Luvun b logaritmi kantaan a on eksponentti, johon sinun on nostettava luku a saadaksesi luvun b.

Jos sitten .

Logaritmi on erittäin suuri tärkeä matemaattinen suure, koska logaritminen laskenta mahdollistaa eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisen lisäksi myös eksponentien kanssa operoinnin, eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden erottamisen, integroinnin ja niiden saamisen hyväksyttävämpään muotoon laskettavaksi.

Yhteydessä

Kaikki logaritmien ominaisuudet liittyvät suoraan eksponentiaalisten funktioiden ominaisuuksiin. Esimerkiksi se tosiasia, että tarkoittaa että:

On huomattava, että tiettyjä tehtäviä ratkaistaessa logaritmien ominaisuudet voivat olla tärkeämpiä ja hyödyllisempiä kuin potenssien kanssa työskentelyn säännöt.

Tässä on joitain identiteettejä:

Tässä ovat tärkeimmät algebralliset lausekkeet:

;

.

Huomio! voi olla olemassa vain x>0, x≠1, y>0.

Yritetään ymmärtää kysymys siitä, mitä luonnolliset logaritmit ovat. Erillinen kiinnostus matematiikkaan edustavat kahta tyyppiä- ensimmäisessä on numero "10" tyvessä, ja sitä kutsutaan "desimaalilogaritmiksi". Toista kutsutaan luonnolliseksi. Luonnollisen logaritmin kanta on luku e. Hänestä puhumme yksityiskohtaisesti tässä artikkelissa.

Nimitykset:

• lg x - desimaali;
• ln x - luonnollinen.

Identiteettiä käyttämällä voimme nähdä, että ln e = 1, sekä että lg 10 = 1.

luonnollinen log-graafi

Rakennamme luonnollisen logaritmin kuvaajan tavanomaisella klassisella tavalla pisteiden mukaan. Halutessasi voit tarkistaa, rakennammeko funktion oikein tarkastelemalla toimintoa. On kuitenkin järkevää oppia rakentamaan se "manuaalisesti", jotta tiedetään, kuinka logaritmi lasketaan oikein.

Funktio: y = log x. Kirjoita taulukko pisteistä, joiden läpi kaavio kulkee:

Selvitetään, miksi valitsimme argumentin x arvot. Kyse on identiteetistä: Luonnollisessa logaritmissa tämä identiteetti näyttää tältä:

Mukavuuden vuoksi voimme ottaa viisi viitepistettä:

;

;

.

;

.

Näin ollen luonnollisten logaritmien laskeminen on melko yksinkertainen tehtävä, ja lisäksi se yksinkertaistaa operaatioiden laskemista potenssien kanssa muuttamalla ne normaali kertolasku.

Kun kaavio on rakennettu pisteiden mukaan, saadaan likimääräinen kaavio:

Luonnollisen logaritmin alue (eli kaikki X-argumentin kelvolliset arvot) ovat kaikki luvut suurempia kuin nolla.

Huomio! Luonnollisen logaritmin alue sisältää vain positiiviset luvut! Alue ei sisällä x=0. Tämä on mahdotonta logaritmin olemassaolon ehtojen perusteella.

Arvoalue (eli funktion y = ln x kaikki kelvolliset arvot) on kaikki numerot välillä .

luonnollinen log raja

Graafia tutkiessa herää kysymys - miten funktio käyttäytyy, kun y<0.

Ilmeisesti funktion kuvaajalla on taipumus ylittää y-akseli, mutta se ei voi tehdä tätä, koska x:n luonnollinen logaritmi<0 не существует.

Luonnollinen raja Hirsi voidaan kirjoittaa näin:

Kaava logaritmin kantakohdan muuttamiseen

Luonnollisen logaritmin käsitteleminen on paljon helpompaa kuin sellaisen logaritmin käsittely, jolla on mielivaltainen kanta. Siksi yritämme oppia vähentämään minkä tahansa logaritmin luonnolliseksi tai ilmaisemaan sen mielivaltaisessa kannassa luonnollisten logaritmien avulla.

Aloitetaan logaritmisesta identiteetistä:

Sitten mikä tahansa luku tai muuttuja y voidaan esittää seuraavasti:

missä x on mikä tahansa luku (positiivinen logaritmin ominaisuuksien mukaan).

Tämä lauseke voidaan logaritmisoida molemmilta puolilta. Tehdään tämä mielivaltaisella kantaluvulla z:

Käytetään ominaisuutta (vain sanan "with" sijaan meillä on lauseke):

Täältä saamme yleiskaavan:

.

Erityisesti, jos z=e, niin:

.

Onnistuimme esittämään logaritmin mielivaltaiseen kantaan kahden luonnollisen logaritmin suhteen.

Ratkaisemme ongelmia

Jotta voit navigoida paremmin luonnollisissa logaritmeissa, harkitse esimerkkejä useista ongelmista.

Tehtävä 1. On tarpeen ratkaista yhtälö ln x = 3.

Ratkaisu: Käyttämällä logaritmin määritelmää: jos , niin , saamme:

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Ratkaisu: Käyttämällä logaritmin määritelmää: if , niin , saamme:

.

Jälleen kerran käytämme logaritmin määritelmää:

.

Tällä tavalla:

.

Voit laskea vastauksen likimääräisesti tai jättää sen tähän lomakkeeseen.

Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu: Tehdään substituutio: t = ln x. Sitten yhtälö saa seuraavan muodon:

.

Meillä on toisen asteen yhtälö. Etsitään sen erottaja:

Yhtälön ensimmäinen juuri:

.

Yhtälön toinen juuri:

.

Kun muistamme, että teimme substituution t = ln x, saamme:

Tilastoissa ja todennäköisyysteoriassa logaritmiset suureet ovat hyvin yleisiä. Tämä ei ole yllättävää, koska luku e - kuvastaa usein eksponentiaalisten arvojen kasvunopeutta.

Tietojenkäsittelytieteessä, ohjelmoinnissa ja tietokoneteoriassa logaritmit ovat melko yleisiä esimerkiksi N bitin tallentamiseksi muistiin.

Fraktaalien ja ulottuvuuksien teorioissa käytetään jatkuvasti logaritmeja, koska fraktaalien mitat määritetään vain niiden avulla.

Mekaniikassa ja fysiikassa ei ole osiota, jossa ei olisi käytetty logaritmeja. Barometrinen jakauma, kaikki tilastollisen termodynamiikan periaatteet, Tsiolkovsky-yhtälö ja niin edelleen ovat prosesseja, jotka voidaan kuvata matemaattisesti vain logaritmeilla.

Kemiassa logaritmia käytetään Nernst-yhtälöissä, redox-prosessien kuvauksissa.

Hämmästyttävää kyllä, jopa musiikissa oktaavin osien lukumäärän selvittämiseksi käytetään logaritmeja.

Luonnollinen logaritmi Funktio y=ln x sen ominaisuudet

Todiste luonnollisen logaritmin pääominaisuudesta

perusominaisuudet.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

samoilla perusteilla

log6 4 + log6 9.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Siirtyminen uudelle perustalle

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Katso myös:

Logaritmin perusominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi.

Logaritmien perusominaisuudet

Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 laskemme

2.

3.

4. missä .

Esimerkki 2 Etsi x jos

Esimerkki 3. Annetaan logaritmien arvot

Laske log(x), jos

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ​​ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä.

Logaritmien kaavat. Logaritmit ovat esimerkkejä ratkaisuista.

He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Katso myös:

Luvun b logaritmi kantaan a tarkoittaa lauseketta. Logaritmin laskeminen tarkoittaa sellaisen potenssin x () löytämistä, jolla yhtälö on tosi

Logaritmin perusominaisuudet

Yllä olevat ominaisuudet on tunnettava, koska niiden perusteella lähes kaikki tehtävät ja esimerkit ratkaistaan ​​logaritmien perusteella. Loput eksoottiset ominaisuudet voidaan johtaa matemaattisilla manipuloinneilla näillä kaavoilla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskettaessa kaavoja logaritmien summalle ja erolle (3.4) kohdataan melko usein. Loput ovat melko monimutkaisia, mutta monissa tehtävissä ne ovat välttämättömiä monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseksi ja niiden arvojen laskemiseksi.

Yleisiä logaritmien tapauksia

Jotkut yleisimmistä logaritmeista ovat sellaisia, joissa kanta on jopa kymmenen, eksponentiaalinen tai kakkonen.
Kymmenen kantalogaritmia kutsutaan yleensä kymmenen kantalogaritmiksi ja sitä merkitään yksinkertaisesti lg(x).

Tietueesta näkyy, että perusasiat eivät ole tietueessa kirjoitettuja. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka perusta on eksponentti (merkitty ln(x)).

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi. Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Ja toinen tärkeä kahden peruslogaritmi on

Funktion logaritmin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna muuttujalla

Integraali tai antideriivatiivinen logaritmi määräytyy riippuvuuden mukaan

Yllä oleva materiaali riittää sinulle ratkaisemaan laajan luokan logaritmeihin ja logaritmeihin liittyviä ongelmia. Aineiston omaksumiseksi annan vain muutaman yleisen esimerkin koulun opetussuunnitelmasta ja yliopistoista.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 laskemme

2.
Logaritmien erotusominaisuudella meillä on

3.
Käyttämällä ominaisuuksia 3.5 löydämme

4. missä .

Näennäisesti monimutkainen lauseke, jossa käytetään useita sääntöjä, yksinkertaistetaan muotoon

Logaritmiarvojen löytäminen

Esimerkki 2 Etsi x jos

Ratkaisu. Laskennassa hyödynnetään ominaisuuksia 5 ja 13 viimeiseen termiin asti

Korvaa pöytäkirjassa ja sure

Koska emäkset ovat yhtä suuret, yhtälöimme lausekkeet

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Olkoon logaritmien arvot annettu

Laske log(x), jos

Ratkaisu: Kirjoita muuttujan logaritmi termien summan läpi

Tämä on vasta alkua logaritmiin ja niiden ominaisuuksiin tutustumiselle. Harjoittele laskelmia, rikasta käytännön taitojasi - tarvitset pian hankittua tietoa logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen. Tutkittuamme perusmenetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, laajennamme tietämyksesi toiselle yhtä tärkeälle aiheelle - logaritmisille epäyhtälöille ...

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log6 4 + log6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ​​ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Logaritmien osalla on suuri merkitys koulukurssilla "Matemaattinen analyysi". Logaritmien funktioiden tehtävät perustuvat muihin periaatteisiin kuin epäyhtälöiden ja yhtälöiden tehtävät. Logaritmin ja logaritmisen funktion käsitteiden määritelmien ja perusominaisuuksien tuntemus varmistaa tyypillisten USE-ongelmien onnistuneen ratkaisun.

Ennen kuin alat selittämään, mitä logaritminen funktio on, kannattaa tutustua logaritmin määritelmään.

Katsotaanpa tiettyä esimerkkiä: log a x = x, missä a › 0, a ≠ 1.

Logaritmien tärkeimmät ominaisuudet voidaan luetella useissa kohdissa:

Logaritmi

Logaritmi on matemaattinen operaatio, jonka avulla voidaan käyttää käsitteen ominaisuuksia luvun tai lausekkeen logaritmin löytämiseen.

Esimerkkejä:

Logaritmifunktio ja sen ominaisuudet

Logaritmisella funktiolla on muoto

Välittömästi todetaan, että funktiokaavio voi olla kasvava, kun a › 1 ja laskeva 0 ‹ a ‹ 1. Tästä riippuen funktiokäyrällä on muoto tai toisessa.

Tässä ovat ominaisuudet ja menetelmä logaritmien kuvaajien piirtämiseen:

• f(x):n alue on kaikkien positiivisten lukujen joukko, ts. x voi ottaa minkä tahansa arvon väliltä (0; + ∞);
• ODZ-funktiot - kaikkien reaalilukujen joukko, ts. y voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa luku väliltä (- ∞; +∞);
• jos logaritmin kanta a > 1, niin f(x) kasvaa koko määritelmäalueen yli;
• jos logaritmin kanta on 0 ‹ a ‹ 1, niin F on pienenevä;
• logaritminen funktio ei ole parillinen eikä pariton;
• kuvaajakäyrä kulkee aina koordinaatin (1;0) pisteen läpi.

Molempien kaavioiden rakentaminen on hyvin yksinkertaista, katsotaanpa prosessia esimerkin avulla

Ensin on muistettava yksinkertaisen logaritmin ominaisuudet ja sen toiminta. Heidän avullaan sinun on rakennettava taulukko tietyille x- ja y-arvoille. Sitten koordinaattiakselilla saadut pisteet tulee merkitä ja yhdistää tasaisella viivalla. Tämä käyrä on vaadittu kaavio.

Logaritminen funktio on käänteisfunktio eksponentiaaliselle funktiolle, jonka y= a x antaa. Tämän varmistamiseksi riittää, että piirretään molemmat käyrät samalle koordinaattiakselille.

Ilmeisesti molemmat rivit ovat peilikuvia toisistaan. Muodostamalla suoran y = x, näet symmetria-akselin.

Jotta löydät nopeasti vastauksen ongelmaan, sinun on laskettava pisteiden arvot y = log 2⁡ x ja siirrettävä sitten koordinaattipisteiden origo kolme jakoa alaspäin OY-akselia ja 2 jakoa vasemmalle OX-akselia pitkin.

Todisteeksi rakennamme laskentataulukon graafin y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 pisteille ja vertaamme saatuja arvoja kuvaan.

Kuten näet, taulukon koordinaatit ja kaavion pisteet täsmäävät, joten siirto akseleita pitkin suoritettiin oikein.

Esimerkkejä tyypillisten USE-ongelmien ratkaisemisesta

Suurin osa testitehtävistä voidaan jakaa kahteen osaan: määrittelyalueen löytäminen, funktion tyypin määrittäminen graafisen piirustuksen mukaan, funktion kasvun/vähenemisen määrittäminen.

Tehtävien nopeaa vastausta varten on ymmärrettävä selvästi, että f(x) kasvaa, jos logaritmin eksponentti a > 1, ja pienenee - kun 0 ‹ a ‹ 1. Ei kuitenkaan vain kanta, vaan myös argumentti voi vaikuttaa suuresti funktiokäyrän muotoon.

F(x)-merkitty valintamerkki ovat oikeat vastaukset. Epäilyjä tässä tapauksessa aiheuttavat esimerkit 2 ja 3. Lokin edessä oleva "-"-merkki muuttuu kasvaen pieneneväksi ja päinvastoin.

Siksi graafi y=-log 3⁡ x pienenee koko määritelmäalueen yli ja y= -log (1/3) ⁡x kasvaa huolimatta siitä, että kanta on 0 ‹ a ‹ 1.

Vastaus: 3,4,5.

Vastaus: 4.

Tämän tyyppisiä tehtäviä pidetään helppoina ja niiden arvo on 1-2 pistettä.

Tehtävä 3.

Selvitä, onko funktio pienenevä vai kasvava ja osoita sen määritelmän laajuus.

Y = log 0,7 ⁡(0,1x-5)

Koska logaritmin kanta on pienempi kuin yksi mutta suurempi kuin nolla, x:n funktio pienenee. Logaritmin ominaisuuksien mukaan argumentin on myös oltava suurempi kuin nolla. Ratkaistaan ​​epätasa-arvo:

Vastaus: määritelmän alue D(x) on väli (50; + ∞).

Vastaus: 3, 1, OX-akseli, oikealle.

Tällaiset tehtävät luokitellaan keskimääräisiksi ja niiden arvo on 3-4 pistettä.

Tehtävä 5. Etsi funktion alue:

Logaritmin ominaisuuksista tiedetään, että argumentti voi olla vain positiivinen. Siksi laskemme funktion sallittujen arvojen alueen. Tätä varten on tarpeen ratkaista kahden epätasa-arvon järjestelmä.

Logaritmiset lausekkeet, esimerkkien ratkaisu. Tässä artikkelissa tarkastelemme logaritmien ratkaisemiseen liittyviä ongelmia. Tehtävät herättävät kysymyksen lausekkeen arvon löytämisestä. On huomattava, että logaritmin käsitettä käytetään monissa tehtävissä ja on erittäin tärkeää ymmärtää sen merkitys. USE:n osalta logaritmia käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa, sovellettavissa tehtävissä sekä funktioiden tutkimiseen liittyvissä tehtävissä.

Tässä on esimerkkejä logaritmin merkityksen ymmärtämiseksi:

Logaritmisen perusidentiteetti:

Logaritmien ominaisuudet, jotka sinun tulee aina muistaa:

*Tulosten logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa.

* * *

* Osamäärän (murto-osan) logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien erotus.

* * *

* Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja sen kantaluvun logaritmi.

* * *

*Siirtyminen uuteen tukikohtaan

* * *

Lisää kiinteistöjä:

* * *

Logaritmien laskeminen liittyy läheisesti eksponentin ominaisuuksien käyttöön.

Luettelemme joitain niistä:

Tämän ominaisuuden ydin on, että siirrettäessä osoittaja nimittäjään ja päinvastoin eksponentin etumerkki muuttuu päinvastaiseksi. Esimerkiksi:

Tämän ominaisuuden seuraus:

* * *

Kun potenssi nostetaan potenssiksi, kanta pysyy samana, mutta eksponentit kerrotaan.

* * *

Kuten näet, logaritmin käsite on yksinkertainen. Pääasia, että tarvitaan hyvää käytäntöä, joka antaa tietyn taidon. Toki kaavojen tuntemus on pakollista. Jos alkeislogaritmien muuntamisen taitoa ei muodostu, niin yksinkertaisia ​​tehtäviä ratkaistaessa voidaan helposti tehdä virhe.

Harjoittele, ratkaise ensin matematiikan kurssin yksinkertaisimmat esimerkit ja siirry sitten monimutkaisempiin. Tulevaisuudessa näytän ehdottomasti, kuinka "rumat" logaritmit ratkaistaan, sellaisia ​​​​ei tule kokeessa, mutta ne ovat mielenkiintoisia, älä missaa sitä!

Siinä kaikki! Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (a>0, a ei ole yhtä suuri kuin 1) on luku c siten, että a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Huomaa, että ei-positiivisen luvun logaritmia ei ole määritelty. Lisäksi logaritmin kantaluvun on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos esimerkiksi neliöimme -2, saamme luvun 4, mutta tämä ei tarkoita, että 4:n kanta -2 logaritmi olisi 2.

Peruslogaritminen identiteetti

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman osan määritelmäalueet ovat erilaiset. Vasen puoli on määritelty vain b>0:lle, a>0:lle ja a ≠ 1:lle. Oikea puoli on määritelty mille tahansa b:lle, eikä se riipu a:sta ollenkaan. Siten peruslogaritmisen "identiteetin" käyttäminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa voi johtaa DPV:n muutokseen.

Kaksi ilmeistä logaritmin määritelmän seurausta

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Todellakin, kun nostetaan lukua a ensimmäiseen potenssiin, saamme saman luvun, ja kun nostetaan se nollapotenssiin, saamme yhden.

Tulon logaritmi ja osamäärän logaritmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Haluaisin varoittaa koululaisia ​​näiden kaavojen ajattelemattomasta käytöstä logaritmisen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Kun niitä käytetään "vasemmalta oikealle", ODZ kapenee, ja kun siirrytään logaritmien summasta tai erosta tulon tai osamäärän logaritmiin, ODZ laajenee.

Itse asiassa lauseke log a (f (x) g (x)) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat funktiot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f(x) ja g(x) ovat molemmat pienempiä kuin nolla.

Muuntamalla tämä lauseke summaksi log a f (x) + log a g (x) , joudumme rajoittumaan vain tapaukseen, jossa f(x)>0 ja g(x)>0. Hyväksyttyjen arvojen vaihteluväli on kaventunut, eikä tätä voida kategorisesti hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen. Samanlainen ongelma on kaavalla (6).

Aste voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas haluaisin vaatia tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Yhtälön vasen puoli on luonnollisesti määritelty kaikille f(x):n arvoille nollaa lukuun ottamatta. Oikea puoli on vain f(x)>0! Ottamalla teho pois logaritmista, kavennetaan jälleen ODZ:tä. Käänteinen menettely johtaa sallittujen arvojen alueen laajentamiseen. Kaikki nämä huomautukset eivät koske vain 2:n tehoa, vaan myös mitä tahansa parillista potenssia.

Kaava muuttaa uuteen tukikohtaan

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Se harvinainen tapaus, jolloin ODZ ei muutu muuntamisen aikana. Jos olet valinnut kannan c viisaasti (positiivinen eikä yhtä suuri kuin 1), kaava uuteen kantaan siirtymiseen on täysin turvallinen.

Jos valitsemme luvun b uudeksi kantaksi c, saamme tärkeän kaavan (8) erikoistapauksen:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä logaritmeilla

Esimerkki 1 Laske: lg2 + lg50.
Ratkaisu. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Käytimme logaritmien summan kaavaa (5) ja desimaalilogaritmin määritelmää.

Esimerkki 2 Laske: lg125/lg5.
Ratkaisu. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Käytimme uutta kantasiirtymäkaavaa (8).

Taulukko logaritmiin liittyvistä kaavoista

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)