Kartio. Frustum

Kapeneva pinta kutsutaan pintaa, jonka muodostavat kaikki tietyn käyrän kunkin pisteen ja käyrän ulkopuolisen pisteen kautta kulkevat suorat viivat (kuva 32).

Tätä käyrää kutsutaan opas , suora - tuottaa , piste - kokous kartiomainen pinta.

Suora pyöreä kartiomainen pinta kutsutaan pintaa, jonka muodostavat kaikki tietyn ympyrän kunkin pisteen kautta kulkevat suorat ja piste, joka on kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden ja kulkee sen keskipisteen kautta. Seuraavassa tätä pintaa kutsutaan lyhyesti nimellä kartiomainen pinta (kuva 33).

kartio (suora pyöreä kartio ) kutsutaan geometriseksi kappaleeksi, jota rajoittaa kartiomainen pinta ja taso, joka on yhdensuuntainen ohjausympyrän tason kanssa (kuva 34).

Riisi. 32 Kuva. 33 Kuva. 34

Kartiota voidaan pitää kappaleena, joka saadaan kiertämällä suorakulmaista kolmiota akselin ympäri, joka sisältää kolmion yhden haaran.

Ympyrää, joka rajoittaa kartiota, kutsutaan perusta . Kartiomaisen pinnan kärkeä kutsutaan kokous kartio. Janaa, joka yhdistää kartion yläosan sen pohjan keskustaan, kutsutaan korkeus kartio. Segmenttejä, jotka muodostavat kartiomaisen pinnan, kutsutaan tuottaa kartio. akseli kartion on suora viiva, joka kulkee kartion kärjen ja sen pohjan keskikohdan kautta. Aksiaalinen osa kutsutaan osaksi, joka kulkee kartion akselin läpi. Lateraalinen pinnan kehitys Kartio on sektori, jonka säde on yhtä suuri kuin kartion generaattorin pituus ja sektorin kaaren pituus on yhtä suuri kuin kartion kannan ympärysmitta.

Kartion kohdalla seuraavat kaavat ovat totta:

missä R on pohjan säde;

H- korkeus;

l- generatrixin pituus;

S pää- peruspinta-ala;

S puoli

S täynnä

V on kartion tilavuus.

katkaistu kartio kutsutaan kartion osaa, joka on suljettu pohjan ja leikkaustason väliin, yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa (kuva 35).

Katkaistua kartiota voidaan pitää kappaleena, joka on saatu kiertämällä suorakaiteen muotoista puolisuunnikasta akselin ympäri, joka sisältää puolisuunnikkaan lateraalisen sivun, kohtisuorassa kantajiin nähden.

Kartion kahta ympyrää kutsutaan sen perusteita . Korkeus katkaistun kartion etäisyys on sen kantojen välinen etäisyys. Segmenttejä, jotka muodostavat katkaistun kartion kartiomaisen pinnan, kutsutaan tuottaa . Kantojen keskipisteiden läpi kulkevaa suoraa kutsutaan akseli katkaistu kartio. Aksiaalinen osa kutsutaan katkaistun kartion akselin läpi kulkevaksi osaksi.

Katkaistulle kartiolle seuraavat kaavat ovat totta:

(8)

missä R on alemman kannan säde;

r on ylemmän kannan säde;

H on korkeus, l on generatrixin pituus;

S puoli on sivuttainen pinta-ala;

S täynnä on kokonaispinta-ala;

V on katkaistun kartion tilavuus.

Esimerkki 1 Pohjan suuntainen kartion leikkaus jakaa korkeuden suhteessa 1:3 ylhäältä laskettuna. Laske katkaistun kartion sivupinnan pinta-ala, jos pohjan säde ja kartion korkeus ovat 9 cm ja 12 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 36).

Katkaistun kartion sivupinnan alan laskemiseksi käytämme kaavaa (8). Etsi kannakkeiden säteet Noin 1 A ja Noin 1 V ja tuottaa AB.

Harkitse samanlaisia ​​kolmioita SO 2 B ja SO 1 A, samankaltaisuuskerroin , sitten

Täältä

Siitä lähtien

Katkaistun kartion sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin:

Vastaus: .

Esimerkki2. Neljännesympyrä, jonka säde on taitettu kartiomaiseen pintaan. Etsi pohjan säde ja kartion korkeus.

Ratkaisu. Ympyrän nelinkertainen on kartion sivupinnan kehitys. Merkitse r on sen pohjan säde, H- korkeus. Sivupinta-ala lasketaan kaavalla: . Se on yhtä suuri kuin ympyrän neljänneksen pinta-ala: . Saamme yhtälön kahdella tuntemattomalla r ja l(kartion generaattori). Tässä tapauksessa generatrix on yhtä suuri kuin ympyrän neljänneksen säde R, joten saamme seuraavan yhtälön: , josta Kun tiedämme kannan ja generatriisin säteen, löydämme kartion korkeuden:

Vastaus: 2 cm,.

Esimerkki 3 Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikas, jonka terävä kulma on 45 O, pienempi kanta 3 cm ja kalteva sivu, joka on yhtä suuri kuin , pyörii kantoihin nähden kohtisuorassa olevan sivun ympäri. Etsi saadun kierroskappaleen tilavuus.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 37).

Pyörityksen seurauksena saadaan katkaistu kartio, jonka tilavuuden löytämiseksi laskemme suuremman pohjan säteen ja korkeuden. trapetsissa O 1 O 2 AB kulutamme AC^O 1 B. Meillä on: joten tämä kolmio on tasakylkinen AC=eKr\u003d 3 cm.

Vastaus:

Esimerkki 4 Kolmio, jonka sivut ovat 13 cm, 37 cm ja 40 cm, pyörii ulkoakselin ympäri, joka on yhdensuuntainen suuremman sivun kanssa ja on 3 cm:n päässä siitä (akseli sijaitsee kolmion tasossa). Etsi tuloksena olevan kierroskappaleen pinta-ala.

Ratkaisu . Tehdään piirustus (kuva 38).

Tuloksena olevan pyörimiskappaleen pinta koostuu kahden katkaistun kartion sivupinnoista ja sylinterin sivupinnasta. Näiden pintojen laskemiseksi on tarpeen tietää kartioiden ja sylinterin kannan säteet ( OLLA ja OC) muodostaen kartioita ( eKr ja AC) ja sylinterin korkeus ( AB). Tuntematon on vain CO. on etäisyys kolmion sivusta kiertoakseliin. Etsitään DC. Kolmion ABC pinta-ala toisella sivulla on yhtä suuri kuin sivun AB puolikkaan ja siihen piirretyn korkeuden tulo DC, toisaalta, kun tiedämme kolmion kaikki sivut, laskemme sen pinta-alan Heronin kaavalla.

Kun opiskelet aiheen materiaalia, sinun on opittava:

vallankumouksen elinten tyypit;

vallankumouskappaleiden määritelmät;

vallankumouskappaleiden elementtien määritelmät;

käsitteet sylinterin ja kartion kehittämisestä;

sylinterin ja kartion sivuttaisen ja koko pinnan määrittely ja laskeminen;

pallon tangenttitason ja sen ominaisuuksien määrittely;

pallon pinta-alan käsite;

palloon piirretyn ja sen ympärille kuvatun polyhedronin määritelmä.

Ongelmien ratkaisuprosessissa testataan seuraavat taidot:

kuvaa vallankumouksen ruumiita;

Laske vallankumouskappaleiden elementit;

kuvata ruumiinosia;

Laske sylinterin ja kartion sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala;

Kirjoita yhtälö pallolle.

Teoreettisen kokeen kysymykset

Vaihtoehto 1

1. Sylinterimäisen pinnan käsite ja sen elementit. Muotoile sylinterin ja sen elementtien määritelmä.

2. Johda kaava pallon pinta-alan laskemiseksi.

3. Laske kartion lateraalisen pinta-alan ja aksiaalileikkauksen suhde.

Vaihtoehto 2

1. Kartiopinnan käsite. Muotoile kartion ja sen elementtien määritelmä.

2. Määritä säännöllisen nelikulmaisen pyramidin ympärille piirretyn pallon keskipisteen sijainti. Todista väitteesi.

3. Laske sylinterin sivupinnan pinta-alan ja aksiaalileikkauksen suhde.

Vaihtoehto 3

1. Muotoile katkaistun kartion ja sen elementtien määritelmä.

2. Määritä säännölliseen kolmiomaiseen pyramidiin piirretyn pallon keskipisteen sijainti. Todista väitteesi.

3. Todista, että tasasivuisen kartion kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin pallon pinta, jonka halkaisija on kartion korkeus.

Vaihtoehto 4

1. Muotoile pallon ja pallon määritelmät. Kirjoita muistiin yhtälöt säteeltään R pallolle, jonka keskipiste on pisteessä O(0; 0; 0) ja pisteessä A(x0; y0; z0).

2. Johda kaava kartion sivupinnan laskemiseksi.

3. Todista, että sylinterin koko pinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin toisen samansäteisen sylinterin sivupinnan pinta-ala, jonka korkeus on yhtä suuri kuin tämän sylinterin säteen ja korkeuden summa .

Itsenäinen työskentely 17

Vaihtoehto 1

1. Sylinterin aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on 16. Etsi tämän sylinterin poikkileikkauksen pinta-ala, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa ja sijaitsee etäisyydellä siitä, joka on yhtä suuri kuin puolet sylinterin kannan säteestä. sylinteri.

2. Puoliympyrä taitetaan kartiomaiseksi pinnalle. Etsi generatrixin ja kartion korkeuden välinen kulma.

3. Kahden pallon säteet ovat 16 ja 20 dm, niiden keskipisteiden välinen etäisyys on 25 dm. Etsi ympyrän ympyrän ympyrä, jossa niiden pinnat leikkaavat.

Vaihtoehto 2

1. Sylinterin pohjan säde on 26 cm, muodostaen 4,8 dm. Millä etäisyydellä sylinterin akselista tulee piirtää leikkaus, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa ja on neliön muotoinen?

2. Sektorin säde on 3 m, sen kulma on 120°. Sektori on taitettu kartiomaiseen pintaan. Etsi kartion pohjan säde.

3. Rombin lävistäjät ovat 30 ja 40 cm. Pallomainen pinta koskettaa rombin kaikkia sivuja. Selvitä etäisyys pallon keskipisteestä rombin tasoon, jos pallon säde on 13 cm.

Vaihtoehto 3

1. Sylinterin pohjan säde on 12 cm. Laske etäisyys aksiaalisen poikkileikkauksen ja puolet pinta-alasta poikkileikkauksen välillä.

2. Kartion sivupinnan kehityskulma on 120°. Kartion generatrix on 15 cm Laske kartion pohjan halkaisija.

3. Rombi asetetaan pallon päälle, jonka säde on 10 cm siten, että sen kumpikin puoli, joka on 12,5 cm, koskettaa palloa. Rombin taso on 8 cm etäisyydellä pallon keskustasta. Etsi rombin pinta-ala.

Vaihtoehto 4

1. Sylinterin generatrixin läpi vedetään kaksi keskenään kohtisuoraa leikkausta, joiden pinta-alat ovat 60 ja 80 dm. Etsi aksiaalisen leikkauksen pinta-ala.

2. Kartion pohjan säde on 12 cm, muodostaen 40 cm. Laske tämän kartion pyyhkäisykulma.

3. Kolmion sivut ovat 10 dm, 10 dm ja 12 dm. Etsi etäisyys kolmion tasosta kolmion sivuja tangentin pallon keskipisteeseen. Pallon säde on 5 dm.

Itsenäinen työskentely 18

Vaihtoehto 1

1. Sylinterin aksiaalisen leikkauksen lävistäjä on 25 % suurempi kuin sen pohjan halkaisija. Selvitä sylinterin kokonaispinta-ala, jos sen keskipisteiden välinen etäisyys on 15 cm.

2. Sylinterin sivupinnan kehitys - neliö, jonka sivu on 4 dm. Selvitä sylinterin tilavuus.

3. Katkaistun kartion aksiaalileikkauksen diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa, kartion korkeus on H, muodostaen l:n. Etsi kartion sivupinta.

4. Kartion pohjan säde on 12 cm, muodostaen 40 cm. Laske kartion sivupinnan kehityskulma.

5. Katkaistun kartion generaattori 10 cm, pohjaero 6 cm, aksiaalileikkauspinta-ala 112 cm2. Etsi kartion sivupinta.

6. Pienen sivun ympäri pyörii suunnikas, jonka sivut ovat 21 cm ja 89 cm ja jonka lävistäjä on 100 cm. Etsi vallankumouskappaleen tilavuus.

7. Hypotenuusan ympärillä pyörii suorakulmainen kolmio, jonka jalat ovat 16 ja 12 cm. Etsi volyymi ja kiertoalue.

Vaihtoehto 2

1. Sylinterin sivupinta on puolet sen kokonaispinnasta. Etsi sylinterin kokonaispinta, jos aksiaalileikkauksen lävistäjä on 10 tuumaa.

2. Sylinterin kokonaispinta-ala on 500 p cm2, pohjan halkaisija 20 cm. Laske sylinterin tilavuus.

3. Katkaistun kartion generatrix viittaa sen korkeuteen 41:40. Pohjasäteet ovat 24 ja 6 cm. Etsi kartion sivupinta.

4. Kartion sivupinnan kehityskulma on 120°. Kartion generatriisi on 15 cm. Laske kartion kokonaispinta.

5. Laske katkaistun kartion korkeus, jos sen sivupinta on yhtä suuri kuin kantajen pinta-alojen summa ja kantajen säteet ovat R ja r.

6. Tasakylkinen puolisuunnikas, jonka kantat ovat 12 ja 18 cm ja terävä kulma 60°, pyörii pienemmän pohjan ympäri. Etsi kierroskappaleen pinta ja tilavuus.

7. Kolmio, jonka kaksi sivua ovat 5 cm ja 8 cm, muodostavat 60 °:n kulman, pyörii suurimman sivun ympäri. Etsi kierroskappaleen pinta ja tilavuus.

Itsenäinen työskentely 19

Vaihtoehto 1

1. Hypotenuusan ympärillä pyörii suorakulmainen kolmio, jonka jalat ovat 16 ja 12 cm. Etsi vallankumouskappaleen pinta.

2. Pallomaisen vyön kannan säteet ovat 63 ja 39 cm, korkeus 36 cm. Laske pallomaisen hihnan pinta.

3. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus h. Lateraaliset kylkiluut ovat keskenään kohtisuorassa. Etsi rajatun pallon säde.

4. Säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin korkeus on 17 cm, jalkojen ympärille kuvattujen ympyröiden säteet ovat 5 ja 12 cm. Laske rajatun pallon säde.

5. Neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin a, pyörii sen pään läpi piirretyn lävistäjän suhteen kohtisuoran ympäri. Etsi tuloksena olevan kappaleen pinta.

Vaihtoehto 2

1. Kolmio, jonka kaksi sivua ovat 5 ja 8 cm, muodostavat 60° kulman, pyörii suurimman sivun ympäri. Etsi vallankumouskappaleen pinta.

2. Pallomaisen segmentin kokonaispinta on yhtä suuri kuin S. Määritä segmentin korkeus, jos pallon säde on R.

3. Pyramidin kanta on säännöllinen kolmio, jonka sivu on 3 dm. Yksi sivureunoista on 2 dm ja kohtisuorassa alustaan ​​nähden. Etsi rajatun pallon säde.

4. Säännöllisen nelikulmaisen katkaistun pyramidin pohjien sivut ovat 7 ja 1 dm. Sivureuna on kalteva pohjaan nähden 45° kulmassa.Määritä rajatun pallon säde.

5. Säännöllinen kuusikulmio, jonka sivu on a, pyörii ulkoakselin ympäri, joka on yhdensuuntainen sivun kanssa ja erotettu siitä apoteemin pituuden verran. Etsi tuloksena olevan kappaleen pinta.

Itsenäinen työskentely 20

Vaihtoehto 1

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivureuna on yhtä suuri kuin b ja muodostaa kulman a kantatason kanssa. Tasasivuinen sylinteri on kaiverrettu pyramidiin siten, että pohjan taso on pyramidin pohjan tasolla. Selvitä sylinterin tilavuus.

2. Pyramidin kanta on säännöllinen kolmio. Toinen sivureuna on kohtisuorassa perustasoon nähden ja on yhtä suuri kuin l, ja kaksi muuta muodostavat kulman a perustason kanssa. Pyramidiin on kaiverrettu suora prisma, jonka kolme kärkeä ovat pyramidin sivureunoilla ja muut kolme ovat pyramidin pohjalla, prisman sivupinnan diagonaali on pohjan tason kanssa Ð b. Etsi prisman korkeus.

3. Tavallisessa nelikulmaisessa prismassa sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin q. Etsi diagonaalisen leikkauksen alue.

4. Pallon halkaisijaan nähden kohtisuorassa oleva taso jakaa sen 3 ja 9 cm:n osiin Mihin osiin pallon tilavuus on jaettu?

Vaihtoehto 2

1. Kulma kartion aksiaalisen leikkauksen yläosassa on 2b. Pohjan ympärysmitta on c. Määritä kartion sivupinnan pinta-ala.

2. Katkaistun kartion aksiaalisen leikkauksen lävistäjät jaetaan leikkauspisteellä suhteessa 2:1 suuresta alustasta laskettuna. Alustaan ​​päin olevien diagonaalien välinen kulma on a. Diagonaali on l. Etsi kartion tilavuus.

3. Oikean suuntaissärmiön sivureuna on 5 cm, pohjan sivut 6 ja 8 cm, yksi pohjan lävistäjä on 12 cm. Etsi suuntaissärmiön lävistäjät.

4. Mikä osa pallon tilavuudesta on pallomaisen segmentin tilavuus, jonka korkeus on 0,1 pallon halkaisijasta?

Vaihtoehto 3

1. Kartion generatriisi on yhtä suuri kuin l ja se on kallistettu kannan tasoon kulmassa a. Määritä kirjoitetun kuution kokonaispinta-ala.

2. Kartion pohjaan on kirjoitettu neliö, jonka sivu on a. Tämän neliön toisen sivun ja kartion kärjen kautta kulkeva taso muodostaa kartion pinnan kanssa leikkaaessaan tasakylkisen kolmion, jonka kärjessä oleva kulma on yhtä suuri kuin a. Etsi kartion tilavuus.

3. Säännöllisen nelikulmaisen prisman pohjan sivu on 15 cm ja korkeus 20 cm. Selvitä pohjan sivusta lyhin etäisyys prisman lävistäjään, joka ei leikkaa sitä.

4. Kaksi samankokoista palloa on järjestetty siten, että toisen keskipiste on toisen pinnalla. Miten pallojen kokonaisosan tilavuus liittyy koko pallon tilavuuteen?

Vaihtoehto 4

1. Suorakulmainen kolmioprisma, jossa on yhtäläiset rivat, on piirretty kartioon, jonka generatriisi on kallistettu kannan tasoon kulmassa a. Etsi prisman tilavuus, jos kartion kannan säde on R.

2. Kartion tilavuus on V. Kartioon on piirretty pyramidi, jonka pohjassa on tasakylkinen kolmio, jonka sivujen välissä on kulma a. Etsi pyramidin tilavuus.

3. Oikeassa suuntaissärmiössä sivureuna on 1 m, pohjan sivut 23 dm ja 11 dm, pohjan lävistäjät 2: 3. Laske lävistäjäleikkausten pinta-alat.

4. Etsi kannan a sivulta ja sivureunasta b säännöllisen kuusikulmaisen prisman koko pinta.

. Kartio. Peruskonseptit.

Määritelmä. kartio kutsutaan geometriseksi kuvioksi, joka saadaan kiertämällä suorakulmaista kolmiota sen jalan ympäri. Jalka, johon nähden pyöriminen tapahtuu - akseli kartio, numeerisesti yhtä suuri kuin sen korkeus; toinen jalka - säde perusteet; hypotenuusa - generatrix (muodostaa kartion sivupinnan pyörimisen aikana).

M- kartion yläosa O- pohjakeskus MO- kartion akseli, MO = H on kartion korkeus, OA = OV =…= R on pohjan säde, OLEN= BM =…= l on kartion generatrix. Kartion aksiaalinen leikkaus tasakylkinen kolmio (esim AMB). Kartion poikkileikkaus pohjan suuntaisen tason mukaan on pohjan kaltainen ympyrä.

Kartion pinnan kehitys koostuu ympyrästä ja ympyrän sektorista.

. Frustum.

Määritelmä. katkaistu kartio kutsutaan geometriseksi kuvioksi, joka saadaan kiertämällä suorakaiteen muotoista puolisuunnikasta sen pienemmän sivun ympäri. Toisin sanoen: katkaistu kartio on kartion osa, joka on suljettu pohjan ja pohjan suuntaisen kartion osan väliin. Aksiaalinen osa tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen (esim. ABB 1 MUTTA 1 ) .

B 1 A 1

. Kartion tilavuus ja pinta-ala.

	katkaistu

Tässä R on pohjapohjan säde, r on yläpohjan säde, H- korkeus, l- synnyttää.

Kysymyksiä ja tehtäviä

Paperista taitetaan pussi, joka on kartion muotoinen, jonka pohjan säde on 5 cm ja korkeus 10 cm. Määritä pussin pinta-ala.

Kartion generatriisi on 2 cm ja pohjan säde on 1 cm. Selitä, onko sen kokonaispinta-ala suurempi vai pienempi kuin 6 cm 2.

Etsi kartion kokonaispinta-ala, jos:

a) sen kantaosan säde on 2 ja generatriisi on 4;

b) pohjan säde on 3 ja korkeus on 4;

c) kannan säde on 4 ja generatrixin kaltevuuskulma kantaan on 30 0 .

Etsi kartion tilavuus, jos:

a) sen pohjasäde on 2 ja sen korkeus on 3;

b) sen kantaosan säde on 3 ja generatriisi on 5;

c) pohjan säde on yhtä suuri kuin 2 ja generatrix on kallistettu pohjan tasoon 30° kulmassa;

d) pohjan säde on 3 ja aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on 12.

a ja b (a < b) pyörii ensin yhden ja sitten toisen ympäri. Vertailla:

a) saatujen kartioiden sivupintojen pinta-ala;

b) tuloksena olevien kartioiden kokonaispintojen pinta-alat.

Tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka jalat ovat pituudeltaan 2, kierretään hypotenuusan ympäri. Etsi tuloksena olevan pinnan pinta-ala.

Suorakulmaista kolmiota, jossa on jalat 3 ja 4, kierretään hypotenuusan ympäri. Etsi tuloksena olevan pinnan pinta-ala.

Suorakulmainen kolmio, jonka jalat ovat 6 cm ja 8 cm, pyörii pienemmän jalan ympärillä. Laske tämän kierron aikana muodostuneen kartion sivu- ja täyspintojen pinta-alat.

Suorakulmainen kolmio jaloilla a ja b pyörivät hypotenuusan ympärillä. Etsi tuloksena olevan kierroskappaleen tilavuus.

Suuntaviiva, jonka sivut ovat 6 cm ja 8 cm ja kulma 60 0, kierretään suoran ympäri, joka sisältää suunnikkaan suuremman sivun. Etsi tuloksena olevan pinnan pinta-ala.

Generaattorin ja kartion akselin välinen kulma on 45°, generatriisi on 6,5 cm. Etsi kartion sivupinnan pinta-ala.

Kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on 0,6 cm². Kartion korkeus on 1,2 cm. Laske kartion kokonaispinta-ala.

Laske kartion tilavuus, jos sen kantapinta-ala on Q ja sivupinta-ala on P.

Kartion korkeus on yhtä suuri kuin sen pohjan halkaisija. Etsi kartion tilavuus, jos sen korkeus on H.

Etsi kartion tilavuus, jos sen generaattori on 13 cm ja aksiaalileikkauksen pinta-ala on 60 cm².

Katkaistun kartion kannan säteet ovat 3 m ja 6 m ja generatrix on 5 m. Selvitä katkaistun kartion tilavuus.

Kartiota, jonka kantasäde on 5 cm ja generatrix 3 cm, tarkastellaan. Kartion pohjan suuntainen leikkaus piirretään generatrixin pisteen läpi, joka sijaitsee 1 cm:n etäisyydellä ylhäältä. Suorita seuraavat tehtävät järjestyksessä:

a) etsi tämän osan alue;

b) etsi tämän kartion sivupinnan pinta-ala;

c) etsi piirretyn tason leikkaaman kartion sivupinnan pinta-ala;

d) löytää katkaistun kartion sivupinnan pinta-ala, jonka piirretty taso katkaisee;

e) selvitä tämän katkaistun kartion kokonaispinta-ala.

Etsi katkaistun kartion generatriisi, jos kantajen säteet ovat 3 cm ja 6 cm ja korkeus 4 cm.

Kartion pohjan pinta-ala on 12 cm², korkeus 6 cm. Etsi sen poikkileikkauksen pinta-ala, yhdensuuntainen pohjan kanssa ja piirretty:

a) keskikorkeuden kautta;

b) 2 cm:n etäisyydellä kartion yläosasta;

c) 4 cm:n etäisyydellä kartion yläosasta.

Etsi niiden kartioiden tilavuudet, joiden kantat ovat tarkasteltavat poikkileikkaukset ja joiden kärki on annetun kartion kärki.

Kartion pohjan pinta-ala on 25 cm² ja korkeus 5 cm. Pohjan suuntainen leikkaus piirretään 1 cm etäisyydelle ylhäältä. Etsi piirretyn osan katkaiseman katkaistun kartion tilavuus.

Kartion korkeus on 5 cm, ja sen ylittää 2 cm etäisyydellä ylhäältä pohjan suuntainen taso. Selvitä alkuperäisen kartion tilavuus, jos alkuperäisestä katkaistu pienemmän kartion tilavuus on 24 cm³.

Katkaistussa kartiossa korkeus tunnetaan h, muodostaen l:n ja alueen S sivupinta. Etsi aksiaalisen leikkauksen pinta-ala ja katkaistun kartion tilavuus.

Kuten tiedetään; kun piste pyörii akselin ympäri, se liikkuu tasossa, joka on kohtisuorassa kiertoakseliin nähden ja kuvaa ympyrää. Kiertomenetelmän soveltamiseksi piirustuksen muuttamiseksi huomioi seuraavat neljä elementtiä (kuva 5.8):

pyörimisakseli (MN);

pisteen kiertotaso(pl. S on kohtisuora (MN));

pyörimiskeskus;

Pyörimissäde (R; R= |OA|).

Pyörimisakselina käytetään yleensä suoria viivoja, jotka ovat kohtisuorassa tai yhdensuuntaisia ​​projektiotasojen kanssa. Harkitse pyörimistä projektiotasoja vastaan ​​kohtisuorassa olevien akseleiden ympäri.

Piste A kierto piirustuksessa akselin ympäri MN, kohtisuorassa tasoon nähden H, näkyy kuvassa 5.9. Pyörimistaso S on yhdensuuntainen H-tason kanssa ja se on esitetty otsaprojektiossa seuraavasti S v. Vaakasuora projektio noin pyörimiskeskipisteestä noin osuu yhteen projektion kanssa tp akselit ja vaakaprojektio oa pyörimissäde OA on sen luonnollinen arvo. pisteen kierto MUTTA kuvassa 5.9 tehdään kulmalla φ vastapäivään niin, että pisteen uudessa paikassa projektiot a1", a1 pyörimissäde oli yhdensuuntainen tason kanssaV Kun piste pyörii pystyakselin ympäri, sen vaakaprojektio liikkuu ympyrää pitkin ja etuprojektio liikkuu yhdensuuntaisesti x-akselin kanssa ja kohtisuorassa kiertoakseliin nähden.

Jos pistettä kierretään V-tasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri, sen etuprojektio liikkuu ympyrässä ja vaakaprojektio liikkuu yhdensuuntaisesti x-akselin kanssa.

Pisteen kiertoa ulkonevan suoran ympäri käytetään joidenkin ongelmien ratkaisemisessa, esimerkiksi janan luonnollisen koon määrittämisessä. Tätä varten (kuva 5.10) riittää pyörimisakseli ulokkeineen t "p", tp valita niin, että se kulkee yhden janan ääripisteen läpi, esimerkiksi pisteen, jossa on projektiot b", b. Sitten kun asiaa käännetään MUTTA kulma φ paikalleen A1 (OA1 || neliö V, oa, || x-akseli) segmentti AB siirtyy asentoon A1B, yhdensuuntainen tason kanssa V ja siksi se heijastetaan siihen täysikokoisena. Samalla segmentin kaltevuuden kulma a projisoidaan täysikokoisena AB koneeseen H.

Projektioineen pisteen rotaatio (kierto) b", b suhteessa akseliin projektioilla t"p", tp, kohtisuorassa tasoon nähden V, näkyy kuvassa 5.11. Pistettä pyöritettäessä AT liikkuu kiertotasossa T (Th) sijaintiin projektioiden b1" kanssa, b1 niin että kiertosäde OV tulla yhdensuuntaisiksi tason kanssa H (o "b" || x-akseli).

Kiertomenetelmän soveltaminen ilman, että piirustukseen merkitään kiertoakselit kohtisuorassa projektiotasoihin nähden.Jos pyörität geometristä kuvaa projektiotasoon nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri, projektio tällä tasolla ei muutu ulkonäöltään eikä koosta (vain projektion sijainti suhteessa projektioakseliin muuttuu). Geometrisen kuvion pisteiden projektiot pyörimisakselin suuntaisella tasolla liikkuvat projektioakselin suuntaisia ​​suoria linjoja pitkin (poikkeuksena pyörimisakselilla sijaitsevien pisteiden projektiot), ja projektio kokonaisuudessaan muuttuu muoto ja koko. Siksi on mahdollista soveltaa kiertomenetelmää ilman, että kiertoakselin esitystapaa määritellään. Siinä

Muuttamatta geometrisen kuvan yhden projektion kokoa ja muotoa, siirrä tämä projektio haluttuun kohtaan ja rakenna sitten toinen projektio yllä kuvatulla tavalla.

Kuva 5.12 näyttää kiertomenetelmän käytön kolmion todellisen koon määrittämiseen ilman akseleita abc, ennusteiden perusteella a"b"c", abc. Tätä varten tehdään kaksi kiertoa yleisasennossa olevalle tasolle, jossa kolmio sijaitsee, niin että ensimmäisen kierron jälkeen tämä taso tulee kohtisuoraan tasoon nähden V, ja toisen jälkeen - yhdensuuntainen tason H kanssa. Ensimmäinen kierto tasoon H nähden kohtisuorassa olevan akselin ympäri, sen sijaintia määrittelemättä, suoritettiin käyttämällä vaakasuuntaa projektioilla s"1", s-1 kolmion tasossa. Tässä tapauksessa vaakasuora projektio aс kierretty vastaamaan projektion suuntaa. Kolmion vaakasuora projektio säilyttää muotonsa ja kokonsa, vain sen sijainti muuttuu. pisteitä A, B ja C sellaisella kierrolla ne liikkuvat tasoissa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​tason H kanssa. Projektit a1", c1, b1" a"a1", b"b1" ja c"c1". Kolmion etuprojektio uudessa paikassa on jana a1"b1"c1".

Toinen kierto, joka vie kolmion tason H suuntaiseen asentoon, tehdään kiertoakselin ympäri, joka on kohtisuorassa tasoon H nähden (akselin sijaintia ei myöskään ole ilmoitettu). Frontaaliprojektio toisessa kierrossa säilyttää ulkonäön ja koon, joka on saatu ensimmäisen kierroksen jälkeen. pisteitä A1, D1 ja C1 liikkua tason kanssa yhdensuuntaisissa tasoissa V Projektiot a 2 , b 2 , c 2 ovat horisontaalisilla viestintälinjoilla a, a 2, blb2, c1c2. Projektio a2b2c 2 on annetun kolmion todellinen koko.

Tehtäessä tarkasteltuja kiertoja projektiotasoja vastaan ​​kohtisuorassa olevien akseleiden ympäri, näitä akseleita ei ole merkitty, mutta ne ovat helposti löydettävissä. Jos esimerkiksi piirrät segmenttejä aa1, b1b2 ja piirrä kohtisuorat niiden keskipisteiden läpi, jolloin näiden kohtisuorien leikkauspiste on pyörimisakselin vaakasuora projektio, joka on kohtisuorassa tasoon H nähden.

Kiertomenetelmän käyttö ilman akseleiden määrittelyä yksinkertaistaa jonkin verran rakennetta, ei ole päällekkäisyyttä

osa toisesta, mutta piirustus vie suuren alueen. (Tarkasteltu kiertotapaus ilman pyörimisakseleiden kuvaamista on tasosuuntaisen liikkeen menetelmän erikoistapaus.)

Kiertomenetelmä projektiotasojen kanssa samansuuntaisten suorien viivojen ympäri.Litteän hahmon luonnollinen koko voidaan määrittää pyörittämällä projektiotason kanssa yhdensuuntaisen akselin ympäri, jolloin kuva saadaan yhdellä kierroksella projektiotason suuntaiseen asentoon.

Kuva 5.13 esittää kolmion koon määritelmän projektioineen a"b"c", abc pyöriminen vaakatason ympäri.Tässä tapauksessa kaikki kolmion pisteet(lukuun ottamatta pyörimisakselilla makaavia)pyöritä akselin ympäri ympyröissä akseliin nähden kohtisuorassa olevissa tasoissa.Jos kolmio ottaa projektiotason suuntaisen asennon, sen pisteiden kiertosäteet ovat yhdensuuntaiset tämän tason kanssa, eli ne projisoidaan tasolle H todellinen koko.

Pyörimisakseliksi otettiin vaakasuuntainen projektio s"1", s-1.

Pyörimisakselin piste C pysyy kiinteänä. Kolmion vaakasuuntaisen projektion kuvaamiseksi kierron jälkeen on tarpeen löytää sen kahden muun kärjen projektioiden sijainti. Vertices projektioilla a", a ja b", b siirtymäkolmio-

ovat lentokoneissa P ja Q näiden pisteiden liikettä. Vaakasuora projektio noin kärjen kiertokeskus MUTTA on vaakaprojektion leikkauspiste s-1 Pyörimisakselit vaakaprojektiolla Ph.h. Sen etuprojektio on merkitty siihen. o. Segmentit oa - vaakasuora, o "a" - pisteen kiertosäteen etuprojektio MUTTA. elämän koko oA pisteen kiertosäde MUTTA määritellään kohdassa 2.3 kuvatulla tavalla (katso kuva 2.9), eli rakentamalla suorakulmainen kolmio. Jaloissa oa ja aA \u003d o "2" kolmio rakennetaan oaa, sen hypotenuusa on yhtä suuri kuin pisteen kiertosäde MUTTA.

Projektista noin kääntöpiste MUTTA sen liiketason jäljen Ph suunnassa jätämme syrjään kiertosäteen luonnollisen arvon. Vaakaprojektion merkitseminen a, pisteet A, kierretty tason suuntaisen kolmion asentoon N. Vaakaprojektio bt-piste AT kierretyssä asennossa löydämme vaakaprojektion leikkauspisteen 1-аt jäljillä Q h . Vaakasuora projektio a1cb1 ilmaisee A:n luonnollista arvoa ABC, koska kierron jälkeen kolmion taso on yhdensuuntainen tason kanssa N. Kierretyn kolmion etuprojektio osuu yhteen vaakatason etuprojektion kanssa 1"s", eli se on suora jana.

Jos haluat kääntää litteän geometrisen kuvan tason suuntaiseen asentoon V, sitten frontaali valitaan pyörimisakseliksi.

Pyöritä tasoa sen jäljen ympäri, kunnes se osuu vastaavaan projektiotasoon(tätä tapausta kutsutaan myös yhdistelmämenetelmäksi). Jos tasoa kierretään sen jäljen ympäri, kunnes se osuu yhteen projektiotason kanssa, jossa tämä jälki sijaitsee, tasossa sijaitsevat geometriset kuvat näytetään ilman vääristymiä. Tämä menetelmä on erityinen kierto vaaka- tai frontaalin ympäri, koska tason vaakasuuntaa voidaan pitää vaakatason "nolla" vaakasuuntana ja frontaalia "nolla" frontaalina.

Kuva 5.14 esittää visuaalisen esityksen yleisen asennon tason kiertymisestä R vaakasuuntaisen radan ympärillä P h suuntaan lentokoneesta V katsojaan, kunnes se on linjassa tason kanssa N. Tason kohdistusasennossa R koneella

H suora P Uq on jälki R ja, linjassa tasoon N. Trace Ph kuinka pyörimisakseli ei muuta asemaansa. Piste Rx jälkien leikkaus ei myöskään muuta sen sijaintia. Yhdistetyn aseman rakentaminen P L, jälki P v riittää, kun etsit vielä yhden pisteen, esimerkiksi pisteen N, tämä jälki (paitsi piste R x) tason kanssa samassa asennossa N.

Piste N kuvaa kaaria tasossa Q, kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden. Keskusta O tämä kaari on tason leikkauspiste Q jäljillä P h . Piste N 0 tasossa H on säteen kaaren leikkauspiste PÄÄLLÄ tasossa Q jäljellä Q h . Piirretään suora P x:n ja N 0:n läpi, saadaan P U0 . Segmentti P X N ei muuta pituuttaan koneen pyöriessä; niin pointti N0 saa ylittämällä Q h tasossa kuvatulla kaarella H, pisteestä Р x säteellä P X N.

Suorittaa harkitut rakenteet piirustuksessa (kuva 5.15) jäljessä R ja mielivaltainen piste valittu N (se on sama kuin sen projektio P"). Vaakaprojektionsa kautta P suoraan päällä, kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden - jäljitys Ph.h. Tältä viivalta löytyy piste N 0 eli piste N linjauksen jälkeen koneeseen N. Hänet löydettiin kaukaa P X N 0 \u003d P x n "pisteestä P x tai etäältä oN 0 pisteestä o, yhtä suuri kuin pisteen kiertosäde N. Säteen pituus oN 0 = oN määritellään esimerkiksi jaloineen suorakulmaisen kolmion hypotenuusaksi päällä ja nN (nN=nn"). Suora P U0 , kulkee pisteiden läpi P x ja N 0, - yhdistetty radan sijainti R i.

C0-pisteen yhdistetty sijainti on rakennettu samalla tavalla C. Pyörimissäde oC löytyy suorakaiteen hypotenuusana

kolmio yhdellä jalalla oc, toinen jalka cc = s "1. Rakenteen toinen versio on tehty vaakatasolla P projektioilla c"2", c -2. Kaaren säteen käyttäminen R x 2" vastaava paikka löydetty 2o pistettä 2 suoralla Pv0, ja yhdistetyssä asennossa 20С0 pisteen läpi kulkeva vaakasuora viiva 2 0 rinnakkain Ph.:n jäljen kanssa.

Jos taso on yhdistettävä projektioiden etutason kanssa, tasoa on käännettävä etuviivansa ympäri.

Me piirrämme

6.1. Olkoon oikea prisma. Siirto saadaan vektorilla: a) 0,5AB; b) AO, missä O on alemman kannan keskipiste. Piirrä prisman kuva tämän käännöksen aikana. Piirrä alkuperäisen ja tuloksena olevan prisman liitos ja leikkauspiste.

6.2. Annettu säännöllinen tetraedri. Piirrä tetraedri, joka saadaan annetusta tuloksesta: a) keskisymmetria korkeuden keskikohdan ympärillä; b) peilisymmetria suhteessa siihen nähden kohtisuoran korkeuden keskikohdan läpi kulkevaan tasoon; c) kierto 60° sen korkeuden ympärillä; d) 90" kierto sen vastakkaisten reunojen keskipisteet yhdistävän linjan ympäri. Piirrä alkuperäisen ja tuloksena olevan tetraedrin liitos ja leikkauspiste.

6.3. Annettu kuutio. Piirrä kuutio, joka saadaan annetusta kuutiosta seuraavilla tavoilla: a) siirtäminen sen diagonaalia pitkin suunnattuun vektoriin, jonka pituus on puolet tästä lävistäjästä; b) keskisymmetria pisteen suhteen, joka sijaitsee sen lävistäjällä ja jakaa sen suhteessa 2:1; c) peilisymmetria suhteessa tasoon, joka leikkaa sen säännöllistä kuusikulmiota pitkin; d) Kierrä 90" suoran linjan ympäri, joka kulkee kahden samansuuntaisen reunan keskipisteiden läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla. Piirrä alkuperäisen ja tuloksena olevan kuution liitos ja leikkauspiste.

6.4 Piirrä kappaleet, jotka voidaan saada kiertämällä ympyrää

6.5 Piirrä kappaleet, jotka saadaan kiertämällä: a) kuutio reunan ympäri; b) kuutio diagonaalin ympärillä; c) säännöllinen tetraedri reunan ympärillä; d) kartio akselin suuntaisen suoran ympärillä, joka kulkee sen ulkopuolella.

Suunnittelevat

6.6. Kuinka löytää tehtävistä 6.1, 6.2 kuvioiden - liitosten ja leikkauspisteiden - tilavuus ja pinta-ala?

6.7. Kuinka löytää tehtävän 6.5 kuvioiden tilavuus ja pinta-ala?

Esittelyssä

6.8 Eikö kappaleen symmetriakeskus voi kuulua siihen?

6.9 Kaksi yhtä suurta segmenttiä: a) yhdensuuntainen; b) niillä on täsmälleen yksi yhteinen kohta; c) risteytys. Mitä liikettä toinen niistä voi näyttää toisessa?

6.10. Kaksi segmenttiä ovat symmetrisiä toisilleen kahden tason suhteen. Mikä on luku, jos niiden päät on kytketty sarjaan segmenteillä?

6.11. Kaikki mahdolliset tasot piirretään suoran linjan läpi. Tämä piste heijastuu kaikista näistä tasoista. Millaisen muodon kaikki saadut pisteet muodostavat?

6.12 Onko totta, että: a) kaltevalla suuntaissärmiöllä, jonka kaksi sivua ovat kohtisuorassa kantaan nähden, on symmetriataso; b) symmetriatason omaavan suuntaissärmiön pintojen joukossa on suorakulmioita; c) Onko suuntaissärmiö, jolla on kaksi symmetriatasoa, suorakulmainen?

6.13. Kuinka leikata kuutio kolmeen yhtä suureen pyramidiin?

Arvioida

6.14. Suorakulmainen kolmio, jossa on hypotenuusa d, pyörii yhden jalan ympäri. Missä olosuhteissa vallankumouskappaleen tilavuus on suurin?

6.15. Tasakylkisen kolmion ympärysmitta on P. Tämä kolmio pyörii kannan ympäri. Mikä näistä kolmioista antaa suurimman kierroskappaleen tilavuuden?

Me ajattelemme

6.16. Kuution keskipiste heijastuu sen jokaisen pinnan tasosta. Todista, että saadut pisteet ovat oktaedrin huippuja. Onko tällä tavalla mahdollista saada muita tavallisia polyhedraja?

6.17. Tämä pallo sisältää:

a) säännöllinen tetraedri;

b) kuutio. Tämän monitahoisen pinnat laajennettiin pallon leikkauspisteeseen asti. Mihin muotoihin pallo on jaettu? Mihin muotoon pallo on jaettu? Kuinka monet heistä ovat keskenään samanarvoisia?

Tutkiminen

6.18. Onko avaruuden liike sellainen muunnos, joka asettaa pisteen, jolla on koordinaatit, vastaamaan pistettä, jolla on koordinaatit:

6.19. Monitahoisella on symmetriakeskus, piirretyn pallon keskipiste, piirretyn pallon keskipiste ja massakeskipiste. Kuinka monta näistä kohdista voi yhtyä?

Menemme yliopistoon

6.20. Pallon halkaisijan päästä vedetään jänne siten, että tämän halkaisijan ympäri kiertämällä muodostuva pinta jakaa pallon tilavuuden kahteen yhtä suureen osaan. Määritä jänteen ja halkaisijan välinen kulma.

