Koulussa monet eivät pysty ratkaisemaan integraaleja tai heillä on vaikeuksia niiden kanssa. Tämä artikkeli auttaa sinua selvittämään sen, koska löydät kaiken siitä. integraalitaulukot.

Integraali on yksi laskennan tärkeimmistä laskelmista ja käsitteistä. Hänen esiintymisensä syntyi kahdesta syystä:
Ensimmäinen kohde- palauttaa funktion käyttämällä sen johdannaista.
Toinen maali- alueen laskeminen, joka sijaitsee etäisyydellä kaaviosta funktiosta f (x) suoralla viivalla, jossa a on suurempi tai yhtä suuri kuin x on suurempi tai yhtä suuri kuin b ja abskissa-akseli.

Nämä tavoitteet johtavat meidät määrättyihin ja määrittelemättömiin integraaleihin. Näiden integraalien välinen yhteys piilee ominaisuuksien etsimisessä ja laskennassa. Mutta kaikki virtaa ja kaikki muuttuu ajan myötä, uusia ratkaisuja löydettiin, lisäyksiä paljastettiin, mikä tuo määrättyjä ja määrittelemättömiä integraaleja muihin integraatiomuotoihin.

Mitä määrittelemätön integraali kysyt. Tämä on yhden muuttujan x antiderivatiivinen funktio F(x) välissä a, joka on suurempi kuin x suurempi kuin b. kutsutaan mitä tahansa funktiota F(x), minkä tahansa merkinnän x annetussa välissä derivaatta on yhtä suuri kuin F(x). On selvää, että F(x) on antiderivaata f(x):lle alueella a, joka on suurempi kuin x suurempi kuin b. Näin ollen F1(x) = F(x) + C. C - on mikä tahansa vakio ja antiderivaata f(x):lle annetulla välillä. Tämä lause on reversiibeli, funktion f(x) - 2 antiderivaatat eroavat vain vakiosta. Integraalilaskennan lauseen perusteella käy ilmi, että jokainen jatkuva välillä a

Varma integraali ymmärretään rajana integraalisummissa tai tietylle riville (a, b) määritellyn funktion f(x) tilanteessa, jolla on antiderivaata F, joka tarkoittaa sen lausekkeiden eroa tämän rivin päissä. F(b) - F(a).

Selvyyden vuoksi tämän aiheen tutkimuksen vuoksi suosittelen katsomaan videon. Se selittää yksityiskohtaisesti ja näyttää kuinka löytää integraalit.

Jokainen integraalitaulukko on itsessään erittäin hyödyllinen, koska se auttaa ratkaisemaan tietynlaisen integraalin.

Kaikki mahdolliset paperitarvikkeet ja paljon muuta. Voit ostaa verkkokaupan v-kant.ru kautta. Tai seuraa vain linkkiä Paperi Samara (http://v-kant.ru) laatu ja hinnat yllättävät sinut iloisesti.

Antiderivatiivinen funktio ja määrittelemätön integraali

Fakta 1. Integrointi on differentioinnin vastakohta, nimittäin funktion palauttaminen tämän funktion tunnetusta derivaatista. Toiminto palautettu tällä tavalla F(x) kutsutaan primitiivinen toimintoa varten f(x).

Määritelmä 1. Toiminto F(x f(x) tietyin väliajoin X, jos kaikille arvoille x tästä intervallista tasa-arvo F "(x)=f(x), eli tämä toiminto f(x) on antiderivatiivisen funktion johdannainen F(x). .

Esimerkiksi funktio F(x) = synti x on funktion antijohdannainen f(x) = cos x koko lukurivillä, koska mille tahansa x:n arvolle (synti x)" = (cos x) .

Määritelmä 2. Funktion epämääräinen integraali f(x) on kokoelma sen kaikista antijohdannaisista. Tämä käyttää merkintää

∫

f(x)dx

,

missä on merkki ∫ kutsutaan integraalimerkiksi, funktioksi f(x) on integrandi ja f(x)dx on integrandi.

Eli jos F(x) on jokin antijohdannainen f(x) sitten

∫

f(x)dx = F(x) +C

missä C - mielivaltainen vakio (vakio).

