Satunnaismuuttujan käsite. Satunnaismuuttujan jakautumislaki

Satunnaismuuttujat (lyhennettynä: r.v.) on merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla X, Y, Z,...(tai pienet kreikkalaiset kirjaimet ξ (xi), η (tämä), θ (theta), ψ (psi) jne.) ja niiden ottamat arvot, vastaavasti pienillä kirjaimilla x 1 , x 2 ,…, 1 , klo 2 , 3 …

Esimerkkejä Kanssa. sisään. voi palvella: 1) X- noppaa heitettäessä näkyvien pisteiden määrä; 2) Y - laukausten määrä ennen ensimmäistä osumaa maaliin; 3) Z- laitteen käyttöaika jne. (ihmisen pituus, dollarin vaihtokurssi, viallisten osien lukumäärä erässä, ilman lämpötila, pelaajan voitto, pisteen koordinaatti, jos se on satunnaisesti valittu, yrityksen voitto, ...).

Satunnaismuuttuja XΏ w

X(w), ts. X= X(w), wО Ώ (tai X = f(w)) (31)

Esimerkki1. Kokemus koostuu kolikon heittämisestä 2 kertaa. PES:ssä Ώ=( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ), missä w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, voit harkita. sisään. X- vaakunan esiintymiskertojen määrä. S. v. X on alkeistapahtuman w i funktio :X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. sisään. arvoilla x 1 = 0,x2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S P(A) = P(X< X).

X- d.s. sisään.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n ,…

p i , missä minä = 1,2,3, ...,n,… .

jakelulaki d.s. sisään. p i = P(X = x i}, i=1,2,3,...,n,...,

Kanssa. sisään. X x minä . :

X	x 1	x2	….	x n	…
P	p1	p2	….	p n	…

Tapahtumien jälkeen (X= x 1), (X= x 2),…, (X= x n ), so. .

(x 1 , p1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) kutsutaan monikulmio(tai monikulmio) jakautuminen(katso kuva 17).

Satunnainen arvo X on diskreetti, jos on olemassa äärellinen tai laskettava joukko lukuja x 1 , x2 , ..., x n niin että P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) s. 1 + p2 + p 3 +…= 1 (32)

summa d.s. sisään. X, joka ottaa arvot x i todennäköisyyksillä p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n ja d.s. sisään. Y, ottamalla arvot y j todennäköisyyksillä p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, kutsutaan d.s. sisään. Z = X + Y , ottaen arvot z ij = x i + y j todennäköisyyksillä p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ), kaikille määritetyille arvoille i ja j. Jos jotkin summat x i + y j osuvat yhteen, vastaavat todennäköisyydet lisätään.

ero d.s. sisään. X, joka ottaa arvot x i todennäköisyyksillä p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n ja d.s. sisään. Y, ottamalla arvot y j todennäköisyyksillä p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, kutsutaan d.s. sisään. Z = X - Y, ottaen arvot z ij = x i – y j todennäköisyyksillä p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ), kaikille määritetyille arvoille i ja j. Jos jotkin erot x i – y j osuvat yhteen, vastaavat todennäköisyydet lisätään.

työ d.s. sisään. X, joka ottaa arvot x i todennäköisyyksillä p i = Р(Х = x i ), i = 1,2,3,...,n ja d.s. sisään. Y, ottamalla arvot y j todennäköisyyksillä p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, kutsutaan d.s. sisään. Z = X × Y, ottaen arvot z ij = x i × y j todennäköisyyksillä p ij = Р( Х = x i ,Y = y j ), kaikille määritetyille arvoille i ja j. Jos jotkin tulot x i × y j osuvat yhteen, vastaavat todennäköisyydet lisätään.

d.s. sisään. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X- ja Y-tapahtumat (X = x i ) = А i ja (Y = y j ) = В j ovat riippumattomia mille tahansa i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, eli

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Esimerkki 2 Urnassa on 8 palloa, joista 5 on valkoisia ja loput mustia. Siitä vedetään satunnaisesti 3 palloa. Etsi jakautumislaki näytteen valkoisten pallojen lukumäärälle.

Satunnainen arvo on suure, joka saa kokeen tuloksena aiemmin tuntemattoman arvon.

Luennolle osallistuvien opiskelijoiden määrä.

Kuluvan kuukauden aikana käyttöön otettujen talojen määrä.

Ympäristön lämpötila.

Räjähtävän ammuksen palasen paino.

Satunnaismuuttujat jaetaan diskreetteihin ja jatkuviin.

Diskreetti (epäjatkuva) kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka ottaa erilliset, toisistaan ​​eristetyt arvot tietyin todennäköisyksin.

Diskreetin satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä voi olla äärellinen tai laskettava.

Jatkuva kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka voi saada minkä tahansa arvon jostakin äärellisestä tai äärettömästä intervallista.

On selvää, että jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön.

Annetuissa esimerkeissä: 1 ja 2 ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, 3 ja 4 ovat jatkuvia satunnaismuuttujia.

Tulevaisuudessa sanojen "satunnainen muuttuja" sijaan käytämme usein lyhennettä c. sisään.

Pääsääntöisesti satunnaismuuttujat merkitään isoilla kirjaimilla ja niiden mahdolliset arvot pienillä kirjaimilla.

Todennäköisyysteorian peruskäsitteiden joukkoteoreettisessa tulkinnassa satunnaismuuttuja X on alkeistapahtuman funktio: X =φ(ω), missä ω on avaruuteen Ω (ω  Ω) kuuluva alkeistapahtuma. Tässä tapauksessa c:n mahdollisten arvojen joukko Ξ. sisään. X koostuu kaikista arvoista, jotka funktio φ(ω) ottaa.

Satunnaismuuttujan jakautumislaki Kutsutaan mitä tahansa sääntöä (taulukkoa, funktiota), jonka avulla voit löytää todennäköisyydet kaikenlaisille satunnaismuuttujaan liittyville tapahtumille (esimerkiksi todennäköisyys, että se saa jonkin arvon tai putoaa jollekin aikavälille).

Satunnaismuuttujien jakautumislakien asettamisen muodot. Jakelualue.

Tämä on taulukko, jonka yläriville on listattu kaikki satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot nousevassa järjestyksessä: x 1, x 2, ..., x n ja alareunassa - näiden arvojen todennäköisyydet : p 1, p 2, ..., p n, missä p i \u003d P (X \u003d x i).

Koska tapahtumat (X \u003d x 1), (X \u003d x 2), ... ovat yhteensopimattomia ja muodostavat täydellisen ryhmän, kaikkien jakaumasarjan alimman rivin todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi.

Jakaumasarjaa käytetään asettamaan jakautumislaki vain diskreeteille satunnaismuuttujille.

Jakauma monikulmio

Jakaumasarjan graafista esitystä kutsutaan jakauman polygoniksi. Se on rakennettu seuraavasti: jokaiselle mahdolliselle arvolle c. sisään. palautetaan kohtisuora x-akseliin nähden, jolle piirretään tietyn arvon c todennäköisyys. sisään. Saadut pisteet selkeyden vuoksi (ja vain selkeyden vuoksi!) yhdistetään janoilla.

Kumulatiivinen jakaumafunktio (tai vain jakaumafunktio).

Tämä on funktio, joka jokaiselle argumentin x arvolle on numeerisesti yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja  on pienempi kuin argumentin x arvo.

Jakaumafunktio on merkitty F(x):llä: F(x) = P (X  x).

Nyt voidaan antaa tarkempi määritelmä jatkuvalle satunnaismuuttujalle: satunnaismuuttujaa kutsutaan jatkuvaksi, jos sen jakaumafunktio on jatkuva, paloittain differentioituva funktio, jolla on jatkuva derivaatta.

Jakelutoiminto on monipuolisin asetusmuoto c. in., jolla voidaan asettaa sekä diskreettien että jatkuvien s:n jakautumislakeja. sisään.

Sivu 2

Graafisesti diskreetin suuren jakauman laki on annettu ns. jakautumispolygonin muodossa.

Jakaumasarjan graafista esitystapaa (katso kuva 5) kutsutaan jakelupolygoniksi.

Epäjatkuvan satunnaismuuttujan jakautumislain karakterisoimiseksi käytetään usein sarjaa (taulukkoa) ja jakautumapolygonia.

Sen kuvaa varten suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä pisteet rakennetaan (Y Pi) (x - i Pa) ja yhdistetään janoilla. Jakaumapolygoni antaa likimääräisen visuaalisen esityksen satunnaismuuttujan jakauman luonteesta.

Selvyyden vuoksi voidaan myös esittää graafisesti diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki, jolle pisteet (x /, p) rakennetaan suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään ja sitten ne yhdistetään janoilla. monikulmio.

M (xn; pn) (ls - - Xt pi:n mahdolliset arvot - vastaavat todennäköisyydet) ja yhdistä ne janoihin. Tuloksena olevaa kuviota kutsutaan jakautumispolygoniksi.

Harkitse nopan pisteiden summan todennäköisyysjakaumaa. Alla olevat kuvat näyttävät jakautumispolygonit yhden, kahden ja kolmen luun tapauksessa.

Tässä tapauksessa satunnaisjakauman monikulmion sijasta muodostetaan jakautumistiheysfunktio, jota kutsutaan differentiaalijakaumafunktioksi ja joka on differentiaalijakauman laki. Todennäköisyysteoriassa satunnaismuuttujan x (x Xr) jakautumistiheys ymmärretään rajana sille todennäköisyydelle, että x putoaa väliin (x, x - - Ax) ja Ax, kun Al; pyrkii nollaan. Differentiaalifunktion lisäksi satunnaismuuttujan jakauman karakterisointiin käytetään integraalijakaumafunktiota, jota kutsutaan usein yksinkertaisesti jakaumafunktioksi tai integraalijakaumalakiksi.

Tällaisella konstruktiolla väliin putoamisen suhteelliset frekvenssit ovat yhtä suuria kuin histogrammin vastaavien sarakkeiden alueet, aivan kuten todennäköisyydet ovat yhtä suuria vastaavien kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alojen kanssa. y Joskus vertailun selkeyden vuoksi rakennetaan jakautumispolygoni, joka yhdistää sarjaan histogrammin pylväiden yläkantojen keskipisteet.

Antamalla m eri arvoja välillä 0 - z saadaan todennäköisyydet PQ, P RF - Pp, jotka piirretään kaavioon. Koska r; i11, rakentaa monikulmio todennäköisyysjakaumasta.

Diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaki on mikä tahansa vastaavuus sen mahdollisten arvojen ja niiden todennäköisyyksien välillä. Laki voidaan määritellä taulukkomuodossa (jakaumasarjat), graafisesti (jakaumapolygoni jne.) ja analyyttisesti.

Jakaumakäyrän löytäminen, toisin sanoen itse satunnaismuuttujan jakauman selvittäminen, mahdollistaa ilmiön syvemmän tutkimisen, jota tämä jakaumasarja ei vielä täysin ilmaise. Esittämällä piirustuksessa sekä löydetyn tasoitusjakaumakäyrän että osittaisen perusjoukon perusteella muodostetun jakautumapolygonin, tutkija näkee selkeästi tutkittavalle ilmiölle ominaiset piirteet. Tästä johtuen tilastollinen analyysi kiinnittää tutkijan huomion havaitun aineiston poikkeamiin ilmiön jostakin säännöllisestä muutoksesta, ja tutkijan tehtävänä on selvittää näiden poikkeamien syyt.

Sitten välien keskeltä piirretään abskissat (asteikolla), jotka vastaavat kuukausien lukumäärää, joilla on virtaus tällä välillä. Näiden abskissien päät yhdistetään ja siten saadaan monikulmio tai jakautumispolygoni.

Pisteet, jotka antavat graafisen esityksen diskreetin satunnaismuuttujan jakautumislaista arvon arvon koordinaattitasolla - arvojen todennäköisyydellä, yhdistetään yleensä viivasegmenteillä ja tuloksena olevaa geometrista kuvaa kutsutaan jakautumispolygoniksi. Kuvassa 3 taulukossa 46 (samoin kuin kuvissa 4 ja 5) näyttää vain jakautumispolygonit.

Diskreetti kutsutaan satunnaismuuttujaksi, joka voi ottaa erillisiä, eristettyjä arvoja tietyin todennäköisyksin.

ESIMERKKI 1. Vaakunan esiintymisten määrä kolmessa kolikonheitossa. Mahdolliset arvot: 0, 1, 2, 3, niiden todennäköisyydet ovat vastaavasti yhtä suuret:

P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

ESIMERKKI 2. Viallisten elementtien lukumäärä laitteessa, joka koostuu viidestä elementistä. Mahdolliset arvot: 0, 1, 2, 3, 4, 5; niiden todennäköisyydet riippuvat kunkin elementin luotettavuudesta.

Diskreetti satunnaismuuttuja X voidaan antaa jakaumasarjalla tai jakaumafunktiolla (integraalijakaumalaki).

Lähellä jakelua on kaikkien mahdollisten arvojen joukko Xi ja niitä vastaavat todennäköisyydet Ri = P(X = xi), se voidaan antaa taulukkona:

x i				x n
p i				p n

Samalla todennäköisyydet Ri tyydyttää ehtoa

Ri= 1 koska

missä on mahdollisten arvojen lukumäärä n voi olla äärellinen tai ääretön.

Jakaumasarjan graafinen esitys kutsutaan jakelupolygoniksi . Sen muodostamiseksi satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ( Xi) piirretään x-akselia pitkin ja todennäköisyydet Ri- y-akselia pitkin; pisteitä MUTTAi koordinaatteilla ( Xminä, pi) on yhdistetty katkoviivoilla.

jakelutoiminto Satunnaismuuttuja X kutsutaan funktioksi F(X), jonka arvo on pisteessä X on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja X on pienempi kuin tämä arvo X, tuo on

F(x) = P(X< х).

Toiminto F(X) varten diskreetti satunnaismuuttuja lasketaan kaavalla

F(X) = Ri , (1.10.1)

jossa summa on yli kaikkien arvojen i, mille Xi< х.

ESIMERKKI 3. 100 tuotetta sisältävästä erästä, joista 10 on viallisia, valitaan satunnaisesti viisi tuotetta niiden laadun tarkistamiseksi. Muodosta sarja satunnaisluvun jakaumia X näytteen sisältämät vialliset tuotteet.

Ratkaisu. Koska viallisten tuotteiden määrä näytteessä voi olla mikä tahansa kokonaisluku välillä 0-5, mahdolliset arvot Xi Satunnaismuuttuja X ovat tasavertaisia:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Todennäköisyys R(X = k) että näytteessä on täsmälleen k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) vialliset tuotteet, yhtä suuri kuin

P (X \u003d k) \u003d.

Tätä kaavaa 0,001 tarkkuudella käyttävien laskelmien tuloksena saamme:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Tasa-arvon käyttäminen tarkistamiseen Rk=1, varmistamme, että laskelmat ja pyöristys on tehty oikein (katso taulukko).

x i
p i

ESIMERKKI 4. Annettu satunnaismuuttujan jakauman sarja X :

x i
p i

Etsi todennäköisyysjakaumafunktio F(X) tästä satunnaismuuttujasta ja muodosta se.

Ratkaisu. Jos X 10 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0;

jos 10<X 20 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

jos 20<X 30 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jos 30<X 40 puntaa siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jos 40<X 50 puntaa sitten F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

jos X> 50 siis F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.