Alla olevassa artikkelissa käsitellään janan keskikohdan koordinaattien löytämistä sen ääripisteiden koordinaattien ollessa lähtötietona. Mutta ennen kuin jatkamme asian tutkimista, esittelemme useita määritelmiä.

Määritelmä 1

Jana- suora viiva, joka yhdistää kaksi mielivaltaista pistettä, joita kutsutaan janan päiksi. Esimerkkinä olkoon nämä pisteet A ja B ja vastaavasti segmentti A B .

Jos janaa A B jatketaan molempiin suuntiin pisteistä A ja B, saadaan suora A B. Tällöin jana A B on osa saatua suoraa, jota rajoittavat pisteet A ja B . Jana A B yhdistää pisteet A ja B , jotka ovat sen päät, sekä niiden välissä olevan pisteiden joukon. Jos esimerkiksi otetaan mikä tahansa mielivaltainen piste K, joka on pisteiden A ja B välissä, voidaan sanoa, että piste K on janalla A B .

Määritelmä 2

Leikkauspituus on segmentin päiden välinen etäisyys tietyssä mittakaavassa (yksikköpituuden segmentti). Merkitään janan A B pituus seuraavasti: A B .

Määritelmä 3

keskipiste Janan piste, joka on yhtä kaukana sen päistä. Jos janan A B keskikohta on merkitty pisteellä C, yhtälö on tosi: A C \u003d C B

Alkutiedot: koordinaattiviiva O x ja yhteensopimattomat pisteet sillä: A ja B . Nämä pisteet vastaavat reaalilukuja x A ja x B. Piste C on janan A B keskipiste: sinun on määritettävä koordinaatti x C.

Koska piste C on janan A B keskipiste, yhtälö on tosi: | A C | = | C B | . Pisteiden välinen etäisyys määräytyy niiden koordinaattien välisen eron moduulin mukaan, ts.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Tällöin kaksi yhtäläisyyttä on mahdollista: x C - x A = x B - x C ja x C - x A = - (x B - x C)

Ensimmäisestä yhtälöstä johdetaan kaava pisteen C koordinaatille: x C \u003d x A + x B 2 (puolet janan päiden koordinaattien summasta).

Toisesta yhtälöstä saadaan: x A = x B , mikä on mahdotonta, koska alkuperäisissä tiedoissa - yhteensopimattomat pisteet. Tällä tavalla, kaava janan A B keskipisteen koordinaattien määrittämiseksi päillä A (x A) ja B(xB):

Tuloksena oleva kaava on perusta janan keskipisteen koordinaattien määrittämiselle tasossa tai avaruudessa.

Lähtötiedot: suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa O x y , kaksi mielivaltaista ei-yhteensopivaa pistettä, joilla on annetut koordinaatit A x A , y A ja B x B , y B . Piste C on janan A B keskipiste. On tarpeen määrittää pisteen C koordinaatit x C ja y C.

Otetaan analysoitavaksi tapaus, jossa pisteet A ja B eivät ole samat eivätkä ole samalla koordinaattiviivalla tai suoralla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan akseliin nähden. Ax, Ay; B x , B y ja C x , C y - pisteiden A , B ja C projektiot koordinaattiakseleilla (suorat O x ja O y).

Rakenteen mukaan suorat A A x , B B x , C C x ovat yhdensuuntaiset; viivat ovat myös yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Yhdessä tämän kanssa yhtälöstä A C \u003d C B Thales-lauseen mukaan yhtälöt: A x C x \u003d C x B x ja A y C y \u003d C y B y, ja ne puolestaan osoittavat, että piste C x - janan A x B x keskikohta ja C y on janan A y B y keskikohta. Ja sitten aiemmin saadun kaavan perusteella saamme:

x C = x A + x B 2 ja y C = y A + y B 2

Samoja kaavoja voidaan käyttää, kun pisteet A ja B sijaitsevat samalla koordinaattiviivalla tai suoralla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan akseliin nähden. Emme analysoi tätä tapausta yksityiskohtaisesti, vaan tarkastelemme sitä vain graafisesti:

Yhteenvetona kaikesta yllä olevasta, janan A B keskikohdan koordinaatit tasossa päiden koordinaattien kanssa A (x A , y A) ja B(x B, y B) määritelty:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Lähtötiedot: koordinaattijärjestelmä О x y z ja kaksi mielivaltaista pistettä annetuilla koordinaatteilla A (x A , y A , z A) ja B (x B , y B , z B) . On tarpeen määrittää pisteen C koordinaatit, joka on janan A B keskipiste.