Jotta ymmärtäisit funktion antiderivaattien joukon merkityksen määrittelemättömänä integraalina, seuraava analogia on sopiva. Olkoon ovi (perinteinen puinen ovi). Sen tehtävänä on "olla ovi". Mistä ovi on tehty? Puusta. Tämä tarkoittaa, että integrandin "olla ovi" eli sen määrittelemättömän integraalin antiderivaattien joukko on funktio "olla puu + C", jossa C on vakio, joka tässä yhteydessä voi tarkoittaa, esimerkiksi puulaji. Aivan kuten ovi tehdään puusta joillakin työkaluilla, funktion johdannainen "valmistetaan" antiderivaatiivisesta funktiosta kaava, jonka opimme tutkimalla derivaatta .

Sitten yleisten esineiden ja niitä vastaavien primitiivien funktiotaulukko ("olla ovi" - "olla puu", "olla lusikka" - "olla metalli" jne.) on samanlainen kuin taulukko määrittelemättömät perusintegraalit, jotka annetaan alla. Epämääräisten integraalien taulukko listaa yleiset funktiot osoittaen antiderivaatat, joista nämä funktiot on "valmistettu". Osana määrittämättömän integraalin etsintätehtäviä annetaan sellaiset integraalit, jotka voidaan integroida suoraan ilman erityisiä ponnisteluja, eli epämääräisten integraalien taulukon mukaan. Monimutkaisemmissa ongelmissa integrandi on ensin muutettava, jotta voidaan käyttää taulukkointegraaleja.

Fakta 2. Palautettaessa funktiota antiderivaatta, meidän on otettava huomioon mielivaltainen vakio (vakio) C, ja jotta et kirjoita luetteloa antiderivaatteista, joiden vakiot ovat 1:stä äärettömään, sinun on kirjoitettava muistiin joukko antiderivaatteja mielivaltaisella vakiolla C, näin: 5 x³+C. Joten mielivaltainen vakio (vakio) sisältyy antiderivaatan lausekkeeseen, koska antiderivaata voi olla funktio, esimerkiksi 5 x³+4 tai 5 x³+3 ja erotettaessa 4 tai 3 tai mikä tahansa muu vakio katoaa.

Asetamme integrointiongelman: tietylle funktiolle f(x) löytää sellainen toiminto F(x), jonka johdannainen on yhtä suuri kuin f(x).

Esimerkki 1 Etsi funktion antiderivaattien joukko

Ratkaisu. Tämän funktion antiderivaatti on funktio

Toiminto F(x) kutsutaan funktion antiderivaatiiviseksi f(x) jos johdannainen F(x) on yhtä suuri kuin f(x), tai, mikä on sama asia, erotus F(x) on yhtä suuri kuin f(x) dx, eli

(2)

Siksi funktio on antiderivatiivinen funktiolle . Se ei kuitenkaan ole ainoa johdannainen . Ne ovat myös toimintoja

missä FROM on mielivaltainen vakio. Tämä voidaan varmistaa erottamalla.

Siten, jos funktiolla on yksi antiderivaata, niin sillä on loputon joukko antiderivaataita, jotka eroavat vakiosummalla. Kaikki funktion antiderivaatat on kirjoitettu yllä olevassa muodossa. Tämä seuraa seuraavasta lauseesta.

Lause (muodollinen tosiasialausunto 2). Jos F(x) on funktion antijohdannainen f(x) tietyin väliajoin X, sitten mikä tahansa muu johdannainen f(x) samalla aikavälillä voidaan esittää muodossa F(x) + C, missä FROM on mielivaltainen vakio.

Seuraavassa esimerkissä siirrytään jo integraalitaulukkoon, joka annetaan kappaleessa 3, määrittelemättömän integraalin ominaisuuksien jälkeen. Teemme tämän ennen kuin tutustumme koko taulukkoon, jotta yllä olevan olemus tulee selväksi. Ja taulukon ja ominaisuuksien jälkeen käytämme niitä kokonaisuudessaan integroinnissa.

Esimerkki 2 Etsi joukot antijohdannaisia:

Ratkaisu. Löydämme joukot antiderivatiivisia funktioita, joista nämä funktiot on "valmistettu". Kun mainitset kaavoja integraalitaulukosta, hyväksy toistaiseksi vain se, että tällaisia ​​kaavoja on, ja tutkimme määrittelemättömien integraalien taulukkoa kokonaisuudessaan hieman pidemmälle.

