Ohje

Lisäysmenetelmä.
Sinun on kirjoitettava kaksi tiukasti toistensa alle:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Syötä mielivaltaisesti valittuun (järjestelmästä) yhtälöön numero 11 jo löydetyn "pelin" sijaan ja laske toinen tuntematon:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Tämän yhtälöjärjestelmän vastaus: x=116, y=11.

Graafinen tapa.
Se koostuu sen pisteen koordinaattien käytännön löytämisestä, jossa suorat kirjoitetaan matemaattisesti yhtälöjärjestelmään. Sinun tulee piirtää kaaviot molemmista viivoista erikseen samassa koordinaattijärjestelmässä. Yleisnäkymä: - y \u003d kx + b. Suoran rakentamiseen riittää, että löydetään kahden pisteen koordinaatit, ja x valitaan mielivaltaisesti.
Olkoon järjestelmä annettu: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Suora rakennetaan ensimmäisen mukaan, mukavuuden vuoksi se on kirjoitettava ylös: y \u003d 2x-4. Keksi (helpompi) arvo x:lle, korvaa se yhtälössä, ratkaise se, etsi y. Saadaan kaksi pistettä, joita pitkin rakennetaan suora. (katso kuva.)
x 0 1

y -4 -2
Toisen yhtälön mukaan muodostetaan suora: y \u003d -3x + 1.
Rakenna myös linja. (katso kuva.)

1-5
Etsi kaaviosta kahden rakennetun suoran leikkauspisteen koordinaatit (jos suorat eivät leikkaa, yhtälöjärjestelmällä ei ole - niin).

Liittyvät videot

Hyödyllisiä neuvoja

Jos sama yhtälöjärjestelmä ratkaistaan ​​kolmella eri tavalla, vastaus on sama (jos ratkaisu on oikea).

Lähteet:

• Algebra luokka 8
• ratkaise yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta verkossa
• Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta kahdella

Järjestelmä yhtälöt on kokoelma matemaattisia tietueita, joista jokainen sisältää tietyn määrän muuttujia. On olemassa useita tapoja ratkaista ne.

Tarvitset

• - Viivain ja lyijykynä;
• -laskin.

Ohje

Tarkastellaan järjestelmän ratkaisusarjaa, joka koostuu lineaarisista yhtälöistä, joiden muoto on: a1x + b1y = c1 ja a2x + b2y = c2. Missä x ja y ovat tuntemattomia muuttujia ja b,c ovat vapaita jäseniä. Tätä menetelmää sovellettaessa jokainen järjestelmä on kutakin yhtälöä vastaavien pisteiden koordinaatit. Ensinnäkin kussakin tapauksessa ilmaista yksi muuttuja toisen suhteen. Aseta sitten x-muuttuja mihin tahansa määrään arvoja. Kaksi riittää. Liitä yhtälö ja etsi y. Rakenna koordinaattijärjestelmä, merkitse siihen saadut pisteet ja piirrä niiden läpi suora viiva. Samanlaiset laskelmat on suoritettava järjestelmän muille osille.

Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos muodostetut suorat leikkaavat ja niillä on yksi yhteinen piste. On epäjohdonmukaista, jos ne ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. Ja sillä on äärettömän monta ratkaisua, kun viivat sulautuvat toisiinsa.

Tätä menetelmää pidetään erittäin selkeänä. Suurin haittapuoli on, että lasketuilla tuntemattomilla on likimääräiset arvot. Tarkempi tulos saadaan ns. algebrallisilla menetelmillä.

Mikä tahansa yhtälöjärjestelmän ratkaisu on tarkistamisen arvoinen. Voit tehdä tämän korvaamalla saadut arvot muuttujien sijaan. Voit myös löytää sen ratkaisun useilla tavoilla. Jos järjestelmän ratkaisu on oikea, kaikkien pitäisi osoittautua samanlaisiksi.

Usein on yhtälöitä, joissa yksi termeistä on tuntematon. Yhtälön ratkaisemiseksi sinun on muistettava ja suoritettava tietty joukko toimia näillä numeroilla.

Tarvitset

• - paperi;
• - Kynä tai lyijykynä.

Ohje

Kuvittele, että sinulla on edessäsi 8 kania ja sinulla on vain 5 porkkanaa. Ajattele, että sinun täytyy ostaa lisää porkkanoita, jotta jokainen kani saa porkkanan.

Esitetään tämä ongelma yhtälön muodossa: 5 + x = 8. Korvataan x:n tilalle luku 3. Todellakin, 5 + 3 = 8.

Kun vaihdoit x:n luvun, teit saman toiminnon kuin vähentäisit 5:stä 8. Siten löytääksesi tuntematon termi, vähennä summasta tunnettu termi.

Oletetaan, että sinulla on 20 kania ja vain 5 porkkanaa. Laitetaan sävelle. Yhtälö on yhtälö, joka pätee vain tiettyihin siihen sisältyvien kirjainten arvoihin. Kirjaimet, joiden arvot haluat löytää, kutsutaan. Kirjoita yhtälö, jossa on yksi tuntematon, kutsu sitä x:ksi. Kun ratkaisemme ongelmamme kaneista, saadaan seuraava yhtälö: 5 + x = 20.

Selvitetään ero 20:n ja 5:n välillä. Vähennettäessä vähennetään lukua, josta se vähennetään. Vähennettyä lukua kutsutaan , ja lopputulosta erotukseksi. Joten x = 20 - 5; x = 15. Sinun täytyy ostaa 15 porkkanaa kaneille.

Tarkista: 5 + 15 = 20. Yhtälö on oikein. Tietenkin, kun kyse on niin yksinkertaisesta, tarkistus ei ole tarpeen. Kuitenkin, kun kyse on yhtälöistä, joissa on kolminumeroinen, nelinumeroinen ja niin edelleen, on välttämätöntä tarkistaa, että olet täysin varma työsi tuloksesta.

Liittyvät videot

Hyödyllisiä neuvoja

Tuntemattoman minuendin löytämiseksi sinun on lisättävä eroon aliosa.

Tuntemattoman aliosan löytämiseksi on vähennettävä ero minuutteesta.

Vinkki 4: Kuinka ratkaista kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta

Kolmen yhtälön järjestelmällä, jossa on kolme tuntematonta, ei välttämättä ole ratkaisuja, vaikka yhtälöitä on riittävä määrä. Voit yrittää ratkaista sen korvausmenetelmällä tai Cramer-menetelmällä. Cramerin menetelmällä järjestelmän ratkaisemisen lisäksi voidaan arvioida, onko järjestelmä ratkaistavissa ennen tuntemattomien arvojen löytämistä.

Ohje

Korvausmenetelmä koostuu peräkkäin yhdestä tuntemattomasta kahden muun kautta ja saadun tuloksen korvaamisesta järjestelmän yhtälöihin. Esitetään kolmen yhtälön järjestelmä yleisessä muodossa:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ilmaise x ensimmäisestä yhtälöstä: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ja korvaa toinen ja kolmas yhtälö, ilmaise sitten y toisesta yhtälöstä ja korvaa kolmanteen. Saat lineaarisen lausekkeen z:lle järjestelmän yhtälöiden kertoimien kautta. Mene nyt "takaisin": liitä z toiseen yhtälöön ja etsi y, liitä sitten z ja y ensimmäiseen yhtälöön ja etsi x. Prosessi on yleensä esitetty kuvassa, kunnes z löytyy. Lisäksi tietue yleisessä muodossa on liian hankala, käytännössä korvaamalla voit löytää kaikki kolme tuntematonta melko helposti.

Cramerin menetelmä koostuu järjestelmän matriisin kokoamisesta ja tämän matriisin determinantin sekä kolmen muun apumatriisin laskemisesta. Järjestelmän matriisi koostuu yhtälöiden tuntemattomien ehtojen kertoimista. Sarake, joka sisältää numerot yhtälöiden oikealla puolella, oikean puolen sarake. Sitä ei käytetä järjestelmässä, mutta sitä käytetään järjestelmän ratkaisemisessa.

Liittyvät videot

merkintä

Kaikkien järjestelmän yhtälöiden on annettava muista yhtälöistä riippumatonta lisätietoa. Muuten järjestelmä on alimääritetty, eikä yksiselitteistä ratkaisua voida löytää.

Hyödyllisiä neuvoja

Kun yhtälöjärjestelmä on ratkaistu, korvaa löydetyt arvot alkuperäiseen järjestelmään ja tarkista, että ne täyttävät kaikki yhtälöt.

Itsestään yhtälö kolmen kanssa tuntematon on monia ratkaisuja, joten useimmiten sitä täydennetään kahdella muulla yhtälöllä tai ehdolla. Riippuen siitä, mitkä ovat lähtötiedot, päätöksen kulku riippuu suurelta osin.

Tarvitset

• - kolmen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta.

Ohje

Jos kahdessa kolmesta järjestelmästä on vain kaksi kolmesta tuntemattomasta, yritä ilmaista jotkin muuttujat muiden termein ja liitä ne yhtälö kolmen kanssa tuntematon. Tavoitteesi tällä on muuttaa se normaaliksi yhtälö tuntemattoman kanssa. Jos tämä on , jatkoratkaisu on melko yksinkertainen - korvaa löydetty arvo muilla yhtälöillä ja etsi kaikki muut tuntemattomat.

Jotkut yhtälöjärjestelmät voidaan vähentää yhtälöstä toisella. Katso, onko mahdollista kertoa yksi arvolla tai muuttuja niin, että kaksi tuntematonta pienenee kerralla. Jos tällainen mahdollisuus on, käytä sitä todennäköisesti, myöhempi päätös ei ole vaikeaa. Älä unohda, että kun kerrot numerolla, sinun on kerrottava sekä vasen puoli että oikea puoli. Samoin kun vähennät yhtälöitä, muista, että myös oikea puoli on vähennettävä.

Jos edelliset menetelmät eivät auttaneet, käytä yleistä menetelmää yhtälöiden ratkaisemiseen kolmella tuntematon. Kirjoita yhtälöt uudelleen muotoon a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Tee nyt kertoimien matriisi kohdassa x (A), tuntemattomien matriisi (X) ja vapaiden matriisi (B). Kiinnitä huomiota, kertomalla kertoimien matriisi tuntemattomien matriisilla, saat matriisin, vapaiden jäsenten matriisin, eli A * X \u003d B.

Etsi matriisi A potenssille (-1), kun olet löytänyt , huomioi, että sen ei pitäisi olla yhtä suuri kuin nolla. Sen jälkeen kerrotaan saatu matriisi matriisilla B, jolloin saadaan haluttu matriisi X, joka ilmaisee kaikki arvot.

Voit myös löytää ratkaisun kolmen yhtälön järjestelmään käyttämällä Cramer-menetelmää. Tätä varten etsitään järjestelmän matriisia vastaava kolmannen kertaluvun determinantti ∆. Etsi sitten peräkkäin kolme muuta determinanttia ∆1, ∆2 ja ∆3 korvaamalla vapaiden termien arvot vastaavien sarakkeiden arvojen sijaan. Etsi nyt x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Lähteet:

• yhtälöiden ratkaisut kolmella tuntemattomalla

Kun aloitat yhtälöjärjestelmän ratkaisemisen, selvitä, mitä nämä yhtälöt ovat. Lineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät ovat hyvin tutkittuja. Epälineaarisia yhtälöitä ei useimmiten ratkaista. On vain yksi erikoistapaus, joista jokainen on käytännössä yksilöllinen. Siksi ratkaisumenetelmien tutkiminen tulisi aloittaa lineaarisilla yhtälöillä. Tällaiset yhtälöt voidaan ratkaista jopa puhtaasti algoritmisesti.

Ohje

Aloita oppimisprosessi oppimalla ratkaisemaan kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta X ja Y eliminoimalla. a11*X+a12*Y=bl (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Yhtälöiden kertoimet on osoitettu indekseillä, jotka osoittavat niiden sijainnin. Joten kerroin a21 korostaa sitä tosiasiaa, että se kirjoitetaan ensin toiseen yhtälöön. Yleisesti hyväksytyssä merkintätavassa järjestelmä on kirjoitettu peräkkäin sijoitetuilla yhtälöillä, jotka on merkitty yhdessä oikealla tai vasemmalla olevalla kiharalla hakasulkeella (katso tarkemmin kuva 1a).

Yhtälöiden numerointi on mielivaltainen. Valitse yksinkertaisin, esimerkiksi sellainen, jossa yhtä muuttujaa edeltää tekijä 1 tai vähintään kokonaisluku. Jos tämä on yhtälö (1), ilmaista edelleen esimerkiksi tuntematon Y X:llä (tapaus, jossa Y eliminoidaan). Muuta (1) muotoon a12*Y=b1-a11*X (tai a11*X=b1-a12*Y, jos X on poissuljettu)) ja sitten Y=(b1-a11*X)/a12 . Korvaa jälkimmäinen yhtälöllä (2) kirjoita a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Ratkaise tämä yhtälö X:lle.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) tai X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Käyttämällä löydettyä suhdetta Y:n ja X:n välillä, hanki lopuksi toinen tuntematon Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Jos järjestelmä annettaisiin tietyillä numeerisilla kertoimilla, laskelmat olisivat vähemmän hankalia. Toisaalta yleisratkaisu mahdollistaa sen tosiasian, että löydetyille tuntemattomille ne ovat täsmälleen samat. Kyllä, ja osoittajat ovat näkyvissä joitain kuvioita niiden rakenteesta. Jos yhtälöjärjestelmän ulottuvuus olisi suurempi kuin kaksi, eliminointimenetelmä johtaisi erittäin hankalia laskelmiin. Niiden välttämiseksi on kehitetty puhtaasti algoritmisia ratkaisuja. Yksinkertaisin niistä on Cramerin algoritmi (Cramerin kaavat). Sillä pitäisi oppia yleinen n yhtälön yhtälöjärjestelmä.

n lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmällä, jossa on n tuntematonta, on muoto (ks. kuva 1a). Siinä aij ovat järjestelmän kertoimet,
хj – tuntemattomat, bi – vapaat jäsenet (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tällainen järjestelmä voidaan kirjoittaa kompaktisti matriisimuotoon AX=B. Tässä A on järjestelmän kerroinmatriisi, X on tuntemattomien sarakematriisi, B on vapaiden termien sarakematriisi (katso kuva 1b). Cramerin menetelmän mukaan jokainen tuntematon xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Kerroinmatriisin determinanttia ∆ kutsutaan päädeterminantiksi ja ∆i:tä apudeterminantiksi. Jokaiselle tuntemattomalle löydetään apudeterminantti korvaamalla päädeterminantin i. sarake vapaiden termien sarakkeella. Cramerin menetelmä toisen ja kolmannen kertaluvun järjestelmien tapauksessa on esitetty yksityiskohtaisesti kuvassa. 2.

Järjestelmä on kahden tai useamman yhtäläisyyden liitto, joista jokaisessa on kaksi tai useampi tuntematon. On kaksi päätapaa ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joita käytetään koulun opetussuunnitelmissa. Toista niistä kutsutaan menetelmäksi, toista summausmenetelmäksi.

Kahden yhtälön järjestelmän standardimuoto

Vakiomuodossa ensimmäinen yhtälö on a1*x+b1*y=c1, toinen yhtälö on a2*x+b2*y=c2 ja niin edelleen. Esimerkiksi järjestelmän kahden osan tapauksessa molemmissa annetuissa a1, a2, b1, b2, c1, c2 on joitain numeerisia kertoimia, jotka on esitetty erityisissä yhtälöissä. x ja y puolestaan ​​ovat tuntemattomia, joiden arvot on määritettävä. Halutut arvot muuttavat molemmat yhtälöt samanaikaisesti todellisiksi yhtälöiksi.

Järjestelmän ratkaisu additiomenetelmällä

Jotta voit ratkaista järjestelmän, eli löytää ne x:n ja y:n arvot, jotka muuttavat ne todellisiksi yhtäläisiksi, sinun on suoritettava muutama yksinkertainen vaihe. Ensimmäinen näistä on muuttaa mikä tahansa yhtälö siten, että muuttujan x tai y numeeriset kertoimet molemmissa yhtälöissä ovat absoluuttisesti samat, mutta eroavat etumerkillisesti.

Oletetaan esimerkiksi kahdesta yhtälöstä koostuva järjestelmä. Ensimmäinen niistä on muotoa 2x+4y=8, toinen muotoa 6x+2y=6. Yksi vaihtoehdoista tehtävän suorittamiseksi on kertoa toinen yhtälö kertoimella -2, jolloin se johtaa muotoon -12x-4y=-12. Kertoimen oikea valinta on yksi keskeisistä tehtävistä järjestelmän ratkaisuprosessissa summausmenetelmällä, koska se määrää tuntemattomien etsintämenettelyn koko jatkon.

Nyt on tarpeen lisätä järjestelmän kaksi yhtälöä. Ilmeisesti samanarvoisten mutta etumerkkikertoimien vastakkaisten muuttujien keskinäinen tuhoaminen johtaa muotoon -10x=-4. Sen jälkeen on tarpeen ratkaista tämä yksinkertainen yhtälö, josta seuraa yksiselitteisesti, että x=0,4.

Ratkaisuprosessin viimeinen vaihe on yhden muuttujan löydetyn arvon korvaaminen millä tahansa järjestelmässä olevista alkuyhtälyksistä. Esimerkiksi korvaamalla x=0.4 ensimmäiseen yhtälöön saadaan lauseke 2*0.4+4y=8, josta y=1.8. Siten x=0.4 ja y=1.8 ovat esimerkissä esitetyn järjestelmän juuria.

Jotta varmistetaan, että juuret löydettiin oikein, on hyödyllistä tarkistaa korvaamalla löydetyt arvot järjestelmän toiseen yhtälöön. Esimerkiksi tässä tapauksessa saadaan yhtälö muotoa 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, mikä on oikein.

Liittyvät videot

Lineaarisella yhtälöllä, jossa on kaksi muuttujaa, on yleinen muoto ax + by + c = 0. Siinä a, b ja c ovat kertoimia - joitain lukuja; ja x ja y ovat muuttujia - tuntemattomia lukuja löytyy.

Lineaarisen yhtälön ratkaisu kahdella muuttujalla on lukupari x ja y, jolle ax + x + c = 0 on todellinen yhtälö.

Tietyllä lineaarisella yhtälöllä, jossa on kaksi muuttujaa (esimerkiksi 3x + 2y - 1 = 0), on joukko ratkaisuja, eli joukko lukupareja, joille yhtälö on tosi. Lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, muunnetaan lineaarifunktioksi muotoa y = kx + m, joka on suora viiva koordinaattitasolla. Kaikkien tällä suoralla olevien pisteiden koordinaatit ovat lineaarisen yhtälön ratkaisuja kahdessa muuttujassa.

Jos annetaan kaksi lineaarista yhtälöä muotoa ax + x + c = 0 ja on löydettävä sellaiset x:n ja y:n arvot, joille molemmilla on ratkaisut, niin he sanovat, että se on välttämätöntä ratkaise yhtälöjärjestelmä. Yhtälöjärjestelmä on kirjoitettu yhteisen kiharasulun alle. Esimerkki:

Yhtälöjärjestelmällä ei voi olla ratkaisua, jos vastaavien lineaaristen funktioiden kaavioina olevat suorat eivät leikkaa (eli ovat yhdensuuntaisia ​​keskenään). Jotta voidaan päätellä, ettei ratkaisua ole, riittää, että molemmat lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla muunnetaan muotoon y = kx + m. Jos k on sama luku molemmissa yhtälöissä, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Jos yhtälöjärjestelmä osoittautuu koostuvan kahdesta identtisestä yhtälöstä (joka ei välttämättä ole ilmeistä heti, mutta muunnosten jälkeen), niin sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä tapauksessa puhumme epävarmuudesta.

Kaikissa muissa tapauksissa järjestelmällä on yksi ratkaisu. Tämä johtopäätös voidaan tehdä siitä tosiasiasta, että mitkä tahansa kaksi ei-rinnakkaista suoraa voivat leikata vain yhdessä pisteessä. Tämä leikkauspiste on sekä ensimmäinen että toinen rivi, eli se on sekä ensimmäisen että toisen yhtälön ratkaisu. Siksi olla ratkaisu yhtälöjärjestelmään. On kuitenkin tarpeen määritellä tilanteet, joissa x:n ja y:n arvoille asetetaan tiettyjä rajoituksia (yleensä ongelman ehdon mukaan). Esimerkiksi x > 0, y > 0. Tässä tapauksessa vaikka yhtälöjärjestelmällä olisi ratkaisu, mutta se ei täytä ehtoa, niin päätellään, että yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja annetuissa olosuhteissa.

On kolme tapaa ratkaista yhtälöjärjestelmä:

1. valintamenetelmä. Useimmiten tämä on erittäin vaikeaa tehdä.
2. Graafinen menetelmä. Kun koordinaattitasolle piirretään kaksi suoraa (vastaavien yhtälöiden funktioiden kuvaajat) ja löydetään niiden leikkauspiste. Tämä menetelmä voi antaa epätarkkoja tuloksia, jos leikkauspisteen koordinaatit ovat murtolukuja.
3. Algebralliset menetelmät. Ne ovat monipuolisia ja luotettavia.

Olemme jo tuttuja lineaarisen yhtälön käsitteestä kahdessa tuntemattomassa. Yhtälöt voivat olla läsnä yhdessä tehtävässä sekä yksittäin että useita yhtälöitä kerralla. Tällaisissa tapauksissa yhtälöt yhdistetään yhtälöjärjestelmäksi.

Mikä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Yhtälöjärjestelmä ovat kaksi tai useampia yhtälöitä, joille on tarpeen löytää kaikki yhteiset ratkaisunsa. Yleensä yhtälöjärjestelmän kirjoittamiseksi ne kirjoitetaan sarakkeeseen ja piirretään yksi yhteinen kihara sulku. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on kirjoitettu alla.

(4x + 3v = 6
( 2x + y = 4

Tämä tietue tarkoittaa, että annetaan kahden yhtälön järjestelmä kahdella muuttujalla. Jos järjestelmässä olisi kolme yhtälöä, se olisi kolmen yhtälön järjestelmä. Ja niin kaikille yhtälöille.

Jos kaikki systeemissä olevat yhtälöt ovat lineaarisia, he sanovat, että lineaaristen yhtälöiden järjestelmä on annettu. Yllä olevassa esimerkissä on juuri esitetty kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä. Kuten edellä mainittiin, järjestelmällä voi olla yleisiä ratkaisuja. Käsittelemme termiä "yleinen ratkaisu" alla.

Mikä on ratkaisu?

Ratkaisu kahdesta yhtälöstä, jossa on kaksi tuntematonta, on lukupari (x, y) siten, että jos nämä luvut korvataan järjestelmän yhtälöillä, niin jokainen järjestelmän yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Meillä on esimerkiksi kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä. Ensimmäisen yhtälön ratkaisu on kaikki lukuparit, jotka täyttävät tämän yhtälön.

Toisen yhtälön ratkaisuna ovat lukuparit, jotka täyttävät tämän yhtälön. Jos on sellainen lukupari, joka täyttää sekä ensimmäisen että toisen yhtälön, niin tämä lukupari on ratkaisu kahden lineaarisen yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta.

Graafinen ratkaisu

Graafisesti lineaarisen yhtälön ratkaisut ovat kaikki tason jonkin suoran pisteitä.

Lineaaristen yhtälöiden järjestelmässä meillä on useita rivejä (yhtälöiden lukumäärän mukaan). Ja yhtälöjärjestelmän ratkaisu on piste, jossa KAIKKI suorat leikkaavat. Jos sellaista kohtaa ei ole, järjestelmällä ei ole ratkaisuja. Piste, jossa kaikki suorat leikkaavat, kuuluu jokaiseen näistä suorista, joten ratkaisua kutsutaan yleiseksi.

Muuten, järjestelmän yhtälöiden piirtäminen ja niiden yhteisen pisteen löytäminen on yksi tapa ratkaista yhtälöjärjestelmä. Tätä menetelmää kutsutaan graafiseksi.

Muita tapoja ratkaista lineaarisia yhtälöitä

On olemassa muita tapoja ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on kaksi muuttujaa. Perusmenetelmät lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi kahdella tuntemattomalla.

Analysoimme kahden tyyppisiä yhtälöjärjestelmiä:

1. Järjestelmän ratkaisu korvausmenetelmällä.
2. Järjestelmän ratkaisu järjestelmän yhtälöiden termittäin yhteenlaskemalla (vähennyksellä).

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. ilmaisemme. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaisemme yhden muuttujan.
2. Korvaava. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Ratkaista järjestelmä termi kerrallaan lisäämällä (vähennyslasku) tarve:
1. Valitse muuttuja, jolle teemme samat kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöt, jolloin saamme yhtälön, jossa on yksi muuttuja.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisu on funktion kuvaajien leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä

2x+5y=1 (1 yhtälö)
x-10y = 3 (2. yhtälö)

1. Express
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, joten käy ilmi, että muuttuja x on helpoin ilmaista toisesta yhtälöstä.
x=3+10v

2. Ilmaisemisen jälkeen korvaamme ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x sijasta 3 + 10y.
2(3+10v)+5v=1

3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla.
2(3+10v)+5v=1 (avoimet sulut)
6+20v+5v=1
25v = 1-6
25v = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on graafien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x:stä ja y:stä. Etsitään x, ensimmäisessä kappaleessa, jossa ilmaisimme, korvaamme y:n.
x=3+10v
x=3+10*(-0,2)=1

On tapana kirjoittaa ensin pisteet, kirjoitetaan muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaistaan ​​termi kerrallaan yhteenlaskemalla (vähennyslasku).

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen summausmenetelmällä

3x-2y=1 (1 yhtälö)
2x-3y = -10 (2. yhtälö)

1. Valitse muuttuja, oletetaan, että valitsemme x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x kerroin on 3, toisessa - 2. Meidän on tehtävä kertoimet samat, tätä varten meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2v=1 |*2
6x-4v = 2

2x-3v = -10 |*3
6x-9v=-30

2. Vähennä ensimmäisestä yhtälöstä toinen päästäksesi eroon muuttujasta x. Ratkaise lineaarinen yhtälö.
__6x-4y=2

5v=32 | :5
y = 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y:n missä tahansa yhtälössä, vaikkapa ensimmäisessä yhtälössä.
3x-2v=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Leikkauspiste on x=4,6; y = 6,4
Vastaus: (4.6; 6.4)

Haluatko valmistautua kokeisiin ilmaiseksi? Tutor verkossa on ilmainen. Ihan totta.

Luotettavampi kuin edellisessä kappaleessa käsitelty graafinen menetelmä.

Korvausmenetelmä

Käytimme tätä menetelmää 7. luokalla lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. 7. luokalla kehitetty algoritmi soveltuu varsin hyvin minkä tahansa kahden yhtälön (ei välttämättä lineaaristen) järjestelmien ratkaisemiseen kahdella muuttujalla x ja y (muuttujat voidaan tietysti merkitä muilla kirjaimilla, millä ei ole väliä). Itse asiassa käytimme tätä algoritmia edellisessä kappaleessa, kun kaksinumeroisen luvun ongelma johti matemaattiseen malliin, joka on yhtälöjärjestelmä. Ratkaisimme tämän yhtälöjärjestelmän yllä korvausmenetelmällä (katso esimerkki 1 kappaleesta 4).

Algoritmi korvausmenetelmän käyttämiseen ratkaistaessa kahden yhtälön järjestelmää kahdella muuttujalla x, y.

1. Ilmaise y x:llä järjestelmän yhdestä yhtälöstä.
2. Korvaa tuloksena oleva lauseke y:n sijaan toisella järjestelmän yhtälöllä.
3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö x:lle.
4. Korvaa vuorotellen kukin kolmannessa vaiheessa löydetyn yhtälön juurista x:n sijaan ensimmäisessä vaiheessa saatuun lausekkeeseen y - x.
5. Kirjoita vastaus muistiin arvoparien muodossa (x; y), jotka löytyivät vastaavasti kolmannessa ja neljännessä vaiheessa.

4) Korvaa vuorotellen jokainen y:n löydetty arvo kaavaan x \u003d 5 - Zy. Jos sitten
5) Tietyn yhtälöjärjestelmän parit (2; 1) ja ratkaisut.

Vastaus: (2; 1);

Algebrallinen lisäysmenetelmä

Tämä menetelmä, kuten korvausmenetelmä, on sinulle tuttu 7. luokan algebrakurssilta, jossa sitä käytettiin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Muistamme menetelmän olemuksen seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Kerromme kaikki järjestelmän ensimmäisen yhtälön ehdot kolmella ja jätämme toisen yhtälön ennalleen:
Vähennä järjestelmän toinen yhtälö ensimmäisestä yhtälöstä:

Alkuperäisen järjestelmän kahden yhtälön algebrallisen yhteenlaskun tuloksena saatiin yhtälö, joka on yksinkertaisempi kuin annetun järjestelmän ensimmäinen ja toinen yhtälö. Tällä yksinkertaisemmalla yhtälöllä meillä on oikeus korvata mikä tahansa tietyn järjestelmän yhtälö, esimerkiksi toinen. Sitten annettu yhtälöjärjestelmä korvataan yksinkertaisemmalla järjestelmällä:

Tämä järjestelmä voidaan ratkaista korvausmenetelmällä. Toisesta yhtälöstä löydämme korvaamalla tämän lausekkeen y:n sijaan järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme

On vielä korvattava löydetyt x:n arvot kaavaan

Jos x = 2, niin

Olemme siis löytäneet kaksi ratkaisua järjestelmään:

Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi

Tutustuit 8. luokan algebrakurssilla uuden muuttujan käyttöönoton tapaan ratkottaessa rationaalisia yhtälöitä yhdellä muuttujalla. Tämän menetelmän olemus yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on sama, mutta teknisestä näkökulmasta on joitakin ominaisuuksia, joita käsittelemme seuraavissa esimerkeissä.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Otetaan käyttöön uusi muuttuja. Sitten järjestelmän ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen yksinkertaisemmassa muodossa: Ratkaistaan ​​tämä yhtälö muuttujan t suhteen:

Molemmat arvot täyttävät ehdon ja ovat siksi rationaalisen yhtälön juuret muuttujan t kanssa. Mutta se tarkoittaa joko mistä löydämme, että x = 2y, tai
Siten uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää käyttämällä onnistuimme ikään kuin "kerroittamaan" järjestelmän ensimmäisen yhtälön, joka on ulkonäöltään melko monimutkainen, kahdeksi yksinkertaisemmaksi yhtälöksi:

x = 2 y; y - 2x.

Mitä seuraavaksi? Ja sitten kutakin kahdesta saadusta yksinkertaisesta yhtälöstä on tarkasteltava vuorotellen järjestelmässä yhtälöllä x 2 - y 2 \u003d 3, jota emme ole vielä muistaneet. Toisin sanoen ongelma rajoittuu kahden yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen:

On tarpeen löytää ratkaisuja ensimmäiselle järjestelmälle, toiselle järjestelmälle ja sisällyttää vastaukseen kaikki tuloksena olevat arvoparit. Ratkaistaan ​​ensimmäinen yhtälöjärjestelmä:

Käytetään substituutiomenetelmää, varsinkin kun tässä on kaikki valmiina: korvaamme lausekkeen 2y x:n sijaan järjestelmän toiseen yhtälöön. Saada

Koska x \u003d 2y, löydämme vastaavasti x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Siten annetulle järjestelmälle saadaan kaksi ratkaisua: (2; 1) ja (-2; -1). Ratkaistaan ​​toinen yhtälöjärjestelmä:

Käytetään jälleen korvausmenetelmää: korvaamme lausekkeen 2x y:n sijaan järjestelmän toisessa yhtälössä. Saada

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, mikä tarkoittaa, että yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja. Näin ollen vain ensimmäisen järjestelmän ratkaisut tulisi sisällyttää vastaukseen.

Vastaus: (2; 1); (-2; -1).

Menetelmää uusien muuttujien käyttöönottamiseksi kahden muuttujan yhtälön järjestelmien ratkaisemisessa käytetään kahdessa versiossa. Ensimmäinen vaihtoehto: yksi uusi muuttuja otetaan käyttöön ja sitä käytetään vain yhdessä järjestelmän yhtälössä. Juuri näin tapahtui esimerkissä 3. Toinen vaihtoehto: kaksi uutta muuttujaa otetaan käyttöön ja niitä käytetään samanaikaisesti järjestelmän molemmissa yhtälöissä. Näin tapahtuu esimerkissä 4.

Esimerkki 4 Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Otetaan käyttöön kaksi uutta muuttujaa:

Opimme sen sitten

Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa annettu järjestelmä uudelleen paljon yksinkertaisemmassa muodossa, mutta suhteessa uusiin muuttujiin a ja b:

Koska a \u003d 1, niin yhtälöstä a + 6 \u003d 2 löydämme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Siten muuttujille a ja b saimme yhden ratkaisun:

Palataksemme muuttujiin x ja y, saadaan yhtälöjärjestelmä

Käytämme algebrallista lisäysmenetelmää tämän järjestelmän ratkaisemiseksi:

Siitä lähtien yhtälöstä 2x + y = 3 löydämme:
Siten muuttujille x ja y saimme yhden ratkaisun:

Lopetetaan tämä osio lyhyellä mutta melko vakavalla teoreettisella keskustelulla. Olet jo saanut kokemusta erilaisten yhtälöiden ratkaisemisesta: lineaarinen, neliö, rationaalinen, irrationaalinen. Tiedät, että yhtälön ratkaisemisen pääidea on siirtyä asteittain yhtälöstä toiseen, yksinkertaisempaan, mutta annettua vastaavaan. Edellisessä osiossa esittelimme kahden muuttujan yhtälöiden ekvivalenssin käsitteen. Tätä käsitettä käytetään myös yhtälöjärjestelmissä.

Määritelmä.

Kahden yhtälöjärjestelmän, jossa on muuttujat x ja y, sanotaan olevan ekvivalentteja, jos niillä on samat ratkaisut tai jos molemmilla järjestelmillä ei ole ratkaisuja.

Kaikki kolme tässä osiossa käsiteltyä menetelmää (korvaus, algebrallinen yhteenlasku ja uusien muuttujien käyttöönotto) ovat ekvivalenssin kannalta täysin oikeita. Toisin sanoen näitä menetelmiä käyttämällä korvaamme yhden yhtälöjärjestelmän toisella, yksinkertaisemmalla, mutta alkuperäistä järjestelmää vastaavalla.

Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Olemme jo oppineet ratkaisemaan yhtälöjärjestelmiä sellaisilla yleisillä ja luotettavilla tavoilla kuin substituutiomenetelmä, algebrallinen summaus ja uusien muuttujien käyttöönotto. Ja nyt muistetaan menetelmä, jota opit jo edellisellä oppitunnilla. