Osuuden osakkeet ja on edustettuna \frac(a)(b).

Murtolukuosoittaja (a)- murto-osan rivin yläpuolella oleva luku, joka osoittaa niiden osakkeiden lukumäärän, joihin yksikkö on jaettu.

Murtoluvun nimittäjä (b)- murto-osan rivin alla oleva luku, joka osoittaa kuinka monta osaketta yksikkö jaettiin.

Piilota esitys

Murtoluvun perusominaisuus

Jos ad=bc , niin kaksi murtolukua \frac(a)(b) ja \frac(c)(d) katsotaan tasa-arvoisiksi. Esimerkiksi murtoluvut ovat yhtä suuret \frac35 ja \frac(9)(15), koska 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) ja \frac(24)(14), koska 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Murtolukujen yhtäläisyyden määritelmästä seuraa, että murtoluvut ovat yhtä suuret \frac(a)(b) ja \frac(am)(bm), koska a(bm)=b(am) on selkeä esimerkki luonnollisten lukujen kertolaskujen assosiatiivisten ja kommutatiivisten ominaisuuksien käytöstä toiminnassa.

Keinot \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- näyttää tältä murto-osan perusominaisuus.

Toisin sanoen, saadaan annettua vastaava murto-osa kertomalla tai jakamalla alkuperäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä samalla luonnollisella luvulla.

Fraktion vähentäminen on murto-osan korvausprosessi, jossa uusi murto-osa on yhtä suuri kuin alkuperäinen, mutta pienemmällä osoittajalla ja nimittäjällä.

Murtolukuja on tapana pienentää murto-osan pääominaisuuden perusteella.

Esimerkiksi, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(osoittaja ja nimittäjä ovat jaettavissa luvulla 3); saatua murto-osaa voidaan jälleen pienentää jakamalla 5:llä, ts. \frac(15)(20)=\frac 34.

redusoitumaton murto-osa on muodon murto-osa \frac 34, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat suhteellisen alkulukuja. Fraktion vähentämisen päätarkoitus on tehdä fraktiosta pelkistymätön.

Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään

Otetaan esimerkkinä kaksi murtolukua: \frac(2)(3) ja \frac(5)(8) eri nimittäjillä 3 ja 8 . Jotta nämä murtoluvut saadaan yhteiseksi nimittäjäksi ja kerrotaan ensin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä \frac(2)(3) 8 mennessä. Saamme seuraavan tuloksen: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Kerro sitten murtoluvun osoittaja ja nimittäjä \frac(5)(8) mennessä 3. Saamme tuloksena: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Joten alkuperäiset murtoluvut vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi 24.

Aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla

Tavallisten jakeiden lisääminen

a) Samoilla nimittäjillä ensimmäisen murtoluvun osoittaja lisätään toisen murtoluvun osoittajaan, jolloin nimittäjä jää ennalleen. Kuten esimerkistä näkyy:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Eri nimittäjillä murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi ja sitten lisätään osoittajat säännön a mukaisesti:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Tavallisten murtolukujen vähentäminen

a) Samoilla nimittäjillä, vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta jättäen nimittäjä ennalleen:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Jos murto-osien nimittäjät ovat erilaisia, murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi ja toistetaan sitten vaiheet kuten kohdassa a).

Tavallisten murtolukujen kertolasku

Murtolukujen kertolasku noudattaa seuraavaa sääntöä:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

eli kerrotaan osoittajat ja nimittäjät erikseen.

Esimerkiksi:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Tavallisten jakeiden jako

Murtoluvut jaetaan seuraavasti:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

se on murto-osa \frac(a)(b) kerrottuna murtoluvulla \frac(d)(c).

Esimerkki: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Vastavuoroiset numerot

Jos ab=1, niin luku b on käänteinen numero numerolle a.

Esimerkki: numero 9 on päinvastainen \frac(1)(9), koska 9 \cdot \frac(1)(9)=1, numerolle 5 - \frac(1)(5), koska 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Desimaalit

Desimaali on oikea murtoluku, jonka nimittäjä on 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Esimerkiksi: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Samalla tavalla kirjoitetaan vääriä numeroita, joiden nimittäjä on 10 ^ n, tai sekalukuja.

Esimerkiksi: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Desimaalimurtoluvun muodossa esitetään mikä tahansa tavallinen murtoluku, jonka nimittäjä on luvun 10 tietyn potenssin jakaja.

Esimerkki: 5 on luvun 100 jakaja, joten murto-osa \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmeettiset toiminnot desimaaliluvuilla

Desimaalien lisääminen

Jos haluat lisätä kaksi desimaalilukua, sinun on järjestettävä ne niin, että samat numerot ja pilkun alla oleva pilkku näkyvät toistensa alla, ja lisää sitten murtoluvut tavallisina numeroina.

Desimaalien vähentäminen

Se toimii samalla tavalla kuin lisäys.

Desimaaliluku

Desimaalilukuja kerrottaessa riittää kertomalla annetut luvut pilkkuja huomioimatta (luonnollisina lukuina), ja vastaanotetussa vastauksessa oikealla oleva pilkku erottaa niin monta numeroa kuin on desimaalipilkun jälkeen molemmissa kertoimissa yhteensä .

Kerrotaan 2,7 luvulla 1,3. Meillä on 27 \cdot 13=351 . Erotamme kaksi numeroa oikealta pilkulla (ensimmäisessä ja toisessa numerossa on yksi numero desimaalipilkun jälkeen; 1+1=2). Tuloksena saamme 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

Jos tuloksessa on vähemmän numeroita kuin on tarpeen erottaa pilkulla, puuttuvat nollat ​​kirjoitetaan eteen, esim.

Kerrotaan 10:llä, 100:lla, 1000:lla desimaaliluvulla siirtämällä pilkkua 1, 2, 3 numeroa oikealle (tarvittaessa oikealle määrätään tietty määrä nollia).

Esimerkki: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Desimaalijako

Desimaaliluvun jakaminen luonnollisella luvulla tapahtuu samalla tavalla kuin luonnollisen luvun jakaminen luonnollisella luvulla. Pilkku yksityiseen sijoitetaan sen jälkeen, kun kokonaislukuosan jako on valmis.

Jos osingon kokonaisluku on pienempi kuin jakaja, niin vastaus on nolla kokonaislukua, esimerkiksi:

Harkitse desimaaliluvun jakamista desimaalilla. Oletetaan, että meidän on jaettava 2,576 luvulla 1,12. Ensin kerrotaan jako ja murtoluvun jakaja 100:lla, eli siirretään pilkku oikealle jaossa ja jakaja niin monella merkillä kuin on jakajassa desimaalipilkun jälkeen (tässä esimerkissä , kaksi). Sitten sinun on jaettava murto-osa 257,6 luonnollisella luvulla 112, eli ongelma pelkistyy jo harkittuun tapaukseen:

Tapahtuu, että lopullista desimaalimurtolukua ei aina saada, kun yksi luku jaetaan toisella. Tuloksena on ääretön desimaali. Tällaisissa tapauksissa siirry tavallisiin murtolukuihin.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Omistaa murto-osan perusominaisuus:

Huomautus 1

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla luonnollisella luvulla, niin tuloksena saadaan murto, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Esimerkki 1

Olkoon neliö, joka on jaettu 4 dollarin yhtä suuriin osiin. Jos $2$/$4$ osat ovat varjostettuja, saadaan koko neliön varjostettu $\frac(2)(4)$. Jos katsot tätä neliötä, on selvää, että tarkalleen puolet siitä on varjostettu, ts. $(1)(2)$. Siten saamme $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Kerrotaan luvut $2$ ja $4$:

Korvaa nämä laajennukset tasa-arvolla:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Esimerkki 2

Onko mahdollista saada yhtä suuri murtoluku, jos sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan $18$:lla ja jaetaan sitten $3$:lla?

Ratkaisu.

Olkoon jokin tavallinen murtoluku $\frac(a)(b)$. Ehdolla tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrottiin 18 dollarilla, saimme:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Murtoluvun perusominaisuuden mukaan:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Näin ollen tuloksena oleva murto-osa on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Vastaus: Voit saada murto-osan, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Murtoluvun perusominaisuuden soveltaminen

Murtoluvun pääominaisuutta käytetään useimmiten:

• murtolukujen muuntaminen uudeksi nimittäjäksi:
• murto-osien lyhenteet.

Murto-osan tuominen uuteen nimittäjään- tietyn murto-osan korvaaminen murtoluvulla, joka on yhtä suuri kuin se, mutta jolla on suurempi osoittaja ja suurempi nimittäjä. Tätä varten murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luonnollisella luvulla, minkä seurauksena murto-osan pääominaisuuden mukaan saadaan murto, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen, mutta jolla on suurempi osoittaja ja nimittäjä.

Fraktion vähentäminen- tietyn murtoluvun korvaaminen murtoluvulla, joka on yhtä suuri, mutta jolla on pienempi osoittaja ja pienempi nimittäjä. Tätä varten murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan osoittajan ja nimittäjän positiivisella yhteisellä jakajalla, joka eroaa nollasta, minkä seurauksena murto-osan pääominaisuuden mukaan saadaan murto, joka on sama kuin alkuperäinen, mutta pienemmällä osoittajalla ja nimittäjällä.

Jos jaamme (vähennämme) osoittajan ja nimittäjän niiden GCD:llä, niin tulos on alkuperäisen murtoluvun pelkistymätön muoto.

Fraktion vähentäminen

Kuten tiedät, tavalliset murtoluvut ovat jaollisia supistettava ja vähentymätön.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sekä osoittaja että nimittäjä niiden positiivisella yhteisellä jakajalla, joka ei ole nolla. Murtolukua pienennettäessä saadaan uusi murto-osa pienemmällä osoittajalla ja nimittäjällä, joka murto-osan pääominaisuuden mukaan on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Esimerkki 3

Pienennä murtolukua $\frac(15)(25)$.

Ratkaisu.

Pienennä murtolukua $5$:lla (jaa sen osoittaja ja nimittäjä $5$:lla):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Vastaus: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Pelkistymättömän murto-osan saaminen

Useimmiten murto-osa pienennetään, jotta saadaan pelkistymätön jae, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen pelkistettävä jae. Tämä tulos voidaan saavuttaa jakamalla sekä alkuperäisen murtoluvun osoittaja että nimittäjä niiden GCD:llä.

$\frac(a\div gcd (a,b))(b\div gcd (a,b))$ on redusoitumaton murtoluku, koska GCD:n ominaisuuksien mukaan tietyn murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat koalkilukuja.

GCD(a,b) on suurin luku, jolla murto-osan $\frac(a)(b)$ osoittaja ja nimittäjä voidaan jakaa. Näin ollen murto-osan pelkistämiseksi redusoitumattomaan muotoon on tarpeen jakaa sen osoittaja ja nimittäjä niiden gcd:llä.

Huomautus 2

Murtolukuvähennyssääntö: 1. Etsi GCD kahdelle luvulle, jotka ovat murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä. 2. Suorita murtoluvun osoittajan ja nimittäjän jako löydetyllä GCD:llä.

Esimerkki 4

Pienennä murto-osa $6/36$ redusoitumattomaan muotoon.

Ratkaisu.

Vähennetään tätä murtolukua GCD$(6,36)=6$:lla, koska 36 $\div 6 = 6 $. Saamme:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Vastaus: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

Käytännössä ilmaus "vähennä murto-osa" tarkoittaa, että sinun on vähennettävä murto-osa pelkistymättömään muotoon.

Tavallisia murtolukuja tutkiessamme törmäämme murtoluvun pääominaisuuden käsitteisiin. Yksinkertaistettu muoto on välttämätön esimerkkien ratkaisemiseksi tavallisilla murtoluvuilla. Tässä artikkelissa tarkastellaan algebrallisia murtolukuja ja pääominaisuuden soveltamista niihin, jotka muotoillaan esimerkkien avulla sen soveltamisesta.

Muotoilu ja perustelut

Murtoluvun pääominaisuudella on muoto:

Määritelmä 1

Kun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samanaikaisesti samalla luvulla, murto-osan arvo pysyy ennallaan.

Eli saadaan, että a · m b · m = a b ja a: m b: m = a b ovat ekvivalentteja, missä a b = a · m b · m ja a b = a: m b: m katsotaan päteviksi. Arvot a , b , m ovat luonnollisia lukuja.

Osoittajan ja nimittäjän jakaminen luvulla voidaan esittää muodossa a · m b · m = a b . Tämä vastaa esimerkin 8 ratkaisua 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . Jakamisessa käytetään a-muotoista yhtälöä: m b: m \u003d a b, sitten 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. Se voidaan esittää myös muodossa a m b m \u003d a b, eli 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

Toisin sanoen murto-osan a · m b · m = a b ja a b = a · m b · m pääominaisuus tarkastellaan yksityiskohtaisesti toisin kuin a: m b: m = a b ja a b = a: m b: m .

Jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät reaalilukuja, ominaisuus on voimassa. Meidän on ensin todistettava kirjoitetun epäyhtälön pätevyys kaikille luvuille. Todista siis a · m b · m = a b olemassaolo kaikille todellisille a , b , m , joissa b ja m ovat nollasta poikkeavia arvoja, jotta vältetään jakaminen nollalla.

Todiste 1

Olkoon muodon a b murto-osa tietueessa z, toisin sanoen a b = z, silloin on todistettava, että a · m b · m vastaa z:tä, eli todistettava a · m b · m = z. Sitten tämä antaa meille mahdollisuuden todistaa yhtälön a · m b · m = a b olemassaolo.

Murtopalkki tarkoittaa jakomerkkiä. Käyttämällä suhdetta kerto- ja jakolaskulla saadaan, että a b = z:stä muunnoksen jälkeen saadaan a = b · z . Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksien mukaan epäyhtälön molemmat osat tulee kertoa muulla kuin nollalla. Sitten kerrotaan luvulla m, jolloin saadaan, että a · m = (b · z) · m . Ominaisuuden mukaan meillä on oikeus kirjoittaa lauseke muodossa a · m = (b · m) · z . Siten määritelmästä seuraa, että a b = z . Siinä kaikki todisteet lausekkeesta a · m b · m = a b .

Yhtälöillä, jotka ovat muotoa a · m b · m = a b ja a b = a · m b · m, on järkeä, kun a , b , m sijasta on polynomeja ja b:n ja m:n sijasta ne ovat nollia poikkeavia.

Algebrallisen murtoluvun pääominaisuus: kun kerromme samanaikaisesti osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla, saadaan identtisesti yhtä suuri kuin alkuperäinen lauseke.

Ominaisuutta pidetään oikeudenmukaisena, koska operaatiot polynomeilla vastaavat operaatioita numeroilla.

Esimerkki 1

Tarkastellaan esimerkkiä murtoluvusta 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . On mahdollista muuntaa muotoon 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).

Kertominen polynomilla x 2 + 2 · x · y suoritettiin. Samalla tavalla pääominaisuus auttaa pääsemään eroon ehdon antamassa muodon 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) murto-osassa olevasta x 2:sta muotoon 5 x + 5 x 3 + 3. Tätä kutsutaan yksinkertaistamiseksi.

Pääominaisuus voidaan kirjoittaa lausekkeina a · m b · m = a b ja a b = a · m b · m , kun a , b , m ovat polynomeja tai tavallisia muuttujia ja b ja m ovat nollasta poikkeavia.

Algebrallisen murtoluvun pääominaisuuden soveltamisala

Pääominaisuudella on merkitystä pelkistettäessä uuteen nimittäjään tai pienennettäessä murto-osaa.

Määritelmä 2

Pelkistys yhteiseen nimittäjään on osoittajan ja nimittäjän kertominen samanlaisella polynomilla uuden saamiseksi. Tuloksena oleva murto-osa on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Toisin sanoen murto-osa muotoa x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1, kun kerrotaan x 2 + 1:llä ja vähennetään yhteiseen nimittäjään (x + 1) (x 2 + 1), saadaan muoto x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Suoritettuaan operaatioita polynomeilla saadaan, että algebrallinen murtoluku muunnetaan x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1:ksi.

Vähentäminen yhteiseen nimittäjään suoritetaan myös murtolukuja lisättäessä tai vähennettäessä. Jos annetaan murtokertoimia, on ensin tehtävä yksinkertaistus, joka yksinkertaistaa muotoa ja yhteisen nimittäjän löytämistä. Esimerkiksi 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Ominaisuuden käyttö murtolukuja pienennettäessä suoritetaan kahdessa vaiheessa: jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöiksi yhteisen m löytämiseksi, sitten siirrytään murtoluvun a b muotoon muodon a · m b · yhtäläisyyden perusteella. m = a b.

Jos murto-osa muodosta 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 hajotuksen jälkeen muunnetaan x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y:ksi, on selvää, että kertoimen yleinen on polynomi 4 · x 2 - y . Sitten on mahdollista pienentää fraktiota sen pääominaisuuden mukaan. Me ymmärrämme sen

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Murtoluku yksinkertaistetaan, jolloin arvoja korvattaessa on suoritettava paljon vähemmän toimintoja kuin korvattaessa alkuperäiseen.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Koulun opetussuunnitelman algebrakurssilta siirrytään yksityiskohtiin. Tässä artikkelissa tutkimme yksityiskohtaisesti erityistä rationaalista lauseketta − rationaaliset murtoluvut, ja myös analysoida, mikä ominaisuus on identtinen rationaalisten murtolukujen muunnoksia tapahtua.

Huomaamme heti, että rationaalisia murtolukuja siinä merkityksessä, jossa määrittelemme ne alla, kutsutaan joissakin algebraoppikirjoissa algebrallisiksi murtoluvuiksi. Eli tässä artikkelissa ymmärrämme saman asian rationaalisten ja algebrallisten murtolukujen alla.

Kuten tavallista, aloitamme määritelmällä ja esimerkeillä. Seuraavaksi puhutaan rationaalisen murtoluvun tuomisesta uuteen nimittäjään ja murtoluvun jäsenten etumerkkien muuttamisesta. Sen jälkeen analysoimme kuinka fraktioiden pelkistys suoritetaan. Lopuksi tarkastellaan rationaalisen murtoluvun esittämistä useiden murtolukujen summana. Kaikki tiedot toimitetaan esimerkeillä ja yksityiskohtaisilla ratkaisukuvauksilla.

Sivulla navigointi.

Rationaalisten murtolukujen määritelmä ja esimerkkejä

Rationaalisia murtolukuja opiskellaan algebran tunneilla 8. luokalla. Käytämme rationaalisen murtoluvun määritelmää, joka on annettu Yu. N. Makarychevin ja muiden luokille 8 tarkoitetussa algebraoppikirjassa.

Tämä määritelmä ei määrittele, pitääkö rationaalisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä olevien polynomien olla vakiomuotoisia polynomeja vai ei. Siksi oletetaan, että rationaaliset murtoluvut voivat sisältää sekä vakio- että epästandardeja polynomeja.

Tässä on muutamia esimerkkejä rationaalisista murtoluvuista. Joten , x/8 ja - rationaaliset murtoluvut. Ja murtoluvut eivätkä sovi rationaalisen murtoluvun äänekkääseen määritelmään, koska niistä ensimmäisessä osoittaja ei ole polynomi, ja toisessa sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät lausekkeita, jotka eivät ole polynomeja.

Muunnetaan rationaalisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä

Minkä tahansa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat itseriittäviä matemaattisia lausekkeita, rationaalisten murtolukujen tapauksessa ne ovat polynomeja, tietyssä tapauksessa monomeja ja lukuja. Siksi rationaalisen murtoluvun osoittajalla ja nimittäjällä, kuten millä tahansa lausekkeella, voidaan suorittaa identtisiä muunnoksia. Toisin sanoen rationaalisen murtoluvun osoittajassa oleva lauseke voidaan korvata lausekkeella, joka on identtinen sen kanssa, aivan kuten nimittäjä.

Rationaalisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä voidaan suorittaa identtisiä muunnoksia. Esimerkiksi osoittajassa voit ryhmitellä ja pienentää samankaltaisia ​​termejä, ja nimittäjässä usean luvun tulo voidaan korvata sen arvolla. Ja koska rationaalisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja, on niillä mahdollista tehdä polynomeille ominaisia ​​muunnoksia, esimerkiksi pelkistys standardimuotoon tai esitys tulona.

Selvyyden vuoksi harkitse useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Muunna rationaalinen murtoluku niin, että osoittaja on vakiomuotoinen polynomi ja nimittäjä polynomien tulo.

Ratkaisu.

Rationaalisten murtolukujen pelkistämistä uuteen nimittäjään käytetään pääasiassa rationaalisia murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä.

Merkkien muuttaminen murtoluvun edessä sekä sen osoittajassa ja nimittäjässä

Murtoluvun perusominaisuudella voidaan muuttaa murto-osan termien etumerkkejä. Itse asiassa rationaalisen murtoluvun osoittajan ja nimittäjän kertominen -1:llä merkitsee niiden etumerkkien vaihtamista, ja tuloksena on murtoluku, joka on identtisesti sama kuin annettu. Tällaista muunnosa on käytettävä melko usein rationaalisten murtolukujen kanssa työskennellessä.

Näin ollen, jos muutat samanaikaisesti murto-osan osoittajan ja nimittäjän etumerkkejä, saat murto-osan, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen. Tämä väite vastaa tasa-arvoa.

Otetaan esimerkki. Rationaalinen murtoluku voidaan korvata identtisellä yhtä suurella murtoluvulla, jossa on käänteiset muodon osoittajan ja nimittäjän etumerkit.

Murtoluvuilla voidaan suorittaa vielä yksi identtinen muunnos, jossa etumerkkiä muutetaan joko osoittajassa tai nimittäjässä. Käydään läpi sopiva sääntö. Jos vaihdat murto-osan etumerkin osoittajan tai nimittäjän etumerkillä, saat murto-osan, joka on identtinen alkuperäisen kanssa. Kirjallinen lausunto vastaa yhtäläisyyksiä ja .

Näitä yhtäläisyyksiä ei ole vaikea todistaa. Todistus perustuu lukujen kertolaskujen ominaisuuksiin. Todistetaan ensimmäinen niistä: . Samankaltaisten muunnosten avulla myös tasa-arvo todistetaan.

Esimerkiksi murto-osa voidaan korvata lausekkeella tai .

Tämän alaosan päätteeksi esittelemme kaksi hyödyllistä yhtäläisyyttä ja . Eli jos muutat vain osoittajan tai vain nimittäjän etumerkkiä, murto-osa muuttaa etumerkkiään. Esimerkiksi, ja .

Tarkasteltuja muunnoksia, jotka mahdollistavat murto-osan ehtojen etumerkin muuttamisen, käytetään usein muunnettaessa murto-rationaalisia lausekkeita.

Rationaalisten murtolukujen vähentäminen

Seuraava rationaalisten murtolukujen muunnos, jota kutsutaan rationaalisten murtolukujen pelkistykseksi, perustuu samaan murto-osan perusominaisuuteen. Tämä muunnos vastaa yhtälöä , jossa a , b ja c ovat joitain polynomeja ja b ja c ovat nollasta poikkeavia.

Yllä olevasta yhtälöstä käy selväksi, että rationaalisen murtoluvun vähentäminen merkitsee sen osoittajassa ja nimittäjässä olevan yhteisen tekijän poistamista.

Esimerkki.

Pienennä rationaalista murtolukua.

Ratkaisu.

Yhteinen tekijä 2 näkyy heti, pienennetään sitä (kirjoitettaessa on kätevää yliviivata yhteiset tekijät, joilla vähennys tehdään). Meillä on . Koska x 2 \u003d x x ja y 7 \u003d y 3 y 4 (katso tarvittaessa), on selvää, että x on tuloksena olevan murtoluvun osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä, kuten y 3 . Vähennetään näillä tekijöillä: . Tämä suorittaa vähennyksen loppuun.

Yllä suoritimme rationaalisen murto-osan pelkistyksen peräkkäin. Ja oli mahdollista suorittaa pelkistys yhdessä vaiheessa, vähentäen fraktiota välittömästi 2 x x y 3:lla. Tässä tapauksessa ratkaisu näyttäisi tältä: .

Vastaus:

.

Rationaalisia murtolukuja pienennettäessä suurin ongelma on, että osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä ei aina näy. Lisäksi sitä ei aina ole olemassa. Jotta voit löytää yhteisen tekijän tai varmistaa, että sitä ei ole olemassa, sinun on kerrottava rationaalisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä. Jos yhteistä tekijää ei ole, alkuperäistä rationaalista murto-osaa ei tarvitse pienentää, muuten vähennys suoritetaan.

Järkevien jakeiden vähentämisprosessissa voi ilmaantua erilaisia ​​vivahteita. Tärkeimmät hienoudet esimerkkien ja yksityiskohtien kanssa käsitellään artikkelissa algebrallisten murtolukujen vähentäminen.

Keskustelun päätteeksi rationaalisten murtolukujen vähentämisestä huomaamme, että tämä muunnos on identtinen, ja suurin vaikeus sen toteuttamisessa on polynomien tekijöihin jakaminen osoittajassa ja nimittäjässä.

Rationaalisen murtoluvun esitys murtolukujen summana

Melko spesifinen, mutta joissain tapauksissa erittäin hyödyllinen on rationaalisen murtoluvun muunnos, joka koostuu sen esittämisestä useiden murtolukujen summana tai kokonaislukulausekkeen ja murtoluvun summana.

Rationaalinen murtoluku, jonka osoittajassa on polynomi, joka on useiden monomien summa, voidaan aina kirjoittaa samoilla nimittäjillä olevien murto-osien summaksi, joiden osoittajissa ovat vastaavat monomit. Esimerkiksi, . Tämä esitys selittyy samoilla nimittäjillä olevien algebrallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyssäännöllä.

Yleisesti ottaen mikä tahansa rationaalinen murtoluku voidaan esittää murto-osien summana monin eri tavoin. Esimerkiksi murto-osa a/b voidaan esittää kahden murto-osan summana - mielivaltaisen murto-osan c/d ja murto-osan, joka on yhtä suuri kuin murto-osien a/b ja c/d välinen ero. Tämä väite on totta, koska tasa-arvo . Esimerkiksi rationaalinen murto-osa voidaan esittää murtolukujen summana eri tavoilla: Esitämme alkuperäisen murtoluvun kokonaislukulausekkeen ja murtoluvun summana. Kun osoittaja on jaettu sarakkeella nimittäjällä, saadaan yhtälö . Lausekkeen n 3 +4 arvo mille tahansa kokonaisluvulle n on kokonaisluku. Ja murto-osan arvo on kokonaisluku silloin ja vain, jos sen nimittäjä on 1, −1, 3 tai −3. Nämä arvot vastaavat arvoja n=3, n=1, n=5 ja n=−1.

Vastaus:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 13. painos, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Matematiikasta puhuttaessa ei voi muuta kuin muistaa murtoluvut. Heidän opiskeluunsa kiinnitetään paljon huomiota ja aikaa. Muista, kuinka monta esimerkkiä sinun piti ratkaista oppiaksesi tietyt säännöt murtolukujen kanssa työskentelemisestä, kuinka muistit ja käytit murtoluvun pääominaisuutta. Kuinka monta hermoa käytettiin yhteisen nimittäjän löytämiseen, varsinkin jos esimerkeissä oli enemmän kuin kaksi termiä!

Muistetaan, mikä se on, ja virkistetään muistiamme hieman murtolukujen kanssa työskentelyn perustiedoista ja säännöistä.

Murtolukujen määritelmä

Aloitetaan tärkeimmästä asiasta - määritelmistä. Murtoluku on luku, joka koostuu yhdestä tai useammasta yksikköosasta. Murtoluku kirjoitetaan kahdeksi numeroksi, jotka on erotettu vaakaviivalla tai kauttaviivalla. Tässä tapauksessa ylempää (tai ensimmäistä) kutsutaan osoittajaksi ja alempaa (toista) nimittäjäksi.

On syytä huomata, että nimittäjä näyttää kuinka moneen osaan yksikkö on jaettu, ja osoittaja osoittaa osuuksien tai otettujen osien määrän. Usein murtoluvut, jos ne ovat oikeita, ovat pienempiä kuin yksi.

Katsotaanpa nyt näiden numeroiden ominaisuuksia ja perussääntöjä, joita käytetään niiden kanssa työskennellessä. Mutta ennen kuin analysoimme sellaista käsitettä kuin "rationaalisen murto-osan pääominaisuus", puhutaan murtotyypeistä ja niiden ominaisuuksista.

Mitä ovat murtoluvut

Tällaisia ​​numeroita on useita. Ensinnäkin nämä ovat tavallisia ja desimaalilukuja. Ensimmäiset ovat tietuetyyppi, jonka olemme jo osoittaneet vaaka- tai vinoviivalla. Toisen tyyppiset murtoluvut ilmaistaan ​​ns. paikkamerkinnällä, kun luvun kokonaislukuosa ilmoitetaan ensin ja sitten desimaalipilkun jälkeen murto-osa.

Tässä on syytä huomata, että matematiikassa käytetään yhtä paljon desimaali- ja tavallisia murtolukuja. Murtoluvun pääominaisuus pätee vain toiselle vaihtoehdolle. Lisäksi tavallisissa murtoluvuissa erotetaan oikeat ja väärät luvut. Edelliselle osoittaja on aina pienempi kuin nimittäjä. Huomaa myös, että tällainen murto-osa on pienempi kuin yksikkö. Päinvastoin väärässä murtoluvussa osoittaja on suurempi kuin nimittäjä ja se itse on suurempi kuin yksi. Tässä tapauksessa siitä voidaan poimia kokonaisluku. Tässä artikkelissa tarkastelemme vain tavallisia murtolukuja.

Fraktion ominaisuudet

Kaikilla ilmiöillä, kemiallisilla, fysikaalisilla tai matemaattisilla, on omat ominaisuutensa ja ominaisuutensa. Murtoluvut eivät ole poikkeus. Niissä on yksi tärkeä ominaisuus, jonka avulla niille voidaan suorittaa tiettyjä toimintoja. Mikä on murto-osan pääominaisuus? Sääntö sanoo, että jos sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla rationaaliluvulla, saadaan uusi murtoluku, jonka arvo on yhtä suuri kuin alkuperäinen arvo. Toisin sanoen kertomalla murtoluvun 3/6 kaksi osaa kahdella, saadaan uusi murtoluku 6/12, kun taas ne ovat yhtä suuret.

Tämän ominaisuuden perusteella voit pienentää murtolukuja sekä valita yhteiset nimittäjät tietylle lukuparille.

Toiminnot

Vaikka murtoluvut näyttävät meistä monimutkaisemmilta, ne voivat suorittaa myös matemaattisia perustoimintoja, kuten yhteen- ja vähennyslaskua, kerto- ja jakolaskua. Lisäksi on olemassa sellainen erityinen toimenpide kuin fraktioiden vähentäminen. Luonnollisesti jokainen näistä toimista suoritetaan tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Näiden lakien tunteminen helpottaa murtolukujen käsittelyä, mikä tekee siitä helpompaa ja mielenkiintoisempaa. Siksi harkitsemme edelleen perussääntöjä ja toimintojen algoritmia työskennellessämme tällaisten numeroiden kanssa.

Mutta ennen kuin puhumme sellaisista matemaattisista operaatioista kuin yhteen- ja vähennyslasku, analysoimme sellaista operaatiota kuin pelkistys yhteiseen nimittäjään. Tässä on avuksi tieto siitä, mikä murto-osan perusominaisuus on olemassa.

Yhteinen nimittäjä

Jos haluat pienentää luvun yhteiseksi nimittäjäksi, sinun on ensin löydettävä kahdesta nimittäjästä pienin yhteinen kerrannainen. Eli pienin luku, joka on samanaikaisesti jaollinen molemmilla nimittäjillä ilman jäännöstä. Helpoin tapa löytää LCM (pienin yhteinen kerrannainen) on kirjoittaa riville yksi nimittäjä ja sitten toinen nimittäjä ja etsiä niistä vastaava luku. Jos LCM:ää ei löydy, eli näillä luvuilla ei ole yhteistä kerrannaista, ne tulee kertoa ja tuloksena olevaa arvoa pitää pitää LCM:nä.

Joten, olemme löytäneet LCM:n, nyt meidän on löydettävä lisäkerroin. Tätä varten sinun on jaettava LCM vuorotellen murtolukujen nimittäjiin ja kirjoitettava tuloksena oleva luku jokaisen päälle. Kerro seuraavaksi osoittaja ja nimittäjä saadulla lisäkertoimella ja kirjoita tulokset uutena murtolukuna. Jos epäilet, että saamasi numero on sama kuin edellinen, muista murto-osan pääominaisuus.

Lisäys

Siirrytään nyt suoraan murtolukujen matemaattisiin operaatioihin. Aloitetaan yksinkertaisimmasta. Murtolukujen lisäämiseen on useita vaihtoehtoja. Ensimmäisessä tapauksessa molemmilla luvuilla on sama nimittäjä. Tässä tapauksessa on vain laskettava osoittajat yhteen. Mutta nimittäjä ei muutu. Esimerkiksi 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jos murtoluvuilla on eri nimittäjät, ne tulee vähentää yhteiseksi ja vasta sitten tehdä yhteenlasku. Kuinka tämä tehdään, olemme keskustelleet kanssasi hieman korkeammalla. Tässä tilanteessa murto-osan pääominaisuus on hyödyllinen. Säännön avulla voit tuoda numerot yhteiseen nimittäjään. Arvo ei muutu millään tavalla.

Vaihtoehtoisesti voi tapahtua, että fraktio sekoittuu. Sitten sinun tulee ensin laskea yhteen kokonaiset osat ja sitten murto-osat.

Kertominen

Se ei vaadi temppuja, ja tämän toiminnon suorittamiseksi ei ole välttämätöntä tietää murtoluvun perusominaisuutta. Riittää, kun ensin kerrotaan osoittajat ja nimittäjät yhteen. Tässä tapauksessa osoittajien tulosta tulee uusi osoittaja ja nimittäjien tulosta uusi nimittäjä. Kuten näette, ei mitään monimutkaista.

Ainoa asia, jota sinulta vaaditaan, on kertotaulun tuntemus sekä tarkkaavaisuus. Lisäksi tuloksen saatuasi sinun tulee ehdottomasti tarkistaa, voidaanko tätä määrää vähentää vai ei. Puhumme murto-osien vähentämisestä hieman myöhemmin.

Vähennyslasku

Suorituksessa tulee noudattaa samoja sääntöjä kuin lisätessä. Joten luvuissa, joilla on sama nimittäjä, riittää, että vähennetään aliosan osoittaja minuutin osoittajasta. Jos murtoluvuilla on eri nimittäjät, sinun tulee yhdistää ne yhteiseksi ja suorittaa sitten tämä toiminto. Kuten analogisessa summaustapauksessa, sinun on käytettävä algebrallisen murtoluvun perusominaisuutta sekä taitoja LCM:n ja murtolukujen yhteisten tekijöiden löytämisessä.

Division

Ja viimeinen, mielenkiintoisin operaatio tällaisten numeroiden kanssa työskennellessä on jako. Se on melko yksinkertainen eikä aiheuta erityisiä vaikeuksia edes niille, jotka eivät ymmärrä kuinka työskennellä murtolukujen kanssa, erityisesti suorittamaan yhteen- ja vähennystoimintoja. Jakamisessa tällainen sääntö pätee kertolaskuna käänteismurtoluvulla. Murtoluvun pääominaisuutta, kuten kertolaskua, ei käytetä tässä operaatiossa. Katsotaanpa tarkemmin.

Lukuja jaettaessa osinko pysyy ennallaan. Jakaja käännetään, eli osoittaja ja nimittäjä käännetään. Sen jälkeen luvut kerrotaan keskenään.

Vähentäminen

Joten olemme jo tutkineet murtolukujen määritelmää ja rakennetta, niiden tyyppejä, annettujen lukujen operaatiosääntöjä ja selvittäneet algebrallisen murtoluvun pääominaisuuden. Puhutaan nyt sellaisesta operaatiosta kuin vähentäminen. Murtoluvun pienentäminen on prosessi sen muuntamiseksi - osoittajan ja nimittäjän jakaminen samalla luvulla. Näin ollen fraktio pienenee muuttamatta sen ominaisuuksia.

Yleensä matemaattista operaatiota suoritettaessa on tarkasteltava huolellisesti lopulta saatua tulosta ja selvitettävä, voidaanko tuloksena olevaa murto-osaa pienentää vai ei. Muista, että lopputulos kirjoitetaan aina murtolukuna, jota ei tarvitse pienentää.

Muut toiminnot

Lopuksi huomautamme, että olemme listanneet kaukana kaikista murtolukujen operaatioista, mainitsemalla vain tunnetuimmat ja tarpeellisimmat. Murtolukuja voidaan myös verrata, muuntaa desimaalilukuiksi ja päinvastoin. Mutta tässä artikkelissa emme käsitelleet näitä operaatioita, koska matematiikassa ne suoritetaan paljon harvemmin kuin ne, jotka olemme antaneet edellä.

johtopäätöksiä

Puhuimme murtoluvuista ja operaatioista niiden kanssa. Analysoimme myös pääominaisuuden, mutta huomaamme, että kaikki nämä asiat pohdittiin ohimennen. Olemme antaneet vain tunnetuimmat ja käytetyimmät säännöt, olemme antaneet mielestämme tärkeimmät neuvot.

Tämän artikkelin tarkoituksena on päivittää murtoluvuista unohtamasi tiedot sen sijaan, että annettaisiin uutta tietoa ja "vasaroitaisiin" päätäsi loputtomilla säännöillä ja kaavoilla, joista ei todennäköisesti ole sinulle hyötyä.

Toivomme, että artikkelissa esitetystä materiaalista yksinkertaisesti ja ytimekkäästi on tullut sinulle hyötyä.