Perusfunktiot ja niiden kuvaajat.

Tärkeimmät perusfunktiot ovat: potenssifunktio, eksponentiaalifunktio, logaritminen funktio, trigonometriset funktiot ja käänteiset trigonometriset funktiot sekä polynomi ja rationaalifunktio, joka on kahden polynomin suhde.

Alkufunktiot sisältävät myös ne funktiot, jotka saadaan alkeisfunktioista soveltamalla neljää aritmeettista perusoperaatiota ja muodostamalla kompleksifunktio.

Perusfunktioiden kaaviot

	Suora viiva- lineaarisen funktion kuvaaja y = ax + b. Funktio y kasvaa monotonisesti, kun a > 0 ja pienenee kun a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Paraabeli- toisen asteen trinomifunktion kuvaaja y = ax 2 + bx + c. Siinä on pystysuora symmetria-akseli. Jos a > 0, on minimi, jos a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Hyperbeli- funktion kaavio. Kun a > O, se sijaitsee I ja III neljänneksissä, kun a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) tai y - - x(a< 0).
	Eksponentti funktio. Näytteilleasettaja(eksponentiaalinen funktio kantaan e) y = e x. (Toinen kirjoitusasu y = exp(x)). Asymptootti on abskissa-akseli.
	Logaritminen funktio y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Siniaalto- jaksollinen funktio jaksolla T = 2π

Toiminnan raja.

Funktiolla y=f(x) on luku A rajana, kun x pyrkii a:han, jos mille tahansa luvulle ε › 0 on luku δ › 0 siten, että | y – A | ‹ ε jos |x - a| ‹ δ,

tai lim y = A

Toiminnan jatkuvuus.

Funktio y=f(x) on jatkuva pisteessä x = a, jos lim f(x) = f(a), ts.

funktion raja pisteessä x = a on yhtä suuri kuin funktion arvo tietyssä pisteessä.

Toimintojen rajojen löytäminen.

Peruslauseita funktioiden rajoista.

1. Vakioarvon raja on yhtä suuri kuin tämä vakioarvo:

2. Algebrallisen summan raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen algebrallinen summa:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Useiden funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden tulojen tulo:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen osamäärä, jos nimittäjän raja ei ole 0:

lim------- = -----------

Ensimmäinen merkittävä raja: lim --------- = 1

Toinen merkittävä raja: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Esimerkkejä funktioiden rajojen löytämisestä.

5.1. Esimerkki:

Mikä tahansa raja koostuu kolmesta osasta:

1) Tunnettu raja-kuvake.

2) merkinnät raja-kuvakkeen alla. Merkintä kuuluu "X pyrkii yhteen". Useimmiten se on x, vaikka "x":n sijasta voi olla mikä tahansa muu muuttuja. Yhden sijasta voi olla mikä tahansa luku, samoin kuin ääretön 0 tai .

3) Toiminnot rajamerkin alla, tässä tapauksessa .

Itse äänitys kuuluu näin: "funktion raja kuten x pyrkii yksikköön."

Erittäin tärkeä kysymys - mitä ilmaus "x" tarkoittaa? pyrkii yhdelle"? Ilmaisu "x" pyrkii yhteen" tulee ymmärtää seuraavasti: "x" ottaa johdonmukaisesti arvot jotka lähestyvät yhtenäisyyttä äärettömän lähellä ja käytännöllisesti katsoen yhtenevät sen kanssa.

Miten yllä oleva esimerkki ratkaistaan? Yllä olevan perusteella sinun tarvitsee vain korvata yksi rajamerkin alla olevaan funktioon:

Ensimmäinen sääntö siis : Kun sinulle annetaan raja, liität ensin numeron toimintoon.

5.2. Esimerkki äärettömyydestä:

Selvitetään mikä se on? Tämä on tilanne, kun se kasvaa ilman rajoituksia.

Niin jos , sitten toiminto yleensä miinus äärettömään:

Ensimmäisen sääntömme mukaan "X":n sijaan korvaamme funktiossa ääretön ja saamme vastauksen.

5.3. Toinen esimerkki äärettömyydestä:

Taas alamme kasvaa äärettömyyteen ja tarkastella funktion käyttäytymistä.
Johtopäätös: toiminto kasvaa rajattomasti

5.4 Sarja esimerkkejä:

Yritä itse analysoida seuraavat esimerkit henkisesti ja ratkaista yksinkertaisimmat rajatyypit:

, , , , , , , , ,

Mitä sinun tulee muistaa ja ymmärtää edellä mainitusta?

Kun sinulle annetaan jokin raja, liitä ensin numero toimintoon. Samalla sinun on ymmärrettävä ja ratkaistava välittömästi yksinkertaisimmat rajat, kuten , , jne.

6. Rajat tyypin epävarmuudella ja menetelmä niiden ratkaisemiseksi.

Nyt tarkastellaan rajojen ryhmää, jolloin , ja funktio on murtoluku, jonka osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja.

6.1. Esimerkki:

Laske raja

Sääntömme mukaan yritämme korvata funktion äärettömän. Mitä saamme huipulla? ääretön. Ja mitä tapahtuu alla? Myös äärettömyys. Näin ollen meillä on niin kutsuttu lajiepävarmuus. Voidaan ajatella, että = 1, ja vastaus on valmis, mutta yleensä tämä ei ole ollenkaan niin, ja sinun on käytettävä jotakin ratkaisutekniikkaa, jota nyt harkitsemme.

Kuinka ratkaista tämän tyyppiset rajat?

Ensin katsomme osoittajaa ja löydämme suurimman tehon:

Osoittimen johtava teho on kaksi.

Nyt katsomme nimittäjä ja löydämme sen myös korkeimpaan potenssiin:

Nimittäjän suurin aste on kaksi.

Sitten valitsemme osoittajan ja nimittäjän suurimman tehon: tässä esimerkissä ne ovat samat ja yhtä kuin kaksi.

Joten ratkaisumenetelmä on seuraava: paljastamaan epävarmuutta sinun on jaettava osoittaja ja nimittäjä ylimmässä tutkinnossa.

Eli vastaus ei ole 1.

Esimerkki

Löydä raja

Taas osoittajasta ja nimittäjästä löydämme korkeimmassa asteessa:

Enimmäisaste osoittajassa: 3

Maksimiaste nimittäjässä: 4

Valita suurin arvo, tässä tapauksessa neljä.
Epävarmuuden paljastamiseksi jaamme osoittajan ja nimittäjän luvulla .

Esimerkki

Löydä raja

"X":n enimmäisaste osoittajassa: 2

"X":n enimmäisaste nimittäjässä: 1 (voidaan kirjoittaa muodossa)
Epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä luvulla. Lopullinen ratkaisu voi näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Katsotaanpa joitain havainnollistavia esimerkkejä.

