Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

JOHDANTO

"Yhtälö on kultainen avain, joka avaa kaiken matemaattisen seesamin"

S. Koval

Koulussa saatu matemaattinen koulutus on erittäin tärkeä osa nykyaikaisen ihmisen elämää. Melkein kaikki, mikä meitä ympäröi, liittyy tavalla tai toisella matematiikkaan. Monien käytännön ongelmien ratkaisu rajoittuu erityyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen.

Yhtälöt ovat koko algebran kurssin laajin aihe. Viime lukuvuonna algebran tunneilla tutustuttiin toisen asteen yhtälöihin. Neliöyhtälöitä käytetään laajasti erilaisten ongelmien ratkaisemisessa sekä matematiikan että fysiikan ja kemian alalla.

Matematiikan koulukurssilla opitaan perusmenetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. On kuitenkin olemassa muita menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, joista osa mahdollistaa niiden nopean, rationaalisen ratkaisemisen.

Teimme kyselyn 84 oppilaalle luokilla 8-9 kahdessa kysymyksessä:

Mitä menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi tiedät?

Mitä käytät eniten?

Kyselyn tulosten perusteella saatiin seuraavat tulokset:

Tulosten analysoinnin jälkeen päädyimme siihen johtopäätökseen, että useimmat opiskelijat käyttävät juurikaavoja ratkaiseessaan toisen asteen yhtälöitä diskriminantilla eivätkä ole hyvin tietoisia asteen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Näin ollen valitsemamme aihe on ajankohtainen.

Asetamme itsemme eteen päämäärä: opiskella ei-perinteisiä tapoja ratkaista toisen asteen yhtälöitä, perehdyttää 8. ja 9. luokkien opiskelijat erilaisiin ratkaisumenetelmiin, kehittää kykyä valita rationaalinen tapa ratkaista toisen asteen yhtälö.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi sinun on ratkaistava seuraavat asiat tehtävät:

kerätä tietoa eri tavoista ratkaista toisen asteen yhtälöitä,

hallitsemaan löydetyt ratkaisut,

kirjoita ohjelma toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Excelissä toisen asteen yhtälön juurten kaavoilla,

kehittää didaktista materiaalia oppituntia tai koulun ulkopuolista toimintaa varten epästandardeista menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi,

suorittaa oppitunti "Epätavalliset tavat ratkaista toisen asteen yhtälöitä" 8-9-luokkien oppilaiden kanssa.

Tutkimuskohde: toisen asteen yhtälöt.

Tutkimusaihe: eri tapoja ratkaista toisen asteen yhtälöitä.

Uskomme, että työn käytännön merkitys piilee mahdollisuudessa käyttää tekniikka- ja menetelmäpankkia toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi matematiikan tunneilla ja opetuksen ulkopuolisissa toimissa sekä 8-9-luokkien opiskelijoiden perehdyttämisessä tähän materiaaliin.

LUKU 1. Epätavallisia menetelmiä NELIÖYHTOJEN RATKAISEMINEN

1. 1. KERTOIMIEN OMINAISUUDET (a,b,c)

Menetelmä perustuu kertoimien ominaisuuksiin a,b,c:

Jos a+b+c=0, sitten = 1, =

Esimerkki:

-6x 2 + 2x +4 = 0, sitten = 1, = = .

Jos a-b+c=0, sitten = -1, = -

Esimerkki:

2017x 2 + 2001x +16 = 0, sitten = -1, -.

1. 1. KERTOIMIEN RIIPPUVUUDET (a,b,c)

Seuraavat kertoimien riippuvuudet ovat voimassa a,b,c:

Jos b = a 2 +1, c = a, niin x 1 = -a; x 2 \u003d -.

Jos b=-(a2+1), a=c, niin x1=a; x 2 =.

Jos b=a 2-1, c=-a, niin x1 =-a; x 2 = .

Jos b=-(a2-1), -a=c, niin x1=a; x 2 \u003d -.

Ratkaistaan ​​seuraavat yhtälöt:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 = 13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 = 10 x 2 =-0,1.

1. 1. PÄÄKERtoimen "KÄÄNTÖ".

Kerroin a kerrotaan vapaalla termillä, ikään kuin "siirretty" siihen, joten sitä kutsutaan "siirto"-menetelmäksi. Lisäksi juuret löytyvät Vietan lauseesta. Löydetyt juuret jaetaan aiemmin siirretyllä kertoimella, jonka ansiosta löydämme yhtälön juuret.

Esimerkki:

2x 2 - 3x + 1 = 0.

"Siirretään" kerroin 2 vapaaseen termiin, tuloksena saadaan yhtälö

klo 2 - 3v + 2 = 0.

Vietan lauseen mukaan

klo 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

klo 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Vastaus: 0,5; yksi.

1. 1. GRAAFIINEN RATKAISUTETAPA

Jos yhtälössä a x 2 + bx + c= 0 siirrä toinen ja kolmas termi oikealle, niin saadaan a x 2 = -bx-c .

Rakennetaan riippuvuuskaavioita klo= kirves 2 ja klo= -bx-c yhdessä koordinaattijärjestelmässä.

Ensimmäisen riippuvuuden kuvaaja on origon kautta kulkeva paraabeli. Toisen riippuvuuden kuvaaja on suora.

Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

suora ja paraabeli voivat leikata kahdessa pisteessä, leikkauspisteiden abskissat ovat toisen asteen yhtälön juuria;

viiva ja paraabeli voivat koskettaa (vain yksi yhteinen piste), ts. yhtälöllä on yksi ratkaisu;

suoralla ja paraabelilla ei ole yhteisiä pisteitä, ts. toisen asteen yhtälöllä ei ole juuria.

Ratkaistaan ​​seuraavat yhtälöt:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

Yhdessä koordinaattijärjestelmässä rakennamme funktion y \u003d x 2 kaavion ja funktion y \u003d - 2x + 3 kaavion. Merkitsemällä leikkauspisteiden abskissoja saamme vastauksen.

Vastaus: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

Yhdessä koordinaattijärjestelmässä rakennamme funktion y \u003d x 2 kaavion ja funktion y \u003d -6x - 9 kaavion. Merkitsemällä kosketuspisteen abskissaa saamme vastauksen.

Vastaus: x = - 3.

3) 2x 2 + 4x +7 = 0

2x 2 = - 4x - 7

Yhdessä koordinaattijärjestelmässä rakennamme funktion y \u003d 2x 2 kaavion ja funktion kaavion

Paraabelilla y \u003d 2x 2 ja suoralla y \u003d - 4x - 7 ei ole yhteisiä pisteitä, joten yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

1. 1. NELION YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN KOMPASSIN JA VIVOITTIMEN AVULLA

Ratkaisemme yhtälön ax 2 + bx + c \u003d 0:

Muodostetaan pisteet S(-b:2a,(a+c):2a) - ympyrän keskipiste ja piste A(0,1).

Piirrä ympyrä, jonka säde on SA.

Ox-akselin leikkauspisteiden abskissat ovat alkuperäisen yhtälön juuret.

Tässä tapauksessa kolme tapausta on mahdollista:

1) Ympyrän säde on suurempi kuin keskipisteen ordinaat AS>SK, tai R>), ympyrä leikkaa akselin vai niin kahdessa kohdassa..B( X 1 ; 0) ja D(x 2 ;0), missä X 1 ja X 2 - toisen asteen yhtälön juuret vai niin 2 + bx + c = 0.

2) Ympyrän säde on yhtä suuri kuin keskustan ordinaat AS = SВ, tai R=), ympyrä koskettaa akselia vai niin pisteessä B( X 1 ; 0), missä X 1 on toisen asteen yhtälön juuri.

3) Ympyrän säde on pienempi kuin keskipisteen ordinaat KUTEN< SВ , tai R< ), ympyrällä ei ole yhteisiä pisteitä x-akselin kanssa, jolloin yhtälöllä ei ole ratkaisua.

a) AS > SВ tai R >, b) AS = SВ tai R= sisään) KUTEN< SВ, tai R< .

Kaksi Ratkaisua X 1 ja X 2 . Yksi Ratkaisu X 1.. Ei ole ratkaisua.

Esimerkki 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

Ratkaisu:

Piirretään sädeympyrä SA, missä MUTTA (0;1).

Vastaus: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3.

Esimerkki 2: x 2 - 6x + 9 = 0.

Ratkaisu: Etsi koordinaatit S: x=3, y=5.

Vastaus: x=3.

Esimerkki 3: x 2 + 4 x + 5 = 0.

Ratkaisu: Ympyrän keskipisteen koordinaatit: x= - 2 ja y = 3.

Vastaus: ei juuria

1. 1. NOMOGRAMIN RATKAISU

Nomogrammi (kreikan kielestä "nomos" - laki ja gramma), graafinen esitys useiden muuttujien funktiosta, joka mahdollistaa yksinkertaisten geometristen operaatioiden (esimerkiksi viivaimen käyttämisen) funktionaalisten riippuvuuksien tutkimiseen ilman laskelmia. Ratkaise esimerkiksi toisen asteen yhtälö ilman kaavoja.

Tämä on vanha ja tällä hetkellä unohdettu tapa ratkaista toisen asteen yhtälöitä, joka on sijoitettu kokoelman sivulle 83: Bradis V.M. "Neliulotteiset matemaattiset taulukot". - M., "DROFA", 2000. Taulukko XXII. Nomogrammi yhtälön ratkaisemiseen z 2 + pz + q = 0(katso liite 1).

Tämän nomogrammin avulla voit määrittää yhtälön juuret kertoimillaan ratkaisematta neliöyhtälöä.

Nomogrammin kaareva asteikko rakennetaan kaavojen mukaan: OV= , AB =

Olettaen OS = p, ED = q, OE = a(kaikki senttimetreinä), samanlaisista kolmioista SAN ja CDF saadaan suhde, josta substituutioiden ja yksinkertaistamisten jälkeen seuraa yhtälö z 2 + pz + q = 0 ja kirjain z tarkoittaa minkä tahansa kaarevan asteikon pisteen leimaa.

Esimerkki 1: z 2 - 9z + 8 = 0.

P-asteikolta löytyy merkki -9 ja q-asteikolta merkki 8. Näiden merkkien läpi vedetään suora viiva, joka leikkaa nomogrammiasteikon käyrän pisteissä 1 ja 8. Siksi yhtälön 1 juuret ja 8.

Vastaus: 1; kahdeksan.

Juuri tämä yhtälö on ratkaistu Bradys-taulukossa sivulla 83 (katso liite 1).

Esimerkki 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Jaamme tämän yhtälön kertoimet kahdella, saamme yhtälön:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogrammi antaa juuret z 1 = 4 ja z 2 = 0,5.

Vastaus: 4; 0.5.

Esimerkki 3:x 2 - 25x + 66 = 0

Kertoimet p ja q ovat asteikon ulkopuolella. Suoritetaan vaihto x = 5z, saamme yhtälön:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

joka ratkaistaan ​​nomogrammin avulla.

Hanki z 1 = 0,6 ja z 2 = 4,4,

missä x 1 = 5z 1 = 3,0 ja x 2 = 5z 2 = 22,0.

Vastaus: 3; 22.

Esimerkki 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , ja negatiivinen juuri löydetään vähentämällä positiivinen juuri arvosta - p , nuo. z 2 = - p -1 = - 5 - 1 = -6.

Vastaus: 1; -6.

Esimerkki 5: z 2 - 2z - 8 = 0, nomogrammi antaa z:n positiivisen juuren 1 =4, ja negatiivinen on z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

Vastaus: 4; -2.

KAPPALE 2

Päätimme kirjoittaa ohjelman, joka ratkaisee toisen asteen yhtälön käyttämällä Exceliä, laajalti käytettyä tietokoneohjelmaa. Sitä tarvitaan laskelmiin, taulukoiden ja kaavioiden laatimiseen, yksinkertaisten ja monimutkaisten funktioiden laskemiseen. Se on osa Microsoft Office -pakettia.

Excel-taulukko, jossa on kaavat:

Excel-taulukko, jossa on erityinen esimerkki toisen asteen yhtälön ratkaisemisesta x 2 - 14x - 15 = 0:

LUKU 3

Neliöyhtälön juurien kaava käyttämällä diskriminanttia D ja D1	Monipuolisuus, koska voidaan käyttää ratkaisemaan ehdottomasti kaikki toisen asteen yhtälöt	Hankala syrjintä, joka ei sisälly neliötaulukkoon
Vietan lause	Nopea ratkaisu tietyissä tapauksissa ja säästää aikaa	Jos diskriminantti ei ole kokonaisluvun täydellinen neliö. Ei-kokonaislukukertoimet b ja c.
Täysi neliövalikoima	Oikealla muunnoksella binomin neliöön saadaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö ja siksi juuret löytyvät nopeammin	Täysneliön valinnan monimutkaisuus yhtälön murto-osille
Ryhmittelymenetelmä	Voidaan ratkaista tietämättä kaavoja	Keskimmäistä termiä ei aina ole mahdollista jakaa ryhmittelyyn sopiviksi termeiksi
Graafinen tapa	Ei vaadi kaavoja. Voit nopeasti selvittää yhtälön juurien lukumäärän	Ratkaisun likimääräisyys
Kertoimien a,b,c ominaisuudet	Päätöksen nopeus. Yhtälöille, joilla on suuret kertoimet	Sopii vain joihinkin yhtälöihin
Pääkertoimen "uudelleenrullaus".	Ratkaisun nopeus, jos juuret ovat kokonaislukuja	Sama kuin käytettäessä Vietan lausetta
Nomogrammi	näkyvyys Ratkaisemiseen tarvitaan vain nomogrammi	Sinulla ei aina ole nomogrammia mukanasi. Ratkaisun epätarkkuus
Juurien etsiminen kompassilla ja suoraviivalla	näkyvyys	Jos keskipisteen koordinaatit ovat ei-kokonaislukuja. Suurten kertoimien yhtälöiden juurten löytäminen

PÄÄTELMÄ

”Algebran opiskelijalle on usein hyödyllisempää ratkaista sama ongelma kolmella eri tavalla kuin kolme tai neljä erilaista tehtävää. Ratkaisemalla yhden ongelman eri menetelmillä saat vertailun avulla selville, kumpi on lyhyempi ja tehokkaampi. Näin kokemus syntyy."

Walter Warwick Sawyer

Työn aikana keräsimme materiaalia ja tutkimme menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi (juurien löytämiseksi). Yhtälöiden ratkaisu eri tavoin on esitetty liitteessä 2.

Tutkiessamme erilaisia ​​tapoja ratkaista toisen asteen yhtälöitä, päädyimme siihen tulokseen, että jokaiselle yhtälölle voit valita tehokkaimman ja rationaalisimman tavan löytää juuret. Jokainen ratkaisu on ainutlaatuinen ja tietyissä tapauksissa kätevä. Jotkut ratkaisumenetelmät säästävät aikaa, mikä on tärkeää ratkaistaessa OGE:n tehtäviä, toiset auttavat ratkaisemaan yhtälön erittäin suurilla kertoimilla. Yritimme vertailla eri ratkaisuja laatimalla taulukon, joka heijastaa kunkin menetelmän edut ja haitat.

Olemme kehittäneet mainosmateriaalia. Aiheeseen liittyvään tehtäväpankkiin voit tutustua liitteessä 3.

Microsoft Excelin avulla olemme laatineet laskentataulukon, jonka avulla voit automaattisesti laskea toisen asteen yhtälön juuret juurikaavojen avulla.

Suoritimme oppitunnin epätavallisista tavoista ratkaista toisen asteen yhtälöitä 9. luokan oppilaille. Opiskelijat pitivät menetelmistä todella, he totesivat, että saaduista tiedoista on hyötyä jatkokoulutuksessa. Tunnin tuloksena syntyi opiskelijoiden työ, jossa he esittelivät erilaisia ​​vaihtoehtoja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi (ks. liite 4).

Teoksen materiaalia voivat käyttää matematiikasta kiinnostuneet ja matematiikasta lisää kiinnostuneet.

KIRJALLISUUS

Bradis V. M. “Nelinumeroiset matemaattiset taulukot lukiolle”, M .: Drofa, 2000.

Vilenkin N.Ya. "Algebra luokalle 8", M .: Koulutus, 2000.

Galitsky M.L. "Algebran tehtävien kokoelma", M .: Koulutus 2002.

Glazer G. I. "Matematiikan historia koulussa", M .: Koulutus, 1982.

Zvavich L.I. "Algebra Grade 8", Moskova: Mnemosyne, 2002.

Makarychev Yu.N. "Algebra Grade 8", Moskova: Koulutus, 2015.

Pluzhnikov I. "10 tapaa ratkaista toisen asteen yhtälöitä" // Matematiikka koulussa. - 2000.- Nro 40.

Presman A.A. "Kesäyhtälön ratkaisu kompassin ja viivaimen avulla"//M., Kvant, nro 4/72, s.34.

Savin A.P. "Nuoren matemaatikon tietosanakirja",

Moskova: Pedagogiikka, 1989.

Internet-resurssit:

http://revolution.allbest.ru/

LIITE 1

"Kokoelma BRADIS V.M."

LIITE 2

"YHTÄLÖN RATKAISEMINEN KAIKIN TAVOIN"

Alkuperäinen yhtälö:4x 2 +3x -1 = 0.

1. Neliöyhtälön juurien kaava käyttämällä diskriminanttia D

4x 2 +3x -1 = 0

D= b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => yhtälöllä on kaksi juuria

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. Vietan lause

4x 2 +3x -1 = 0, jaa yhtälö 4:llä pienentääksesi sitä

X 2 +x -=0

X 1 = -1

X 2 =

3. Koko neliön valintamenetelmä

4x 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -) = 0 (2x +2) = 0

X 1 = x 2 = -1

4. Ryhmittelymenetelmä

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0, tuote = 0, kun yksi tekijöistä = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. Kertoimien ominaisuudet

4x 2 +3x -1 = 0

Jos a - b+c=0, niin = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Pääkertoimen "siirto"menetelmä

4x 2 +3x -1 = 0

y 2 +3v - 4 = 0

Vietan lause:

y 1 = -4

y 2 = 1

Jaamme löydetyt juuret pääkertoimella ja saamme yhtälömme juuret:

X 1 = -1

X 2 =

7. Menetelmä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi kompassin ja viivaimen avulla

4x 2 +3x -1 = 0

Määritä ympyrän keskipisteen koordinaatit kaavoilla:

X 1 = -1

X 2 =

8. Graafinen ratkaisu

4x 2 +3x -1 = 0

4x 2 = - 3x + 1

Yhdessä koordinaattijärjestelmässä rakennamme funktion kuvaajan y = 4x 2 ja funktion kuvaaja

y \u003d - 3x + 1. Merkitsemällä leikkauspisteiden abskissoja saamme vastauksen:

X 1 = -1

9. Nomogrammin käyttö

4x 2 +3x -1 = 0, jaamme yhtälön kertoimet 1/4:llä, saamme yhtälön

X 2 +x -= 0.

Nomogrammi antaa positiivisen juuren = ,

ja negatiivinen juuri löydetään vähentämällä positiivinen juuri arvosta - p , nuo.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Tämän yhtälön ratkaisu EXCEL:ssä

LIITE 3

"DIDAKTINEN MATERIAALI TEEMAAN

“NELIÖYHTÄLÖIDEN RATKAISU" »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0,01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0,8

2017x 2 + x -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1,5

55x 2 -44x -11 = 0 1 -0,2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1,5

4x 2 -17x-15 = 0 -0,75,5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0,2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2,5, 3

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1,5, 0,5

5x 2 -12x + 7 = 0 1,4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1,5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

LIITE 4

OPPILASTYÖTÄ

Yhtälöä, joka on toisen asteen trinomi, kutsutaan yleisesti toisen asteen yhtälöksi. Algebran näkökulmasta sitä kuvaa kaava a*x^2+b*x+c=0. Tässä kaavassa x on löydettävä tuntematon (sitä kutsutaan vapaaksi muuttujaksi); a, b ja c ovat numeerisia kertoimia. Tämän komponenttien suhteen on useita rajoituksia: esimerkiksi kerroin a ei saa olla yhtä suuri kuin 0.

