Alkuperäinen kiertokulma, kulmanopeus
Kuva 9. Peruskiertokulma ()
Elementaarisia (äärimmäisen pieniä) rotaatioita käsitellään vektoreina. Vektorin moduuli on yhtä suuri kuin kiertokulma, ja sen suunta on sama kuin ruuvin kärjen translaatioliikkeen suunta, jonka pää pyörii pisteen liikesuunnassa ympyrää pitkin, eli , se noudattaa oikean ruuvin sääntöä.
Kulmanopeus
Vektori on suunnattu pyörimisakselia pitkin oikeanpuoleisen ruuvisäännön mukaan eli samalla tavalla kuin vektori (ks. kuva 10).
Kuva 10.
Kuva 11
Vektoriarvo, jonka määrittää kappaleen pyörimiskulman ensimmäinen derivaatta ajan suhteen.
Lineaaristen ja kulmanopeuksien moduulien välinen suhde
Kuva 12
Lineaaristen ja kulmanopeusvektorien välinen suhde
Tarkasteltavan pisteen paikan antaa sädevektori (piirretty kiertoakselilla olevasta origosta 0). Vektoritulo on suunnassa yhteneväinen vektorin kanssa ja sen moduuli on yhtä suuri kuin
Kulmanopeuden yksikkö on .
Pseudovektorit (aksiaalivektorit) ovat vektoreita, joiden suunnat liittyvät pyörimissuuntaan (esimerkiksi). Näillä vektoreilla ei ole erityisiä sovelluspisteitä: ne voidaan piirtää mistä tahansa kiertoakselin pisteestä.
Aineellisen pisteen tasainen liike ympyrää pitkin
Tasainen liike ympyrässä - liike, jossa aineellinen piste (kappale) ohittaa yhtä pitkät ympyrän kaaret yhtä pitkäksi ajaksi.
Kulmanopeus
: (-- kiertokulma).
Pyörimisjakso T on aika, jonka aikana materiaalipiste tekee yhden täydellisen kierroksen kehän ympäri, eli pyörii kulman läpi.
Koska se vastaa aikaväliä, niin.
Pyörimistaajuus - materiaalipisteen suorittamien täydellisten kierrosten lukumäärä sen tasaisella liikkeellä ympyrää pitkin aikayksikköä kohti.
Kuva 13
Ympyrässä tasaisen liikkeen tunnusomainen piirre
Tasainen ympyräliike on kaarevan liikkeen erikoistapaus. Liikettä pitkin ympyrää nopeusvakiolla modulo () kiihtyy. Tämä johtuu siitä, että vakiomoduulilla nopeuden suunta muuttuu koko ajan.
Ympyrässä tasaisesti liikkuvan materiaalin pisteen kiihtyvyys
Kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti pisteen tasaisessa liikkeessä ympyrää pitkin on nolla.
Kiihtyvyyden normaalikomponentti (keskikiihtyvyys) on suunnattu sädettä pitkin kohti ympyrän keskustaa (katso kuva 13). Missä tahansa ympyrän pisteessä normaalikiihtyvyysvektori on kohtisuorassa nopeusvektoriin nähden. Ympyrää tasaisesti liikkuvan materiaalin pisteen kiihtyvyys missä tahansa sen pisteessä on keskipitkä.
kulmakiihtyvyyttä. Lineaaristen ja kulmasuureiden välinen suhde
Kulmakiihtyvyys on vektorisuure, jonka määrittää kulmanopeuden ensimmäinen derivaatta ajan suhteen.
Kulmakiihtyvyysvektorin suunta
Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, kulmakiihtyvyysvektori suuntautuu pyörimisakselia pitkin kohti kulmanopeuden alkeislisäyksen vektoria.
Kiihdytetyssä liikkeessä vektori on kohdistettu vektorin kanssa, hidastettuna se on sen vastakkainen. Vektori on pseudovektori.
Kulmakiihtyvyyden yksikkö on .
Lineaaristen ja kulmasuureiden välinen suhde
(- ympyrän säde; - lineaarinen nopeus; - tangentiaalinen kiihtyvyys; - normaalikiihtyvyys; - kulmanopeus).
lineaarisilla arvoilla.
Kulmikas liike- vektorisuure, joka kuvaa kulmakoordinaatin muutosta sen liikkeen aikana.
Kulmanopeus- fyysinen vektorisuure, joka kuvaa kehon pyörimisnopeutta. Kulmanopeusvektori on suuruudeltaan yhtä suuri kuin kappaleen kiertokulma aikayksikköä kohti:
ja se on suunnattu pyörimisakselia pitkin kiinnikkeen säännön mukaisesti, eli siihen suuntaan, johon oikeanpuoleisella kierteellä varustettu gimletti kierrettäisiin, jos se pyörisi samaan suuntaan.
SI- ja CGS-järjestelmissä käytetty kulmanopeuden mittayksikkö on radiaania sekunnissa. (Huomaa: radiaani, kuten mikä tahansa kulman mittayksikkö, on fyysisesti dimensioton, joten kulmanopeuden fyysinen ulottuvuus on yksinkertaisesti ). Tekniikka käyttää myös kierroksia sekunnissa, paljon harvemmin - astetta sekunnissa, astetta sekunnissa. Ehkä kierroksia minuutissa käytetään useimmiten tekniikassa - tämä on jatkunut ajoista, jolloin hidaskäyntisten höyrykoneiden pyörimisnopeus määritettiin yksinkertaisesti "manuaalisesti" laskemalla kierrosten määrä aikayksikköä kohti.
Minkä tahansa (ehdottomasti) jäykän kappaleen kulmanopeudella pyörivän pisteen (hetkellinen) nopeusvektori saadaan seuraavasti:
missä on sädevektori annettuun pisteeseen kappaleen pyörimisakselilla sijaitsevasta origosta ja hakasulkeet osoittavat vektorituloa. Tietyllä etäisyydellä (säteellä) r kiertoakselista olevan pisteen lineaarista nopeutta (yhteydessä nopeusvektorin moduulin kanssa) voidaan katsoa seuraavasti: v = rω. Jos radiaanien sijasta käytetään muita kulmien yksikköjä, kahdessa viimeisessä kaavassa näkyy kerroin, joka ei ole yhtä suuri kuin yksi.
Kun kyseessä on tasokierto, eli kun kaikki kappaleen pisteiden nopeusvektorit ovat (aina) samassa tasossa ("kiertotaso"), kappaleen kulmanopeus on aina kohtisuorassa tähän tasoon nähden, ja itse asiassa - jos kiertotaso tiedetään etukäteen - voidaan korvata skalaarilla - projektio akselille, joka on kohtisuorassa kiertotasoon nähden. Tässä tapauksessa pyörimisen kinematiikka yksinkertaistuu suuresti, mutta yleisessä tapauksessa kulmanopeus voi muuttaa suuntaa ajan myötä kolmiulotteisessa avaruudessa, eikä tällainen yksinkertaistettu kuva toimi.
Kulmanopeuden derivaatta ajan suhteen on kulmakiihtyvyys.
Liikettä, jolla on vakiokulmanopeusvektori, kutsutaan tasaiseksi pyöriväksi liikkeeksi (tässä tapauksessa kulmakiihtyvyys on nolla).
Kulmanopeus (jota pidetään vapaana vektorina) on sama kaikissa inertiavertailukuvissa, mutta eri inertiavertailukehyksissä saman tietyn kappaleen akseli tai pyörimiskeskipiste voi samalla hetkellä olla erilainen (että eli kulmanopeudella on erilainen "sovelluskohta").
Jos yksittäinen piste liikkuu kolmiulotteisessa avaruudessa, voit kirjoittaa lausekkeen tämän pisteen kulmanopeudelle suhteessa valittuun origoon:
Missä on pisteen sädevektori (origosta), on tämän pisteen nopeus. - vektoritulo, - vektorien skalaaritulo. Tämä kaava ei kuitenkaan määritä yksiselitteisesti kulmanopeutta (yhden pisteen tapauksessa voit valita muita määritelmän mukaan sopivia vektoreita, muuten - mielivaltaisesti - valitsemalla pyörimisakselin suunnan), vaan yleiseen tapaukseen (kun rungossa on useampi kuin yksi aineellinen piste) - tämä kaava ei päde koko kehon kulmanopeudelle (koska se antaa eri arvot jokaiselle pisteelle ja ehdottoman jäykän kappaleen pyöriessä määritelmän mukaan, sen pyörimisen kulmanopeus on ainoa vektori). Kaiken tämän kanssa kaksiulotteisessa tapauksessa (tasokiertotapauksessa) tämä kaava on varsin riittävä, yksiselitteinen ja oikea, koska tässä nimenomaisessa tapauksessa pyörimisakselin suunta on ehdottomasti määritetty yksiselitteisesti.
Tasaisen pyörimisliikkeen (eli liikkeen, jolla on vakiokulmanopeusvektori) tapauksessa tällä tavalla pyörivän kappaleen pisteiden karteesiset koordinaatit suorittavat harmonisia värähtelyjä, joiden kulmataajuus (syklinen) on yhtä suuri kuin kulman moduuli. nopeusvektori.
Mitattaessa kulmanopeutta kierroksina sekunnissa (r/s), tasaisen pyörimisliikkeen kulmanopeuden moduuli on sama kuin pyörimisnopeus f, mitattuna hertseinä (Hz)
(eli sellaisissa yksiköissä).
Käytettäessä tavallista fyysistä kulmanopeuden yksikköä - radiaania sekunnissa - kulmanopeuden moduuli on suhteessa pyörimisnopeuteen seuraavasti:
Lopuksi, kun käytetään astetta sekunnissa, suhde RPM:ään olisi:
Kulmakiihtyvyys- pseudovektorifyysinen suure, joka kuvaa jäykän kappaleen kulmanopeuden muutosnopeutta.
Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, kulmakiihtyvyysmoduuli on:
Kulmakiihtyvyysvektori α on suunnattu pyörimisakselia pitkin (sivulle kiihdytetyllä kierrolla ja vastakkain - hitaalla pyörimisellä).
Kiinteän pisteen ympäri pyöritettäessä kulmakiihtyvyysvektori määritellään kulmanopeusvektorin ω ensimmäiseksi derivaatiksi ajan suhteen, eli
ja se on suunnattu tangentiaalisesti vektorin hodografiin sen vastaavassa kohdassa.
