Erilaisten JA-prosessoinnin ongelmien tehokkaaksi ratkaisemiseksi tarvitaan niiden matemaattinen muotoilu, joka sisältää ensisijaisesti matemaattisen kuvauksen eli mallin JA:sta tutkimuskohteena. Tähän mennessä on kehitetty useita tällaisia ​​malleja, joista joitakin käsitellään tässä luvussa.

1.1. Satunnaiset kentät

Tällä hetkellä yleisimmät ovat tietokompleksit, joihin kuuluvat spatiaaliset anturijärjestelmät ja digitaaliset tietokoneet. Siksi tarkastelemme pääasiassa MI:tä diskreettien tila- ja aikamuuttujien kanssa. Yleisyyttä menettämättä oletetaan, että MP:t annetaan moniulotteisissa suorakaiteen muotoisissa ruudukoissa, joissa on yksikköaskel. Kuvassa Kuvat 1.1a ja 1.1b esittävät kaksiulotteisia ja kolmiulotteisia verkkoja. Yleisessä tapauksessa JA annetaan n-ulotteisen ruudukon solmuissa.

Fysikaalisesta luonteesta riippuen JA-arvot voivat olla skalaarisia (esimerkiksi monokromaattisen kuvan kirkkaus), vektoria (nopeuskenttä, värikuvat, siirtymäkenttä) ja monimutkaisempia arvoja (esimerkiksi matriisi). Jos se on merkitty arvolla AND solmussa (pikselissä), niin AND on näiden arvojen kokonaisuus ruudukossa: .

Jos data on AND:ien aikasekvenssi, on joskus kätevää pitää tätä sarjaa yhtenä AND:na, jolloin ruudukon ulottuvuus kasvaa yhdellä. Esimerkiksi litteiden AND:ien sekvenssiä (kuva 1.1, a) voidaan pitää yhtenä kolmiulotteisena AND:na (kuva 2.1, b).

Jos haluat korostaa väliaikaisen muuttujan erityisesti, kirjoitamme sen ylhäältä: . Tämä JA annetaan ruudukon ja I:n välittömällä tulolla, missä I on aikaindeksin arvojen joukko. poikkileikkaus , eli kutsutaan lukusarja AND aikaindeksin i kiinteälle arvolle i. kehys JA. Jokainen kehys on asetettu ruudukkoon. Esimerkiksi kuvassa fig. 1.1b esittää kolme kaksiulotteista kehystä.

Siten MI:tä voidaan pitää moniulotteisessa ruudukossa määriteltynä funktiona. Elementtien JA arvoa ei voida ennustaa tarkasti etukäteen (muuten havaintojärjestelmää ei tarvittaisi), joten on luonnollista tarkastella näitä arvoja satunnaismuuttujina (CV) todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen laitteiston avulla. Joten tulemme MI:n päämalliin - moniulotteisessa ruudukossa annettujen SV:iden järjestelmään. Tällaisia ​​järjestelmiä kutsutaan diskreeteiksi satunnaiskentiksi (RS) tai useiden muuttujien satunnaisfunktioiksi.

Kuvataksesi SP:tä, kuten mitä tahansa muuta VS-järjestelmää, voit asettaa sen elementtien yhteisen todennäköisyysjakaumafunktion (DF) tai yhteisen todennäköisyysjakauman tiheyden (PDD). . I koostuu kuitenkin yleensä hyvin suuresta määrästä elementtejä (tuhansia ja miljoonia), joten DF:stä (tai PDF:stä), jossa on niin monta muuttujaa, tulee rajaton ja SP:n kuvaamiseen tarvitaan muita, vähemmän raskaita menetelmiä.

JOHDANTO

Aineellisen maailman esineet ovat monimutkaisia ​​ja monimuotoisia. Niiden kaikkien ominaisuuksien heijastaminen luoduissa, tutkituissa ja käytetyissä kuvissa on erittäin vaikeaa eikä välttämätöntä. On tärkeää, että esineen kuva sisältää sen käytön kannalta tärkeimmät ominaisuudet Mallinnusmenetelmä on alkuperäisen kohteen korvaaminen korvaavalla esineellä, jolla on tietty samankaltaisuus alkuperäisen kanssa, jotta saadaan uutta tietoa esineestä. alkuperäinen. Malli on alkuperäisen kohteen korvike, joka on suunniteltu hankkimaan tietoa alkuperäisestä.

Matemaattiset mallit viittaavat symbolisiin malleihin ja edustavat esineiden kuvausta matemaattisten symbolien, kaavojen, lausekkeiden muodossa. Jos käytettävissä on riittävän tarkka matemaattinen malli, voidaan matemaattisten laskelmien avulla ennustaa kohteen toiminnan tuloksia erilaisissa olosuhteissa, valita useista mahdollisista vaihtoehdoista se, joka antaa parhaan tuloksen.

Tässä artikkelissa esitellään matemaattisten mallinnusmenetelmien luokittelutyypit ja kuvataan joitain menetelmiä:

Lineaarinen ohjelmointi ovat matemaattisen mallintamisen menetelmiä, joiden avulla löydetään paras vaihtoehto rajallisten resurssien allokoimiseksi kilpailevien töiden välillä.

Simulaatiomallinnus. Simulaatiomallinnuksen tarkoituksena on toistaa tutkittavan järjestelmän käyttäytyminen sen elementtien välisten merkittävimpien suhteiden analyysin tulosten perusteella, eli toisin sanoen kehittää tutkittavalle aihealueelle simulaattori erilaisten kokeiden suorittamista varten.

Matemaattisten mallinnusmenetelmien luokittelu

Käytettävien matemaattisten mallien moninaisuuden vuoksi niiden yleinen luokittelu on vaikeaa. Kirjallisuudessa annetaan yleensä luokituksia, jotka perustuvat erilaisiin lähestymistapoihin ja periaatteisiin.

Kuulumalla hierarkkiselle tasolle matemaattiset mallit jaetaan mikrotason, makrotason ja metatason malleihin. Prosessin mikrotason matemaattiset mallit heijastavat fysikaalisia prosesseja, joita esiintyy esimerkiksi metallien leikkaamisessa. Ne kuvaavat prosesseja siirtymätasolla.

Prosessin makrotason matemaattiset mallit kuvaavat teknologisia prosesseja.

Matemaattiset mallit prosessin metatasolla kuvaavat teknologisia järjestelmiä (osioita, työpajoja, yritystä kokonaisuutena).

Näytettävien objektien ominaisuuksien luonteen mukaan mallit voidaan luokitella rakenteellisiin ja toiminnallisiin

Malli on rakenteellinen, jos se voidaan esittää tietorakenteella tai tietorakenteilla ja niiden välisillä suhteilla, rakenteellinen malli puolestaan ​​voi olla hierarkkinen tai verkko.

Malli on hierarkkinen (puumainen), - jos sitä edustaa jokin hierarkkinen rakenne (puu); Voit esimerkiksi ratkaista reitin löytämisongelman hakupuusta rakentamalla kuvassa 1 näkyvän puumallin.

Kuva 1 - Hierarkkisen rakenteen malli.

Malli on verkko, jos se voidaan esittää jollain verkkorakenteella. Esimerkiksi uuden talon rakentamiseen liittyy erilaisia ​​toimintoja, jotka voidaan esittää kuvan 2 verkkomallissa.

Kuva 2 - Verkon rakennemalli.

Malli on toiminnallinen, jos se voidaan esittää toiminnallisten suhteiden järjestelmänä. Esimerkiksi Newtonin laki ja tavaroiden tuotannon malli ovat toimivia.

Muuten objektin ominaisuudet esitetään Mallit jaetaan analyyttisiin, numeerisiin, algoritmisiin ja simulaatioihin.

Analyyttiset matemaattiset mallit ovat lähtöparametrien eksplisiittisiä matemaattisia lausekkeita tuloparametrien ja sisäisten parametrien funktioina, ja niillä on ainutlaatuiset ratkaisut kaikkiin alkuolosuhteisiin. Esimerkiksi leikkaus (sorvaus) prosessi vaikuttavien voimien kannalta on analyyttinen malli. Myös toisen asteen yhtälö, jolla on yksi tai useampi ratkaisu, on analyyttinen malli. Malli on numeerinen, jos sillä on ratkaisut tietyissä alkuolosuhteissa (differentiaali-, integraaliyhtälöt).

Malli on algoritminen, jos sitä kuvaa jokin algoritmi tai algoritmijoukko, joka määrää sen toiminnan ja kehityksen. Tämän tyyppisen mallin käyttöönotto (todellakin näyttää siltä, ​​että mikä tahansa malli voidaan esittää algoritmilla sen tutkimista varten) on varsin perusteltua, koska kaikkia malleja ei voida tutkia tai toteuttaa algoritmisesti. Malli esimerkiksi äärettömän pienenevän lukusarjan summan laskemiseksi voi olla algoritmi sarjan äärellisen summan laskemiseksi tiettyyn tarkkuuteen asti. Algoritmi sen likimääräisen, mielivaltaisen tarkan arvon laskemiseksi käyttämällä tunnettua toistuvaa kaavaa voi toimia algoritmisena mallina luvun X neliöjuurelle.

Simulaatiomalli, jos sen tarkoituksena on testata tai tutkia kohteen mahdollisia kehitystapoja ja käyttäytymistä muuttamalla joitain tai kaikkia mallin parametreja, esimerkiksi talousjärjestelmän malli kahden tyyppisen tavaran tuotantoa varten. . Tällaista mallia voidaan käyttää simulointina kokonaiskustannusten määrittämiseen ja vaihteluun riippuen tuotettujen tavaroiden määrän tietyistä arvoista.

Saavuttamalla Mallit jaetaan teoreettisiin ja empiirisiin.Teoreettiset matemaattiset mallit syntyvät esineiden (prosessien) teoreettisen tason tutkimuksen tuloksena. Esimerkiksi fysikaalisten lakien yleistyksen perusteella saaduille leikkausvoimille on olemassa lausekkeita. Mutta niitä ei voida hyväksyä käytännön käyttöön, koska ne ovat erittäin hankalia eivätkä ole täysin mukautettuja todellisiin prosesseihin. Empiirisiä matemaattisia malleja luodaan kokeiden (tutkimalla kohteen ominaisuuksien ulkoisia ilmenemismuotoja mittaamalla sen parametreja tulossa ja lähdössä) ja niiden tulosten käsittelyn tuloksena matemaattisia tilastomenetelmiä käyttäen.

Objektin ominaisuuksien esitysmuodon mukaan Mallit jaetaan loogisiin, joukkoteoreettisiin ja graafisiin. Malli on looginen, jos se voidaan esittää predikaateilla, loogisilla funktioilla, esimerkiksi kahden loogisen funktion joukko voi toimia yksinumeroisen summaimen matemaattisena mallina. Malli on joukkoteoreettinen, jos se voidaan esittää tiettyjen joukkojen ja niihin kuulumisen ja niiden välisten suhteiden avulla. Graafimalli on, jos se voidaan esittää kaaviolla tai kaavioilla ja niiden välisillä suhteilla.

