Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, harkitse mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.

Numeerinen sarja on numeerinen joukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sekvenssin jäseniksi. Järjestyselementin järjestysnumero ilmaistaan ​​indeksillä:

Sarjan ensimmäinen elementti;

Jakson viides elementti;

- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.

Sekvenssielementin arvon ja sen järjestysluvun välillä on riippuvuus. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen sen voi sanoa sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:

Sarja voidaan määrittää kolmella tavalla:

1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.

Esimerkiksi Joku päätti tehdä henkilökohtaisen ajanhallinnan ja aluksi laskea, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Kirjoittamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:

Taulukon ensimmäisellä rivillä on viikonpäivän numero, toisella - aika minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia ja eli perjantaina vain 15.

2 . Järjestys voidaan määrittää käyttämällä n:nnen jäsenen kaavaa.

Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan ​​suoraan kaavana.

Esimerkiksi jos , niin

Tietyn numeron omaavan sekvenssielementin arvon löytämiseksi korvaamme elementin numeron n:nnen jäsenen kaavassa.

Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon sen sijaan funktion yhtälössä:

Jos esim. , sitten

Jälleen kerran huomautan, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, vain luonnollinen luku voi olla argumentti.

3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee jonon numerolla n olevan jäsenen arvon riippuvuuden edellisten jäsenten arvosta. Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron, jotta voimme löytää sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen.

Harkitse esimerkiksi järjestystä ,

Voimme löytää sekvenssin jäsenten arvot järjestyksessä, alkaen kolmannesta:

Toisin sanoen joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen jäsenen arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä sekvensointitapaa kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.

Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on numeerisen sekvenssin yksinkertainen erikoistapaus.

Aritmeettinen progressio kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisätty samalla numerolla.

Numeroon soitetaan aritmeettisen progression ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.

Esimerkiksi 2; 5; kahdeksan; yksitoista;...

Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on hiipumassa.

Esimerkiksi 2; -yksi; - neljä; -7;...

Jos , Kaikki etenemisen jäsenet ovat yhtä suuret, ja eteneminen on paikallaan.

Esimerkiksi 2;2;2;2;...

Aritmeettisen progression pääominaisuus:

Katsotaanpa kuvaa.

Näemme sen

, ja samaan aikaan

Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:

.

Jaa yhtälön molemmat puolet kahdella:

Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettinen keskiarvo:

Lisäksi koska

, ja samaan aikaan

, sitten

, ja siten

Jokainen aritmeettisen progression jäsen alkaa otsikko="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

jäsenkaava.

Näemme, että aritmeettisen progression jäsenille seuraavat suhteet pätevät:

ja lopuksi

Saimme n:nnen termin kaava.

TÄRKEÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista termeillä ja . Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen jäsenistä.

Aritmeettisen progression n jäsenen summa.

Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä tasavälein olevien termien summat ovat yhtä suuret:

Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n jäsentä. Olkoon tämän etenemisen n jäsenten summa yhtä suuri kuin .

Järjestä etenemisen ehdot ensin nousevaan numerojärjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:

Yhdistetään pariksi:

Suluissa oleva summa on , parien lukumäärä on n.

Saamme:

Niin, aritmeettisen progression n jäsenen summa voidaan löytää kaavoilla:

Harkitse aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.

1 . Järjestys saadaan n:nnen jäsenen kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.

Osoitetaan, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.

Olemme saaneet, että sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen ero ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.

2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...

a) Etsi etenemisen 31 termiä.

b) Päätä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.

a) Näemme sen;

Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.

Yleisesti

Meidän tapauksessamme , siksi

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Peruskoulusta melko kiinteään.

Ensin käsitellään summan merkitystä ja kaavaa. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yhtä yksinkertainen kuin alentaminen. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen jäsenet. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos niitä on paljon tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava säästää.

Summakaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää paljon.

S n on aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikki jäseniä, kanssa ensimmäinen päällä kestää. On tärkeää. Lisää täsmälleen kaikki jäseniä peräkkäin, ilman aukkoja ja hyppyjä. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai termien viidestä kahdeskymmenesosaan summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen on pettymys.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Kaikki on selvää täällä, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Rivin viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n on viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien lukumäärä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Täytekysymys: millainen jäsen tulee kestää, jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?

Luotettavan vastauksen saamiseksi sinun on ymmärrettävä aritmeettisen progression alkeismerkitys ja ... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten rajallinen, tietty määrä ei vain ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä, millainen progressio annetaan: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarjalla vai n:nnen jäsenen kaavalla.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä ​​... Mutta ei mitään, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalle.

Ensinnäkin hyödyllistä tietoa:

Aritmeettisen progression summan tehtävien suurin vaikeus on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävien tekijät salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää vain niiden tulkitsemiseen. Tarkastellaanpa muutamia esimerkkejä yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä, jotta voimme määrittää määrän kaavan mukaan? Ensimmäinen jäsen a 1, viime kausi a n, kyllä ​​viimeisen termin numero n.

Mistä saa viimeisen jäsennumeron n? Kyllä, siellä kunnossa! Siinä lukee, että etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No mikä numero tulee olemaan kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n korvaamme kaavan a 10, sen sijaan n- kymmenen. Jälleen viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 ja a 10. Tämä on helppo laskea n:nnen termin kaavalla, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten se tehdään? Vieraile edellisellä oppitunnilla, ilman tätä - ei mitään.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Selvitimme aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. On vielä korvattava ne ja laskettava:

Siinä kaikki. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 \u003d 2.3. Etsi 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa jäsenen arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista korvaavaa:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Jäljelle jää korvata kaikki kaavan elementit aritmeettisen etenemisen summalla ja laskea vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n vain korvaamalla n:nnen termin kaavan, saamme:

Annamme samanlaisia, saamme uuden kaavan aritmeettisen progression jäsenten summalle:

Kuten näet, n:ttä termiä ei vaadita tässä. a n. Joissakin tehtävissä tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Ja voit yksinkertaisesti peruuttaa sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi summan kaava ja n:nnen termin kaava on muistettava kaikin tavoin.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Miten! Ei ensimmäistä jäsentä, ei viimeistä, ei edistymistä ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun on mietittävä päälläsi ja vedettävä ehdosta kaikki aritmeettisen progression summan elementit. Mitä ovat kaksinumeroiset luvut - tiedämme. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee ensimmäinen? 10, luultavasti.) viimeinen asia kaksinumeroinen numero? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat numeroita, jotka ovat tasan kolmella jaollisia, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan ongelman tilanteen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Tietysti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos termiin lisätään 2 tai 4, sanotaan tulos, ts. uutta lukua ei enää jaeta kolmella. Voit määrittää välittömästi aritmeettisen etenemisen eron kasaan: d = 3. Hyödyllinen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä tulee olemaan numero n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot - ne menevät aina peräkkäin, ja jäsenemme hyppäävät kolmen parhaan yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit maalata etenemisen, koko numerosarjan ja laskea termien lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos kaavaa sovelletaan ongelmaamme, saadaan, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes jäsen. Nuo. n = 30.

Tarkastellaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelman tilasta kaiken määrän laskemiseen tarvittavan:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää perusaritmetiikka. Korvaa luvut kaavassa ja laske:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu pulmapelityyppi:

4. Aritmeettinen progressio annetaan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäs.

Katsomme summakaavaa ja... olemme järkyttyneitä.) Muistutan teitä, kaava laskee summan ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit toki maalata koko etenemisen peräkkäin ja laittaa termit 20:stä 34:ään. Mutta ... jotenkin tyhmäksi ja pitkäksi aikaa, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneen neljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan jäsenten summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. Kuten tämä:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tämä osoittaa, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitammeko?

Poimimme etenemisparametrit tehtävän ehdosta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavan mukaan, kuten tehtävässä 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ei ole mitään jäljellä. Vähennä 19 ehdon summa 34 ehdon summasta:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomio! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen ominaisuus. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme mitä ei ilmeisesti tarvita - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" pelastaa usein pahoissa arvoitteluissa.)

Tällä oppitunnilla pohdimme tehtäviä, joiden ratkaisemiseen riittää, että ymmärrät aritmeettisen progression summan merkityksen. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset mitä tahansa tehtävää aritmeettisen progression summalle, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

N:nnen jäsenen kaava:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä, mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä ohita linkkiä, tällaisia ​​arvoituksia löytyy usein GIA:sta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa rakkaimmalle henkilölle (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja kuluta 50 ruplaa enemmän jokaisena seuraavana päivänä kuin edellisenä! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Onko vaikeaa?) Tehtävän 2 lisäkaava auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen jäseniä)

Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä terästermillä, jota myös kutsutaan askel- tai etenemisero.