Ax, Ay, Az; B x , B y , B z ja C x , C y , C z - kaikkien annettujen pisteiden projektiot koordinaattijärjestelmän akseleilla.

Thales-lauseen mukaan yhtälöt ovat tosia: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Siksi pisteet C x , C y , C z ovat segmenttien A x B x , A y B y , A z B z keskipisteitä. Sitten, janan keskikohdan koordinaattien määrittämiseksi avaruudessa seuraavat kaavat ovat tosia:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Tuloksena olevia kaavoja voidaan soveltaa myös tapauksissa, joissa pisteet A ja B ovat jollakin koordinaattisuorasta; suoralla linjalla, joka on kohtisuorassa jompaankumpaan akseliin nähden; yhdessä koordinaattitasossa tai tasossa, joka on kohtisuorassa johonkin koordinaattitasosta.

Janan keskikohdan koordinaattien määrittäminen sen päiden sädevektorien koordinaattien kautta

Kaava janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi voidaan johtaa myös vektorien algebrallisen tulkinnan mukaan.

Lähtötiedot: suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x y , pisteet, joilla on annetut koordinaatit A (x A , y A) ja B (x B , x B) . Piste C on janan A B keskipiste.

Vektoreihin kohdistuvien toimintojen geometrisen määritelmän mukaan seuraava yhtälö on totta: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Piste C on tässä tapauksessa vektorien O A → ja O B → perusteella muodostetun suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste, ts. diagonaalien keskikohdan piste.Pisteen sädevektorin koordinaatit ovat yhtä suuret kuin pisteen koordinaatit, silloin yhtälöt ovat tosia: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Suoritetaan joitain operaatioita vektoreille koordinaateissa ja saadaan:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Siksi pisteellä C on koordinaatit:

x A + x B 2, y A + y B 2

Analogisesti määritetään kaava janan keskipisteen koordinaattien löytämiseksi avaruudesta:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Esimerkkejä tehtävien ratkaisusta janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi

Yllä saatujen kaavojen käyttöä sisältävien tehtävien joukossa on sekä niitä, joissa kysymys on suoraan janan keskikohdan koordinaattien laskemisesta, että niitä, jotka edellyttävät annettujen ehtojen tuomista tähän kysymykseen: termi "mediaani" Usein käytetään, tavoitteena on löytää yhden koordinaatit segmentin päistä sekä symmetriaongelmat, joiden ratkaiseminen ei yleensä myöskään aiheuta vaikeuksia tämän aiheen tutkimisen jälkeen. Tarkastellaan tyypillisiä esimerkkejä.

Esimerkki 1

Alkutiedot: tasossa - pisteet, joiden koordinaatit A (- 7, 3) ja B (2, 4) . On tarpeen löytää janan A B keskipisteen koordinaatit.

Ratkaisu

Merkitään janan A B keskikohtaa pisteellä C . Sen koordinaatit määritetään puoleksi janan päiden koordinaattien summasta, ts. kohdat A ja B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Vastaus: janan A B - 5 2 , 7 2 keskikohdan koordinaatit .

Esimerkki 2

Alkutiedot: kolmion A B C koordinaatit tunnetaan: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . On tarpeen löytää mediaanin A M pituus.

Ratkaisu

1. Tehtävän ehdon mukaan A M on mediaani, mikä tarkoittaa, että M on janan B C keskipiste. Ensin löydetään janan B C keskikohdan koordinaatit, ts. M pistettä:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Koska tiedämme nyt mediaanin molempien päiden koordinaatit (pisteet A ja M), voimme käyttää kaavaa määrittääksemme pisteiden välisen etäisyyden ja laskea mediaanin A M pituuden:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Vastaus: 58

Esimerkki 3

Alkutiedot: suuntaissärmiö A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 on annettu kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Pisteen C 1 (1 , 1 , 0) koordinaatit on annettu ja määritellään myös piste M, joka on diagonaalin B D 1 keskipiste ja jonka koordinaatit M (4 , 2 , - 4) . On tarpeen laskea pisteen A koordinaatit.