Yhtälön ratkaiseminen: Diskriminantin käsite

Tuntemattoman x:n arvoa, jossa toisen asteen yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi, kutsutaan tällaisen yhtälön juureksi. Neliöyhtälön ratkaisemiseksi sinun on ensin löydettävä erityisen kertoimen arvo - diskriminantti, joka näyttää tarkasteltavan yhtälön juurien lukumäärän. Diskriminantti lasketaan kaavalla D=b^2-4ac. Tässä tapauksessa laskennan tulos voi olla positiivinen, negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla.

Tässä tapauksessa on pidettävä mielessä, että käsite edellyttää, että vain kerroin a on tiukasti erilainen kuin 0. Siksi kerroin b voi olla yhtä suuri kuin 0, ja itse yhtälö tässä tapauksessa on a * x ^ 2 + c \u003d 0. Tällaisessa tilanteessa tulee käyttää kertoimen arvoa, joka on yhtä suuri kuin 0, diskriminantin ja juurien laskentakaavoissa. Joten tässä tapauksessa diskriminantti lasketaan muodossa D=-4ac.

Yhtälön ratkaisu positiivisella diskriminantilla

Jos toisen asteen yhtälön diskriminantti osoittautui positiiviseksi, voimme tästä päätellä, että tällä yhtälöllä on kaksi juurta. Nämä juuret voidaan laskea käyttämällä seuraavaa kaavaa: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Siten toisen asteen yhtälön juurien arvon laskemiseksi diskriminantin positiivisella arvolla käytetään saatavilla olevien kertoimien tunnettuja arvoja. Summan ja eron käytön ansiosta juurien laskentakaavassa laskelmien tuloksena on kaksi arvoa, jotka muuttavat kyseessä olevan yhtälön oikeaksi.

Yhtälön ratkaisu nollalla ja negatiivisella diskriminantilla

Jos toisen asteen yhtälön diskriminantti osoittautui 0:ksi, voidaan päätellä, että annetulla yhtälöllä on yksi juuri. Tarkkaan ottaen tässä tilanteessa yhtälöllä on edelleen kaksi juuria, mutta nolladiskriminantin vuoksi ne ovat keskenään yhtä suuret. Tässä tapauksessa x=-b/2a. Jos laskennan aikana diskriminantin arvo osoittautuu negatiiviseksi, on pääteltävä, että tarkastelulla toisen asteen yhtälöllä ei ole juuria, eli sellaisia ​​x:n arvoja, joissa se muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Lineaariset yhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt eivät ole koulumatematiikan vaikein aihe. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Selvitetäänkö se?)

Lineaarinen yhtälö määritellään yleensä yhtälöksi, jonka muoto on:

kirves + b = 0 missä a ja b- mitkä tahansa numerot.

2x + 7 = 0. Tässä a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tässä a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tässä a=12, b = 1/2

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja"... Ja jos huomaat, mutta ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi, jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos sanotaan, a=0, a b = 5, siitä tulee jotain aivan absurdia:

Mikä rasittaa ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä ​​...) Varsinkin kokeissa. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme kuinka se tehdään. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö ulkonäöltään? Se riippuu ulkonäöstä.) Temppu on siinä, että lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain muodon yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka on pelkistetty tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, vähennetäänkö sitä vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Sanotaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain tuntemattomia ensimmäisessä asteessa, kyllä ​​numerot. Ja yhtälö ei murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murtoluku - siinä se! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä, eikä nimittäjissä ole x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö

ei voida kutsua lineaariksi. Tässä x:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta siellä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön ja toisen asteen ja mitä tahansa haluat.

Osoittautuu, että on mahdotonta löytää lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin melkein ratkaiset sen. Se on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävissä yhtälöt ovat järjestyksessä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu identtisistä yhtälöiden muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (jopa kaksi!) ovat ratkaisujen taustalla kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen päätös minkä tahansa Yhtälö alkaa samoilla muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) näiden muunnosten kohdalla päättyy täysimittaiseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö.

x - 3 = 2 - 4x

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisellä potenssilla, X:llä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa emme välitä, mikä yhtälö on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki, jossa on x:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman x:iä (numeroita) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä - 4x vasemmalle puolelle, tietysti merkin vaihdolla, mutta - 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Joten he eivät seuranneet linkkiä, mutta turhaan ...) Saamme:

x + 4x = 2 + 3

Annamme samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme ollaksemme täysin onnellisia? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme molemmat yhtälön osat 5:llä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin tässä identtiset muunnokset? OK. Tartumme härkää sarvista.) Päätetään jotain vaikuttavampaa.

Tässä on esimerkiksi tämä yhtälö:

Mistä aloitamme? X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Ja voit heti, universaalilla ja tehokkaalla tavalla. Ellei tietenkään arsenaalissasi ole identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä eniten tässä yhtälössä?

95 ihmistä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Aloitamme siis heti toinen identtinen muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? Mutta matematiikan avulla voimme kertoa molemmat puolet sama numero. Miten pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten kolme pienenee ja neljä. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:

Hakasulkeiden laajentaminen:

Merkintä! Osoittaja (x+2) Otin suluissa! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan kokonaisuudella, kokonaan! Ja nyt voit pienentää murtolukuja ja vähentää:

Loput sulkeet avataan:

Ei esimerkki, vaan puhdas ilo!) Nyt muistamme loitsun alemmista luokista: x:llä - vasemmalle, ilman x:tä - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Tässä muutamia kuten:

Ja jaamme molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:

Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön miellyttävään muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identtisiä muunnoksia- käännös vasen-oikea etumerkin muutoksella ja yhtälön kerto-jakalla samalla luvulla. Tämä on universaali tapa! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti mikä tahansa. Siksi toistan näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä identtisten muunnosten avulla, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta... Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa vahvaan umpikujaan...) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Yllätys ensin.

Oletetaan, että törmäät perusyhtälöön, kuten:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Hieman tylsistyneenä siirrymme X:llä vasemmalle, ilman X:llä - oikealle ... Etumerkin vaihdolla kaikki on leuka-chinaaria ... Saamme:

2x-5x+3x=5-2-3

Me uskomme, ja ... voi! Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Nolla on todella nolla. Mutta X on poissa! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mitä x on yhtä suuri. Muuten ratkaisua ei lasketa, kyllä...) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on oikea tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, missä oikein?! On vielä selvitettävä, millä x:llä tämä saadaan. Millä x:n arvoilla voidaan korvata alkukirjain yhtälö, jos nämä x:t vieläkin kutistuu nollaan?Älä viitsi?)

Joo!!! X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitä haluat. Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa x-arvot alkukirjain yhtälö ja laske. Koko ajan saadaan puhdas totuus: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x on mikä tahansa luku.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Yllätys kakkosena.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

2x+1=5x+5 - 3x -2

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaisi lineaarisen yhtälön, sai kummallisen yhtälön. Matemaattisesti sanottuna meillä on väärä tasa-arvo. Ja yksinkertaisesti sanottuna tämä ei ole totta. Rave. Mutta tästä huolimatta tämä hölynpöly on varsin hyvä syy yhtälön oikeaan ratkaisuun.)

Ajattelemme jälleen yleisten sääntöjen pohjalta. Mitä x, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille oikea tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​x:iä ei ole olemassa. Mitä tahansa korvaatkin, kaikki vähenee, hölynpölyä jää.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin pätevä vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia esiintyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että X:iden menetys minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisemisessa ei häiritse sinua ollenkaan. Asia on tuttu.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki lineaaristen yhtälöiden sudenkuopat, on järkevää ratkaista ne.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Yleensä, yhtälöt esiintyä ongelmissa, joissa vaaditaan tietyn arvon löytämistä. Yhtälön avulla voimme muotoilla ongelman algebran kielellä. Ratkaisemalla yhtälön saamme halutun suuren arvon, jota kutsutaan tuntemattomaksi. "Andreyn lompakossa on muutama rupla. Jos kerrot tämän luvun kahdella ja vähennät sitten 5, saat 10. Kuinka paljon rahaa Andreylla on?" Merkitään tuntematon rahamäärä x:llä ja kirjoitetaan yhtälö: 2x-5=10.

Puhua tapoja ratkaista yhtälöitä, sinun on ensin määriteltävä peruskäsitteet ja tutustuttava yleisesti hyväksyttyyn merkintätapaan. Erityyppisille yhtälöille on olemassa erilaisia ​​​​algoritmeja niiden ratkaisemiseksi. Ensimmäisen asteen yhtälöt yhden tuntemattoman kanssa ovat helpoimmin ratkaistavissa. Monet koulusta tuntevat toisen asteen yhtälöiden ratkaisukaavan. Korkeamman matematiikan tekniikat auttavat ratkaisemaan korkeamman asteen yhtälöitä. Lukujoukko, jolle yhtälö määritellään, liittyy läheisesti sen ratkaisuihin. Myös yhtälöiden ja funktiokaavioiden välinen suhde on mielenkiintoinen, sillä yhtälöiden esittäminen graafisessa muodossa on niissä suuri apu.

Kuvaus. Yhtälö on matemaattinen yhtälö, jossa on yksi tai useampi tuntematon, kuten 2x+3y=0.

Kutsutaan yhtäläisyysmerkin kummallakin puolella olevia lausekkeita yhtälön vasen ja oikea puoli. Latinalaisen aakkoston kirjaimet tarkoittavat tuntemattomia. Vaikka tuntemattomia voi olla vaikka kuinka monta, niin seuraavassa puhutaan vain yhtälöistä, joissa on yksi tuntematon, jota merkitään x:llä.

Yhtälön aste on suurin teho, johon tuntematon nostetaan. Esimerkiksi,
$3x^4+6x-1=0$ on neljännen asteen yhtälö, $x-4x^2+6x=8$ on toisen asteen yhtälö.

Numeroita, joilla tuntematon kerrotaan, kutsutaan kertoimet. Edellisessä esimerkissä neljännen potenssin tuntemattoman kerroin on 3. Jos x korvataan tällä luvulla, annettu yhtälö täyttyy, niin tämän luvun sanotaan täyttävän yhtälön. Sitä kutsutaan yhtälön ratkaisu, tai sen juurta. Esimerkiksi 3 on yhtälön 2x+8=14 juuri eli ratkaisu, koska 2*3+8=6+8=14.

Yhtälöiden ratkaiseminen. Oletetaan, että haluamme ratkaista yhtälön 2x+5=11.

Voit korvata sen minkä tahansa arvon x, esimerkiksi x = 2. Korvataan x 2:lla ja saadaan: 2*2+5=4+5=9.

Jotain on vialla, koska yhtälön oikealla puolella meidän olisi pitänyt saada 11. Kokeillaan x=3: 2*3+5=6+5=11.

Vastaus on oikea. Osoittautuu, että jos tuntematon saa arvon 3, niin tasa-arvo pätee. Siksi olemme osoittaneet, että numero 3 on yhtälön ratkaisu.

Tapaa, jolla ratkaisimme tämän yhtälön, kutsutaan valintamenetelmä. On selvää, että se on epämukavaa käyttää. Lisäksi sitä ei voi edes kutsua menetelmäksi. Tämän varmistamiseksi riittää, että yrität soveltaa sitä yhtälöön, jonka muoto on $x^4-5x^2+16=2365$.

Ratkaisumenetelmät. Kun on olemassa niin sanotut "pelisäännöt", joihin on hyödyllistä tutustua. Tavoitteenamme on määrittää yhtälön täyttävä tuntemattoman arvo. Siksi tuntematon on eristettävä jollakin tavalla. Tätä varten on tarpeen siirtää yhtälön ehdot yhdestä osasta toiseen. Ensimmäinen sääntö yhtälöiden ratkaisemiseksi on...

1. Siirrettäessä yhtälön termiä osasta toiseen, sen etumerkki muuttuu päinvastaiseksi: plus muuttuu miinukseksi ja päinvastoin. Tarkastellaan yhtälöä 2x+5=11 esimerkkinä. Siirrä 5 vasemmalta oikealle: 2x=11-5. Yhtälö on muodossa 2x=6.

Siirrytään toiseen sääntöön.
2. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa ja jakaa nollasta poikkeavalla luvulla. Sovelletaan tätä sääntöä yhtälöihimme: $x=\frac62=3$. Yhtälön vasemmalle puolelle jäi vain tuntematon x, joten löysimme sen arvon ja ratkaisimme yhtälön.

Olemme juuri pohtineet yksinkertaisinta ongelmaa - lineaarinen yhtälö yhden tuntemattoman kanssa. Tämän tyyppisillä yhtälöillä on aina ratkaisu, lisäksi ne voidaan aina ratkaista yksinkertaisimmilla operaatioilla: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskulla. Valitettavasti kaikki yhtälöt eivät ole yhtä yksinkertaisia. Lisäksi niiden monimutkaisuusaste kasvaa hyvin nopeasti. Esimerkiksi toisen asteen yhtälöt pystyvät helposti ratkaisemaan kuka tahansa lukiolainen, mutta menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien tai korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi opiskellaan vain lukiossa.

Venäjän federaation yleisen ja ammatillisen koulutuksen ministeriö

Kunnallinen oppilaitos

Kuntosali nro 12

essee

aiheesta: Yhtälöt ja niiden ratkaisutavat

Valmistunut: opiskelija 10 "A" luokka

Krutko Jevgeni

Tarkastettu: matematiikan opettaja Iskhakova Gulsum Akramovna

Tjumen 2001

Suunnitelma................................................. ................................................... . ............................... yksi

Johdanto .................................................. ................................................ .. ...................... 2

Pääosa................................................ ................................................... . .............. 3

Johtopäätös................................................ ................................................... . ................25

Hakemus................................................ ................................................... . ............... 26

Lista viitteistä ................................................ ................................................................ ... 29

Suunnitelma.

Johdanto.

Historiallinen viittaus.

Yhtälöt. Algebralliset yhtälöt.

a) Perusmääritelmät.

b) Lineaarinen yhtälö ja sen ratkaiseminen.

c) Neliöyhtälöt ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

d) Kaksitermiyhtälöt, tapa ratkaista ne.

e) Kuutioyhtälöt ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

f) Bikvadraattinen yhtälö ja sen ratkaisumenetelmä.

g) Neljännen asteen yhtälöt ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

g) Korkeiden asteiden yhtälöt ja menetelmät ratkaisusta.

h) Rationaalinen algebrallinen yhtälö ja sen menetelmä

i) Irrationaaliset yhtälöt ja sen ratkaisumenetelmät.

j) Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman merkin alla.

itseisarvo ja miten se ratkaistaan.

Transsendenttiset yhtälöt.

a) Eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

b) Logaritmiset yhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

Johdanto

Yleiskoulussa hankittu matemaattinen koulutus on olennainen osa yleissivistystä ja nykyajan ihmisen yleistä kulttuuria. Melkein kaikki, mikä nykyajan ihmistä ympäröi, liittyy tavalla tai toisella matematiikkaan. Ja fysiikan, tekniikan ja tietotekniikan viimeisimmät edistysaskeleet eivät jätä epäilystäkään siitä, että tulevaisuudessa tilanne pysyy ennallaan. Siksi monien käytännön ongelmien ratkaisu rajoittuu erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jotka on opittava ratkaisemaan.

Tämä työ on yritys yleistää ja systematisoida tutkittua materiaalia yllä olevasta aiheesta. Olen järjestänyt materiaalin sen monimutkaisuuden mukaan, alkaen yksinkertaisimmasta. Se sisältää sekä algebran koulukurssilta tuttuja yhtälötyyppejä että lisämateriaalia. Samalla yritin näyttää sellaisia ​​yhtälötyyppejä, joita ei opiskella koulukurssilla, mutta joiden tuntemusta voi tarvita korkeakouluun tullessa. Työssäni yhtälöitä ratkaiseessani en rajoittunut vain todelliseen ratkaisuun, vaan osoitin myös monimutkaisen ratkaisun, koska uskon, että yhtälöä ei muuten yksinkertaisesti ratkaista. Loppujen lopuksi, jos yhtälössä ei ole todellisia juuria, tämä ei tarkoita, että sillä ei olisi ratkaisuja. Valitettavasti en ajanpuutteen vuoksi päässyt esittelemään kaikkea hallussani olevaa materiaalia, mutta vaikka tässä esitellyssä materiaalissakin, monia kysymyksiä saattaa herätä. Toivon, että tietoni riittää vastaamaan useimpiin kysymyksiin. Joten aion esitellä materiaalin.

Matematiikka... paljastaa järjestyksen

symmetria ja varmuus,

ja nämä ovat tärkeimpiä kauneuden muotoja.

Aristoteles.

Historiallinen viittaus

Noina kaukaisina aikoina, kun viisaat alkoivat ajatella tasa-arvoja, jotka sisälsivät tuntemattomia määriä, ei luultavasti vielä ollut kolikoita tai lompakkoa. Mutta toisaalta, siellä oli kasoja, samoin kuin ruukkuja, koreja, jotka sopivat täydellisesti kätkö-kauppojen rooliin, joissa oli tuntematon määrä esineitä. "Etsimme kasaa, joka yhdessä kahden kolmasosan, puolen ja yhden seitsemäsosan, kanssa on 37 ...", egyptiläinen kirjuri Ahmes opetti II vuosituhannella eKr. Mesopotamian, Intian, Kiinan ja Kreikan muinaisissa matemaattisissa ongelmissa tuntemattomat määrät ilmaisivat riikinkukkojen lukumäärän puutarhassa, härkien lukumäärää laumassa, omaisuutta jaettaessa huomioon otettujen asioiden kokonaisuutta. Kirjanoppineet, virkamiehet ja papit, jotka olivat vihitty salaiseen tietoon, jotka olivat hyvin koulutettuja laskentatieteeseen, selviytyivät tällaisista tehtävistä melko menestyksekkäästi.

Meille tulleet lähteet osoittavat, että muinaisilla tiedemiehillä oli joitain yleisiä menetelmiä tuntemattomien määrien ongelmien ratkaisemiseksi. Kuitenkaan yksikään papyrus, yksikään savitaulu ei anna kuvausta näistä tekniikoista. Kirjoittajat vain ajoittain toimittivat numeerisia laskelmiaan ilkeillä kommenteilla, kuten: "Katso!", "Tee se!", "Löysit sen oikein." Tässä mielessä poikkeus on kreikkalaisen matemaatikon Diophantus Aleksandrialaisen (III vuosisadan) "aritmetiikka" - kokoelma yhtälöiden laatimiseen liittyviä ongelmia ja niiden ratkaisujen systemaattinen esitys.

800-luvun Bagdad-tutkijan työstä tuli kuitenkin ensimmäinen laajalti tunnetuksi tullut ongelmien ratkaisukäsikirja. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sana "al-jabr" tämän tutkielman arabiankielisestä nimestä - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Restauroinnin ja vastakohtaisuuksien kirja") - muuttui ajan myötä sanaksi "algebra", joka on kaikkien tiedossa. itse al-Khwarizmin työ toimi lähtökohtana yhtälöiden ratkaisemisen tieteen kehitykselle.

yhtälöt. Algebralliset yhtälöt

Perusmääritelmät

Algebrassa tarkastellaan kahdenlaisia ​​yhtäläisyyksiä - identiteettejä ja yhtälöitä.

Identiteetti on yhtäläisyys, joka pätee kirjainten kaikkiin (sallittuihin) arvoihin). Henkilöllisyyden kirjoittaminen merkin mukana

merkkiä käytetään myös.

Yhtälö- tämä on yhtäläisyys, joka täyttyy vain joillekin siihen sisältyvien kirjainten arvoille. Yhtälöön sisältyvät kirjaimet voivat ongelman ehdon mukaan olla eriarvoisia: jotkut voivat ottaa kaikki sallitut arvonsa (niitä kutsutaan ns. parametrit tai kertoimet yhtälöt ja niitä merkitään yleensä latinalaisten aakkosten ensimmäisillä kirjaimilla:

, , ... – tai samat kirjaimet indekseillä: , , ... tai , , ...); kutsutaan muita, joiden arvot ovat löydettävissä tuntematon(ne merkitään yleensä latinalaisten aakkosten viimeisillä kirjaimilla: , , , ... - tai samoilla kirjaimilla varustettuna indekseillä: , , ... tai , , ...).

Yleisesti ottaen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(, , ..., ).

Tuntemattomien lukumäärästä riippuen yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on yksi, kaksi jne. tuntematonta.