Tangentiaali- ja kulmakiihtyvyyden välillä on suhde:
jossa R on pisteen liikeradan kaarevuussäde tietyllä hetkellä. Siten kulmakiihtyvyys on yhtä suuri kuin pyörimiskulman toinen derivaatta ajan suhteen tai ensimmäinen kulmanopeuden derivaatta ajan suhteen. Kulmakiihtyvyys mitataan yksikössä rad/s2.
Kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys
Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka pyörii kiinteän akselin ympäri. Sitten tämän kappaleen yksittäiset pisteet kuvaavat erisäteisiä ympyröitä, joiden keskipisteet ovat pyörimisakselilla. Anna jonkin pisteen liikkua sädettä pitkin R(Kuva 6). Sen asema tietyn ajan kuluttua D t aseta kulma D. Alkuperäisiä (äärimmäisen pieniä) rotaatioita voidaan pitää vektoreina (niitä merkitään tai ) . Vektorin moduuli on yhtä suuri kuin kiertokulma, ja sen suunta on sama kuin ruuvin kärjen translaatioliikkeen suunta, jonka pää pyörii pisteen liikesuunnassa ympyrää pitkin, ts. tottelee oikea ruuvisääntö(Kuva 6). Vektoreita, joiden suunnat liittyvät pyörimissuuntaan, kutsutaan pseudovektorit tai aksiaaliset vektorit. Näillä vektoreilla ei ole erityisiä sovelluspisteitä: ne voidaan piirtää mistä tahansa kiertoakselin pisteestä.
kulmanopeus kutsutaan vektorisuureeksi, joka on yhtä suuri kuin kappaleen kiertokulman ensimmäinen derivaatta ajan suhteen:
Vektori suunnataan pyörimisakselia pitkin oikeanpuoleisen ruuvisäännön mukaan, ts. sama kuin vektori (kuva 7). Kulmanopeuden mitta dim w =T - 1 , ja sen yksikkö on radiaani sekunnissa (rad/s).
Piste-lineaarinen nopeus (katso kuva 6)
Vektorimuodossa lineaarisen nopeuden kaava voidaan kirjoittaa ristitulona:
Tässä tapauksessa vektoritulon moduuli on määritelmän mukaan yhtä suuri ja suunta osuu yhteen oikean ruuvin translaatioliikkeen suunnan kanssa sen pyöriessä R.
Jos ( = const, niin kierto on tasainen ja voidaan karakterisoida kiertoaika T - aika, jolle piste tekee yhden täydellisen kierroksen, ts. pyörii 2p kulman läpi. Aikavälistä D lähtien t= T vastaa = 2p, sitten = 2p/ T, missä
Niiden täydellisten kierrosten lukumäärää, jotka keho tekee tasaisen liikkeensä aikana ympyrässä aikayksikköä kohti, kutsutaan pyörimistaajuudeksi:
Kulmakiihtyvyys on vektorisuure, joka on yhtä suuri kuin kulmanopeuden ensimmäinen derivaatta ajan suhteen:
Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, kulmakiihtyvyysvektori suuntautuu pyörimisakselia pitkin kohti kulmanopeuden alkeislisäyksen vektoria. Kiihdytetyssä liikkeessä vektori ohjataan yhdessä vektoriin (kuva 8), hidastettuna se on sitä vastapäätä (kuva 9).
Kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti
Normaali kiihtyvyyden komponentti
Siten suhde lineaarisen (polun pituus s kulki pisteen ohi sädeympyrän kaaria pitkin R, lineaarinen nopeus v, tangentiaalinen kiihtyvyys , normaalikiihtyvyys ) ja kulmasuureet (kiertokulma j, kulmanopeus w, kulmakiihtyvyys e) ilmaistaan seuraavilla kaavoilla:
Jos piste on tasaisesti muuttuvassa liikkeessä ympyrää pitkin (e=const)
missä w 0 on alkukulmanopeus.
Newtonin lait.
Newtonin ensimmäinen laki. Paino. Vahvuus
Dynamiikka on mekaniikan päähaara, se perustuu Newtonin kolmeen lakiin, jotka hän muotoili vuonna 1687. Newtonin laeilla on poikkeuksellinen rooli mekaniikassa ja ne ovat (kuten kaikki fyysiset lait) yleistystä laajan inhimillisen kokemuksen tuloksista. Niitä pidetään toisiinsa liittyvien lakien järjestelmä eikä jokaista lakia testata kokeellisesti, vaan koko järjestelmää kokonaisuutena.
Newtonin ensimmäinen laki: mikä tahansa aineellinen piste (runko) säilyttää lepotilan tai tasaisen suoraviivaisen liikkeen, kunnes muiden kappaleiden isku saa sen muuttamaan tätä tilaa. Kehon halua ylläpitää lepotilaa tai tasaista suoraviivaista liikettä kutsutaan inertia. Siksi kutsutaan myös Newtonin ensimmäistä lakia inertialaki.
Mekaaninen liike on suhteellista ja sen luonne riippuu viitekehyksestä. Newtonin ensimmäinen laki ei päde missään viitekehyksessä, ja niitä järjestelmiä, joiden suhteen se suoritetaan, kutsutaan inertiavertailujärjestelmät. Inertiaalinen viitekehys on sellainen viitekehys, johon nähden aineellinen piste, vapaa ulkoisista vaikutuksista, joko levossa tai tasaisesti ja suorassa liikkeessä. Newtonin ensimmäinen laki väittää, että inertiaaliset viitekehykset ovat olemassa.
Kokeellisesti on todettu, että heliosentrinen (tähtien) vertailukehystä voidaan pitää inertiaalisena (koordinaattien alkupiste on Auringon keskustassa ja akselit piirretään tiettyjen tähtien suuntaan). Maahan liittyvä viitekehys on tarkalleen ottaen ei-inertiaalinen, mutta sen epäinertiaalisuudesta johtuvat vaikutukset (Maa pyörii oman akselinsa ympäri ja Auringon ympäri) ovat mitättömiä monien ongelmien ratkaisemisessa, ja näissä tapauksissa voidaan pitää inertiana.
Kokemuksesta tiedetään, että samoilla vaikutuksilla eri kappaleet muuttavat liikkeensä nopeutta epätasaisesti, eli saavat eri kiihtyvyydet. Kiihtyvyys ei riipu vain iskun suuruudesta, vaan myös itse kehon ominaisuuksista (sen massasta).
Paino kappaleet - fysikaalinen määrä, joka on yksi aineen pääominaisuuksista, joka määrää sen inertiaalisen ( inertiamassa) ja painovoima ( gravitaatiomassa) ominaisuuksia. Tällä hetkellä voidaan katsoa todistetuksi, että inertia- ja gravitaatiomassat ovat keskenään yhtä suuret (tarkkuudella vähintään 10-12 arvoistaan).
Newtonin ensimmäisessä laissa mainittujen vaikutusten kuvaamiseksi otetaan käyttöön voiman käsite. Voimien vaikutuksesta kappaleet joko muuttavat liikenopeuttaan, eli saavat kiihtyvyyttä (voimien dynaaminen ilmentymä), tai deformoituvat, eli muuttavat muotoaan ja mittoja (voimien staattinen ilmentymä). Jokaisella ajanhetkellä voimalle on ominaista numeerinen arvo, suunta avaruudessa ja sovelluskohta. Niin, vahvuus- Tämä on vektorisuure, joka mittaa muista kappaleista tai kentistä kehoon kohdistuvaa mekaanista vaikutusta, jonka seurauksena keho saa kiihtyvyyden tai muuttaa muotoaan ja kokoaan.
Newtonin toinen laki
Newtonin toinen laki - translaatioliikkeen dynamiikan peruslaki - vastaa kysymykseen, kuinka materiaalipisteen (kappaleen) mekaaninen liike muuttuu siihen kohdistuvien voimien vaikutuksesta.
Jos tarkastellaan eri voimien vaikutusta samaan kappaleeseen, käy ilmi, että kappaleen saavuttama kiihtyvyys on aina suoraan verrannollinen käytettyjen voimien resultanttiin:
a~f(t=vakio). (6.1)
Saman voiman vaikutuksesta eri massaisiin kappaleisiin niiden kiihtyvyydet osoittautuvat erilaisiksi, nimittäin
a ~ 1 /t (F= vakio). (6.2)
Käyttämällä lausekkeita (6.1) ja (6.2) ja ottaen huomioon, että voima ja kiihtyvyys ovat vektorisuureita, voimme kirjoittaa
a = kF/m. (6.3)
Relaatio (6.3) ilmaisee Newtonin toisen lain: aineellisen pisteen (kappaleen) saavuttama kiihtyvyys, joka on verrannollinen sen aiheuttavaan voimaan, osuu siihen suunnassa ja on kääntäen verrannollinen aineellisen pisteen (kappaleen) massaan.
SI:ssä suhteellisuuskerroin k= 1. Sitten
(6.4)
Ottaen huomioon, että aineellisen pisteen (kappaleen) massa klassisessa mekaniikassa on vakioarvo, lausekkeessa (6.4) se voidaan tuoda derivaatan merkin alle:
Vektorisuure
Numeerisesti yhtä suuri kuin materiaalipisteen massan ja sen nopeuden tulo ja jolla on nopeuden suunta, kutsutaan vauhti (vauhti) tämä aineellinen kohta.
Korvaamalla (6.6) arvolla (6.5) saadaan
Tämä ilmaus - Newtonin toisen lain yleisempi muotoilu: aineellisen pisteen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttava voima. Lauseketta (6.7) kutsutaan aineellisen pisteen liikeyhtälö.
Voiman yksikkö SI - newton(N): 1 N on voima, joka antaa 1 m/s 2 kiihtyvyyden 1 kg:n massaan voiman suunnassa:
1 N \u003d 1 kg × m / s 2.
Newtonin toinen laki pätee vain inertiaalisissa viitekehyksessä. Newtonin ensimmäinen laki voidaan johtaa toisesta. Itse asiassa, jos resultanttivoima on nolla (jos muut kappaleet eivät vaikuta kehoon), kiihtyvyys (katso (6.3)) on myös nolla. kuitenkin Newtonin ensimmäinen laki tunnettu itsenäinen laki(eikä toisen lain seurauksena), koska juuri hän väittää, että on olemassa inertiaaliset viitekehykset, joissa vain yhtälö (6.7) täyttyy.
Mekaniikassa sillä on suuri merkitys joukkojen toiminnan riippumattomuuden periaate: jos useat voimat vaikuttavat samanaikaisesti aineelliseen pisteeseen, niin kukin näistä voimista kiihtyvyy aineelliseen pisteeseen Newtonin toisen lain mukaan, ikään kuin muita voimia ei olisi. Tämän periaatteen mukaan voimat ja kiihtyvyydet voidaan hajottaa komponenteiksi, joiden käyttö yksinkertaistaa merkittävästi ongelmanratkaisua. Esimerkiksi kuvassa fig. 10 vaikuttava voima F= m a jakautuu kahdeksi komponentiksi: tangentiaalivoimaksi Ft , (suuntautunut tangentiaalisesti lentoradalle) ja normaalivoimaksi F n(suuntautunut normaalia pitkin kaarevuuden keskipisteeseen). Käyttämällä ilmaisuja ja , sekä , sinä voit kirjoittaa:
Jos useat voimat vaikuttavat samanaikaisesti aineellisessa pisteessä, niin voimien vaikutuksen riippumattomuuden periaatteen mukaan F Newtonin toisessa laissa ymmärretään tuloksena olevaksi voimaksi.
Newtonin kolmas laki
Aineellisten pisteiden (kappaleiden) välinen vuorovaikutus määräytyy Newtonin kolmas laki: kaikilla aineellisten pisteiden (kappaleiden) toisiaan koskevilla toimilla on vuorovaikutuksen luonne; voimat, joilla aineelliset pisteet vaikuttavat toisiinsa, ovat aina yhtä suuret itseisarvoltaan, vastakkaiseen suuntaan ja ne vaikuttavat näitä pisteitä yhdistävää suoraa pitkin:
F 12 = - F 21, (7.1)
jossa F12 on voima, joka vaikuttaa ensimmäiseen materiaalipisteeseen toisesta;
F 21 - voima, joka vaikuttaa toiseen materiaalipisteeseen ensimmäisestä. Näitä voimia sovelletaan eri aineelliset pisteet (kappaleet), toimi aina pareittain ja ovat voimia yksi luonto.
Newtonin kolmas laki sallii siirtymisen dynamiikasta erillinen materiaali viittaa dynamiikkaan järjestelmät aineellisia pisteitä. Tämä johtuu siitä, että aineellisten pisteiden järjestelmässä vuorovaikutus pelkistyy ainepisteiden välisten parien vuorovaikutuksen voimiin.
Laajennetun kappaleen liike, jonka mittoja ei voida jättää huomiotta tarkasteltavan ongelman olosuhteissa. Runkoa pidetään muotoutumattomana, toisin sanoen ehdottoman jäykkänä.
Liike, jossa minkä tahansa Liikkuvaan kappaleeseen liitetty suora pysyy yhdensuuntaisena itsensä kanssa, kutsutaan progressiivinen.
Suoralla viivalla "jäykästi yhdistetty runkoon" tarkoitetaan sellaista suoraa, jonka etäisyys mistä tahansa pisteestä mihin tahansa kehon pisteeseen pysyy vakiona sen liikkeen aikana.
Ehdottoman jäykän kappaleen translaatioliikettä voidaan luonnehtia tämän kappaleen minkä tahansa pisteen liikkeellä, koska translaatioliikkeessä kappaleen kaikki pisteet liikkuvat samoilla nopeuksilla ja kiihtyvyyksillä ja niiden liikeradat ovat yhteneväisiä. Kun olemme määrittäneet jäykän kappaleen minkä tahansa pisteen liikkeen, määritämme samalla kaikkien sen muiden pisteiden liikkeen. Siksi translaatioliikettä kuvattaessa ei esiinny uusia ongelmia materiaalin pisteen kinematiikkaan verrattuna. Esimerkki translaatioliikkeestä on esitetty kuvassa. 2.20.
Kuva 2.20. Kehon translaatioliike
Esimerkki translaatioliikkeestä on esitetty seuraavassa kuvassa:
Kuva 2.21. Tasomainen kehon liike
Toinen tärkeä erityistapaus jäykän kappaleen liikkeestä on liike, jossa kaksi kappaleen pistettä pysyvät paikallaan.
Kutsutaan liikettä, jossa kaksi kehon pistettä pysyy paikallaan pyöriminen kiinteän akselin ympäri.
Näitä pisteitä yhdistävä viiva on myös kiinteä ja sitä kutsutaan pyörimisakseli.
Kuva 2.22. Jäykän rungon pyöriminen
Tällaisella liikkeellä kaikki kehon pisteet liikkuvat ympyröitä pitkin, jotka sijaitsevat tasoissa, jotka ovat kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden. Ympyröiden keskipisteet ovat pyörimisakselilla. Tällöin pyörimisakseli voi sijaita myös rungon ulkopuolella.
Video 2.4. Käännös- ja kiertoliikkeet.
Kulmanopeus, kulmakiihtyvyys. Kun kappale pyörii akselin ympäri, kaikki sen pisteet kuvaavat erisäteisiä ympyröitä, ja siksi niillä on erilaiset siirtymät, nopeudet ja kiihtyvyydet. Kuitenkin on mahdollista kuvata kehon kaikkien pisteiden pyörimisliikettä samalla tavalla. Tätä varten käytetään muita (materiaalipisteeseen verrattuna) liikkeen kinemaattisia ominaisuuksia - pyörimiskulmaa, kulmanopeutta, kulmakiihtyvyyttä.
Riisi. 2.23. Ympyrässä liikkuvan pisteen kiihtyvyysvektorit
Siirtymän roolia pyörivässä liikkeessä esittää pieni käännösvektori, pyörimisakselin ympäri 00" (Kuva 2.24.). Se on sama missä tahansa kohdassa täysin jäykkä runko(esimerkiksi pisteet 1, 2, 3 ).