Ratkaisu

Suuntasärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on kaikkien lävistäjien keskipiste. Tämän väitteen perusteella voidaan pitää mielessä, että tehtävän ehdoilla tunnettu piste M on janan А С 1 keskikohta. Kaavan perusteella janan keskikohdan koordinaattien löytämiseksi avaruudesta saadaan pisteen A koordinaatit: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 v M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Vastaus: pisteen A koordinaatit (7, 3, - 8) .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Hyvin usein tehtävässä C2 vaaditaan työskentelyä pisteiden kanssa, jotka jakavat segmentin puoliksi. Tällaisten pisteiden koordinaatit on helppo laskea, jos janan päiden koordinaatit tunnetaan.

Joten annetaan jana sen päillä - pisteillä A \u003d (x a; y a; z a) ja B \u003d (x b; y b; z b). Sitten janan keskikohdan koordinaatit - merkitään se pisteellä H - voidaan löytää kaavalla:

Toisin sanoen janan keskikohdan koordinaatit ovat sen päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo.

· Tehtävä . Yksikkökuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sijoitetaan koordinaattijärjestelmään siten, että x-, y- ja z-akselit on suunnattu reunoja AB, AD ja AA 1 pitkin, ja origo osuu yhteen pisteen A kanssa. Piste K on reunan A 1 B keskipiste yksi . Etsi tämän pisteen koordinaatit.

Ratkaisu. Koska piste K on janan A 1 B 1 keskipiste, sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin päiden koordinaattien aritmeettinen keskiarvo. Kirjataan ylös päiden koordinaatit: A 1 = (0; 0; 1) ja B 1 = (1; 0; 1). Etsitään nyt pisteen K koordinaatit:

Vastaus: K = (0,5; 0; 1)

· Tehtävä . Yksikkökuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sijoitetaan koordinaatistoon siten, että x-, y- ja z-akselit on suunnattu reunoja AB, AD ja AA 1 pitkin, ja origo on sama kuin piste A. Etsi koordinaatit pisteestä L, jossa ne leikkaavat neliön diagonaalit A 1 B 1 C 1 D 1 .

Ratkaisu. Planimetrian kulusta tiedetään, että neliön diagonaalien leikkauspiste on yhtä kaukana kaikista sen huipuista. Erityisesti A1L = C1L, so. piste L on janan A 1 C 1 keskipiste. Mutta A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), joten meillä on:

Vastaus: L = (0,5; 0,5; 1)

Analyyttisen geometrian yksinkertaisimmat tehtävät.
Toiminnot, joissa vektorit ovat koordinaateissa

Harkittavat tehtävät on erittäin toivottavaa oppia ratkaisemaan ne täysin automaattisesti, ja kaavat muistaa, älkää edes muistako sitä tarkoituksella, he muistavat sen itse =) Tämä on erittäin tärkeää, koska muut analyyttisen geometrian ongelmat perustuvat yksinkertaisimpiin alkeellisiin esimerkkeihin ja on ärsyttävää viettää ylimääräistä aikaa pelinappuloiden syömiseen. Paidan ylänappeja ei tarvitse kiinnittää, monet asiat ovat tuttuja koulusta.

Aineiston esittely tapahtuu rinnakkain - sekä tasoon että avaruuteen. Siitä syystä, että kaikki kaavat ... näet itse.

Huolellisen työn jälkeen huomasin yhtäkkiä, että verkkosivujen koot ovat melko suuria, ja jos se jatkuu näin, voit hiljaa villittää =) Siksi tuon huomionne pienen esseen hyvin yleisestä geometrisestä ongelmasta - segmentin jaosta tässä suhteessa ja erikoistapauksena noin jakamalla segmentti puoliksi.

Syystä tai toisesta tämä tehtävä ei mahtunut muihin oppitunteihin, mutta nyt on loistava tilaisuus pohtia sitä yksityiskohtaisesti ja hitaasti. Hyvä uutinen on, että pidämme vektoreista hetken taukoa ja keskitymme pisteisiin ja viivaosuuksiin.

Osion jakokaavat tässä suhteessa

Segmenttijaon käsite tässä suhteessa

Usein sinun ei tarvitse odottaa ollenkaan sitä, mitä luvattiin, otamme heti huomioon pari kohtaa ja, ilmeisen uskomatonta, segmenttiä:

Tarkasteltava ongelma koskee sekä tason segmenttejä että avaruuden segmenttejä. Toisin sanoen esittelysegmentti voidaan sijoittaa millä tahansa tavalla tasolle tai avaruuteen. Selityksen helpottamiseksi piirsin sen vaakasuoraan.

