Jatkamme matematiikan perusongelmien tutkimista. Tämä oppitunti käsittelee prosenttiongelmia. Tarkastelemme useita ongelmia ja kosketamme myös niitä kohtia, joita ei aiemmin mainittu prosenttiosuuksia tutkiessa, koska ne aiheuttavat aluksi vaikeuksia oppimiselle.
Useimmissa tapauksissa prosenttiosuuksia koskevat tehtävät rajoittuvat luvun prosenttiosuuden löytämiseen, luvun löytämiseen prosentteina, minkä tahansa osan ilmaisemiseen prosentteina tai useiden objektien, numeroiden ja määrien välisen suhteen ilmaisemiseen prosentteina.
Alustavat taidot Oppitunnin sisältöTapoja löytää prosentti
Prosenttiosuuden voi löytää monella eri tavalla. Suosituin tapa on jakaa luku 100:lla ja kertoa tulos halutulla prosentilla.
Esimerkiksi löytääksesi 60% 200 ruplasta, sinun on ensin jaettava nämä 200 ruplaa sataan yhtä suureen osaan:
200 ruplaa: 100 = 2 ruplaa.
Kun jaamme luvun 100:lla, saamme siitä yhden prosentin. Joten jakamalla 200 ruplaa 100 osaan, löysimme automaattisesti 1% kahdestasadasta ruplasta, eli saimme selville, kuinka monta ruplaa kuuluu yhteen osaan. Kuten esimerkistä voidaan nähdä, yksi osa (yksi prosentti) on 2 ruplaa.
1% 200 ruplasta - 2 ruplaa
Kun tiedämme, kuinka monta ruplaa putoaa yhdelle osalle (1 %), voimme selvittää, kuinka monta ruplaa putoaa kahdelle osalle, kolmelle, neljälle, viidelle jne. Eli voimme löytää minkä tahansa määrän prosentteja. Tätä varten riittää, että kerrot nämä 2 ruplaa halutulla osien lukumäärällä (prosenttiosuudella). Etsitään kuusikymmentä kappaletta (60%)
2 × 60 = 120 ruplaa.
2 × 5 = 10 ruplaa
löydämme 90 %
2 × 90 = 180 ruplaa.
löydämme 100 %
2 × 100 = 200 ruplaa
100% on kaikki sata osaa ja ne muodostavat kaikki 200 ruplaa.
Toinen tapa on esittää prosenttiosuudet tavallisena murtolukuna ja löytää tämä murtoluku luvusta, josta haluat löytää prosenttiosuuden.
Esimerkiksi, etsitään samat 60% 200 ruplasta. Esitetään ensin 60 % murto-osana. 60 % on kuusikymmentä osaa sadasta, eli kuusikymmentä sadasosaa:
Nyt tehtävä voidaan ymmärtää "löydä osoitteesta 200ruplaa" . Tämä on se, jota opimme aiemmin. Muista, että jos haluat löytää luvun murto-osan, sinun on jaettava tämä luku murto-osan nimittäjällä ja kerrottava tulos murto-osan osoittajalla
200: 100 = 2
2 x 60 = 120
Tai kerro luku murtoluvulla ():
Kolmas tapa on esittää prosenttiosuus desimaalilukuna ja kertoa luku tällä desimaaliluvulla.
Esimerkiksi, etsitään samat 60% 200 ruplasta. Aloitetaan esittämällä 60 % murto-osana. 60 % on kuusikymmentä osaa sadasta
Tehdään jako tässä murtoluvussa. Siirrä pilkkua 60 kahdella numerolla vasemmalle:
Nyt löydämme 0,60 200 ruplasta. Löytääksesi luvun desimaaliluvun, sinun on kerrottava tämä luku desimaalimurtoluvulla:
200 × 0,60 = 120 ruplaa
Annettu menetelmä prosenttiosuuden löytämiseksi on kätevin, varsinkin jos henkilö on tottunut käyttämään laskinta. Tämän menetelmän avulla voit löytää prosenttiosuuden yhdessä vaiheessa.
Yleensä prosenttiosuuden ilmaiseminen desimaalimurtoina ei ole vaikeaa. Riittää, että määritetään "nolla kokonaisluku" ennen prosenttiosuutta, jos prosenttiluku on kaksinumeroinen luku, tai määritetään "nolla kokonaisluku" ja toinen nolla, jos prosenttiluku on yksinumeroinen luku. Esimerkkejä:
60% \u003d 0,60 - määritetty nolla kokonaislukua ennen numeroa 60, koska numero 60 on kaksinumeroinen
6% \u003d 0,06 - määrätty nolla kokonaislukua ja toinen nolla ennen numeroa 6, koska numero 6 on yksinumeroinen.
Kun jaetaan 100:lla, käytimme tapaa siirtää desimaalipilkkua kaksi numeroa vasemmalle. Vastauksessa 0,60 säilytettiin nolla luvun 6 jälkeen. Mutta jos teet tämän jaon kulmalla, nolla katoaa - saat vastauksen 0,6
On muistettava, että desimaalimurtoluvut 0,60 ja 0,6 ovat yhtä suuret ja niillä on sama arvo.
0,60 = 0,6
Samassa "nurkassa" voit jatkaa jakamista loputtomiin lisäämällä joka kerta nollan loppuosaan, mutta tämä on merkityksetön toimenpide.
Voit ilmaista prosenttiosuudet desimaaleina paitsi jakamalla 100:lla, myös kertomalla. Prosenttimerkki (%) itsessään korvaa kertoimen 0,01. Ja jos otamme huomioon, että prosenttiluku ja prosenttimerkki kirjoitetaan yhdessä, niin niiden välissä on "näkymätön" kertomerkki (×).
Joten esimerkiksi 45 % näyttää todella tältä
Korvaa prosenttimerkki kertoimella 0,01
Tämä kertominen 0,01:llä tehdään siirtämällä desimaalipilkkua kaksi numeroa vasemmalle
Tehtävä 1. Perheen budjetti on 75 tuhatta ruplaa kuukaudessa. Näistä 70 % on isän ansaitsemaa rahaa. Kuinka paljon äiti ansaitsi?
Ratkaisu
Yhteensä 100 prosenttia Jos isä ansaitsi 70% rahoista, niin loput 30% rahoista ansaitsi äiti.
Tehtävä 2. Perheen budjetti on 75 tuhatta ruplaa kuukaudessa. Näistä 70 % on isän ansaitsemaa rahaa ja 30 % äidin ansaitsemaa rahaa. Kuinka paljon kukin ansaitsi rahaa?
Ratkaisu
Löydämme 70 ja 30 prosenttia 75 tuhannesta ruplasta. Joten määritämme, kuinka paljon rahaa kukin ansaitsi. Mukavuuden vuoksi 70 % ja 30 % kirjoitetaan desimaalimurtoina
75 × 0,70 \u003d 52,5 (isä ansaitsi tuhat ruplaa)
75 × 0,30 = 22,5 (äiti ansaitsi tuhat ruplaa)
Tutkimus
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Vastaus: 52,5 tuhatta ruplaa Isä ansaitsi 22,5 ruplaa. äiti ansaitsi.
Tehtävä 3. Jäähtyessään leipä menettää jopa 4 % massastaan veden haihtumisen seurauksena. Kuinka monta kiloa haihtuu, kun 12 tonnia leipää jäähtyy.
Ratkaisu
Muunna 12 tonnia kilogrammoiksi. Yhdessä tonnissa on 1000 kiloa, 12 tonnissa 12 kertaa enemmän
1000 × 12 = 12 000 kg
Etsitään nyt 4 % 12000:sta. Tuloksena on vastaus ongelmaan:
12 000 × 0,04 = 480 kg
Vastaus: 12 tonnia leipää jäähdytettäessä haihtuu 480 kiloa.
Tehtävä 4. Kuivatessaan omenat menettävät 84% painostaan. Kuinka monta kuivattua omenaa saadaan 300 kg:sta tuoreita?
Löydä 84 % 300 kg:sta
300: 100 × 84 = 252 kg
300 kg tuoreita omenoita menettää 252 kg massastaan kuivauksen seurauksena. Vastataksesi kysymykseen, kuinka monta kuivattua omenaa tulee, sinun on vähennettävä 252 300: sta
300 - 252 = 48 kg
Vastaus: 300 kg tuoreista omenoista saa 48 kg kuivattuja omenoita.
Tehtävä 5. Soijapavun siemenet sisältävät 20 % öljyä. Kuinka paljon öljyä on 700 kg:ssa soijapapuja?
Ratkaisu
Etsi 20 % 700 kg:sta
700 × 0,20 = 140 kg
Vastaus: 700 kg soijaa sisältää 140 kg öljyä
Tehtävä 6. Tattari sisältää 10 % proteiineja, 2,5 % rasvoja ja 60 % hiilihydraatteja. Kuinka monta näistä tuotteista sisältää 14,4 senttiä tattaria?
Ratkaisu
Muunnetaan 14,4 senttiä kilogrammoiksi. Yhdessä sentnerissä on 100 kiloa, 14,4 senttissä 14,4 kertaa enemmän
100 × 14,4 = 1440 kg
Etsi 10 %, 2,5 % ja 60 % 1440 kg:sta
1440 × 0,10 = 144 (kg proteiineja)
1440 × 0,025 = 36 (kg rasvaa)
1440 x 0,60 = 864 (kg hiilihydraatteja)
Vastaus: 14,4 kg tattaria sisältää 144 kg proteiineja, 36 kg rasvaa, 864 kg hiilihydraatteja.
Tehtävä 7. Koululaiset keräsivät 60 kg tammen, akaasia, lehmus ja vaahtera siemeniä metsätarhaan. Kaikista siemenistä oli tammenterhoja 60 %, vaahteran siemeniä 15 %, lehmusen siemeniä 20 % ja loput akaasian siemeniä. Kuinka monta kiloa akaasian siemeniä koululaiset keräsivät?
Ratkaisu
Otamme 100 %:sti tammen, akaasia, lehmus ja vaahtera siemenet. Vähennetään näistä 100 % tammen, lehmuksen ja vaahteran siemeniä ilmaisevat prosenttiosuudet. Joten saamme selville kuinka monta prosenttia on akaasia siemeniä:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Nyt löydämme akaasia siemeniä:
60 × 0,05 = 3 kg
Vastaus: koululaiset keräsivät 3 kg akaasian siemeniä.
Tutkimus:
60 x 0,60 = 36
60 x 0,15 = 9
60 x 0,20 = 12
60 x 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Tehtävä 8. Mies osti ruokaa. Maito maksaa 60 ruplaa, mikä on 48% kaikkien ostojen hinnasta. Määritä tuotteisiin käytetyn rahan kokonaismäärä.
Ratkaisu
Tämä on ongelma löytää luku sen prosenttiosuuden eli sen tunnetun osan perusteella. Tämä ongelma voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen on ilmaista tunnettu prosenttiluku desimaalilukuna ja löytää tuntematon luku tästä murtoluvusta
Ilmaise 48 % desimaalina
48% : 100 = 0,48
Kun tiedämme, että 0,48 on 60 ruplaa, voimme määrittää kaikkien ostosten määrän. Tätä varten sinun on löydettävä tuntematon luku desimaalilukuna:
60: 0,48 = 125 ruplaa
Joten ruokaan käytetyn rahan kokonaismäärä on 125 ruplaa.
Toinen tapa on ensin selvittää, kuinka paljon rahaa kuuluu yhteen prosenttiin, ja sitten kertoa tulos 100:lla
48% on 60 ruplaa. Jos jaamme 60 ruplaa 48:lla, saamme selville kuinka monta ruplaa laskee 1%
60: 48 % = 1,25 ruplaa
1% on 1,25 ruplaa. Yhteensä 100 prosenttia Jos kerromme 1,25 ruplaa 100:lla, saamme tuotteisiin käytetyn kokonaissumman
1,25 × 100 = 125 ruplaa
Tehtävä 9. 35 % kuivatuista luumuista tulee tuoreista luumuista. Kuinka monta tuoretta luumua pitää ottaa saadaksesi 140 kg kuivattuja? Kuinka monta kuivattua luumua saadaan 600 kg:sta tuoreita?
Ratkaisu
Ilmaistaan 35 % desimaalilukuna ja etsitään tuntematon luku tästä murtoluvusta:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Saadaksesi 140 kg kuivattuja luumuja, sinun on otettava 400 kg tuoreita.
Vastataan ongelman toiseen kysymykseen - kuinka monta kuivattua luumua tulee 600 kg tuoreista? Jos 35 % kuivatuista luumuista tulee tuoreista luumuista, niin nämä 35 % riittää 600 kg tuoreista luumuista
600 × 0,35 = 210 kg
Vastaus: saadaksesi 140 kg kuivattuja luumuja, sinun on otettava 400 kg tuoreita. 600 kg tuoreista luumuista saadaan 210 kg kuivattuja luumuja.
Tehtävä 10. Rasvojen assimilaatio ihmiskehossa on 95%. Kuukauden aikana opiskelija söi 1,2 kg rasvaa. Kuinka paljon rasvaa hänen kehonsa voi imeä?
Ratkaisu
Muunna 1,2 kg grammoiksi
1,2 x 1000 = 1200 g
Etsi 95 % 1200 g:sta
1200 × 0,95 = 1140 g
Vastaus: 1140 g rasvaa voi imeytyä opiskelijan elimistöön.
Lukujen ilmaiseminen prosentteina
Kuten aiemmin mainittiin, prosenttiosuus voidaan esittää desimaalilukuna. Tätä varten riittää jakaa näiden prosenttiosuuksien määrä 100:lla. Esitetään esimerkiksi 12 % desimaalimurtolukuna:
Kommentti. Emme tällä hetkellä löydä prosenttiosuutta jostakin, vaan kirjoitamme sen vain desimaalilukuna.
Mutta myös käänteinen prosessi on mahdollista. Desimaaliluku voidaan esittää prosentteina. Tee tämä kertomalla tämä murto-osa 100:lla ja laittamalla prosenttimerkki (%)
Esitetään desimaalimurto 0,12 prosentteina
0,12 x 100 = 12 %
Tätä toimintaa kutsutaan prosentteina ilmaistuna tai ilmaisee lukuja sadasosina.
Kerto- ja jakolasku ovat käänteisiä operaatioita. Jos esimerkiksi 2 × 5 = 10, niin 10: 5 = 2
Samoin jako voidaan kirjoittaa käänteisesti. Jos 10:5 = 2, niin 2 × 5 = 10:
Sama tapahtuu, kun ilmaisemme desimaalin prosentteina. Joten 12% ilmaistiin desimaalilukuna seuraavasti: 12: 100 = 0,12, mutta sitten sama 12% "palautettiin" kertolaskulla kirjoittamalla lauseke 0,12 × 100 = 12%.
Vastaavasti voit ilmaista prosentteina mitä tahansa muita lukuja, mukaan lukien kokonaisluvut. Esitetään esimerkiksi luku 3 prosentteina. Kerro tämä luku 100:lla ja lisää tulokseen prosenttimerkki:
3 x 100 = 300 %
Suuret prosenttiosuudet, kuten 300 %, voivat olla aluksi hämmentäviä, koska ihmiset ovat tottuneet laskemaan 100 % enimmäisosuudeksi. Murtolukuja koskevista lisätiedoista tiedämme, että yhtä kokonaista objektia voidaan merkitä yksiköllä. Esimerkiksi, jos on kokonainen leikkaamaton kakku, se voidaan merkitä numerolla 1
Sama kakku voidaan nimetä 100 % kakuksi. Tässä tapauksessa sekä yksikkö että 100 % tarkoittavat samaa koko kakkua:
Leikkaa kakku puoliksi. Tässä tapauksessa yksi muuttuu desimaaliluvuksi 0,5 (koska se on puoli yksikköä), ja 100% muuttuu 50%:ksi (koska 50 on puolisataa)
Palautamme koko kakun, yhden yksikön ja 100 %
Piirretään vielä kaksi tällaista kakkua samalla merkinnällä:
Jos yksi kakku on yksikkö, niin kolme kakkua on kolme yksikköä. Jokainen kakku on 100 % ehjä. Jos lisäät nämä kolmesataa, saat 300%.
Siksi, kun muunnamme kokonaislukuja prosentteiksi, kerromme nämä luvut 100:lla.
Tehtävä 2. Ilmaise luku 5 prosentteina
5 x 100 = 500 %
Tehtävä 3. Ilmaise luku 7 prosentteina
7 x 100 = 700 %
Tehtävä 4. Ilmaise luku 7,5 prosentteina
7,5 x 100 = 750 %
Tehtävä 5. Ilmaise luku 0,5 prosentteina
0,5 x 100 = 50 %
Tehtävä 6. Ilmaise luku 0,9 prosentteina
0,9 x 100 = 90 %
Esimerkki 7. Ilmaise luku 1,5 prosentteina
1,5 x 100 = 150 %
Esimerkki 8. Ilmaise luku 2.8 prosentteina
2,8 x 100 = 280 %
Tehtävä 9. George kävelee koulusta kotiin. Ensimmäiset viisitoista minuuttia hän käveli 0,75 matkaa. Lopun ajan hän kulki jäljellä olevan 0,25 matkan. Ilmaise Georgen kulkeman polun osuudet prosentteina.
Ratkaisu
0,75 x 100 = 75 %
0,25 x 100 = 25 %
Tehtävä 10. Johnille tarjottiin puolikasta omenaa. Ilmaise tämä puolikas prosentteina.
Ratkaisu
Puolet omenasta kirjoitetaan 0,5:n murto-osana. Jos haluat ilmaista tämän murtoluvun prosentteina, kerro se 100:lla ja lisää tulokseen prosenttimerkki.
0,5 x 100 = 50 %
Analogit murtolukujen muodossa
Prosentteina ilmaistulle arvolle on vastine tavallisen murtoluvun muodossa. Joten 50 %:n analogi on murto-osa. Viittäkymmentä prosenttia voidaan kutsua myös sanaksi "puoli".
25 %:n analogi on murto-osa. 25 prosenttia voidaan kutsua myös sanaksi "neljännes".
20 %:n analogi on murto-osa. Kaksikymmentä prosenttia voidaan kutsua myös sanoiksi "viides".
40 %:n analogi on murto-osa.
60 %:n analogi on murto-osa
Esimerkki 1. Viisi senttimetriä on 50 % desimetristä tai vain puolet. Kaikissa tapauksissa puhumme samasta arvosta - viisi senttimetriä kymmenestä
Esimerkki 2. Kaksi ja puoli senttimetriä on 25 % desimetristä tai vain neljännes
Esimerkki 3. Kaksi senttimetriä on 20 % desimetristä tai
Esimerkki 4. Neljä senttimetriä on 40 % desimetristä tai
Esimerkki 5. Kuusi senttimetriä on 60 % desimetristä tai
Vähennä ja lisää kiinnostusta
Prosentteina ilmaistua arvoa suurennettaessa tai pienennettäessä käytetään prepositiota "päällä".
Esimerkkejä:
- Kasvata 50% - tarkoittaa arvon kasvattamista 1,5-kertaisesti;
- Kasvata 100% - tarkoittaa arvon kasvattamista 2 kertaa;
- Kasvata 200 % tarkoittaa kasvamista 3 kertaa;
- Pienennä 50% - tarkoittaa arvon pienentämistä 2 kertaa;
- 80% vähentäminen tarkoittaa 5-kertaista vähentämistä.
Esimerkki 1. Kymmenen senttimetriä kasvoi 50 %. Kuinka monta senttiä sait?
Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi sinun on otettava alkuarvo 100%. Alkuperäinen arvo on 10 cm, joista 50% on 5 cm
Alkuperäinen 10 cm kasvoi 50% (5 cm), joten siitä tuli 10 + 5 cm, eli 15 cm
Analogi, jossa kymmenen senttimetriä kasvaa 50 %, on kerroin 1,5. Jos kerrot 10 cm sillä, saat 15 cm
10 × 1,5 = 15 cm
Siksi ilmaisut "lisää 50%" ja "lisää 1,5 kertaa" tarkoittavat samaa asiaa.
Esimerkki 2. Viisi senttimetriä kasvoi 100 %. Kuinka monta senttiä sait?
Otetaan alkuperäiset viisi senttimetriä 100 %:ksi. Näistä viidestä senttimetristä sata prosenttia on itse 5 cm. Jos lisäät 5 cm samalla 5 cm:llä, saat 10 cm
Analogi viiden senttimetrin kasvattamiselle 100 % on kerroin 2. Jos kerrot 5 cm sillä, saat 10 cm
5×2=10cm
Siksi ilmaisut "lisää 100%" ja "lisää 2 kertaa" tarkoittavat samaa asiaa.
Esimerkki 3. Viisi senttimetriä kasvoi 200 %. Kuinka monta senttiä sait?
Otetaan alkuperäiset viisi senttimetriä 100 %:ksi. Kaksisataa prosenttia on kaksi kertaa sata prosenttia. Eli 200 % 5 cm:stä on 10 cm (5 cm jokaista 100 %) kohti. Jos lisäät 5 cm näillä 10 cm:llä, saat 15 cm
Analogi viiden senttimetrin kasvulle 200 % on kerroin 3. Jos kerrot 5 cm sillä, saat 15 cm
5×3=15cm
Siksi ilmaisut "lisää 200%" ja "lisää 3 kertaa" tarkoittavat samaa asiaa.
Esimerkki 4. Kymmenen senttimetriä on pudonnut 50 %. Kuinka monta senttimetriä on jäljellä?
Otetaan alkuperäinen 10 cm 100 %:ksi. Viisikymmentä prosenttia 10 cm:stä on 5 cm. Jos pienennät 10 cm näillä 5 cm:llä, tulee 5 cm
Kymmenen senttimetrin pienentämisen 50 %:lla analogi on jakaja 2. Jos jaat sillä 10 cm, saat 5 cm
10:2 = 5 cm
Siksi ilmaisut "vähennä 50%" ja "vähennä 2 kertaa" tarkoittavat samaa asiaa.
Esimerkki 5. Kymmenen senttimetriä on pienennetty 80 prosenttia. Kuinka monta senttimetriä on jäljellä?
Otetaan alkuperäinen 10 cm 100 %:ksi. 80 prosenttia 10 cm:stä on 8 cm. Jos pienennät 10 cm näillä 8 cm:llä, tulee 2 cm
Kymmenen senttimetrin pienentämisen analogia 80 %:lla on jakaja 5. Jos jaat sillä 10 cm, saat 2 cm
10:5 = 2 cm
Siksi ilmaisut "vähennä 80%" ja "vähennä 5 kertaa" tarkoittavat samaa asiaa.
Ratkaistaessa koron alentamisen ja nostamisen tehtäviä, voit kertoa / jakaa arvon tehtävässä määritetyllä kertoimella.
Tehtävä 1. Kuinka paljon arvo muuttui, jos se kasvoi 1,5-kertaiseksi?
Tehtävässä tarkoitettu arvo voidaan määritellä 100 %:ksi. Kerro sitten nämä 100 % kertoimella 1,5
100 % × 1,5 = 150 %
Nyt saadusta 150 %:sta vähennetään alkuperäinen 100 % ja saadaan vastaus ongelmaan:
150% − 100% = 50%
Tehtävä 2. Kuinka monta prosenttia arvo muuttui, jos se laski 4 kertaa?
Tällä kertaa arvo laskee, joten teemme jaon. Sen arvo, joka mainitaan tehtävässä, on merkitty 100 %:ksi. Seuraavaksi jaamme nämä 100 % jakajalla 4
Alkuperäisestä 100 %:sta vähennetään tuloksena oleva 25 % ja saadaan vastaus ongelmaan:
100% − 25% = 75%
Tämä tarkoittaa, että kun arvo laski 4 kertaa, se laski 75%.
Tehtävä 3. Kuinka monta prosenttia arvo muuttui, jos se laski 5 kertaa?
Sen arvo, joka mainitaan tehtävässä, on merkitty 100 %:ksi. Seuraavaksi jaamme nämä 100 % jakajalla 5
Alkuperäisestä 100 %:sta vähennetään tuloksena oleva 20 % ja saadaan vastaus ongelmaan:
100% − 20% = 80%
Tämä tarkoittaa, että kun arvo pienenee 5 kertaa, se pienenee 80%.
Tehtävä 4. Kuinka monta prosenttia arvo muuttui, jos se laski 10 kertaa?
Sen arvo, joka mainitaan tehtävässä, on merkitty 100 %:ksi. Jaa seuraavaksi nämä 100 % jakajalla 10
Alkuperäisestä 100 %:sta vähennetään tuloksena oleva 10 % ja saadaan vastaus ongelmaan:
100% − 10% = 90%
Tämä tarkoittaa, että kun arvo pienenee 10 kertaa, se pienenee 90%.
Tehtävänä on löytää prosentti
Jos haluat ilmaista jotain prosentteina, sinun on ensin kirjoitettava muistiin murto-osa, joka osoittaa, mikä osa ensimmäinen luku on toisesta, ja sitten tämä murtoluku ja ilmaista tulos prosentteina.
Oletetaan esimerkiksi, että omenaa on viisi. Kaksi omenaa on punaisia ja kolme vihreitä. Ilmoita punaiset ja vihreät omenat prosentteina.
Ensin sinun on selvitettävä, minkä osan punaiset omenat muodostavat. Omenoita on yhteensä viisi ja punaisia kaksi. Joten kaksi viidestä tai kahdesta viidesosasta on punaisia omenoita:
Siellä on kolme vihreää omenaa. Joten kolme viidestä tai kolmesta viidesosasta on vihreitä omenoita:
Meillä on kaksi murto-osaa ja . Tehdään jako näillä murtoluvuilla
Saimme desimaalimurtoluvut 0,4 ja 0,6. Ilmaistaan nyt nämä desimaalimurtoluvut prosentteina:
0,4 x 100 = 40 %
0,6 x 100 = 60 %
Joten 40% on punaisia omenoita, 60% vihreitä.
Ja kaikki viisi omenaa muodostavat 40% + 60%, eli 100%
Tehtävä 2. Äiti antoi 200 ruplaa kahdelle pojalle. Äiti antoi 80 ruplaa nuoremmalle veljelle ja 120 ruplaa vanhemmalle veljelle. Ilmaise jokaiselle veljelle annetut rahat prosentteina.
Ratkaisu
Nuorempi veli sai 80 ruplaa 200 ruplasta. Kirjoitamme murto-osan kahdeksankymmentäkaksi sadasosaa:
Vanhempi veli sai 120 ruplaa 200 ruplasta. Kirjoitamme murto-osan satakaksikaksikymmentäkaksi sadasosaa:
Meillä on murto- ja . Tehdään jako näillä murtoluvuilla
Ilmaistaan tulokset prosentteina:
0,4 x 100 = 40 %
0,6 x 100 = 60 %
Tämä tarkoittaa, että nuorempi veli sai 40% rahoista ja vanhempi veli 60%.
Joitakin murtolukuja, jotka osoittavat, mikä osa ensimmäinen numero on toisesta, voidaan pienentää.
Joten murto-osia voitaisiin vähentää. Tästä ongelmaan vastaus ei muutu:
Tehtävä 3. Perheen budjetti on 75 tuhatta ruplaa kuukaudessa. Näistä 52,5 tuhatta ruplaa. - isän ansaitsemat rahat. 22,5 tuhatta ruplaa - äidin ansaitsemat rahat. Ilmaise isän ja äidin ansaitsemat rahat prosentteina.
Ratkaisu
Tämä ongelma, kuten edellinen, on prosenttiosuuden löytämisen ongelma.
Ilmaistaan isän ansaitsemat rahat prosentteina. Hän ansaitsi 52,5 tuhatta ruplaa 75 tuhannesta ruplasta
Tehdään jako tässä murtoluvussa:
0,7 x 100 = 70 %
Joten isä ansaitsi 70% rahoista. Lisäksi ei ole vaikea arvata, että loput 30% rahoista ansaitsi äitini. Loppujen lopuksi 75 tuhatta ruplaa on kaikki 100% rahoista. Katsotaanpa varmuuden vuoksi. Äiti ansaitsi 22,5 tuhatta ruplaa. 75 tuhannesta ruplasta. Kirjoitamme murto-osan muistiin, suoritamme jaon ja ilmaisemme tuloksen prosentteina:
Tehtävä 4. Opiskelija harjoittelee vetovetoja poikittaispalkissa. Viime kuussa hän pystyi tekemään 8 vetoa sarjaa kohti. Tässä kuussa hän voi tehdä 10 vetoa per sarja. Kuinka monta prosenttia hän lisäsi vedonlyöntejään?
Ratkaisu
Selvitä, kuinka monta vedonlyöntiä opiskelija tekee enemmän tässä kuussa kuin viimeksi
Ota selvää, mikä osa kaksi vetoa on kahdeksasta vedosta. Tätä varten löydämme suhteen 2:8
Tehdään jako tässä murtoluvussa
Ilmaistaan tulos prosentteina:
0,25 x 100 = 25 %
Joten opiskelija lisäsi vetäytysten määrää 25%.
Tämä ongelma voidaan ratkaista myös toisella, nopeammalla menetelmällä - selvitä kuinka monta kertaa 10 vetoa on enemmän kuin 8 vetoa ja ilmaise tulos prosentteina.
Saadaksesi selville, kuinka monta kertaa kymmenen vetoa on enemmän kuin kahdeksan vetoa, sinun on löydettävä suhde 10:8
Suorita tuloksena oleva murto-osa jako
Ilmaistaan tulos prosentteina:
1,25 x 100 = 125 %
Kuluvan kuukauden ylösvetoprosentti on 125 %. Tämä lausunto on ymmärrettävä näin "on 125%", ei miten "indikaattori nousi 125%". Nämä ovat kaksi eri lausetta, jotka ilmaisevat eri suureita.
Lausunto "on 125%" tulee ymmärtää "kahdeksalla vedolla, jotka ovat 100% plus kaksi vetoa, jotka ovat 25% kahdeksasta vedosta". Graafisesti se näyttää tältä:
Ja lause "nousu 125%" tulisi ymmärtää siten, että "nykyiseen kahdeksaan vedonlyöntiin, jotka olivat 100%, lisättiin vielä 100% (8 vetoa lisää) plus vielä 25% (2 vetoa)" . Vetoja on yhteensä 18.
100 % + 100 % + 25 % = 8 + 8 + 2 = 18 vetoa
Graafisesti tämä lausunto näyttää tältä:
Kaiken kaikkiaan se on 225%. Jos löydämme 225 % kahdeksasta vedosta, saamme 18 vetäytymistä
8 × 2,25 = 18
Tehtävä 5. Viime kuussa palkka oli 19,2 tuhatta ruplaa. Kuluvan kuukauden aikana se oli 20,16 tuhatta ruplaa. Kuinka monta prosenttia palkka nousi?
Tämä ongelma, kuten edellinen, voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen on ensin selvittää, kuinka monta ruplaa palkka on noussut. Ota seuraavaksi selville, kuinka paljon tämä lisäys on viime kuukauden palkasta
Selvitä, kuinka paljon palkka nousi:
20,16 - 19,2 \u003d 0,96 tuhatta ruplaa.
Selvitämme, mikä osa 0,96 tuhatta ruplaa. on 19.2. Tätä varten löydämme suhteen 0,96:19,2
Suorita tuloksena oleva murto-osa jako. Muista matkan varrella:
Ilmaistaan tulos prosentteina:
0,05 x 100 = 5 %
Palkka on siis noussut 5 %.
Ratkaistaan ongelma toisella tavalla. Selvitämme kuinka monta kertaa 20,16 tuhatta ruplaa. yli 19,2 tuhatta ruplaa. Tätä varten löydämme suhteen 20,16:19,2
Suoritetaan jako tuloksena olevalla murtoluvulla:
Ilmaistaan tulos prosentteina:
1,05 x 100 = 105 %
Palkka on 105 %. Eli tämä sisältää 100%, joka oli 19,2 tuhatta ruplaa plus 5%, mikä oli 0,96 tuhatta ruplaa.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Tehtävä 6. Kannettavan tietokoneen hinta on noussut tässä kuussa 5 %. Mikä on sen hinta, jos se maksoi viime kuussa 18,3 tuhatta ruplaa?
Ratkaisu
Etsi 5 % arvosta 18,3:
18,3 x 0,05 = 0,915
Lisätään nämä 5 % 18.3:een:
18,3 + 0,915 = 19,215 tuhatta ruplaa
Vastaus: kannettavan tietokoneen hinta on 19 215 tuhatta ruplaa.
Tehtävä 7. Kannettavan tietokoneen hinta on laskenut 10 % tässä kuussa. Mikä on sen hinta, jos se maksoi viime kuussa 16,3 tuhatta ruplaa?
Ratkaisu
Etsi 10 % arvosta 16.3:
16,3 x 0,10 = 1,63
Vähennä nämä 10 % luvusta 16,3:
16,3 - 1,63 = 14,67 (tuhatta ruplaa)
Tällaiset tehtävät voidaan kirjoittaa lyhyesti:
16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (tuhatta ruplaa)
Vastaus: kannettavan tietokoneen hinta on 14,67 tuhatta ruplaa.
Tehtävä 8. Viime kuussa kannettavan tietokoneen hinta oli 21 tuhatta ruplaa. Tässä kuussa hinta on noussut 22,05 tuhanteen ruplaan. Kuinka monta prosenttia hinta on noussut?
Ratkaisu
Määritä, kuinka paljon ruplaa hinta nousi
22.05 − 21 = 1,50 (tuhatta ruplaa)
Selvitämme, mikä osa 1,05 tuhatta ruplaa. on alkaen 21 tuhatta ruplaa.
Ilmaise tulos prosentteina
0,05 x 100 = 5 %
Vastaus: kannettavan tietokoneen hinta nousi 5 %
Tehtävä 8. Työntekijän piti valmistaa suunnitelman mukaan 600 osaa ja hän teki 900 osaa. Kuinka monta prosenttia hän sai suunnitelman päätökseen?
Ratkaisu
Selvitetään kuinka monta kertaa 900 osaa on enemmän kuin 600 osaa. Tätä varten löydämme suhteen 900:600
Tämän murto-osan arvo on 1,5. Ilmaistaan tämä arvo prosentteina:
1,5 x 100 = 150 %
Työntekijä siis täytti suunnitelman 150%. Eli hän suoritti sen 100%, tehtyään 600 osaa. Sitten hän teki vielä 300 osaa, mikä on 50% alkuperäisestä suunnitelmasta.
Vastaus: työntekijä suoritti suunnitelman 150 %.
Prosenttivertailu
Olemme vertailleet arvoja jo monta kertaa eri tavoin. Ensimmäinen työkalumme oli ero. Joten esimerkiksi vertaillaksemme 5 ruplaa ja 3 ruplaa, kirjoitimme eron 5–3. Saatuaan vastauksen 2, voitaisiin sanoa, että "viisi ruplaa on enemmän kuin kolme ruplaa kertaa kaksi ruplaa".
Arkielämässä vähentämisen tuloksena saatua vastausta ei kutsuta "eroksi", vaan "eroksi".
Joten ero viiden ja kolmen ruplan välillä on kaksi ruplaa.
Seuraava työkalu, jota käytimme määrien vertailuun, oli suhde. Suhde antoi meille mahdollisuuden selvittää, kuinka monta kertaa ensimmäinen luku on suurempi kuin toinen (tai kuinka monta kertaa ensimmäinen luku sisältää toisen).
Joten esimerkiksi kymmenen omenaa on viisi kertaa enemmän kuin kaksi omenaa. Tai toisin sanoen kymmenen omenaa sisältää kaksi omenaa viisi kertaa. Tämä vertailu voidaan kirjoittaa käyttämällä relaatiota
Mutta arvoja voi verrata myös prosentteina. Esimerkiksi vertailla kahden tuotteen hintaa ei ruplissa, vaan arvioida kuinka paljon yhden tavaran hinta on enemmän tai vähemmän kuin toisen hinta prosentteina.
Prosenttiarvojen vertailua varten yksi niistä on määritettävä 100%:ksi ja toinen ongelman olosuhteiden perusteella.
Selvitetään esimerkiksi, kuinka monta prosenttia kymmenen omenaa on enemmän kuin kahdeksan omenaa.
100 %:lla sinun on määritettävä arvo, johon vertaamme jotain. Vertaamme 10 omenaa 8 omenaan. Joten 100 %:lla tarkoitamme 8 omenaa:
Nyt tehtävämme on verrata kuinka monta prosenttia 10 omenasta on enemmän kuin nämä 8 omenaa. 10 omenaa on 8+2 omenaa. Tämä tarkoittaa, että lisäämällä kaksi omenaa kahdeksaan omenaan lisäämme 100 % toisella prosentilla. Selvittääksemme, mikä niistä on, määritetään kuinka monta prosenttia kahdeksasta omenasta on kaksi omenaa
Kun tämä 25 % lisätään kahdeksaan omenaan, saadaan 10 omenaa. Ja 10 omenaa on 8 + 2, eli 100% ja toinen 25%. Yhteensä saamme 125%
Joten kymmenen omenaa on 25 prosentilla enemmän kuin kahdeksan omenaa.
Ratkaistaan nyt käänteinen ongelma. Selvitä, kuinka monta prosenttia kahdeksan omenaa on vähemmän kuin kymmenen omenaa. Vastaus viittaa heti siihen, että kahdeksan omenaa on 25 % vähemmän. Se ei kuitenkaan ole.
Vertaamme kahdeksaa omenaa kymmeneen omenaan. Sovimme, että otamme 100 % sen, mihin vertaamme. Siksi tällä kertaa otamme 10 omenaa 100-prosenttisesti:
Kahdeksan omenaa on 10−2, eli vähentämällä 10 omenaa kahdella omenalla, vähennämme niitä jollain prosentilla. Selvittääksemme, mikä niistä on, määritetään kuinka monta prosenttia kymmenestä omenasta on kaksi omenaa
Vähentämällä nämä 20% kymmenestä omenasta, saadaan 8 omenaa. Ja 8 omenaa on 10-2, eli 100% ja miinus 20%. Yhteensä saamme 80%
Joten kahdeksan omenaa on alle kymmenen omenaa 20 prosentilla.
Tehtävä 2. Kuinka monta prosenttia on 5000 ruplaa enemmän kuin 4000 ruplaa?
Ratkaisu
Otetaan 4000 ruplaa 100%. 5000 on enemmän kuin 4000 per 1000. Joten lisäämällä neljää tuhatta tuhannella lisäämme neljä tuhatta tietyllä prosentilla. Selvitetään kumpi. Tätä varten määritämme, mikä osa tuhat on neljästä tuhannesta:
Ilmaistaan tulos prosentteina:
0,25 x 100 = 25 %
1000 ruplaa 4000 ruplasta on 25%. Jos lisäät nämä 25% 4000:een, saat 5000 ruplaa. Joten 5000 ruplaa on 25% enemmän kuin 4000 ruplaa
Tehtävä 3. Kuinka monta prosenttia on 4000 ruplaa vähemmän kuin 5000 ruplaa?
Tällä kertaa vertaamme 4000:ta 5000:een. Otetaan 5000 100 %:ksi. Viisi tuhatta enemmän kuin neljä tuhatta tuhannella ruplalla. Ota selvää, mikä osa tuhannesta on viidestä tuhannesta
Tuhat viidestä tuhannesta on 20 %. Jos vähennämme nämä 20 % 5 000 ruplasta, saamme 4 000 ruplaa.
Joten 4000 ruplaa on alle 5000 ruplaa 20%
Väkevöintitehtävät, metalliseokset ja seokset
Oletetaan, että haluttiin valmistaa jonkinlainen mehu. Meillä on tarjolla vettä ja vadelmasiirappia.
Kaada 200 ml vettä lasiin:
Lisää 50 ml vadelmasiirappia ja sekoita saatu neste. Tuloksena saamme 250 ml vadelmamehua (200 ml vettä + 50 ml siirappia = 250 ml mehua)
Mikä osa tuloksena olevasta mehusta on vadelmasiirappia?
Vadelmasiirappi muodostaa mehua. Laskemme tämän suhteen, saamme luvun 0,20. Tämä numero ilmaisee liuenneen siirapin määrän tuloksena olevaan mehuun. Soitetaan tähän numeroon siirapin pitoisuus.
Liuenneen aineen pitoisuus on liuenneen aineen määrän tai sen massan suhde liuoksen tilavuuteen.
Pitoisuus ilmaistaan yleensä prosentteina. Ilmoitetaan siirappipitoisuus prosentteina:
0,20 x 100 = 20 %
Siten siirapin pitoisuus vadelmamehussa on 20%.
Liuoksen aineet voivat olla heterogeenisiä. Esimerkiksi sekoitetaan 3 litraa vettä ja 200 grammaa suolaa.
1 litran vettä massa on 1 kg. Silloin 3 litran veden massa on 3 kg. Muuntamalla 3 kg grammoiksi saadaan 3 kg = 3000 g.
Nyt 3000 g:ssa vettä lasketaan 200 g suolaa ja sekoitetaan tuloksena oleva neste. Tuloksena on suolaliuos, jonka kokonaismassa on 3000 + 200 eli 3200 g. Selvitetään suolan pitoisuus tuloksena olevasta liuoksesta. Tätä varten löydämme liuenneen suolan massan suhteen liuoksen massaan
Tämä tarkoittaa, että kun sekoitetaan 3 litraa vettä ja 200 g suolaa, saadaan 6,25 % suolaliuos.
Samalla tavalla voidaan määrittää aineen määrä seoksessa tai seoksessa. Esimerkiksi seoksessa on tinaa, jonka massa on 210 g, ja hopeaa, jonka massa on 90 g. Silloin lejeeringin massa on 210 + 90, eli 300 g. Seos sisältää tinaa ja hopeaa. Tinan osuus on 70 % ja hopean 30 %
Kun kaksi liuosta sekoitetaan, saadaan uusi liuos, joka koostuu ensimmäisestä ja toisesta liuoksesta. Uudessa liuoksessa voi olla erilainen aineen pitoisuus. Hyödyllinen taito on kyky ratkaista keskittymisongelmia, metalliseoksia ja seoksia. Yleisesti tällaisten tehtävien tarkoitus on seurata muutoksia, joita tapahtuu sekoitettaessa eri pitoisuuksia olevia liuoksia.
Sekoita kaksi vadelmamehua. Ensimmäinen 250 ml:n mehu sisältää 12,8 % vadelmasiirappia. Ja toinen mehu, jonka tilavuus on 300 ml, sisältää 15% vadelmasiirappia. Kaada nämä kaksi mehua isoon lasiin ja sekoita. Tämän seurauksena saamme uuden mehun, jonka tilavuus on 550 ml.
Nyt määritämme siirapin pitoisuuden tuloksena olevassa mehussa. Ensimmäiset 250 ml valutettua mehua sisälsivät 12,8 % siirappia. Ja 12,8 % 250 ml:sta on 32 ml. Joten ensimmäinen mehu sisälsi 32 ml siirappia.
Toinen valutettu 300 ml:n mehu sisälsi 15 % siirappia. Ja 15 % 300 ml:sta on 45 ml. Joten toinen mehu sisälsi 45 ml siirappia.
Lisää siirappien määrä:
32 ml + 45 ml = 77 ml
Nämä 77 ml siirappia sisältyy uuteen mehuun, jonka tilavuus on 550 ml. Määritä siirapin pitoisuus tässä mehussa. Tätä varten löydämme suhteen 77 ml liuennutta siirappia mehun tilavuuteen 550 ml:
Joten kun sekoitetaan 12,8% vadelmamehua tilavuudella 250 ml ja 15% vadelmamehua, jonka tilavuus on 300 ml, saadaan 14% vadelmamehua, jonka tilavuus on 550 ml.
Tehtävä 1. Merisuolaliuosta vedessä on kolme: ensimmäinen liuos sisältää 10 % suolaa, toinen 15 % suolaa ja kolmas sisältää 20 % suolaa. Sekoitettiin 130 ml ensimmäistä liuosta, 200 ml toista liuosta ja 170 ml kolmatta liuosta. Määritä merisuolan prosenttiosuus tuloksena olevasta liuoksesta.
Ratkaisu
Määritä tuloksena olevan liuoksen tilavuus:
130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml
Koska ensimmäisessä liuoksessa oli 130 × 0,10 = 13 ml merisuolaa, toisessa liuoksessa 200 × 0,15 = 30 ml merisuolaa ja kolmannessa - 170 × 0,20 = 34 ml merisuolaa, sitten tuloksena olevassa liuoksessa. liuos sisältää 13 + 30 + 34 = 77 ml merisuolaa.
Määritetään merisuolan pitoisuus tuloksena olevassa liuoksessa. Tätä varten löydämme 77 ml:n merisuolan suhteen 500 ml:n liuoksen tilavuuteen.
Tämä tarkoittaa, että saatu liuos sisältää 15,4 % merisuolaa.
Tehtävä 2. Kuinka monta grammaa vettä on lisättävä 50 g:aan 8 % suolaa sisältävää liuosta, jotta saadaan 5 % liuos?
Ratkaisu
Huomaa, että jos vettä lisätään olemassa olevaan liuokseen, suolan määrä siinä ei muutu. Vain sen prosenttiosuus muuttuu, koska veden lisääminen liuokseen muuttaa sen massaa.
Vettä on lisättävä niin paljon, että kahdeksasta prosentista suolasta tulee viisi prosenttia.
Määritä, kuinka monta grammaa suolaa sisältää 50 g liuosta. Tätä varten löydämme 8 % 50:stä
50 g × 0,08 = 4 g
8 % 50 grammasta on 4 grammaa, toisin sanoen kahdeksaa osaa sadasta on 4 grammaa suolaa. Varmistetaan, että nämä 4 grammaa eivät ole kahdeksaa osaa, vaan viisi osaa, eli 5 %
4 grammaa - 5 %
Nyt kun tiedämme, että 5 % liuoksessa on 4 grammaa, voimme löytää koko liuoksen massan. Tätä varten tarvitset:
4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g
80 grammaa liuosta on massa, jossa 4 grammaa suolaa putoaa 5 %:iin liuoksesta. Ja saadaksesi nämä 80 grammaa, sinun on lisättävä 30 grammaa vettä alkuperäiseen 50 grammaan.
Tämä tarkoittaa, että 5-prosenttisen suolaliuoksen saamiseksi sinun on lisättävä 30 g vettä olemassa olevaan liuokseen.
Tehtävä 2. Rypäleet sisältävät 91% kosteutta ja rusinat - 7%. Kuinka monta kiloa rypäleitä tarvitaan 21 kilogramman rusinoiden tuottamiseen?
Ratkaisu
Rypäleet koostuvat kosteudesta ja puhtaasta aineesta. Jos tuoreet viinirypäleet sisältävät 91% kosteutta, loput 9% muodostavat tämän rypäleen puhtaan aineen:
Rusinat sisältävät 93 % puhdasta ainetta ja 7 % kosteutta:
Huomaa, että kun rypäleistä tulee rusinoita, vain tämän rypäleen kosteus katoaa. Puhdas aine pysyy muuttumattomana. Kun rypäleet muuttuvat rusinoksi, tuloksena syntyvien rusinoiden kosteus on 7 % ja puhdasta ainetta 93 %.
Määritetään kuinka paljon puhdasta ainetta sisältää 21 kg rusinoita. Tätä varten löydämme 93 % 21 kg:sta
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Nyt takaisin ensimmäiseen kuvaan. Tehtävämme oli selvittää kuinka monta viinirypälettä sinun tulee ottaa saadaksesi 21 kg rusinoita. 19,53 kg painavaa puhdasta ainetta putoaa 9% rypäleistä:
Nyt kun tiedämme, että 9 % puhtaasta aineesta on 19,53 kg, voimme määrittää, kuinka monta viinirypälettä tarvitaan 21 kg rusinoiden tuottamiseen. Tätä varten sinun on löydettävä luku sen prosentteina:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
Joten saadaksesi 21 kg rusinoita, sinun on otettava 217 kg rypäleitä.
Tehtävä 3. Tinan ja kuparin seoksessa kuparia on 85 %. Kuinka paljon seosta pitäisi ottaa, jotta se sisältää 4,5 kg tinaa?
Ratkaisu
Jos seoksessa on 85 % kuparia, loput 15 % on tinaa:
Kysymys kuuluu, kuinka paljon seosta pitäisi ottaa, jotta se sisältää 4,5 tinaa. Koska seos sisältää 15 % tinaa, niin näille 15 %:lle putoaa 4,5 kg tinaa.
Ja tietäen, että 4,5 kg metalliseosta on 15%, voimme määrittää koko seoksen massan. Tätä varten sinun on löydettävä luku sen prosentteina:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
Joten seos on otettava 30 kg, jotta se sisältää 4,5 kg tinaa.
Tehtävä 4. Tietty määrä 12-prosenttista suolahappoliuosta sekoitettiin samaan määrään saman hapon 20-prosenttista liuosta. Etsi syntyneen suolahapon pitoisuus.
Ratkaisu
Piirretään ensimmäinen ratkaisu kuvioon suoran viivan muodossa ja valitaan 12%
Koska liuosten määrä on sama, sama kuvio voidaan piirtää vierekkäin havainnollistaen toista liuosta, jonka suolahappopitoisuus on 20 %.
Saimme kaksisataa osaa liuosta (100 % + 100 %), joista kolmekymmentäkaksi osaa on suolahappoa (12 % + 20 %)
Selvitä, mikä osa 32 osaa on 200 osasta
Tämä tarkoittaa, että kun sekoitetaan 12-prosenttista suolahappoliuosta samaan määrään saman hapon 20-prosenttista liuosta, saadaan 16-prosenttinen suolahappoliuos.
Tarkistaaksesi kuvittele, että ensimmäisen liuoksen massa oli 2 kg. Myös toisen liuoksen massa on 2 kg. Sitten kun näitä liuoksia sekoitetaan, saadaan 4 kg liuosta. Ensimmäisessä suolahapon liuoksessa oli 2 × 0,12 = 0,24 kg ja toisessa - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Sitten uudessa suolahappoliuoksessa on 0,24 + 0,40 \u003d 0,64 kg. Kloorivetyhapon pitoisuus on 16 %
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun
, löydämme 60 % numerosta
Nostetaan nyt lukua löydetyllä 60 %:lla, ts. numeroa kohti
Vastaus: uusi arvo on
Tehtävä 12. Vastaa seuraaviin kysymyksiin:
1) Käytti 80 % summasta. Kuinka monta prosenttia tästä summasta on jäljellä?
2) Miehiä on 75% kaikista tehtaan työntekijöistä. Kuinka monta prosenttia tehtaan työntekijöistä on naisia?
3) Tytöt muodostavat 40% luokasta. Kuinka monta prosenttia luokasta on poikia?
MUTTA Ratkaisu
Käytetään muuttujaa. Päästää P Tämä on ongelmassa mainittu alkuperäinen numero. Otetaan tämä alkuperäinen numero P 100 %
Pienennä tätä alkuperäistä numeroa P 50 %
Uusi numero on nyt 50 % alkuperäisestä numerosta. Selvitä, kuinka monta kertaa alkuperäinen numero P enemmän kuin uusi numero. Tätä varten löydämme suhteen 100 %:sta 50 %:iin
Alkuperäinen numero on kaksi kertaa uusi. Tämä näkyy jopa kuvassa. Ja jotta uusi numero olisi yhtä suuri kuin alkuperäinen, se on kaksinkertaistettava. Ja luvun kaksinkertaistaminen tarkoittaa sen kasvattamista 100 prosentilla.
Tämä tarkoittaa, että uutta numeroa, joka on puolet alkuperäisestä, on korotettava 100%.
Kun otetaan huomioon uusi luku, se on myös 100 %. Joten yllä olevassa kuvassa uusi numero on puolet alkuperäisestä numerosta ja on allekirjoitettu 50 %:na. Alkuperäiseen numeroon verrattuna uusi luku on puolet. Mutta jos tarkastelemme sitä erillään alkuperäisestä, se on otettava 100%.
Siksi kuvassa uudeksi numeroksi, jota edustaa viiva, määritettiin ensin 50 %. Mutta sitten määritimme tämän luvun 100 %:ksi.
Vastaus: alkuperäisen numeron saamiseksi uutta numeroa on korotettava 100%.
Ongelma 16. Viime kuussa kaupungissa tapahtui 15 onnettomuutta.
Tässä kuussa luku putosi 6:een. Kuinka monta prosenttia tieliikenneonnettomuuksien määrä väheni?
Ratkaisu
Viime kuussa sattui 15 onnettomuutta. Tässä kuussa 6. Joten onnettomuuksien määrä väheni 9:llä.
Otetaan 15 onnettomuutta 100 %:na. Vähentämällä 15 tapaturmaa 9:llä vähennämme niitä tietyllä prosentilla. Selvittääksemme, mikä niistä on, selvitämme, mikä osa 9 onnettomuudesta on 15 onnettomuudesta
Vastaus: saadun liuoksen pitoisuus on 12 %.
Tehtävä 18. Tietty määrä tietyn aineen 11 % liuosta sekoitettiin samaan määrään saman aineen 19 % liuosta. Etsi syntyneen liuoksen pitoisuus.
Ratkaisu
Molempien liuosten massa on sama. Jokainen ratkaisu voidaan pitää 100 %:na. Liuosten lisäämisen jälkeen saadaan 200 % liuos. Ensimmäisessä liuoksessa ainetta oli 11 % ja toisessa 19 %. Sitten tuloksena olevassa 200 % liuoksessa on 11 % + 19 % = 30 % ainetta.
Määritä syntyneen liuoksen pitoisuus. Tätä varten selvitetään, mikä osa kolmestakymmenestä aineosasta koostuu kahdestasadasta aineen osasta:
1,10. Ensimmäisen kuukauden hinta on siis 1.10.
Toisen kuukauden aikana hinta nousi myös 10 %. Lisäämme tästä hinnasta kymmenen prosenttia nykyiseen hintaan 1,10, saamme 1,10 + 0,10 × 1,10 . Tämä summa on yhtä suuri kuin lauseke 1.21 . Toisen kuukauden hinta on siis 1,21.
Kolmannen kuukauden aikana hinta nousi myös 10 %. Lisätään kymmenen prosenttia tästä hinnasta nykyiseen hintaan 1,21, saadaan 1,21 + 0,10 × 1,21. Tämä summa on yhtä suuri kuin lauseke 1,331 . Silloin kolmannen kuukauden hinta on 1,331.
Laske ero uuden ja vanhan hinnan välillä. Jos alkuperäinen hinta oli 1, niin se nousi 1,331 − 1 = 0,331. Ilmaisemalla tämän tuloksen prosentteina saamme 0,331 × 100 = 33,1 %
Vastaus: kolmen kuukauden aikana elintarvikkeiden hinnat nousivat 33,1 %.
Piditkö oppitunnista?
Liity uuteen Vkontakte-ryhmäämme ja ala saada ilmoituksia uusista oppitunneista
Viimeisessä opetusvideossa pohdimme prosenttiongelmien ratkaisemista mittasuhteiden avulla. Sitten ongelman tilanteen mukaan meidän piti löytää yhden tai toisen suuren arvo.
Tällä kertaa alku- ja loppuarvot on jo annettu meille. Siksi tehtävissä on löydettävä prosenttiosuudet. Tarkemmin sanottuna kuinka monta prosenttia tämä tai tuo arvo on muuttunut. Kokeillaan.
Tehtävä. Tennarit maksavat 3200 ruplaa. Hinnankorotuksen jälkeen ne alkoivat maksaa 4000 ruplaa. Kuinka monta prosenttia lenkkarien hintaa nostettiin?
Ratkaisemme siis suhteellisesti. Ensimmäinen askel - alkuperäinen hinta oli 3200 ruplaa. Siksi 3200 ruplaa on 100%.
Lisäksi meille annettiin lopullinen hinta - 4000 ruplaa. Tämä on tuntematon prosenttiosuus, joten merkitään se x:llä. Saamme seuraavan rakenteen:
3200 — 100%
4000 - x %
No, ongelman tila on kirjoitettu. Teemme osuuden:
Vasemmalla oleva murto-osa pienennetään täydellisesti 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Lisäksi voit pienentää 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Saamme seuraavan osuuden:
Käytetään suhteellisuuden perusominaisuutta: äärimmäisten termien tulo on yhtä suuri kuin keskimmäisten termien tulo. Saamme:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Tämä on tavallinen lineaarinen yhtälö. Täältä löydämme x:
x=1000:8=125
Joten, saimme lopullisen prosenttiosuuden x = 125. Mutta onko luku 125 ratkaisu ongelmaan? Ei todellakaan! Koska tehtävä edellyttää, että otat selvää kuinka paljon lenkkarien hintaa nostettiin.
Kuinka monella prosentilla - tämä tarkoittaa, että meidän on löydettävä muutos:
∆ = 125 − 100 = 25
Saimme 25% - niin paljon alkuperäistä hintaa nostettiin. Tämä on vastaus: 25.
Tehtävä B2 korolle nro 2
Siirrytään toiseen tehtävään.
Tehtävä. Paita maksoi 1800 ruplaa. Hinnan alennuksen jälkeen se alkoi maksaa 1530 ruplaa. Kuinka monta prosenttia paidan hintaa alennettiin?
Käännämme ehdon matemaattiselle kielelle. Alkuhinta 1800 ruplaa on 100%. Ja lopullinen hinta on 1530 ruplaa - tiedämme sen, mutta ei tiedetä, kuinka monta prosenttia se on alkuperäisestä arvosta. Siksi merkitsemme sitä x:llä. Saamme seuraavan rakenteen:
1800 — 100%
1530 - x %
Tuloksena saadun tietueen perusteella muodostamme osuuden:
Jaetaan tämän yhtälön molemmat puolet 100:lla lisälaskutoimien yksinkertaistamiseksi.Toisin sanoen yliviivataan kaksi nollaa vasemman ja oikean murtoluvun osoittajasta. Saamme:
Käytetään nyt taas suhteellisuuden perusominaisuutta: äärimmäisten termien tulo on yhtä suuri kuin keskimääräisten termien tulo.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Vielä on löydettävä x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Saimme, että x = 85. Mutta kuten edellisessä tehtävässä, tämä luku ei sinänsä ole vastaus. Palataan tilaan. Nyt tiedämme, että uusi hinta leikkauksen jälkeen on 85 % vanhasta hinnasta. Ja muutosten löytämiseksi tarvitset vanhasta hinnasta, ts. 100%, vähennä uusi hinta, ts. 85 %. Saamme:
∆ = 100 − 85 = 15
Tämä numero on vastaus: Huomaa: täsmälleen 15, eikä missään tapauksessa 85. Siinä kaikki! Ongelma ratkaistu.
Tarkat opiskelijat todennäköisesti kysyvät: miksi ensimmäisessä tehtävässä eroa löydettäessä vähennimme alkuluvun loppuluvusta, ja toisessa tehtävässä teimme juuri päinvastoin: alkuperäisestä 100 %:sta vähennettiin lopullinen 85 %?
Selvitetään tämä. Muodollisesti matematiikassa arvon muutos on aina loppuarvon ja alkuarvon erotus. Toisin sanoen toisessa tehtävässä meidän olisi pitänyt saada ei 15, vaan -15.
Tätä miinusta ei kuitenkaan saa missään tapauksessa sisällyttää vastaukseen, koska se on jo otettu huomioon alkuperäisen ongelman tilassa. Siellä lukee hinnanalennuksesta. 15 % hinnanalennus on sama kuin -15 % hinnankorotus. Siksi ongelman ratkaisuun ja vastaukseen riittää, että kirjoitat vain 15 - ilman miinuksia.
Toivon, että tällä hetkellä olemme ymmärtäneet kaiken. Tämä päättää tämän päivän oppituntimme. Nähdään pian!
Nykyään nykymaailmassa on mahdotonta tehdä ilman kiinnostusta. Jopa koulussa, 5. luokasta lähtien, lapset oppivat tämän käsitteen ja ratkaisevat ongelmia tällä arvolla. Kiinnostusta löytyy jokaisesta nykyaikaisten rakenteiden alueesta. Otetaan esimerkiksi pankit: lainan ylimaksun määrä riippuu sopimuksessa määritellystä summasta; Myös voiton ulottuvuus vaikuttaa, joten on tärkeää tietää, mikä prosentti on.
Kiinnostuksen käsite
Erään legendan mukaan prosenttiosuus ilmestyi typerän kirjoitusvirheen takia. Säveltäjän piti asettaa numero 100, mutta se sekoitti sen ja muotoili sen seuraavasti: 010. Tämä sai ensimmäisen nollan nousemaan hieman ja toisen putoamaan. Yksiköstä on tullut kenoviiva. Tällaiset manipulaatiot johtivat prosenttimerkin ilmestymiseen. Tietenkin tämän arvon alkuperästä on muitakin legendoja.
Hindut tiesivät prosenteista jo 500-luvulla. Euroopassa, johon käsitteemme liittyy läheisesti, ilmestyi vuosituhannen jälkeen. Ensimmäistä kertaa vanhassa maailmassa belgialainen tiedemies Simon Stevin esitti prosenttiosuuden arvioinnin. Vuonna 1584 sama tiedemies julkaisi ensimmäisen suuruustaulukon.
Sana "prosentti" tulee latinan kielestä pro centum. Jos käännät lauseen, saat "sadasta". Joten prosenttiosuus ymmärretään sadasosana arvosta, numerosta. Tämä arvo on merkitty merkillä%.
Prosenttien ansiosta oli mahdollista verrata yhden kokonaisuuden osia ilman suuria vaikeuksia. Osakkeiden ilmestyminen yksinkertaisti laskelmia suuresti, minkä vuoksi niistä on tullut niin yleisiä.
Murtolukujen muuntaminen prosenteiksi
Desimaaliluvun muuntamiseen prosentteiksi saatat tarvita niin sanottua prosenttikaavaa: murtoluku kerrotaan 100:lla, tulokseen lisätään %.
Jos sinun on muutettava tavallinen murto prosenttiosuudeksi, sinun on ensin tehtävä siitä desimaali ja käytä sitten yllä olevaa kaavaa.
Prosenttien muuntaminen murtoluvuiksi
Sellaisenaan prosenttikaava on melko tavanomainen. Mutta sinun on tiedettävä, kuinka tämä arvo muunnetaan murtolausekkeeksi. Jos haluat muuntaa osuudet (prosentit) desimaaliluvuiksi, sinun on poistettava %-merkki ja jaettava indikaattori 100:lla.
Kaava luvun prosenttiosuuden laskemiseksi
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (opiskelijat).
Vastaus: "5"-valvontatyön kirjoitti 12 opiskelijaa.
Voit käyttää valmiita taulukkoa, jossa näkyy joitain niitä vastaavia murto-osia ja prosentteja.
Osoittautuu, että prosenttikaava näyttää tältä: C \u003d (A ∙ B) / 100, jossa A on alkuperäinen luku (tietyssä esimerkissä 40); B - prosenttimäärä (tässä tehtävässä B = 30%); C on haluttu tulos.
Kaava luvun laskemiseen prosenteista
Seuraava tehtävä osoittaa, mikä prosentti on ja kuinka prosenttiosuudesta löydetään luku.
Vaatetehdas valmisti 1 200 mekkoa, joista 32 % on uudentyylisiä mekkoja. Kuinka monta uudentyylistä mekkoa vaatetehdas valmisti?
1. 1200: 100 = 12 (mekot) - 1 % kaikista valmistetuista tuotteista.
2. 12 x 32 = 384 (mekot).
Vastaus: Tehdas valmisti 384 uutta tyyliä.
Jos sinun on löydettävä luku sen prosenttiosuuden mukaan, voit käyttää seuraavaa kaavaa: C \u003d (A ∙ 100) / B, jossa A on kohteiden kokonaismäärä (tässä tapauksessa A \u003d 1200); B - prosenttimäärä (tietyssä tehtävässä B = 32%); C on haluttu arvo.
Suurenna, pienennä numeroa tietyllä prosentilla
Opiskelijan tulee oppia, mitkä prosentit ovat, kuinka ne lasketaan ja ratkaistaan erilaisia tehtäviä. Tätä varten sinun on ymmärrettävä, kuinka luku kasvaa tai pienenee N%.
Usein annetaan tehtäviä, ja elämässä sinun on selvitettävä, mikä on tietyllä prosentilla korotettu luku. Jos esimerkiksi annetaan luku X. Sinun on selvitettävä, mikä on X:n arvo, jos sitä korotetaan esimerkiksi 40%. Ensin sinun on muutettava 40 % murtoluvuksi (40/100). Joten luvun X lisäämisen tulos on: X + 40% ∙ X \u003d (1 + 40 / 100) ∙ X \u003d 1,4 ∙ X. Jos korvaamme minkä tahansa luvun X:n sijaan, ota esimerkiksi 100 , silloin koko lauseke on yhtä suuri: 1,4 ∙ X \u003d 1,4 ∙ 100 \u003d 140.
Suunnilleen samaa periaatetta käytetään, kun lukua pienennetään tietyllä prosentilla. On tarpeen suorittaa laskelmat: X - X ∙ 40% \u003d X ∙ (1-40 / 100) \u003d 0,6 ∙ X. Jos arvo on 100, niin 0,6 ∙ X \u003d 0,6. 100 = 60.
On tehtäviä, joissa sinun on selvitettävä, kuinka monta prosenttia määrä on kasvanut.
Esimerkiksi annettuna tehtävän: Kuljettaja ajoi yhtä rataosuutta pitkin 80 km/h nopeudella. Toisella osuudella junan nopeus nousi 100 km/h:iin. Kuinka monta prosenttia junan nopeus kasvoi?
Oletetaan, että 80 km/h on 100%. Sitten teemme laskelmia: (100% ∙ 100 km / h) / 80 km / h = 1000: 8 = 125%. Osoittautuu, että 100 km / h on 125%. Saadaksesi selville, kuinka paljon nopeus on kasvanut, sinun on laskettava: 125% - 100% = 25%.
Vastaus: junan nopeus toisella osuudella kasvoi 25 %.
Suhde
Usein on tapauksia, joissa on tarpeen ratkaista prosenttiosuuksia koskevia tehtäviä suhteessa suhteeseen. Itse asiassa tämä menetelmä tuloksen löytämiseksi helpottaa suuresti opiskelijoiden, opettajien eikä vain tehtävää.
Joten mikä on suhteellinen? Tämä termi viittaa kahden suhteen yhtäläisyyteen, joka voidaan ilmaista seuraavasti: A / B \u003d C / D.
Matematiikan oppikirjoissa on tällainen sääntö: ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskiarvon tulo. Tämä ilmaistaan seuraavalla kaavalla: A x D = B x C.
Tämän muotoilun ansiosta mikä tahansa luku voidaan laskea, jos osuuden kolme muuta termiä tunnetaan. Esimerkiksi A on tuntematon luku. Löytääksesi sen tarvitset
Kun ratkaistaan ongelmia suhteellisuusmenetelmällä, on ymmärrettävä, mistä luvusta prosenttiosuudet otetaan. Joskus osakkeita on otettava eri arvoista. Vertailla:
1. Myymälämyynnin päätyttyä T-paidan hinta nousi 25 % ja oli 200 ruplaa. Mikä oli hinta alennuksen aikana.
Tässä tapauksessa 200 ruplan arvo vastaa 125% T-paidan alkuperäisestä (myynti)hinnasta. Sitten saadaksesi selville sen arvon myynnin aikana, tarvitset (200 x 100): 125. Saat 160 ruplaa.
2. Vitsencia-planeetalla asuu 200 000 asukasta: Naavi-ihmisten ja humanoidirodun edustajia. Naavi muodostaa 80 % Vicencian koko väestöstä. Ihmisistä 40 % työskentelee kaivoksen kunnossapidossa, loput louhitaan teetaania varten. Kuinka moni ihminen kaivaa tetaania?
Ensinnäkin sinun on löydettävä numeromuodossa ihmisten lukumäärä ja Naavien lukumäärä. Joten 80 % 200 000:sta on 160 000. Niin monia humanoidirodun edustajia asuu Vicenciassa. Henkilömäärä on vastaavasti 40 000. Näistä 40 % eli 16 000 palvelee kaivosta. Joten 24 000 ihmistä työskentelee teetanin louhinnassa.
Luvun moninkertainen muutos tietyllä prosentilla
Kun on jo selvää, mikä prosentti on, sinun on tutkittava absoluuttisen ja suhteellisen muutoksen käsite. Absoluuttinen muunnos ymmärretään luvun kasvuksi tietyllä luvulla. Joten X on kasvanut 100:lla. Korvaa X:n millä tahansa, tämä luku kasvaa silti 100:lla: 15 + 100; 99,9 + 100; +100 jne.
Suhteellinen muutos ymmärretään arvon nousuksi tietyllä prosentilla. Oletetaan, että X on kasvanut 20 %. Tämä tarkoittaa, että X on yhtä suuri kuin: X + X ∙ 20%. Suhteellisella muutoksella tarkoitetaan aina, kun puhutaan puolen tai kolmanneksen kasvusta, neljänneksen laskusta, 15 prosentin lisäyksestä jne.
On toinen tärkeä kohta: jos X:n arvoa lisätään 20% ja sitten vielä 20%, niin tuloksena kokonaislisäys on 44%, mutta ei 40%. Tämä voidaan nähdä seuraavista laskelmista:
1. X + 20 % ∙ X = 1,2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20 % ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
Tämä osoittaa, että X on kasvanut 44 prosenttia.
Esimerkkejä prosenttitehtävistä
1. Kuinka monta prosenttia luvusta 36 on luku 9?
Luvun prosenttiosuuden löytämiskaavan mukaan sinun on kerrottava 9 100:lla ja jaettava 36:lla.
Vastaus: Numero 9 on 25 % luvusta 36.
2. Laske luku C, joka on 10 % luvusta 40.
Kaavan mukaan luvun löytämiseksi sen prosenttiosuudella, sinun on kerrottava 40 10:llä ja jaettava tulos 100:lla.
Vastaus: Numero 4 on 10 % 40:stä.
3. Ensimmäinen kumppani sijoitti liiketoimintaan 4 500 ruplaa, toinen 3 500 ruplaa, kolmas 2 000 ruplaa. He tekivät voittoa 2400 ruplaa. He jakoivat voitot tasan. Kuinka paljon ruplaa ensimmäinen kumppani menetti verrattuna siihen, kuinka paljon hän olisi saanut, jos he olisivat jakaneet tulot sijoitettujen varojen prosenttiosuuden mukaan?
Joten he sijoittivat yhdessä 10 000 ruplaa. Jokaisen tulot olivat yhtä suuret 800 ruplaa. Jotta voit selvittää, kuinka paljon ensimmäisen kumppanin olisi pitänyt saada ja kuinka paljon hän menetti, sinun on selvitettävä sijoitettujen varojen prosenttiosuus. Sitten sinun on selvitettävä, kuinka paljon voittoa tämä panos tuottaa ruplissa. Ja viimeinen asia on vähentää tuloksesta 800 ruplaa.
Vastaus: ensimmäinen kumppani menetti 280 ruplaa jakaessaan voittoja.
Vähän taloutta
Nykyään melko suosittu kysymys on lainan myöntäminen tietylle ajanjaksolle. Mutta kuinka valita kannattava laina, jotta et maksa liikaa? Ensinnäkin sinun on katsottava korkotasoa. On toivottavaa, että tämä indikaattori on mahdollisimman alhainen. Silloin kannattaa hakea lainaa.
Liiallisen maksun suuruuteen vaikuttavat pääsääntöisesti velan määrä, korko ja takaisinmaksutapa. On annuiteetti ja Ensimmäisessä tapauksessa laina maksetaan takaisin tasaerissä kuukausittain. Välittömästi päälainan kattava määrä kasvaa ja korkokustannukset laskevat vähitellen. Toisessa tapauksessa lainanottaja maksaa lainan takaisinmaksuna kiinteät summat, joihin lisätään korkoa päävelan saldolle. Kuukausittain maksujen kokonaismäärä pienenee.
Nyt sinun on harkittava molempia tapoja, joten annuiteettivaihtoehdolla ylimaksun määrä on suurempi ja erotusvaihtoehdolla ensimmäisten maksujen määrä. Lainaehdot ovat luonnollisesti samat molemmissa tapauksissa.
Johtopäätös
Siis kiinnostusta. Kuinka ne lasketaan? Tarpeeksi yksinkertainen. Joskus ne voivat kuitenkin olla ongelmallisia. Tätä aihetta aletaan tutkia koulussa, mutta se tavoittaa kaikki lainojen, talletusten, verojen jne. alalla. Siksi on suositeltavaa syventää tämän asian ydintä. Jos et vieläkään voi tehdä laskelmia, on olemassa monia online-laskimia, jotka auttavat sinua selviytymään tehtävästä.
Prosentin käsite esiintyy elämässämme liian usein, joten on erittäin tärkeää osata ratkaista ongelmia prosenttien avulla. Periaatteessa tämä ei ole vaikea asia, tärkeintä on ymmärtää kiinnostuneena työskentelyn periaate.
Mikä on prosentti
Toimimme 100 prosentin käsitteellä ja sen mukaisesti yksi prosentti on sadasosa tietystä luvusta. Ja kaikki laskelmat perustuvat jo tähän suhteeseen.
Esimerkiksi 1 % 50:stä on 0,5, 15 700:sta on 7.
Miten päättää
- Kun tiedät, että yksi prosentti on sadasosa esitetystä luvusta, voit löytää minkä tahansa määrän vaadittuja prosenttiosuuksia. Selvyyden vuoksi yritetään löytää 6 prosenttia luvusta 800. Tämä tehdään yksinkertaisesti.
- Ensin löydämme yhden prosentin. Voit tehdä tämän jakamalla 800 100:lla. Osoittautuu, että 8.
- Nyt kerromme tämän yhden prosentin, eli 8, tarvitsemallamme prosentilla, eli 6:lla. Siitä tulee 48.
- Korjaa tulos toistamalla.
15 % 150:stä. Ratkaisu: 150/100*15=22.
28 % 1582:sta. Ratkaisu: 1582/100*28=442.
- On muitakin ongelmia, kun sinulle annetaan arvot, ja sinun on löydettävä prosenttiosuudet. Tiedät esimerkiksi, että myymälässä on 5 helakanpunaista ruusua 75 valkoisesta ruususta, ja sinun on tiedettävä kuinka monta prosenttia helakanpunaisia ruusuja on. Jos emme tiedä tätä prosenttiosuutta, merkitsemme sitä x:llä.
Tälle on kaava: 75 - 100 %
Tässä kaavassa luvut kerrotaan ristiin, eli x \u003d 5 * 100/75. Osoittautuu, että x \u003d 6% Joten punaisten ruusujen prosenttiosuus on 6%.
- Prosentteille on olemassa toisenlainen ongelma, kun sinun on löydettävä kuinka monta prosenttia yksi luku on suurempi tai pienempi kuin toinen. Kuinka ratkaista prosenttiongelmia tässä tapauksessa?
Luokassa on 30 oppilasta, joista 16 on poikia. Kysymys kuuluu, kuinka monta prosenttia pojista on enemmän kuin tyttöjä. Ensin sinun on laskettava, kuinka suuri prosenttiosuus opiskelijoista on poikia, sitten sinun on selvitettävä, kuinka suuri prosenttiosuus tytöistä. Ja lopulta löytää ero.
Joten aloitetaan. Teemme osuuden 30 tilistä. - 100 %
16 tiliä -X %
Nyt lasketaan. X=16*100/30, x=53,4 % luokan kaikista oppilaista on poikia.
Etsi nyt samassa luokassa olevien tyttöjen prosenttiosuus. 100-53,4 = 46,6 %
Nyt on vain löydettävä ero. 53,4-46,6 = 6,8 %. Vastaus: poikia on enemmän kuin tyttöjä 6,8 %.
Avainkohdat kiinnostuksen kohteiden ratkaisemisessa
Muista siis muutama perussääntö, jotta sinulla ei ole ongelmia prosenttiongelmien ratkaisemisessa:
- Jotta et joutuisi hämmentymään prosenttiongelmiin, ole aina valppaana: siirry tietyistä arvoista prosenttiosuuksiin ja päinvastoin tarvittaessa. Pääasia, ettei koskaan sekoita toisiaan keskenään.
- Ole varovainen laskeessasi prosentteja. On tärkeää tietää, mistä tietystä arvosta sinun on laskettava. Peräkkäisissä arvojen muutoksissa prosenttiosuus lasketaan viimeisestä arvosta.
- Ennen kuin kirjoitat vastauksen muistiin, lue koko tehtävä uudelleen, koska voi olla, että olet löytänyt vain välivastauksen ja sinun on suoritettava vielä yksi tai kaksi toimenpidettä.
Siten ongelmien ratkaiseminen prosenteilla ei ole niin vaikea asia, tärkeintä siinä on tarkkaavaisuus ja tarkkuus, kuten kaikessa matematiikassa. Ja älä unohda, että harjoittelua tarvitaan kaikkien taitojen parantamiseksi. Joten päätä enemmän, niin kaikki on hyvin tai jopa erinomaista sinulle.
1 % on luvun sadasosa.1% = 0,01.
Prosenttiosuuksien löytäminen luvusta.
Jos haluat löytää luvun prosenttiosuuden, voit ilmaista prosenttiosuuden desimaalilukuna ja kertoa luvun tuloksena olevalla desimaalimurtoluvulla.
Luvun löytäminen sen prosentteina.
Jos haluat löytää luvun sen prosenttiosuudella, voit esittää prosenttiosuuden desimaalimurtolukuna ja jakaa tämän luvun tuloksena olevalla desimaalimurtoluvulla.
Saadaksesi selville, kuinka monta prosenttia yksi luku on toisesta, voit jakaa yhden luvun toisella ja kertoa tuloksena olevan tuotteen 100:lla.
Kuinka ratkaista prosenttiongelmia. Esimerkkejä.
Prosenttiosuuden löytäminen luvusta liittyy luvun murto-osan löytämiseen. Korko on erityinen tapa kirjoittaa tavallinen murtoluku, joten koron käsitteen merkitys tulee alkaa paljastaa tavallisen murto-osan käsitteen ymmärtämisestä.
Otetaan esimerkiksi muutama yhteinen murtoluku. Mikä on kunkin tällaisen merkinnän merkitys?
Nämä ovat esimerkkejä säännöllisistä murtoluvuista. Jokaisen nimittäjä osoittaa, kuinka moneen yhtä suureen osaan tietty todellinen tai abstrakti objekti on jaettava, osoittaja näyttää kuinka monta tällaista osaa on otettava. Otetaan esimerkkinä säännöllinen murtoluku. Esimerkiksi. Tämän ilmaisun merkitys voidaan paljastaa seuraavasti. Jotkut oikeat esineet jaettiin kolmeen yhtä suureen osaan ja niistä otettiin 2 osaa.
Todelliseksi esineeksi voit ottaa esimerkiksi suorakulmion.
Tämä lauseke on a:n ja b:n osamäärä, jossa b ei ole yhtä suuri kuin 0.
Tämä on lukujen a ja b suhde, jossa b ei ole yhtä suuri kuin 0.
Tämä on tavallinen murto-osa. a on osoittaja, b on nimittäjä (b ei ole 0).
Esimerkki 1 Tynnyrin tilavuus oli 200 litraa, ja tynnyrit täytettiin vedellä. Mikä tämän ehdotuksen tarkoitus on?
- tämä murto-osa tarkoittaa, että tietty esine jaettiin 5 yhtä suureen osaan ja niistä otettiin 2 osaa. Tämän ongelman kohteena on tynnyrin tilavuus 200 litraa, joten
200:5 = 40,
402 = 80.
80 litraa vettä kaadettiin tynnyriin.
Yllä oleva esimerkki on tyypillinen esimerkki luvun murto-osan löytämisestä.
Jos haluat löytää luvun murto-osan, sinun on kerrottava luku tällä murtoluvulla.
Nyt voimme siirtyä prosenttiosuuksiin.
Prosentin käsite määritellään seuraavasti: 1 % luvusta on luvun sadasosa, eli 1 % \u003d 0,01.
Sitten lauseen merkitys a % luvusta b voidaan selittää näin. Jokin objekti (jonka arvo on yhtä suuri kuin b yksiköt) jaettu 100 yhtä suureen osaan ja otettu niistä a osat.
Esimerkki 2 Mashalla oli 400 ruplaa. Hän käytti 24 prosenttia tästä summasta. Mitä tämä sanonta tarkoittaa?
Koska 24% \u003d 0,24 ja 0,24, tarkoittaa, että tietty esine jaettiin 100 yhtä suureen osaan ja niistä otettiin 24 osaa. Tässä tapauksessa kohteena on 400 ruplaa vastaava rahamäärä, joten
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha käytti 96 ruplaa.
Yllä oleva esimerkki on tyypillinen esimerkki luvun prosenttiosuuksien löytämisestä.
Esimerkki 3 Pitää löytää R%
numerosta b
.
Olkoon x numero, joka meidän on löydettävä.
p%
= 0,01p,
x = b
0,01p
Lukujen prosenttiosuuksien löytämiseksi sinun on esitettävä prosenttiosuuksien määrä desimaalilukuna ja kerrottava annettu luku tällä desimaalimurtoluvulla.
Toinen lähestymistapa tähän ongelmaan. Voit käyttää suhteellisuuden käsitettä ja ominaisuuksia. Jos muistamme, että suhde on kahden suhteen yhtäläisyys ja kahden luvun suhde on tavallinen murtoluku, niin tämä menetelmä liittyy myös tavallisen murtoluvun käsitteeseen.
b - 100 %
x - p%,
Meillä on suhde:
b: 100 = x: p, (b on 100, kun x on p), mistä,
Esimerkki 4 Olkoon numeroita a ja b , lisäksi a >b Sitten numero a lisää numeroa b prosentilla.
Lähestytään tätä ongelmaa hieman eri tavalla. Tarkastellaan yksinkertaista erikoistapausta, esimerkiksi tätä: "Kuinka monta prosenttia luku 10 on suurempi kuin luku 2?".
1. Vähennä pienempi luku suuremmasta. 10 - 2 = 8. Silloin 10 on suurempi kuin 2 x 8.
2. Etsi löydetyn luvun suhde pienempään lukuun. 8:2=4 on kahden luvun suhde!
3 Ilmaisemme suhteen prosentteina 4100 = 400 %.
Luku 10 on 400 % suurempi kuin numero 2.
Jos jaamme 8:lla 10:llä, löydämme suhteen, joka osoittaa kuinka paljon arvosta 10 2 on pienempi kuin 10 (tässä vertailu on numeron 10 kanssa.
Numero 2 on 80 % pienempi kuin numero 10.
Esimerkki 5 Traktorinkuljettaja kynsi 6 hehtaaria, joka on koko pellolta. Mikä on koko kentän pinta-ala.
Tämä on tyypillinen ongelma löytää luku sen murtoluvulla. Olkoon koko kentän pinta-ala x,
niin meillä on yhtälö x= 6. Mistä x = 6:; x = 26. Pellon pinta-ala on 26 ha.
Löytääksesi luvun sen murtoluvulla, sinun on jaettava annettua murtolukua vastaava luku murtoluvulla.
Esimerkki 6. Annettu numero b, mikä on p% numerosta a. Etsi numero a.
p%
= 0,01p
b
= 0,01pa
a = b: (0,01p)
Annettu numero b , mikä on p% numerosta a .
Etsi numero a .
a - 100 %
b-p %
a:100 = b:p
Yhdistetyn koron kaava.
Jos talletuksella on määrä a rahayksiköt ja pankkikulut R%
vuodessa, sitten läpi n
vuotta, talletuksen määrä on rahayksikköä tai
a(1+0.01p)n
rahayksiköt.
Esimerkki 7 Talon rakentaminen maksoi 9 800 ruplaa, josta 35% maksettiin työstä ja loput materiaalista. Paljonko materiaalit maksoivat?
Työstä maksettu:
0,359800 = 3430.
Siksi materiaalit maksavat: 9800 - 3430 = 6370.
Vastaus: 6370 ruplaa.
Esimerkki 8 Säiliöön kaadettiin 37,4 tonnia bensiiniä, minkä jälkeen säiliön tilavuudesta jäi täyttämättä 6,5 %. Kuinka paljon bensaa pitää lisätä tankkiin täyttääkseen sen?
Jos säiliön täyttämätön osa on 6,5 % tilavuudesta, täytetty osa on: 100 % - 6,5 % = 93,5 %. Sitten, jos x on bensiinin massa, joka on vielä lisättävä säiliöön, meillä on suhde
missä 
.
Vastaus: 2,6 tonnia.
Esimerkki 9 Etsi luku tietäen, että 25% siitä on 45% luvusta 640.
Olkoon x haluttu luku. Meillä on
0,25x = 0,45640.
Vastaus: 1152.
Esimerkki 10 Luku a on 92 % luvusta b. Jos lukua b suurennetaan 700:lla, niin uusi luku on 9 % suurempi kuin luku a. Etsi luvut a ja b.
Tehtävän ehdosta meillä on yhtälöjärjestelmä:
Ratkaisemalla tuloksena olevan järjestelmän löydämme, a = 230000, b = 250000.
Vastaus: 230000; 250 000.
Esimerkki 11. Ensimmäinen numero on 50 % toisesta. Kuinka monta prosenttia ensimmäisestä on toinen?
Merkitään toinen luku x:llä, jolloin ensimmäinen luku on yhtä suuri kuin 0,5x. Selvittääksesi kuinka monta prosenttia on luku x luvusta 0,5x; Tehdään suhde:
josta löydämme
Vastaus: 200%.
Esimerkki 12. Lyseossa on 260 oppilasta, joista 10 % epäonnistuu. Sen jälkeen kun tietty määrä huonosti suoriutuneita oli karkotettu, heidän prosenttiosuutensa putosi 6,4 prosenttiin. Kuinka monta opiskelijaa keskeytti?
Ennen karkotusta aliosaajien määrä ennen karkotusta oli yksin
Annetaan x henkilöä karkottaa. Sitten lyseumiin jäi yhteensä 260 oppilasta, joista 26 epäonnistui. Meillä on osuus
260 - x - 100 %
(260 - x)0,064=(26 - x)100,
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön saamme x = 10.
Esimerkki 13 Kuinka monta prosenttia 250 on suurempi kuin 200?
Tehdään kaksi asiaa.
1) Selvitämme kuinka monta prosenttia on luku 250 tonnia luvusta 200:
2) Koska tämän esimerkin luku 200 on 100%, niin luku 250 on suurempi kuin luku 200 125% -100% = 25%.
Vastaus: 25%.
Esimerkki 14 Kuinka monta prosenttia on 200 pienempi kuin 250?
1) Selvitä kuinka monta prosenttia on luku 200 luvusta 250 (toisin kuin edellisessä esimerkissä, tässä sinun on otettava luku 250 100 prosentiksi!):
2) Luku 200 on 100 % pienempi kuin luku 250 - 80 % = 20 %.
Vastaus: 20%.
Esimerkki 15 Tiilen pituutta lisättiin 30 %, leveyttä 20 % ja korkeutta 40 %. Nousiko vai laskiko tiilien tilavuus tästä ja kuinka paljon?
Olkoon tiilen alkuperäinen pituus x, leveys - y, korkeus - z. Sitten tiilen alkutilavuus: V 1 = xyz. Uudet tiilikoot: 1,3x; 1,2 v; 0,6z ja uusi tilavuus: V 2 \u003d 1,3x1,2y0,6z \u003d 0,936xyz. V2:sta lähtien< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Vastaus: laski 6,4 %.
Esimerkki 16 Hyödykkeen hinta laski 40 % ja sitten vielä 25 %. Kuinka monta prosenttia tuotteen hinta on laskenut alkuperäisestä hinnastaan?
Olkoon x tuotteen alkuperäinen hinta. Ensimmäisen pudotuksen jälkeen hinta on sama kuin
x - 0, 4x = 0,6x.
Toinen hinnanalennus on 25 % uudesta hinnasta 0,6x, joten toisen laskun jälkeen meillä on hinta
0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.
Kahden laskun jälkeen kokonaishinnanmuutos on:
x - 0,45x = 0,55x.
Koska arvo on 0,55x; on 55 % x:stä, silloin tavaran hinta on laskenut 55 %.
Vastaus: 55%.
Esimerkki 17. Tuotantoyksikön alkuperäinen hinta oli 75 ruplaa. Ensimmäisen tuotantovuoden aikana se nousi tietyn prosentin verran ja toisena vuonna se laski (suhteessa nousseen arvoon) saman verran, minkä seurauksena se oli 72 ruplaa. Määritä tuotantoyksikön kustannusten prosentuaalinen nousu ja lasku.
Olkoon x % tuotantoyksikön kustannusten prosentuaalinen lisäys (ja lasku). Määritelmän mukaan x % 75:stä on 750,01x. Sitten ensimmäisen korotuksen jälkeen hinta on 75 + 0,75x.
Toisen vuoden aikana hinta laskee
0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x2.
Nyt voimme kirjoittaa yhtälön lopulliselle hinnalle
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x 2 \u003d 400; siis x 1 = - 20, x 2 = 20.
Vain yksi tämän yhtälön juuri on sopiva: x 2 \u003d 20.
Vastaus: 20%.
Esimerkki 18. Pankkitilille talletettiin 10 tuhatta ruplaa. Kun rahat olivat olleet yhden vuoden, tililtä nostettiin tuhat ruplaa. Vuotta myöhemmin tili oli 11 tuhatta ruplaa. Määritä, kuinka monta prosenttia vuodessa pankki veloittaa.
Pankki veloittaa p% vuodessa.
1) 10 000 ruplan määrä, joka talletetaan pankkitilille p% vuodessa, nousee arvoon
10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 hieroa.
Kun tililtä nostetaan 1000 ruplaa, sinne jää 9000 + 100 ruplaa.
2) Toisena vuonna jälkimmäinen arvo nousee arvoon 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 ruplaa koron kertymisen vuoksi.
Ehdolla tämä arvo on 11 000 ruplaa, joten meillä on toisen asteen yhtälö.
p 2 + 190r + 9000 = 11000;
r 2 + 190r - 2000 = 0
, ratkaisemme tämän toisen asteen yhtälön käyttämällä Vietten lausetta, p 1 \u003d 10, p 2 \u003d -200.
Negatiivinen juuri ei sovellu.
Vastaus: 10%.
Esimerkki 19. Kaupungissa on tällä hetkellä 48 400 asukasta. Tiedetään, että tämän kaupungin väkiluku kasvaa vuosittain 10%. Kuinka monta asukasta kaupungissa oli kaksi vuotta sitten?
Oletetaan, että kaksi vuotta sitten kaupungin asukasluku oli x henkilöä, niin asukasmäärä ilmaistaan tällä hetkellä x:n avulla korkokaavalla:
x(1+0.1)2 = 1.21x.
Ongelmalauseesta:
Vastaus: 40 000 ihmistä.
