Johdanto

Ihminen joutuu toiminnassaan kaikkialla kohtaamaan tarpeen tutkia tilahahmojen muotoa, kokoa ja suhteellista sijaintia. Samanlaisia ​​ongelmia ratkaisevat tähtitieteilijät, jotka käsittelevät suurimpia mittakaavoja, ja fyysikot, jotka tutkivat atomien ja molekyylien rakennetta. Geometrian osaa, jossa tällaisia ​​ongelmia tutkitaan, kutsutaan stereometriaksi (kreikan sanasta "stereos" - tilavuus, spatiaalinen).

1.1. Stereometrian perusaksioomat

Stereometriassa planimetrian käsitteisiin lisätään vielä yksi asia - taso ja sen mukana - aksioomit, jotka säätelevät tasojen "suhteita" muihin geometrian esineisiin. Tällaisia ​​aksioomia on kolme.

1) Aksiooma 1 – Minkä tahansa kolmen avaruuden pisteen kautta, jotka eivät ole samalla suoralla, on vain yksi taso. (kuva 1)

Kuva 1.

2) Aksiooma 2 - minkä tahansa kahden avaruuden pisteen läpi kulkee vain yksi viiva. (kuva 2)

Kuva 2.

3) Aksiooma 3 - jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niin niillä on yhteinen viiva, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat. (kuva 3)

Kuva 3. 1

Kolmannella aksioomalla on erittäin merkittävä rooli stereometriassa: se tekee avaruudesta täsmälleen kolmiulotteisen, koska neliulotteisissa ja sitä suuremmissa tiloissa tasot voivat leikata yhdessä pisteessä. Myös planimetriset aksioomit lisätään kolmeen osoitettuun, uudelleen harkittuun, ottaen huomioon, että nyt ei ole kyse yhden, vaan usean tason kanssa. Esimerkiksi suoran aksiooma - yksi ja vain yksi suora voidaan vetää kahden eri pisteen läpi - siirtyy stereometriaan kirjaimellisesti, mutta vain se ulottuu jo kahteen pisteeseen avaruudessa.

Seurauksena johdetaan yksi hyödyllinen seuraus suoraan aksioomista:suora, jolla on vähintään kaksi yhteistä pistettä tason kanssa, on kokonaan tässä tasossa.

Näitä aksioomia käytetään laajalti kuvioiden rakentamisessa stereometriassa.

1.2. Koordinaattitaso stereometriassa.

Toisin kuin planimetria, jossa tason määrää vain 2 akselia - akseli x (abskissa) ja y (ordinaatta), 3. akseli lisätään stereometriaan - akseliin z (applikointi) . Tämä akseli kulkee eteenpäin kuvan 4 mukaisesti. Mutta rakentamisen helpottamiseksi koordinaattiakselit alettiin kuvata kuvan 5 mukaisesti.

Kuva 4. Kuva 5.

Avaruuden 3 pisteen koordinaattien stereometriassa: pisteen abskissa, pisteen ordinaatta, pisteen aplikaatti.

Katsotaanpa tätä erityisellä esimerkillä. Kuvan 6 segmentit OB, OS, OD ovat yhtä suuria kuin 1. Silloin pisteen A abskissa on 1, pisteen A ordinaatta 1 ja pisteen A applikaatti on 1. Symbolisesti tämä kirjoitetaan seuraavasti:

tai sitoa koordinaattitietue tiettyyn pisteeseen indeksin avulla:

Kuva 6

Kutakin akselia pidetään lukuviivana, eli sillä on positiivinen suunta ja negatiivisella säteellä sijaitseville pisteille osoitetaan etäisyyskoordinaatin negatiiviset arvot (etäisyys otetaan miinusmerkillä). Eli jos esimerkiksi piste B ei sijaitsisi, kuten kuvassa, OX-säteellä, vaan sen jatkuessa pisteestä O vastakkaiseen suuntaan (OX-akselin negatiivisella puolella), niin abskissa X piste A olisi negatiivinen (miinus etäisyys OB). Samoin kahdelle muulle akselille.

Kaikki kolmiulotteisessa avaruudessa olevat suorakaiteen muotoiset koordinaattijärjestelmät on jaettu kahteen luokkaan - oikeaan (käytetään myös positiivisia, vakiotermejä) ja vasempaan. Yleensä oletusarvoisesti ne yrittävät käyttää oikeakätisiä koordinaatistoja, ja graafisesti esitettyinä ne myös sijoitetaan mahdollisuuksien mukaan johonkin useista tavallisista (perinteisistä) paikoista. (Kuva 6 esittää oikean koordinaattijärjestelmän). Oikeaa ja vasenta koordinaattijärjestelmää ei voi yhdistää kiertoteitse siten, että vastaavat akselit (ja niiden suunnat) osuvat yhteen. Voit määrittää, mihin luokkaan tietty koordinaattijärjestelmä kuuluu oikean käden säännöllä, ruuvisäännöllä jne. (akselien positiivinen suunta valitaan siten, että kun OX-akselia kierretään vastapäivään 90°, sen positiivinen suunta osuu yhteen OY-akselin positiivisella suunnalla, jos tämä pyöriminen havaitaan OZ-akselin positiivisen suunnan puolelta).

Jos haluat kuvata esimerkiksi kuution kolmiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä, sinun on tiedettävä tämän neliön sivujen pituudet. Tehdään esimerkiksi kuutio, jonka sivu on 1 ja kärjet O, C, T, B, D, R, A, S (kuva 7). Sitten tämän kuution kärkien koordinaatit:

Kuva 7

Johtopäätös

Kolmiulotteisen koordinaattijärjestelmän olemassaolon ansiosta voit rakentaa minkä tahansa kolmiulotteisen hahmon, kuten suuntaissärmiön, pyramidin, prisman jne. Tätä koordinaattijärjestelmää käytetään fysiikassa, tähtitiedossa ja muissa tieteissä, jotka vaativat rakennustarkkuutta.

Bibliografia:

A. V. Pogorelov, Geometria luokille 7-11, Oppikirja oppilaitoksille.

A.L. Werner Stereometria. Luokka 7-9, Oppikirja geometrian opettajille.

Atanasyan L. Geometria luokka 10-11,

E.V. Potoskuev, L.I. Zvavich Geometry Grade 11,Oppikirja oppilaitoksille.

Luku IV. Suorat viivat ja tasot avaruudessa. Polyhedra

§ 45. Stereometrian perusaksioomit

Yksinkertaisimmat tilahahmot (kappaleet): kuutio, prisma, pyramidi, pallo, kartio, sylinteri jne. ja niiden ominaisuuksia tutkittiin kahdeksanvuotisen koulun geometriakurssilla. Huomaa, että joitain tilakuvioiden ominaisuuksia käytettiin vektorien tutkimuksessa tämän oppikirjan luvussa I.

Tässä luvussa tarkastellaan aiempaa yksityiskohtaisemmin sitä geometrian osaa, joka liittyy viivojen ja tasojen sijoittumiseen avaruudessa. Geometrian haaraa, joka käsittelee avaruuteen järjestettyjä kuvioita, kutsutaan stereometria.

Stereometrian peruskäsitteet ovat piste, viiva ja taso. Avaruus koostuu äärettömästä määrästä pisteitä. Viivat ja tasot koostuvat äärettömästä määrästä avaruuden pisteitä eivätkä ole samat koko avaruuden kanssa.

Muotoilkaamme pääasia stereometrian aksioomia. Muista, että aksioomat ovat väitteitä, jotka hyväksytään ilman todisteita. Geometrian aksioomit ovat abstrakteja ympäröivän todellisen maailman vastaavista ominaisuuksista.

Oletetaan, että kaikilla avaruuden tasoilla kaikki planimetrian aksioomat, määritelmät ja lauseet täyttyvät. Lisäksi oletetaan, että seuraavat stereometrian aksioomat ovat voimassa:

1. Kahden erillisen pisteen läpi kulkee vain yksi suora viiva.

2. Jos viivan kaksi erillistä pistettä kuuluvat tasoon, kaikki suoran pisteet kuuluvat kyseiseen tasoon.

3. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla viivalla, on yksi ja vain yksi taso.

4. Jos kaksi eri tasoa leikkaavat, ne leikkaavat suorassa viivassa.

Käyttämällä näitä aksioomia todistamme seuraavat väitteet:

1. Yksi taso kulkee suoran ja siihen kuulumattoman pisteen läpi.

2. Kahden leikkaavan suoran läpi kulkee vain yksi taso.

1. Tällä suoralla l Otetaan kaksi pistettä A ja B (kuva 128). Sitten aksiooman 3 mukaan yksi taso kulkee annetun pisteen M ja pisteiden A ja B kautta R ja kaikki viivan pisteet l kuuluvat koneeseen R.

Siksi lentokone R kulkee suoran linjan läpi l ja siihen kuulumaton piste M. Toista sellaista tasoa ei ole, koska sen täytyy kulkea kolmen pisteen A, B, M kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, ja siksi niiden on yhdyttävä tason kanssa R.

2. Todellakin, anna suoria viivoja 1 1 ja 1 2 leikkaa pisteessä M (kuva 129). Suorilla linjoilla 1 1 ja 1 2 ottaa joitakin pisteitä A ja B, jotka eroavat pisteestä M. Sitten kolmen pisteen A, B, M kautta kulkee ainoa taso R. Aksiooman 2 nojalla taso R kulkee annettujen linjojen läpi 1 1 ja 1 2 .

Tässä artikkelissa käsittelemme suoran viivan käsitettä kolmiulotteisessa avaruudessa, tarkastelemme vaihtoehtoja suorien viivojen suhteelliselle sijainnille ja tarkastelemme tärkeimpiä tapoja määrittää suora viiva avaruudessa. Parempaa esitystä varten esittelemme graafisia kuvia.

Sivulla navigointi.

Viiva avaruudessa on käsite.

Kun olemme antaneet avaruuden yhdensuuntaisten viivojen määritelmän, on sanottava suoran suuntausvektoreista niiden tärkeyden vuoksi. Mitä tahansa nollasta poikkeavaa vektoria, joka sijaitsee tällä suoralla tai suoralla, joka on yhdensuuntainen annetun vektorin kanssa, kutsutaan suoran suuntavektoriksi. Suoran suuntavektoria käytetään hyvin usein avaruuden suoraan liittyvien ongelmien ratkaisemisessa.

Lopuksi kaksi kolmiulotteisen avaruuden viivaa voidaan vinoa. Kahden avaruuden suoran sanotaan leikkaavan, jos ne eivät ole samassa tasossa. Tämä kahden viivan keskinäinen järjestely avaruudessa johtaa meidät vinojen viivojen välisen kulman käsitteeseen.

Menetelmät suoran asettamiseen avaruudessa.

On olemassa useita tapoja määrittää yksiselitteisesti suora viiva avaruudessa. Listataan tärkeimmät.

Tiedämme aksioomasta, että suora kulkee kahden pisteen läpi ja vain yhden. Siten, jos merkitsemme kaksi pistettä avaruudessa, tämä antaa meille mahdollisuuden määrittää yksiselitteisesti niiden läpi kulkeva suora.

Jos kolmiulotteisessa avaruudessa esitellään suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä ja suora annetaan määrittämällä sen kahden pisteen koordinaatit, niin meillä on mahdollisuus muodostaa kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Toinen tapa määrittää suora avaruudessa perustuu lauseeseen: minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee tietyn kanssa yhdensuuntainen suora, ja vain yksi.

Jos siis määritämme suoran (tai tämän suoran janan) ja pisteen, joka ei ole sillä, määritämme yksiselitteisesti suoran, joka on yhdensuuntainen annetun kanssa ja kulkee annetun pisteen kautta.

Voit määrittää pisteen, jonka kautta suora kulkee, ja sen suuntavektorin. Tämän avulla voit myös tunnistaa linjan yksilöllisesti.