Mitä aiomme tehdä tällä segmentillä? Näin tällä kertaa. Joku sahaa budjettia, joku sahaa puolisoa, joku sahaa polttopuita, ja alamme sahaa segmentin kahteen osaan. Segmentti on jaettu kahteen osaan jollakin pisteellä, joka tietysti sijaitsee suoraan siinä:

Tässä esimerkissä piste jakaa janan siten, että jana on kaksi kertaa lyhyempi kuin jana . Voidaan silti sanoa, että piste jakaa segmentin suhteessa ("yksi kahteen"), ylhäältä laskettuna.

Kuivalla matemaattisella kielellä tämä tosiasia kirjoitetaan seuraavasti: , tai useammin tutun osuuden muodossa: . Segmenttien suhdetta merkitään yleensä kreikkalaisella kirjaimella "lambda", tässä tapauksessa: .

Suhde on helppo tehdä eri järjestyksessä: - tämä tietue tarkoittaa, että segmentti on kaksi kertaa pidempi kuin segmentti, mutta tällä ei ole ongelmien ratkaisemisen kannalta perustavaa laatua olevaa merkitystä. Se voi olla niin, ja se voi olla niin.

Segmentti on tietysti helppo jakaa jossain muussa suhteessa, ja konseptin vahvistukseksi toinen esimerkki:

Tässä suhde on voimassa: . Jos teemme suhteet päinvastoin, saamme: .

Kun olemme selvittäneet, mitä segmentin jakaminen tässä suhteessa tarkoittaa, siirrytään käytännön ongelmien tarkasteluun.

Jos tunnetaan kaksi tason pistettä, niin janan suhteen jakavan pisteen koordinaatit ilmaistaan ​​kaavoilla:

Mistä nämä kaavat ovat peräisin? Analyyttisen geometrian aikana nämä kaavat johdetaan tiukasti vektoreiden avulla (missä olisimme ilman niitä? =)). Lisäksi ne pätevät paitsi suorakulmaiselle koordinaattijärjestelmälle myös mielivaltaiselle affiinille koordinaattijärjestelmälle (katso oppitunti Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta). Se on universaali tehtävä.

Esimerkki 1

Etsi koordinaatit pisteen, joka jakaa segmentin suhteessa , Jos pisteet ovat tiedossa

Ratkaisu: Tässä ongelmassa. Tässä suhteessa segmentin jakokaavojen mukaan löydämme pisteen:

Vastaus:

Kiinnitä huomiota laskentatekniikkaan: ensin sinun on laskettava erikseen osoittaja ja erikseen nimittäjä. Tuloksena on usein (mutta ei suinkaan aina) kolmen tai neljän kerroksen murto-osa. Sen jälkeen pääsemme eroon monikerroksisesta jakeesta ja suoritamme lopulliset yksinkertaistukset.

Tehtävä ei vaadi piirustusta, mutta se on aina hyödyllistä suorittaa luonnoksella:

Itse asiassa suhde täyttyy, eli segmentti on kolme kertaa lyhyempi kuin segmentti . Jos suhde ei ole ilmeinen, segmentit voidaan aina tyhmästi mitata tavallisella viivaimella.

Vastaava toinen tapa ratkaista: siinä lähtölaskenta alkaa pisteestä ja suhde on oikeudenmukainen: (ihmisen sanoin segmentti on kolme kertaa pidempi kuin segmentti). Segmentin jakamiskaavojen mukaan tässä suhteessa:

Vastaus:

Huomaa, että kaavoissa on välttämätöntä siirtää pisteen koordinaatit ensimmäiseen paikkaan, koska pieni trilleri alkoi siitä.

Voidaan myös nähdä, että toinen menetelmä on rationaalisempi yksinkertaisempien laskelmien ansiosta. Mutta silti tämä ongelma ratkaistaan ​​usein "perinteisessä" järjestyksessä. Jos esimerkiksi segmentti on annettu ehdolla, niin oletetaan, että muodostat osuuden, jos segmentti on annettu, niin "hiljaisesti" tarkoittaa osuutta.

Ja mainitsin toisen menetelmän siitä syystä, että usein he yrittävät tarkoituksella sekoittaa ongelman tilanteen. Siksi on erittäin tärkeää tehdä luonnospiirustus, jotta ensinnäkin voidaan analysoida oikein ja toisaalta tarkastusta varten. On sääli tehdä virheitä näin yksinkertaisessa tehtävässä.

Esimerkki 2

Annetut pisteet . Löytö:

a) piste, joka jakaa segmentin suhteessa ;
b) piste, joka jakaa segmentin suhteessa .

