Ominaisuudet

Yhtälöstä lähtien x 2 + y 2 = z 2 homogeenista kerrottuna x , y ja z samalle numerolle saat toisen Pythagoraan kolminkertaisen. Pythagoraan kolmikkoa kutsutaan primitiivinen, jos sitä ei voida saada tällä tavalla, eli - suhteellisen alkulukuja.

Esimerkkejä

Jotkut Pythagoraan kolmiot (lajiteltu nousevaan järjestykseen enimmäismäärän mukaan, primitiiviset on korostettu):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Fibonacci-lukujen ominaisuuksien perusteella voit tehdä niistä esimerkiksi sellaisia ​​Pythagoraan kolmoiskappaleita:

.

Tarina

Pythagoraan kolmiot ovat olleet tiedossa hyvin pitkään. Muinaisten Mesopotamian hautakivien arkkitehtuurista löytyy tasakylkinen kolmio, joka koostuu kahdesta suorakaiteen muotoisesta kolmiosta, joiden sivut ovat 9, 12 ja 15 kyynärää. Farao Snefrun (XXVII vuosisata eKr.) pyramidit rakennettiin kolmioista, joiden sivut olivat 20, 21 ja 29 sekä 18, 24 ja 30 kymmeniä Egyptin kyynärää.

Katso myös

Linkit

• E. A. Gorin Pythagoraan kolminkertaisten alkulukujen potenssit // Matemaattinen koulutus. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "pytagoralaiset numerot" ovat muissa sanakirjoissa:

Luonnollisten lukujen kolmoiskappaleet siten, että kolmio, jonka sivujen pituudet ovat verrannollisia (tai yhtä suuria) näihin lukuihin, on suorakulmainen, esim. kolmoisnumerot: 3, 4, 5… Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Luonnollisten lukujen kolmoiskappaleet siten, että kolmio, jonka sivujen pituudet ovat verrannollisia (tai yhtä suuria) näihin lukuihin, on suorakaiteen muotoinen, esimerkiksi lukujen kolmoisosa: 3, 4, 5. * * * PYTHAGORAN LUKUJA PYTHAGORAN LUKUJA, luonnollisten lukujen kolmiot, kuten että ...... tietosanakirja

Luonnollisten lukujen kolmiot siten, että kolmio, jonka sivujen pituus on verrannollinen (tai yhtä suuri) näihin lukuihin, on suorakulmainen kolmio. Lauseen mukaan Pythagoraan lauseen käänteinen (katso Pythagoraan lause), tähän riittää, että he ... ...

Positiivisten kokonaislukujen x, y, z kolmiot, jotka täyttävät yhtälön x2+y 2=z2. Kaikki tämän yhtälön ratkaisut ja siten kaikki P. p. ilmaistaan ​​kaavoilla x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, missä a, b ovat mielivaltaisia ​​positiivisia kokonaislukuja (a>b). P. h... Matemaattinen tietosanakirja

Luonnollisten lukujen kolmoiskappaleet siten, että kolmio, jonka sivujen pituudet ovat verrannollisia (tai yhtä suuria) näihin lukuihin, on esimerkiksi suorakaiteen muotoinen. kolmoisnumerot: 3, 4, 5… Luonnontiede. tietosanakirja

Matematiikassa Pythagoraan luvut (Pythagoraan kolmoisluku) on kolmen kokonaisluvun monikko, jotka täyttävät Pythagoraan suhteen: x2 + y2 = z2. Sisältö 1 Ominaisuudet 2 Esimerkit ... Wikipedia

Kiharat numerot ovat tiettyyn geometriseen kuvioon liittyvien numeroiden yleisnimi. Tämä historiallinen käsite juontaa juurensa pythagoralaisiin. Oletettavasti ilmaisu "neliö tai kuutio" syntyi kiharaisista numeroista. Sisältö ... ... Wikipedia

Kiharat numerot ovat tiettyyn geometriseen kuvioon liittyvien numeroiden yleisnimi. Tämä historiallinen käsite juontaa juurensa pythagoralaisiin. On olemassa seuraavan tyyppisiä kiharalukuja: Lineaariset luvut ovat lukuja, jotka eivät hajoa tekijöiksi, eli niiden ... ... Wikipedia

- "Pi-paradoksi" on vitsi matematiikan aiheesta, joka oli liikkeellä opiskelijoiden keskuudessa 80-luvulle asti (itse asiassa ennen mikrolaskinten massajakaumaa) ja joka liittyi trigonometristen funktioiden laskennan rajoitettuun tarkkuuteen ja ... ... Wikipedia

- (Kreikan aritmetiikka, sanasta aritmys numero) tiede luvuista, ensisijaisesti luonnollisista (positiivisista kokonaislukuista) ja (rationaalisista) murtoluvuista ja niiden operaatioista. Riittävän kehittyneen luonnollisen luvun käsite ja kyky ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Kirjat

• Archimedean kesä eli nuorten matemaatikoiden yhteisön historia. Binäärilukujärjestelmä, Bobrov Sergei Pavlovich. Binäärilukujärjestelmä, "Hanoin torni", ritarin liike, maagiset neliöt, aritmeettinen kolmio, kiharat luvut, yhdistelmät, todennäköisyyksien käsite, Möbius-nauha ja Klein-pullo.…

Tärkeä esimerkki diofantiiniyhtälöstä on Pythagoran lause, joka yhdistää suorakulmaisen kolmion jalkojen pituudet x ja y sen hypotenuusan pituuteen z:

Tietenkin olet törmännyt yhteen tämän yhtälön upeista ratkaisuista luonnollisissa luvuissa, nimittäin Pythagoraan lukujen kolminkertaisen x = 3, y = 4, z = 5. Onko muita kolmosia?

Osoittautuu, että Pythagoraan kolmoiskappaleita on äärettömän paljon, ja ne kaikki löydettiin kauan sitten. Ne voidaan saada tunnetuilla kaavoilla, joista opit tästä kappaleesta.

Jos ensimmäisen ja toisen asteen diofantiiniyhtälöt on jo ratkaistu, niin kysymys korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemisesta on edelleen avoin johtavien matemaatikoiden ponnisteluista huolimatta. Tällä hetkellä esimerkiksi Fermatin kuuluisa olettamus, että mille tahansa kokonaislukuarvolle n2 yhtälö

ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.

Tietyntyyppisten diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseksi ns kompleksiluvut. Mikä se on? Olkoon kirjain i jotakin objektia, joka täyttää ehdon i 2 \u003d -1(on selvää, että mikään reaaliluku ei täytä tätä ehtoa). Harkitse muodon ilmauksia α+iβ, missä α ja β ovat reaalilukuja. Tällaisia ​​lausekkeita kutsutaan kompleksiluvuiksi, kun ne ovat määrittäneet yhteen- ja kertolaskuoperaatiot niille sekä binomeille, mutta sillä ainoalla erolla, että lauseke minä 2 kaikkialla korvaamme numeron -1:

7.1. Monet kolmesta

Todista, että jos x0, y0, z0- Pythagoraan kolminkertainen, sitten kolminkertainen y 0, x 0, z 0 ja x 0 k, y 0 k, z 0 k mikä tahansa luonnollisen parametrin k arvo on myös Pythagoraan.

7.2. Yksityiset kaavat

Tarkista, onko siinä luonnonarvoja m>n muodon kolminaisuus

on pythagoralainen. Onko se jokin Pythagoraan kolmoiskappale x, y, z voidaan esittää tässä muodossa, jos sallit numeroiden x ja y järjestyksen uudelleen kolmiossa?

7.3. Pelkistymättömät kolmoset

Pythagoraan lukujen kolmoisosaa, jolla ei ole yhteistä jakajaa, joka on suurempi kuin 1, kutsutaan redusoitumattomaksi. Todista, että Pythagoraan kolmoisluku on redusoitumaton vain, jos mitkä tahansa kaksi kolmion luvuista ovat koprime.

7.4 Pelkistymättömien kolmosten ominaisuus

Osoita, että missä tahansa redusoitumattomassa Pythagoraan kolmiossa x, y, z luku z ja täsmälleen yksi luvuista x tai y ovat parittomia.

7.5 Kaikki redusoitumattomat kolminkertaiset

Todista, että lukujen x, y, z kolmois on pelkistymätön Pythagoraan kolmoiskappale silloin ja vain, jos se osuu yhteen kolmoisluvun kanssa kahden ensimmäisen luvun järjestyksessä 2 min, m 2 - n 2, m 2 + n 2, missä m>n- eri pariteetin omaavat luonnolliset luonnolliset luvut.

7.6 Yleiset kaavat

Todista, että kaikki yhtälön ratkaisut

luonnollisissa luvuissa annetaan kaavoilla tuntemattomien x ja y järjestykseen asti

missä m>n ja k ovat luonnollisia parametreja (jotta vältytään mahdollisten kolmioiden päällekkäisyydestä, riittää, että valitaan koprime-tyyppiset ja lisäksi eri pariteetin luvut).

7.7. Ensimmäiset 10 kolmoset

Etsi kaikki Pythagoraan kolmiot x, y, z ehdon tyydyttävä x

7.8 Pythagoraan kolmosten ominaisuudet

Todista se mille tahansa Pythagoraan kolmiolle x, y, z väitteet pitävät paikkansa:

a) vähintään yksi luvuista x tai y on luvun 3 kerrannainen;

b) vähintään yksi luvuista x tai y on luvun 4 kerrannainen;

c) vähintään yksi luvuista x, y tai z on luvun 5 kerrannainen.

7.9. Kompleksilukujen soveltaminen

Kompleksiluvun moduuli α + iβ kutsutaan ei-negatiiviseksi numeroksi

Tarkista, onko siinä kompleksilukuja α + iβ ja γ + iδ omaisuus toteutetaan

Osoita kompleksilukujen ja niiden moduulien ominaisuuksien avulla, että mitkä tahansa kaksi kokonaislukua m ja n täyttävät yhtälön

eli ne antavat ratkaisun yhtälölle

kokonaislukuja (vrt. tehtävä 7.5).

7.10. Ei-pytagoralaiset kolminkertaiset

Käytä kompleksilukujen ja niiden moduulien ominaisuuksia (katso Tehtävä 7.9), etsi kaavat yhtälön mille tahansa kokonaislukuratkaisulle:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Ratkaisut

7.1. Jos x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, sitten y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, ja mille tahansa k:n luonnolliselle arvolle, joka meillä on

Q.E.D.

7.2. Tasa-arvosta

päättelemme, että tehtävässä esitetty kolmoiskappale täyttää yhtälön x 2 + y 2 = z 2 luonnollisissa luvuissa. Kuitenkin, ei jokainen Pythagoraan kolminkertainen x, y, z voidaan esittää tässä muodossa; Esimerkiksi kolmoisluku 9, 12, 15 on Pythagoraan, mutta lukua 15 ei voida esittää kahden luonnollisen luvun m ja n neliöiden summana.

7.3. Jos mitkä tahansa kaksi numeroa Pythagoraan kolmiosasta x, y, z joilla on yhteinen jakaja d, niin se on myös kolmannen luvun jakaja (eli tapauksessa x = x 1 d, y = y 1 d meillä on z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, jolloin z 2 on jaollinen luvulla d 2 ja z on jaollinen luvulla d). Siksi, jotta Pythagoraan kolmoisluku olisi redusoitumaton, on välttämätöntä, että mitkä tahansa kaksi kolmion luvuista ovat koprime,

7.4. Huomaa, että yksi luvuista x tai y, esimerkiksi x, pelkistymättömästä Pythagoraan kolmoiskappaleesta x, y, z on pariton, koska muuten luvut x ja y eivät olisi koprimeja (katso tehtävä 7.3). Jos toinen luku y on myös pariton, niin molemmat luvut

anna jäännös 1:llä jaettuna 4:llä ja luku z 2 \u003d x 2 + y 2 antaa jäännöksen 2:sta jaettuna 4:llä, eli se on jaollinen 2:lla, mutta ei jaollinen 4:llä, mikä ei voi olla. Siten luvun y on oltava parillinen ja luvun z on siis oltava pariton.

7.5. Anna Pythagoraan kolminkertaistua x, y, z on redusoitumaton ja tarkkuuden vuoksi luku x on parillinen, kun taas luvut y, z ovat parittomia (katso Tehtävä 7.4). Sitten

missä on numerot ovat kokonaisia. Osoitetaan, että luvut a ja b ovat koprime. Itse asiassa, jos niillä olisi yhteinen jakaja, joka on suurempi kuin 1, niin numeroilla olisi sama jakaja z = a + b, y = a - b, eli kolmoisosa ei olisi redusoitumaton (katso Tehtävä 7.3). Nyt kun luvut a ja b laajennetaan alkutekijöiden tuloiksi, huomaamme, että mikä tahansa alkutekijä on sisällytettävä tuloon 4ab = x2 vain parillisessa määrin, ja jos se sisältyy luvun a laajennukseen, niin se ei sisälly luvun b laajennukseen ja päinvastoin. Siksi mikä tahansa alkutekijä sisältyy luvun a tai b laajennukseen erikseen vain parillisessa määrin, mikä tarkoittaa, että nämä luvut ovat itse kokonaislukujen neliöitä. Laitetaan sitten saadaan tasa-arvo

lisäksi luonnolliset parametrit m>n ovat koprimeja (johtuen lukujen a ja b koprimeisuudesta) ja niillä on erilainen pariteetti (parittoman luvun vuoksi z \u003d m 2 + n 2).

Olkoon nyt eri pariteetin luonnolliset luvut m>n koprime. Sitten troikka x \u003d 2 min, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2 Tehtävän 7.2 mukaan on Pythagoraan. Osoittakaamme, että se on redusoitumaton. Tätä varten riittää, että tarkistetaan, että luvuilla y ja z ei ole yhteisiä jakajia (katso Tehtävä 7.3). Itse asiassa molemmat luvut ovat parittomia, koska tyyppiluvuilla on eri pariteetit. Jos luvuilla y ja z on jokin yksinkertainen yhteinen jakaja (sen on oltava pariton), niin jokaisella luvulla ja ja niiden kanssa jokaisella luvulla m ja n on sama jakaja, mikä on ristiriidassa niiden keskinäisen yksinkertaisuuden kanssa.

7.6. Tehtävissä 7.1 ja 7.2 esitettyjen väitteiden perusteella nämä kaavat määrittelevät vain Pythagoraan kolmiot. Toisaalta mikä tahansa Pythagoraan kolminkertainen x, y, z kun se on pelkistetty suurimmalla yhteisellä jakajalla k, lukupari x ja y muuttuu redusoitumattomaksi (katso Tehtävä 7.3) ja sen vuoksi se voidaan esittää lukujen x ja y järjestykseen saakka tehtävässä 7.5 kuvatussa muodossa. Siksi mikä tahansa Pythagoraan kolmoisosa annetaan ilmoitetuilla kaavoilla joillekin parametrien arvoille.

7.7. Epätasa-arvosta z ja tehtävän 7.6 kaavat, saadaan estimaatti m 2 eli m≤5. Olettaen m = 2, n = 1 ja k = 1, 2, 3, 4, 5, saamme kolmoset 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Olettaen m = 3, n = 2 ja k = 1, 2, saamme kolmoset 5, 12, 13; 10, 24, 26. Olettaen m = 4, n = 1, 3 ja k = 1, saamme kolmoset 8, 15, 17; 7, 24, 25. Lopuksi olettaen m = 5, n = 2 ja k = 1, saamme kolme 20, 21, 29.

Belotelov V.A. Pythagoraan kolmoset ja niiden lukumäärä // Nesterovien tietosanakirja

Tämä artikkeli on vastaus yhdelle professorille - pincherille. Katsokaa, professori, kuinka he tekevät sen kylässämme.

Nižni Novgorodin alue, Zavolzhye.

Edellyttää diofantiiniyhtälöiden (ADDE) ratkaisualgoritmin tuntemusta ja polynomikulkujen tuntemusta.

IF on alkuluku.

MF on yhdistelmäluku.

Olkoon pariton luku N. Jollekin muulle parittomalle luvulle kuin ykköselle voit kirjoittaa yhtälön.

p 2 + N \u003d q 2,

missä р + q = N, q – р = 1.

Esimerkiksi numeroille 21 ja 23 yhtälöt olisivat -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jos N on alkuluku, tämä yhtälö on ainutlaatuinen. Jos luku N on yhdistelmä, on mahdollista muodostaa samanlaisia ​​yhtälöitä tätä lukua edustavien tekijäparien lukumäärälle, mukaan lukien 1 x N.

Otetaan luku N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Unelmoin, mutta onko tästä IF:n ja MF:n välisestä erosta kiinni pitäen mahdollista löytää menetelmä niiden tunnistamiseen.

Otetaan käyttöön merkintä;

Muutetaan alempi yhtälö, -

N \u003d kohdassa 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Ryhmitetään N:n arvot kriteerin mukaan -a, ts. tehdään pöytä.

Numerot N summattiin matriisiin, -

Tätä tehtävää varten minun piti käsitellä polynomien ja niiden matriisien progressioita. Kaikki osoittautui turhaksi - PCh-puolustukset pidetään voimakkaasti. Syötetään sarake taulukkoon 1, jossa - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Taas kerran. Taulukko 2 saatiin IF:n ja MF:n tunnistamisongelman ratkaisemisen tuloksena. Taulukosta seuraa, että mille tahansa luvulle N on yhtä monta muotoa a 2 + N \u003d in 2, kuinka moneen tekijäpariin luku N voidaan jakaa, mukaan lukien tekijä 1 x N. Lisäksi numeroihin N \u003d ℓ 2, missä

ℓ - FC. Kun N = ℓ 2 , jossa ℓ on IF, on olemassa ainutlaatuinen yhtälö p 2 + N = q 2 . Mistä lisätodistuksesta voidaan puhua, jos taulukossa luetellaan pienemmät tekijät N muodostavista tekijäpareista yhdestä ∞:oon. Sijoitamme pöydän 2 arkkuon ja piilotamme arkun kaappiin.

Palataanpa artikkelin otsikossa mainittuun aiheeseen.

Tämä artikkeli on vastaus yhdelle professorille - pincherille.

Pyysin apua - tarvitsin numerosarjan, jota en löytänyt Internetistä. Törmäsin kysymyksiin, kuten "mitä varten?", "Mutta näytä minulle menetelmä." Erityisesti heräsi kysymys siitä, onko Pythagoraan kolminoiden sarja ääretön, "miten todistaa se?". Hän ei auttanut minua. Katsokaa, professori, kuinka he tekevät sen kylässämme.

Otetaan kaava Pythagoraan kolminoista, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (yksi)

Ajetaan ARDU:n läpi.

Kolme tilannetta on mahdollista:

I. x on pariton luku,

y on parillinen luku

z on parillinen luku.

Ja on ehto x > y > z.

II. x on pariton luku

y on parillinen luku

z on pariton luku.

x > z > y.

III.x - parillinen luku,

y on pariton luku

z on pariton luku.

x > y > z.

Aloitetaan I:stä.

Otetaan käyttöön uusia muuttujia

Korvaa yhtälö (1).

Kumotaan pienemmällä muuttujalla 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2.

Pienennetään muuttujaa 2β – 2γ pienemmällä ottamalla samanaikaisesti käyttöön uusi parametri ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Sitten 2α - 2β = x - y - 1.

Yhtälö (2) saa muotoa -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Tehdään neliö -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU antaa parametrien kautta yhtälön vanhempien termien välisen suhteen, joten saimme yhtälön (3).

Ei ole vakaata käsitellä ratkaisujen valintaa. Mutta ensinnäkin ei ole minnekään mennä, ja toiseksi näitä ratkaisuja tarvitaan useita, ja voimme palauttaa äärettömän määrän ratkaisuja.

Kun ƒ = 1, k = 1, meillä on x – y = 1.

Kun ƒ = 12, k = 16, meillä on x - y = 9.

Kun ƒ = 4, k = 32, meillä on x - y = 25.

Voit poimia sitä pitkään, mutta lopulta sarja saa muodon -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Harkitse vaihtoehtoa II.

Otetaan uudet muuttujat yhtälöön (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Vähennämme pienemmällä muuttujalla 2 β, -

(2a - 2p + 2k + 1) 2 = (2a - 2p + 2k+1) 2 + (2k) 2.

Vähennetään pienemmällä muuttujalla 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (neljä)

2α - 2γ = x - z ja korvaa yhtälö (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Kun ƒ = 3, k = 4, meillä on x - z = 2.

Kun ƒ = 8, k = 14, meillä on x - z = 8.

Kun ƒ = 3, k = 24, meillä on x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Piirretään puolisuunnikkaan muotoinen -

Kirjoitetaan kaava.

missä n=1, 2,...∞.

Tapausta III ei kuvata - siihen ei ole ratkaisuja.

Ehdossa II kolmoissarja on seuraava:

Yhtälö (1) esitetään selvyyden vuoksi muodossa x 2 = z 2 + y 2.

Ehdossa I kolminoiden sarja on seuraava:

Yhteensä maalataan 9 kolmospylvästä, kussakin viisi kolmiosaa. Ja jokainen esitetty sarake voidaan kirjoittaa arvoon ∞.

Esimerkkinä tarkastellaan viimeisen sarakkeen kolmoiskappaleita, joissa x - y \u003d 81.

x:n arvoille kirjoitamme puolisuunnikkaan, -

Kirjoitetaan kaava

Arvoille, joita kirjoitamme puolisuunnikkaan, -

Kirjoitetaan kaava

z:n arvoille kirjoitamme puolisuunnikkaan, -

Kirjoitetaan kaava

Missä n = 1 ÷ ∞.

Kuten luvattiin, sarja triplettejä, joiden x - y = 81, lentää kohtaan ∞.

Tapauksille I ja II yritettiin muodostaa matriiseja x:lle, y:lle, z:lle.

Kirjoita x:n viisi viimeistä saraketta ylimmiltä riveiltä ja rakenna puolisuunnikkaan muoto.

Se ei toiminut, ja kuvion tulisi olla neliömäinen. Kaiken tekemiseksi harjakattoiseksi kävi ilmi, että oli tarpeen yhdistää sarakkeet I ja II.

Tapauksessa II suuret y, z vaihdetaan jälleen keskenään.

Yhdestä syystä onnistuimme sulautumaan - kortit sopivat hyvin tähän tehtävään - olimme onnekkaita.

Nyt voit kirjoittaa matriiseja x, y, z.

Otetaan x-arvon viidestä viimeisestä sarakkeesta ylimmiltä riveiltä ja rakennetaan puolisuunnikkaan.

Kaikki on hyvin, voit rakentaa matriiseja, ja aloitetaan matriisilla z:lle.

Juoksen komeroon hakemaan arkkua.

Yhteensä: Yhden lisäksi jokainen numeerisen akselin pariton luku osallistuu Pythagoraan kolminoiden muodostumiseen yhtä suurella määrällä tämän luvun N muodostavia tekijäpareja, mukaan lukien tekijä 1 x N.

Numero N \u003d ℓ 2, missä ℓ - IF, muodostaa yhden Pythagoraan kolminkertaisen, jos ℓ on MF, niin tekijöillä ℓхℓ ei ole kolmoa.

Tehdään matriisit x:lle, y:lle.

Aloitetaan x:n matriisista. Tätä varten vedämme sille koordinaattiruudukon IF:n ja MF:n tunnistamisongelmasta.

Pystysuorien rivien numerointi normalisoidaan lausekkeella

Poistetaan ensimmäinen sarake, koska

Matriisi saa muodon -

Kuvataan pystysuorat rivit, -

Kuvataan kertoimet kohdassa "a", -

Kuvataanpa ilmaisia ​​jäseniä, -

Tehdään yleinen kaava "x":lle, -

Jos teemme samanlaisen työn "ylle", saamme -

Voit lähestyä tätä tulosta toiselta puolelta.

Otetaan yhtälö,

ja 2 + N = 2:ssa.

Muutetaan vähän -

N = 2 - 2.

Tehdään neliö -

N 2 \u003d in 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Lisää yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle suuruus 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Ja lopuksi -

(kohdassa 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pythagoraan kolmiot koostuvat seuraavasti:

Tarkastellaan esimerkkiä numerolla N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Taulukon 2 pystysarakkeet on numeroitu arvoilla in - a, kun taas taulukon 3 pystysarakkeet on numeroitu arvoilla x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Tehdään kolme yhtälöä.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Tekijät 3 ja 39 eivät ole suhteellisen alkulukuja, joten yksi kolmio muodostui kertoimella 9.

Kuvataanpa yllä oleva yleisillä symboleilla kirjoitettuna, -

Tässä työssä kaikki, mukaan lukien esimerkki Pythagoraan kolmoiskappaleiden laskemisesta numerolla

N = 117, sidottu pienempään tekijään -a. Selkeä syrjintä suhteessa + a:n tekijään. Korjataan tämä epäoikeudenmukaisuus - muodostamme kolme yhtälöä, joiden kerroin on + a.

Palataan kysymykseen IF:n ja MF:n tunnistamisesta.

Tähän suuntaan on tehty paljon ja tänään on tullut seuraava ajatus käsistä - ei ole tunnistusyhtälöä, eikä tekijöiden määrittämistä ole.

Oletetaan, että olemme löytäneet suhteen F = a, b (N).

On olemassa kaava

Voit päästä eroon kaavassa F in:sta ja saat n:nnen asteen homogeenisen yhtälön suhteessa a:seen, ts. F = a(N).

Tämän yhtälön mille tahansa asteen n kohdalla on luku N, jossa on m tekijäparia, kun m > n.

Ja sen seurauksena n-asteen homogeenisella yhtälöllä täytyy olla m juurta.

Kyllä, näin ei voi olla.

Tässä artikkelissa lukuja N tarkasteltiin yhtälölle x 2 = y 2 + z 2, kun ne ovat yhtälössä paikassa z. Kun N on x:n tilalla, tämä on toinen tehtävä.

Ystävällisin terveisin Belotelov V.A.

Ominaisuudet

Yhtälöstä lähtien x 2 + y 2 = z 2 homogeenista kerrottuna x , y ja z samalle numerolle saat toisen Pythagoraan kolminkertaisen. Pythagoraan kolmikkoa kutsutaan primitiivinen, jos sitä ei voida saada tällä tavalla, eli - suhteellisen alkulukuja.

Esimerkkejä

Jotkut Pythagoraan kolmiot (lajiteltu nousevaan järjestykseen enimmäismäärän mukaan, primitiiviset on korostettu):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Tarina

Pythagoraan kolmiot ovat olleet tiedossa hyvin pitkään. Muinaisten Mesopotamian hautakivien arkkitehtuurista löytyy tasakylkinen kolmio, joka koostuu kahdesta suorakaiteen muotoisesta kolmiosta, joiden sivut ovat 9, 12 ja 15 kyynärää. Farao Snefrun (XXVII vuosisata eKr.) pyramidit rakennettiin kolmioista, joiden sivut olivat 20, 21 ja 29 sekä 18, 24 ja 30 kymmeniä Egyptin kyynärää.

X koko venäläinen sovelletun ja teollisen matematiikan symposium. Pietari, 19. toukokuuta 2009

Raportti: Algoritmi diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Työssä tarkastellaan diofantiiniyhtälöiden tutkimusmenetelmää ja esitetään tällä menetelmällä ratkaistuja ratkaisuja: - Fermatin suuri lause; - etsi Pythagoraan kolmosia jne. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Linkit

• E. A. Gorin Pythagoraan kolminkertaisten alkulukujen potenssit // Matemaattinen koulutus. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Katso, mitä "Pythagoran kolmoset" ovat muissa sanakirjoissa:

Matematiikassa Pythagoraan luvut (Pythagoraan kolmoisluku) on kolmen kokonaisluvun monikko, jotka täyttävät Pythagoraan suhteen: x2 + y2 = z2. Sisältö 1 Ominaisuudet ... Wikipedia

Luonnollisten lukujen kolmoiskappaleet siten, että kolmio, jonka sivujen pituudet ovat verrannollisia (tai yhtä suuria) näihin lukuihin, on suorakulmainen, esim. kolmoisnumerot: 3, 4, 5… Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Luonnollisten lukujen kolmiot siten, että kolmio, jonka sivujen pituus on verrannollinen (tai yhtä suuri) näihin lukuihin, on suorakulmainen kolmio. Lauseen mukaan Pythagoraan lauseen käänteinen (katso Pythagoraan lause), tähän riittää, että he ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Positiivisten kokonaislukujen x, y, z kolmiot, jotka täyttävät yhtälön x2+y 2=z2. Kaikki tämän yhtälön ratkaisut ja siten kaikki P. p. ilmaistaan ​​kaavoilla x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, missä a, b ovat mielivaltaisia ​​positiivisia kokonaislukuja (a>b). P. h... Matemaattinen tietosanakirja

Luonnollisten lukujen kolmoiskappaleet siten, että kolmio, jonka sivujen pituudet ovat verrannollisia (tai yhtä suuria) näihin lukuihin, on esimerkiksi suorakaiteen muotoinen. kolmoisnumerot: 3, 4, 5… Luonnontiede. tietosanakirja

Luonnollisten lukujen kolmoiskappaleet siten, että kolmio, jonka sivujen pituudet ovat verrannollisia (tai yhtä suuria) näihin lukuihin, on suorakaiteen muotoinen, esimerkiksi lukujen kolmoisosa: 3, 4, 5. * * * PYTHAGORAN LUKUJA PYTHAGORAN LUKUJA, luonnollisten lukujen kolmiot, kuten että ...... tietosanakirja

Matematiikassa Pythagoraan kolmoisluku on kolmen luonnollisen luvun monikko, jotka täyttävät Pythagoraan suhteen: Tässä tapauksessa Pythagoraan kolminkertaisia ​​lukuja kutsutaan Pythagoraan luvuiksi. Sisältö 1 Alkukantainen kolmois... Wikipedia

Pythagoraan lause on yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen. Sisältö 1 ... Wikipedia

Pythagoraan lause on yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen. Sisältö 1 Lausuma 2 Todistuksia ... Wikipedia

Tämä on yhtälö, jossa P on kokonaislukufunktio (esimerkiksi polynomi kokonaislukukertoimilla), ja muuttujat saavat kokonaislukuarvoja. Nimetty antiikin kreikkalaisen matemaatikon Diophantuksen mukaan. Sisältö 1 Esimerkkejä ... Wikipedia

Seuraavaksi tarkastelemme tunnettuja menetelmiä tehokkaiden Pythagoraan kolmioiden generoimiseksi. Pythagoraan oppilaat keksivät ensimmäisinä yksinkertaisen tavan luoda Pythagoraan kolmoiskappaleita kaavalla, jonka osat edustavat Pythagoraan kolmoiskappaletta:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Missä m- pariton, m>2. Todella,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Muinainen kreikkalainen filosofi Platon ehdotti samanlaista kaavaa:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Missä m- mikä tahansa numero. varten m= 2,3,4,5 luodaan seuraavat tripletit:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Kuten näet, nämä kaavat eivät voi antaa kaikkia mahdollisia primitiivisiä kolmioita.

Tarkastellaan seuraavaa polynomia, joka on jaettu polynomien summaksi:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Tästä syystä seuraavat kaavat primitiivisten kolmioiden saamiseksi:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Nämä kaavat generoivat kolmiot, joissa keskimääräinen luku eroaa suurimmasta täsmälleen yhdellä, eli kaikkia mahdollisia kolmioita ei myöskään synny. Tässä ensimmäiset kolmiot ovat: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Jotta voidaan määrittää, kuinka luodaan kaikki primitiiviset kolmiot, on tutkittava niiden ominaisuuksia. Ensinnäkin, jos ( a,b,c) on siis primitiivinen kolmio a ja b, b ja c, a ja c- täytyy olla coprime. Päästää a ja b on jaettu d. Sitten a 2 + b 2 on myös jaollinen d. Vastaavasti, c 2 ja c pitäisi jakaa d. Eli se ei ole primitiivinen kolmio.

Toiseksi numeroiden joukossa a, b toisen on oltava paritettu ja toinen pariton. Todellakin, jos a ja b- pariksi siis Kanssa paritetaan ja luvut voidaan jakaa vähintään kahdella. Jos molemmat ovat parittomia, ne voidaan esittää 2:na k+1 ja 2 l+1, missä k,l- joitain numeroita. Sitten a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1 eli Kanssa 2, samoin kuin a 2 + b 2:n jäännös on 2, kun se jaetaan 4:llä.

Päästää Kanssa- mikä tahansa numero, eli Kanssa = 4k+i (i=0,…,3). Sitten Kanssa 2 = (4k+i) 2:n jäännös on 0 tai 1, eikä sillä voi olla 2:n jäännös. a ja b ei voi purkaa paria a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 ja loput Kanssa 2 x 4 pitäisi olla 1, mikä tarkoittaa sitä Kanssa pitäisi poistaa pariliitosta.

Tällaiset Pythagoraan kolminkertaisen elementin vaatimukset täyttyvät seuraavilla luvuilla:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Missä m ja n ovat coprime eri parien kanssa. Ensimmäistä kertaa nämä riippuvuudet tulivat tunnetuksi 2300 vuotta eläneen Eukleideen teoksista. takaisin.

Todistakaamme riippuvuuksien (2) pätevyys. Päästää a- Tupla sitten b ja c- pariton. Sitten c + b i c − b-parit. Niitä voidaan esittää c + b = 2u ja c − b = 2v, missä u,v ovat joitakin kokonaislukuja. Siksi

a 2 = Kanssa 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Ja siksi ( a/2) 2 = UV.

Se voidaan todistaa ristiriitaisesti u ja v ovat koprime. Päästää u ja v- jaetaan d. Sitten ( c + b) ja ( c − b) on jaettu d. Ja siksi c ja b pitäisi jakaa d, ja tämä on ristiriidassa Pythagoraan kolminkertaisen ehdon kanssa.

Koska UV = (a/2) 2 ja u ja v coprime, se on helppo todistaa u ja v on oltava joidenkin lukujen neliöitä.

On siis olemassa positiivisia kokonaislukuja m ja n, sellaista u = m 2 ja v = n 2. Sitten

a 2 = 4UV = 4m 2 n 2 niin
a = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Koska b> 0 siis m > n.

Se on vielä näytettävä m ja n on erilaisia ​​pareja. Jos m ja n- pariksi siis u ja v on paritettava, mutta tämä on mahdotonta, koska ne ovat koprimeja. Jos m ja n- pariton siis b = m 2 − n 2 ja c = m 2 + n 2 olisi pariksi, mikä on mahdotonta, koska c ja b ovat koprime.

Siten minkä tahansa primitiivisen Pythagoraan kolminkertaisen täytyy täyttää ehdot (2). Samaan aikaan numerot m ja n nimeltään luomalla numeroita primitiiviset kolmoset. Otetaan esimerkiksi primitiivinen Pythagoraan kolmois (120,119,169). Tässä tapauksessa

a= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25 ja c = 144+25=169,

Missä m = 12, n= 5 - muodostavat numerot, 12 > 5; 12 ja 5 ovat koprimeja ja erilaisia ​​pareja.

Voidaan todistaa, että numerot m, n kaavat (2) antavat primitiivisen Pythagoraan kolminkertaisen (a,b,c). Todella,

a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Tuo on ( a,b,c) on Pythagoraan kolmoiskappale. Todistakaamme se samalla a,b,c ovat ristiriidan perusteella koalkulukuja. Olkoon nämä luvut jaettuna s> 1. Alkaen m ja n on sitten erilaisia ​​pareja b ja c- pariton, eli s≠ 2. Alkaen R jakaa b ja c, sitten R pitää jakaa 2 m 2 ja 2 n 2, mikä on mahdotonta, koska s≠ 2. Siksi m, n ovat koprime ja a,b,c ovat myös koprimea.

Taulukko 1 näyttää kaikki primitiiviset Pythagoraan kolmiot, jotka on muodostettu kaavoilla (2) for m≤10.

Taulukko 1. Alkukantaiset Pythagoraan kolmiot for m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Tämän taulukon analyysi osoittaa, että seuraavat kuviosarjat ovat olemassa:

• tai a, tai b jaetaan 3:lla;
• yksi numeroista a,b,c on jaollinen 5:llä;
• määrä a on jaollinen 4:llä;
• työ a· b on jaollinen 12:lla.

Vuonna 1971 amerikkalaiset matemaatikot Teigan ja Hedwin ehdottivat sellaisia ​​vähän tunnettuja suorakulmaisen kolmion parametreja kuin sen korkeus (korkeus) kolmosten muodostamiseksi. h = c− b ja ylijäämä (menestys) e = a + b − c. Kuvassa 1. nämä suuret on esitetty tietyssä suorakulmaisessa kolmiossa.

Kuva 1. Suorakulmainen kolmio ja sen kasvu ja ylitys

Nimi "ylimäärä" on johdettu siitä, että tämä on lisäetäisyys, joka on kuljetettava kolmion jalkoja pitkin yhdestä kärjestä vastakkaiseen, jos et kulje sen diagonaalia pitkin.

Ylimääräisen ja kasvun kautta Pythagoraan kolmion sivut voidaan ilmaista seuraavasti:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Ei kaikki yhdistelmät h ja e voi vastata Pythagoraan kolmioita. Tietylle h mahdollisia arvoja e on jonkin luvun tulo d. Tämä numero d kutsutaan kasvuksi ja viittaa h seuraavalla tavalla: d on pienin positiivinen kokonaisluku, jonka neliö on jaollinen kahdella h. Koska e useita d, niin se kirjoitetaan muodossa e = kd, missä k on positiivinen kokonaisluku.

Parien avulla ( k,h) voit luoda kaikki Pythagoraan kolmiot, mukaan lukien ei-primitiiviset ja yleiset, seuraavasti:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Lisäksi kolmoiskappale on primitiivinen jos k ja h ovat coprime ja jos h =± q 2 klo q- pariton.
Lisäksi se on täsmälleen Pythagoraan kolmoiskappale, jos k> √2 h/d ja h > 0.

Löytää k ja h alkaen ( a,b,c) tee seuraava:

• h = c − b;
• Kirjoita ylös h Miten h = pq 2, missä s> 0 ja sellainen, joka ei ole neliö;
• d = 2pq jos s- pariton ja d = pq, jos p on paritettu;
• k = (a − h)/d.

Esimerkiksi kolminkertaiselle (8,15,17) meillä on h= 17−15 = 2 1, joten s= 2 ja q = 1, d= 2 ja k= (8 − 2)/2 = 3. Joten tämä kolmio annetaan muodossa ( k,h) = (3,2).

Kolmelle (459 1260 1341) meillä on h= 1341 − 1260 = 81, joten s = 1, q= 9 ja d= 18 siis k= (459 − 81)/18 = 21, joten tämän kolmion koodi on ( k,h) = (21, 81).

Kolmosten määrittäminen h ja k on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Parametri k on yhtä suuri

k = 4S/(dP), (5)

Missä S = ab/2 on kolmion pinta-ala ja P = a + b + c on sen ympärysmitta. Tämä seuraa tasa-arvosta eP = 4S, joka tulee Pythagoraan lauseesta.

Suorakulmaiselle kolmiolle e on yhtä suuri kuin kolmioon piirretyn ympyrän halkaisija. Tämä johtuu siitä, että hypotenuusa Kanssa = (a − r)+(b − r) = a + b − 2r, missä r on ympyrän säde. Täältä h = c − b = a − 2r ja e = a − h = 2r.

varten h> 0 ja k > 0, k on kolmosten järjestysluku a-b-c Pythagoraan kolmioiden sekvenssissä kasvaen h. Taulukosta 2, joka näyttää useita pareittain luotujen kolmosten muunnelmia h, k, sen voi nähdä lisääntyessä k kolmion sivut kasvavat. Siten toisin kuin klassinen numerointi, numerointi pareittain h, k on korkeampi kertaluku kolmosjonoissa.

Taulukko 2. Pythagoraan kolmiot pareilla h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

varten h > 0, d tyydyttää epätasa-arvon 2√ h ≤ d ≤ 2h, jossa alaraja saavutetaan kohdassa s= 1, ja ylempi, at q= 1. Siksi arvo d suhteessa 2√ h on mitta kuinka paljon h kaukana jonkin luvun neliöstä.