Yhdysvaltojen Venäjän energiasektoria vastaan ​​asettamat sanktiot voivat johtaa kriittisiin seurauksiin – jopa Euroopan energiajärjestelmän romahtamiseen asti. Näin sanoo brittiläisen öljy- ja kaasuyhtiön BP:n johtaja Robert.

"En usko, että se tapahtuu. Jos määräät pakotteita Rosneftille tai määräät Rusalin kaltaisia ​​pakotteita, silloin itse asiassa sammutat Euroopan energiajärjestelmät, ja tämä on jo vähän liikaa.

- sanoi Dudley puhuessaan Oil & Money 2018 -konferenssissa Lontoossa (lainattu).

Vieraan pääoman ja oman pääoman tarjontaa Venäjältä tuleville yrityksille rajoitettiin, samoin kuin kaluston hankintaa yli 150 metrin syvyydessä olevan hyllyn öljyn etsintään ja tuotantoon sekä liuskekivien kehittämiseen.

Elokuussa 2017 Yhdysvallat tiukensi taloudellisia pakotteita, otti käyttöön lisäkieltoja tavaroiden ja teknologioiden toimittamiselle tuotantoon sekä sääti myös mahdollisuudesta asettaa rajoituksia vientiputkille. Pakotteiden vuoksi myös lähes kaikki yhteishankkeet ulkomaalaisten kanssa offshore- ja liuskeöljyn kehittämiseksi keskeytettiin.

Asiantuntijat ovat toistuvasti todenneet, että tulevaisuudessa nämä rajoitukset voivat johtaa Venäjän federaation tuotannon tason laskuun, jos maa ei kiinnitä enemmän huomiota geologiseen tutkimukseen ja oman teknologiansa kehittämiseen.

On selvää, että jos tiukin rajoituspaketti hyväksytään marraskuussa, vuorovaikutus voi olla monimutkaista, mutta on epätodennäköistä, että se menee täydellisen pysähtymisen kategoriaan.

Zharsky ajattelee.

Jos odotukset olisivat erilaiset, niin toiselta kiinnostuneelta alkaisi tulla samoja huolestuttavia uutisia, mutta öljymiehiä ei sellaisista ennusteista änkytä, asiantuntija kiinnittää huomiota.

Kovien pakotteiden asettaminen ei ole ongelma vain Venäjälle, vaan myös päänsärky ulkomaisille vastapuolillemme, joihin kuuluvat Yhdysvaltain lähimmät liittolaiset, on samaa mieltä BCS Premier -sijoitusstrategi.

Analyytikon mukaan pakotteiden tiukentuessa rajoittavat toimenpiteet voivat olla luonteeltaan pikemminkin valikoivia, eivätkä ne todennäköisesti kohdistu koko toimialaan.

Venäjällä on yli 10 % maailman öljymarkkinoista, näin merkittävän toimijan äkillinen poistuminen merkitsee öljyn nopeaa kasvua lainausmerkit: mahdollisesti tämä ei ole isku vain eurooppalaisille, vaan myös kaikille muille öljyn kuluttajille.

Siten syyskuussa Venäjän öljyntuotanto oli 11,35 miljoonaa barrelia päivässä (b / d). Energiaministeriön polttoaine- ja energiakompleksin CDU:n mukaan Venäjä toimitti tammi-syyskuussa 2018 190,212 miljoonaa tonnia öljyä IVY-maiden ulkopuolisille maille.

Kaasumarkkinoiden osalta EU:n tilanne on vielä vakavampi: Venäjän osuus kaikista kaasutoimituksista Eurooppaan on noin 34 %. Samaan aikaan Gazprom toimitti viime vuonna noin 195 miljardia kuutiometriä kaasua IVY-maihin (EU ja Turkki). Tänä vuonna asiantuntijoiden ja monopolin itsensä ennusteiden mukaan tämä luku ylittää 200 miljardia kuutiometriä.

Tällaisten tilavuuksien nopea korvaaminen on erittäin vaikeaa. Puhumattakaan siitä, että Venäjän federaation kaasu on taloudellisesti kannattavampaa Euroopan maille kuin sama nesteytetty maakaasu (LNG).