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Joskus on ongelmia, joissa yksi segmentin päistä on tuntematon:

Esimerkki 3

Piste kuuluu segmenttiin . Tiedetään, että segmentti on kaksi kertaa pidempi kuin segmentti. Etsi kohta jos .

Ratkaisu: Ehdosta, että piste jakaa janan suhteessa kohtaan , ylhäältä laskettuna, eli suhde on voimassa: . Segmentin jakamiskaavojen mukaan tässä suhteessa:

Nyt emme tiedä pisteen : koordinaatteja, mutta tämä ei ole erityinen ongelma, koska ne voidaan ilmaista helposti yllä olevista kaavoista. Yleensä ei kannata ilmaista mitään, on paljon helpompi korvata tietyt numerot ja käsitellä huolellisesti laskelmia:

Vastaus:

Tarkistaaksesi voit ottaa segmentin päät ja varmistaa kaavoilla suorassa järjestyksessä, että suhde todella osoittautuu pisteeksi. Ja tietysti piirustus ei tietenkään ole tarpeeton. Ja vakuuttaakseni sinut vihdoin ruudullisen muistikirjan, yksinkertaisen kynän ja viivaimen eduista, ehdotan hankalaa tehtävää itsenäiseksi ratkaisuksi:

Esimerkki 4

Piste . Segmentti on puolitoista kertaa segmenttiä lyhyempi. Etsi piste, jos pisteiden koordinaatit ovat tiedossa .

Ratkaisu oppitunnin lopussa. Muuten, se ei ole ainoa, jos menet eri tavalla näytteestä, tämä ei ole virhe, tärkeintä on, että vastaukset täsmäävät.

Tilasegmenttien osalta kaikki on täsmälleen sama, vain yksi koordinaatti lisätään.

Jos tunnetaan kaksi pistettä avaruudessa, niin janan suhteen jakavan pisteen koordinaatit ilmaistaan ​​kaavoilla:
.

Esimerkki 5

Pisteitä annetaan. Etsi segmenttiin kuuluvan pisteen koordinaatit, jos se tiedetään .

Ratkaisu: Suhde seuraa ehdosta: . Tämä esimerkki on otettu todellisesta testistä, ja sen kirjoittaja salli itselleen pienen pilan (yhtäkkiä joku kompastuu) - järkevämpää olisi kirjoittaa suhde ehtoon näin: .

Janan keskikohdan koordinaattien kaavojen mukaan:

Vastaus:

Kolmiulotteiset piirustukset varmennustarkoituksiin ovat paljon vaikeampia suorittaa. Voit kuitenkin aina tehdä kaavamaisen piirustuksen ymmärtääksesi ainakin ehdon - mitkä segmentit on korreloitava.

Mitä tulee vastauksen murtolukuihin, älä ihmettele, se on yleistä. Sanoin sen monta kertaa, mutta toistan: korkeammassa matematiikassa on tapana käyttää tavallisia säännöllisiä ja vääriä murtolukuja. Vastaa lomakkeella käy, mutta versio, jossa on vääriä murtolukuja, on vakio.

Lämmittelytehtävä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 6

Pisteitä annetaan. Etsi pisteen koordinaatit, jos tiedetään, että se jakaa segmentin suhteessa .

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Jos mittasuhteiden suuntaaminen on vaikeaa, tee kaaviokuva.

Itsenäisissä ja ohjaustöissä tarkasteltuja esimerkkejä löytyy sekä sellaisenaan että osana suurempia tehtäviä. Tässä mielessä kolmion painopisteen löytämisen ongelma on tyypillinen.

En näe paljon järkeä analysoida sellaista tehtävää, jossa yksi segmentin päistä on tuntematon, koska kaikki näyttää litteältä kotelolta, paitsi että laskelmia on vähän enemmän. Muista kouluvuodet paremmin:

Kaavat janan keskikohdan koordinaateille

Jopa valmistautumattomat lukijat voivat muistaa, kuinka segmentti leikataan kahtia. Tehtävä jakaa segmentti kahteen yhtä suureen osaan on segmentin jakamisen erikoistapaus tässä suhteessa. Kahden käden saha toimii demokraattisimmin, ja jokainen naapuri työpöydän ääressä saa saman tikun:

Tänä juhlallisena hetkenä rummut soivat, tervehtien merkittävää osaa. Ja yleiset kaavat ihmeellisesti muuttunut tutuksi ja yksinkertaiseksi:

Kätevä hetki on se, että segmentin päiden koordinaatit voidaan järjestää kivuttomasti uudelleen:

Yleisissä kaavoissa tällainen ylellinen numero, kuten ymmärrät, ei toimi. Kyllä, eikä sille ole erityistä tarvetta, joten miellyttävä pikkujuttu.