Riisi. 2.24. Täysin jäykän kappaleen pyöriminen kiinteän akselin ympäri
Kiertovektorin moduuli on yhtä suuri kuin kiertokulman arvo ja kulma mitataan radiaaneina.
Pyörimisakselia pitkin tapahtuvan äärettömän pienen kierron vektori on suunnattu kappaleen kanssa samaan suuntaan kierretyn oikeanpuoleisen ruuvin (kierteen) liikettä kohti.
Video 2.5. Lopulliset kulmasiirtymät eivät ole vektoreita, koska ne eivät laske yhteen suunnikassäännön mukaan. Äärettömän pienet kulmasiirtymät ovat vektoreita.
Vektoreita, joiden suunnat liittyvät gimlet-sääntöön, kutsutaan aksiaalinen(englannista. akseli- akseli) toisin kuin napainen. vektorit, joita käytimme aiemmin. Polaarivektoreita ovat esimerkiksi sädevektori, nopeusvektori, kiihtyvyysvektori ja voimavektori. Aksiaalivektoreita kutsutaan myös pseudovektoreiksi, koska ne eroavat todellisista (polaarisista) vektoreista käyttäytymisellään peilissä tapahtuvan heijastusoperaation aikana (inversio tai, mikä on sama, siirtyminen oikealta vasemmalle koordinaattijärjestelmälle). Voidaan osoittaa (tämä tehdään myöhemmin), että äärettömän pienten rotaatioiden vektorien yhteenlasku tapahtuu samalla tavalla kuin tosivektorien summaus, eli suunnikkaan (kolmio) säännön mukaan. Siksi, jos heijastuksen toimintaa peilissä ei oteta huomioon, niin pseudovektorien ja tosivektorien välinen ero ei ilmene millään tavalla ja niitä on mahdollista ja tarpeellista käsitellä kuin tavallisilla (todellisilla) vektoreilla.
Äärettömän pienen kiertovektorin suhde aikaan, jonka aikana tämä kierto tapahtui
nimeltään pyörimiskulmanopeus.
Kulmanopeuden suuruuden mittauksen perusyksikkö on rad/s. Painetuissa julkaisuissa kirjoitetaan usein syistä, joilla ei ole mitään tekemistä fysiikan kanssa 1/s tai alkaen -1 mikä tarkalleen ottaen on valhetta. Kulma on dimensioton suure, mutta sen mittayksiköt ovat erilaisia (asteet, rummit, asteet...) ja ne on ilmoitettava, ainakin väärinkäsitysten välttämiseksi.
Video 2.6. Stroboskooppinen efekti ja sen käyttö pyörimiskulmanopeuden etämittaukseen.
Kulmanopeus, kuten vektori, johon se on verrannollinen, on aksiaalinen vektori. Pyöriessään liikkumaton akselin kulmanopeus ei muuta suuntaaan. Tasaisella kierrolla sen arvo pysyy myös vakiona, joten vektori . Kulmanopeuden arvon riittävän ajan pysyessä kiertoa voidaan kätevästi luonnehtia sen jaksolla T :
Kiertojakso- tämä on aika, jonka kappale tekee yhden kierroksen (pyörii 2π:n kulman läpi) pyörimisakselin ympäri.
Sanat "riittävä vakioisuus" tarkoittavat ilmeisesti sitä, että ajanjakson aikana (yhden kierroksen aikana) kulmanopeuden moduuli muuttuu merkityksettömästi.
Myös usein käytetty kierrosten lukumäärä aikayksikköä kohti
Samaan aikaan teknisissä sovelluksissa (ensinkin kaikenlaisissa moottoreissa) on tapana ottaa aikayksikkönä ei sekuntia, vaan minuutti. Toisin sanoen pyörimisen kulmanopeus ilmoitetaan kierroksina minuutissa. Kuten voit helposti nähdä, suhde (radiaaneina sekunnissa) ja (kierroksina minuutissa) on seuraava
Kulmanopeusvektorin suunta on esitetty kuvassa. 2.25.
Analogisesti lineaarisen kiihtyvyyden kanssa kulmakiihtyvyys otetaan käyttöön kulmanopeusvektorin muutosnopeudena. Kulmakiihtyvyys on myös aksiaalinen vektori (pseudovektori).
Kulmakiihtyvyys - aksiaalinen vektori, joka määritellään kulmanopeuden aikaderivaattaksi
Kiinteän akselin ympäri pyörittäessä, yleisemmin itsensä kanssa samansuuntaisen akselin ympäri pyörittäessä, kulmanopeusvektori on myös suunnattu yhdensuuntaisesti pyörimisakselin kanssa. Kulmanopeuden arvon kasvaessa || kulmakiihtyvyys osuu siihen suuntaan, kun taas pienenee - se on suunnattu vastakkaiseen suuntaan. Korostamme, että kyseessä on vain erikoistapaus pyörimisakselin suunnan muuttumattomuudesta, yleisessä tapauksessa (pyöriminen pisteen ympäri) pyörii itse pyörimisakseli ja silloin yllä oleva ei pidä paikkaansa.
