki 7 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=2$. Etsi satunnaismuuttujan $4X+1$ varianssi.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\vasen(X\oikea)=16\cdot 2=32$.

Esimerkki 8 . Tiedetään, että satunnaismuuttujan $X$ varianssi on yhtä suuri kuin $D\left(X\right)=3$. Etsi satunnaismuuttujan $3-2X$ varianssi.

Yllä olevia ominaisuuksia käyttämällä löydämme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\vasen(X\oikea)=4\cdot 3=12$.

4. Diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio.

Diskreetin satunnaismuuttujan esittämismenetelmä jakaumasarjan muodossa ei ole ainoa, ja mikä tärkeintä, se ei ole universaali, koska jatkuvaa satunnaismuuttujaa ei voida määrittää jakaumasarjan avulla. On toinenkin tapa esittää satunnaismuuttuja - jakaumafunktio.

Jakelutoiminto satunnaismuuttujaa $X$ kutsutaan funktioksi $F\left(x\right)$, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja $X$ saa arvon, joka on pienempi kuin jokin kiinteä arvo $x$, eli $F\ vasen(x\oikea )=P\vasen(X< x\right)$

Jakaumafunktion ominaisuudet:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja $X$ ottaa arvoja väliltä $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ on yhtä suuri kuin jakaumafunktion päissä olevien arvojen erotus. intervalli: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\vasen(x\oikea)$ - ei-laskeva.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Esimerkki 9 . Etsitään jakaumafunktio $F\left(x\right)$ diskreetin satunnaismuuttujan $X$ jakautumissääntöä varten esimerkistä $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Jos $x\le 1$, niin tietysti $F\left(x\right)=0$ (mukaan lukien $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Jos 1 dollari< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jos 2 dollaria< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jos 3 dollaria< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jos 4 dollaria< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jos 5 dollaria< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jos $x > 6 $, niin $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\vasen(X=4\oikea)+P\vasen(X=5\oikea)+P\vasen(X=6\oikea)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Joten $F(x)=\left\(\begin(matriisi)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, klo 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, klo 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matriisi)\oikea.$

Todennäköisyysteorian sovelluksissa kokeen kvantitatiiviset ominaisuudet ovat ensisijaisen tärkeitä. Määrä, joka voidaan määrittää kvantitatiivisesti ja joka voi kokeen seurauksena saada erilaisia ​​arvoja tapauksesta riippuen, on ns. Satunnaismuuttuja.

Esimerkkejä satunnaismuuttujista:

1. Kuinka monta kertaa parillinen määrä pisteitä esiintyy kymmenessä nopanheitossa.

2. Sarjan laukausten ampuneen ampujan maaliin osumien määrä.

3. Räjähtävän kuoren sirpaleiden lukumäärä.

Jokaisessa annetussa esimerkissä satunnaismuuttuja voi ottaa vain eristettyjä arvoja, eli arvoja, jotka voidaan numeroida käyttämällä luonnollista numerosarjaa.

Sellaista satunnaismuuttujaa, jonka mahdolliset arvot ovat yksittäisiä eristettyjä lukuja, jotka tämä muuttuja ottaa tietyillä todennäköisyyksillä, kutsutaan diskreetti.

Diskreetin satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä voi olla äärellinen tai ääretön (laskettavissa).

Jakamisen laki Diskreetti satunnaismuuttuja on luettelo sen mahdollisista arvoista ja niitä vastaavista todennäköisyyksistä. Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan määrittää taulukon muodossa (todennäköisyysjakaumasarja), analyyttisesti ja graafisesti (todennäköisyysjakaumapolygoni).

Koetta suoritettaessa on välttämätöntä arvioida tutkittava arvo "keskimäärin". Satunnaismuuttujan keskiarvon roolissa on numeerinen ominaisuus, ns matemaattinen odotus, joka määritetään kaavalla

Missä x 1 , x 2 ,.. , x n– satunnaismuuttujien arvot X, A s 1 ,s 2 , ... , s n– näiden arvojen todennäköisyydet (huomaa, että s 1 + s 2 +…+ s n = 1).