Spatiaalisen tapauksen osalta ilmeinen analogia pätee. Jos janan päät on annettu, sen keskikohdan koordinaatit ilmaistaan ​​kaavoilla:

Esimerkki 7

Suuntaviiva on annettu sen kärkien koordinaateista. Etsi sen diagonaalien leikkauspiste.

Ratkaisu: Halukkaat voivat täydentää piirustuksen. Suosittelen erityisesti graffiteja niille, jotka ovat unohtaneet koulun geometrian kurssin kokonaan.

Tunnetun ominaisuuden mukaan suunnikkaan lävistäjät jaetaan puoliksi niiden leikkauspisteen perusteella, joten ongelma voidaan ratkaista kahdella tavalla.

Menetelmä yksi: Harkitse vastakkaisia ​​pisteitä . Käyttämällä kaavoja janan jakamiseksi puoliksi löydämme lävistäjän keskipisteen:

Kuinka löytää janan keskipisteen koordinaatit
Selvitetään ensin, mikä segmentin keskikohta on.
Janan keskipisteeksi katsotaan piste, joka kuuluu tähän segmenttiin ja on samalla etäisyydellä sen päistä.

Tällaisen pisteen koordinaatit on helppo löytää, jos tämän janan päiden koordinaatit tunnetaan. Tässä tapauksessa janan keskikohdan koordinaatit ovat yhtä suuri kuin puolet segmentin päiden vastaavien koordinaattien summasta.
Janan keskipisteen koordinaatit löydetään usein ratkaisemalla ongelmia mediaanilla, keskiviivalla jne.
Tarkastellaan janan keskikohdan koordinaattien laskentaa kahdessa tapauksessa: kun segmentti on määritelty tasossa ja määritelty avaruudessa.
Olkoon segmentin koneessa annetaan kaksi pistettä koordinaatit ja . Sitten PH-segmentin keskikohdan koordinaatit lasketaan kaavalla:

Olkoon segmentti annetaan avaruudessa kahdella pisteellä, joiden koordinaatit ja . Sitten PH-segmentin keskikohdan koordinaatit lasketaan kaavalla:

Esimerkki.
Etsi pisteen K koordinaatit - MO:n keskikohta, jos M (-1; 6) ja O (8; 5).

Ratkaisu.
Koska pisteillä on kaksi koordinaattia, se tarkoittaa, että jana on annettu tasossa. Käytämme vastaavia kaavoja:

Näin ollen MO:n keskellä on koordinaatit K (3.5; 5.5).

Vastaus. K (3,5; 5,5).

Ei tee yhtään työtä. Niiden laskemiseksi on yksinkertainen lauseke, joka on helppo muistaa. Jos esimerkiksi janan päiden koordinaatit ovat vastaavasti (x1; y1) ja (x2; y2), niin sen keskikohdan koordinaatit lasketaan näiden koordinaattien aritmeettisena keskiarvona, eli:

Siinä koko vaikeus.
Harkitse yhden segmentin keskipisteen koordinaattien laskemista tietyssä esimerkissä, kuten kysyit.

Tehtävä.
Etsi tietyn pisteen M koordinaatit, jos se on janan KR keskipiste (keskipiste), jonka päissä on vastaavasti seuraavat koordinaatit: (-3; 7) ja (13; 21).

Ratkaisu.
Käytämme yllä olevaa kaavaa:

Vastaus. M (5; 14).

Tämän kaavan avulla voit myös löytää janan keskikohdan koordinaattien lisäksi myös sen päät. Harkitse esimerkkiä.

Tehtävä.
Kahden pisteen (7; 19) ja (8; 27) koordinaatit on annettu. Etsi janan yhden pään koordinaatit, jos kaksi edellistä pistettä ovat sen pää ja keskikohta.

Ratkaisu.
Merkitään janan päät K:ksi ja P:ksi ja sen keskikohta S:ksi. Kirjoitetaan kaava uudelleen ottaen huomioon uudet nimet:

Korvaa tunnetut koordinaatit ja laske yksittäiset koordinaatit: