moduuli tai itseisarvo reaalilukua kutsutaan itse numeroksi, jos X on ei-negatiivinen, ja vastakkainen luku, ts. -x jos X negatiivinen:

Ilmeisesti, mutta määritelmän mukaan |x| > 0. Seuraavat absoluuttisten arvojen ominaisuudet tunnetaan:

• 1) hu| = |dg| |r/1;
• 2>-H;

kloklo

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Kahden luvun eromoduuli X - a| on pisteiden välinen etäisyys X ja a numerorivillä (mikä tahansa X ja a).

Tästä seuraa erityisesti, että eriarvoisuuden ratkaisut X - a 0) ovat kaikki pisteet X intervalli (a- g, a + c), ts. lukuja, jotka tyydyttävät eriarvoisuuden ilmoitus + G.

Sellainen väli (a- 8, a+ d) kutsutaan pisteen 8-naapurialueeksi a.

Funktioiden perusominaisuudet

Kuten olemme jo todenneet, kaikki matematiikan suureet on jaettu vakioiksi ja muuttujiksi. Vakioarvo kutsutaan suureksi, joka säilyttää saman arvon.

muuttuja on määrä, joka voi saada erilaisia ​​numeerisia arvoja.

Määritelmä 10.8. muuttuja klo nimeltään toiminto muuttujan x, jos jonkin säännön mukaan jokainen x:n arvo e X määritetty tietty arvo klo e U; riippumatonta muuttujaa x kutsutaan yleensä argumentiksi ja laajuudeksi X sen muutosta kutsutaan funktion laajuudeksi.

Se, että klo on funktio otx, joka ilmaistaan ​​useimmiten symbolisella merkinnällä: klo= /(x).

On olemassa useita tapoja määrittää funktioita. Kolmea pidetään tärkeimpänä: analyyttinen, taulukkomuotoinen ja graafinen.

Analyyttinen tapa. Tämä menetelmä koostuu argumentin (riippumattoman muuttujan) ja funktion välisen suhteen asettamisesta kaavan (tai kaavojen) muodossa. Yleensä /(x) on jokin analyyttinen lauseke, joka sisältää x:n. Tässä tapauksessa funktion sanotaan olevan määritelty kaavalla, esim. klo= 2x + 1, klo= tgx jne.

Taulukkomainen Funktio määritellään siten, että funktio annetaan taulukolla, joka sisältää argumentin x arvot ja funktion f(.r) vastaavat arvot. Esimerkkejä ovat taulukot rikosten lukumäärästä tietyltä ajanjaksolta, taulukot kokeellisista mittauksista, logaritmitaulukko.

Graafinen tapa. Olkoon tasossa suorakulmaisten suorakaiteen muotoisten koordinaattien järjestelmä ho. Funktion geometrinen tulkinta perustuu seuraavaan.

Määritelmä 10.9. ajoittaa funktiota kutsutaan tason pisteiden paikaksi, koordinaatit (x, y) jotka täyttävät ehdon: w-ah).

Funktion sanotaan olevan graafisesti annettu, jos sen graafi piirretään. Graafista menetelmää käytetään laajasti kokeellisissa mittauksissa itsetallennuslaitteilla.

Kun silmäsi edessä on visuaalinen funktiokaavio, ei ole vaikea kuvitella monia sen ominaisuuksia, mikä tekee kaaviosta välttämättömän työkalun funktion tutkimiseen. Siksi piirtäminen on tärkein (yleensä viimeinen) osa funktion tutkimista.

Jokaisella menetelmällä on sekä hyvät että huonot puolensa. Joten, graafisen menetelmän etuja ovat sen näkyvyys, haittoja - sen epätarkkuus ja rajoitettu esitys.

Siirrytään nyt funktioiden pääominaisuuksien tarkasteluun.

Parillinen ja pariton. Toiminto y = f(x) nimeltään jopa, jos jollekin X kunto f(-x) = f(x). Jos varten X määritelmäalueesta ehto f(-x) = -/(x) täyttyy, jolloin funktiota kutsutaan outo. Funktiota, joka ei ole parillinen tai pariton, kutsutaan funktioksi yleisnäkymä.

• 1) y = x 2 on parillinen funktio, koska f(-x) = (-x) 2 = x 2, eli/(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - pariton funktio, koska (-x) 3 \u003d -x 3, t.s. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x on yleinen funktio. Tässä / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen Vai niin, ja parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Yksitoikkoinen. Toiminto klo=/(x) kutsutaan lisääntyy välissä x, jos jollekin x, x 2 e X epäyhtälöstä x 2 > x seuraa / (x 2) > / (x,). Toiminto klo=/(x) kutsutaan hiipumassa, jos arvosta x 2 > x, se seuraa / (x 2) (x,).

Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen välissä x, jos se joko kasvaa koko tämän ajanjakson aikana tai pienenee sen yli.

Esimerkiksi funktio y= x 2 pienenee (-°°; 0) ja kasvaa (0; +°°).

Huomaa, että olemme antaneet monotonisen funktion määritelmän suppeassa merkityksessä. Yleisesti monotonisiin funktioihin kuuluvat ei-vähenevät funktiot, ts. ne, joille x 2 > x:stä seuraa / (x 2) > / (x,), ja ei-kasvavia funktioita, ts. ne, joille x 2 > x seuraa / (x 2)

Rajoitus. Toiminto klo=/(x) kutsutaan rajoitettu välissä x, jos sellainen numero on M > 0 siten, että |/(x)| M mille tahansa x e:lle x.

Esimerkiksi funktio klo =-

rajattu koko numeroviivalle, joten

Jaksoisuus. Toiminto klo = f(x) nimeltään kausijulkaisu jos sellainen numero on T^ Ai mitä f(x + T = f(x) kaikille X toiminnon laajuudesta.

Tässä tapauksessa T kutsutaan funktion jaksoksi. Ilmeisesti jos T - toimintajakso y = f(x), silloin myös tämän funktion jaksot ovat 2T, 3 T jne. Siksi yleensä funktion jakso on pienin positiivinen jakso (jos sellainen on). Esimerkiksi funktioissa / = cos.r on piste T= 2P, ja toiminto y= tg Zx - ajanjaksoa p/3.

Sinun tavoitteesi:

tiedä selvästi reaaliluvun moduulin määritelmä;

ymmärtää reaaliluvun moduulin geometrisen tulkinnan ja osaa soveltaa sitä tehtävien ratkaisussa;

tuntea moduulin ominaisuudet ja osaa soveltaa tehtävien ratkaisussa;

ymmärtää koordinaattiviivan kahden pisteen välisen etäisyyden ja osaa käyttää sitä tehtävien ratkaisussa.

syöttää tiedot

Reaaliluvun moduulin käsite. Reaaliluvun moduuliksi kutsutaan tätä lukua itseään, jos , ja sitä vastakkaista lukua, jos< 0.

Luvun moduuli merkitään ja kirjoitetaan:

Moduulin geometrinen tulkinta . Geometrisesti reaaliluvun moduuli on etäisyys annettua numeroa edustavasta pisteestä koordinaattiviivalla origoon.

Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen moduuleilla moduulin geometrisen merkityksen perusteella. Käyttämällä käsitettä "etäisyys kahden koordinaattiviivan pisteen välillä" on mahdollista ratkaista muodon yhtälöitä tai muodon epäyhtälöitä, joissa merkin sijaan mikä tahansa merkeistä voi olla .

Esimerkki. Ratkaistaan ​​yhtälö.

Ratkaisu. Muotoilkaamme ongelma uudelleen geometrisesti. Koska koordinaattiviivalla on etäisyys pisteiden välillä, joiden koordinaatit ja , se tarkoittaa, että on löydettävä sellaisten pisteiden koordinaatit, joista etäisyys pisteisiin, joiden koordinaatti on 1, on 2.

Lyhyesti sanottuna, etsi koordinaattiviivalta pisteiden koordinaattien joukko, jonka etäisyys pisteeseen, jonka koordinaatti on 1, on yhtä suuri kuin 2.

Ratkaistaan ​​tämä ongelma. Koordinaattiviivalle merkitään piste, jonka koordinaatti on 1 (kuva 6) Pisteet, joiden koordinaatit ovat -1 ja 3, poistetaan tästä pisteestä kaksi yksikköä, joten vaadittu pisteiden koordinaattijoukko on joukko, joka koostuu luvuista -1 ja 3.

Vastaus: -1; 3.

Kuinka löytää etäisyys kahden pisteen välillä koordinaattiviivalla. Numero, joka ilmaisee pisteiden välisen etäisyyden ja , kutsutaan etäisyydeksi numeroiden ja välillä .

Kaikille kahdelle pisteelle ja koordinaattiviivalle etäisyys

.

Reaaliluvun moduulin perusominaisuudet:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Kun meillä on:

11. sitten vain kun tai ;

12. sitten vain kun ;

13. sitten vain kun tai ;

14. sitten vain kun ;

11. sitten vain kun .