Olkoon x numeerinen muuttuja, X sen muutoksen alue. Jos jokainen X:ään kuuluva luku x liittyy tiettyyn numeroon y, sanotaan, että joukossa X on määritelty funktio, ja kirjoitetaan y = f(x).
X-joukko tässä tapauksessa on taso, joka koostuu kahdesta koordinaattiakselista – 0X ja 0Y. Kuvataan esimerkiksi funktio y = x 2. Akselit 0X ja 0Y muodostavat X:n - sen muutosalueen. Kuvassa näkyy selvästi, miten toiminto toimii. Tässä tapauksessa he sanovat, että funktio y = x 2 on määritelty joukossa X.

Funktion kaikkien osaarvojen joukkoa Y kutsutaan arvojen joukoksi f(x). Toisin sanoen arvojoukko on 0Y-akselin väli, jossa funktio määritellään. Kuvattu paraabeli osoittaa selvästi, että f(x) > 0, koska x2 > 0. Siksi arvojen alue on . Tarkastelemme monia arvoja 0Y:n mukaan.

Kaikkien x:n joukkoa kutsutaan f(x:n) alueeksi. Tarkastelemme monia määritelmiä 0X:llä ja meidän tapauksessamme hyväksyttävien arvojen alue on [-; +].

Pistettä a (a kuuluu tai X) kutsutaan joukon X rajapisteeksi, jos missä tahansa pisteen a ympäristössä on joukon X pisteitä, jotka eroavat a:sta.

On tullut aika ymmärtää, mikä on funktion raja?

Puhdasta b:tä, johon funktio pyrkii kuten x pyrkii numeroon a, kutsutaan toiminnon raja. Tämä on kirjoitettu seuraavasti:

Esimerkiksi f(x) = x 2. Meidän on selvitettävä, mihin funktio pyrkii (ei ole yhtä suuri) kohdassa x 2. Ensin kirjoitetaan muistiin raja:

Katsotaanpa kaaviota.

Piirretään 0Y-akselin suuntainen viiva 0X-akselin pisteen 2 kautta. Se leikkaa kuvaajamme pisteessä (2;4). Pudotetaan tästä pisteestä kohtisuora 0Y-akselille ja päästään pisteeseen 4. Tähän funktiomme pyrkii x 2:ssa. Jos nyt korvaamme arvon 2 funktiolla f(x), vastaus on sama.

Nyt ennen kuin siirrymme asiaan rajojen laskeminen, esitellään perusmääritelmät.

Sen esitteli ranskalainen matemaatikko Augustin Louis Cauchy 1800-luvulla.

Oletetaan, että funktio f(x) on määritelty tietyllä aikavälillä, joka sisältää pisteen x = A, mutta f(A):n arvon määrittäminen ei ole ollenkaan välttämätöntä.

Sitten Cauchyn määritelmän mukaan toiminnon raja f(x) on tietty luku B, jossa x on A:ta, jos jokaiselle C > 0:lle on luku D > 0, jolle

Nuo. jos funktio f(x) kohdassa x A on rajoitettu rajalla B, tämä kirjoitetaan muodossa

Jakson raja tiettyä lukua A kutsutaan, jos mille tahansa mielivaltaisen pienelle positiiviselle luvulle B > 0 on luku N, jonka kaikki arvot tapauksessa n > N täyttävät epäyhtälön

Tämä raja näyttää tältä.

Sekvenssiä, joilla on raja, kutsutaan konvergentiksi, jos ei, kutsumme sitä divergentiksi.

Kuten olet jo huomannut, rajat ilmaistaan ​​lim-kuvakkeella, jossa muuttujan jokin ehto kirjoitetaan, ja sitten kirjoitetaan itse funktio. Tällaista joukkoa luetaan "funktion rajaksi, jonka kohteena on...". Esimerkiksi:

- funktion raja kuten x pyrkii 1:een.

Ilmaisu "lähestyy 1" tarkoittaa, että x ottaa peräkkäin arvoja, jotka lähestyvät yhtä äärettömästi.

Nyt käy selväksi, että tämän rajan laskemiseksi riittää korvaamaan x:n arvo 1:

Tietyn numeerisen arvon lisäksi x voi myös pyrkiä äärettömään. Esimerkiksi:

Lauseke x tarkoittaa, että x kasvaa jatkuvasti ja lähestyy ääretöntä rajattomasti. Siksi, kun x:n sijaan korvataan ääretön, käy ilmeiseksi, että funktio 1-x pyrkii , mutta päinvastaisella merkillä:

Täten, rajojen laskeminen se tarkoittaa sen tietyn arvon tai alueen, jolle rajan rajoittama funktio osuu, löytämiseen.

Edellä olevan perusteella seuraa, että rajoja laskettaessa on tärkeää käyttää useita sääntöjä:

Ymmärtäminen rajan ydin ja perussäännöt rajalaskelmat, saat keskeisen käsityksen niiden ratkaisemisesta. Jos jokin raja aiheuttaa sinulle vaikeuksia, kirjoita kommentteihin ja autamme sinua ehdottomasti.

Huomaa: Oikeustiede on lakitiede, joka auttaa konflikteissa ja muissa elämänvaikeuksissa.

Funktion raja äärettömässä:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Cauchyn rajan määrittäminen
Olkoon funktio f (x) on määritelty äärettömän pisteen tietyssä ympäristössä, jossa |x| > Lukua a kutsutaan funktion rajaksi f (x) koska x pyrkii äärettömyyteen (), jos jollekin pienelle positiiviselle luvulle ε > 0 , on olemassa luku N ε >K, riippuen ε:stä, joka kaikille x:lle |x| > N ε, funktioarvot kuuluvat pisteen a ε-naapuriin:
|f (x) - a|< ε .
Funktion raja äärettömyydessä on merkitty seuraavasti:
.
Tai klo.

Usein käytetään myös seuraavaa merkintää:
.

Kirjoitetaan tämä määritelmä käyttämällä olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja:
.
Tämä olettaa, että arvot kuuluvat funktion alueeseen.

Yksipuoliset rajat

Funktion vasen raja äärettömässä:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Usein on tapauksia, joissa funktio määritellään vain muuttujan x positiivisille tai negatiivisille arvoille (tarkemmin sanottuna pisteen tai läheisyydessä). Myös x:n positiivisten ja negatiivisten arvojen äärettömyyden rajoilla voi olla erilaisia ​​arvoja. Sitten käytetään yksipuolisia rajoja.

Vasen raja äärettömyyteen tai raja, kun x pyrkii miinus äärettömään (), määritellään seuraavasti:
.
Oikea raja äärettömyydessä tai raja kuten x pyrkii plus äärettömään ():
.
Yksipuoliset rajat äärettömyydessä merkitään usein seuraavasti:
; .