Vakausasteen mukaan. mallit voidaan jakaa vakaisiin ja epävakaisiin. Vakaa järjestelmä on sellainen, joka alkuperäisestä tilastaan ​​poistettuna pyrkii siihen. Se voi värähdellä jonkin aikaa aloituspisteen ympärillä, kuten tavallinen heiluri, joka on asetettu liikkeelle, mutta siinä olevat häiriöt haalistuvat ja häviävät ajan myötä. amplitudi

Suhteessa ulkoisiin tekijöihin mallit voidaan jakaa avoimiin ja suljettuihin. Suljettu malli on malli, joka toimii ulkoisista (eksogeenisista) muuttujista riippumatta. Suljetussa mallissa muuttujien arvojen muutokset ajan myötä määräytyvät muuttujien itsensä sisäisen vuorovaikutuksen perusteella. Suljettu malli voi paljastaa järjestelmän käyttäytymisen ilman ulkoista muuttujaa. Esimerkki: palautejärjestelmät ovat suljettuja järjestelmiä. Ne ovat itsesäätyviä järjestelmiä, ja niiden ominaisuudet johtuvat sisäisestä rakenteesta ja vuorovaikutuksista, jotka heijastavat ulkoisen tiedon syötteitä. Ulkoisiin (eksogeenisiin) muuttujiin liittyvää mallia kutsutaan avoimeksi.

Suhteessa aikatekijään mallit jaetaan dynaamisiin ja staattisiin Mallia kutsutaan staattisiksi, jos sen kuvaukseen liittyvien parametrien joukossa ei ole aikaparametria. Mallia kutsutaan dynaamiseksi malliksi, jos sen parametrien joukossa on aikaparametri, eli se näyttää järjestelmän (järjestelmässä olevat prosessit) ajassa. samanaikaisesti.

Lineaarinen ohjelmointi

Matemaattisista ohjelmointiongelmista yksinkertaisimmat (ja parhaiten tutkitut) ovat ns. lineaariset ohjelmointiongelmat. Niille on ominaista, että:

a) suoritusindikaattori (objektiivifunktio) W riippuu lineaarisesti ratkaisuelementeistä x 1, x 2, ....., x p ja

b) ratkaisun elementeille asetetut rajoitukset ovat lineaarisia yhtäläisyyksiä tai epäyhtälöitä suhteessa x 1, x 2, ..., x p

Tällaiset tehtävät ovat varsin yleisiä käytännössä esimerkiksi ratkaistaessa ongelmia, jotka liittyvät resurssien allokointiin, tuotannon suunnitteluun, kuljetusten järjestämiseen jne. Tämä on luonnollista, koska monissa käytännön ongelmissa "kustannukset" ja "tulot" riippuvat lineaarisesti ostettujen tai luovutettujen varojen määrä (esimerkiksi tavaraerän kokonaiskustannukset riippuvat lineaarisesti ostettujen yksiköiden lukumäärästä; kuljetuksesta maksetaan suhteessa kuljetetun tavaran painoon jne.).

Mikä tahansa lineaarinen ohjelmointiongelma voidaan pelkistää vakiomuotoon, niin kutsuttuun "lineaarisen ohjelmoinnin perusongelmaksi" (BLI), joka muotoillaan seuraavasti: etsi muuttujien x 1 , x 2 , .. ei-negatiiviset arvot. ., x n, joka täyttäisi tasa-arvoehdot ( yksi).

Tapaus, jossa f on käännettävä ei maksimiin, vaan päin. minimi voidaan helposti vähentää edelliseen, jos yksinkertaisesti käännät f:n etumerkkiä (ei maksimoi f, vaan f" = - f). Lisäksi voit siirtyä mistä tahansa epätasa-ehdoista tasa-arvoehtoihin uusien käyttöönoton kustannuksella. lisämuuttujia.

Tavoitefunktion tyypistä ja rajoituksista riippuen voidaan erottaa useita lineaarisen ohjelmoinnin ongelmia tai lineaarisia malleja: yleinen lineaarinen ongelma, siirtoongelma, osoitusongelma.

Kuljetusongelma (Monge-Kantorovich-ongelma) on matemaattinen ongelma lineaarisen ohjelmoinnin erityistyypistä, joka koskee homogeenisten kohteiden optimaalisen jakautumisen löytämistä akusta vastaanottimiin minimoiden siirtokustannukset. Ymmärtämisen helpottamiseksi sitä pidetään ongelmana optimaalisessa suunnitelmassa tavaroiden kuljettamiseksi lähtöpisteistä kulutuspisteisiin minimaalisilla kuljetuskustannuksilla.

Tehtävätehtävä on muotoiltu seuraavasti:

Teoksia on tietty määrä ja esiintyjiä tietty määrä. Kuka tahansa urakoitsija voidaan määrätä suorittamaan mikä tahansa (mutta vain yksi) työ, mutta eri kustannuksin. Työ on tarpeen jakaa niin, että työ saadaan valmiiksi mahdollisimman pienin kustannuksin. Jos töiden ja esiintyjien määrä on sama, niin ongelmaa kutsutaan lineaariseksi osoitustehtäväksi.

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelman ratkaisemiseksi on useita tapoja, erityisesti graafinen menetelmä ja simpleksimenetelmä. Graafinen menetelmä perustuu lineaarisen ohjelmointitehtävän geometriseen tulkintaan ja sitä käytetään ongelmien ratkaisemiseen kaksiulotteisessa avaruudessa. Kolmiulotteisen avaruuden ongelmat ratkaistaan ​​hyvin harvoin, koska. niiden ratkaisun rakenne on hankalaa ja vailla visualisointia. Harkitse menetelmää kaksiulotteisen ongelman esimerkissä.

Etsi ratkaisu X \u003d (x 1, x 2), joka täyttää epäyhtälöjärjestelmä (3)

(3)

6x1 +7x2 ≤42

jossa tavoitefunktion arvo F = 2x 1 x 2 saavuttaa maksiminsa.

Rakennetaan tasolle suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä x 1 Ox 2 ongelman toteuttamiskelpoisten ratkaisujen alue.

Jokainen rakennetuista viivoista jakaa tason kahteen puolitasoon. Yhden puolitason pisteiden koordinaatit täyttävät alkuperäisen epäyhtälön, kun taas toisen ei. Halutun puolitason määrittämiseksi sinun on otettava jokin piste, joka kuuluu johonkin puolitasoista, ja tarkistettava, täyttävätkö sen koordinaatit tämän epäyhtälön. Jos tietyn pisteen koordinaatit täyttävät tämän epäyhtälön, haluttu puolitaso on se, johon tämä piste kuuluu. Muuten toinen puolitaso.

Etsitään epäyhtälön x 1 -x 2 ≥-3 määrittelemä puolitaso. Tätä varten, kun olet rakentanut suoran (I) x 1 -x 2 \u003d-3, otamme jonkin pisteen, joka kuuluu yhteen kahdesta saadusta puolitasosta, esimerkiksi piste O (0,0). Tämän pisteen koordinaatit täyttävät epäyhtälön x 1 -x 2 ≥-3. Tämä tarkoittaa, että puolitaso, johon piste O(0,0) kuuluu, määräytyy epäyhtälöllä x 1 -x 2 ≥-3.

Etsitään nyt epäyhtälön 6x1+7x 2 ≤42 määrittelemä puolitaso.

Rakennamme linjan II 6x 1 +7x 2 =42. Pisteen O(0,0) koordinaatit täyttävät epäyhtälön 6x 1 +7x 2 ≤42, mikä tarkoittaa, että toinen puolitaso on haluttu.

Nyt etsitään puolitasoa epäyhtälölle 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Pisteen O(0,0) koordinaatit täyttävät epäyhtälöt 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Siksi puolitaso, johon piste O(0,0) kuuluu, määräytyy epäyhtälöllä 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (viiva III).

Ja puolitaso epäyhtälölle x 1 + x 2 ≥4. Pisteen O(0,0) koordinaatit täyttävät epäyhtälön x 1 + x 2 ≥4 (viiva IV). Siten suora x 1 + x 2 =4 määräytyy ensimmäisen puolitason mukaan.

Epäyhtälöt x 1 ≥0 ja x 2 ≥0 tarkoittavat, että ratkaisualue sijaitsee ordinaatan oikealla puolella ja abskissan yläpuolella. Siten kuvassa 3 varjostettu alue ABCD on toteutettavissa olevien ratkaisujen alue, jonka määrittelevät ongelman rajoitukset. Tavoitefunktio saa maksimiarvonsa yhdestä kuvion ABCD kärjestä. Tämän kärjen määrittämiseksi rakennamme vektorin C (2; -1) ja suoran 2x 1 -x 2 =p, jossa p on jokin vakio siten, että suoralla 2x 1 -x 2 =p on yhteiset pisteet ratkaisupolygonin kanssa . Laitetaan esimerkiksi p=1/2 ja muodostetaan suora 2 x 1 -x 2 =1/2. Edelleen siirrämme muodostettua suoraa vektorin suuntaan, kunnes se kulkee viimeisen yhteisen pisteensä läpi ratkaisupolygonin kanssa. Määritetyn pisteen koordinaatit määrittävät optimaalisen suunnitelman tälle tehtävälle.

Kuvasta 3 näkyy, että suoran 2x 1 -x 2 \u003d p viimeinen yhteinen piste ratkaisujen monikulmion kanssa on piste A. Tämä piste on suorien II ja III leikkauspiste, joten sen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi järjestelmään. yhtälöt, jotka määrittelevät nämä rivit:

(4)

6x1 +7x2 =42

Tässä tapauksessa tavoitefunktion arvo F \u003d 2 x 1 -x 2 \u003d 2 * 5,25 - 1 * 1,5 \u003d 9.

Piste B on optimaalinen ratkaisu tehtävään X opt = (x 1 opt, x 2 opt) ja sen koordinaatit ovat x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.

Kuva 3 - Ongelman hyväksyttävien ratkaisujen alue

Simplex - menetelmä

Tämä menetelmä on menetelmä lineaarisen ohjelmoinnin ongelman viiteratkaisujen tarkoitukselliseen luetteloimiseen. Se mahdollistaa rajallisen määrän vaiheita joko optimaalisen ratkaisun löytämiseksi tai sen toteamiseksi, että optimaalista ratkaisua ei ole.

1) Määritä menetelmä optimaalisen vertailuratkaisun löytämiseksi.

2) Määritä menetelmä, jolla siirrytään vertailuratkaisusta toiseen, jolla tavoitefunktion arvo on lähempänä optimaalista, ts. osoittavat tavan parantaa vertailuratkaisua.

3) Aseta kriteerit, joiden avulla voit keskeyttää viiteratkaisujen luetteloimisen ajoissa optimaalisen ratkaisun perusteella tai tehdä johtopäätöksen optimaalisen ratkaisun puuttumisesta.

Jotta voit ratkaista ongelman simplex-menetelmällä, sinun on tehtävä seuraava:

1) Tuo ongelma kanoniseen muotoon.

2) Etsi alkuperäinen vertailuratkaisu "yksikköperusteisella" (jos vertailuratkaisua ei ole, ongelmalla ei ole ratkaisua rajoitusjärjestelmän yhteensopimattomuuden vuoksi).

3) Laske vektorilaajennusten estimaatit vertailuratkaisun perusteella ja täytä simpleksimenetelmän taulukko.

4) Jos optimaalisen ratkaisun ainutlaatuisuuden kriteeri täyttyy, ongelman ratkaisu päättyy. Jos optimaalisten ratkaisujen joukon olemassaolon ehto täyttyy, niin yksinkertaisella laskennalla löydetään kaikki optimaaliset ratkaisut.

Matemaattisten menetelmien laskennallinen tehokkuus arvioidaan yleensä kahdella parametrilla:

1) ratkaisun saamiseksi tarvittavien iteraatioiden lukumäärä;

2) Koneajan hinta.