Näin ollen asettamalla etenemisen askel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

Aritmeettisen progression ominaisuudet

1) Jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta numerosta alkaen on etenemisen edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos progression vierekkäisten parittomien (parillisten) jäsenten aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva jäsen, tämä lukusarja on aritmeettinen progressio. Tällä väitteellä on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa järjestys.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitamme termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja on melko yleinen yksinkertaisissa elämäntilanteissa.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sekvenssistä alkaen sen k:nnestä jäsenestä, niin seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön mielenkiintoista on löytää k:nnestä luvusta alkavan aritmeettisen progression n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa

Tähän teoreettinen materiaali päättyy ja siirrytään käytännössä yleisten ongelmien ratkaisemiseen.

Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression 4;7;...

Ratkaisu:

Tilanteen mukaan meillä on

Määritä etenemisvaihe

Tunnetun kaavan mukaan löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Esimerkki2. Aritmeettisen progression antaa sen kolmas ja seitsemäs jäsen. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Ratkaisu:

Kirjoitamme annetut etenemisen elementit kaavojen mukaan

Vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

Löytynyt arvo korvataan mihin tahansa yhtälöihin aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin löytämiseksi

Laske edistymisen kymmenen ensimmäisen ehdon summa

Ilman monimutkaisia ​​laskelmia löysimme kaikki vaaditut arvot.

Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjästä ja yhdestä sen jäsenistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Ratkaisu:

Kirjoitetaan kaava etenemisen sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Jakson summa on 250.

Esimerkki 4

Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä, jos:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Ratkaisu:

Kirjoitamme yhtälöt etenemisen ensimmäisen termin ja askeleen mukaan ja määrittelemme ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa

Yksinkertaistusten tekeminen

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelman tilaan. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

Esimerkki 5

ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitamme sen ensimmäisen termin ja löydämme etenemisen eron

IV Jakovlev | Matematiikkaa käsitteleviä materiaaleja | MathUs.ru

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio on erityinen sarja. Siksi, ennen kuin määrittelemme aritmeettisen (ja sitten geometrisen) progression, meidän on keskusteltava lyhyesti numerosarjan tärkeästä käsitteestä.

Jakso

Kuvittele laite, jonka näytöllä näkyy joitain numeroita peräkkäin. Sanotaan 2; 7; 13; yksi; 6; 0; 3; : : : Tällainen numerosarja on vain esimerkki sarjasta.

Määritelmä. Numeerinen sarja on joukko numeroita, joissa jokaiselle numerolle voidaan antaa yksilöllinen numero (eli asettaa vastaamaan yhtä luonnollista lukua)1. Lukua, jonka numero on n, kutsutaan sekvenssin n:nneksi jäseneksi.

Joten yllä olevassa esimerkissä ensimmäisellä numerolla on numero 2, joka on sekvenssin ensimmäinen jäsen, jota voidaan merkitä a1:llä; numerolla viisi on numero 6, joka on sekvenssin viides jäsen, jota voidaan merkitä a5 . Yleensä sekvenssin n:nnettä jäsentä merkitään (tai bn , cn jne.).

Erittäin kätevä tilanne on, kun sekvenssin n:s jäsen voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava an = 2n 3 määrittää sekvenssin: 1; yksi; 3; 5; 7; : : : Kaava an = (1)n määrittelee sekvenssin: 1; yksi; yksi; yksi; : : :

Jokainen numerosarja ei ole sarja. Joten segmentti ei ole sekvenssi; se sisältää ¾liian monta¿ numeroa uudelleen numeroitavaksi. Kaikkien reaalilukujen joukko R ei myöskään ole sarja. Nämä tosiasiat todistetaan matemaattisen analyysin aikana.

Aritmeettinen progressio: perusmääritelmät

Nyt olemme valmiita määrittelemään aritmeettisen progression.

Määritelmä. Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen termi (toisesta alkaen) on yhtä suuri kuin edellisen termin ja jonkin kiinteän luvun (kutsutaan aritmeettisen etenemisen erotukseksi) summa.

Esimerkiksi sekvenssi 2; 5; kahdeksan; yksitoista; : : : on aritmeettinen progressio, jossa on ensimmäinen termi 2 ja erotus 3. Jakso 7; 2; 3; kahdeksan; : : : on aritmeettinen progressio, jossa on ensimmäinen termi 7 ja erotus 5. Sekvenssi 3; 3; 3; : : : on aritmeettinen progressio ilman eroa.

Ekvivalentti määritelmä: Jonoa an kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi, jos ero an+1 an on vakio (ei riipu n:stä).

Aritmeettisen progression sanotaan kasvavan, jos sen ero on positiivinen, ja laskevan, jos sen ero on negatiivinen.

1 Ja tässä on ytimekkäämpi määritelmä: jono on funktio, joka on määritelty luonnollisten lukujen joukolle. Esimerkiksi reaalilukujen sarja on funktio f: N! R.

Oletusarvoisesti sarjoja pidetään äärettöminä, eli ne sisältävät äärettömän määrän numeroita. Mutta kukaan ei vaivaudu harkitsemaan myös äärellisiä sekvenssejä; itse asiassa mitä tahansa äärellistä lukujoukkoa voidaan kutsua äärelliseksi sekvenssiksi. Esimerkiksi viimeinen sekvenssi 1; 2; 3; neljä; 5 koostuu viidestä numerosta.

Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava

On helppo ymmärtää, että aritmeettinen eteneminen määräytyy täysin kahdella numerolla: ensimmäisellä termillä ja erolla. Siksi herää kysymys: kuinka, kun tiedetään ensimmäinen termi ja ero, löytää aritmeettisen progression mielivaltainen termi?

Ei ole vaikeaa saada haluttua kaavaa aritmeettisen progression n:nnelle termille. Anna an

aritmeettinen eteneminen erolla d. Meillä on:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Erityisesti kirjoitamme:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ja nyt käy selväksi, että kaava an on:
an = a1 + (n 1)d:

Tehtävä 1. Aritmeettisessa progressiossa 2; 5; kahdeksan; yksitoista; : : : etsi n:nnen termin kaava ja laske sadasosa.

Ratkaisu. Kaavan (1) mukaan meillä on:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmeettisen etenemisen ominaisuus ja etumerkki

aritmeettisen progression ominaisuus. Aritmeettisessa progressiossa an millä tahansa

Toisin sanoen jokainen aritmeettisen progression jäsen (toisesta alkaen) on naapurijäsenten aritmeettinen keskiarvo.

	Todiste. Meillä on:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

mitä vaadittiin.

Yleisemmin aritmeettinen progressio an täyttää tasa-arvon

a n = a n k+ a n+k

mille tahansa n > 2:lle ja mille tahansa luonnolliselle k:lle< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Osoittautuu, että kaava (2) ei ole vain välttämätön, vaan myös riittävä ehto sille, että sekvenssi on aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression merkki. Jos yhtälö (2) pätee kaikille n > 2, niin sekvenssi an on aritmeettinen progressio.

Todiste. Kirjoitetaan kaava (2) uudelleen seuraavasti:

a na n 1= a n+1a n:

Tämä osoittaa, että ero an+1 an ei riipu n:stä, ja tämä tarkoittaa vain, että sekvenssi an on aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression ominaisuus ja etumerkki voidaan muotoilla yhdeksi lauseeksi; Mukavuussyistä teemme tämän kolmelle numerolle (tämä tilanne esiintyy usein ongelmissa).

Aritmeettisen progression karakterisointi. Kolme lukua a, b, c muodostavat aritmeettisen progression silloin ja vain jos 2b = a + c.

Tehtävä 2. (Moscow State University, Faculty of Economics, 2007) Kolme numeroa 8x, 3 x2 ja 4 määritetyssä järjestyksessä muodostavat laskevan aritmeettisen progression. Etsi x ja kirjoita tämän etenemisen erotus.

Ratkaisu. Aritmeettisen progression ominaisuuden perusteella meillä on:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x=5:

Jos x = 1, saadaan laskeva eteneminen 8, 2, 4 erolla 6. Jos x = 5, niin saadaan kasvava progressio 40, 22, 4; tämä tapaus ei toimi.

Vastaus: x = 1, ero on 6.

Aritmeettisen etenemisen ensimmäisen n ehdon summa

Legenda kertoo, että kerran opettaja käski lasten löytää lukujen summan 1:stä 100:aan ja istuutui hiljaa lukemaan sanomalehteä. Kuitenkin muutamassa minuutissa yksi poika sanoi, että hän oli ratkaissut ongelman. Se oli 9-vuotias Carl Friedrich Gauss, myöhemmin yksi historian suurimmista matemaatikoista.

Pikku Gaussin idea oli tämä. Päästää

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Kirjoitetaan tämä summa käänteisessä järjestyksessä:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ja lisää nämä kaksi kaavaa:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jokainen suluissa oleva termi on 101, ja tällaisia ​​termejä on yhteensä 100. Siksi

2S = 101 100 = 10 100;

Käytämme tätä ideaa summakaavan johtamiseen

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Kaavan (3) käyttökelpoinen muunnos saadaan korvaamalla n:nnen termin an = a1 + (n 1)d kaava siihen:

		2a1 + (n 1)d

Tehtävä 3. Etsi kaikkien 13:lla jaollisten positiivisten kolminumeroisten lukujen summa.

Ratkaisu. Kolminumeroiset luvut, jotka ovat luvun 13 kerrannaisia, muodostavat aritmeettisen progression, jossa ensimmäinen termi on 104 ja erotus 13; Tämän etenemisen n:s termi on:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Selvitetään kuinka monta jäsentä etenemisemme sisältää. Tätä varten ratkaisemme epätasa-arvon:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Eli etenemisessämme on 69 jäsentä. Kaavan (4) mukaan löydämme tarvittavan määrän:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674:2

Mikä on kaavan ydin?

Tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Tietenkin sinun on tiedettävä ensimmäinen termi a 1 ja etenemisero d, ilman näitä parametreja et voi kirjoittaa muistiin tiettyä etenemistä.

Ei riitä, että muistat (tai huijaat) tämän kaavan. On tarpeen omaksua sen olemus ja soveltaa kaavaa erilaisiin ongelmiin. Kyllä, ja älä unohda oikeaan aikaan, kyllä ​​...) Miten ei unohda- En tiedä. Mutta kuinka muistaa Tarvittaessa annan vinkkejä. Niille, jotka hallitsevat oppitunnin loppuun asti.)

Käsitellään siis aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavaa.

Mikä on kaava yleensä - kuvittelemme.) Mikä on aritmeettinen progressio, jäsennumero, etenemisero - kerrotaan selvästi edellisellä oppitunnilla. Katso, jos et ole lukenut sitä. Siellä kaikki on yksinkertaista. Jää selville mitä n:s jäsen.

Yleisesti eteneminen voidaan kirjoittaa numerosarjana:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- tarkoittaa aritmeettisen progression ensimmäistä termiä, a 3- kolmas jäsen a 4- neljäs ja niin edelleen. Jos olemme kiinnostuneita viidennestä kaudesta, oletetaan, että teemme yhteistyötä a 5, jos satakahdeskymmenes - alkaen a 120.

Miten määritellään yleisesti minkä tahansa aritmeettisen progression jäsen, s minkä tahansa määrä? Erittäin yksinkertainen! Kuten tämä:

a n

Sitä se on aritmeettisen progression n:s jäsen. Kirjaimen n alle piilotetaan kaikki jäsenmäärät kerralla: 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.

Ja mitä tällainen ennätys meille antaa? Ajattele vain, että numeron sijaan he kirjoittivat muistiin kirjeen ...

Tämä merkintä antaa meille tehokkaan työkalun aritmeettisten progressioiden käsittelyyn. Muistimerkin käyttö a n, löydämme nopeasti minkä tahansa jäsen minkä tahansa aritmeettinen progressio. Ja joukko tehtäviä ratkaistavaksi. Näet lisää.

Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavassa:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- aritmeettisen progression ensimmäinen jäsen;

n- jäsennumero.

Kaava yhdistää minkä tahansa etenemisen keskeiset parametrit: a n; a 1; d ja n. Kaikki palapelit pyörivät näiden parametrien ympärillä.

N:nnen termin kaavaa voidaan käyttää myös tietyn etenemisen kirjoittamiseen. Esimerkiksi tehtävässä voidaan sanoa, että eteneminen on annettu ehdolla:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tällainen ongelma voi jopa hämmentää ... Ei ole sarjaa, ei eroa ... Mutta kun vertaa ehtoa kaavaan, on helppo selvittää, että tässä etenemisessä a 1 \u003d 5 ja d \u003d 2.

Ja se voi olla vielä vihaisempaa!) Jos otamme saman ehdon: a n = 5 + (n-1) 2, kyllä, avaa sulut ja anna samanlaiset? Saamme uuden kaavan:

an = 3 + 2n.

se Ei vain yleistä, vaan tiettyä kehitystä varten. Tässä on sudenkuoppa. Jotkut ihmiset ajattelevat, että ensimmäinen termi on kolme. Vaikka todellisuudessa ensimmäinen jäsen on viisi... Hieman alempana työskentelemme tällaisen muunnetun kaavan kanssa.

Etenemistehtävissä on toinen merkintä - a n+1. Arvasit sen, että tämä on etenemisen "n plus ensimmäinen" termi. Sen merkitys on yksinkertainen ja vaaraton.) Tämä on progression jäsen, jonka lukumäärä on suurempi kuin luku n yhdellä. Esimerkiksi, jos otamme jonkin ongelman a n siis viides lukukausi a n+1 on kuudes jäsen. Jne.

Useimmiten nimitys a n+1 esiintyy rekursiivisissa kaavoissa. Älä pelkää tätä kauheaa sanaa!) Tämä on vain tapa ilmaista aritmeettisen progression termi edellisen kautta. Oletetaan, että meille annetaan aritmeettinen progressio tässä muodossa käyttäen toistuvaa kaavaa:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Neljäs - kolmanteen, viides - neljänteen ja niin edelleen. Ja kuinka laskea heti, sano kahdeskymmenes termi, a 20? Mutta ei mitenkään!) Vaikka 19. termiä ei tunneta, 20. ei voida laskea. Tämä on perustavanlaatuinen ero rekursiivisen kaavan ja n:nnen termin kaavan välillä. Rekursiivinen toimii vain kautta Edellinen termi ja n:nnen termin kaava - kautta ensimmäinen ja sallii heti löytää jäsenen numeron perusteella. Ei lasketa koko numerosarjaa järjestyksessä.

Aritmeettisessa progressiossa rekursiivinen kaava voidaan helposti muuttaa säännölliseksi. Laske pari peräkkäistä termiä, laske ero d, etsi tarvittaessa ensimmäinen termi a 1, kirjoita kaava tavalliseen muotoon ja työskentele sen kanssa. GIA:ssa tällaisia ​​​​tehtäviä löytyy usein.

Aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavan soveltaminen.

Katsotaanpa ensin kaavan suoraa soveltamista. Edellisen oppitunnin lopussa oli ongelma:

Annettu aritmeettinen progressio (a n). Etsi 121, jos a 1 = 3 ja d = 1/6.

Tämä ongelma voidaan ratkaista ilman kaavoja, yksinkertaisesti perustuen aritmeettisen progression merkitykseen. Lisää, kyllä ​​lisää... Tunti tai kaksi.)

Ja kaavan mukaan ratkaisu kestää alle minuutin. Voit ajoittaa sen.) Me päätämme.

Ehdot tarjoavat kaikki tiedot kaavan käyttöön: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Nähtäväksi jää mitä n. Ei ongelmaa! Meidän on löydettävä a 121. Täällä kirjoitetaan:

Ole hyvä ja keskity! Indeksin sijaan n ilmestyi tietty luku: 121. Mikä on varsin loogista.) Olemme kiinnostuneita aritmeettisen progression jäsenestä numero satakaksikymmentäyksi. Tämä tulee olemaan meidän n. Se on tämä merkitys n= 121 korvataan edelleen kaavassa, suluissa. Korvaa kaikki luvut kaavassa ja laske:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Siinä kaikki. Yhtä nopeasti voisi löytää viisisataakymmenennen jäsenen ja tuhatkolmannen, minkä tahansa. Laitamme tilalle n haluttu numero kirjaimen hakemistossa " a" ja suluissa, ja harkitsemme.

Haluan muistuttaa sinua olemuksesta: tämän kaavan avulla voit löytää minkä tahansa aritmeettisen progression termi HÄNEN NUMEROLLAAN" n" .

Ratkaistaan ​​ongelma viisaammin. Oletetaan, että meillä on seuraava ongelma:

Etsi aritmeettisen progression (a n) ensimmäinen termi, jos a 17 =-2; d = -0,5.

Jos sinulla on vaikeuksia, ehdotan ensimmäistä vaihetta. Kirjoita muistiin aritmeettisen progression n:nnen termin kaava! Kyllä kyllä. Kirjoita käsin suoraan muistikirjaasi:

a n = a 1 + (n-1)d

Ja nyt, katsomalla kaavan kirjaimia, ymmärrämme, mitä tietoja meillä on ja mitä puuttuu? Saatavilla d = -0,5, siellä on seitsemästoista jäsen... Kaikki? Jos luulet, että siinä on kaikki, et voi ratkaista ongelmaa, kyllä...

Meillä on myös numero n! Kunnossa a 17 = -2 piilotettu kaksi vaihtoehtoa. Tämä on sekä seitsemännentoista jäsenen arvo (-2) että sen numero (17). Nuo. n = 17. Tämä "pikkujuttu" liukuu usein pään ohi, ja ilman sitä (ilman "pientä", ei päätä!) Ongelmaa ei voida ratkaista. Vaikka ... ja myös ilman päätä.)

Nyt voimme vain typerästi korvata tietomme kaavaan:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Kyllä, a 17 tiedämme, että se on -2. Okei, laitetaan se sisään:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Siinä on pohjimmiltaan kaikki. Jää vielä ilmaista aritmeettisen etenemisen ensimmäinen termi kaavasta ja laskea. Saat vastauksen: a 1 = 6.

Tällainen tekniikka - kaavan kirjoittaminen ja yksinkertaisesti tunnetun tiedon korvaaminen - auttaa paljon yksinkertaisissa tehtävissä. No, sinun täytyy tietysti osata ilmaista muuttuja kaavasta, mutta mitä tehdä!? Ilman tätä taitoa matematiikkaa ei voi opiskella ollenkaan ...

Toinen suosittu ongelma:

Laske aritmeettisen progression (a n) ero, jos a 1 =2; a 15 = 12.

Mitä olemme tekemässä? Tulet yllättymään, me kirjoitamme kaavan!)

a n = a 1 + (n-1)d

Mieti, mitä tiedämme: a 1 = 2; a 15 = 12; ja (erityinen kohokohta!) n = 15. Voit vapaasti korvata kaavan:

12=2 + (15-1)d

Tehdään aritmetiikka.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Tämä on oikea vastaus.

Tehtävät siis a n, a 1 ja d päättänyt. Vielä on opittava löytämään numero:

Luku 99 on aritmeettisen progression (a n) jäsen, jossa a 1 =12; d = 3. Etsi tämän jäsenen numero.

Korvaamme tunnetut suureet n:nnen termin kaavaan:

a n = 12 + (n-1) 3

Ensi silmäyksellä tässä on kaksi tuntematonta määrää: a n ja n. Mutta a n on joku numeron etenemisen jäsen n... Ja tämä jäsen etenemisen me tiedämme! Se on 99. Emme tiedä hänen numeroaan. n, joten tämä numero on myös löydettävä. Korvaa etenemistermi 99 kaavaan:

99 = 12 + (n-1) 3

Ilmaisemme kaavasta n, me ajattelemme. Saamme vastauksen: n = 30.

Ja nyt ongelma samasta aiheesta, mutta luovempi):

Selvitä, onko luku 117 aritmeettisen progression (a n) jäsen:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Kirjoitetaan kaava uudelleen. Mitä, eikö vaihtoehtoja ole? Hm... Miksi tarvitsemme silmiä?) Näemmekö etenemisen ensimmäisen jäsenen? Me näemme. Tämä on -3.6. Voit kirjoittaa turvallisesti: a 1 \u003d -3,6. Ero d voidaan määrittää sarjasta? Se on helppoa, jos tiedät, mikä ero aritmeettisella progressiolla on:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Kyllä, teimme yksinkertaisimman asian. Jäljelle jää tuntemattoman numeron käsittely n ja käsittämätön luku 117. Edellisessä tehtävässä ainakin tiedettiin, että etenemisen termi annettiin. Mutta täällä emme edes tiedä sitä... Kuinka olla!? No, miten olla, miten olla... Ota luovat kykysi käyttöön!)

Me olettaa että 117 on loppujen lopuksi edistymisemme jäsen. Tuntemattomalla numerolla n. Ja aivan kuten edellisessä tehtävässä, yritetään löytää tämä numero. Nuo. kirjoitamme kaavan (kyllä-kyllä!)) ja korvaamme numeromme:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Jälleen ilmaisemme kaavastan, laskemme ja saamme:

Oho! Numero selvisi murto-osa! Sata ja puolitoista. Ja murtoluvut progressioissa ei voi olla. Millaisen johtopäätöksen teemme? Joo! Numero 117 ei ole edistymisemme jäsen. Se on jossain 101. ja 102. jäsenen välillä. Jos luku osoittautui luonnolliseksi, ts. positiivinen kokonaisluku, niin luku olisi etenemisen jäsen löydetyn luvun kanssa. Ja meidän tapauksessamme vastaus ongelmaan on: ei.

Tehtävä perustuu GIA:n todelliseen versioon:

Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:

a n \u003d -4 + 6,8n

Etsi etenemisen ensimmäinen ja kymmenes termi.

Tässä eteneminen on asetettu epätavallisella tavalla. Jonkinlainen kaava... Se tapahtuu.) Kuitenkin tämä kaava (kuten kirjoitin edellä) - myös aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaava! Hän myös sallii Etsi mikä tahansa etenemisen jäsen sen numeron perusteella.

Etsimme ensimmäistä jäsentä. Se joka ajattelee. että ensimmäinen termi on miinus neljä, on kohtalokkaasti virheellinen!) Koska tehtävän kaavaa on muutettu. Aritmeettisen progression ensimmäinen termi siinä piilotettu. Ei mitään, löydämme sen nyt.)

Kuten edellisissäkin tehtävissä, korvaamme n = 1 tähän kaavaan:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Tässä! Ensimmäinen termi on 2,8, ei -4!

Samoin etsimme kymmenennen termiä:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Siinä kaikki.

Ja nyt niille, jotka ovat lukeneet nämä rivit, luvattu bonus.)

Oletetaan, että GIA:n tai Unified State Exam:n vaikeassa taistelutilanteessa olet unohtanut aritmeettisen progression n:nnen jäsenen hyödyllisen kaavan. Jotain tulee mieleen, mutta jotenkin epävarma... Onko n siellä, tai n+1 tai n-1... Kuinka olla!?

Rauhoittaa! Tämä kaava on helppo johtaa. Ei kovin tiukka, mutta varmasti riittävä itseluottamukseen ja oikeaan päätökseen!) Johtopäätökseksi riittää, että muistat aritmeettisen etenemisen alkeismerkityksen ja varaa pari minuuttia aikaa. Sinun tarvitsee vain piirtää kuva. Selvyydeksi.

Piirrämme numeerisen akselin ja merkitsemme sille ensimmäisen. toinen, kolmas jne. jäsenet. Ja huomioi ero d jäsenten välillä. Kuten tämä:

Katsomme kuvaa ja ajattelemme: mikä on toinen termi? Toinen yksi d:

a 2 =a 1 + 1 d

Mikä on kolmas termi? Kolmanneksi termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kaksi d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ymmärrätkö? En laita lihavoituja sanoja turhaan. Okei, vielä yksi askel.)

Mikä on neljäs termi? Neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi plus kolme d.

a 4 =a 1 + 3 d

On aika tajuta, että aukkojen määrä, ts. d, aina yksi vähemmän kuin etsimäsi jäsenmäärä n. Eli numeroon asti n, aukkojen lukumäärä tulee olemaan n-1. Joten kaava on (ei vaihtoehtoja!):

a n = a 1 + (n-1)d

Yleisesti ottaen visuaaliset kuvat ovat erittäin hyödyllisiä monien matematiikan ongelmien ratkaisemisessa. Älä unohda kuvia. Mutta jos kuvan piirtäminen on vaikeaa, niin ... vain kaava!) Lisäksi n:nnen termin kaavan avulla voit yhdistää koko tehokkaan matematiikan arsenaalin ratkaisuun - yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät jne. Et voi laittaa kuvaa yhtälöön...

Tehtävät itsenäiseen päätökseen.

Lämmittelyä varten:

1. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Etsi 3.

Vihje: kuvan mukaan ongelma ratkeaa 20 sekunnissa ... Kaavan mukaan se osoittautuu vaikeammaksi. Mutta kaavan hallitsemiseksi se on hyödyllisempää.) Kohdassa 555 tämä ongelma on ratkaistu sekä kuvan että kaavan avulla. Tunne erilaisuus!)

Ja tämä ei ole enää lämmittely.)

2. Aritmeettisessa progressiossa (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Etsi 3 .

Mitä, haluttomuus piirtää kuvaa?) Silti! Se on parempi kaavassa, kyllä...

3. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi tämän etenemisen sadankahdeskymmenesviides termi.

Tässä tehtävässä eteneminen annetaan toistuvasti. Mutta kun lasketaan sataankahdenkymmenenviidenteen termiin asti... Kaikki eivät voi tehdä sellaista suoritusta.) Mutta n:nnen termin kaava on jokaisen vallassa!

4. Annettu aritmeettinen progressio (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Etsi etenemisen pienimmän positiivisen termin luku.

5. Etsi tehtävän 4 ehdon mukaisesti etenemisen pienimpien positiivisten ja suurimman negatiivisten termien summa.

6. Kasvavan aritmeettisen progression viidennen ja kahdestoista jäsenen tulo on -2,5 ja kolmannen ja yhdennentoista jäsenen summa on nolla. Etsi 14.

Ei helpoin tehtävä, kyllä...) Tässä menetelmä "sormilla" ei toimi. Sinun täytyy kirjoittaa kaavoja ja ratkaista yhtälöitä.

Vastaukset (sekaisin):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Tapahtui? Se on kiva!)

Eikö kaikki suju? Se tapahtuu. Muuten, viimeisessä tehtävässä on yksi hienovarainen kohta. Ongelmaa luettaessa vaaditaan tarkkaavaisuutta. Ja logiikkaa.

Kaikkien näiden ongelmien ratkaisua käsitellään yksityiskohtaisesti luvussa 555. Ja fantasiaelementti neljännelle ja hienovarainen hetki kuudennelle ja yleiset lähestymistavat n:nnen termin kaavan ongelmien ratkaisemiseen - kaikki on maalattu. Minä suosittelen.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.