Esimerkki. Ammunta suoritetaan maaliin (kuva 11).

Osuma I:ssä antaa kolme pistettä, II:ssa kaksi pistettä, III:ssa yhden pisteen. Yhden ampujan yhdellä laukauksella saamien pisteiden määrällä on muotoinen jakautumislaki

Ampujien taidon vertaamiseksi riittää, kun verrataan saavutettujen pisteiden keskiarvoja, ts. matemaattiset odotukset M(X) Ja M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Toinen ampuja antaa keskimäärin hieman suuremman pistemäärän, ts. se antaa parempia tuloksia, kun ammutaan toistuvasti.

Huomioikaa matemaattisen odotuksen ominaisuudet:

1. Vakion arvon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin itse vakio:

M(C) = C.

2. Satunnaismuuttujien summan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin termien matemaattisten odotusten summa:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Toisistaan ​​riippumattomien satunnaismuuttujien tulon matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin tekijöiden matemaattisten odotusten tulo

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Binomijakauman matemaattinen negaatio on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja tapahtuman todennäköisyyden tulo yhdessä kokeessa (tehtävä 4.6).

M(X) = pr.

Arvioida kuinka satunnaismuuttuja "keskimäärin" poikkeaa matemaattisista odotuksistaan, ts. Satunnaismuuttujan arvojen leviämisen karakterisoimiseksi todennäköisyysteoriassa käytetään dispersion käsitettä.

Varianssi Satunnaismuuttuja X kutsutaan neliön poikkeaman matemaattiseksi odotukseksi:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dispersio on satunnaismuuttujan dispersion numeerinen ominaisuus. Määritelmästä käy selvästi ilmi, että mitä pienempi satunnaismuuttujan hajonta on, sitä tarkemmin sen mahdolliset arvot sijaitsevat matemaattisen odotuksen ympärillä, eli sitä paremmin satunnaismuuttujan arvot luonnehtii sen matemaattista odotusta. .

Määritelmästä seuraa, että varianssi voidaan laskea kaavalla

.

Varianssi on kätevää laskea toisella kaavalla:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. Vakion varianssi on nolla:

D(C) = 0.

2. Vakiokerroin voidaan ottaa pois dispersiomerkistä neliöimällä se:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on yhtä suuri kuin termien varianssien summa:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Binomijakauman varianssi on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän ja tapahtuman todennäköisyyden tulo yhdessä kokeessa:

D(X) = npq.

Todennäköisyysteoriassa käytetään usein numeerista ominaisuutta, joka on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssin neliöjuuri. Tätä numeerista ominaisuutta kutsutaan keskimääräiseksi neliöpoikkeamaksi ja sitä merkitään symbolilla

.

Se kuvaa satunnaismuuttujan keskiarvosta poikkeaman likimääräistä kokoa ja sillä on sama ulottuvuus kuin satunnaismuuttujalla.

4.1. Ampuja ampuu kolme laukausta maaliin. Todennäköisyys osua maaliin jokaisella laukauksella on 0,3.

Muodosta jakelusarja osumien lukumäärälle.

Ratkaisu. Osumien määrä on diskreetti satunnaismuuttuja X. Jokainen arvo x n Satunnaismuuttuja X vastaa tiettyä todennäköisyyttä P n .

Tässä tapauksessa diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki voidaan määrittää lähellä jakelua.

Tässä ongelmassa X ottaa arvot 0, 1, 2, 3. Bernoullin kaavan mukaan

,

Etsitään satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen todennäköisyydet:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Järjestämällä satunnaismuuttujan arvot X kasvavassa järjestyksessä saadaan jakaumasarja:

X n

Huomaa, että määrä

tarkoittaa todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja X ottaa ainakin yhden arvon mahdollisista, ja tämä tapahtuma on siksi luotettava

.

4.2 .Urnassa on neljä palloa numeroilla 1-4. Kaksi palloa otetaan pois. Satunnainen arvo X– pallonumeroiden summa. Muodosta satunnaismuuttujan jakaumasarja X.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujien arvot X ovat 3, 4, 5, 6, 7. Etsitään vastaavat todennäköisyydet. Satunnaismuuttujan arvo 3 X voidaan hyväksyä vain siinä tapauksessa, että yksi valituista palloista on numero 1 ja toinen 2. Mahdollisten testitulosten määrä on yhtä suuri kuin neljän kahden yhdistelmän lukumäärä (mahdollisten palloparien lukumäärä).

Klassisen todennäköisyyskaavan avulla saamme

Samoin

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Summa 5 voi esiintyä kahdessa tapauksessa: 1 + 4 ja 2 + 3, joten

.

X on muotoa:

Etsi jakelufunktio F(x) Satunnaismuuttuja X ja piirtää sen. Laske varten X sen matemaattinen odotus ja varianssi.

Ratkaisu. Jakaumafunktiolla voidaan määrittää satunnaismuuttujan jakautumislaki

F(x) =P(X x).

Jakelutoiminto F(x) on ei-vähentyvä, vasemmalle jatkuva funktio, joka on määritelty koko lukurivillä, while

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Diskreetille satunnaismuuttujalle tämä funktio ilmaistaan ​​kaavalla

.

Siksi tässä tapauksessa

Jakaumafunktiokaavio F(x) on porrastettu viiva (kuva 12)

	F(x)

Odotettu arvoM(X) on arvojen painotettu aritmeettinen keskiarvo X 1 , X 2 ,……X n Satunnaismuuttuja X vaakojen kanssa ρ 1, ρ 2, …… , ρ n ja sitä kutsutaan satunnaismuuttujan keskiarvoksi X. Kaavan mukaan

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersio kuvaa satunnaismuuttujan arvojen hajaantumisastetta sen keskiarvosta ja on merkitty D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Diskreetin satunnaismuuttujan varianssilla on muoto

tai se voidaan laskea kaavalla

Korvaamalla tehtävän numeeriset tiedot kaavaan, saamme:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Kaksi noppaa heitetään kahdesti samaan aikaan. Kirjoita diskreetin satunnaismuuttujan binomiaalinen jakautumislaki X- parillisen pistemäärän esiintymisten määrä kahdella noppaa.

Ratkaisu. Esittelemme sattumanvaraisen tapahtuman

A= (kaksi noppaa yhdellä heitolla tuotti yhteensä parillisen määrän pisteitä).

Käytämme klassista todennäköisyyden määritelmää

R(A)= ,

Missä n - mahdollisten testitulosten lukumäärä löydetään säännön mukaan

kertolasku:

n = 6∙6 =36,

m - tapahtumaa kannattavien ihmisten määrä A tulokset - yhtäläiset

m= 3∙6=18.

Siten onnistumisen todennäköisyys yhdessä kokeessa on

ρ = P(A)= 1/2.

Ongelma ratkaistaan ​​käyttämällä Bernoullin testikaaviota. Yksi haaste tässä olisi heittää kahta noppaa kerran. Tällaisten testien määrä n = 2. Satunnaismuuttuja X ottaa arvot 0, 1, 2 todennäköisyyksien kanssa

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Vaadittu satunnaismuuttujan binomijakauma X voidaan esittää jakelusarjana:

X n
ρ n

4.5 . Kuuden osan erässä on neljä vakioosaa. Kolme osaa valittiin sattumanvaraisesti. Muodosta diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma X– vakioosien lukumäärä valittujen joukossa ja löytää sen matemaattinen odotus.

Ratkaisu. Satunnaismuuttujien arvot X ovat luvut 0,1,2,3. Se on selvää R(X=0)=0, koska on vain kaksi epätyypillistä osaa.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Satunnaismuuttujan jakautumislaki X Esitetään se jakelusarjan muodossa:

X n
ρ n

Odotettu arvo

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Todista, että diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- tapahtuman esiintymisten määrä A V n riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri ρ – yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän tulo tapahtuman todennäköisyydellä yhdessä kokeessa, toisin sanoen osoittaa, että binomijakauman matemaattinen odotus

M(X) =n . ρ ,

ja dispersio

D(X) =n.p. .

Ratkaisu. Satunnainen arvo X voi ottaa arvot 0, 1, 2..., n. Todennäköisyys R(X= k) löytyy Bernoullin kaavalla:

R(X=k)= R n(k)= ρ Vastaanottaja (1-ρ ) n- Vastaanottaja

Satunnaismuuttujan jakautumasarja X on muotoa:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

Missä q= 1- ρ .

Matemaattiselle odotukselle meillä on lauseke:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Yhden testin tapauksessa, eli kanssa n= 1 satunnaismuuttujalle X 1 – tapahtuman esiintymisten lukumäärä A- jakelusarjan muoto on:

X n
ρ n

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ s = s

D(X 1) = s – s 2 = s(1- s) = pq.

Jos X k – tapahtuman esiintymisten lukumäärä A missä testissä sitten R(X Vastaanottaja)= ρ Ja

X = X 1 +X 2 +….+X n .

Täältä saamme

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Laadunvalvontaosasto tarkistaa tuotteiden standardinmukaisuuden. Todennäköisyys, että tuote on vakio, on 0,9. Jokainen erä sisältää 5 tuotetta. Etsi diskreetin satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X- erien lukumäärä, joista jokainen sisältää 4 vakiotuotetta - jos 50 erää on tarkastettava.

Ratkaisu. Todennäköisyys, että jokaisessa satunnaisesti valitussa erässä on 4 standardituotetta, on vakio; merkitään se ρ .Sitten satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X on yhtä suuri M(X)= 50∙ρ.

Etsitään todennäköisyys ρ Bernoullin kaavan mukaan:

ρ = P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Kolme noppaa heitetään. Etsi laskettujen pisteiden summan matemaattinen odotus.

Ratkaisu. Löydät satunnaismuuttujan jakauman X- pudonneiden pisteiden summa ja sitten sen matemaattinen odotus. Tämä tie on kuitenkin liian raskas. On helpompi käyttää toista tekniikkaa, joka edustaa satunnaismuuttujaa X, jonka matemaattinen odotus on laskettava, usean yksinkertaisemman satunnaismuuttujan summana, jonka matemaattinen odotus on helpompi laskea. Jos satunnaismuuttuja X i on lisättyjen pisteiden määrä i- luut ( i= 1, 2, 3), sitten pisteiden summa X ilmaistaan ​​muodossa

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Alkuperäisen satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen laskemiseksi jäljellä on vain käyttää matemaattisen odotuksen ominaisuutta

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Se on selvää

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Siksi satunnaismuuttujan matemaattinen odotus X i näyttää

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Määritä testin aikana epäonnistuneiden laitteiden lukumäärän matemaattinen odotus, jos:

a) Vian todennäköisyys kaikille laitteille on sama R, ja testattavien laitteiden määrä on yhtä suuri kuin n;

b) epäonnistumisen todennäköisyys for i – laitteen arvo on yhtä suuri kuin s i , i= 1, 2, … , n.

Ratkaisu. Olkoon satunnaismuuttuja X on viallisten laitteiden määrä

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X i =

Se on selvää

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

Tapauksessa "a" laitevian todennäköisyys on sama, eli

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Tämä vastaus voitaisiin saada välittömästi, jos huomaamme, että satunnaismuuttuja X on binomijakauma parametrein ( n, s).

4.10. Kaksi noppaa heitetään samanaikaisesti kahdesti. Kirjoita diskreetin satunnaismuuttujan binomiaalinen jakautumislaki X - parillisen pistemäärän heittojen määrä kahdella noppaa.

Ratkaisu. Antaa

A=(parillisen luvun heittäminen ensimmäisellä noppaa),

B =(parillisen luvun heittäminen toisella noppaa).

Parillisen luvun saaminen molemmilla noppilla yhdellä heitolla ilmaistaan ​​tuotteella AB. Sitten

R (AB) = R(A)∙R(SISÄÄN) =
.

Kahden nopan toisen heiton tulos ei riipu ensimmäisestä, joten Bernoullin kaava pätee, kun

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Satunnainen arvo X voi ottaa arvot 0, 1, 2 , jonka todennäköisyys saadaan Bernoullin kaavalla:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Satunnaismuuttujan jakautumasarja X:

4.11. Laite koostuu suuresta määrästä itsenäisesti toimivia elementtejä, joilla on sama erittäin pieni todennäköisyys, että jokainen elementti rikkoutuu ajan myötä t. Etsi keskimääräinen kieltäytymismäärä ajan kuluessa t elementtejä, jos todennäköisyys, että ainakin yksi elementti epäonnistuu tänä aikana, on 0,98.

Ratkaisu. Niiden ihmisten määrä, jotka kieltäytyivät ajan mittaan t elementit – satunnaismuuttuja X, joka jakautuu Poissonin lain mukaan, koska elementtien lukumäärä on suuri, elementit toimivat itsenäisesti ja kunkin elementin epäonnistumisen todennäköisyys on pieni. Tapahtuman esiintymisten keskimääräinen määrä vuonna n testit ovat yhtä suuret

M(X) = n.p..

Epäonnistumisen todennäköisyydestä lähtien TO elementtejä n ilmaistaan ​​kaavalla

R n (TO)
,

missä  = n.p., niin todennäköisyys, että yksikään elementti ei vioittu ajan kuluessa t päästään K = 0:

R n (0)= e -  .

Siksi päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys on ajallinen t vähintään yksi elementti epäonnistuu – yhtä suuri kuin 1 - e - . Tehtävän ehtojen mukaan tämä todennäköisyys on 0,98. Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

täältä  = - ln 0,02  4.

Eli ajoissa t laitteen toimintaan, keskimäärin 4 elementtiä epäonnistuu.

4.12 . Noppia heitetään, kunnes esiin tulee "kaksi". Etsi keskimääräinen heittojen määrä.

Ratkaisu. Otetaan käyttöön satunnaismuuttuja X– testien määrä, joka on suoritettava, kunnes meitä kiinnostava tapahtuma tapahtuu. Todennäköisyys, että X= 1 on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että yhden nopanheiton aikana ilmaantuu ”kaksi”, ts.

R(X= 1) = 1/6.

Tapahtuma X= 2 tarkoittaa, että ensimmäisessä testissä "kaksi" ei tullut esiin, mutta toisessa tuli. Tapahtuman todennäköisyys X= 2 saadaan riippumattomien tapahtumien todennäköisyydet kertovalla säännöllä:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Samoin

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

jne. Saamme sarjan todennäköisyysjakaumia:

					(5/6) Vastaanottaja ∙1/6

Keskimääräinen heittojen määrä (kokeet) on matemaattinen odotus

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Katsotaanpa sarjan summa:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

Siten,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Siten sinun täytyy heittää keskimäärin 6 noppaa, kunnes esiin tulee "kaksi".

4.13. Riippumattomat testit suoritetaan samalla tapahtuman todennäköisyydellä A jokaisessa testissä. Selvitä tapahtuman todennäköisyys A, jos tapahtuman esiintymisten lukumäärän varianssi kolmessa riippumattomassa kokeessa on 0,63 .