Käytännön osa

Harjoitus 1. Ota tyhjä paperi ja kirjoita siihen vastaukset alla oleviin suullisiin harjoituksiin.

Tarkista vastauksesi vastauksista tai lyhyistä ohjeista, jotka on sijoitettu oppimiselementin loppuun, otsikon "Auttajasi" alle.

1. Laajenna moduulin merkki:

a) |–5|; b) |5|; c) |0|; d) |p|.

2. Vertaa lukuja:

a) || ja -; c) |0| ja 0; e) – |–3| ja -3; g) –4| a| ja 0;

b) |–p| ja p; d) |–7,3| ja -7,3; f) | a| ja 0; h) 2| a| ja |2 a|.

3. Kuinka moduulimerkkiä käyttämällä kirjoitetaan ainakin yksi luvuista a, b tai Kanssa eroaa nollasta?

4. Kuinka käyttää yhtäläisyysmerkkiä kirjoittamaan, että jokainen numero a, b ja Kanssa yhtä kuin nolla?

5. Etsi lausekkeen arvo:

a) | a| – a; b) a + |a|.

6. Ratkaise yhtälö:

a) | X| = 3; c) | X| = -2; e) |2 X– 5| = 0;

b) | X| = 0; d) | X– 3| = 4; f) |3 X– 7| = – 9.

7. Mitä voidaan sanoa numeroista X ja klo, jos:

a) | X| = X; b) | X| = –X; c) | X| = |klo|?

8. Ratkaise yhtälö:

a) | X– 2| = X– 2; c) | X– 3| =|7 – X|;

b) | X– 2| = 2 – X; d) | X– 5| =|X– 6|.

9. Mitä numerosta voi sanoa klo jos tasa-arvo pätee:

a) i Xï = klo; b) i Xï = – klo ?

10. Ratkaise epäyhtälö:

a) | X| > X; c) | X| > –X; e) | X| £ X;

b) | X| ³ X; d) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. Listaa kaikki a:n arvot, joille tasa-arvo pätee:

a) | a| = a; b) | a| = –a; sisään) a – |–a| =0; d) | a|a= -1; e) = 1.

12. Etsi kaikki arvot b, jolle pätee seuraava epäyhtälö:

a) | b| ³ 1; b) | b| < 1; в) |b| 0 puntaa; d) | b| ³ 0; e) 1< |b| < 2.

Olet ehkä törmännyt joihinkin seuraavista tehtävistä matematiikan tunneilla. Päätä, mitkä seuraavista tehtävistä sinun on suoritettava. Jos sinulla on vaikeuksia, katso "Avustajasi" -osiosta neuvoja opettajalta tai apua ystävältä.

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö reaaliluvun moduulin määritelmän perusteella:

Tehtävä 4. Reaalilukuja edustavien pisteiden välinen etäisyys α ja β koordinaattiviivalla on yhtä suuri kuin | α – β |. Käytä tätä yhtälön ratkaisemiseen.

Koulussa matematiikan tunnilla joka vuosi opiskelijat analysoivat uusia aiheita. Luokka 6 tutkii yleensä luvun moduulia - tämä on tärkeä käsite matematiikassa, jonka kanssa työskentelyä löytyy myöhemmin algebrasta ja korkeammasta matematiikasta. On erittäin tärkeää ymmärtää aluksi oikein termin selitys ja ymmärtää tämä aihe, jotta muut aiheet voidaan läpäistä onnistuneesti.

Aluksi on ymmärrettävä, että itseisarvo on tilastossa (kvantitatiivisesti mitattuna) parametri, joka luonnehtii tutkittavaa ilmiötä sen volyymin suhteen. Tässä tapauksessa ilmiö tulee toteuttaa tietyn ajan sisällä ja tietyssä paikassa. Erota arvot:

• yhteenveto - sopii yksikköryhmälle tai koko väestölle;
• yksilö - sopii vain työskentelemään tietyn väestön yksikön kanssa.

Käsitteitä käytetään laajasti tilastollisissa mittauksissa, joiden tuloksena saadaan indikaattoreita, jotka kuvaavat tietyn ilmiön kunkin yksikön absoluuttisia ulottuvuuksia. Niitä mitataan kahdella indikaattorilla: luonnollisella, ts. fyysiset yksiköt (kappaleet, ihmiset) ja ehdollisesti luonnolliset. Matematiikan moduuli on näiden indikaattoreiden näyttö.

Mikä on luvun moduuli?

Tärkeä! Tämä "moduulin" määritelmä on käännetty latinasta "mitta" ja tarkoittaa minkä tahansa luonnollisen luvun absoluuttista arvoa.

Mutta tällä käsitteellä on myös geometrinen selitys, koska geometrian moduuli on yhtä suuri kuin etäisyys koordinaattijärjestelmän origosta pisteeseen X, joka mitataan tavallisilla mittayksiköillä.

Tämän indikaattorin määrittämiseksi numerolle ei pidä ottaa huomioon sen merkkiä (miinus, plus), mutta on muistettava, että se ei voi koskaan olla negatiivinen. Tämä arvo paperilla on korostettu graafisesti hakasulkeilla - |a|. Tässä tapauksessa matemaattinen määritelmä on:

|x| = x, jos x on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ja -x, jos pienempi kuin nolla.

Englantilainen tiedemies R. Kotes oli ensimmäinen henkilö, joka sovelsi tätä käsitettä matemaattisissa laskelmissa. Mutta saksalainen matemaatikko K. Weierstrass keksi ja otti käyttöön graafisen symbolin.

Moduuligeometriassa voidaan tarkastella esimerkkiä koordinaattiviivasta, jolle piirretään 2 mielivaltaista pistettä. Oletetaan, että yhden - A:n arvo on 5 ja toisen B - 6. Piirustuksen yksityiskohtaisen tutkimisen jälkeen käy selväksi, että etäisyys A:sta B:hen on 5 yksikköä nollasta, ts. alkupisteestä ja piste B sijaitsee 6 yksikön päässä origosta. Voidaan päätellä, että moduulipisteet A = 5 ja pisteet B = 6. Graafisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti: | 5 | = 5. Eli etäisyys pisteestä origoon on annetun pisteen moduuli.

Hyödyllinen video: mikä on reaaliluvun moduuli?

Ominaisuudet

Kuten kaikilla matemaattisilla käsitteillä, moduulilla on omat matemaattiset ominaisuutensa:

1. Se on aina positiivinen, joten positiivisen arvon moduuli on itse, esimerkiksi 6:n ja -6:n moduuli on 6. Matemaattisesti tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa muodossa |a| = a, jos a> 0;
2. Vastakkaisten lukujen indikaattorit ovat samat. Tämä ominaisuus on selkeämpi geometrisessa esityksessä, koska suoralla viivalla nämä luvut sijaitsevat eri paikoissa, mutta samalla ne erotetaan origosta yhtä suurella määrällä yksiköitä. Matemaattisesti tämä kirjoitetaan seuraavasti: |a| = |-a|;
3. Nollan moduuli on nolla edellyttäen, että todellinen luku on nolla. Tätä ominaisuutta tukee se tosiasia, että nolla on alkuperä. Graafisesti tämä kirjoitetaan seuraavasti: |0| = 0;
4. Jos haluat löytää kahden kertoluvun moduulin, sinun tulee ymmärtää, että se on yhtä suuri kuin tuloksena oleva tulo. Toisin sanoen, suureiden A ja B tulo = AB, jos ne ovat positiivisia tai negatiivisia, ja sitten tulo on yhtä suuri kuin -AB. Graafisesti tämä voidaan kirjoittaa muodossa |A*B| = |A| * |B|.

Moduuliyhtälöiden onnistunut ratkaisu riippuu näiden ominaisuuksien tuntemisesta, mikä auttaa ketään laskemaan oikein ja työskentelemään tämän indikaattorin kanssa.

Moduulin ominaisuudet

Tärkeä! Eksponentti ei voi olla negatiivinen, koska se määrittää etäisyyden, joka on aina positiivinen.

Yhtälöissä

Matemaattisten epäyhtälöiden työstämisessä ja ratkaisemisessa, joissa moduuli on läsnä, on aina syytä muistaa, että oikean lopputuloksen saamiseksi tulee avata sulut, ts. avaa kylttimoduuli. Usein tämä on yhtälön merkitys.

Kannattaa muistaa, että:

• jos lauseke kirjoitetaan hakasulkeisiin, se on ratkaistava: |A + 5| \u003d A + 5, kun A on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla ja 5-A, jos A on pienempi kuin nolla;
• hakasulkeet on useimmiten laajennettava riippumatta muuttujan arvoista, esimerkiksi jos neliön lauseke on suluissa, koska laajennus on joka tapauksessa positiivinen luku.

Yhtälöitä on erittäin helppo ratkaista moduulilla syöttämällä arvoja koordinaattijärjestelmään, koska silloin arvot ja niiden indikaattorit on helppo nähdä visuaalisesti.