Aiemmin kerroin, että Venäjää vastaan ​​ei voida asettaa pakotteita Iranin tai Pohjois-Korean kovan skenaarion mukaan, maa on liian syvästi integroitunut maailmantalouteen. Marraskuussa otetaan käyttöön Iranin öljyn toimitussaarto, ja markkinat menettävät noin 1-2 miljoonaa tynnyriä. Vain tämän odotus nosti kurssit 80-85 dollarin tasolle Brentin tynnyriltä.

Hallinto ei kuitenkaan ota riskejä, mikä laukaisee kauppasodat EU:n ja Kiinan kanssa. Yhdysvaltain sisäministeri Ryan Zinke sanoi äskettäin, että Yhdysvallat voisi määrätä Venäjän merisaarron. Yhtäkään, edes epätodennäköisintä skenaariota ei voida sulkea pois.

Kaikista numerosarjoista geometrinen progressio, jota tarkastellaan 9. luokan algebran kurssilla, on yksi tunnetuimmista. Mikä se on ja kuinka ratkaista geometrinen eteneminen - näihin kysymyksiin vastataan tässä artikkelissa.

Lukusarja, joka noudattaa matemaattista lakia

Tämän kappaleen otsikko on geometrisen progression yleinen määritelmä. Laki, jolla se kuvataan, on melko yksinkertainen: jokainen seuraava luku eroaa edellisestä tekijällä, jota kutsutaan "nimittäjäksi". Voit merkitä sen r-kirjaimella. Sitten voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:

Tässä an on progression jäsen numerolla n.

Jos r on suurempi kuin 1, progressio kasvaa absoluuttisena arvona (se voi pienentyä, jos sen ensimmäisellä termillä on negatiivinen etumerkki). Jos r on pienempi kuin yksi, koko eteneminen pyrkii nollaan tai alhaalta (a1<0), либо сверху (a1>0). Jos kyseessä on negatiivinen nimittäjä (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Alla on esimerkki tarkasteltavasta etenemistyypistä:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Tässä ensimmäinen termi on 2 ja nimittäjä 1,5.

Tärkeitä kaavoja

Kuinka ratkaista geometrinen eteneminen luokalla 9? Tätä varten sinun ei pitäisi tietää vain sen määritelmä ja ymmärtää, mistä siinä on kyse, vaan myös muistaa kaksi tärkeää kaavaa. Ensimmäinen niistä on esitetty alla:

Lausekkeen avulla voit helposti löytää mielivaltaisen sekvenssin elementin, mutta tätä varten sinun on tiedettävä kaksi numeroa: nimittäjä ja ensimmäinen elementti. Tämä kaava on helppo todistaa, sinun tarvitsee vain muistaa geometrisen progression määritelmä: toinen elementti saadaan kertomalla ensimmäinen nimittäjällä ensimmäiseen asteeseen, kolmas elementti kertomalla ensimmäinen nimittäjällä toiseen tutkinto ja niin edelleen. Tämän lausekkeen hyödyllisyys on ilmeinen: koko numerosarjaa ei tarvitse palauttaa peräkkäin saadakseen selville, minkä arvon sen n:s elementti saa.

Seuraava kaava on hyödyllinen myös vastattaessa kysymykseen kuinka ratkaista geometrinen eteneminen. Puhumme sen elementtien summasta, alkaen ensimmäisestä ja päättyen n:nteen. Vastaava lauseke annetaan alla:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

On syytä kiinnittää huomiota sen erityisyyteen: kuten n:nnen elementin löytämiskaavassa, tässä riittää myös tietää samat kaksi numeroa (a1 ja r). Tämä tulos ei ole yllättävä, koska jokainen etenemisen termi liittyy merkittyihin numeroihin.

Edistyksen palauttaminen

Ensimmäisessä esimerkissä, kuinka geometrinen progressio ratkaistaan, on seuraava ehto: tiedetään, että kaksi numeroa 10 ja 20 muodostavat tarkasteltavan progression. Tässä tapauksessa numerot ovat sarjan kahdeksas ja viidestoista elementti. On tarpeen palauttaa koko sarja, tietäen, että sen täytyy olla laskussa.