Funktion ääretön raja äärettömässä

Funktion ääretön raja äärettömässä:
|f(x)| > M = |x| > N

Äärettömän rajan määritelmä Cauchyn mukaan
Olkoon funktio f (x) on määritelty äärettömän pisteen tietyssä ympäristössä, jossa |x| > K, jossa K on positiivinen luku. Toiminnan raja f (x) koska x pyrkii äärettömyyteen (), on yhtä suuri kuin ääretön, jos mikä tahansa mielivaltaisen suuri luku M > 0 , on sellainen numero N M >K, riippuen M, joka kaikille x, |x| > N M , funktion arvot kuuluvat äärettömän pisteen läheisyyteen:
|f (x) | > M.
Ääretön raja, kun x pyrkii äärettömyyteen, on merkitty seuraavasti:
.
Tai klo.

Olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja käyttämällä funktion äärettömän rajan määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Samoin otetaan käyttöön tiettyjen merkkien äärettömien rajojen määritelmät, jotka ovat yhtä suuria ja:
.
.

Yksipuolisten rajojen määritelmät äärettömässä.
Vasemmat rajat.
.
.
.
Oikeat rajat.
.
.
.

Funktion rajan määritys Heinen mukaan

Olkoon funktio f (x) määritelty jossain pisteen x äärettömässä ympäristössä 0 , missä tai tai .
Lukua a (äärellinen tai äärettömässä) kutsutaan funktion f rajaksi (x) kohdassa x 0 :
,
jos jollekin sarjalle (xn), konvergoimassa x:ään 0 : ,
jonka elementit kuuluvat naapurustoon, sekvenssiin (f(xn)) suppenee:
.

Jos otamme lähistöksi etumerkitttömän pisteen naapuruuden äärettömyydessä: , niin saadaan funktion rajan määritelmä, koska x pyrkii äärettömyyteen, . 0 Jos otamme pisteen x vasemman tai oikean puoleisen ympäristön äärettömässä

: tai , niin saadaan rajan määritelmä, koska x pyrkii miinus äärettömyyteen ja plus äärettömyyteen, vastaavasti.

Heinen ja Cauchyn rajan määritelmät ovat samanarvoisia.

Esimerkkejä

Esimerkki 1
.

Käyttämällä Cauchyn määritelmää sen osoittamiseksi
.
Otetaan käyttöön seuraava merkintä:
.
Etsitään funktion määritelmäalue.
; .
Koska murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja, funktio määritellään kaikille x:ille paitsi pisteille, joissa nimittäjä katoaa. Etsitään nämä kohdat. Neliöyhtälön ratkaiseminen. ;
Yhtälön juuret:

Siitä lähtien ja .
.
Siksi funktio on määritelty kohdassa .
.
Käytämme tätä myöhemmin. -1 :
.

Kirjoitetaan Cauchyn mukaan funktion äärellisen rajan määritelmä äärettömyyteen:
Muunnetaan ero:
;
;
;
.

Jaa osoittaja ja nimittäjä ja kerro
.
.
Antaa .
Sitten

Joten huomasimme, että kun
Seuraa, että
osoitteessa , ja .

Koska voit aina lisätä sitä, otetaan .

Kirjoitetaan Cauchyn mukaan funktion äärellisen rajan määritelmä äärettömyyteen:
Sitten kenelle tahansa,
1) ;
2) .

osoitteessa .

Se tarkoittaa sitä .
Esimerkki 2
.

Osoita Cauchyn rajan määritelmää käyttämällä, että:
;
.

Jaa osoittaja ja nimittäjä ja kerro
.
1) Ratkaisu kuten x pyrkii miinus äärettömään
.
Koska , funktio on määritelty kaikille x.
.

Kirjataan muistiin funktion rajan määritelmä miinus äärettömällä:

Antaa . Sitten

Syötä positiiviset luvut ja:
.
Tästä seuraa, että millä tahansa positiivisella luvulla M on numero, joten ,

.
Se tarkoittaa sitä .
.

2) Ratkaisu, koska x pyrkii plus äärettömään
Siksi funktio on määritelty kohdassa .
.
Muunnetaan alkuperäinen funktio. Kerro murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ja käytä neliöiden erotuskaavaa:
.

Meillä on:
.
Muunnetaan ero:
;
.

Jaa osoittaja ja nimittäjä ja kerro
.
1) Ratkaisu kuten x pyrkii miinus äärettömään
.
Antaa .
Kirjoita funktion oikean rajan määritelmä ylös:

Otetaan käyttöön merkintä: .
.