6.21. Tasasivuinen kolmio, jonka sivu on a, pyörii ulkoisen akselin ympäri, joka on samansuuntainen kolmion sivun kanssa ja joka on siitä etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin puolet kolmion korkeudesta. Etsi vallankumouskappaleen tilavuus.

6.22. Kolmio pyörii puolittajan AD ympäri. Osoita, että sivujen AB ja AC kuvaamien pintojen pinta-alat liittyvät tilavuuksiin, jotka saadaan kiertämällä osia ABD ja AC.

6.23. Tasakylkinen kolmio, jonka kanta on a ja kannan kulma a, pyörii suoran ympäri, joka kulkee yhden kannan pään kautta kohtisuoraan siihen nähden. Etsi tuloksena olevan kierroskappaleen pinta-ala.

6.24. Neliön ABCD osa, joka jää jäljelle neljäsosan ympyrän jälkeen, jonka kärjessä D on sentti ja jonka säteet ovat yhtä suuria kuin neliön sivu, leikataan siitä irti, pyörii D:n läpi kulkevan akselin ympäri, joka on yhdensuuntainen diagonaalin AC kanssa. . Laske tuloksena olevan kierrosluvun tilavuus, jos neliön sivu on a.

6.25. Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala on yhtä suuri kuin , korkeuden AB pituus on yhtä suuri kuin h, puolisuunnikkaan terävän kulman ADC arvo

yhtä suuri kuin a. Piste E on otettu CD:n sivulta niin, että . Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä nelikulmiota ABED suoran AB ympäri.

6.26. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä säännöllistä kuusikulmiota sen sivun ympäri, joka on yhtä suuri kuin a

6.27. Pisteet A ja B on annettu puoliympyrän ympyrässä, jonka säde on R. Jos N on halkaisijan yksi päistä ja O on ympyrän keskipiste, määritä kappaleen muodostaman kappaleen kokonaispinta-ala. pyöreän sektorin AOB kierto halkaisijan ympäri.

6.28. Annettu säännöllinen tetraedri ABCD. Jokainen sen kärki heijastuu symmetrisesti sitä vastakkaisen pinnan tasoon nähden, minkä seurauksena saadaan vastaavasti KLMN-pisteet. Etsi alkuperäisen ja tuloksena olevan tetraedrin tilavuuksien suhde.

6.29. Tetraedriin piirretään segmentit, jotka yhdistävät sen kärjet vastakkaisten pintojen mediaanien leikkauspisteisiin. Ne kaikki leikkaavat pisteessä O. Toinen tetraedri on symmetrinen ensimmäisen kanssa pisteen O suhteen. Alkuperäisen tetraedrin tilavuus on V. Selvitä kahden tetraedrin yhteisen osan tilavuus.

Vastaus: 0,5V.

6.30. Säännöllisen prisman kannan sivun pituus on a ja sivureunan pituus 1.125a. Piste E on reunan AB keskikohta ja piste M janalla EC ja EM EC. Toinen prisma on symmetrinen prisman kanssa suoran linjan suhteen.Määritä näiden prismojen yhteisen osan tilavuus.

6.31. Esitetään säännöllinen tetraedri, jonka tilavuus on V. Toinen tetraedri saadaan ensimmäisestä kiertämällä sitä kulman läpi

ja tetraedrin risteävien reunojen keskipisteet yhdistävän suoran ympärillä. Etsi näiden kahden tetraedrin yhteisen osan tilavuus.

6.32. Kuutiota, jonka reuna on a, kierretään 90" suoran linjan ympäri, joka yhdistää kahden samansuuntaisen reunan keskipisteet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Selvitä alkuperäisen kuution ja kierretyn kuution yhteisen osan tilavuus.

6.33. Säännöllinen kolmiopyramidi, jonka kantasivu on a, kierretään symmetria-akselin ympäri 60 asteen kulmalla. Määritä alkuperäisen ja kierretyn pyramidin yhteisen osan tilavuus, jos sivupinnat ovat suorakulmaisia ​​kolmioita.

6.34. Säännöllinen tetraedri on kirjoitettu palloon, jonka säde on R. Kääntämällä sitä kulmassa - korkeuden ympärillä saadaan uusi tetraedri, joka on merkitty palloon. Etsi kummankin tetraedrin ulkopuolisen pallon osan tilavuus.

6.35. Pyörimiskartio akselin ympäri - suora viiva, joka on kohtisuorassa sen korkeuteen nähden ja kulkee kärjen läpi. Hae tuloksena olevan pyörähdyskappaleen poikkileikkauspinta-ala pyörimisakselin läpi kulkevalla tasolla, jos kartion generatriisi on 5 ja korkeus 4.

TEHTÄVÄT § 26 kohtaan

Täydentää teoriaa

6.36. Todista, että taso siirtyy sen kanssa samansuuntaiseen tasoon (ellei itseensä) seurauksena:

a) siirto; b) Keskisymmetria.

Suunnittelevat

6.37. Kuutiossa piste O on pinnan ABCD keskipiste. Kuinka laskea kulma viivojen B, O ja:

a) suora suora taso

d) lentokone

6.38. Olkoon PABCD pyramidi, jonka kanta on rombi ABCD. RVCAVS). RVS-pinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin S. Pisteen K - reunan AD keskikohdan - kautta piirretään leikkaus yhdensuuntainen tason PAB kanssa. Kuinka löytää sen alue?

6.39. Säännöllisen tetraedrin jokainen sivupinta on kiertynyt pohjan reunojen ympäri saman kulman verran ulospäin. Tämä johti monitahoiseen, jossa oli kuusi kärkeä ja yhtäläiset reunat. Mihin kulmaan reunat kääntyivät?

Esittelyssä

6.40. Voiko kahdella erisuuruisella kartiolla olla kaksi samanlaista ympyräleikkausta samalla tasolla, jos ne ovat samalla tasolla sen toisella puolella?

6.41. Nämä kaksi ympyrää ovat keskellä symmetrisiä eivätkä ole samassa tasossa. Onko totta, että ne sijaitsevat: a) yhden pallon pinnalla; b) yksi sylinteri? Entä jos nämä ympyrät ovat peilisymmetrisiä?

6.42. Tässä tapauksessa kaksi on yhtä suuri:

a) pallo b) sylinterin; c) ovatko kartiot keskellä symmetrisiä? Peili symmetrinen?

6.43. Millä kierroksilla pallo voidaan kartoittaa itseensä?

6.44. Millä käännöksillä toinen näistä kuvioista kartoitetaan toiseen, jos nämä kuviot ovat: a) kaksi suoraa; b) kaksi tasoa; c) kaksi yhtä suurta palloa? Onko olemassa kiertoa, joka yhdistää toisen hahmon ensimmäiseen?

6.45. Saammeko aina kuperan kappaleen pyörittämällä kuperaa kuviota?

Me ajattelemme

6.46. Todista translaatioominaisuuksien avulla, että: a) kaksi yhden tason kohtisuoraa ovat yhdensuuntaisia; b) kaksi tasoa, jotka ovat kohtisuorassa yhtä suoraa vastaan, ovat yhdensuuntaisia; c) jos suora on yhdensuuntainen tasoon nähden kohtisuoran suoran kanssa, niin se on kohtisuorassa tasoon nähden; d) dihedraalisen kulman lineaariset kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

6.47. Osoita, että kahden tason liitto on kuvio: a) keskellä symmetrinen; b) peilisymmetrinen.

6.48. Suora b saadaan suorasta a heijastamalla tasoon a. Näillä linjoilla on yhteinen kohta. Todista, että tämä piste on tasossa a.

6.49. Pallossa, jonka säde on R, vedetään kaksi tasoa keskustan läpi muodostaen kulman niiden välille. Kuinka selvittää, missä suhteessa he rikkoivat pallon tilavuuden?

6.50. Taso piirretään kulman puolittajan läpi. Todista, että kulman sivut muodostavat sen kanssa yhtä suuret kulmat.

Tutkiminen

6.51. Onko mahdollista täyttää koko tila yhtä suurella suuntaissärmiöllä? Voivatko tämän tehdä muut samanlaiset polyhedrat?

6.52. Onko keskisymmetrisen kappaleen symmetriakeskuksen kautta kulkeva leikkaus keskisymmetrinen?

6.53. Runko on keskellä symmetrinen. Onko sen ortogonaalinen projektio keskisymmetrinen? Olisiko päinvastoin totta?

6.54. Kumpikin kahdesta kappaleesta on keskeisesti symmetrinen. Ovatko ne keskisymmetrisiä: a) yhdistäminen; b) risteys?

6.55. Keskeisesti symmetrinen kappale on jaettu tasolla. Yksi osa siitä osoittautui keskeisesti symmetriseksi. Tuleeko siitä toinen osa?

6.56. Onko olemassa polyhedria, jolla on ennalta määrätty määrä symmetriatasoja?

TEHTÄVÄT § 27 kohtaan

Täydentää teoriaa

6.57. Todista, että kahden heijastuksen koostumus leikkaavissa tasoissa on rotaatio ja kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa on translaatio.

6.58. Piirrä kuvio, joka siirtyy itseensä seuraavien seurauksena: a) ruuvi; b) peilin kääntyminen; c) liukuva heijastus.

6.59. Anna kuution Jonkin liikkeen seurauksena se siirtyy toiseen kuutioon. Piirrä tämä toinen kuutio, jos liike on: a) ruuvi, jonka pyörimisakseli kulkee pintojen keskipisteiden läpi

vektori a, kiertokulma on yhtä suuri kuin peilin pyöriminen pyörimisakselilla ja heijastus tasossa, joka on kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan ​​ja joka kulkee kuution keskustan läpi; c) liukuva heijastus, jossa heijastus tapahtuu tasossa, joka on kohtisuorassa kuution lävistäjään nähden ja kulkee kuution keskustan läpi, ja vektori on yhtä suuri kuin AC.

6.60. Olkoon RABC säännöllinen tetraedri. Liikkeen seurauksena se siirtyy toiseen tetraedriin. Piirrä tämä toinen tetraedri, jos liike on seuraava:

a) ruuvi, jonka pyörimisakseli on jalustan keskipiste), kiertokulma 60" ja vektori

b) peilin kierto pyörimisakselilla PQ, kiertokulmalla 60° ja heijastustasolla, joka on kohtisuorassa PQ:ta vastaan ​​ja kulkee keskikorkeuden läpi

c) liukuva heijastus heijastustasolla, joka kulkee PB:n ja K - AC:n keskikohdan läpi, ja vektori 0,5 KV.

Esittelyssä

6.61. Säilyttääkö kannan suunta: a) käännöksen; b) keskussymmetria; c) peilisymmetria; d) käännä; e) ruuvi; e) peilin kierto; g) liukuva heijastus?

6.62. Onko liikkeellä kiinteitä pisteitä, jos tämä liike: a) siirtyy; b) keskussymmetria; c) peilisymmetria; d) käännä; e) ruuvi; e) peilin kierto; g) liukuva heijastus?

6.63. Annettu kaksi yhtäläistä tasakylkistä kolmiota. Mitä liikkeitä niitä voidaan yhdistää, jos niillä on yhteistä: a) yhtäläisten sivujen yläosa; b) alustan sivu; c) sivupuoli; d) mediaani perusarvoon; e) sivujen keskiviiva?

c) yksi sen korkeuksista toiseen;

d) jana, joka yhdistää vastakkaisten reunojen keskipisteet toiseen tällaiseen segmenttiin;

e) yhden symmetriatason poikkileikkaus toiseen on sama;

f) leikkaus, joka on neliö toiselle, joka on sama? Kartoitetaanko toinen hahmo ensimmäiseen tällaisessa liikkeessä?

6.66. Sen seurauksena, mitkä liikkeet näkyvät itsestään:

leikkaus b) suora viiva; c) ympyrä; d) neliö; e) säännöllinen monikulmio; e) rombi; g) taso; h) dihedraalinen kulma?

6.67. Minkä liikkeiden seurauksena tetraedri RABC näytetään itsestään, jossa: a) ; b)

6.68. Keho on kahden pallon liitto, mutta ei pallo. Mitä liikkeitä se näkyy itsestään?

6.69. Nelikulmaisessa pyramidissa on: a) kaikki sivureunat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset litteät kulmat yläosassa ovat yhtä suuret;

b) kaikki kärjen tasaiset kulmat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset sivureunat ovat yhtä suuret. Millä liikkeillä se voidaan yhdistää?

6.70. Mitkä liikkeet heijastavat antiprismaa itsestään?

6.71. Kuution jakaminen: a) 8 yhtä suureen kuutioon; b) 6 yhtä suurta pyramidia; c) 3 yhtä suurta pyramidia; d) 4 yhtä suurta kolmioprismaa?

6.72. Kuinka jakaa suorakulmainen kolmioprisma kolmeen yhtä suureen tetraedriin? Onko kukaan heistä tasavertainen?

6.73. Kuinka jakaa suuntaissärmiö: a) 6 yhtä suureen pyramidiin; b) kolme yhtä suurta pyramidia? Onko kukaan heistä tasavertainen?

6.74. Säteellä 1 olevaan palloon vedettiin kolme sädettä OA, OB, OS, joista jokainen kaksi on kohtisuorassa. Mikä osa pallon tilavuudesta on rajoitettu pallon suurympyröiden OAB, OAC, OBC ja pinnan neljänneksillä? Mikä osa pinnasta?

Me ajattelemme

6.75. Kaksi säännöllistä nelikulmaista pyramidia ja niillä on yhteinen kanta ABCD. Piste K on reunan keskikohta, piste L on reunan keskikohta, piste M on kasvojen mediaanien leikkauspiste, piste N on kasvojen mediaanien leikkauspiste. Todista se:

e) etäisyys pisteestä K tasoon on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä L RHVS:n tasoon.

Tutkiminen

6.76. Ota minkä tahansa kahden tuntemasi liikkeen koostumus ja selvitä: a) muuttaako se tason suuntausta; b) Onko siinä kiinteitä pisteitä?

6.77. Kuinka monta kiinteää pistettä jokaisella tuntemallasi liikkeellä voi olla? Miten ne sijaitsevat? Ja kuinka monta kiinteää linjaa siinä voi olla? Lentokoneita?

6.78. Suora b saadaan suoralta a jollain liikkeellä. Määritä näiden viivojen sijainti keskenään, jos tämä liike on: a) ruuvi; b) peilin kääntyminen; c) peiliheijastus.

Vaihtaminen

6.79. Sylinterille kierretään lanka, jonka säde on R ja korkeus H. Mistä tiedät sen pituuden?

6.80. Sinun on suunniteltava kierreportaat. Miten toimit?

6.81. Voitko selittää kuinka kulmaheijastin toimii? Se koostuu kolmesta pareittain kohtisuorasta peilistä.