Tätä ongelman hieman hämmentävää ehtoa on syytä analysoida huolellisesti: koska kyseessä on pienenevä sarja, luvun 10 tulisi olla paikassa 15 ja 20 paikassa 8. Aloita ratkaiseminen, kirjoita kunkin luvun vastaava yhtälö:

a8 = a1*r7 ja a15 = a1*r14.

Sinulla on kaksi yhtäläisyyttä kahden tuntemattoman kanssa. Ratkaise ne ilmaisemalla ensimmäinen a1 ja korvaamalla se toisella. Saada:

a1 = a8*r-7 ja a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Nyt on vielä korvattava asianmukaiset arvot ehdosta ja laskettava seitsemäs juuri. Saada:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) ≈ 0,9057.

Kun tuloksena oleva nimittäjä korvataan mihin tahansa tunnetun n:nnen elementin lausekkeisiin, saadaan a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0,9057)-7 ≈ 40,0073.

Näin löydät ensimmäisen termin ja nimittäjän, mikä tarkoittaa, että palautat koko etenemisen. Ensimmäiset jäsenet:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

On huomattava, että laskelmia suoritettaessa käytettiin pyöristystä 4 desimaalin tarkkuudella.

Tuntemattoman jäsenen löytäminen sarjasta

Nyt kannattaa harkita toista esimerkkiä: tiedetään, että sarjan seitsemäs elementti on 27, mikä on kolmastoista termi, jos nimittäjä r \u003d -2. Kuinka ratkaista geometrinen progressio käyttämällä näitä tietoja? Hyvin yksinkertainen, sinun on kirjoitettava kaava seitsemännelle elementille:

Koska vain luku a1 on tuntematon tässä yhtälössä, ilmaise se:

Käytä viimeistä yhtälöä korvaamalla se kaavassa 13. termille, jonka haluat löytää. Saada:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

On vielä korvattava numerot ja kirjoitettava vastaus:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Tuloksena oleva luku osoittaa, kuinka nopeasti geometrinen progressio kasvaa.

Tehtävä summalle

Viimeinen tehtävä, joka paljastaa kysymyksen geometrisen progression ratkaisemisesta, liittyy useiden elementtien summan löytämiseen. Olkoon a1 = 1,5, r = 2. Laske tämän sarjan termien summa alkaen 5. luvusta ja päättyen 10.:een.

Saadaksesi vastauksen esitettyyn kysymykseen sinun tulee soveltaa kaavaa:

S510 = S10 - S4.

Eli ensin sinun on löydettävä 10 elementin summa, sitten ensimmäisten 4 summa ja vähennettävä ne keskenään. Määritetyn algoritmin mukaan se osoittautuu:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534,5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

On syytä huomata, että lopullisessa kaavassa täsmälleen 4 ehdon summa vähennettiin, koska viidennen pitäisi ongelman ehdon mukaan osallistua summaan.

9. lokakuuta 2018

Geometrinen progressio on yksi mielenkiintoisimmista lukusarjoista, joita tarkastellaan koulun algebran kurssilla. Tämä artikkeli on omistettu mainitun sarjan erikoistapaukselle: pienenevälle äärettömälle geometriselle progressiolle ja sen jäsenten summalle.

Mistä numerosarjasta puhumme?

Geometrinen progressio on yksiulotteinen sarja reaalilukuja, jotka liittyvät toisiinsa seuraavan suhteen:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Yleistämällä yllä olevat lausekkeet, voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:

a n = a1*rn-1

Kuten yllä olevista merkinnöistä käy ilmi, a n on etenemisen elementti numerolla n. Parametria r, jolla n-1 alkiota tulee kertoa n:nnen alkion saamiseksi, kutsutaan nimittäjäksi.

Mitkä ovat kuvatun sekvenssin ominaisuudet? Vastaus kysymykseen riippuu r:n arvosta ja merkistä. Seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:

• Nimittäjä r on positiivinen ja suurempi kuin 1. Tässä tapauksessa progressio kasvaa aina absoluuttisena arvona, kun taas sen jäsenten itseisarvo voi myös pienentyä, jos a 1 on negatiivinen.
• Nimittäjä r on negatiivinen ja suurempi kuin 1. Tässä tapauksessa etenemisen termit näkyvät vuorotellen (+ ja -). Tällaiset sarjat eivät juuri kiinnosta käytännössä.
• Nimittäjän r moduuli on pienempi kuin 1. Tätä sarjaa kutsutaan laskevaksi, riippumatta r:n etumerkistä. Juuri tämä eteneminen on käytännönläheistä, ja sitä käsitellään tässä artikkelissa.

Summan kaava

Hankitaan ensin lauseke, jonka avulla voimme laskea tietyn etenemisen mielivaltaisen määrän elementtejä. Aloitetaan tämän ongelman ratkaiseminen suoraan. Meillä on:

S n = a 1 + a 2 + a 3 + .. + a n

Annettua yhtälöä voidaan käyttää, jos on tarpeen laskea tulos pienelle määrälle termejä (3-4 termiä), joista jokainen määräytyy n:nnen termin kaavalla (katso edellinen kappale). Jos termejä on kuitenkin paljon, otsaan on hankala laskea ja voit tehdä virheen, joten he käyttävät erityistä kaavaa.

Kerrotaan molemmat yllä olevan yhtälön osat r:llä, saadaan:

r*Sn = r*a1 +r*a2 +r*a3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Nyt vähennämme näiden kahden lausekkeen vasen ja oikea osa pareittain, meillä on:

r*Sn - Sn = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +.. + a n) = a n+1 - a 1

Ilmaisemalla summan S n ja käyttämällä termin a n+1 kaavaa saadaan:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Näin ollen olemme saaneet yleisen kaavan lukusarjan tarkastellun tyypin ensimmäisen n termin summalle. Huomaa, että kaava on voimassa, jos r≠1. Jälkimmäisessä tapauksessa on olemassa yksinkertainen sarja identtisiä lukuja, joiden summa lasketaan yhden luvun ja niiden lukumäärän tulona.

Liittyvät videot

Kuinka löytää äärettömän pienenevän geometrisen progression summa?

Vastataksemme tähän kysymykseen, meidän tulee muistaa, että sarja pienenee, kun |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Huomaa, että mikä tahansa luku, jonka moduuli on pienempi kuin 1, pyrkii nollaan, kun se nostetaan suureen tehoon, eli r ∞ -> 0. Voit tarkistaa tämän tosiasian millä tahansa esimerkillä:

r = -1/2, sitten (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 ja niin edelleen.

Kun tämä tosiasia on todettu, kiinnitetään huomiota summan lausekkeeseen: n->∞ se kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Saatiin mielenkiintoinen tulos: pienenevän geometrian äärettömän etenemisen summa pyrkii äärelliseen lukuun, joka ei riipu termien määrästä. Sen määrää vain ensimmäinen termi ja nimittäjä. Huomaa, että summan etumerkki määräytyy yksiselitteisesti 1:n etumerkillä, koska nimittäjä on aina positiivinen luku (1-r>0).

Äärettömän pienenevän geometrisen progression neliöiden summa

Kohteen otsikko määrittelee ratkaistavan ongelman. Tätä varten käytämme tekniikkaa, joka on täysin samanlainen kuin S n :n yleiskaavan johtamiseen käytetty tekniikka. Meillä on ensimmäinen lauseke:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Kerro yhtälön molemmat puolet r 2:lla, kirjoita toinen lauseke:

r 2 *M n = r 2 * a 1 2 + r 2 * a 2 2 + r 2 * a 3 2 + ... + r 2 * a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Nyt löydämme eron näiden kahden yhtäläisyyden välillä:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n + 1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Ilmaisemme M n ja käytämme kaavaa n:nnelle elementille, saamme yhtälön:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Edellisessä kappaleessa osoitettiin, että r ∞ -> 0, niin lopullinen kaava saa muotoa:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Kahden saadun summan vertailu

Verrataan kahta kaavaa: äärettömälle summalle ja äärettömälle neliösummalle seuraavan tehtävän esimerkin avulla: äärettömän geometrisen progression summa on 2, tiedetään, että kyseessä on pienenevä sekvenssi, jonka nimittäjä on 1 /3. On tarpeen löytää tämän numerosarjan neliöiden ääretön summa.

Käytetään summan kaavaa. Ilmaise 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Korvaamme tämän lausekkeen neliöiden summan kaavaan, meillä on:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Olemme saaneet halutun kaavan, nyt voimme korvata ehdosta tunnetut tiedot:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Siten olemme saaneet saman arvon äärettömälle neliösummalle kuin yksinkertaiselle summalle. Huomaa, että tämä tulos koskee vain tätä ongelmaa. Yleensä M ∞ ≠ S ∞ .

Tehtävänä on laskea suorakulmion pinta-ala

Jokainen oppilas tietää kaavan S = a * b, joka määrittää suorakulmion alueen sen sivujen suhteen. Harvat ihmiset tietävät, että tämän kuvan alueen löytämisongelma voidaan helposti ratkaista käyttämällä äärettömän geometrisen progression summaa. Näytämme kuinka se tehdään.

Jaetaan suorakulmio henkisesti kahtia. Puolikkaan pinta-ala otetaan yksikkönä. Nyt jaetaan toinen puolikas taas puoliksi. Saamme kaksi puolikasta, joista toisen jaamme puoliksi. Jatkamme tätä menettelyä toistaiseksi (katso alla oleva kuva).

Tämän seurauksena suorakulmion pinta-ala valitsemissamme yksiköissä on yhtä suuri:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Voidaan nähdä, että nämä termit ovat elementtejä laskevasta sarjasta, jossa a 1 = 1 ja r = 1/2. Käyttämällä äärettömän summan kaavaa saamme:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

Valitsemassamme mittakaavassa puolet suorakulmiosta (yksi yksikkö) vastaa aluetta a*b/2. Tämä tarkoittaa, että koko suorakulmion pinta-ala on:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Saatu tulos on ilmeinen, mutta se osoitti kuinka pienenevää progressiota voidaan soveltaa geometrian ongelmien ratkaisemiseen.

Geometrinen progressio on yksi mielenkiintoisimmista lukusarjoista, joita tarkastellaan koulun algebran kurssilla. Tämä artikkeli on omistettu mainitun sarjan tietylle tapaukselle: ja sen ehtojen summalle.

Mistä numerosarjasta puhumme?

Geometrinen progressio on yksiulotteinen sarja reaalilukuja, jotka liittyvät toisiinsa seuraavan suhteen:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Yleistämällä yllä olevat lausekkeet, voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:

a n = a1*rn-1

Kuten yllä olevista merkinnöistä käy ilmi, a n on etenemisen elementti numerolla n. Parametria r, jolla n-1 alkiota tulee kertoa n:nnen alkion saamiseksi, kutsutaan nimittäjäksi.

Mitkä ovat kuvatun sekvenssin ominaisuudet? Vastaus kysymykseen riippuu r:n arvosta ja merkistä. Seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:

• Nimittäjä r on positiivinen ja suurempi kuin 1. Tässä tapauksessa progressio kasvaa aina absoluuttisena arvona, kun taas sen jäsenten itseisarvo voi myös pienentyä, jos a 1 on negatiivinen.
• Nimittäjä r on negatiivinen ja suurempi kuin 1. Tässä tapauksessa etenemisen termit näkyvät vuorotellen (+ ja -). Tällaiset sarjat eivät juuri kiinnosta käytännössä.
• Nimittäjän r moduuli on pienempi kuin 1. Tätä sarjaa kutsutaan laskevaksi, riippumatta r:n etumerkistä. Juuri tämä eteneminen on käytännönläheistä, ja sitä käsitellään tässä artikkelissa.