Kerro osoittaja ja nimittäjä:
Antaa

Koska tämä pätee kaikkiin positiivisiin lukuihin, niin

Rajoitukset verkossa sivustolla opiskelijoille ja koululaisille, jotta he voivat koota kattavan materiaalin kokonaan. Kuinka löytää raja verkossa resurssimme avulla? Tämä on erittäin helppoa, sinun tarvitsee vain kirjoittaa alkuperäinen funktio muuttujalla x, valita haluttu ääretön valitsimesta ja napsauttaa "Ratkaise" -painiketta. Siinä tapauksessa, että funktion raja on laskettava jossain kohdassa x, sinun on ilmoitettava tämän pisteen numeerinen arvo. Saat vastauksen rajan ratkaisuun muutamassa sekunnissa, toisin sanoen - välittömästi. Jos annat kuitenkin virheellisiä tietoja, palvelu ilmoittaa sinulle automaattisesti virheestä. Korjaa aiemmin esitelty funktio ja hanki oikea ratkaisu rajaan. Rajojen ratkaisemiseen käytetään kaikkia mahdollisia tekniikoita, erityisen usein käytetään L'Hopitalin menetelmää, koska se on universaali ja johtaa vastaukseen nopeammin kuin muut funktion rajan laskentamenetelmät. On mielenkiintoista tarkastella esimerkkejä, joissa moduuli on läsnä. Muuten, resurssimme sääntöjen mukaan moduulia merkitään klassisella pystypalkilla matematiikan "|" tai Abs(f(x)) latinan absoluuttisesta sanasta. Usein lukujonon summan laskeminen edellyttää rajan ratkaisemista. Kuten kaikki tietävät, sinun on vain ilmaistava oikein tutkittavan sekvenssin osasumma, ja sitten kaikki on paljon yksinkertaisempaa ilmaisen verkkosivustopalvelumme ansiosta, koska osasumman rajan laskeminen on numeerisen sekvenssin lopullinen summa. Yleisesti ottaen teoria rajan ylittämisestä on kaiken matemaattisen analyysin peruskäsite. Kaikki perustuu juuri rajojen läpikäymiseen, eli rajojen ratkaiseminen on matemaattisen analyysin tieteen perusta. Integroinnissa käytetään myös rajaan siirtymistä, kun integraali esitetään teorian mukaan rajattoman määrän alueita summana. Siellä missä jotain on rajoittamaton määrä, eli objektien määrän taipumus äärettömyyteen, silloin rajasiirtymien teoria astuu aina voimaan, ja se on yleisesti hyväksytyssä muodossaan ratkaisu kaikille tuttuihin rajoihin. Rajojen ratkaiseminen verkossa sivustolla on ainutlaatuinen palvelu tarkan ja välittömän vastauksen saamiseen reaaliajassa. Funktion raja (funktion raja-arvo) tietyssä pisteessä, funktion määritelmäalueen rajapiste, on arvo, johon kyseisen funktion arvo pyrkii sen argumentin pyrkiessä tiettyyn kohta. Ei ole harvinaista, ja sanoisimme jopa hyvin usein, että opiskelijoilla on kysymys rajojen ratkaisemisesta verkossa matemaattista analyysiä opiskellessaan. Kun mietit rajan ratkaisemista verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla vain erikoistapauksissa, käy selväksi, ettei monimutkaisesta ongelmasta selviä ilman rajalaskuria. Rajojen ratkaiseminen palvelullamme takaa tarkkuuden ja yksinkertaisuuden. Funktion raja on yleistys sekvenssin rajan käsitteestä: alun perin funktion rajaksi pisteessä ymmärrettiin sekvenssin raja. funktion arvoalueen elementit, jotka koostuvat funktion määritelmäalueen elementtien sarjan pisteistä, jotka konvergoivat tiettyyn pisteeseen (raja, jota tarkastellaan); jos tällainen raja on olemassa, funktion sanotaan konvergoivan määritettyyn arvoon; jos tällaista rajaa ei ole olemassa, funktion sanotaan poikkeavan. Rajojen ratkaiseminen verkossa on helppo ratkaisu käyttäjille, jos he osaavat ratkaista rajat verkossa verkkosivuston avulla. Pysytään keskittyneinä emmekä anna virheiden aiheuttaa meille ongelmia epätyydyttävien arvosanojen muodossa. Kuten mikä tahansa ratkaisu rajoituksiin verkossa, ongelmasi esitetään kätevässä ja ymmärrettävässä muodossa, yksityiskohtaisella ratkaisulla, noudattaen kaikkia ratkaisun saamista koskevia sääntöjä ja määräyksiä. Useimmiten funktion rajan määritelmä muotoillaan naapurustojen kielellä. Tässä funktion rajoja tarkastellaan vain pisteissä, jotka rajoittavat funktion määritelmäaluetta, mikä tarkoittaa, että tietyn pisteen jokaisessa ympäristössä on pisteitä juuri tämän funktion määritelmäalueelta. Tämä antaa meille mahdollisuuden puhua funktion argumentin taipumuksesta tiettyyn pisteeseen. Mutta määritelmäalueen rajapisteen ei tarvitse kuulua itse määritelmäalueeseen, ja tämä todistetaan ratkaisemalla raja: esimerkiksi voidaan tarkastella funktion rajaa avoimen välin päissä, jolla funktio on määritelty. Tässä tapauksessa itse intervallin rajat eivät sisälly määritelmäalueeseen. Tässä mielessä tietyn pisteen lävistettyjen naapureiden järjestelmä on tällaisen joukkokannan erikoistapaus. Limiittien ratkaiseminen verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla tapahtuu reaaliajassa ja kaavoilla erikseen määritellyssä muodossa Voit säästää aikaa ja ennen kaikkea rahaa, koska emme pyydä tästä korvausta. Jos jossain vaiheessa funktion määritelmäalueella on raja ja tämän rajan ratkaisu on yhtä suuri kuin funktion arvo tässä pisteessä, niin funktio osoittautuu sellaisessa pisteessä jatkuvaksi. Sivustollamme ratkaisu rajoihin on saatavilla verkossa 24 tuntia vuorokaudessa, joka päivä ja joka minuutti. Opiskelijat hyötyvät selvästi kaikista näistä toiminnoista. Rajan laskeminen pelkkää teoriaa käyttäen ja soveltamalla ei aina ole niin yksinkertaista, kuten maan yliopistojen matematiikan laitosten kokeneet opiskelijat sanovat. Fakta pysyy tosiasiana, jos on tavoite. Tyypillisesti löydetty ratkaisu rajoihin ei sovellu paikallisesti ongelman muotoiluun. Opiskelija iloitsee heti, kun hän löytää rajalaskurin verkosta Internetistä ja vapaasti saatavilla, eikä vain itselleen, vaan kaikille. Tarkoituksena tulisi katsoa matematiikkaa sen yleisessä ymmärryksessä. Jos kysyt Internetissä kuinka löytää raja verkossa yksityiskohtaisesti, pyynnön seurauksena ilmestyvien sivustojen massa ei auta niin paljon kuin me. Osapuolten välinen ero kerrotaan tapahtuman vastaavuudella. Funktion alkuperäinen oikeutettu raja on määritettävä itse matemaattisen ongelman muotoilulla. Hamilton oli oikeassa, mutta kannattaa ottaa huomioon hänen aikalaistensa lausunnot. Rajojen laskeminen verkossa ei ole missään nimessä niin vaikea tehtävä kuin miltä ensi silmäyksellä saattaa tuntua... Jotta ei riko horjumattomien teorioiden totuutta. Palatakseni alkutilanteeseen, on tarpeen laskea raja nopeasti, tehokkaasti ja siististi muotoillussa muodossa. Olisiko mahdollista toimia toisin? Tämä lähestymistapa on ilmeinen ja perusteltu. Rajalaskin luotiin lisäämään tietoa, parantamaan läksyjen kirjoittamisen laatua ja kohottamaan yleistä mielialaa opiskelijoiden keskuudessa, joten se tulee olemaan heille oikea. Sinun tarvitsee vain ajatella mahdollisimman nopeasti ja mieli voittaa. Online-interpolointitermien rajoista puhuminen on erittäin hienostunutta toimintaa alansa ammattilaisille. Ennustamme suunnittelemattomien erojen järjestelmän suhteen avaruuden pisteissä. Ja jälleen, ongelma on pelkistetty epävarmuuteen, joka perustuu siihen tosiasiaan, että funktion raja on olemassa äärettömyydessä ja tietyllä paikallisen pisteen alueella tietyllä x-akselilla alkuperäisen lausekkeen affiinin muunnoksen jälkeen. On helpompi analysoida pisteiden nousua tasossa ja avaruuden huipulla. Yleisesti ottaen matemaattisen kaavan johtamisesta ei puhuta niin todellisuudessa kuin teoriassa, joten online-rajalaskuria käytetään tässä mielessä aiottuun tarkoitukseen. Ilman rajaa verkossa minun on vaikea suorittaa lisälaskelmia käyräavaruuden tutkimisen alalla. Oikean oikean vastauksen löytäminen ei olisi helpompaa. Onko mahdotonta laskea rajaa, jos tietty piste avaruudessa on etukäteen epävarma? Kumotaanpa tutkimusalueen ulkopuolisten vastausten olemassaolo. Raja-arvojen ratkaisemista voidaan käsitellä matemaattisen analyysin näkökulmasta akselin pistejärjestyksen tutkimuksen alkuna. Pelkästään laskennan tosiasia voi olla sopimatonta. Numerot ovat esitettävissä äärettömänä sekvenssinä ja ne tunnistetaan alkumerkinnällä, kun olemme ratkaisseet rajan verkossa yksityiskohtaisesti teorian mukaisesti. Perusteltu parhaan hinta-laatusuhteen puolesta. Toimintorajan tulos, ilmeisenä virheenä väärin muotoillussa ongelmassa, voi vääristää käsitystä epävakaan järjestelmän todellisesta mekaanisesta prosessista. Kyky ilmaista merkitys suoraan katselualueelle. Yhdistämällä online-raja samanlaiseen yksipuolisen raja-arvon merkintään on parempi välttää sen selkeää ilmaisemista vähennyskaavojen avulla. Sen lisäksi, että aloitetaan tehtävän suhteellinen suorittaminen. Laajennamme polynomia, kun voimme laskea yksipuolisen rajan ja kirjoittaa sen äärettömyyteen. Yksinkertaiset ajatukset johtavat todelliseen tulokseen matemaattisessa analyysissä. Yksinkertainen rajojen ratkaisu johtuu usein toteutettujen vastakkaisten matemaattisten kuvitusten erilaisesta tasa-arvosta. Viivat ja Fibonacci-luvut selvittivät rajalaskimen netissä, tästä riippuen voit tilata rajattoman laskennan ja ehkä monimutkaisuus vetäytyy taustalle. Graafin avaaminen tasossa kolmiulotteisen avaruuden siivussa on käynnissä. Tämä synnytti tarpeen esittää erilaisia ​​näkemyksiä monimutkaisesta matemaattisesta ongelmasta. Tulosta ei kuitenkaan odoteta kauaa. Meneillään oleva nousevan tuotteen toteuttamisprosessi kuitenkin vääristää riviavaruutta ja kirjoittaa rajan online-tilaan perehtyäkseen ongelman muotoiluun. Ongelmien kasautumisprosessin luonnollisuus määrittää kaikkien matematiikan tieteenalojen tiedon tarpeen. Erinomaisesta rajalaskimesta tulee välttämätön työkalu taitavien opiskelijoiden käsissä, ja he arvostavat sen kaikkia etuja digitaalisen edistyksen analogeihin verrattuna. Kouluissa verkkorajoja kutsutaan jostain syystä eri tavalla kuin oppilaitoksissa. Funktion arvo kasvaa, kun argumentti muuttuu. L'Hopital sanoi myös, että funktion rajan löytäminen on vain puolet taistelusta, sinun on saatava ongelma loogiseen päätökseen ja esitettävä vastaus laajennetussa muodossa. Todellisuus on riittävä tapauksen tosiasioiden olemassaololle. Verkkoraja liittyy matematiikan historiallisesti tärkeisiin näkökohtiin ja muodostaa perustan lukuteorian opiskelulle. Sivun koodaus matemaattisilla kaavoilla on saatavilla selaimessa asiakkaan kielellä. Kuinka laskea raja käyttämällä hyväksyttävää laillista menetelmää pakottamatta funktiota muuttumaan x-akselin suuntaan. Yleensä avaruuden todellisuus ei riipu vain funktion kuperuudesta tai sen koveruudesta. Poista ongelmasta kaikki tuntemattomat ja rajojen ratkaiseminen johtaa käytettävissä olevien matemaattisten resurssien pienimpään kulutukseen. Ilmoitetun ongelman ratkaiseminen korjaa toimivuuden sataprosenttisesti. Tuloksena oleva matemaattinen odotus paljastaa verkossa yksityiskohtaisesti rajan pienimmän merkittävän erikoissuhteen poikkeaman suhteen. Kolme päivää kului siitä, kun matemaattinen päätös tieteen hyväksi tehtiin. Tämä on todella hyödyllistä toimintaa. Ilman syytä online-rajan puuttuminen merkitsee eroa yleisessä lähestymistavassa tilanneongelmien ratkaisemiseen. Parempi nimi yksipuoliselle rajalle 0/0-epävarmuudella on kysyntää tulevaisuudessa. Resurssi ei voi olla vain kaunis ja hyvä, vaan myös hyödyllinen, kun se voi laskea rajan puolestasi. Suuri tiedemies tutki opiskelijana tieteellisen artikkelin kirjoittamisen toimintoja. Kymmenen vuotta on kulunut. Ennen erilaisia ​​vivahteita kannattaa yksiselitteisesti kommentoida matemaattista odotusta sen puolesta, että funktion raja lainaa päämiesten eroa. He vastasivat tilattuihin testitöihin. Matematiikassa poikkeuksellinen asema opetuksessa on, kummallista kyllä, verkkorajojen tutkiminen toisensa poissulkevien kolmansien osapuolten suhteiden kanssa. Kuten tavallisissa tapauksissa tapahtuu. Sinun ei tarvitse kopioida mitään. Analysoituamme opiskelijoiden lähestymistapoja matemaattisiin teorioihin, jätämme rajojen ratkaisun perusteellisesti viimeiseen vaiheeseen. Tämä on seuraavan merkitys, tutki tekstiä. Taittuminen määrittelee matemaattisen lausekkeen yksiselitteisesti vastaanotetun tiedon olemukseksi. online-raja on monisuuntaisten vektoreiden matemaattisen suhteellisuusjärjestelmän todellisen sijainnin määrittämisen ydin. Tässä mielessä tarkoitan ilmaista oman mielipiteeni. Kuten edellisessä tehtävässä. Erottuva online-raja laajentaa vaikutuksensa yksityiskohtaisesti matemaattiseen näkemykseen opiskelualan ohjelma-analyysin peräkkäistutkimuksesta. Teorian kontekstissa matematiikka on jotain korkeampaa kuin pelkkä tiede. Uskollisuus näkyy teoilla. On edelleen mahdotonta katkaista peräkkäisten lukujen ketjua, jotka alkavat liikkua ylöspäin, jos raja on laskettu väärin. Kaksipuolinen pinta ilmaistaan ​​luonnollisessa muodossaan täysikokoisena. Kyky tutkia matemaattista analyysiä rajoittaa funktion rajan funktionaalisten sarjojen sarjaan epsilon-naapurustossa tietyssä pisteessä. Toisin kuin funktioteoriassa, laskelmien virheet eivät ole poissuljettuja, mutta tämä on tilanteen mukaan. Jako rajalla online-tehtävä voidaan kirjoittaa muuttuvalla divergenssifunktiolla epälineaarisen järjestelmän nopealle tulolle kolmiulotteisessa avaruudessa. Triviaali tapaus on toiminnan perusta. Sinun ei tarvitse olla opiskelija analysoidaksesi tätä tapausta. Käynnissä olevan laskennan hetkien kokonaisuus, alun perin rajojen ratkaisu määritellään koko integraalisen etenemisjärjestelmän toiminnaksi ordinaatta-akselilla useilla lukuarvoilla. Otetaan perusarvoksi pienin mahdollinen matemaattinen arvo. Päätelmä on ilmeinen. Tasojen välinen etäisyys auttaa laajentamaan online-rajojen teoriaa, koska subpolaarisen merkityksen aspektin divergentin laskentamenetelmän käytöllä ei ole mitään luontaista merkitystä. Erinomainen valinta, jos rajalaskin sijaitsee palvelimella, tämä voidaan ottaa sellaisenaan vääristämättä pinta-alan muutoksen merkitystä, muuten lineaarisuusongelma kasvaa. Täydellinen matemaattinen analyysi paljasti järjestelmän epävakauden ja sen kuvauksen pisteen pienimmän ympäristön alueella. Kuten mikä tahansa funktion raja ordinaattien ja abskissojen leikkausakselilla, on mahdollista sulkea objektien numeeriset arvot jossain minimaalisessa ympäristössä tutkimusprosessin toiminnallisuuden jakautumisen mukaan. Kirjoitetaan tehtävä kohta kohdalta. Kirjoittamisessa on jako eri vaiheisiin. Akateemisia väitteitä siitä, että rajan laskeminen on todella vaikeaa tai ei ollenkaan helppoa, tukee analyysi poikkeuksetta kaikkien perustutkinto- ja jatko-opiskelijoiden matemaattisista näkemyksistä. Mahdolliset välitulokset eivät kestä kauan. Yllä olevaa rajaa tutkitaan verkossa yksityiskohtaisesti objektien järjestelmäeron absoluuttisella minimillä, jonka ylittyessä matematiikan avaruuden lineaarisuus vääristyy. Opiskelijat eivät käytä suurempaa alueen segmentointia moninkertaisten erimielisyyksien laskemiseen sen jälkeen, kun ne ovat tallentaneet online-rajalaskuria vähennyksille. Alkamisen jälkeen kielletään opiskelijoilta matematiikan tilaympäristön opiskelutehtävien tarkistaminen. Koska olemme jo löytäneet funktion rajan, rakennetaan sen tutkimuksesta kuvaaja tasolle. Korostetaan ordinaatta-akselit erityisellä värillä ja näytetään viivojen suunta. Siellä on vakautta. Epävarmuus on läsnä pitkään vastauksen kirjoittamisen aikana. Laske funktion raja pisteessä yksinkertaisesti analysoimalla rajojen välistä eroa äärettömässä alkuolosuhteissa. Tämä menetelmä ei ole kaikkien käyttäjien tiedossa. Tarvitsemme matemaattista analyysiä. Rajojen ratkaiseminen kerää kokemusta sukupolvien mieleen moniksi vuosiksi eteenpäin. On mahdotonta olla mutkistamatta prosessia. Kaikkien sukupolvien opiskelijat ovat vastuussa sen tekemisestä. Kaikki yllä oleva voi alkaa muuttua, jos funktioiden sijainnille ei ole kiinteää argumenttia tietyn pisteen ympärillä, joka on laskentatehoeron suhteen rajalaskimista jäljessä. Tarkastellaan funktiota saadaksesi tuloksena oleva vastaus. Päätelmä ei ole ilmeinen. Kun implisiittiset funktiot on jätetty pois kokonaisluvusta matemaattisten lausekkeiden muuntamisen jälkeen, viimeinen vaihe on löytää rajat verkossa oikein ja suurella tarkkuudella. Annetun päätöksen hyväksyttävyys on tarkistettava. Prosessi jatkuu. Sekvenssin paikantaminen erillään funktioista ja valtavan kokemuksensa avulla matemaatikot joutuvat laskemaan rajan perustellakseen oikean suunnan tutkimuksessa. Tällainen tulos ei vaadi teoreettista tehostusta. Muuta x-akselin nollasta poikkeavan pisteen tietyllä alueella olevien lukujen osuutta kohti online-rajalaskimen muuttuvaa avaruudellista kaltevuuskulmaa matematiikan kirjoitetun tehtävän alla. Yhdistäkäämme kaksi aluetta avaruudessa. Ratkaisijoiden väliset erimielisyydet siitä, kuinka funktion raja saa avaruudessa yksipuolisten arvojen ominaisuudet, eivät voi jäädä huomaamatta opiskelijoiden tehostetuista ohjatuista suorituksista. Matematiikan online-rajan suunta on ottanut yhden vähiten kiistanalaisimmista asennoista juuri näiden rajojen laskennan epävarmuudesta. Online-rajalaskin tasakylkisten kolmioiden ja kuutioiden korkeudelle, joiden sivu on kolme ympyrän sädettä, auttaa opiskelijaa oppimaan ulkoa tieteen alkuvaiheessa. Jätetään opiskelijoiden tehtäväksi päättää rajat toimivan matemaattisen heikennetyn järjestelmän tutkimuksessa tutkimustason puolelta. Opiskelijan näkemys lukuteoriasta on epäselvä. Jokaisella on oma mielipiteensä. Oikea suunta matematiikan opiskelussa auttaa laskemaan rajan varsinaisessa merkityksessä, kuten edistyneiden maiden yliopistoissa. Matematiikassa kotangentti lasketaan rajalaskimena ja se on kahden muun perustrigonometrisen funktion, nimittäin argumentin kosinin ja sinin suhde. Tämä on ratkaisu segmenttien puolittamiseen. Erilainen lähestymistapa ei todennäköisesti ratkaise tilannetta menneen hetken hyväksi. Voimme puhua pitkään siitä, kuinka online-rajaa on erittäin vaikeaa ja turhaa ratkaista yksityiskohtaisesti ilman ymmärrystä, mutta tämä lähestymistapa pyrkii lisäämään opiskelijoiden sisäistä kurinalaisuutta.

Rajateoria on yksi matemaattisen analyysin haaroista. Kysymys rajojen ratkaisemisesta on varsin laaja, koska eri tyyppisten rajojen ratkaisemiseen on olemassa kymmeniä menetelmiä. On olemassa kymmeniä vivahteita ja temppuja, joiden avulla voit ratkaista tämän tai toisen rajan. Siitä huolimatta yritämme edelleen ymmärtää tärkeimmät käytännössä kohdattavat rajatyypit.

Aloitetaan rajan käsitteestä. Mutta ensin lyhyt historiallinen tausta. 1800-luvulla asui ranskalainen Augustin Louis Cauchy, joka määritteli tiukat monet matan-käsitteet ja loi sen perustan. On sanottava, että tämä arvostettu matemaatikko oli, on ja tulee olemaan kaikkien fysiikan ja matematiikan laitosten opiskelijoiden painajaisissa, koska hän osoitti valtavan määrän matemaattisen analyysin lauseita, ja yksi lause on tappavampi kuin toinen. Tältä osin emme vielä harkitse Cauchyn rajan määrittäminen, mutta yritetään tehdä kaksi asiaa:

1. Ymmärrä, mikä raja on.
2. Opi ratkaisemaan tärkeimmät rajatyypit.

Pahoittelen joitakin epätieteellisiä selityksiä, on tärkeää, että materiaali on ymmärrettävää teekannullekin, mikä itse asiassa on projektin tehtävä.

Joten mikä on raja?

Ja vain esimerkki miksi takkuiselle mummolle...

Mikä tahansa raja koostuu kolmesta osasta:

1) Tunnettu raja-kuvake.
2) merkinnät raja-kuvakkeen alla, tässä tapauksessa . Merkintä kuuluu "X pyrkii yhteen". Useimmiten - täsmälleen, vaikka "X":n sijasta käytännössä on muita muuttujia. Käytännön tehtävissä yhden paikka voi olla täysin mikä tahansa luku, samoin kuin ääretön ().
3) Toiminnot rajamerkin alla, tässä tapauksessa .

Itse äänitys kuuluu näin: "funktion raja kuten x pyrkii yksikköön."

Katsotaanpa seuraavaa tärkeää kysymystä - mitä ilmaus "x" tarkoittaa? pyrkii yhdelle"? Ja mitä "pyrkiminen" edes tarkoittaa?
Rajan käsite on niin sanotusti käsite, dynaaminen. Rakennetaan sekvenssi: ensin , sitten , , …, , ….
Eli ilmaisu "x pyrkii yhteen" tulee ymmärtää seuraavasti: "x" ottaa johdonmukaisesti arvot jotka lähestyvät yhtenäisyyttä äärettömän lähellä ja käytännöllisesti katsoen yhtenevät sen kanssa.

Miten yllä oleva esimerkki ratkaistaan? Yllä olevan perusteella sinun tarvitsee vain korvata yksi rajamerkin alla olevaan funktioon:

Eli ensimmäinen sääntö: Kun annetaan jokin raja, yritämme ensin yksinkertaisesti kytkeä numeron funktioon.

Olemme pohtineet yksinkertaisinta rajaa, mutta niitäkin tapahtuu käytännössä, eikä niin harvoin!

Esimerkki äärettömyydestä:

Selvitetään mikä se on? Näin on silloin, kun se kasvaa rajattomasti, eli ensin, sitten, sitten, sitten ja niin edelleen loputtomiin.

Mitä toiminnolle tapahtuu tällä hetkellä?
, , , …

Joten: jos , niin funktiolla on taipumus miinus äärettömään:

Karkeasti sanottuna ensimmäisen sääntömme mukaan "X":n sijaan korvaamme funktioon äärettömän ja saamme vastauksen.

Toinen esimerkki äärettömyydestä:

Alamme jälleen kasvaa äärettömyyteen ja tarkastella funktion käyttäytymistä:

Johtopäätös: kun funktio kasvaa ilman rajoituksia:

Ja toinen esimerkkisarja:

Yritä itse analysoida mielessäsi seuraavat asiat ja muistaa yksinkertaisimmat rajatyypit:

, , , , , , , , ,
Jos sinulla on epäilyksiä missä tahansa, voit ottaa laskimen ja harjoitella vähän.
Siinä tapauksessa , yritä muodostaa sekvenssi , , . Jos sitten , , .

! Huomautus: Tarkkaan ottaen tämä lähestymistapa useiden lukujen sekvenssien muodostamiseen on virheellinen, mutta yksinkertaisimpien esimerkkien ymmärtämiseen se on varsin sopiva.

Kiinnitä huomiota myös seuraavaan asiaan. Vaikka raja annettaisiin suurella numerolla ylhäällä tai jopa miljoonalla: , niin se on sama , koska ennemmin tai myöhemmin "X" alkaa saada sellaisia ​​jättimäisiä arvoja, että miljoonasta verrattuna on todellinen mikrobi.

Mitä sinun tulee muistaa ja ymmärtää edellä mainitusta?

1) Kun jokin raja on annettu, yritämme ensin yksinkertaisesti korvata numeron funktioon.

2) Sinun on ymmärrettävä ja ratkaistava välittömästi yksinkertaisimmat rajat, kuten , , jne.

Lisäksi rajalla on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Aiheen paremman ymmärtämiseksi suosittelen, että luet opetusmateriaalin Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Luettuasi tämän artikkelin et vain ymmärrä vihdoin, mikä raja on, vaan tutustu myös mielenkiintoisiin tapauksiin, joissa funktion raja yleensä ei ole olemassa!

Käytännössä lahjoja on valitettavasti vähän. Ja siksi siirrymme tarkastelemaan monimutkaisempia rajoja. Muuten, tästä aiheesta on intensiivinen kurssi pdf-muodossa, mikä on erityisen hyödyllistä, jos sinulla on TODELLA vähän aikaa valmistautua. Mutta sivuston materiaalit eivät tietenkään ole huonompia:

Nyt tarkastellaan rajojen ryhmää, kun , ja funktio on murtoluku jonka osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja

Esimerkki:

Laske raja

Sääntömme mukaan yritämme korvata funktion äärettömän. Mitä saamme huipulla? ääretön. Ja mitä tapahtuu alla? Myös äärettömyys. Näin ollen meillä on niin kutsuttu lajiepävarmuus. Voisi luulla, että , ja vastaus on valmis, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole ollenkaan, ja on tarpeen soveltaa jotain ratkaisutekniikkaa, jota nyt tarkastellaan.

Kuinka ratkaista tämän tyyppiset rajat?

Ensin katsomme osoittajaa ja löydämme suurimman tehon:

Osoittimen johtava teho on kaksi.

Nyt katsomme nimittäjä ja löydämme sen myös korkeimpaan potenssiin:

Nimittäjän suurin aste on kaksi.

Sitten valitsemme osoittajan ja nimittäjän suurimman tehon: tässä esimerkissä ne ovat samat ja yhtä kuin kaksi.

Ratkaisumenetelmä on siis seuraava: epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä suurimmalla potenssilla.

Tässä se on, vastaus, eikä ollenkaan äärettömyys.

Mikä on olennaisen tärkeää päätöksen suunnittelussa?

Ensin osoitamme epävarmuuden, jos sellaista on.

Toiseksi on suositeltavaa keskeyttää ratkaisu väliselityksiä varten. Käytän yleensä merkkiä, sillä ei ole matemaattista merkitystä, vaan se tarkoittaa, että ratkaisu keskeytetään väliselvitystä varten.

Kolmanneksi rajaan on suositeltavaa merkitä mitä on menossa minne. Kun työ piirretään käsin, on helpompi tehdä se näin:

Muistiinpanoihin on parempi käyttää yksinkertaista kynää.

Mitään tätä ei tietenkään tarvitse tehdä, mutta sitten ehkä opettaja huomauttaa ratkaisun puutteista tai alkaa kyselemään lisäkysymyksiä tehtävästä. Tarvitsetko sitä?

Esimerkki 2

Löydä raja
Taas osoittajasta ja nimittäjästä löydämme korkeimmassa asteessa:

Enimmäisaste osoittajassa: 3
Maksimiaste nimittäjässä: 4
Valita suurin arvo, tässä tapauksessa neljä.
Epävarmuuden paljastamiseksi algoritmimme mukaan jaamme osoittajan ja nimittäjän luvulla .
Täydellinen tehtävä saattaa näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 3

Löydä raja
"X":n enimmäisaste osoittajassa: 2
"X":n maksimiaste nimittäjässä: 1 (voidaan kirjoittaa muodossa)
Epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä luvulla. Lopullinen ratkaisu voi näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Merkintä ei tarkoita jakamista nollalla (ei voi jakaa nollalla), vaan jakamista äärettömällä pienellä luvulla.

Siten saatamme pystyä paljastamaan lajien epävarmuuden lopullinen numero, nolla tai ääretön.

Rajat, joiden tyyppi ja menetelmä niiden ratkaisemiseksi ovat epävarmoja

Seuraava rajojen ryhmä on jossain määrin samanlainen kuin juuri tarkastelut: osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja, mutta "x" ei enää pyri äärettömyyteen, vaan äärellinen luku.

Esimerkki 4

Ratkaise raja
Ensin yritetään korvata -1 murtoluvulla:

Tässä tapauksessa saadaan ns. epävarmuus.

Yleissääntö: jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja ja muodossa on epävarmuus, paljasta se sinun on otettava huomioon osoittaja ja nimittäjä.

Tätä varten sinun on useimmiten ratkaistava toisen asteen yhtälö ja/tai käytettävä lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Jos nämä asiat ovat unohtuneet, vieraile sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot ja lue opetusmateriaali Kuumat kaavat koulun matematiikan kurssille. Muuten, se on parasta tulostaa se vaaditaan hyvin usein, ja tiedot imeytyvät paremmin paperista.

Ratkaistaan ​​siis rajamme

Kerroin osoittaja ja nimittäjä

Jotta voit kertoa osoittajan, sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö:

Ensin löydämme diskriminantin:

Ja sen neliöjuuri: .

Jos erottaja on suuri, esimerkiksi 361, käytämme laskinta neliöjuuren erottamiseen yksinkertaisimmalla laskimella.

! Jos juuria ei poimita kokonaisuudessaan (saadaan murtoluku pilkulla), on erittäin todennäköistä, että erottaja on laskettu väärin tai tehtävässä oli kirjoitusvirhe.

Seuraavaksi löydämme juuret:

Täten:

Kaikki. Osoittaja on kertoimella.

Nimittäjä. Nimittäjä on jo yksinkertaisin tekijä, eikä sitä voi mitenkään yksinkertaistaa.

Ilmeisesti se voidaan lyhentää seuraavasti:

Nyt korvataan -1 lausekkeessa, joka jää rajamerkin alle:

Ratkaisua ei luonnollisesti koskaan kuvata niin yksityiskohtaisesti kokeessa, testissä tai kokeessa. Lopullisessa versiossa suunnittelun pitäisi näyttää suunnilleen tältä:

Lasketaan osoittaja kertoimella.

Esimerkki 5

Laske raja

Ensinnäkin ratkaisun "valmis"-versio

Lasketaan osoittaja ja nimittäjä.

Osoittaja:
Nimittäjä:



,

Mikä tässä esimerkissä on tärkeää?
Ensinnäkin sinulla on oltava hyvä käsitys siitä, kuinka osoittaja paljastetaan, ensin otimme 2 suluista ja käytimme sitten neliöiden erotuksen kaavaa. Tämä on kaava, joka sinun täytyy tietää ja nähdä.

Suositus: Jos rajassa (melkein missä tahansa) on mahdollista ottaa luku pois suluista, niin teemme sen aina.
Lisäksi on suositeltavaa siirtää tällaiset numerot rajakuvakkeen ulkopuolelle. Minkä vuoksi? Kyllä, vain siksi, etteivät ne häiritse. Tärkeintä on, ettet menetä näitä numeroita myöhemmin ratkaisun aikana.

Huomaa, että ratkaisun viimeisessä vaiheessa otin rajakuvakkeesta kaksi pois ja sitten miinuksen.

! Tärkeä
Ratkaisun aikana tyyppifragmentti esiintyy hyvin usein. Pienennä tätä murto-osaase on kielletty . Ensin sinun on vaihdettava osoittajan tai nimittäjän etumerkki (laita -1 suluissa).
, eli ilmestyy miinusmerkki, joka otetaan huomioon rajaa laskettaessa, eikä sitä tarvitse hävittää ollenkaan.

Yleisesti olen huomannut, että tämän tyyppisten rajojen etsimisessä on useimmiten ratkaistava kaksi toisen asteen yhtälöä, eli sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät toisen asteen kolminomia.

Menetelmä osoittajan ja nimittäjän kertomiseksi konjugaattilausekkeella

Otamme edelleen huomioon muodon epävarmuuden

Seuraava rajoitustyyppi on samanlainen kuin edellinen tyyppi. Ainoa asia, polynomien lisäksi lisäämme juuria.

Esimerkki 6

Löydä raja

Aloitetaan päättäminen.

Ensin yritämme korvata rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen 3
Toistan vielä kerran - tämä on ensimmäinen asia, joka sinun on tehtävä KAIKKI rajalle. Tämä toiminta suoritetaan yleensä henkisesti tai luonnosmuodossa.

Muodosta on saatu epävarmuus, joka on poistettava.

Kuten luultavasti huomasit, osoittajamme sisältää juurien eron. Ja matematiikassa on tapana päästä eroon juurista, jos mahdollista. Minkä vuoksi? Ja elämä on helpompaa ilman niitä.