Suhteet ja mittasuhteet. Ongelmien ratkaiseminen suhteellisella tasolla

Aseta suhde. Tässä artikkelissa haluan puhua sinulle mittasuhteista. Ymmärtää, mikä osuus on, pystyä muodostamaan se - tämä on erittäin tärkeää, se todella säästää. Se näyttää olevan pieni ja merkityksetön "kirjain" matematiikan suuressa aakkostossa, mutta ilman sitä matematiikka on tuomittu ontuvaksi ja ala-arvoiseksi.Aluksi haluan muistuttaa, mikä osuus on. Tämä on muodon yhtäläisyys:

joka on sama (tämä on erilainen merkintätapa).

Esimerkki:

Sanotaan, että yksi on kahdelle, kun neljä on kahdeksalle. Eli tämä on kahden suhteen yhtäläisyys (tässä esimerkissä suhteet ovat numeerisia).

Suhteen perussääntö:

a:b=c:d

äärimmäisten termien tulo on yhtä suuri kuin keskiarvon tulo

tuo on

a∙d=b∙c

*Jos jokin osuuden arvo on tuntematon, se löytyy aina.

Jos tarkastelemme lomakkeen tietueen muotoa:

niin voit käyttää seuraavaa sääntöä, jota kutsutaan "ristin säännöksi": vinottain seisovien elementtien (lukujen tai lausekkeiden) tulojen yhtäläisyys kirjoitetaan

a∙d=b∙c

Kuten näet, tulos on sama.

Jos osuuden kolme elementtiä tunnetaan, niinvoimme aina löytää neljännen.

Tämä on hyödyn ja välttämättömyyden ydinmittasuhteet ongelmanratkaisussa.

Katsotaanpa kaikkia vaihtoehtoja, joissa tuntematon arvo x on "missä tahansa suhteessa" missä a, b, c ovat lukuja:

Diagonaalilla oleva arvo x:stä kirjoitetaan murtoluvun nimittäjään ja diagonaalissa olevat tunnetut arvot kirjoitetaan osoittajaan tulona. Sitä ei tarvitse muistaa, lasket kaiken oikein, jos olet oppinut suhteellisuuden perussäännön.

Nyt tärkein kysymys liittyy artikkelin otsikkoon. Milloin osuus säästää ja missä sitä käytetään? Esimerkiksi:

1. Ensinnäkin nämä ovat kiinnostavia tehtäviä. Käsittelimme niitä artikkeleissa "" ja "".

2. Monet kaavat on annettu suhteina:

> sinilause

> kolmion elementtien suhde

> tangenttilause

> Thalesin lause ja muut.

3. Geometrian ongelmissa ehto asettaa usein sivujen (muiden elementtien) tai alueiden suhteen, esimerkiksi 1:2, 2:3 ja muut.

4. Mittayksiköiden muunnokset ja suhdelukua käytetään sekä yhden mittayksikön yksiköiden muuntamiseen että mittayksiköiden muuntamiseen toiseen:

tunneista minuutteihin (ja päinvastoin).

tilavuusyksiköt, pinta-ala.

— pituudet, kuten maileista kilometreihin (ja päinvastoin).

astetta radiaaneihin (ja päinvastoin).

tässä ilman osuuden kokoamista on välttämätöntä.

Tärkeintä on, että sinun on määritettävä kirjeenvaihto oikein, harkitse yksinkertaisia esimerkkejä:

On tarpeen määrittää luku, joka on 35% 700:sta.

Prosentteihin liittyvissä ongelmissa arvo, johon vertaamme, on 100%. Merkitään tuntematon luku x:llä. Otetaan yhteen:

Voimme sanoa, että seitsemänsataa kolmekymmentäviisi vastaa 100 prosenttia.

X vastaa 35 prosenttia. tarkoittaa,

700 – 100%

x - 35 %

Me päätämme

Vastaus: 245

Muunna 50 minuuttia tunteiksi.

Tiedämme, että yksi tunti vastaa 60 minuuttia. Merkitään kirjeenvaihto -x tuntia on 50 minuuttia. Keinot

1 – 60

x - 50

Me päätämme:

Eli 50 minuuttia on viisi kuudesosaa tunnista.

Vastaus: 5/6

Nikolai Petrovich ajoi 3 kilometriä. Kuinka paljon se on maileina (huomaa, että 1 maili on 1,6 km)?

Tiedämme, että 1 mailia on 1,6 kilometriä. Otetaan Nikolai Petrovitšin matkustamien mailien lukumäärä x:llä. Voimme sopia:

Yksi mailia vastaa 1,6 kilometriä.

X mailia on kolme kilometriä.

1 – 1,6

x - 3

Vastaus: 1875 mailia

Tiedät, että on olemassa kaavoja, joilla asteet muunnetaan radiaaneiksi (ja päinvastoin). En kirjoita niitä muistiin, koska mielestäni on tarpeetonta muistaa niitä, ja siksi sinun on säilytettävä paljon tietoa muistissa. Voit aina muuntaa asteet radiaaneiksi (ja päinvastoin), jos käytät suhdetta.

Muunna 65 astetta radiaaneiksi.

Tärkeintä on muistaa, että 180 astetta on Pi-radiaaneja.

Merkitään haluttu arvo x:llä. Aseta ottelu.

Satakahdeksankymmentä astetta vastaa Pi-radiaaneja.

Kuusikymmentäviisi astetta vastaa x radiaania. tutkia artikkelia tästä blogin aiheesta. Materiaali on esitetty hieman eri tavalla, mutta periaate on sama. Lopetan tähän. Siellä on varmasti jotain mielenkiintoisempaa, älä missaa sitä!

Jos muistamme matematiikan määritelmän, se sisältää seuraavat sanat: matematiikka tutkii kvantitatiivisia SUHTEET (RELATIONSHIPS)- avainsana tässä). Kuten näet, matematiikan määritelmä sisältää osuuden. Yleisesti ottaen matematiikka ilman suhteellisuutta ei ole matematiikkaa!!!

Kaikki parhaat!

Ystävällisin terveisin Alexander

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Osat: Matematiikka

Oppitunnin tyyppi: Opiskelutunti ja uuden tiedon ensisijainen lujittaminen.

Oppituntilomake: Oppitunti-tutkimus.

Oppitunnin tavoitteet:

aktivoida opiskelijoiden kognitiivista toimintaa;
tutustuttaa opiskelijat käsitteisiin: osuus, osuuden jäsenet; oikeat ja väärät mittasuhteet;
perehdyttää opiskelijat suhteellisuuden perusominaisuuteen ja muodostaa oikean mittasuhteen määrittelytaidon.

Laitteet:

Reittilomakkeet osoittavat pisteet, jotka voidaan saada tehtävien ratkaisemisesta. Pisteitä tehdessään opiskelija ottaa huomioon päätöksensä oikeellisuuden, päätöksenteon nopeuden (itsetarkastus ja keskinäinen tarkistus esityksen avulla). "Lisäpisteet" -rivillä pisteitä annetaan lisäkysymyksiin vastaamisesta, opettajan avustamisesta muiden opiskelijoiden kokeiden järjestämisessä sekä oppitunnin aiheen "arvaamisesta".

Kortit leikataan ja jaetaan kirjekuorissa opiskelijoille (yksi kirjekuori per pöytä).

3. Magneettilevyn kortit (kuva 1, kuva 2, kuva 3)

Oppitunnin aikana nämä kortit kiinnitetään magneettitaululle.

4. Palapelit (Kuva 4, Kuva 5, Kuva 6, Kuva 7).

Lukion opiskelijoiden kokoamat rebussit (paitsi "Ohjaus" -rebus - tämä rebussi on otettu opettaja Kozak Tatyana Ivanovnan FPI:ssä pitämästä oppitunnista, lukio nro 20 Progress, Amurin alue) sijaitsevat taululla, opiskelijat ovat pyydetään ratkaisemaan ne oppitunnin jälkeen.

Oppitunnin teknisenä välineenä on tietokone, projektori esityksen esittelyyn, näyttö. Tietokoneesitys Microsoft PowerPointissa (Liite 4).

I. Oppitunnin alun organisointi

Hei! Tarkista, että sinulla on monisteita pöydälläsi, että sinulla on punainen ja sininen lyijykynä ja että olet valmis oppitunnille.

II. Oppitunnin viestien aiheet, tavoitteet ja tavoitteet.

Tänään tunnilla jatkamme suuren osan matematiikan kurssista opiskelua. Olemme lopettaneet aiheen tutkimisen (mitä? - "Asenne"). Nyt alamme tutkia uutta aihetta tässä osiossa. Muutama esimerkki auttaa meitä ymmärtämään oppitunnin aiheen. Reittilomakkeesi otsikkosivulla sinun tulee täyttää taulukko ratkaisemalla esimerkit suullisesti, niin tiedät tämän päivän oppitunnin aiheen. DIA 1

Eli tämän päivän oppitunnin aihe Suhde. DIA 2

Kun tiedät oppitunnin aiheen, yritä tehdä tuntisuunnitelma. Mitä sinun pitäisi oppia tunnilla tänään? Mitä haluat tietää? Mitä haluat oppia tunnilla?

Teemme suunnitelman, jota täydennämme oppitunnin aikana. (oppilaat nimeävät suunnitelman kaksi ensimmäistä ja kaksi viimeistä kohtaa, loput täytetään oppitunnin aikana, kun uutta tietoa "löydetään"; tuntisuunnitelma kirjoitetaan taululle)

- toisto (asenteeseen liittyvät kysymykset)

Suhteen määritelmä

SUHTEENJÄSENET

OIKEAT JA VÄÄRÄT MITTASUHTEET

SUHTEEN TÄRKEIMMÄT OMINAISUUDET

Sovellus matematiikassa

Sovellus elämässä

Pystymme analysoimaan kaksi viimeistä kohtaa seuraavilla oppitunneilla, kun tutkimme aihetta.

III. Opiskelijoiden tiedon päivittäminen. Valmistautuminen aktiiviseen koulutus- ja kognitiiviseen toimintaan oppitunnin päävaiheessa.

Keskustele luokkatoverinsa kanssa aiheeseen "Asenne" liittyvistä kysymyksistä.

Kuka on valmis esittämään viimeiseen aiheeseen liittyviä kysymyksiä? (lumimyrsky) MP1

- Mikä on asenne?

Kuinka voit kirjoittaa suhteen?

Mihin kysymyksiin asenne vastaa?

Kuinka voit kirjoittaa kahden luvun suhteen?

Mikä voi korvata do-merkin?

Miksi luulet, että toistimme nämä käsitteet?

He auttavat meitä oppimaan uutta aihetta.

Ota kirjekuoret ja luo suhde a kohtaan b ja c kohtaan d kaksi tapaa. (vain 4 suhdetta) TYÖSTÄ PARISSA.

MP2 Sinulla on useita suhteita edessäsi. Selvitä näiden ilmaisujen merkitys. DIA 3

Millä perusteella ryhmittelitte nämä suhteet?

- Heidän arvonsa ovat samat.

Tuloksena olevia yhtäläisyyksiä kutsutaan suhteiksi.

Ajattele ja määrittele suhteet.

VINKKI - osuus on ... NÄYTÖLLÄ ( tasa-arvo)

Tasa-arvo … MITÄ ( suhteet)

Kuinka monta suhdetta? ( kaksi).

Kuka on varma mielipiteestään, kirjoita määritelmä reittilomakkeeseen. MP3

Kuka on valmis menemään taululle ja määrittelemään suhteellisuuden? (Liite 3)

MÄÄRITELMÄ (magneettilevyllä): Suhde on kahden suhteen yhtäläisyys.

Katsotaanpa sanan osuuden tulkintaa venäjän kielen sanakirjassa Ozhegov S.I. DIA 4: "Suhdesuhde on tietty osien suhde toisiinsa, suhteellisuus. Matematiikassa kahden suhteen yhtäläisyys.

Olet muotoillut suhteellisuuden määritelmän sekä venäjän kielen sanakirjassa!

Ajattele minkä matemaattisen termin kanssa sana "suhde" on sopusoinnussa? ( kiinnostuksen kohde). Miten termi "prosentti" käännetään? ( sadasta alkaen). Joten "pro" on käännetty "alkaen". Mikä osa sanasta on jäljellä? (" osa”). Mistä törmäsit tähän sanaan? (kokkaamisessa) Mitä se tarkoittaa? ( koko)

Sana suhteellinen tulee latinan sanasta proportio - suhteellisuus. (etymologinen sanakirja). DIA 4

Käytä suhteellista määritelmää, kirjoita suhteet jakomerkillä ja murtoluvulla. (TYÖTÄ pareittain, kirjekuoret).

Reittisivuille kirjoita suhteet kirjaimilla a, b, c, d. MP4

Ja nyt saamme selville, miksi osuuden muodostavia lukuja kutsutaan.

Numerot a, b, c, d kutsutaan osuuden jäseniksi

Mikä on osuuden ensimmäinen ja viimeinen termi? ( a ja c)

Ja mitä yleensä (elämässä) kutsutaan ensimmäiseksi ja viimeiseksi? (äärimmäinen)

Joten termejä a ja b kutsutaan ...? (äärimmäinen)

Missä ovat termit c ja d? (Keskellä)

Ja mitkä ovat jäsenten c ja d nimet? ( keskikokoinen)

Mitkä jäsenet on korostettu punaisella? ( kohtaan aikaisin)

väri- (Kanssa harvinainen) jäsenet.

keskimmäisiä jäseniä

Palataan tuntisuunnitelmaan – onko sinulla jotain lisättävää? (osuuden ääri- ja keskijäsenet)

V. Ensisijainen tiedon lujittaminen

MP5 Täytä taulukko:

Mitä johtopäätöstä voidaan vetää? Kirjaa tulos matkasuunnitelmaan. ( Suhteellisesti ääritermien tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo)DIA 8

MP6 Tässä on viisi yhtäläisyyttä. Ovatko ne kaikki mittasuhteita?

Korosta mittasuhteita.

= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2

DIA 7 Nouse ylös, kuka lopetti.

Ovatko kaikki varmoja, että tässä on kolme mittasuhdetta? Todellakin, viimeisessä yhtälössä äärimmäisten termien tulo ei ole yhtä suuri kuin keskimmäisten termien tulo. Palataan suhteen määritelmään ( Suhde - kahden suhteen yhtäläisyys). Onko kolmas yhtäläisyys näiden kahden suhteen tasa-arvo? (On). Onko se määritelmän mukaan suhde? (Joo). Onko ääritermin tulos yhtä suuri kuin keskitermien tulo? (Ei). Se on siis suhde...? (väärä). Tätä suhdetta kutsutaan virheelliseksi. Joten mittasuhteet ovat väärät ja ...? (uskollinen). Muotoile osuuden pääominaisuus saatujen tietojen avulla. (Oikeassa suhteessa äärimmäisten termien tulo on yhtä suuri kuin keskimmäisten termien tulo).

VI. Tiedon konsolidointi.

Täytä taulukko.

Oikea mittasuhde Väärä mittasuhde

= = 20: 4

Kuinka muuten voit määrittää oikean tai väärän osuuden? (löydä suhteen arvo)

Tulevaisuudessa puhumme oikeista mittasuhteista.

Palataan oppituntisuunnitelmaan. Mitä voidaan lisätä? (oikeat ja väärät mittasuhteet)

MP7 Merkitse oikeat ja väärät mittasuhteet kirjaimilla B ja H.

= 1: 0,5 = 4,8: 2,4
7,5: 5 = 2: 3 =
10: 3 = 3 : 1 5:x = 20:4x

VII. Yleistäminen ja systematisointi.

MP8 Muodosta suhteellisuuden perusominaisuuden avulla oikea suhde seuraavista luvuista: 4, 5, 12, 15. Kuinka monta oikeaa mittasuhdetta voit tehdä?

VIII. Tiedon hallinta ja itsetestaus

MP9 matemaattinen sanelu

Kirjoita suhde: Luku 18 liittyy 4:ään, kun 27 liittyy 6:een.
Kirjoita suhde: suhde kolme: viisi on yhtä suuri kuin suhde kahdesta seitsemään.
Kirjoita osuuden keskimääräiset ehdot: 1,5: 2 \u003d 4,5: 6
Kirjoita muistiin osuuden äärijäsenet: 2/1,9 = 3/2,8
Onko 3 kohdan suhde oikea?
Onko kohdan 4 suhde oikea?
Onko väite totta: Yhtälön juuri on 20/5 \u003d x / 0,5 numero 2
Onko seuraava väite totta: Mitä tahansa neljää luonnollista lukua voidaan käyttää osuuden muodostamiseen?

DIA 10. Vertaisarviointi

IX. Yhteenveto oppitunnista.

Katso tuntisuunnitelma.

Mitä opit tänään tunnilla? (mikä on osuus, mistä osuus koostuu, mittasuhteet ovat tosia ja vääriä, osuuden pääominaisuus, ...)

Mitä opit tänään tunnilla? (määritä osuuden ääri- ja keskijäsen, selvitä onko suhde oikea vai väärä, ...)

Mitä muita kysymyksiä voi kysyä oppitunnin lopussa?

-Kuinka monta oikeaa mittasuhdetta voidaan tehdä tästä oikeasta suhteesta?

Mistä tiedät, onko suhde oikea vai väärä?

Muistakaamme matemaattisen sanelun viimeinen tehtävä.

Mitä tahansa neljää luonnollista lukua voidaan käyttää osuuden muodostamiseen. Oikea vastaus on KYLLÄ. Suhteen voi tehdä, mutta se ei välttämättä pidä paikkaansa.

lauseesta " Mitä tahansa neljää luonnollista lukua voidaan käyttää osuuden muodostamiseen. Poista yksi sana, jotta tämä väite on virheellinen. (luonnollinen). Miksi? (Luku 0 ei voi olla osuuden jäsen). Mitä tahansa neljää numeroa voidaan käyttää osuuden muodostamiseen

Tässä lauseessa Mitä tahansa neljää luonnollista lukua voidaan käyttää osuuden muodostamiseen. lisää yksi sana tehdäksesi väitteestä virheellisen (totta). Mistä tahansa neljästä luonnollisesta luvusta voit tehdä oikean suhdeluvun.

Laske oppitunnilla ansaitsemiesi pisteiden määrä ja anna arvosana.

X. Tietoja kotitehtävistä ja ohjeet sen tekemiseen

Matematiikka - 6, Vilenkin N.Ya. et al., 6. painos

P.21, nro 760, 781, 782, 783 (a)

Näitä kahta suhdetta kutsutaan suhteessa.

10:5 = 6:3 tai

Suhde a : b = c : d tai lue näin: relaatio a kohtaan b on yhtä suuri kuin suhde c kohtaan d, tai a viittaa b, Miten c viittaa d .

Osuuden jäsenet: äärimmäinen ja keskimääräinen

Suhteen muodostavien suhteiden jäseniä kutsutaan osuuden jäseniä. Numerot a ja d nimeltään äärimmäisiä jäseniä mittasuhteet ja numerot b ja c - keskimmäisiä jäseniä mittasuhteet:

Nämä nimet ovat ehdollisia, koska riittää, että kirjoitat suhteet käänteisessä järjestyksessä (järjestä suhteet):

c : d = a : b tai

ja äärimmäisistä termeistä tulee keskimmäisiä ja keskimmäisistä äärimmäisiä.

Suhteellisuuden tärkein ominaisuus

Suhteen ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo.

Esimerkki: Katsotaanpa suhdetta. Jos käytämme tasa-arvon toista ominaisuutta ja kerromme sen molemmat osat tulolla bd(saadaksemme yhtälön molemmat osat murtomuodosta kokonaislukuun), saamme:

Pienennämme murtolukuja ja saamme:

ilmoitus = cb

Osuuden pääominaisuudesta seuraa:

Suhteen tuntemattoman termin löytäminen

Suhdeominaisuuksien avulla voit löytää minkä tahansa osuuden ehdoista, jos se on tuntematon. Harkitse suhdetta:

x : 8 = 6: 3

Tässä loppukausi on tuntematon. Koska ääripää on yhtä suuri kuin keskiarvojen tulo jaettuna toisella ääripäällä, niin