Numeeristen kokeiden tuloksena simpleksimenetelmälle saatiin seuraavat tulokset:

1) Iteraatioiden määrä lineaarisen ohjelmoinnin ongelmien ratkaisemisessa vakiomuodossa rajoituksilla ja muuttujilla on välillä ja . Keskimääräinen iteraatioiden määrä . Iteraatioiden lukumäärän yläraja on .

2) Vaadittu koneen aika on verrannollinen .

Rajoitusten määrä vaikuttaa laskennan tehokkuuteen enemmän kuin muuttujien lukumäärä, joten lineaarisia ohjelmointitehtäviä laadittaessa tulee pyrkiä vähentämään rajoitusten määrää, vaikka muuttujia lisäämällä.

Simulaatiomenetelmän peruskäsitteet.

Termi "simulaatiomallinnus" ("simulaatiomalli") tarkoittaa yleensä prosessin joidenkin ominaisuuksien arvojen laskemista, jotka kehittyvät ajan myötä toistamalla tämän prosessin kulku tietokoneella sen matemaattista mallia käyttäen, ja se on joko mahdotonta tai erittäin vaikea saada vaadittuja tuloksia muilla tavoilla. Prosessivirran toistamista tietokoneella matemaattisen mallin avulla kutsutaan yleisesti simulaatiokokeeksi.

Simulaatiomallit kuuluvat mallien luokkaan, joka on kuvatun prosessin ominaisuuksien välinen suhdejärjestelmä. Nämä ominaisuudet on jaettu sisäisiin ("endogeeniset", "vaihemuuttujat") ja ulkoisiin ("eksogeeniset", "parametrit"). Suunnilleen sisäiset ominaisuudet ovat sellaisia, joiden arvot on tarkoitus tietää matemaattisten mallinnustyökalujen avulla; ulkoiset - ne, joista sisäiset ominaisuudet riippuvat merkittävästi, mutta käänteistä suhdetta (käytännössä hyväksyttävällä tarkkuudella) ei tapahdu.

Mallin, joka pystyy ennustamaan sisäisten ominaisuuksien arvot, on oltava suljettu ("suljettu malli") siinä mielessä, että sen suhteet mahdollistavat sisäisten ominaisuuksien laskemisen tunnettujen ulkoisten ominaisuuksien kanssa. Menettelyä mallin ulkoisten ominaisuuksien määrittämiseksi kutsutaan sen tunnistamiseksi tai kalibroimiseksi. Kuvatun luokan matemaattiset mallit (niihin kuuluvat simulaatiomallit) määrittelevät kartoituksen, jonka avulla on mahdollista saada sisäisten arvot tunnetuista ulkoisten ominaisuuksien arvoista. Jatkossa tätä kartoitusta kutsutaan malliin liittyväksi kartoitukseksi.

Tarkasteltavana olevan luokan mallit perustuvat postulaatin ulkoisten ominaisuuksien riippumattomuudesta sisäisistä ominaisuuksista, ja mallin suhteet ovat eräs siihen liittyvän mappauksen tallentamistapa. Kuten kuvasta 4 näkyy, tutkija käsittelee neljää pääelementtiä simulointiprosessissa:

Todellinen järjestelmä;

Mallittavan kohteen loogis-matemaattinen malli;

Simulaatio (kone) malli;

Tietokone, jolla simulointi suoritetaan, on suunnattu laskennallinen koe.

Tutkija tutkii todellista järjestelmää, kehittää loogisen ja matemaattisen mallin todellisesta järjestelmästä. Tutkimuksen simulointiluonne edellyttää loogisten tai loogis-matemaattisten mallien olemassaoloa, jotka kuvaavat tutkittavaa prosessia. Yllä todellinen järjestelmä määriteltiin ajassa toimivien vuorovaikutteisten elementtien joukoksi. Monimutkaisen järjestelmän yhdistelmäluonne kuvaa sen mallin esitystä kolmen joukon muodossa: A, S, T, jossa
A on joukko elementtejä (mukaan lukien ulkoinen ympäristö);
S on elementtien välisten sallittujen yhteyksien joukko (mallirakenne);
T on ajateltujen ajanhetkien joukko.

Kuva 4 Simulointiprosessi

Simulaatiomallinnuksen ominaisuus on, että simulaatiomallin avulla voit toistaa simuloidut objektit:

Säilyttämällä niiden looginen rakenne;

Säilyttämällä käyttäytymisominaisuudet (järjestelmässä tapahtuvien tapahtumien vuorottelujärjestys ajassa), ts. vuorovaikutuksen dynamiikkaa.

Simulaatiomallinnuksessa simuloidun järjestelmän rakenne esitetään mallissa riittävästi ja sen toimintaprosessit toistetaan (simuloidaan) rakennetulla mallilla. Siksi simulointimallin rakentaminen koostuu simuloidun kohteen tai järjestelmän rakenteen ja toiminnan kuvaamisesta.

On olemassa simulaatiomalleja:

Jatkuva;

diskreetti;

Jatkuva-diskreetti.

Jatkuvassa simulaatiomalleissa muuttujat muuttuvat jatkuvasti, simuloidun järjestelmän tila muuttuu jatkuvana ajan funktiona, ja tätä muutosta kuvataan pääsääntöisesti differentiaaliyhtälöjärjestelmillä. Näin ollen malliajan eteneminen riippuu numeerisista menetelmistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Diskreetissä simulaatiomalleissa muuttujat muuttuvat diskreetti tietyillä simulointiajan hetkillä (tapahtumien esiintyminen).

Diskreettien mallien dynamiikka on siirtymäprosessi seuraavan tapahtuman hetkestä seuraavan tapahtuman hetkeen. Koska jatkuvia ja diskreettejä prosesseja todellisissa järjestelmissä ei useinkaan voida erottaa toisistaan, on kehitetty jatkuva-diskreettejä malleja, jotka yhdistävät näille kahdelle prosessille ominaiset ajan etenemismekanismit.

Simulaatiomallinnuksen menetelmä mahdollistaa monimutkaisten ongelmien ratkaisemisen, tarjoaa monimutkaisten ja monimuotoisten prosessien jäljitelmän suurella määrällä elementtejä. Erilliset funktionaaliset riippuvuudet tällaisissa malleissa voidaan kuvata hankalia matemaattisia suhteita. Siksi simulaatiomallinnusta käytetään tehokkaasti monimutkaisen rakenteen omaavien järjestelmien tutkimisen ongelmissa tiettyjen ongelmien ratkaisemiseksi. Simulaatiomalli sisältää jatkuvan ja diskreetin toiminnan elementtejä, joten sitä käytetään dynaamisten järjestelmien tutkimiseen, kun tarvitaan pullonkaulojen analysointia, toiminnan dynamiikan tutkimista, kun prosessia halutaan tarkkailla simulaatiomallilla tietylle aika.

Simulaatiomallinnus on tehokas työkalu stokastisten järjestelmien tutkimiseen, kun tutkittavaan järjestelmään voivat vaikuttaa lukuisat monimutkaiset satunnaiset tekijät. Tutkimusta on mahdollista tehdä epävarmuuden olosuhteissa, epätäydellisillä ja epätarkoilla tiedoilla. Simulaatiomallinnus on tärkeä tekijä päätöksenteon tukijärjestelmissä, koska voit tutkia useita vaihtoehtoja (ratkaisuja), pelata erilaisia ​​skenaarioita mille tahansa syötteelle.

Simulaatiomallinnuksen tärkein etu on, että tutkija voi testata uusia strategioita ja tehdä päätöksiä mahdollisia tilanteita tutkiessaan aina saada vastauksen kysymykseen "Mitä tapahtuu jos?". Simulaatiomallin avulla voidaan ennustaa, milloin on kyse suunniteltavasta järjestelmästä tai kehitysprosessien tutkimisesta (eli tapauksissa, joissa todellista järjestelmää ei vielä ole olemassa). Simulaatiomallissa voidaan tarjota erilaisia, mukaan lukien simuloitujen prosessien korkea yksityiskohta. Tässä tapauksessa malli luodaan vaiheittain, evoluutionaalisesti.

KIRJASTUS

1. Blinov, Yu.F. Matemaattisen mallintamisen menetelmät [Teksti]: Elektroninen oppikirja / Yu.F. Blinov, V.V. Ivantsov, P.V. serbi -Taganrog: TTI SFU, 2012. -42 s.

2. Wentzel, E.S. Toimintatutkimus. Tehtävät, periaatteet, metodologia. [Teksti]: Opinto-opas / E.S. Wentzel - M. : KNORUS, 2010. - 192 s.

3. Getmanchuk, A. V. Taloudelliset ja matemaattiset menetelmät ja mallit [Teksti]: Oppikirja kandidaateille. / A.V. Getmanchuk - M.: Kustannus- ja kauppayhtiö "Dashkov and Co", 2013. -188 s.

4. Zamyatina O.M. Järjestelmämallinnus. [Teksti]: Opinto-opas. / O.M. Zamyatina - Tomsk: TPU Publishing House, 2009. - 204 s.

5. Pavlovsky, Yu.N. Simulaatiomallinnus. [Teksti]: oppikirja yliopisto-opiskelijoille / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I.

Selvitä lokalisointikohteen luokituksen hallitsevat piirteet ja kehitä matemaattinen malli ilmekuvien analysointiin.

Tehtävät

Kasvojen lokalisointimenetelmien etsiminen ja analysointi, hallitsevien luokitteluominaisuuksien määrittäminen, kasvojen liikkeiden tunnistamiseen optimaalisen matemaattisen mallin kehittäminen.

Aihe

Tutkimuksen edellisessä vaiheessa tehdyn optimaalisen väriavaruuden määrittämisen optimaalisen väriavaruuden määrittämiseksi näkyvien esineiden rakentamiseen tietylle kuvaluokalle, luokituksen hallitsevien piirteiden määrittely ja ilmekuvien matemaattisen mallin kehittäminen. on myös tärkeä rooli.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on ensinnäkin asetettava ominaisuudet, joilla muutetaan videokameran kasvojentunnistustehtävää järjestelmään, ja sitten suoritettava huulten liikkeen lokalisointi.

Mitä tulee ensimmäiseen tehtävään, niistä tulisi erottaa kaksi tyyppiä:
Kasvojen lokalisointi;
Kasvojen seuranta.
Koska meillä on tehtävänä kehittää kasvojentunnistusalgoritmi, on loogista olettaa, että tätä järjestelmää käyttää yksi käyttäjä, joka ei liikuta päätään liian aktiivisesti. Siksi huulten liikkeentunnistusteknologian toteuttamiseksi on otettava lähtökohtana tunnistusongelman yksinkertaistettu versio, jossa kuvassa on yksi ja vain yksi kasvo.

Ja tämä tarkoittaa, että kasvojen haku voidaan suorittaa suhteellisen harvoin (noin 10 kuvaa sekunnissa tai jopa vähemmän). Samanaikaisesti puhujan huulten liikkeet keskustelun aikana ovat melko aktiivisia, ja siksi niiden ääriviivaa tulisi arvioida voimakkaammin.

Tehtävä löytää kuvasta kasvot voidaan ratkaista olemassa olevin keinoin. Nykyään on olemassa useita menetelmiä kasvojen havaitsemiseen ja paikallistamiseen kuvassa, jotka voidaan jakaa kahteen luokkaan:
1. Empiirinen tunnistus;
2. Kasvojen kuvan mallinnus. .

Ensimmäinen luokka sisältää kasvokuvien muuttumattomiin ominaisuuksiin perustuvat ylhäältä alas -tunnistusmenetelmät, jotka perustuvat oletukseen, että kuvassa on joitain merkkejä kasvojen esiintymisestä, jotka ovat muuttumattomia kuvausolosuhteisiin nähden. Nämä menetelmät voidaan jakaa kahteen alaluokkaan:
1.1. Kasvokuvalle tyypillisten elementtien ja piirteiden (piirteiden) havaitseminen (reunat, kirkkaus, väri, kasvonpiirteiden tyypillinen muoto jne.), .;
1.2. Havaittujen piirteiden analysointi, päätöksenteko kasvojen lukumäärästä ja sijainnista (empiirinen algoritmi, piirteiden suhteellisen sijainnin tilastot, visuaalisen kuvan prosessien mallintaminen, jäykkien ja muotoutuvien mallien käyttö jne.), .

Algoritmin oikean toiminnan varmistamiseksi on tarpeen luoda tietokanta kasvojen piirteistä myöhemmillä testauksilla. Empiiristen menetelmien tarkempaan toteuttamiseen voidaan käyttää malleja, jotka mahdollistavat kasvojen muunnosmahdollisuuksien huomioon ottamisen ja joilla on siten joko laajennettu perustietojoukko tunnistusta varten tai mekanismi, joka mahdollistaa muunnoksen mallintamisen peruselementeillä. . Vaikeudet luokittelutietokannan rakentamisessa, joka kohdistuu laajaan joukkoon käyttäjiä, joilla on yksilöllisiä ominaisuuksia, kasvojen piirteitä ja niin edelleen, heikentävät tämän menetelmän tunnistustarkkuutta.

Toiseen kategoriaan kuuluvat matemaattisten tilastojen ja koneoppimisen menetelmät. Tämän kategorian menetelmät perustuvat kuvantunnistustyökaluihin ja pitävät kasvojentunnistusongelmaa tunnistusongelman erikoistapauksena. Kuvalle on määritetty tietty piirrevektori, jonka avulla kuvat luokitellaan kahteen luokkaan: kasvot/ei-kasvot. Yleisin tapa saada piirrevektori on käyttää itse kuvaa: jokaisesta pikselistä tulee vektorin komponentti, jolloin n×m kuva muuttuu avaruusvektoriksi R^(n×m), jossa n ja m ovat positiivisia kokonaislukuja. . . Tämän esityksen haittana on piirretilan erittäin suuri ulottuvuus. Tämän menetelmän etuna on se, että se jätetään pois koko prosessista, jolla luodaan ihmisen osallistumisen luokitin, sekä mahdollisuus kouluttaa itse järjestelmä tietylle käyttäjälle. Siksi kuvamallinnusmenetelmien käyttö kasvojen lokalisoinnin matemaattisen mallin rakentamiseen on optimaalinen ongelmamme ratkaisemiseksi.

Mitä tulee kasvoprofiilin segmentointiin ja huulten pisteiden sijainnin seuraamiseen kehyssarjassa, niin tämän ongelman ratkaisemiseksi tulisi myös käyttää matemaattisia mallinnusmenetelmiä. Kasvojen ilmeiden liikkeen määrittämiseen on useita tapoja, joista tunnetuin on aktiivisiin ääriviivamalleihin perustuvan matemaattisen mallin käyttö:

Kasvonilmeiden alueen lokalisointi aktiivisten ääriviivamallien matemaattisen mallin perusteella

Aktiivinen ääriviiva (käärme) on muotoaan muuttava malli, jonka malli on asetettu parametrisen käyrän muotoon, joka alustetaan manuaalisesti syöttökuvan avoimella tai suljetulla käyrällä olevien ohjauspisteiden avulla.

Aktiivisen ääriviivan mukauttamiseksi kasvonilmeiden kuvaan on tarpeen suorittaa tutkittavan kohteen asianmukainen binarisointi, toisin sanoen sen muuntaminen tietynlaisiksi digitaalisiksi rasterikuviksi ja sitten asianmukainen arvioinnin parametrit. aktiivinen ääriviiva ja piirrevektorin laskenta on suoritettava.

Aktiivinen ääriviivamalli määritellään seuraavasti:
Pisteiden sarja N;
Kiinnostuksen kohteena olevat sisäiset energia-alueet (sisäisen elastisen energian termi);
Ulkoiset kiinnostavat energia-alueet (ulkoreunaan perustuva energiatermi).

Tunnistuksen laadun parantamiseksi erotetaan kaksi väriluokkaa - iho ja huulet. Väriluokan jäsenyysfunktion arvo on välillä 0-1.

Aktiivisen ääriviivamallin (käärme) yhtälö esitetään ilmaistulla kaavalla v(s) seuraavasti:

Missä E on käärmeen energia (aktiivinen ääriviivamalli). Kaksi ensimmäistä termiä kuvaavat aktiivisen ääriviivamallin (käärme) säännöllisyysenergiaa. Polaarisessa koordinaattijärjestelmässämme v(s) = , s on 0 - 1. Kolmas termi on kuvasta saatuun ulkoiseen voimaan liittyvä energia, neljäs on painevoima.

Ulkoinen voima määritetään edellä kuvattujen ominaisuuksien perusteella. Se pystyy siirtämään ohjauspisteitä johonkin intensiteettiarvoon. Se lasketaan seuraavasti:

Gradienttikerroin (derivaata) lasketaan serpentiinipisteissä vastaavaa säteittäistä linjaa pitkin. Voima kasvaa, jos gradientti on negatiivinen, ja pienenee muuten. Kerroin ennen gradienttia on painotustekijä, joka riippuu kuvan topologiasta. Puristusvoima on vain vakio, käytetään ½ vähimmäispainotuskertoimesta. Paras käärmeen muoto saadaan minimoimalla energiafunktio tietyn iteraatiomäärän jälkeen.

Tarkastellaanpa kuvankäsittelyn perustoimintoja tarkemmin. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että olemme jo valinneet puhujan suun alueen jollain tavalla. Tässä tapauksessa päätoimenpiteet tuloksena olevan kuvan käsittelemiseksi, jotka meidän on suoritettava, on esitetty kuvassa. 3.

Johtopäätös

Kuvien luokittelun hallitsevien piirteiden määrittämiseksi tutkimustyön aikana tunnistettiin videokameran kasvojentunnistuksen tehtävän muokkaamisen piirteitä. Kaikista kasvojen lokalisoinnin ja tutkitun kasvojen ilmeen havaitsemismenetelmien joukosta mobiililaitteiden yleisen tunnistusjärjestelmän luomiseen sopivimpia ovat kasvokuvan mallintamismenetelmät.
Kasvojen ilmeiden liikkeen kuvien matemaattisen mallin kehittäminen perustuu aktiivisen ääriviivamallien järjestelmään tutkittavan kohteen binarisoimiseksi. Koska tämä matemaattinen malli mahdollistaa sen jälkeen, kun väriavaruus on vaihdettu RGB:stä YCbCr-värimalliin, kiinnostavan kohteen tehokkaan muuntamisen sen myöhempää analyysiä varten, joka perustuu aktiivisiin ääriviivamalleihin ja kasvojen ilmeiden selkeiden rajojen tunnistamiseen kuvan asianmukaisten iteraatioiden jälkeen.

Luettelo käytetyistä lähteistä

1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Kasvojen havaitseminen ja paikantaminen kuvassa. CGM Journal, 2003
2. Ibid.
3. E. Hjelmas ja B.K. Matala, Kasvojentunnistus: Tutkimus, Journal of Computer vision and image learning, vol.83, s. 236-274, 2001.
4. G. Yang ja T.S. Huang, Ihmiskasvojen tunnistus monimutkaisella taustalla, kuviontunnistus, osa 27, nro 1, s. 53-63, 1994
5. K. Sobottka ja I. Pitas, Uusi menetelmä automaattiseen kasvojen segmentointiin, kasvojen piirteiden erottamiseen ja seurantaan, Signaalinkäsittely: Kuvaviestintä, Voi. 12, nro 3, s. 263-281, kesäkuu 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona ja J. Big.un., Saccadic-haku Gabor-ominaisuuksilla, joita sovelletaan silmäntunnistukseen ja reaaliaikaiseen pään seurantaan, Image Vision Comput. 18, s. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. Empiiristen ja matemaattisten algoritmien analyysi ihmisen kasvojentunnistukseen. verkko-lehti. Moskovan sähkötekniikan instituutti (tekninen yliopisto). nro 1 (18), 2011

Jatkuu

Matemaattinenmallinnus- prosessi, jolla varmistetaan noudattaminen todellisen kanssa järjestelmä S mallin M matto ja tämän mallin tutkiminen, joka mahdollistaa todellisen järjestelmän ominaisuuksien saamisen. Sovellus maton mallinnus voit tutkia esineitä, joiden todelliset kokeet ovat vaikeita tai mahdottomia.

Analyyttinen mallinnus- elementtien funktion prosessit kirjoitetaan matemaattisten suhteiden muodossa (algebrat, integraalit, differentiaalit, loogiset jne.). Matto. malli ei välttämättä sisällä erikseen vaadittuja määriä ollenkaan. Se on muutettava suhdejärjestelmäksi suhteessa haluttuihin määriin, jotta haluttu tulos voidaan saavuttaa puhtaasti analyyttimenetelmillä. Tällä tarkoitamme muodon eksplisiittisten kaavojen saamista

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, tai saada tunnetun muotoisia yhtälöitä, joiden ratkaisu myös tunnetaan. Joissakin tapauksissa se on mahdollista laatu mallin tutkimus, jossa vain jotkin ratkaisun ominaisuudet löytyvät eksplisiittisesti.

Numeerinen mod-e käyttää matematiikan laskentamenetelmiä ja mahdollistaa vain likimääräisten ratkaisujen saamisen. Ongelman ratkaisu on vähemmän täydellinen kuin anal-m-moodissa. Numeerisen mod-I zakl-Xian perushaitta valitun numeerisen menetelmän automaattisessa toteutuksessa. Mallinnusalgoritmi heijastaa numeerista menetelmää enemmän kuin mallin ominaisuuksia. Siksi numeerista menetelmää vaihdettaessa on tarpeen työstää simulointialgoritmi uudelleen.

Simulaatio mod- tutkittavan järjestelmän toimintaprosessin toisto tietokoneella (jäljitelmä) todellisten tapahtumien loogisen ja ajallisen järjestyksen mukaisesti. Imit-mod-i:lle tyypillisesti tapahtuman toisto järjestelmässä (mallin kuvaama) niiden kanssa looginen rakenne ja aikajärjestys. Sen avulla voit saada tietoa järjestelmän tilasta tai sen yksittäisistä elementeistä tiettyinä aikoina. Simulaatiomallinnus on samanlainen kuin prosessien kokeellinen tutkimus todellisessa objektissa, ts. kohteessa.

12. Satunnaislukujen saaminen mielivaltaisen jakautumislain avulla käänteisfunktioiden menetelmällä. Md arr f-th on yleisin ja yleisin tapa saada lukuja, jotka noudattavat annettua lakia. Vakiomallinnusmenetelmä perustuu siihen, että kumulatiivinen jakaumafunktio
mikä tahansa jatkuva satunnaismuuttuja on jakautunut tasaisesti välillä (0;1), ts. mille tahansa satunnaismuuttujalle X jakautumistiheydellä f(x) satunnaismuuttuja jakautuu tasaisesti välille (0;1).

Sitten satunnaismuuttuja X mielivaltaisella jakautumistiheydellä f(x) voidaan laskea seuraavan algoritmin mukaan: 1. On tarpeen generoida satunnaismuuttuja r (satunnaismuuttujan R arvo), joka jakautuu tasaisesti välillä (0;1). 2. Yhdistä generoitu satunnaisluku tunnettuun jakaumafunktioon F( X ) ja saada yhtälö
. 3. Ratkaisemalla yhtälön X=F -1 (r) saadaan haluttu arvo X

Graafinen ratkaisu

.

Kysymyksen 11 lisäksi.

Tarkastellaan esimerkkiä, joka kuvaa eroa tarkasteltavien mallinnustyyppien välillä.

On järjestelmä, joka koostuu kolmesta lohkosta.

Järjestelmä toimii normaalisti, jos ainakin toinen lohkoista 1 ja 2 on hyvässä kunnossa sekä lohko 3. Lohkojen f1(t), f2(t), f3(t) käyttöajan jakautumisfunktiot ovat tiedossa. On löydettävä järjestelmän häiriöttömän toiminnan todennäköisyys hetkellä t.

Vastaava logiikkapiiri

tarkoittaa, että järjestelmän vika ilmenee, kun virtapiiri katkeaa. Tämä tapahtuu seuraavissa tapauksissa:

lohkot 1 ja 2 epäonnistuivat, lohko 3 on huollettavissa;

lohko 3 epäonnistui, ainakin yksi lohkoista 1 ja 2 on toiminnassa.

Järjestelmän virheettömän toiminnan todennäköisyys P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Tämä kaava on järjestelmän matemaattisen mallin perusta.

Analyyttinen mallinnus. Se on mahdollista vain sillä ehdolla, että kaikki integraalit ilmaistaan ​​alkeisfunktioina. Oletetaan, että

Sitten
=
=
.

Tätä silmällä pitäen malli (1) saa muodon

Tämä on halutun todennäköisyyden eksplisiittinen analyyttinen lauseke; se pätee vain tehtyjen oletusten perusteella.

Numeerinen simulointi. Tarve sille voi syntyä esimerkiksi silloin, kun todetaan, että integraaleja ei ole määritelty (eli niitä ei ole ilmaistu alkeisfunktioilla). Tarve sille voi syntyä esimerkiksi silloin, kun todetaan, että jakaumat f1(t), f2(t), f3(t) noudattavat Gaussin lakia (normaali):
.Laskettaessa kaavan P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = kullekin arvolle t:stä ​​ne on määritettävä numeerisesti, esimerkiksi puolisuunnikkaan menetelmällä, Simpsonilla, Gaussilla tai muilla menetelmillä. Laskelmat suoritetaan jokaiselle t:n arvolle uudelleen.

suorakaidemenetelmä, puolisuunnikkaan menetelmä, paraabelimenetelmä. Suorakaidemenetelmällä tapahtuu virhe - laskelmien epätarkkuus. Mutta se voidaan jakaa kahteen tai useampaan väliin. Integraaleja tulee paljon, mutta tässä tapahtuu jo pyöristysvirhe.

Gaussin menetelmä

Monte Carlon menetelmä

Simulaatiomallinnus. Jäljittely on järjestelmässä tapahtuvien tapahtumien toistoa, ts. kunkin elementin oikea toiminta tai vika. Jos järjestelmän toiminta-aika on t ja ti on numerolla i olevan elementin häiriöttömän toiminnan aika, niin: tapahtuma ti>t tarkoittaa elementin oikeaa toimintaa ajan (0; t] aikana);

tapahtuma ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Huomaa, että ti on lain fi(t) mukaan jakautunut satunnaismuuttuja, joka tunnetaan ehdolla.

Satunnaistapahtuman "k:nnen elementin oikea toiminta ajan (0; t]) aikana" simulointi on:

1) lain fi(t) mukaan jakautuneen satunnaisluvun ti saamisessa;

2) loogisen lausekkeen ti>t totuuden tarkistamisessa. Jos se on tosi, i. elementti toimii, jos se on epätosi, se on epäonnistunut.

Simulaatioalgoritmi on seuraava:

1. Laita n=0, k=0. Tässä n on satunnaisprosessin toteutumisten (toistojen) lukumäärän laskuri; k on "onnistumisen" lukumäärän laskuri.

2. Hanki kolme satunnaislukua t1,t2,t3, jotka jakautuvat vastaavasti lakien f1(t),f2(t),f3(t) mukaisesti.

3. Tarkista loogisen lausekkeen L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2) totuus<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Jos L=tosi, laita k=k+1 ja siirry vaiheeseen 4, muussa tapauksessa siirry vaiheeseen 4.

4. Laita n=n+1.

5.Jos n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Korostamme vielä kerran: N:n arvo asetetaan etukäteen, jotta varmistetaan halutun arvon P(t) tilastollisen arvion luotettavuuden annettu tarkkuus.

Jaltan koulutuskeskus "School-Lyceum No. 9"

Vesivaranhoidon apulaisjohtajaRomanova A.N.

"Mallinnus peruskoulun matematiikan tunneilla"

Työpaja

Matematiikkaa pitäisi opettaa koulussa

Seiso myös tavoitteena, jotta tieto,

kuka tänne tulee

riittää normaalille

tarpeita elämässä.

M. Lobatševski

Raportoi suunnitelma

Uudet suuntaviivat matematiikan opetuksessa.

Mallintamisen metodiset perusteet. Matemaattinen malli.

Mallinnusmenetelmän käyttö peruskoulun matematiikan tunneilla.

Opiskelijoiden tutustuminen matemaattisen mallinnuksen tekniikoihin.

Mallintamisen soveltaminen yhtälöiden ratkaisemiseen.

Mallintaminen tekstitehtävien ratkaisussa.

Mallintamisen käyttö numeroinnin tutkimuksessa, lukujen yhteen- ja vähennysmenetelmissä sekä pituusyksiköiden käsittelyssä.

Uudet suuntaviivat matematiikan opetuksessa. (5 minuuttia)

On tunnettua, että mallit ovat matematiikan kieli ja mallintaminen on niiden puhetta. Matematiikan hallinnan onnistumisen määrää ennen kaikkea se, kuinka hyvin lapsi on oppinut "puhumaan" kieltään. Tätä määrää paitsi opiskelijan akateeminen menestys tieteellisten ja kognitiivisten tehtävien ratkaisemisessa, vaan enemmänkin yksilön elämänmenestys - kiitoskyky hakea matemaattisia menetelmiä sitä vaativien käytännön, tosielämän tehtävien ratkaisemiseksi. Samaa mieltä, tämä on myös hyvä tulos matematiikan opettamisesta koulussa.

Opetammeko opiskelijoillemme matemaattista puhetta? Tai ehkä pidämme tätä vaikeana tehtävänä peruskoululle? Vai toivommeko vain, että päivittäisen esimerkkien ja ongelmien ratkaisun aikana lapset itse oppivat vähitellen käyttämään sitä?

Kiovan koulujen seurantatietojen sekä koko Ukrainan seurantatietojen mukaan suurin osa opiskelijoista (60 % ja 53 %) ei osaa työskennellä valmiiden graafisten mallien kanssa, suorittaa luovia tehtäviä ja soveltaa tietojaan uusissa tilanteissa ongelmien ratkaisemiseksi.

Tämä matemaattisen koulutuksen tila on johtanut tarpeeseen tarkistaa merkittävästi valtion vaatimuksia matematiikan opettamisesta koululaisille. "Valtion standardin ..." uusi painos, joka tuli voimaan tänä vuonna. Persoonallisuuslähtöisen ja osaamislähtöisen lähestymistavan näkökulmasta se itse asiassa suuntaa opettajan toimintaa uudelleen.Pätevyys - tehokkaan toiminnan edellyttämän tiedon ja kokemuksen saatavuus tietyllä aihealueella . Verrataan . Edelleennykyinen Valtion standardissa todetaan: "Matematiikan opiskelu peruskoulussa antaa opiskelijoille tiedot, taidot ja kyvyt, joita tarvitaan matematiikan ja muiden aineiden jatko-opiskeluun ... Matematiikan opiskelu edistää nuorempien oppilaiden kognitiivisten kykyjen - muistin - kehitystä. , looginen ja luova ajattelu, mielikuvitus, matemaattinen puhe."Osavaltiostandardin uudessa painoksessa Koulutusalan "Matematiikka" tavoitteeksi on jo määritelty "opiskelijoiden itsensä toteuttamiseen tarvittavien ainematematiikan ja avaintaitojen muodostaminen nopeasti muuttuvassa maailmassa". Aihematemaattista osaamista pidetään "henkilökohtaisena koulutuksena, joka luonnehtii opiskelijan (opiskelijan) kykyä luoda matemaattisia malleja ympäröivän maailman prosesseista, soveltaa matemaattisen toiminnan kokemusta samalla kun ratkaistaan ​​koulutuksellisia, kognitiivisia ja käytännöllisesti suuntautuneita ongelmia".

Siksi matemaattisen puheen hallitsemisesta - kyvystä rakentaa matemaattisia malleja - tulee matematiikan opetuksen päätavoite, joka toteutetaan muodostamalla opiskelijoille "kyky käyttää matemaattista terminologiaa, merkkiä ja graafista tietoa".

D.B.:n kehittämä koulutusjärjestelmän keräämä positiivinen kokemus mallintamisen opettamisesta opiskelijoille (eikä vain matematiikan tunneilla). Elkonin - V.V. Davydov, jonka tarkoituksena on kehittää täysimittaista oppimistoimintaa opiskelijoille, joista yksi on mallinnus.

Opiskelijoiden mallintamiskyvyn muodostaminen on yksi kehittävän koulutuksen tavoitteista, ja lasten luomat ja käyttämät mallit ovat ennen kaikkea yksi oppimistaitojen muodostamistapa (eikä pelkkä visualisointi).

Tämänpäiväisen seminaarimme tehtävänä on ymmärtää mallintamisen kysymyksiä, näyttää kuinka mallien avulla voidaan opettaa nuorempia yhtälöitä ja tehtäviä, matemaattisia ominaisuuksia, lukujen yhteen- ja vähennysmenetelmiä.

2. Mallintamisen metodiset perusteet. (8 min)

Mallintaminen on yksi todellisuuden kognition keinoista. Mallilla tutkitaan mitä tahansa kohteita (ilmiöitä, prosesseja), ratkaistaan ​​erilaisia ​​ongelmia ja hankitaan uutta tietoa. Siksi malli on tietty objekti (järjestelmä), jonka avulla saadaan tietoa toisesta kohteesta (alkuperäisestä).

Simuloinnin käyttöä tarkastellaan kahdella tavalla:

Ensinnäkin mallinnus toimii sisältönä, joka lasten tulisi oppia pedagogisen prosessin tuloksena;

toiseksi, mallinnus on koulutustoimi ja keino, jota ilman täysipainoinen oppiminen on mahdotonta.

Mallien näkyvyys perustuu seuraavaan tärkeään säännönmukaisuuteen: mallin luominen perustuu mentaalimallin alustavaan luomiseen - visuaaliset kuvat mallinnettavista kohteista, eli subjekti luo tästä kohteesta mentaalikuvan, ja sitten (yhdessä lasten kanssa) rakentaa materiaalin tai kuviollisen mallin (visuaalisen). Mentaaliset mallit ovat aikuisten luomia ja ne voidaan muuttaa visuaalisiksi malleiksi tiettyjen käytännön toimien avulla (joihin myös lapset voivat osallistua), lapset voivat myös työskennellä jo luotujen visuaalisten mallien kanssa.

Lasten kanssa työskennellessäsi voit käyttää esineiden korvaamista: symboleja ja merkkejä, tasomalleja (suunnitelmat, kartat, piirustukset, kaaviot, kaaviot), kolmiulotteiset mallit, asettelut.

Mallinnusmenetelmän käyttö auttaa ratkaisemaan joukon erittäin tärkeitä tehtäviä:

lasten tuottavan luovuuden kehittäminen;

kuvitteellisen ajattelun korkeampien muotojen kehittäminen;

aiemmin hankitun tiedon soveltaminen käytännön ongelmien ratkaisemiseen;

lasten aiemmin hankkimien matemaattisten tietojen lujittaminen;

edellytysten luominen yritysten yhteistyölle;

lasten matemaattisen sanaston aktivointi;

käden hienomotoristen taitojen kehittäminen;

uusien ideoiden ja taitojen hankkiminen työprosessissa;

lasten syvin ymmärrys työn periaatteista ja alkuperäisten rakenteesta mallien avulla.

Malli antaa meille paitsi mahdollisuuden luoda visuaalista kuvaa mallinnetusta kohteesta, sen avulla voimme luoda kuvan sen merkittävimmistä ominaisuuksista, jotka näkyvät mallissa. Kaikki muut ei-olennaiset ominaisuudet hylätään mallia kehitettäessä. Näin luomme mallinnetusta kohteesta yleisen visuaalisen kuvan.

Mallintamisen tieteellinen perusta on analogian teoria, jossa pääkäsite on - analogian käsite - esineiden samankaltaisuus niiden laadullisten ja määrällisten ominaisuuksien suhteen. Kaikkia näitä tyyppejä yhdistää yleisen analogian - abstraktion - käsite. Analogia ilmaisee erityistä vastaavuutta verrattujen objektien välillä, mallin ja alkuperäisen välillä.

Mallintaminen on monikäyttöistä, eli sitä käytetään monin eri tavoin eri tarkoituksiin tutkimuksen tai muuntamisen eri tasoilla (vaiheissa). Tässä suhteessa vuosisatoja vanha mallien käyttökäytäntö on synnyttänyt runsaasti mallien muotoja ja tyyppejä.

Harkitse L. M. Fridmanin ehdottamaa luokitusta. Selkeyden kannalta hän jakaa kaikki mallit kahteen luokkaan:

vaihe 1. 1-2

· materiaalia (todellinen, todellinen);

· ihanteellinen.

Materiaaliin mallit sisältävät ne, jotka on rakennettu mistä tahansa materiaalista.

Vaihe 2

Materiaalimallit puolestaan ​​voidaan jakaastaattinen (kiinteä) jadynaaminen (toiminnassa).

Vaihe 3

Seuraavat dynaamiset mallit ovatanaloginen ja simuloiva , jotka toistavat tämän tai toisen ilmiön toisen, jossain mielessä kätevämmän avulla. Esimerkiksi tällainen malli - tekomunuainen - toimii samalla tavalla kuin luonnollinen (elävä) munuainen, poistaen myrkkyjä ja muita aineenvaihduntatuotteita elimistöstä, mutta tietysti se on järjestetty täysin eri tavalla kuin elävä munuainen.

Ihanteellinen mallit jaetaan yleensä kolmeen tyyppiin:

Vaihe 4

· kuvaannollinen (ikoninen);

· ikoninen (merkki-symboli);

· henkistä (henkinen).

Mallien luokittelu voidaan suorittaa useiden kriteerien mukaan:

1) mallien luonteen (eli mallinnustyökalujen) perusteella;

2) simuloitujen kohteiden luonteen perusteella;

3) mallinnuksen käyttöalueittain (mallinnus tekniikassa, fysikaalisissa tieteissä, kemiassa, elävien prosessien mallintaminen, psyyken mallintaminen jne.)

4) mallinnuksen tasojen ("syvyys") mukaan.

Tunnetuin onluokittelu mallien luonteen mukaan .

Vaihe 5

Sen mukaan seuraavamallinnuksen tyypit :

Vaihe 6

1. Objektimallinnus , jossa malli toistaa kohteen geometriset, fyysiset, dynaamiset tai toiminnalliset ominaisuudet. Esimerkiksi malli silta, pato, malli lentokoneen siivestä jne.

Vaihe 7

2. Analoginen simulointi , jossa mallia ja alkuperäistä kuvataan yhdellä matemaattisella suhteella. Esimerkkinä ovat sähköiset mallit, joilla tutkitaan mekaanisia, hydrodynaamisia ja akustisia ilmiöitä.

Vaihe 8

3. Ikoninen mallinnus , jossa mallit ovat kaikenlaisia ​​merkkimuodostelmia: kaavioita, kaavioita, piirroksia, kaavoja, kaavioita, sanoja ja lauseita.

Vaihe 9

4. Läheisesti yhteydessä ikoniseenhenkinen mallinnus , jossa mallit saavat henkisesti visuaalisen luonteen.

Vaihe 10

5. Simuloitu kokeilu - erityinen mallinnus, jossa ei käytetä itse objektia, vaan sen mallia.

Mallintamisen päätarkoituksena on tunnistaa ja korjata tutkittavan kohteen yleisimmät suhteet.

Mallinnusmenetelmä on monimutkainen, integroiva muodostelma. N.G.:n didaktisten menetelmien luokituksen mukaan. Kazansky ja T.S. Nazarova, mallinnusmenetelmällä on kolmikomponenttinen rakenne

Vaihe 11(katso kaavio). Näin ollen mallinnusmenetelmän rakenteessaulkopuoli Se on konkreettinen vuorovaikutusmuoto opettajan ja opiskelijoiden välillä.Sisäpuoli - tämä on joukko yleisiä koulutustekniikoita (analyysi, synteesi, yleistäminen jne.) ja opetustyön menetelmiä.Teknologinen puoli - tämä on joukko tämän menetelmän erityisiä tekniikoita (alustava analyysi, mallin rakentaminen, työskentely sen kanssa, tiedon siirtäminen mallista haluttuun kohteeseen - alkuperäiseen).

Mallinnusmenetelmä

Ulkopuoli

Sisäpuoli

Teknologinen puoli

Lomakkeet:

näyttely

keskustelu

itsenäinen työ

Psykologinen olemus:

dogmaattinen opetustyö;

heuristinen opetustyön menetelmä

koulutustyön tutkimusmenetelmä

Looginen kokonaisuus:

analyyttinen;

synteettinen;

induktiivinen;

deduktiivinen;

analyyttinen-synteettinen

Tekniikat mallin rakentamiseen;

mallin muunnostekniikat;

mallin määrittelytekniikat

Matemaattinen malli. Matemaattinen mallinnus.

Matemaattinen malli on likimääräinen kuvaus jostain ulkomaailman ilmiöluokista matemaattisten symbolien avulla. Esimerkiksi elementtien A, B, C välinen suhde ilmaistaan ​​kaavalla A + B = C - matemaattinen malli.

Matemaattisen mallinnuksen prosessi, ts. ilmiöiden tutkiminen matemaattisten mallien avulla voidaan jakaa neljään vaiheeseen.

Vaihe 12

Ensimmäinen taso - esineen olennaisten ominaisuuksien eristäminen.

13.

Toinen vaihe - mallirakennus.

14 .

Kolmas vaihe – mallitutkimus.

15 .

Neljäs vaihe -siirtää malleista saadut tiedot tutkittavaan kohteeseen.

Mallintamisen erikoisuus on, että näkyvyys ei ole pelkkä luonnon esineiden esittely, vaan se stimuloi lasten itsenäistä käytännön toimintaa.. Opiskelijoiden kyky työskennellä mallin kanssa, sen muuntaminen tutkittavien käsitteiden yleisten ominaisuuksien tutkimiseksi on yksi opetuksen päätehtävistä kaikilla ainealueilla.

Mallinnuksessa käytetään erilaisia ​​malleja.matemaattiset objektit: numeeriset kaavat, numeeriset taulukot, kirjaimelliset kaavat, funktiot, algebralliset yhtälöt, sarjat, geometriset kuviot, erilaiset kaaviot, Euler-Venn kaaviot, graafit.

3. Mallinnusmenetelmän käyttö peruskoulun matematiikan tunneilla. (1,5 min)

Nuorempien opiskelijoiden tarve hallita mallinnusmenetelmä kognition menetelmänä oppimisprosessissa voidaan perustella eri asennoista.

Vaihe 16

Ensinnäkin Tämä edistää dialektis-materialistisen maailmankuvan muodostumista.

17.

toiseksi Kuten kokeet osoittavat, mallin ja mallinnuksen käsitteiden tuominen opetuksen sisältöön muuttaa merkittävästi opiskelijoiden asennetta aiheeseen, tekee heidän oppimistoiminnastaan ​​mielekkäämpää ja tuottavampaa.

18.

Kolmanneksi , määrätietoinen ja systemaattinen mallinnusmenetelmän koulutus tuo nuorempia opiskelijoita lähemmäksi tieteellisen tiedon menetelmiä, varmistaa heidän henkisen kehityksensä. Jotta opiskelijat "aseistautuisivat" mallintamiseen kognition keinona, ei riitä, että opettaja näyttää heille erilaisia ​​tieteellisiä malleja ja yksittäisten ilmiöiden mallinnusprosessia. On välttämätöntä, että koululaiset itse rakentavat malleja, tutkivat esineitä, ilmiöitä itse mallinnuksen avulla. Kun opiskelijat ratkaisevat käytännön matemaattisen (juonen) ongelman, ymmärtävät, että se on symbolinen malli jostain todellisesta tilanteesta, muodostavat sarjan sen eri malleista, tutkivat (ratkaisevat) näitä malleja ja lopuksi kääntävät tuloksena olevan ratkaisun kielelle. alkuperäisen ongelman, silloin useimmat koululaiset hallitsevat mallinnusmenetelmän.

Opiskelijoiden tutustuminen matemaattisen mallinnuksen tekniikoihin. (10 min)

Tunnettu psykologi P. Galperin ja hänen kollegansa kehittivät teorian henkisten toimien asteittaisesta muodostumisesta. Tämän teorian mukaan oppimisprosessi nähdään lapsen henkisen toimintajärjestelmän hallinnana, joka tapahtuu sisäistämisprosessissa (siirtyminen sisäänpäin) ja vastaa ulkoista käytännön toimintaa.

Lapsi suorittaa käytännön toimia esineillä (ensin todellisilla ja sitten kuvitteellisilla) - objektiivisilla toimilla. Niistä hän siirtyy ensin kopiopiirustukseen ja sitten objektimalleihin luottaen graafisiin malleihin. Matemaattisten merkkien, suureiden osoittamiseen kirjainten käyttöönoton jälkeen opiskelija käyttää kaavoja kuvaamaan toimintaa, ts. symboli-kirjainmallit ja sitten sanamallit (määritelmät, säännöt).

Esimerkiksi lapsille annetaan erityinen käytännön tehtävä, joka edellyttää, että he löytävät kaksi samankokoista (muodoltaan erilaista) astiaa.Valokuvaus vaihe 19

Sen jälkeen lapset (eikä opettaja) suorittavat käytännön toimia: kaada vettä yhteen purkkiin, kaada se toiseen. Jos kaikki vesi ensimmäisestä tuli toiseen purkkiin, näiden purkkien tilavuudet ovat yhtä suuret. On suositeltavaa tarjota lapsille sellaisia ​​​​kaksi nauhaa, joiden avulla voit kertoa tilavuuksien, muotojen välisestä suhteesta - ne ovat samoja tai erilaisia. Jos purkkien tilavuudet ovat samat, lasten on nostettava kaksi samanpituista nauhaa, ja jos ne ovat erilaisia, ne ovat eri pituisia.Valokuva

vaihe 20

Jotta lapset saataisiin graafisen mallin käyttöön, on jälleen asetettava tietty käytännön tehtävä: osoittaa piirustuksen avulla, että yhden purkin tilavuus on suurempi kuin toisen. Kokemus osoittaa, että lapset alkavat piirtää tölkkien muotoa, ts. tee kopiopiirustus tai piirrä raitoja, joilla he osoittivat tölkkien tilavuuden suhteen.

Piirustusten käsittelyn jälkeen päättelemme: tölkkien piirtäminen on epäonnistunut tapa (epätarkkoja piirustuksia, tölkkien tilavuuksien suhdetta ei näytetä, työ vie paljon aikaa). Mutta lasten raidat ovat myös erilaisia ​​leveydeltään ja pituuksilta, tämä vie myös paljon aikaa.

Tämän seurauksena tulemme siihen tulokseen, että on kätevämpää olla piirtämättä nauhan leveyttä ollenkaan, vaan piirtää vain nauhan pituus (eli segmentit). Jos suuret (pituus, pinta-ala, massa, tilavuus jne.) ovat samat, niillä on samanpituisia segmenttejä, ja jos ne eivät ole samoja, niiden pituuden tulisi olla erilainen.Valokuva muistikirjassa. vaihe 21.

Näin ollen määrien esitys otetaan käyttöön segmenteillä. Lapset oppivat määrittelemään kaavamaisesti määriä ja sitten rakentamaan graafisia (lineaarisia) malleja.

On myös tarkoituksenmukaista ottaa käyttöön 1. luokalla käsitteet "kokonaisuus" ja "osat" ja kehittää opiskelijoiden kykyjä luoda suhteita näiden käsitteiden välille. Kuinka kirjoittaa matematiikan kielellä, että esimerkiksi omena koostuu erillisistä osista? Jos omena on kokonainen, merkitsemme sitä ympyrällä ja omenan kasoja kolmioilla ja saamme tällaisen graafisen mallin.

Vaihe 22Dia 7

+ + + =

Yksinkertaista ja hanki perusmalli:

vaihe 23. + =

Kokonaisuus ja osat ovat suhteellisia termejä. Tämän suhteen pääominaisuudet (luonnollisten lukujen joukossa): kokonaisuus ei voi olla pienempi kuin osa ja osa ei voi olla enemmän kuin kokonaisuus; kokonaisuus on yhtä suuri kuin osien summa ja osa on yhtä suuri kuin kokonaisuuden ja toisen osan välinen erotus

Vaihe 24 = -

Kaikki ovat hyvin tietoisia säteistä, joita perinteisesti käytetään edustamaan luvun koostumusta.Vaihe 25Dia 8

Joten osien ja kokonaisuuden välinen suhde voidaan osoittaa käyttämällä merkkigraafista merkintää:

FROMvaihe 26

A |____________|_________________|

B A B

Kaavio, joka kuvaa yhteenlaskutoimintoa, kuvaa samalla käänteistä toimintaa - vähennyslaskua:

Vaihe 27dia 9

Osan ja kokonaisuuden käsite mahdollistaa suureiden yhteenlaskemisen kommutatiivisten ja assosiatiivisten ominaisuuksien esittelyn.Dia 10, 11 (2 askelta), 12

Vaihe 28, 29, 30

Kuten yhteen- ja vähennyslaskussa, voit myös käyttää simulaatiota kerto- ja jakolaskujen oppimiseen.

Perinteisesti kertolaskua pidetään identtisten termien yhteenlaskuna. Lisätään A:n arvo B kertaa:dia 13.

vaihe 31.A+A+A+A+A = AxB

Kaava A x B kuuluu näin: "Ota A aika B" tai "A aika A:lle",

Vaihe 32missä A on osa (mitta), jota ma merkittiin kolmiolla.

B - yhtäläisten osien lukumäärä (mittausten lukumäärä), voimme merkitä sen neliöllä.

Kokonaisuuden ilmaisemiseksi käytämme samaa kuvaketta - ympyrää.

Kokonaisuus on luonnehdittu lukujen A ja B kertomisen aritmeettisen toiminnan tuloksena.

X \u003d A x B \u003d C Kaavio, joka kuvaa tätä toimintoa:

|____|_А___|_____________|

On selvää, että kun katsomme jakamista objektiivisena toimintona, jolla pyritään jakamaan sisällön mukaan tai yhtä suuriin osiin, on mahdollista muodostaa yhteys kertolaskujen ja jakamisen välille. Nyt kertolaskun lisäksiVaihe 33Ah B \u003d C, saamme kaksi käänteistä jakoavaihe 34.C: A = B javaihe 35. C: B \u003d A (geometrisilla muodoilla). Tämä tarkoittaa, että kertopiiri on jakopiiri.

Mallintamisen soveltaminen yhtälöiden ratkaisemiseen. (10 min)

Yhtälöiden ratkaisumenetelmän oikea valinta edellyttää kokonaisuuden ja osan suhdetta, jonka muodostuessa lapset saavat kyvyn ilmaista kokonaisuutta osien kautta ja osia kokonaisuuden kautta. Kun määrien yhteen- ja vähennysten välille luodaan yhteyksiä osan ja kokonaisuuden käsitteeseen perustuen, voidaan verrata kokonaisuutta summaan ja vähennettyyn, osia termeihin tai vähennettyyn ja erotukseen ja nähdä, että eri toiminnot: A + B \u003d C, C-A \u003d B tai C-B=A - kuvaavat samaa suhdetta määrien välillä.

Tuntemattoman löytäminen yhtälöitä ratkaistaessa auttaa paitsi sääntöjen, myös osien ja kokonaisuuden välistä suhdetta graafisena mallina esitettynä.Dia 14 vaihe 36.

Työalgoritmi yhtälöiden ratkaisemisen oppimiseksi on seuraava:

Piirrämme yhtälön kaavion. X +5 = 12vaihe 37.

Löydämme kokonaisuuden ja osat ensin kaaviosta, sitten yhtälöstä (alleviivaus)

Nimetään tuntematon komponentti. Selvitämme, mikä se on: kokonaisuus vai osa.

Analysoimme kuinka löydämme tuntemattoman arvon.

LöydämmeX. vaihe 38, 39

Rakennettua kaaviota voidaan käyttää vähennysyhtälön ratkaisemisessa. 12 - x \u003d 5, koska yhteenlaskutoimintoa kuvaava piiri on samalla vähennyspiiri. Esimerkkejä muistikirjan valokuvista

Diat 15,16 (+1 askel ), 17, 18.

Vaihe, 40, 41, 41-a, 42,43

Tehtävänä on levittää nämä yhtälöt kaavioiksi ja tehdä lauseke

dia 19 vaihe 44, 45. 44-a, 45-b

Simulaatiota käytetään samalla tavalla, kun ratkaistaan ​​yhtälöitä tuntemattoman tekijän, jakajan ja osingon löytämiseksi.

Dia 20( 8 askelta ) vaihe 46.

Kerto- ja jakolaskua määritettäessä on suositeltavaa ottaa käyttöön pinta-alan käsite, kaava suorakulmion alueen löytämiseksi ja tuntemattoman puolen löytämiseksi.Dia 21 (1 vaihe)

Esimerkki yhtälöstä. Dia 22 ( 4 askelta)

Agoritmi yhtälön ratkaisemiseksidia 23 .

Koska kertopiiri on jakopiiri, yhdestä yhtälöstä voidaan tehdä kaksi jakoyhtälöä. Alue on kokonaisuus, ja sivujen pituus ja leveys ovat osia.

Lisäksi mallinnus tarjoaa mahdollisuuden monipuolistaa yhtälötyötä. Joten opettaja voi tarjota seuraavan tyyppisiä tehtäviä:

dia 24

Kirjoita ja ratkaise yhtälö kaavion avulla.Vaihe 48

Dia 25 ( päättää vieraiden kanssa )

(useita yhtälöitä ja kaavio on annettu) Mihin yhtälöön tämä kaavio sopii? Etsi ja päätä.Vaihe 49

Dia 26, 27, 28, 29.

Ratkaise yhtälöt laskennan aikana. Vaihe 50, 51, 52.53

Dia 30 (10 askelta), 31

Tehtävän ehtojen laatiminen yhtälökaavion mukaisesti.

Uusi esitys. (työpaja 2)

Mallintaminen tekstitehtävien ratkaisussa (18 min)

dia 1

Ei voi kuin yhtyä näkemykseen, että nykyaikainen koulutus on opiskelijan kykyä katsoa todellista, elämäntilannetta fyysikon, kemistin, historioitsijan, maantieteilijän asemasta, ei ollenkaan tullakseen tämän alan tutkijaksi. vaan löytääkseen myöhemmin ratkaisun tietyissä elämäntilanteissa.

Nuoremmasta opiskelijasta voi tulla todellinen tutkija ratkaisemalla tekstitehtäviä opettaessaan matematiikkaa nuoremmille.

Yksi yksi näistä lähestymistavoista on opiskelijoiden kyvyn muodostaminen ratkaista tietyntyyppisiä ongelmia (esimerkiksi ongelmien ratkaiseminen differentiaalista vertailua varten jne., kun tietyntyyppistä ongelmaa käsitellään).Toinen perustuu tekstiongelmien semanttisen ja matemaattisen analyysin käyttöön, kun ongelmaa analysoidaan datasta tavoitteeseen (synteettinen menetelmä) ja tavoitteesta dataan (analyyttinen).Kolmas lähestymistapa koulutusongelmien ratkaisumenetelmän perusteella. Mallinnustoiminnon muodostuminen edellyttää laadullisesti erilaista tekstiongelmien ratkaisukyvyn muodostumista.

Aritmeettisia ja algebrallisia ongelmia kirjallisuudessa kutsutaan myös juoniongelmiksi, koska. heillä on aina sanallinen kuvaus jostakin tapahtumasta, ilmiöstä, toiminnasta, prosessista. Minkä tahansa juonitehtävän teksti voidaan luoda uudelleen eri tavalla (objektiivisesti, graafisesti, käyttämällä taulukoita, kaavoja jne.), ja tämä on siirtymä verbaalisesta mallintamisesta muihin mallintamismuotoihin. Siksi ongelmien parissa työskennellessämme kiinnitämme suurta huomiota kaavamaisten ja symbolisten mallien rakentamiseen sekä kykyyn työskennellä segmenttien kanssa, mallintaa graafisesti tekstiongelma niiden avulla, esittää kysymyksen, määrittää ratkaisualgoritmin ja etsiä vastaus. Nuoremmalla opiskelijalla, kuten tiedät, ei ole riittävää abstraktia ajattelua. Ja meidän tehtävämme on nimenomaan opettaa häntä asteittain esittämään tiettyjä esineitä symbolisen mallin muodossa, auttaa häntä oppimaan kääntämään tekstiongelma matemaattiselle kielelle. Uskomme, että tekstiongelman graafinen mallinnus ja mikä tärkeintä, antaa todellisen mahdollisuuden nähdä visuaalisesti ja määrittää sen ratkaisun algoritmi, suorittaa itsenäisen heijastuksen suoritetusta tehtävästä.

Mutta jokainen merkintä ei ole tehtävämalli. Mallin rakentamiseksi sen edelleen muuntamista varten on valittava tehtävässätavoite, annetut arvot, kaikki suhteet, niin, että tämän mallin perusteella on mahdollista jatkaa analyysiä, jolloin ratkaisussa voi edetä ja etsiä optimaalisia ratkaisuja. Minkä tahansa tehtävän ratkaiseminen aritmeettisella tavalla liittyy aritmeettisen operaation valintaan, jonka tuloksena on mahdollista antaa vastaus esitettyyn kysymykseen. Matemaattisen mallin etsimisen helpottamiseksi on tarpeen käyttää apumallia.dia 2 (luokalla 1 oleviin komponentteihin tutustuminen).

Tilanteen luomiseksi uudelleen ongelman tilassa voit käyttää kaavamaista piirustusta, joka tarjoaisi siirtymisen ongelman tekstistä tietyn aritmeettisen toiminnon korrelaatioon lukujen kanssa, mikä edistää tietoisen ja vahvan assimilaation muodostumista. yleisestä menetelmästä ongelman ratkaisemiseksi. Tämä malli antaa opiskelijalle kyvyn selittää, kuinka hän sai vastauksen ongelman kysymykseen. Mutta kaavamainen malli on tehokas vain, jos se on jokaisen opiskelijan ymmärrettävissä ja taidot kääntää verbaalinen malli kaavion kielelle on kehittynyt. Kun opetellaan ratkaisemaan yksinkertaisia ​​yhteen- ja vähennystehtäviä, esitellään käsitteet: kokonaisuus, osa ja niiden suhde.Dia 3. (2 askelta)

Osan löytämiseksi sinun on vähennettävä kokonaisuudesta toinen osa.

Kokonaisuuden löytämiseksi sinun on lisättävä osat.

Kun opettelet ratkaisemaan yksinkertaisia ​​kerto- ja jakotehtäviä, tarjotaan kaavio ja vastaavat säännöt:

Kokonaisuuden löytämiseksi sinun on kerrottava mitta mittausten määrällä.

Mittauksen löytämiseksi sinun on jaettava kokonaisluku mittausten määrällä.

Mittojen lukumäärän selvittämiseksi sinun on jaettava kokonaisluku suurella.

dia 4. (3 askelta)

Tämä lähestymistapa oppimiseen antaa sinun siirtyä pois vanhasta yksinkertaisten tehtävien luokittelusta. Tieto ja haettava on tärkeää kuvata siten, että suureiden väliset riippuvuudet ovat riittävän selkeitä. Huomioi ongelma, ja heidän suhteitaan.

Esimerkkinä annan useita tekstitehtäviä ja niiden ratkaisuja graafisten mallien avulla.

Tehtävä 1Dia 5. (5 askelta)

Akvaariossa on 4 isoa ja 5 pientä kalaa. Kuinka monta kalaa akvaariossa on?

Harjoituksia tehtävien ja lausekkeiden kokoamiseen kuvista (käänteistehtävät)dia 6. ( 8 askelta)Dia 7.

Tehtävä 2Dia 8

Lenalla on 5 päärynää. Ja Mishalla on 4 enemmän kuin Lenalla. Kuinka monta päärynää Mishalla on?

Esimerkki tehtävästä tehtävien kokoamiseen kuvasta ja ratkaisun tallentamiseen.dia 9.

Tehtävä 3dia 10. (5 askelta)

Lenalla on 10 päärynää. Se on 3 enemmän kuin persikat. Kuinka monta persikkaa Lenalla on?

Tehtävä 4.dia 11 (4 askelta).

Sasha osti 5 muistikirjaa 8 grivnalla ja albumin piirtämiseen 33 grivnalla. Kuinka paljon Sasha maksoi ostoksesta?

Yhden muistikirjan hinta on 8 UAH - tämä on yksi segmentti (mittaus). Yksittäisten segmenttien lukumäärä (5) ilmaisee muistikirjojen lukumäärän. Segmentin toinen osa kuvaa albumien hintaa (33 UAH) ja lukumäärää (1).

Tehtävä 5.dia 12 (7 askelta).Kaksi tapaa piirtää. Kaksi Ratkaisua

Tehdas tarvitsee 90 työntekijää: 50 sorvaajaa, 10 lukkoseppää, loput kuormaajia. Kuinka monta muuttajaa tarvitaan?

dia 13 (3 askelta)käänteisen ongelman muodostaminen. LOPETTAA

Tapoja työskennellä tehtävien parissa.

Tutustumisvaiheessa käytän seuraavia menetelmiä:

Mallin kunkin komponentin selitys.

Ohjeet mallin rakentamiseen.

Mallintaminen johtavista kysymyksistä ja järjestelmän vaiheittainen toteutus.

Kaavamaisen piirustuksen ymmärtämisvaiheessa käytän seuraavia tekniikoita:

Tehtävän tekstin muotoilu ehdotetun juoni- ja segmenttikaavion mukaisesti.

Kaavan ja numeerisen lausekkeen korrelaatio.

Kaavan täyttäminen - tyhjiä paikkoja tehtävätiedoilla.

Virheiden etsiminen kaavion täyttämisestä.

Kaavan valitseminen tehtävälle.

Tehtävän valitseminen kaaviolle.

Ongelman ehtojen lisäys.

Kaavion muutos.

Tehtävän ehtojen muuttaminen.

Tehtävän tekstin muuttaminen.

Kaavapiirustuksen rakentamisen ja ymmärtämisen oppimisen tulos on opiskelijoiden itsenäinen tehtävien mallinnus.

Tekstitehtäviä ratkottaessa työskentelemme mallinnuksen toiminnan muodostamisen parissa, ja päinvastoin, mitä paremmin lapsi hallitsee mallinnuksen toiminnan, sitä helpompi hänen on ratkaista ongelmia.

Opiskelijalle tulee perehtyä erilaisiin tekstitehtävien ratkaisumenetelmiin: aritmeettisiin, algebrallisiin, geometrisiin, loogisiin ja käytännöllisiin; kunkin menetelmän taustalla on erilaisia ​​matemaattisia malleja; sekä erilaisilla ratkaisuilla valitun menetelmän puitteissa. Tekstitehtävien ratkaiseminen tarjoaa runsaasti materiaalia opiskelijoiden kehittymiseen ja koulutukseen. Lyhyet muistiinpanot tekstitehtävien ehdoista ovat esimerkkejä matematiikan alkukurssilla käytetyistä malleista. Matemaattisen mallintamisen menetelmän avulla voit opettaa koululaisille:

a) analyysi (vaiheessa, jossa havaitaan ongelma ja valitaan tapa toteuttaa ratkaisu);

b) suhteiden luominen ongelman kohteiden välille, sopivimman ratkaisumallin rakentaminen;

c) alkuperäisen ongelman saadun ratkaisun tulkinta;

d) tehtävien laatiminen valmiiden mallien mukaan jne.

Tehtävien esittelytyöDiat15-22 .

Kombinatoriikka luokan 1 malleissa

Luokka 2

Järjestä numerot 4, 6, 8 eri tavoin:

3-4 luokilla

Tree (36 illallista)

Kuva muistikirjasta

Simulaatiolla opetellaan numerointia, lisätään ja vähennetään lukuja sekä työstetään pituusyksiköitä (5 min)

Mahdollisuus muuntaa lukuja laskentayksiköiksi ja mittayksiköiksi aiheuttaa useimmiten vaikeuksia. Ja tässä on suositeltavaa käyttää apuna mallinnusmenetelmää. "Kymmenen" samankeskistä tutkiessaan lapset oppivat kuvaamaan yksiköitä kaavamaisesti pisteiden avulla.dia 25. Opi lisäämään ja vähentämään malleissa.dia 26. (7 askelta)dia 27.

"Sadan" lapsen tutkiminen edustaa kymmeniä pienten kolmioiden avulla. He oppivat muuttamaan lukuja laskentayksiköiksi (desimaalit ja yksiköt) ja tämän rinnalla lapset tutustuvat senttimetriin ja desimetriin. Sen avulla voit vetää analogian pituusyksiköiden muuntamiseen. He myös oppivat lisäämään kaksinumeroisia lukuja numeerisissa kaavioissa.Dia 28

"Tuhansia" lapsia tutkiessa oppii, että tavanomaisesti kuvaamme 10 kolmiota (kymmeniä) yhtenä suurena kolmiona (sadana). Samanaikaisesti lapset oppivat uuden pituusyksikön - metrin. Muuntamalla luvut laskentayksiköiksi teemme samanlaisen työn pituusyksiköillä.dia 29, esimerkki numerosta 342dia 30 (5 askelta)

Esimerkki numerosta 320Dia 31 (6 askelta)

Esimerkki numerosta 302dia 32 (8 askelta)

Algoritmit.Diat 33 ja 34(7 askelta)

Suosituksia mallinnusmenetelmän käyttöön matematiikan tunneilla (3 min)

On välttämätöntä ymmärtää, että mallintaminen opetuksessa ei ole toivottavaa, mutta välttämätöntä, koska se luo edellytykset opiskelijoille täysin ja lujasti hallita kognitiiviset menetelmät ja oppimistoiminnan menetelmät.

Mallintamisen päätavoitteet oppitunnilla ovat:

mallin rakentaminen tapana rakentaa uutta tapaa tehdä asioita.

opetellaan rakentamaan malli perustuen sen rakentamisen periaatteiden ja menetelmien analyysiin.

Muista, että ensimmäiset mallintamiseen liittyvät oppitunnit ovat itse asiassa koulutuksen ja käytännön tehtävän asettamisen oppitunteja. Lapsissa esiin nouseva ongelma piilee siinä, että heillä ei ole tarpeeksi tapoja ilmaista yleistä asennetta. Joka kerta kun uusi käytännön tilanne ilmaantuu, lapset määrittelevät uusia suhteita - ja jälleen herää kysymys, kuinka se ilmaistaan ​​graafisesti.

Sellaiset "abstraktit tehtävät" kuten kaavion piirtäminen kaavan mukaan, suhteiden luominen useisiin kaavoihin kuuluvien suureiden välillä jne. tarjota, kun suhdetta tutkitaan, tiedostetaan ja esitetään merkeissä, kaavioissa toistuvasti. Mallin takana jokaisella lapsella tulisi olla toimintoja todellisten esineiden kanssa, joita hän nyt pystyy suorittamaan mielikuvituksessaan (henkinen toiminta).

Lapsen mallin paikka määräytyy tehtävän mukaan

Toimintoon voi liittyä malli. Esimerkiksi jos menetelmän rakentaminen on helpompi toteuttaa mallissa, tekstitehtävän työvaiheena (suureiden väliset suhteet näytetään kaavamaisesti lukemisen aikana).

Malli rakennetaan toimenpiteiden jälkeen. Suoritetun toiminnon toteuttamiseksi on tarpeen rakentaa kaavio erillisestä suhteesta. Järjestelmän rakentamista motivoivat kysymykset, kuten: "Kuinka teit sen?", "Kuinka opettaisit muita suorittamaan tällaisia ​​tehtäviä?

Ja vielä muutama vinkki.

Sinun on aloitettava erikoiskirjallisuuden opiskelu. Tämä on esimerkiksi E. Alexandrovan, L. Petersonin matematiikan opettamisen metodologia perusluokilla ja oppikirjoissa.

Vanhempainkokouksissa muista perehdyttää vanhemmat lastensa opetusmenetelmään. Neuvoistasi ja ohjeistasi voi olla hyötyä.

Käytä jokaista tilaisuutta osallistuaksesi matemaattisen mallinnuksen mestarikursseihin.

Mihin kutsun sinut?