Artikkeli on omistettu vuoden 2017 matematiikan profiilikokeen tehtävien 15 analysointiin. Tässä tehtävässä opiskelijoille tarjotaan ratkaisevia epäyhtälöitä, useimmiten logaritmisia. Vaikka ne voivat olla suuntaa antavia. Tämä artikkeli tarjoaa analyysin esimerkeistä logaritmisista epäyhtälöistä, mukaan lukien ne, jotka sisältävät muuttujan logaritmin pohjassa. Kaikki esimerkit on otettu matematiikan (profiilin) ​​USE-tehtävien avoimesta pankista, joten tällaiset epätasa-arvot törmäävät hyvin todennäköisesti kokeeseen tehtävänä 15. Ihanteellinen niille, jotka haluavat oppia ratkaisemaan tehtävän 15 toisesta osa profiilia KÄYTÄ lyhyessä ajassa matematiikassa saadaksesi korkeampia pisteitä kokeesta.

Matematiikan profiilikokeen tehtävien 15 analyysi

Esimerkki 1. Ratkaise epäyhtälö:

Matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon (profiili) tehtävissä 15 löytyy usein logaritmisia epäyhtälöitä. Logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisu alkaa hyväksyttävien arvojen alueen määrittelystä. Tässä tapauksessa kummankaan logaritmin pohjassa ei ole muuttujaa, on vain numero 11, mikä yksinkertaistaa tehtävää huomattavasti. Siksi ainoa rajoitus, joka meillä on tässä, on, että molemmat logaritmimerkin alla olevat lausekkeet ovat positiivisia:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ensimmäinen epäyhtälö järjestelmässä on neliöllinen epäyhtälö. Sen ratkaisemiseksi meidän olisi todella hyvä ottaa huomioon vasen puoli. Luulen, että tiedät sen minkä tahansa muodon neliötrinomin Se on jaettu tekijöihin seuraavasti:

missä ja ovat yhtälön juuret. Tässä tapauksessa kerroin on 1 (tämä on numeerinen kerroin merkin edessä). Kerroin on myös yhtä suuri kuin 1, ja kerroin on vapaa termi, se on yhtä suuri kuin -20. Trinomin juuret on helpoin määrittää Vietan lauseella. Yhtälömme on annettu, mikä tarkoittaa juurien summaa ja on yhtä suuri kuin kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, eli -1, ja näiden juurien tulo on yhtä suuri kuin kerroin, eli -20. On helppo arvata, että juuret ovat -5 ja 4.

Nyt epäyhtälön vasen puoli voidaan ottaa huomioon: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X pisteissä -5 ja 4. Näin ollen haluttu ratkaisu epäyhtälöön on väli . Niille, jotka eivät ymmärrä mitä täällä on kirjoitettu, voit nähdä yksityiskohdat videosta tästä lähtien. Sieltä löydät myös yksityiskohtaisen selvityksen siitä, kuinka järjestelmän toinen epäyhtälö ratkaistaan. Asiaa ollaan ratkaisemassa. Lisäksi vastaus on täsmälleen sama kuin järjestelmän ensimmäiselle epäyhtälölle. Toisin sanoen yllä kirjoitettu joukko on eriarvoisuuden sallittujen arvojen alue.

Joten, ottaen huomioon tekijöiden jakamisen, alkuperäinen epäyhtälö saa muodon:

Lisätään kaavan avulla lausekkeen potenssiin ensimmäisen logaritmin etumerkin alle 11 ja siirretään toinen logaritmi epäyhtälön vasemmalle puolelle, samalla kun muutetaan sen etumerkki päinvastaiseksi:

Vähennyksen jälkeen saamme:

Viimeinen epäyhtälö, joka johtuu funktion kasvusta, vastaa epäyhtälöä , jonka ratkaisu on intervalli . On vielä ylitettävä se eriarvoisuuden sallittujen arvojen alueen kanssa, ja tämä on vastaus koko tehtävään.

Joten tehtävän halutulla vastauksella on muoto:

Selvitimme tämän tehtävän, nyt siirrymme seuraavaan esimerkkiin matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävästä 15 (profiili).

Esimerkki 2. Ratkaise epäyhtälö:

Aloitamme ratkaisun määrittämällä tämän epäyhtälön sallittujen arvojen alueen. Jokaisen logaritmin kannan on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Kaikkien logaritmin etumerkin alla olevien lausekkeiden on oltava positiivisia. Murtoluvun nimittäjä ei saa olla nolla. Viimeinen ehto vastaa , koska vain muutoin molemmat logaritmit nimittäjästä katoavat. Kaikki nämä ehdot määrittävät tämän epäyhtälön sallittujen arvojen alueen, joka saadaan seuraavasta epäyhtälöjärjestelmästä:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Hyväksyttävien arvojen alueella voimme käyttää logaritmimuunnoskaavoja epäyhtälön vasemman puolen yksinkertaistamiseksi. Käyttämällä kaavaa eroon nimittäjä:

Nyt meillä on vain peruslogaritmit. Se on jo kätevämpää. Seuraavaksi käytämme kaavaa ja myös kaavaa tuodaksemme kunnian arvoisen ilmaisun seuraavaan muotoon:

Laskelmissa käytimme sitä, mikä on hyväksyttävien arvojen alueella. Korvausta käyttämällä saavutamme lausekkeen:

Käytetään vielä yksi korvaus: . Tämän seurauksena päädymme seuraavaan tulokseen:

Palaa siis vähitellen alkuperäisiin muuttujiin. Ensin muuttujaan:

Usein logaritmisia epäyhtälöitä ratkaistaessa tulee ongelmia logaritmin muuttuvan kannan kanssa. Eli muodon epätasa-arvo

on tavallista koulun eriarvoisuutta. Pääsääntöisesti sen ratkaisemiseksi käytetään siirtymistä vastaavaan järjestelmään:

Tämän menetelmän haittana on tarve ratkaista seitsemän epäyhtälöä, laskematta kahta järjestelmää ja yhtä joukkoa. Jopa tietyillä neliöfunktioilla populaatioratkaisu voi vaatia paljon aikaa.

Vaihtoehtoinen, vähemmän aikaa vievä tapa ratkaista tämä standardiepätasa-arvo voidaan ehdottaa. Tätä varten otamme huomioon seuraavan lauseen.

Lause 1. Olkoon jatkuvasti kasvava funktio joukolla X. Tällöin tässä joukossa funktion inkrementin etumerkki osuu yhteen argumentin inkrementin etumerkin kanssa, ts. , missä .

Huomautus: jos joukossa X on jatkuvasti laskeva funktio, niin .

Palataanpa eriarvoisuuteen. Siirrytään desimaalilogaritmiin (voit siirtyä mihin tahansa, jonka vakiokanta on suurempi kuin yksi).

Nyt voimme käyttää lausetta huomioimalla osoittajassa funktioiden kasvun ja nimittäjässä. Joten se on totta

Tämän seurauksena vastaukseen johtavien laskutoimitusten määrä vähenee noin puoleen, mikä säästää paitsi aikaa, myös mahdollistaa mahdollisten aritmeettisten ja huolimattomien virheiden tekemisen.

Esimerkki 1

Vertaamalla (1) löydämme , , .

Siirtymällä kohtaan (2) meillä on:

Esimerkki 2

Vertaamalla kohtaan (1) löydämme , , .

Siirtymällä kohtaan (2) meillä on:

Esimerkki 3

Koska eriarvoisuuden vasen puoli on kasvava funktio ja , niin vastaus on asetettu.

Esimerkkisarjaa, jossa Terme 1:tä voidaan soveltaa, voidaan helposti laajentaa, jos Terme 2 otetaan huomioon.

Päästä lavalle X funktiot , , , on määritelty, ja tässä joukossa merkit ja ovat samat, ts. silloin se on reilua.

Esimerkki 4

Esimerkki 5

Vakiolähestymistavalla esimerkki ratkaistaan ​​kaavion mukaisesti: tulo on pienempi kuin nolla, kun tekijät ovat eri etumerkkejä. Nuo. tarkastelemme kahden epätasa-arvojärjestelmän joukkoa, joissa, kuten alussa mainittiin, kukin eriarvoisuus jakautuu seitsemään muuhun.

Jos otamme huomioon Lauseen 2, niin jokainen tekijä (2) huomioon ottaen voidaan korvata toisella funktiolla, jolla on sama merkki tässä O.D.Z.:n esimerkissä.

Menetelmä, jossa funktion lisäys korvataan argumentin lisäyksellä, Lause 2 huomioon ottaen, osoittautuu erittäin käteväksi ratkaistaessa tyypillisiä C3 USE -ongelmia.

Esimerkki 6

Esimerkki 7

. Merkitään. Saada

. Huomaa, että korvaaminen tarkoittaa: . Palataksemme yhtälöön, saamme .

Esimerkki 8

Käyttämissämme lauseissa ei ole rajoituksia funktioluokille. Tässä artikkelissa esimerkkinä lauseita sovellettiin logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisuun. Seuraavat muutamat esimerkit osoittavat menetelmän lupauksen muun tyyppisten epätasa-arvojen ratkaisemiseksi.

LOGARITMISET ERÄJÄRJEET KÄYTÖSSÄ

Sechin Mihail Aleksandrovitš

Pieni tiedeakatemia Kazakstanin tasavallan opiskelijoille "Seeker"

MBOU "Neuvostoliiton lukio nro 1", luokka 11, kaupunki. Neuvostoliiton neuvostopiiri

Gunko Ljudmila Dmitrievna, opettaja MBOU "Neuvostoliiton lukio nro 1"

Neuvostoskiin alue

Tavoite: tutkia mekanismia C3-logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi epästandardeilla menetelmillä, paljastaen mielenkiintoisia faktoja logaritmista.

Opintojen aihe:

3) Opi ratkaisemaan spesifisiä logaritmisia C3-epäyhtälöitä epästandardeilla menetelmillä.

Tulokset:

Sisältö

Johdanto……………………………………………………………………………….4

Luku 1. Tausta………………………………………………………………5

Luku 2. Logaritmien epäyhtälöiden kokoelma …………………………… 7

2.1. Vastaavat siirtymät ja yleistetty intervallimenetelmä…………… 7

2.2. Järkeistämismenetelmä …………………………………………………… 15

2.3. Epätyypillinen korvaaminen…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4. Tehtävät ansoilla………………………………………………………… 27

Johtopäätös……………………………………………………………………… 30

Kirjallisuus……………………………………………………………………. 31

Johdanto

Olen 11. luokalla ja aion päästä yliopistoon, jossa matematiikka on ydinaine. Siksi työskentelen paljon osan C tehtävien parissa. Tehtävässä C3 sinun on ratkaistava epätyypillinen epäyhtälö tai epäyhtälöjärjestelmä, joka liittyy yleensä logaritmiin. Tenttiin valmistautuessani törmäsin ongelmaan C3:ssa tarjottujen menetelmien ja tekniikoiden puutteesta kokeen logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. Koulujen opetussuunnitelmassa tätä aihetta käsittelevät menetelmät eivät anna pohjaa tehtävien C3 ratkaisemiselle. Matematiikan opettaja ehdotti, että tekisin C3-tehtäviä yksin hänen ohjauksessaan. Lisäksi minua kiinnosti kysymys: onko elämässämme logaritmeja?

Tätä silmällä pitäen teemaksi valittiin:

"Logaritminen epäyhtälö kokeessa"

Tavoite: tutkimus mekanismista C3-ongelmien ratkaisemiseksi epästandardeilla menetelmillä, paljastaen mielenkiintoisia faktoja logaritmista.

Opintojen aihe:

1) Etsi tarvittavat tiedot logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisumenetelmistä.

2) Etsi lisätietoja logaritmeista.

3) Opi ratkaisemaan tiettyjä C3-ongelmia epästandardeilla menetelmillä.

Tulokset:

Käytännön merkitys on ongelmien C3 ratkaisulaitteiston laajentamisessa. Tätä materiaalia voidaan käyttää joillakin tunneilla, piireissä, valinnaisilla matematiikan tunneilla.

Projektin tuote on kokoelma "Logaritminen C3 epäyhtälöt ratkaisuilla".

Luku 1. Taustaa

1500-luvulla likimääräisten laskelmien määrä lisääntyi nopeasti, pääasiassa tähtitiedeessä. Instrumenttien parantaminen, planeettojen liikkeiden tutkiminen ja muut työt vaativat valtavia, joskus vuosia kestäviä laskelmia. Tähtitiede oli todellisessa vaarassa hukkua toteuttamattomiin laskelmiin. Vaikeuksia ilmeni myös muilla alueilla, esimerkiksi vakuutustoiminnassa tarvittiin korkotaulukoita eri prosenttiarvoille. Suurin vaikeus oli kertominen, moninumeroisten lukujen jako, erityisesti trigonometriset suuret.

Logaritmien löytäminen perustui 1500-luvun loppuun mennessä tunnettuihin progressioiden ominaisuuksiin. Arkhimedes puhui psalmiitissa geometrisen progression q, q2, q3, ... jäsenten ja niiden indikaattoreiden 1, 2, 3, ... aritmeettisen etenemisen välisestä yhteydestä. Toinen edellytys oli asteen käsitteen laajentaminen negatiivisiin ja murto-osien eksponenteihin. Monet kirjoittajat ovat huomauttaneet, että kerto-, jako-, potenssiin korotus ja juuren erottaminen vastaavat eksponentiaalisesti aritmeettisesti - samassa järjestyksessä - yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua.

Tässä oli ajatus logaritmista eksponenttina.

Logaritmien opin kehityksen historiassa on kulunut useita vaiheita.

Vaihe 1

Logaritmit keksi viimeistään vuonna 1594 itsenäisesti skotlantilainen paroni Napier (1550-1617) ja kymmenen vuotta myöhemmin sveitsiläinen mekaanikko Burgi (1552-1632). Molemmat halusivat tarjota uuden kätevän tavan aritmeettisiin laskelmiin, vaikka he lähestyivät tätä ongelmaa eri tavoin. Napier ilmaisi logaritmisen funktion kinemaattisesti ja siirtyi siten uudelle funktioteorian alueelle. Bürgi pysyi diskreettien etenemisen huomioon ottamisessa. Kummankaan logaritmin määritelmä ei kuitenkaan ole samanlainen kuin nykyaikainen. Termi "logaritmi" (logaritmi) kuuluu Napierille. Se syntyi kreikkalaisten sanojen yhdistelmästä: logos - "suhde" ja ariqmo - "luku", mikä tarkoitti "suhteiden lukumäärää". Aluksi Napier käytti eri termiä: numeri mākslīgi - "keinotekoiset numerot", toisin kuin numeri naturalts - "luonnolliset luvut".

Vuonna 1615 käydessään keskustelua Lontoon Gresh Collegen matematiikan professorin Henry Briggsin (1561-1631) kanssa Napier ehdotti nollan ottamista ykkösen logaritmille ja 100:aa kymmenen logaritmille, eli mikä on sama. , vain 1. Näin tulostettiin desimaalilogaritmit ja Ensimmäiset logaritmiset taulukot. Myöhemmin Briggsin taulukoita täydensi hollantilainen kirjakauppias ja matemaatikko Andrian Flakk (1600-1667). Napier ja Briggs, vaikka he pääsivät logaritmiin ennen muita, julkaisivat taulukkonsa myöhemmin kuin muut - vuonna 1620. Merkit log ja Log otettiin käyttöön vuonna 1624 I. Kepler. Termin "luonnollinen logaritmi" otti käyttöön Mengoli vuonna 1659, jota seurasi N. Mercator vuonna 1668, ja Lontoon opettaja John Spadel julkaisi taulukoita luonnollisista logaritmeista numeroista 1-1000 nimellä "New Logathms".

Venäjän kielellä ensimmäiset logaritmiset taulukot julkaistiin vuonna 1703. Mutta kaikissa logaritmisissa taulukoissa laskuissa tehtiin virheitä. Ensimmäiset virheettömät taulukot julkaistiin vuonna 1857 Berliinissä saksalaisen matemaatikon K. Bremikerin (1804-1877) käsittelyssä.

Vaihe 2

Logaritmien teorian jatkokehitys liittyy analyyttisen geometrian ja infinitesimaalilaskennan laajempaan soveltamiseen. Siihen mennessä tasasivuisen hyperbolin kvadratuurin ja luonnollisen logaritmin välinen yhteys saatiin selville. Tämän ajanjakson logaritmien teoria liittyy useiden matemaatikoiden nimiin.

Saksalainen matemaatikko, tähtitieteilijä ja insinööri Nikolaus Mercator esseessään

"Logarithmotechnics" (1668) antaa sarjan, joka antaa ln(x + 1):n laajennuksen

tehot x:

Tämä ilmaus vastaa täsmälleen hänen ajatuksensa kulkua, vaikka hän ei tietenkään käyttänyt merkkejä d, ..., vaan hankalampia symboleja. Logaritmisen sarjan löytämisen myötä logaritmien laskentatekniikka muuttui: niitä alettiin määrittää käyttämällä äärettömiä sarjoja. F. Klein ehdotti vuosina 1907-1908 luetelluissa luennoissaan "Alkumatematiikka korkeammasta näkökulmasta" kaavan käyttämistä logaritmien teorian rakentamisen lähtökohtana.

Vaihe 3

Logaritmisen funktion määritelmä käänteisfunktiona

eksponentiaalinen, logaritmi tietyn kantaluvun eksponenttina

ei muotoiltu heti. Leonhard Eulerin (1707-1783) teos

"Johdatus infinitesimaalien analyysiin" (1748) toimi edelleen

logaritmisen funktion teorian kehittäminen. Tällä tavalla,

Logaritmien käyttöönotosta on kulunut 134 vuotta

(laskettu vuodesta 1614) ennen kuin matemaatikot keksivät määritelmän

logaritmin käsite, joka on nyt koulukurssin perusta.

Luku 2. Logaritmisen epäyhtälöiden kokoelma

2.1. Vastaavat siirtymät ja yleistetty intervallimenetelmä.

Vastaavat siirtymät

jos a > 1

jos 0 < а < 1

Yleistetty intervallimenetelmä

Tämä menetelmä on yleisin ratkaisemaan melkein minkä tahansa tyyppisiä epätasa-arvoja. Ratkaisukaavio näyttää tältä:

1. Tuo epäyhtälö sellaiseen muotoon, jossa funktio sijaitsee vasemmalla puolella
, ja 0 oikealla.

2. Etsi funktion laajuus
.

3. Etsi funktion nollat
, eli ratkaise yhtälö
(ja yhtälön ratkaiseminen on yleensä helpompaa kuin epäyhtälön ratkaiseminen).

4. Piirrä funktion määritelmäalue ja nollat ​​reaaliviivalle.

5. Määritä funktion etumerkit
vastaanotetuin aikavälein.

6. Valitse aikavälit, joissa funktio saa tarvittavat arvot, ja kirjoita vastaus muistiin.

Esimerkki 1

Ratkaisu:

Käytä intervallimenetelmää

missä

Näille arvoille kaikki logaritmien etumerkkien alla olevat lausekkeet ovat positiivisia.

Vastaus:

Esimerkki 2

Ratkaisu:

1 tapa . ODZ määräytyy epätasa-arvon perusteella x> 3. logaritmien ottaminen sellaisille x perusarvossa 10, saamme

Viimeinen epäyhtälö voitaisiin ratkaista soveltamalla dekompositiosääntöjä, ts. vertaamalla tekijöitä nollaan. Tässä tapauksessa on kuitenkin helppo määrittää funktion pysyvyysvälit

joten intervallimenetelmää voidaan soveltaa.

Toiminto f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ on jatkuvaa varten x> 3 ja katoaa kohdissa x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Näin ollen määritetään funktion pysyvyysvälit f(x):

Vastaus:

2. tapa . Soveltakaamme intervallimenetelmän ajatuksia suoraan alkuperäiseen epäyhtälöön.

Tätä varten muistamme, että ilmaisuja a b- a c ja ( a - 1)(b- 1) on yksi merkki. Sitten meidän eriarvoisuutta varten x> 3 vastaa epäyhtälöä

tai

Viimeinen epäyhtälö ratkaistaan ​​intervallimenetelmällä

Vastaus:

Esimerkki 3

Ratkaisu:

Käytä intervallimenetelmää

Vastaus:

Esimerkki 4

Ratkaisu:

Vuodesta 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 todellakin x, sitten

Toisen epäyhtälön ratkaisemiseksi käytämme intervallimenetelmää

Ensimmäisessä epätasa-arvossa teemme muutoksen

sitten päästään epäyhtälöön 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, jotka täyttävät epäyhtälön -0,5< y < 1.

Mistä, koska

saamme epätasa-arvon

joka suoritetaan kanssa x, jolle 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Nyt, kun otetaan huomioon järjestelmän toisen epäyhtälön ratkaisu, saadaan lopulta

Vastaus:

Esimerkki 5

Ratkaisu:

Epätasa-arvo vastaa järjestelmien joukkoa

tai

Käytä intervallimenetelmää tai

Vastaus:

Esimerkki 6

Ratkaisu:

Epätasa-arvo on yhtä kuin järjestelmä

Päästää

sitten y > 0,

ja ensimmäinen epätasa-arvo

järjestelmä ottaa muodon

tai laajenee

tekijöiden neliötrinomi,

Kun käytetään intervallimenetelmää viimeiseen epäyhtälöön,

näemme, että sen ratkaisut täyttävät ehdon y> 0 on kaikki y > 4.

Siten alkuperäinen epäyhtälö vastaa järjestelmää:

Epätasa-arvon ratkaisut ovat siis kaikki

2.2. rationalisointimenetelmä.

Aikaisemmin eriarvoisuuden rationalisointimenetelmää ei ratkaistu, sitä ei tiedetty. Tämä on "uusi moderni tehokas menetelmä eksponentiaalisten ja logaritmien epäyhtälöiden ratkaisemiseksi" (lainaus Kolesnikova S.I.:n kirjasta)
Ja vaikka opettaja tunsi hänet, oli pelkoa - mutta tunteeko USE-asiantuntija hänet, ja miksi hänelle ei anneta koulussa? Oli tilanteita, jolloin opettaja sanoi opiskelijalle: "Mistä sait sen? Istu alas - 2."
Nyt menetelmää edistetään kaikkialla. Asiantuntijoille on tähän menetelmään liittyviä ohjeita, ja ratkaisun C3 "Täydellisimmissä versioissa ..." ratkaisussa C3 käytetään tätä menetelmää.
MENETELMÄ ON MAHTAVA!

"Maaginen pöytä"

Muissa lähteissä

jos a >1 ja b >1, sitten log a b >0 ja (a-1)(b-1)>0;

jos a >1 ja 0

jos 0<a<1 и b >1, sitten kirjaa a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jos 0<a<1 и 00 ja (a -1) (b -1)>0.

Yllä oleva päättely on yksinkertainen, mutta yksinkertaistaa huomattavasti logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisua.

Esimerkki 4

loki x (x 2 -3)<0

Ratkaisu:

Esimerkki 5

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x )

Ratkaisu:

Vastaus. (0; 0,5) U.

Esimerkki 6

Tämän epäyhtälön ratkaisemiseksi kirjoitetaan (x-1-1) (x-1) nimittäjän sijaan ja tulo (x-1) (x-3-9 + x) osoittajan sijaan.

Vastaus : (3;6)

Esimerkki 7

Esimerkki 8

2.3. Epätyypillinen vaihto.

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Esimerkki 3

Esimerkki 4

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Esimerkki 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Tehdään substituutio y=3 x -1; silloin tämä epätasa-arvo saa muodon

log 4 log 0,25
.

Koska log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , sitten kirjoitetaan viimeinen epäyhtälö muotoon 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Tehdään korvaus t =log 4 y ja saadaan epäyhtälö t 2 -2t +≥0, jonka ratkaisu on välit - .

Siten y:n arvojen löytämiseksi meillä on joukko kaksi yksinkertaisinta epäyhtälöä
Tämän kokoelman ratkaisu on intervallit 0<у≤2 и 8≤у<+.

Siksi alkuperäinen epäyhtälö vastaa kahden eksponentiaalisen epäyhtälön joukkoa,
eli aggregaatteja

Tämän joukon ensimmäisen epäyhtälön ratkaisu on väli 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Siten alkuperäinen epäyhtälö pätee kaikille x:n arvoille väliltä 0<х≤1 и 2≤х<+.

Esimerkki 8

Ratkaisu:

Epätasa-arvo on yhtä kuin järjestelmä

Toisen epäyhtälön ratkaisu, joka määrittää ODZ:n, on näiden joukko x,

mille x > 0.

Teemme muutoksen ratkaistaksemme ensimmäisen epätasa-arvon

Sitten saamme epätasa-arvon

tai

Menetelmällä löydetään viimeisen epäyhtälön ratkaisujoukko

intervallit: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saamme

tai

Monet niistä x, jotka täyttävät viimeisen epätasa-arvon

kuuluu ODZ:lle ( x> 0), on siis ratkaisu järjestelmään,

ja siksi alkuperäinen epätasa-arvo.

Vastaus:

2.4. Tehtävät ansoilla.

Esimerkki 1

.

Ratkaisu. Epäyhtälön ODZ on kaikki x, jotka täyttävät ehdon 0 . Siksi kaikki x väliltä 0

Esimerkki 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Asia on siinä, että toinen luku on selvästi suurempi kuin

Johtopäätös

Ei ollut helppoa löytää erityisiä menetelmiä C3-ongelmien ratkaisemiseksi useista eri koulutuslähteistä. Työn aikana pääsin tutkimaan epästandardeja menetelmiä monimutkaisten logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. Näitä ovat: ekvivalentit siirtymät ja yleistetty intervallimenetelmä, rationalisointimenetelmä , ei-standardi vaihto , tehtäviä ansojen kanssa ODZ:llä. Nämä menetelmät puuttuvat koulun opetussuunnitelmasta.

Ratkaisin eri menetelmillä osassa C USE:ssa tarjottua 27 epäyhtälöä, eli C3. Nämä menetelmien eriarvoisuudet ratkaisujen kanssa muodostivat perustan kokoelmalle "Logaritmic C3 Equalities with Solutions", josta tuli toimintani projektituote. Projektin alussa esittämäni hypoteesi vahvistui: C3-ongelmat voidaan ratkaista tehokkaasti, jos nämä menetelmät tunnetaan.

Lisäksi löysin mielenkiintoisia faktoja logaritmeista. Minusta oli mielenkiintoista tehdä se. Projektituotteistani on hyötyä sekä opiskelijoille että opettajille.

Johtopäätökset:

Siten projektin tavoite saavutetaan, ongelma on ratkaistu. Ja sain täydellisimmän ja monipuolisimman kokemuksen projektitoiminnasta kaikissa työn vaiheissa. Hankkeen työskentelyn aikana pääasiallinen kehitysvaikutukseni oli henkiseen osaamiseen, loogiseen henkiseen toimintaan liittyvään toimintaan, luovan osaamisen kehittämiseen, henkilökohtaiseen oma-aloitteisuuteen, vastuullisuuteen, sinnikkyyteen ja aktiivisuuteen.

Menestyksen tae tutkimusprojektia luotaessa minusta tuli: merkittävä koulukokemus, kyky poimia tietoa eri lähteistä, tarkistaa sen luotettavuus, luokitella tärkeysjärjestykseen.

Suoran matematiikan aineosaamisen lisäksi hän laajensi käytännön taitojaan tietojenkäsittelytieteen alalla, sai uutta tietoa ja kokemusta psykologian alalta, solmi kontakteja luokkatovereihin ja oppi yhteistyöhön aikuisten kanssa. Hanketoiminnan aikana kehitettiin organisatorisia, älyllisiä ja kommunikatiivisia yleissivistäviä taitoja ja kykyjä.

Kirjallisuus

1. Koryanov A. G., Prokofev A. A. Epäyhtälöjärjestelmät yhdellä muuttujalla (tyypilliset tehtävät C3).

2. Malkova A. G. Valmistautuminen matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen.

3. S. S. Samarova, Logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisu.

4. Matematiikka. Kokoelma koulutusteoksia, toimittanut A.L. Semjonov ja I.V. Jaštšenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-