Summan kaava

Hankitaan ensin lauseke, jonka avulla voimme laskea tietyn etenemisen mielivaltaisen määrän elementtejä. Aloitetaan tämän ongelman ratkaiseminen suoraan. Meillä on:

S n = a 1 + a 2 + a 3 + .. + a n

Annettua yhtälöä voidaan käyttää, jos on tarpeen laskea tulos pienelle määrälle termejä (3-4 termiä), joista jokainen määräytyy n:nnen termin kaavalla (katso edellinen kappale). Jos termejä on kuitenkin paljon, otsaan on hankala laskea ja voit tehdä virheen, joten he käyttävät erityistä kaavaa.

Kerrotaan molemmat yllä olevan yhtälön osat r:llä, saadaan:

r*Sn = r*a1 +r*a2 +r*a3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Nyt vähennämme näiden kahden lausekkeen vasen ja oikea osa pareittain, meillä on:

r*Sn - Sn = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +.. + a n) = a n+1 - a 1

Ilmaisemalla summan S n ja käyttämällä termin a n+1 kaavaa saadaan:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Näin ollen olemme saaneet yleisen kaavan lukusarjan tarkastellun tyypin ensimmäisen n termin summalle. Huomaa, että kaava on voimassa, jos r≠1. Jälkimmäisessä tapauksessa on olemassa yksinkertainen sarja identtisiä lukuja, joiden summa lasketaan yhden luvun ja niiden lukumäärän tulona.

Kuinka löytää äärettömän pienenevän geometrisen progression summa?

Vastataksemme tähän kysymykseen, meidän tulee muistaa, että sarja pienenee, kun |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Huomaa, että mikä tahansa luku, jonka moduuli on pienempi kuin 1, pyrkii nollaan, kun se nostetaan suureen tehoon, eli r ∞ -> 0. Voit tarkistaa tämän tosiasian millä tahansa esimerkillä:

r = -1/2, sitten (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 ja niin edelleen.

Kun tämä tosiasia on todettu, kiinnitetään huomiota summan lausekkeeseen: n->∞ se kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Saatiin mielenkiintoinen tulos: pienenevän geometrian äärettömän etenemisen summa pyrkii äärelliseen lukuun, joka ei riipu termien määrästä. Sen määrää vain ensimmäinen termi ja nimittäjä. Huomaa, että summan etumerkki määräytyy yksiselitteisesti 1:n etumerkillä, koska nimittäjä on aina positiivinen luku (1-r>0).

Äärettömän pienenevän geometrisen progression neliöiden summa

Kohteen otsikko määrittelee ratkaistavan ongelman. Tätä varten käytämme tekniikkaa, joka on täysin samanlainen kuin S n :n yleiskaavan johtamiseen käytetty tekniikka. Meillä on ensimmäinen lauseke:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Kerro yhtälön molemmat puolet r 2:lla, kirjoita toinen lauseke:

r 2 *M n = r 2 * a 1 2 + r 2 * a 2 2 + r 2 * a 3 2 + ... + r 2 * a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Nyt löydämme eron näiden kahden yhtäläisyyden välillä:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n + 1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Ilmaisemme M n ja käytämme kaavaa n:nnelle elementille, saamme yhtälön:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Edellisessä kappaleessa osoitettiin, että r ∞ -> 0, niin lopullinen kaava saa muotoa:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Kahden saadun summan vertailu

Verrataan kahta kaavaa: äärettömälle summalle ja äärettömälle neliösummalle seuraavan tehtävän esimerkin avulla: äärettömän geometrisen progression summa on 2, tiedetään, että kyseessä on pienenevä sekvenssi, jonka nimittäjä on 1 /3. On tarpeen löytää tämän numerosarjan neliöiden ääretön summa.

Käytetään summan kaavaa. Ilmaise 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Korvaamme tämän lausekkeen neliöiden summan kaavaan, meillä on:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Olemme saaneet halutun kaavan, nyt voimme korvata ehdosta tunnetut tiedot:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Siten olemme saaneet saman arvon äärettömälle neliösummalle kuin yksinkertaiselle summalle. Huomaa, että tämä tulos koskee vain tätä ongelmaa. Yleensä M ∞ ≠ S ∞ .

Tehtävänä on laskea suorakulmion pinta-ala

Jokainen oppilas tietää kaavan S = a * b, joka määrittää suorakulmion alueen sen sivujen suhteen. Harvat ihmiset tietävät, että tämän kuvan alueen löytämisongelma voidaan helposti ratkaista käyttämällä äärettömän geometrisen progression summaa. Näytämme kuinka se tehdään.

Jaetaan suorakulmio henkisesti kahtia. Puolikkaan pinta-ala otetaan yksikkönä. Nyt jaetaan toinen puolikas taas puoliksi. Saamme kaksi puolikasta, joista toisen jaamme puoliksi. Jatkamme tätä menettelyä toistaiseksi (katso alla oleva kuva).

Tämän seurauksena suorakulmion pinta-ala valitsemissamme yksiköissä on yhtä suuri:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Voidaan nähdä, että nämä termit ovat elementtejä laskevasta sarjasta, jossa a 1 = 1 ja r = 1/2. Käyttämällä äärettömän summan kaavaa saamme:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

Valitsemassamme mittakaavassa puolet suorakulmiosta (yksi yksikkö) vastaa aluetta a*b/2. Tämä tarkoittaa, että koko suorakulmion pinta-ala on:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Saatu tulos on ilmeinen, mutta se osoitti kuinka pienenevää progressiota voidaan soveltaa geometrian ongelmien ratkaisemiseen.

Kaikista numerosarjoista geometrinen progressio, jota tarkastellaan 9. luokan algebran kurssilla, on yksi tunnetuimmista. Mikä se on ja kuinka ratkaista geometrinen eteneminen - näihin kysymyksiin vastataan tässä artikkelissa.

Lukusarja, joka noudattaa matemaattista lakia

Tämän kappaleen otsikko on geometrisen progression yleinen määritelmä. Laki, jolla se kuvataan, on melko yksinkertainen: jokainen seuraava luku eroaa edellisestä tekijällä, jota kutsutaan "nimittäjäksi". Voit merkitä sen r-kirjaimella. Sitten voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:

Tässä a n on progression jäsen numerolla n.

Jos r on suurempi kuin 1, progressio kasvaa absoluuttisena arvona (se voi pienentyä, jos sen ensimmäisellä termillä on negatiivinen etumerkki). Jos r on pienempi kuin yksi, koko eteneminen pyrkii nollaan tai alhaalta (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). Jos kyseessä on negatiivinen nimittäjä (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Alla on esimerkki tarkasteltavasta etenemistyypistä:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Tässä ensimmäinen termi on 2 ja nimittäjä 1,5.

Tärkeitä kaavoja

Kuinka ratkaista geometrinen eteneminen luokalla 9? Tätä varten sinun ei pitäisi tietää vain sen määritelmä ja ymmärtää, mistä siinä on kyse, vaan myös muistaa kaksi tärkeää kaavaa. Ensimmäinen niistä on esitetty alla:

Lausekkeen avulla voit helposti löytää mielivaltaisen sekvenssin elementin, mutta tätä varten sinun on tiedettävä kaksi numeroa: nimittäjä ja ensimmäinen elementti. Tämä kaava on helppo todistaa, sinun tarvitsee vain muistaa geometrisen progression määritelmä: toinen elementti saadaan kertomalla ensimmäinen nimittäjällä ensimmäiseen asteeseen, kolmas elementti kertomalla ensimmäinen nimittäjällä toiseen tutkinto ja niin edelleen. Tämän lausekkeen hyödyllisyys on ilmeinen: koko numerosarjaa ei tarvitse palauttaa peräkkäin saadakseen selville, minkä arvon sen n:s elementti saa.

Seuraava kaava on hyödyllinen myös vastattaessa kysymykseen kuinka ratkaista geometrinen eteneminen. Puhumme sen elementtien summasta, alkaen ensimmäisestä ja päättyen n:nteen. Vastaava lauseke annetaan alla:

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

On syytä kiinnittää huomiota sen erityisyyteen: kuten n:nnen elementin löytämiskaavassa, tässä riittää myös tietää samat kaksi numeroa (a 1 ja r). Tämä tulos ei ole yllättävä, koska jokainen etenemisen termi liittyy merkittyihin numeroihin.

Edistyksen palauttaminen

Ensimmäisessä esimerkissä, kuinka geometrinen progressio ratkaistaan, on seuraava ehto: tiedetään, että kaksi numeroa 10 ja 20 muodostavat tarkasteltavan progression. Tässä tapauksessa numerot ovat sarjan kahdeksas ja viidestoista elementti. On tarpeen palauttaa koko sarja, tietäen, että sen täytyy olla laskussa.

Tätä ongelman hieman hämmentävää ehtoa on syytä analysoida huolellisesti: koska puhumme pienenevästä sarjasta, luvun 10 tulisi olla paikassa 15 ja 20 paikassa 8. Aloita ratkaiseminen, kirjoita vastaava yhtäläisyys jokaiselle luvulle:

a 8 = a 1 * r 7 ja a 15 = a 1 * r 14.

Sinulla on kaksi yhtäläisyyttä kahden tuntemattoman kanssa. Ratkaise ne ilmaisemalla ensimmäisestä 1 ja korvaamalla se toisella. Saada:

a 1 = a 8 *r -7 ja a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r = 7 √ (a 15 / a 8).

Nyt on vielä korvattava asianmukaiset arvot ehdosta ja laskettava seitsemäs juuri. Saada:

r \u003d 7 √ (a 15 / a 8) \u003d 7 √ (10/20) ≈ 0,9057.

Kun tuloksena oleva nimittäjä korvataan mihin tahansa tunnetun n:nnen elementin lausekkeisiin, saadaan 1:

a 1 = 8 * r -7 \u003d 20 * (0,9057) -7 ≈ 40,0073.

Näin löydät ensimmäisen termin ja nimittäjän, mikä tarkoittaa, että palautat koko etenemisen. Ensimmäiset jäsenet:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

On huomattava, että laskelmia suoritettaessa käytettiin pyöristystä 4 desimaalin tarkkuudella.

Tuntemattoman jäsenen löytäminen sarjasta

Nyt kannattaa harkita toista esimerkkiä: tiedetään, että sarjan seitsemäs elementti on 27, mikä on kolmastoista termi, jos nimittäjä r \u003d -2. Kuinka ratkaista geometrinen progressio käyttämällä näitä tietoja? Hyvin yksinkertainen, sinun on kirjoitettava kaava seitsemännelle elementille:

Koska vain numero a 1 on tuntematon tässä yhtälössä, ilmaise se:

Käytä viimeistä yhtälöä korvaamalla se kaavassa 13. termille, jonka haluat löytää. Saada:

a 13 = a 1 * r 12 = a 7 * r - 6 * r 12 = a 7 * r 6 .

On vielä korvattava numerot ja kirjoitettava vastaus:

a 13 \u003d a 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728.

Tuloksena oleva luku osoittaa, kuinka nopeasti geometrinen progressio kasvaa.

Tehtävä summalle

Viimeinen tehtävä, joka paljastaa kysymyksen geometrisen progression ratkaisemisesta, liittyy useiden elementtien summan löytämiseen. Olkoon a 1 \u003d 1,5, r \u003d 2. Tämän sarjan ehtojen summa tulee laskea alkaen 5. päivästä ja päättyen 10. päivään.

Saadaksesi vastauksen esitettyyn kysymykseen sinun tulee soveltaa kaavaa:

Eli ensin sinun on löydettävä 10 elementin summa, sitten ensimmäisten 4 summa ja vähennettävä ne keskenään. Määritetyn algoritmin mukaan se osoittautuu:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 10 -1) / (2-1) \u003d 1534,5;

S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22,5;

S 5 10 \u003d 1534,5 - 22,5 \u003d 1512.

On syytä huomata, että lopullisessa kaavassa täsmälleen 4 ehdon summa vähennettiin, koska viidennen pitäisi ongelman ehdon mukaan osallistua summaan.