Ratkaisu. Tapahtuman esiintymisten määrä kolmessa kokeessa on satunnaismuuttuja X, jaettu binomiaalilain mukaan. Tapahtuman esiintymistodennäköisyyksien varianssi riippumattomissa kokeissa (samalla tapahtuman todennäköisyydellä kussakin kokeessa) on yhtä suuri kuin kokeiden lukumäärän tulo tapahtuman esiintymistodennäköisyyksillä ja toistumisen todennäköisyydellä (ongelma 4.6)

D(X) = npq.

Ehdon mukaan n = 3, D(X) = 0,63, joten voit R löytää yhtälöstä

0,63 = 3∙R(1-R),

jossa on kaksi ratkaisua R 1 = 0,7 ja R 2 = 0,3.

Diskreetti kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka voi ottaa yksittäisiä, eristettyjä arvoja tietyin todennäköisyksin.

ESIMERKKI 1. Kuinka monta kertaa vaakuna esiintyy kolmessa kolikonheitossa. Mahdolliset arvot: 0, 1, 2, 3, niiden todennäköisyydet ovat vastaavasti yhtä suuret:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ESIMERKKI 2. Viallisten elementtien lukumäärä laitteessa, joka koostuu viidestä elementistä. Mahdolliset arvot: 0, 1, 2, 3, 4, 5; niiden todennäköisyydet riippuvat kunkin elementin luotettavuudesta.

Diskreetti satunnaismuuttuja X voidaan antaa jakaumasarjalla tai jakaumafunktiolla (integraalijakaumalaki).

Lähellä jakelua on kaikkien mahdollisten arvojen joukko Xi ja niitä vastaavat todennäköisyydet Ri = P(X = xi), se voidaan määrittää taulukoksi:

x i				x n
p i				р n

Samalla todennäköisyydet Ri tyydyttää ehtoa

Ri= 1 koska

missä on mahdollisten arvojen lukumäärä n voi olla äärellinen tai ääretön.

Jakaumasarjan graafinen esitys kutsutaan jakelupolygoniksi . Sen muodostamiseksi satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ( Xi) piirretään x-akselia pitkin ja todennäköisyydet Ri- ordinaatta-akselia pitkin; pisteitä Ai koordinaatteilla ( Xi,рi) on yhdistetty katkoviivoilla.

Jakelutoiminto Satunnaismuuttuja X kutsutaan funktioksi F(X), jonka arvo pisteessä X on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X on pienempi kuin tämä arvo X, tuo on

F(x) = P(X< х).

Toiminto F(X) varten diskreetti satunnaismuuttuja lasketaan kaavalla

F(X) = Ri , (1.10.1)

jossa summaus suoritetaan kaikille arvoille i, mille Xi< х.

ESIMERKKI 3. 100 tuotetta sisältävästä erästä, joista 10 on viallisia, valitaan satunnaisesti viisi tuotetta tarkastamaan niiden laatu. Muodosta sarja satunnaisluvun jakaumia X näytteen sisältämät vialliset tuotteet.

Ratkaisu. Koska näytteessä viallisten tuotteiden lukumäärä voi olla mikä tahansa kokonaisluku välillä 0-5, mahdolliset arvot Xi Satunnaismuuttuja X ovat tasa-arvoisia:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Todennäköisyys R(X = k) jonka näyte sisältää tarkalleen k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) vialliset tuotteet, yhtä suuri

P (X = k) = .

Tämän kaavan avulla 0,001 tarkkuudella suoritettujen laskelmien tuloksena saamme:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Tasa-arvon käyttäminen tarkistamiseen Rk=1, varmistamme, että laskelmat ja pyöristys on tehty oikein (katso taulukko).

x i
p i

ESIMERKKI 4. Annettu satunnaismuuttujan jakaumasarja X :

x i
p i

Etsi todennäköisyysjakaumafunktio F(X) tästä satunnaismuuttujasta ja muodosta se.

Ratkaisu. Jos X 10 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0;

jos 10<X 20 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

jos 20<X 30 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jos 30<X 40 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jos 40<X 50 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Jos X> 50 siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.