Jos suora määritellään tällä tavalla kiinteään suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään, voimme heti kirjoittaa muistiin sen kanoniset yhtälöt suorasta avaruudessa ja parametriset yhtälöt suorasta avaruudessa.

Seuraava tapa määrittää suora avaruudessa perustuu stereometrian aksioomaan: jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niin niillä on yhteinen suora, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Siten asettamalla kaksi leikkaavaa tasoa määrittelemme yksiselitteisesti suoran avaruudessa.

Toinen tapa määrittää suora avaruudessa seuraa lauseesta (löydät sen todisteen tämän artikkelin lopussa luetelluista kirjoista): jos annetaan taso ja piste, joka ei ole siinä, niin yksi suora kulkee tämän pisteen läpi ja kohtisuorassa annettuun tasoon nähden .

Siten suoran määrittämiseksi voit määrittää tason, johon haluttu viiva on kohtisuorassa, ja pisteen, jonka kautta tämä viiva kulkee.

Jos suora määritellään tällä tavalla esitettyyn suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään nähden, on hyödyllistä omistaa tietyn pisteen kautta kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden kulkevan yhtälön artikkelin materiaali.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Luokat 7 - 9: oppikirja oppilaitoksille.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Oppikirja lukion 10-11 luokalle.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Korkeampi matematiikka. Ensimmäinen osa: Lineaarialgebran ja analyyttisen geometrian elementit.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analyyttinen geometria.

Tekijänoikeus älykkäillä opiskelijoilla

Kaikki oikeudet pidätetään.
Tekijänoikeuslain suojaama. Mitään www.sivuston osaa, mukaan lukien sisäiset materiaalit ja ulkoinen suunnittelu, ei saa jäljentää missään muodossa tai käyttää ilman tekijänoikeuksien haltijan kirjallista lupaa.

Esitys aiheesta "Stereometrian aksiomit" geometriasta powerpoint-muodossa. Koululaisille suunnatussa esityksessä luetellaan 7 stereometrian aksioomia, tehtäviä annetaan näiden aksioomien avulla. Esityksen kirjoittaja: Sukhorukova E.V.

Katkelmia esityksestä

• Kahden avaruuden pisteen läpi kulkee vain yksi suora viiva.
• Minkä tahansa kolmen avaruuden pisteen kautta, jotka eivät kuulu samaan suoraan, on vain yksi taso
• Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, ne leikkaavat suorassa viivassa
• On ainakin neljä pistettä, jotka eivät kuulu samaan tasoon
• Jos suoralla on kaksi yhteistä pistettä tason kanssa, niin se sijaitsee tässä tasossa.
• Suoran ja siihen kuulumattoman pisteen kautta kulkee vain yksi taso
• Kahden leikkaavan suoran läpi kulkee vain yksi taso.

KYSYMYS 1

Etsi virhe piirustuksista, jos:

vastausvaihtoehdot täällä.

Vastaus: a) Pisteiden A, B, C on kuuluttava samalle suoralle; b) Pisteiden K, L, M tulee kuulua yhdelle suoralle.

KYSYMYS 2

Määritä kuvasta, minkä kuvioiden tasoihin tason piste M kuuluu.

Kysymys 3

Etsi virhe piirroksesta. Anna selitys

Vastaus: piste M ei kuulu AC:hen

Kysymys 4

Miten tasot α ja β sijaitsevat suhteessa toisiinsa kuvassa? Selitä vastaus. Täydennä piirustus tarvittaessa.

Vastaus: koska tasoilla on yksi yhteinen piste, jolloin ne leikkaavat suorassa

Kysymys 5

Kuinka monta tasoa voidaan piirtää yhden suoran läpi?

Vastaus:äärettömän monta

Rinnakkaiset viivat avaruudessa

• Avaruuden viivoja kutsutaan rinnakkain jos ne sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaa toisiaan
• Suorat, jotka eivät leikkaa eivätkä ole samassa tasossa, kutsutaan risteytys

• Osoita suuntaissärmiössä A…D1 yhdensuuntaiset ja vinoviivat
• Merkitse pyramidissa ABCD kaikki leikkaavien viivojen parit