Hyödyllinen video: reaalilukumoduuli ja sen ominaisuudet

Johtopäätös

Periaate ymmärtää tällainen matemaattinen käsite moduulina on erittäin tärkeä, koska sitä käytetään korkeammassa matematiikassa ja muissa tieteissä, joten sinun on kyettävä työskentelemään sen kanssa.

Yhteydessä

Tässä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti luvun itseisarvo. Annamme erilaisia ​​määritelmiä luvun moduulista, esittelemme notaatiota ja annamme graafisia kuvia. Tässä tapauksessa tarkastelemme erilaisia ​​esimerkkejä luvun moduulin löytämisestä määritelmän mukaan. Tämän jälkeen luetellaan ja perustellaan moduulin pääominaisuudet. Artikkelin lopussa puhumme siitä, kuinka kompleksiluvun moduuli määritetään ja löydetään.

Sivulla navigointi.

Lukumoduuli - määritelmä, merkintä ja esimerkit

Ensin esittelemme moduulin nimitys. Numeron a moduuli kirjoitetaan muodossa , eli luvun vasemmalle ja oikealle puolelle laitetaan pystysuorat viivat, jotka muodostavat moduulin merkin. Otetaan pari esimerkkiä. Esimerkiksi modulo -7 voidaan kirjoittaa muodossa ; moduuli 4,125 kirjoitetaan muodossa , ja moduuli kirjoitetaan muodossa .

Seuraava moduulin määritelmä viittaa ja siten kokonaislukuihin sekä rationaali- ja irrationaalilukuihin reaalilukujoukon osien osalta. Puhumme kompleksiluvun moduulista in.

Määritelmä.

Moduuli a on joko itse luku a, jos a on positiivinen luku, tai luku −a, luvun a vastakohta, jos a on negatiivinen luku, tai 0, jos a=0 .

Luvun moduulin soinnillinen määritelmä kirjoitetaan usein seuraavassa muodossa , tämä merkintä tarkoittaa, että jos a>0 , jos a=0 ja jos a<0 .

Levy voidaan esittää tiiviimmässä muodossa . Tämä merkintä tarkoittaa, että jos (a on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 ), ja jos a<0 .

Siellä on myös ennätys . Tässä tapaus, jossa a=0 tulee selittää erikseen. Tässä tapauksessa meillä on , mutta −0=0 , koska nollaa pidetään itseään vastakkaisena lukuna.

Tuodaan esimerkkejä luvun moduulin löytämisestä tietyllä määritelmällä. Etsitään esimerkiksi moduulit numeroista 15 ja . Aloitetaan etsimisellä. Koska luku 15 on positiivinen, sen moduuli on määritelmän mukaan sama kuin tämä luku itse, eli . Mikä on luvun moduuli? Koska on negatiivinen luku, niin sen moduuli on yhtä suuri kuin luvun vastakkainen luku, eli luku . Tällä tavalla, .

Tämän kappaleen lopuksi annamme yhden johtopäätöksen, jota on erittäin kätevä soveltaa käytännössä luvun moduulia etsittäessä. Luvun moduulin määritelmästä seuraa, että luvun moduuli on yhtä suuri kuin moduulin etumerkin alla oleva luku sen etumerkistä riippumatta, ja edellä käsitellyistä esimerkeistä tämä näkyy hyvin selvästi. Äänillinen lausunto selittää, miksi luvun moduulia kutsutaan myös luvun itseisarvo. Joten luvun moduuli ja luvun itseisarvo ovat yksi ja sama.

Luvun moduuli etäisyydenä

Geometrisesti luvun moduuli voidaan tulkita seuraavasti etäisyys. Tuodaan luvun moduulin määrittäminen etäisyyden perusteella.

Määritelmä.

Moduuli a on etäisyys koordinaattiviivan origosta numeroa a vastaavaan pisteeseen.

Tämä määritelmä on yhdenmukainen ensimmäisessä kappaleessa annetun luvun moduulin määritelmän kanssa. Selitetään tämä kohta. Etäisyys origosta positiivista lukua vastaavaan pisteeseen on yhtä suuri kuin tämä luku. Nolla vastaa origoa, joten etäisyys origosta pisteeseen, jonka koordinaatti on 0, on nolla (ei yksittäistä segmenttiä eikä yhtäkään segmenttiä, joka muodostaa murto-osan yksikkösegmentistä, tarvitse lykätä päästäkseen pisteestä O pisteeseen koordinaatilla 0). Etäisyys alkupisteestä pisteeseen, jolla on negatiivinen koordinaatti, on yhtä suuri kuin annetun pisteen koordinaatin vastakkainen luku, koska se on yhtä suuri kuin etäisyys origosta pisteeseen, jonka koordinaatti on vastakkainen luku.