Kulma- ja lineaarinopeuksien ja kiihtyvyyksien yhteys. Jokainen pyörivän kappaleen pisteistä liikkuu tietyllä lineaarisella nopeudella, joka on suunnattu tangentiaalisesti vastaavaan ympyrään (ks. kuva 19). Anna materiaalipisteen pyöriä akselin ympäri 00" säteen omaavan ympyrän ympäri R. Pienen ajan se kulkee pyörimiskulmaa vastaavan polun. Sitten
Siirtymällä rajaan , saadaan lauseke pyörivän kappaleen pisteen lineaarisen nopeuden moduulille.
Muista tästä R- etäisyys kehon tarkastelusta pisteestä pyörimisakseliin.
Riisi. 2.26.
Koska normaali kiihtyvyys on
sitten, kun otetaan huomioon kulma- ja lineaarinopeuksien suhde, saadaan
Pyörivän jäykän kappaleen pisteiden normaalia kiihtyvyyttä kutsutaan usein nimellä keskipitkä kiihtyvyys.
Erottelemalla ajan suhteen lausekkeen , löydämme
missä on säteistä ympyrää pitkin liikkuvan pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys R.
Siten sekä tangentiaaliset että normaalikiihtyvyydet kasvavat lineaarisesti säteen kasvaessa R- etäisyys pyörimisakselista. Kokonaiskiihtyvyys riippuu myös lineaarisesti R :
Esimerkki. Etsitään päiväntasaajalla ja Moskovan leveysasteella maanpinnalla sijaitsevien pisteiden lineaarinopeus ja keskikiihtyvyys ( = 56°). Tiedämme Maan pyörimisjakson oman akselinsa ympäri T \u003d 24 tuntia \u003d 24x60x60 \u003d 86 400 s. Tästä eteenpäin pyörimisen kulmanopeus
Maan keskisäde
Etäisyys pyörimisakseliin leveysasteella on
Täältä löydämme lineaarisen nopeuden
ja keskikiihtyvyys
Päiväntasaajalla = 0, cos = 1, joten
Moskovan leveysasteella cos = cos 56° = 0,559 ja saamme:
Näemme, että Maan pyörimisen vaikutus ei ole niin suuri: päiväntasaajan keskikiihtyvyyden suhde vapaan pudotuksen kiihtyvyyteen on
Kuitenkin, kuten tulemme näkemään myöhemmin, Maan pyörimisen vaikutukset ovat varsin havaittavissa.
Lineaaristen ja kulmanopeusvektorien välinen suhde. Yllä saadut kulma- ja lineaarinopeuksien väliset suhteet on kirjoitettu vektorien ja moduuleille. Näiden suhteiden kirjoittamiseksi vektorimuotoon käytämme vektoritulon käsitettä.
Päästää 0z- ehdottoman jäykän kappaleen pyörimisakseli (kuva 2.28).
Riisi. 2.28. Lineaaristen ja kulmanopeusvektorien välinen suhde
Piste MUTTA pyörii ympyrän ympäri, jolla on säde R. R- etäisyys pyörimisakselista kehon tarkasteltavaan pisteeseen. Otetaan kohta 0 koordinaattien alkuperää varten. Sitten
ja siitä lähtien
sitten vektoritulon määritelmän mukaan kaikille kehon pisteille
Tässä on kappaleen pisteen sädevektori, joka alkaa pisteestä O, joka sijaitsee mielivaltaisessa kiinteässä paikassa, välttämättä pyörimisakselilla
Mutta toisella puolella
Ensimmäinen termi on nolla, koska kollineaaristen vektoreiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nolla. Näin ollen
missä vektori R on kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden ja siitä poispäin suunnattu, ja sen moduuli on yhtä suuri kuin sen ympyrän säde, jota pitkin materiaalipiste liikkuu ja tämä vektori alkaa tämän ympyrän keskeltä.
Riisi. 2.29. Hetkellisen pyörimisakselin määritelmään
Normaali (keskipetaalinen) kiihtyvyys voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa:
ja merkki "-" osoittaa, että se on suunnattu pyörimisakselille. Erottamalla lineaarisen ja kulmanopeuden suhde ajan suhteen, löydämme lausekkeen kokonaiskiihtyvyydelle
Ensimmäinen termi on suunnattu tangentiaalisesti pyörivän kappaleen pisteen liikeradalle ja sen moduuli on , koska
Verrattaessa tangentiaalisen kiihtyvyyden lauseketta päättelemme, että tämä on tangentiaalikiihtyvyysvektori
Siksi toinen termi on saman pisteen normaali kiihtyvyys:
Itse asiassa se on suunnattu sädettä pitkin R pyörimisakseliin ja sen moduuli on yhtä suuri kuin
Siksi tämä normaalikiihtyvyyden suhde on toinen muoto aiemmin saadun kaavan kirjoittamiselle.
lisäinformaatio
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi, osa 1, Mekaniikka Ed. Science 1979 - s. 242–243 (§46, s. 7): pohditaan melko vaikeasti ymmärrettävää kysymystä jäykän kappaleen kulmakiertojen vektoriluonteesta;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi, osa 1, Mekaniikka Ed. Science 1979 - s. 233–242 (§45, §46 s. 1–6): jäykän kappaleen hetkellinen pyörimisakseli, kierrosten lisäys;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - Kvant-lehti - koripallon heiton kinematiikka (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - Kvant-lehti, 2003, nro 6, - s. 5–11, jäykän kappaleen hetkellisten nopeuksien kenttä (S. Krotov);
Euler-kulmat, lentokoneiden (laivojen) kulmat.
Perinteisesti Euler-kulmat otetaan käyttöön seuraavasti. Siirtyminen vertailuasennosta todelliseen tapahtuu kolmella kierroksella (kuva 4.3):
1. Kierrä kulman ympäri precessio Samalla se siirtyy asentoon, (c) .
2. Pyöritä kulman ympäri nutaatio. Missä,. (4.10)
4. Kierrä kulman ympäri oma (puhdas) kierto
Paremman ymmärryksen vuoksi kuvassa 4.4 on yläosa ja sitä kuvaavat Euler-kulmat
Siirtyminen vertailuasennosta todelliseen voidaan suorittaa kolmella kierroksella (käännä itse!) (Kuva 4.5):
1. Kierrä kulman ympäri yaw, jossa
2. Pyöritä ympäri kallistuskulman verran samalla kun (4.12)
3.Kierrä kulma ympäri
Ilmaus "voidaan tehdä" ei ole sattumaa; ei ole vaikea ymmärtää, että muut vaihtoehdot ovat mahdollisia, esimerkiksi pyöritykset kiinteiden akselien ympäri
1. Kierrä kulman ympäri rullaa(siivet rikkoutuvat)
2. Pyöritä kulman ympäri piki("nenän" nostaminen) (4.13)
3. Kierrä kulmassa yaw
Kuitenkin (4.12) ja (4.13) on myös todistettava.
Kirjoitetaan minkä tahansa pisteen sijaintivektorille ilmeinen vektorikaava (kuva 4.6) matriisimuodossa. Etsi vektorin koordinaatit suhteessa referenssikantaan. Laajennetaan vektoria todellisen kannan mukaan ja otetaan käyttöön "siirretty" vektori, jonka koordinaatit referenssikannassa ovat samat kuin todellisen vektorin koordinaatit; toisin sanoen - vektori "kierretty" yhdessä kappaleen kanssa (kuva 4.6).
| Riisi. 4.6. |
Laajentamalla vektoreita referenssikannan mukaan saadaan
Otamme käyttöön rotaatiomatriisin ja sarakkeet,
Matriisimerkinnässä olevalla vektorikaavalla on muoto
1. Kiertomatriisi on ortogonaalinen, ts.
Tämän väitteen todisteena on kaava (4.9)
Laskemalla tulon (4.15) determinantin saamme ja koska vertailuasemassa, niin (ortogonaaliset matriisit, joiden determinantti on yhtä suuri kuin (+1) kutsutaan oikea ortogonaaliset tai rotaatiomatriisit). Kiertomatriisi ei vektoreilla kerrottuna muuta vektorien pituuksia eikä niiden välisiä kulmia, ts. todella niitä kääntyy.
2. Rotaatiomatriisissa on yksi ominaisvektori (kiinteä), joka määrittää pyörimisakselin. Toisin sanoen on tarpeen osoittaa, että yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän muodossa (. Tämän homogeenisen järjestelmän determinantti on nolla, koska
siksi järjestelmällä on nollasta poikkeava ratkaisu. Olettaen, että ratkaisuja on kaksi, tulemme heti siihen tulokseen, että niihin kohtisuorassa oleva on myös ratkaisu (vektorien väliset kulmat eivät muutu), mikä tarkoittaa, että ts. ei käännettä..
| Kuva 4.7 |
Matriisi ortonormaalilla pohjalla
on katse.
2. Differentioimalla (4.15) saamme tai, merkitseen - matriisin takaisin (eng. pyörittää - pyörittää). Siten spinmatriisi on vinosymmetrinen: . Kertomalla oikealta saamme Poissonin kaavan rotaatiomatriisille:
Olemme tulleet vaikeimpaan hetkeen matriisikuvauksen puitteissa - kulmanopeusvektorin määrittämiseen.
Voit tietysti toimia tavallisella tavalla (katso esimerkiksi menetelmä ja kirjoita: " otamme käyttöön vinosymmetrisen matriisin elementtien merkinnät S kaavan mukaan
Jos teemme vektorin , silloin matriisin vektorilla kertomisen tulos voidaan esittää ristitulona". Yllä olevassa lainauksessa - kulmanopeuden vektori.
Differentoimalla (4.14) saadaan jäykän kappaleen kinematiikan peruskaavan matriisiesitys :
Matriisilähestymistapa, joka on kätevä laskelmiin, ei sovellu suhteiden analysointiin ja johtamiseen; mikä tahansa vektori- ja tensorikielellä kirjoitettu kaava voidaan kirjoittaa helposti matriisimuotoon, mutta on vaikea saada kompaktia ja ilmeistä kaavaa minkä tahansa fysikaalisen ilmiön kuvaamiseen matriisimuodossa.
Lisäksi ei pidä unohtaa, että matriisielementit ovat jossain määrin tensorin koordinaatteja (komponentteja). Tensori itsessään ei riipu kantajan valinnasta, mutta sen komponentit riippuvat. Virheettömän matriisimuodon kirjoittamisen kannalta on välttämätöntä, että kaikki lausekkeeseen sisältyvät vektorit ja tensorit kirjoitetaan samalla pohjalla, eikä tämä ole aina kätevää, koska eri tensoreilla on "yksinkertainen" muoto eri emäksissä, joten täytyy laskea matriisit uudelleen siirtymämatriiseilla.