1) Sovelletaan kaavaa (7) integraalitaulukosta for n= 3, saamme

2) Käyttämällä kaavaa (10) integraalitaulukosta for n= 1/3, meillä on

3) Siitä lähtien

sitten kaavan (7) mukaisesti klo n= -1/4 etsintä

Integraalimerkin alle he eivät kirjoita itse funktiota f, ja sen tuote differentiaalilla dx. Tämä tehdään ensisijaisesti sen osoittamiseksi, mitä muuttujaa antijohdannaista etsitään. Esimerkiksi,

, ;

tässä molemmissa tapauksissa integrandi on yhtä suuri kuin , mutta sen epämääräiset integraalit tarkasteluissa tapauksissa osoittautuvat erilaisiksi. Ensimmäisessä tapauksessa tätä funktiota pidetään muuttujan funktiona x, ja toisessa - funktiona z .

Prosessia, jossa etsitään funktion määrittelemätön integraali, kutsutaan funktion integroimiseksi.

Epämääräisen integraalin geometrinen merkitys

Vaaditaan käyrän löytäminen y=F(x) ja tiedämme jo, että tangentin kulmakertoimen tangentti kussakin sen pisteessä on annettu funktio f(x) tämän kohdan abskissa.

Derivaatan geometrisen merkityksen mukaan tangentin kulman tangentti käyrän tietyssä pisteessä y=F(x) yhtä suuri kuin johdannaisen arvo F"(x). Joten meidän on löydettävä tällainen funktio F(x), mille F"(x)=f(x). Tehtävässä vaadittava toiminto F(x) on johdettu f(x). Ongelman ehtoa ei tyydytä yksi käyrä, vaan käyräperhe. y=F(x)- yksi näistä käyristä ja mikä tahansa muu käyrä voidaan saada siitä yhdensuuntaisella siirrolla akselia pitkin Oy.

Kutsutaanpa funktion antiderivatiivisen funktion kuvaajaa f(x) integraalikäyrä. Jos F"(x)=f(x), sitten funktion kuvaaja y=F(x) on integraalikäyrä.

Fakta 3. Epämääräinen integraali esitetään geometrisesti kaikkien integraalikäyrien perheellä kuten alla olevassa kuvassa. Kunkin käyrän etäisyys origosta määräytyy mielivaltaisella integrointivakiolla (vakiolla). C.

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

Fakta 4. Lause 1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi ja sen differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi.

Fakta 5. Lause 2. Funktion differentiaalin epämääräinen integraali f(x) on yhtä suuri kuin funktio f(x) jatkuvaan ajankohtaan asti , eli

(3)

Lauseet 1 ja 2 osoittavat, että differentiaatio ja integrointi ovat keskenään käänteisiä operaatioita.

Fakta 6. Lause 3. Integrandin vakiotekijä voidaan ottaa pois epämääräisen integraalin etumerkistä , eli

Luettelemme alkeisfunktioiden integraalit, joita joskus kutsutaan taulukkomuodoiksi:

Mikä tahansa yllä olevista kaavoista voidaan todistaa ottamalla oikean puolen derivaatta (tuloksena saadaan integrandi).

Integrointimenetelmät

Tarkastellaanpa joitain integroinnin perusmenetelmiä. Nämä sisältävät:

1. Hajotusmenetelmä(suora integraatio).

Tämä menetelmä perustuu taulukkointegraalien suoraan soveltamiseen sekä epämääräisen integraalin ominaisuuksien 4 ja 5 käyttöön (eli vakiotekijän ottaminen pois suluista ja/tai integrandin esittäminen funktioiden summana - laajentamalla integrandia termeiksi).

Esimerkki 1 Esimerkiksi löytääksesi (dx/x 4), voit käyttää suoraan taulukkointegraalia x n dx:lle. Todellakin, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Katsotaanpa vielä muutama esimerkki.

Esimerkki 2 Löytääksemme käytämme samaa integraalia:

Esimerkki 3 Löytääksesi sinun on otettava

Esimerkki 4 Löytääksemme edustamme integrandia muodossa ja käytä taulukkointegraalia eksponentiaaliselle funktiolle:

Harkitse vakiokertoimen sulkemista.

Esimerkki 5Etsitään esim . Tämän huomioon ottaen saamme

Esimerkki 6 Etsitään. Koska , käytämme taulukkointegraalia Saada

Voit myös käyttää sulkeita ja taulukkointegraaleja seuraavissa kahdessa esimerkissä:

Esimerkki 7

(käytämme ja );

Esimerkki 8

(käytämme ja ).

Katsotaanpa monimutkaisempia esimerkkejä, joissa käytetään summaintegraalia.

Esimerkki 9 Etsitään esimerkiksi
. Laajennusmenetelmän soveltamiseksi osoittajassa käytämme summakuution kaavaa  ja jaamme sitten tuloksena olevan polynomin termin nimittäjällä.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

On huomattava, että ratkaisun loppuun kirjoitetaan yksi yhteinen vakio C (eikä erillisiä kutakin termiä integroitaessa). Jatkossa ehdotetaan myös vakioiden jättämistä pois yksittäisten termien integroinnista ratkaisuprosessissa niin kauan kuin lauseke sisältää vähintään yhden epämääräisen integraalin (kirjoitamme yhden vakion ratkaisun loppuun).

Esimerkki 10 Etsitään . Tämän ongelman ratkaisemiseksi kerroimme osoittajan (sen jälkeen voimme pienentää nimittäjää).

Esimerkki 11. Etsitään. Tässä voidaan käyttää trigonometrisiä identiteettejä.

Joskus lausekkeen hajottamiseksi termeiksi on käytettävä monimutkaisempia tekniikoita.

Esimerkki 12. Etsitään . Integrandissa valitsemme murtoluvun kokonaislukuosan . Sitten

Esimerkki 13 Etsitään

2. Muuttuva korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)

Menetelmä perustuu seuraavaan kaavaan: f(x)dx=f((t))`(t)dt, missä x =(t) on tarkasteluvälillä differentioituva funktio.

Todiste. Etsitään derivaatat muuttujan t suhteen kaavan vasemmasta ja oikeasta osasta.

Huomaa, että vasemmalla puolella on kompleksifunktio, jonka väliargumentti on x = (t). Siksi erottaaksemme sen t:n suhteen differentioidaan ensin integraali x:n suhteen ja sitten otetaan väliargumentin derivaatta t:n suhteen.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Oikean puolen johdannainen:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Koska nämä derivaatat ovat yhtä suuret, Lagrangen lauseen seurauksena todistettavan kaavan vasen ja oikea osa eroavat jonkin vakion verran. Koska itse määrittelemättömät integraalit on määritelty määrittelemättömään vakiotermiin asti, tämä vakio voidaan jättää pois lopullisesta merkinnästä. Todistettu.

Onnistuneen muuttujan muutoksen avulla voimme yksinkertaistaa alkuperäistä integraalia ja yksinkertaisimmissa tapauksissa pienentää sen taulukkomuotoiseksi. Tätä menetelmää sovellettaessa erotetaan lineaarisen ja epälineaarisen substituution menetelmät.

a) Lineaarinen korvausmenetelmä katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1
. Lett = 1 – 2x siis

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

On huomattava, että uutta muuttujaa ei tarvitse kirjoittaa erikseen. Tällaisissa tapauksissa puhutaan funktion muuntamisesta differentiaalin merkin alla tai vakioiden ja muuttujien käyttöönotosta differentiaalin merkin alle, ts. noin implisiittisen muuttujan substituutio.

Esimerkki 2 Etsitään esimerkiksi cos(3x + 2)dx. Differentiaalin ominaisuuksien perusteella dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), sittencos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Molemmissa tarkasteluissa esimerkeissä integraalien etsimiseen käytettiin lineaarista substituutiota t=kx+b(k0).

Yleisessä tapauksessa seuraava lause pätee.

Lineaarinen korvauslause. Olkoon F(x) jokin antiderivaata funktiolle f(x). Sittenf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, missä k ja b ovat joitain vakioita,k0.

Todiste.

Integraalin f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C määritelmän mukaan. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Otetaan integraalimerkin vakiotekijä k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nyt voidaan jakaa yhtälön vasen ja oikea osa k:lla ja saada todistettava väite vakiotermin merkintään asti.

Tämä lause sanoo, että jos lauseke (kx+b) korvataan integraalin f(x)dx= F(x) + C määritelmässä, niin tämä johtaa lisätekijän 1/k esiintymiseen edessä. antijohdannaisesta.

Todistetun lauseen avulla ratkaisemme seuraavat esimerkit.

Esimerkki 3

Etsitään . Tässä kx+b= 3 –x, eli k= -1,b= 3. Sitten

Esimerkki 4

Etsitään. Tässä kx+b= 4x+ 3, eli k= 4,b= 3. Sitten

Esimerkki 5

Etsitään . Tässä kx+b= -2x+ 7, eli k= -2,b= 7. Sitten

.

Esimerkki 6 Etsitään
. Tässä kx+b= 2x+ 0, eli k= 2,b=0.

.

Verrataan saatua tulosta esimerkkiin 8, joka on ratkaistu hajotusmenetelmällä. Ratkaisimme saman ongelman toisella menetelmällä, saimme vastauksen
. Verrataanpa tuloksia: Näin ollen nämä lausekkeet eroavat toisistaan ​​vakiotermillä , eli saadut vastaukset eivät ole ristiriidassa keskenään.

Esimerkki 7 Etsitään
. Valitsemme nimittäjästä täyden neliön.

Joissakin tapauksissa muuttujan muutos ei pelkistä integraalia suoraan taulukkomuotoiseksi, mutta se voi yksinkertaistaa ratkaisua mahdollistamalla hajotusmenetelmän soveltamisen seuraavassa vaiheessa.

Esimerkki 8 Etsitään esimerkiksi . Korvaa t=x+ 2, sitten dt=d(x+ 2) =dx. Sitten

,

missä C \u003d C 1 - 6 (kun korvataan lauseke (x + 2) t:n sijaan, kahden ensimmäisen termin sijasta saadaan ½x 2 -2x - 6).

Esimerkki 9 Etsitään
. Olkoon t= 2x+ 1, sitten dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Korvaamme lausekkeen (2x + 1) t:n sijaan, avaa sulut ja anna samanlaiset.

Huomaa, että muunnosprosessissa siirryimme toiseen vakiotermiin, koska muunnosprosessin vakiotermien ryhmä voitaisiin jättää pois.

b) Epälineaarisen substituution menetelmä katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1
. Olkoon t= -x 2 . Lisäksi x voidaan ilmaista t:llä, sitten löytää lauseke dx:lle ja toteuttaa muuttujan muutos vaaditussa integraalissa. Mutta tässä tapauksessa on helpompi tehdä toisin. Etsi dt=d(-x 2) = -2xdx. Huomaa, että lauseke xdx on vaaditun integraalin integrandin tekijä. Ilmaisemme sen tuloksena olevasta yhtälöstä xdx= - ½dt. Sitten

Neljä tärkeintä integrointimenetelmää on lueteltu alla.

1) Summan tai erotuksen integrointisääntö.
.
Tässä ja alla u, v, w ovat integrointimuuttujan x funktioita.

2) Vakion poistaminen integraalimerkistä.
Olkoon c x:stä riippumaton vakio. Sitten se voidaan ottaa pois integraalimerkistä.

3) Muuttuva korvausmenetelmä.
Harkitse epämääräistä integraalia.
Jos on mahdollista valita tällainen funktio, φ (x) x:stä, niin
,
sitten muuttujan t = φ(x) muuttamisen jälkeen meillä on
.

4) Osien integroinnin kaava.
,
missä u ja v ovat integrointimuuttujan funktioita.

Epämääräisten integraalien laskemisen perimmäinen tavoite on muunnosten avulla tuoda annettu integraali yksinkertaisimpiin integraaleihin, joita kutsutaan taulukkointegraaleiksi. Taulukkointegraalit ilmaistaan ​​perusfunktioina tunnettujen kaavojen avulla.
Katso integraalitaulukko >>>

Esimerkki

Laske epämääräinen integraali

Ratkaisu

Huomaa, että integrandi on kolmen termin summa ja erotus:
, ja .
Käytämme menetelmää 1 .

Lisäksi huomaamme, että uusien integraalien integrandit kerrotaan vakioilla 5, 4, ja 2 , vastaavasti. Käytämme menetelmää 2 .

Integraalitaulukosta löydämme kaavan
.
Asetus n = 2 , löydämme ensimmäisen integraalin.

Kirjoitetaan toinen integraali muotoon
.
Huomaamme sen. Sitten

Käytetään kolmatta menetelmää. Teemme muuttujan t = φ muutoksen (x) = log x.
.
Integraalitaulukosta löydämme kaavan

Koska integroinnin muuttuja voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella, niin

Kirjoitetaan kolmas integraali muotoon
.
Käytämme kaavaa integrointiin osien mukaan.
Päästää .
Sitten
;
;

;
;
.

Lopulta meillä on
.
Kerää termit x:llä 3 .
.

Vastaus

Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, Lan, 2003.

Tärkeimmät integraalit jokaisen opiskelijan tulisi tietää

Listatut integraalit ovat perusta, perusta. Nämä kaavat on tietysti syytä muistaa. Kun lasket monimutkaisempia integraaleja, sinun on käytettävä niitä jatkuvasti.

Kiinnitä erityistä huomiota kaavoihin (5), (7), (9), (12), (13), (17) ja (19). Muista lisätä vastaukseen mielivaltainen vakio C integroinnin yhteydessä!

Vakion integraali

∫ A d x = A x + C (1)

Tehotoimintojen integrointi

Itse asiassa voisi rajoittua kaavoihin (5) ja (7), mutta muut tämän ryhmän integraalit ovat niin yleisiä, että niihin kannattaa kiinnittää vähän huomiota.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Eksponentiaalifunktion ja hyperbolisten funktioiden integraalit

Tietenkin kaavaa (8) (ehkä kätevin muistaa) voidaan pitää kaavan (9) erikoistapauksena. Kaavat (10) ja (11) hyperbolisen sinin ja hyperbolisen kosinin integraaleille saadaan helposti kaavasta (8), mutta on parempi muistaa nämä suhteet.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometristen funktioiden perusintegraalit

Virhe, jonka opiskelijat tekevät usein: he sekoittavat merkit kaavoissa (12) ja (13). Muistaen, että sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini, jostain syystä monet ihmiset uskovat, että sinx-funktion integraali on yhtä suuri kuin cosx. Tämä ei ole totta! Sinin integraali on "miinus kosini", mutta cosx:n integraali on "vain sini":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Käänteisiksi trigonometrisiksi funktioiksi pelkistävät integraalit

Kaava (16), joka johtaa arkitangenttiin, on luonnollisesti kaavan (17) erikoistapaus, kun a=1. Vastaavasti (18) on (19) erikoistapaus.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − kaaret x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaaret x a + C (a > 0) (19)

Monimutkaisemmat integraalit

Nämä kaavat on myös hyvä muistaa. Niitä käytetään myös melko usein, ja niiden tuotanto on melko tylsää.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Yleiset integrointisäännöt

1) Kahden funktion summan integraali on yhtä suuri kuin vastaavien integraalien summa: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Kahden funktion eron integraali on yhtä suuri kuin vastaavien integraalien erotus: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Vakio voidaan ottaa pois integraalimerkistä: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

On helppo nähdä, että ominaisuus (26) on yksinkertaisesti ominaisuuksien (25) ja (27) yhdistelmä.

4) Kompleksisen funktion integraali, jos sisäfunktio on lineaarinen: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Tässä F(x) on funktion f(x) antiderivaata. Huomaa, että tämä kaava toimii vain, kun sisäfunktio on Ax + B.

Tärkeää: ei ole universaalia kaavaa kahden funktion tulon integraalille sekä murto-osan integraalille:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (kolmekymmentä)

Tämä ei tietenkään tarkoita, että murto-osaa tai tuotetta ei voida integroida. On vain niin, että joka kerta kun näet integraalin, kuten (30), sinun on keksittävä tapa "taistella" sen kanssa. Joissakin tapauksissa integrointi osien mukaan auttaa sinua, jossain joudut muuttamaan muuttujaa, ja joskus jopa "koulu" algebran tai trigonometrian kaavat voivat auttaa.

Yksinkertainen esimerkki määrittelemättömän integraalin laskemisesta

Esimerkki 1. Etsi integraali: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Käytämme kaavoja (25) ja (26) (funktioiden summan tai eron integraali on yhtä suuri kuin vastaavien integraalien summa tai ero. Saadaan: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Muista, että vakio voidaan ottaa pois integraalimerkistä (kaava (27)). Lauseke muunnetaan muotoon

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Nyt käytetään vain perusintegraalien taulukkoa. Meidän on sovellettava kaavoja (3), (12), (8) ja (1). Integroidaan potenssifunktio, sini, eksponentti ja vakio 1. Älä unohda lisätä mielivaltaista vakiota C loppuun:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Perusmuutosten jälkeen saamme lopullisen vastauksen:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testaa itsesi differentiaatiolla: ota tuloksena olevan funktion derivaatta ja varmista, että se on yhtä suuri kuin alkuperäinen integrandi.

Integraalien yhteenvetotaulukko

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − kaaret x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaaret x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Lataa integraalitaulukko (osa II) tästä linkistä

Jos opiskelet yliopistossa, jos sinulla on vaikeuksia korkeamman matematiikan (matemaattinen analyysi, lineaarinen algebra, todennäköisyysteoria, tilastot) kanssa, jos tarvitset pätevän opettajan palveluita, mene korkeamman matematiikan tutorin sivulle. Ratkaistaan ​​ongelmasi yhdessä!

Saatat myös olla kiinnostunut