Esimerkiksi luvun 9 moduuli on 9, koska etäisyys origosta pisteeseen, jonka koordinaatti on 9, on yhdeksän. Otetaan toinen esimerkki. Piste koordinaatilla −3.25 on 3.25 etäisyydellä pisteestä O, joten .

Luvun moduulin äänekäs määritelmä on erikoistapaus kahden luvun eron moduulin määrittämisessä.

Määritelmä.

Kahden luvun eromoduuli a ja b on yhtä suuri kuin koordinaattiviivan pisteiden välinen etäisyys koordinaattien a ja b välillä.

Eli jos annetaan pisteet koordinaattisuoralla A(a) ja B(b), niin etäisyys pisteestä A pisteeseen B on yhtä suuri kuin lukujen a ja b välisen erotuksen moduuli. Jos otamme pisteen O (vertailupiste) pisteeksi B, niin saamme tämän kappaleen alussa annetun luvun moduulin määritelmän.

Luvun moduulin määrittäminen aritmeettisen neliöjuuren kautta

Joskus löytyy moduulin määritys aritmeettisen neliöjuuren avulla.

Lasketaan esimerkiksi lukujen −30 moduulit ja tämän määritelmän perusteella. Meillä on . Samalla tavalla laskemme kahden kolmasosan moduulin: .

Luvun moduulin määritelmä aritmeettisen neliöjuuren muodossa on myös yhdenmukainen tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa annetun määritelmän kanssa. Näytä se. Olkoon a positiivinen luku ja olkoot −a negatiivinen. Sitten ja , jos a = 0 , niin .

Moduulin ominaisuudet

Moduulilla on useita tunnusomaisia ​​tuloksia - moduulin ominaisuudet. Nyt annamme niistä tärkeimmät ja yleisimmin käytetyt. Näitä ominaisuuksia perustellessa nojaudumme luvun moduulin määritelmään etäisyyden perusteella.

Aloitetaan ilmeisimmästä moduuliominaisuudesta − luvun moduuli ei voi olla negatiivinen luku. Kirjaimellisessa muodossa tällä ominaisuudella on muoto minkä tahansa luvun a . Tämä ominaisuus on erittäin helppo perustella: luvun moduuli on etäisyys, eikä etäisyyttä voida ilmaista negatiivisena lukuna.

Siirrytään moduulin seuraavaan ominaisuuteen. Luvun moduuli on nolla silloin ja vain, jos tämä luku on nolla. Nollan moduuli on määritelmän mukaan nolla. Nolla vastaa origoa, mikään muu koordinaattiviivan piste ei vastaa nollaa, koska jokainen reaaliluku liittyy yhteen pisteeseen koordinaattiviivalla. Samasta syystä mikä tahansa muu luku kuin nolla vastaa muuta pistettä kuin origoa. Ja etäisyys origosta mihinkään muuhun pisteeseen kuin pisteeseen O ei ole nolla, koska kahden pisteen välinen etäisyys on nolla silloin ja vain, jos nämä pisteet ovat samat. Yllä oleva päättely osoittaa, että vain nollan moduuli on yhtä suuri kuin nolla.

Jatka eteenpäin. Vastakkaisilla luvuilla on yhtä suuret moduulit, toisin sanoen mille tahansa luvulle a . Todellakin, kaksi koordinaattiviivan pistettä, joiden koordinaatit ovat vastakkaisia ​​lukuja, ovat samalla etäisyydellä origosta, mikä tarkoittaa, että vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret.

Seuraava moduuliominaisuus on: kahden luvun tulon moduuli on yhtä suuri kuin näiden lukujen moduulien tulo, tuo on, . Määritelmän mukaan lukujen a ja b tulon moduuli on joko a b jos , tai −(a b) jos . Reaalilukujen kertolaskusäännöistä seuraa, että lukujen a ja b moduulien tulo on joko a b , tai −(a b) , jos , mikä todistaa tarkastelun ominaisuuden.

A:n jakamisen b:llä osamäärä on yhtä suuri kuin a:n moduulin jakaminen b:n moduulilla, tuo on, . Perustellaan tämä moduulin ominaisuus. Koska osamäärä on yhtä suuri kuin tulo, niin . Edellisen omaisuuden perusteella meillä on . Jää vain käyttää yhtälöä , joka on voimassa luvun moduulin määritelmän vuoksi.

Seuraava moduuliominaisuus kirjoitetaan epäyhtälönä: , a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja. Kirjoitettu eriarvoisuus ei ole muuta kuin kolmion epätasa-arvo. Tämän selventämiseksi otetaan koordinaattiviivan pisteet A(a) , B(b) , C(c) ja tarkastellaan degeneroitunutta kolmiota ABC, jonka kärjet ovat samalla suoralla. Määritelmän mukaan eron moduuli on yhtä suuri kuin janan AB pituus, - segmentin AC pituus ja - segmentin CB pituus. Koska kolmion minkään sivun pituus ei ylitä kahden muun sivun pituuksien summaa, epäyhtälö , siksi myös epätasa-arvo pätee.

Juuri todistettu epätasa-arvo on paljon yleisempää muodossa . Kirjoitettua epäyhtälöä pidetään yleensä moduulin erillisenä ominaisuutena formulaatiolla: " Kahden luvun summan moduuli ei ylitä näiden lukujen moduulien summaa". Mutta epäyhtälö seuraa suoraan epäyhtälöstä, jos siihen laitetaan −b b:n sijaan ja otetaan c=0 .

Kompleksiluvun moduuli

Annetaan kompleksiluvun moduulin määrittäminen. Olkoon meille annettu kompleksiluku, kirjoitettu algebralliseen muotoon , jossa x ja y ovat joitain reaalilukuja, jotka edustavat vastaavasti tietyn kompleksiluvun z reaali- ja imaginaariosaa ja ovat imaginaariyksikkö.

Ensin määritetään lausekkeen etumerkki moduulin etumerkin alla ja laajenna sitten moduulia:

• jos lausekkeen arvo on suurempi kuin nolla, niin se yksinkertaisesti otetaan pois moduulimerkin alta,
• jos lauseke on pienempi kuin nolla, otamme sen pois moduulin etumerkin alta vaihtaen samalla etumerkkiä, kuten teimme aiemmin esimerkeissä.

No, yritetäänkö? Arvioidaan:

(Unohdin, toista.)

Jos on, mikä on merkki? No tottakai, !

Ja siksi paljastamme moduulin merkin muuttamalla lausekkeen etumerkkiä:

Sain sen? Kokeile sitten itse:

Vastaukset:

Mitä muita ominaisuuksia moduulilla on?

Jos meidän täytyy kertoa luvut modulo-merkin sisällä, voimme turvallisesti kertoa näiden lukujen moduulin!!!

Matemaattisesti sanottuna lukujen tulon moduuli on yhtä suuri kuin näiden lukujen moduulien tulo.

Esimerkiksi:

Mutta entä jos meidän on jaettava kaksi lukua (lauseketta) modulo-merkin alla?

Kyllä, sama kuin kertolaskussa! Jaetaan se kahdeksi erilliseksi numeroksi (lausekkeeksi) moduulimerkin alla:

edellyttäen, että (koska et voi jakaa nollalla).

On syytä muistaa vielä yksi moduulin ominaisuus:

Lukujen summan moduuli on aina pienempi tai yhtä suuri kuin näiden lukujen moduulien summa:

Miksi niin? Kaikki on hyvin yksinkertaista!

Kuten muistamme, moduuli on aina positiivinen. Mutta moduulin merkin alla voi olla mikä tahansa numero: sekä positiivinen että negatiivinen. Oletetaan, että luvut ja ovat molemmat positiivisia. Tällöin vasen lauseke on yhtä suuri kuin oikea lauseke.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Jos moduulimerkin alla yksi luku on negatiivinen ja toinen positiivinen, vasen lauseke on aina pienempi kuin oikea:

Näyttää siltä, ​​​​että kaikki on selvää tämän ominaisuuden kanssa, tarkastellaanpa paria muuta hyödyllistä moduulin ominaisuutta.

Entä jos meillä on tämä ilmaus:

Mitä voimme tehdä tällä ilmaisulla? Emme tiedä x:n arvoa, mutta tiedämme jo mitä, mikä tarkoittaa.

Numero on suurempi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että voit kirjoittaa:

Joten tulimme toiseen kiinteistöön, joka voidaan yleisesti esittää seuraavasti:

Mitä tämä ilmaus tarkoittaa:

Joten meidän on määritettävä merkki moduulin alle. Onko tässä tarpeen määritellä merkki?

Ei tietenkään, jos muistat, että mikä tahansa luku neliö on aina suurempi kuin nolla! Jos et muista, katso aihe. Ja mitä tapahtuu? Ja tässä mitä:

Se on hienoa, eikö? Ihan kätevä. Nyt konkreettinen esimerkki:

No miksi epäillä? Toimitaan rohkeasti!

Ymmärsitkö kaiken? Mene sitten eteenpäin ja harjoittele esimerkkien avulla!

1. Etsi if-lausekkeen arvo.

2. Mitä lukuja moduuli on yhtä suuri?

3. Selvitä ilmaisujen merkitys:

Jos kaikki ei ole vielä selvää ja päätösten tekemisessä on vaikeuksia, niin selvitetään se:

Ratkaisu 1:

Korvataan siis lausekkeen arvot

Ratkaisu 2:

Kuten muistamme, vastakkaiset luvut ovat modulo yhtä suuria. Tämä tarkoittaa, että moduulin arvo on yhtä suuri kuin kaksi numeroa: ja.

Ratkaisu 3:

a)
b)
sisään)
G)

Saitko kaiken kiinni? Sitten on aika siirtyä johonkin monimutkaisempaan!

Yritetään yksinkertaistaa ilmaisua

Ratkaisu:

Muistamme siis, että moduuliarvo ei voi olla pienempi kuin nolla. Jos moduulimerkin alla oleva luku on positiivinen, niin voimme yksinkertaisesti hylätä merkin: luvun moduuli on yhtä suuri kuin tämä luku.

Mutta jos moduulimerkin alla on negatiivinen luku, niin moduulin arvo on yhtä suuri kuin vastakkainen luku (eli numero, joka on otettu "-"-merkillä).

Minkä tahansa lausekkeen moduulin löytämiseksi sinun on ensin selvitettävä, onko se positiivinen vai negatiivinen.

Osoittautuu, että moduulin ensimmäisen lausekkeen arvo.

Siksi moduulimerkin alla oleva lauseke on negatiivinen. Toinen lauseke moduulimerkin alla on aina positiivinen, koska lisäämme kaksi positiivista lukua.

Joten ensimmäisen lausekkeen arvo moduulimerkin alla on negatiivinen, toinen on positiivinen:

Tämä tarkoittaa, että kun laajennamme ensimmäisen lausekkeen moduulin etumerkkiä, meidän on otettava tämä lauseke "-"-merkillä. Kuten tämä:

Toisessa tapauksessa yksinkertaisesti pudotamme modulo-merkin:

Yksinkertaistetaan tämä lauseke kokonaisuudessaan:

Luvun moduuli ja sen ominaisuudet (tiukat määritelmät ja todisteet)

Määritelmä:

Luvun moduuli (absoluuttinen arvo) on itse luku jos ja luku jos:

Esimerkiksi:

Esimerkki:

Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu:

Moduulin perusominaisuudet

Kaikille:

Esimerkki:

Todista ominaisuus #5.

Todiste:

Oletetaan, että niitä on

Neliötetään epäyhtälön vasen ja oikea osa (tämä voidaan tehdä, koska molemmat epäyhtälön osat ovat aina ei-negatiivisia):

ja tämä on ristiriidassa moduulin määritelmän kanssa.

Näin ollen sellaisia ​​ei ole, mikä tarkoittaa, että kaiken epätasa-arvon vuoksi

Esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

1) Todista ominaisuus #6.

2) Yksinkertaista lauseke.

Vastaukset:

1) Käytetään ominaisuutta nro 3: , ja koska, sitten

Yksinkertaistamiseksi sinun on laajennettava moduuleja. Ja moduulien laajentamiseksi sinun on selvitettävä, ovatko moduulin alla olevat lausekkeet positiivisia vai negatiivisia?

a. Verrataanpa lukuja ja ja:

b. Verrataan nyt:

Laskemme yhteen moduulien arvot:

Luvun itseisarvo. Lyhyesti pääasiasta.

Luvun moduuli (absoluuttinen arvo) on itse luku jos ja luku jos:

Moduulin ominaisuudet:

1. Luvun moduuli on ei-negatiivinen luku: ;
2. Vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret: ;
3. Kahden (tai useamman) luvun tulon moduuli on yhtä suuri kuin niiden moduulien tulo: ;
4. Kahden luvun osamäärän moduuli on yhtä suuri kuin niiden moduulien osamäärä: ;
5. Lukujen summan moduuli on aina pienempi tai yhtä suuri kuin näiden lukujen moduulien summa: ;
6. Jatkuva positiivinen tekijä voidaan ottaa pois moduulimerkistä: at;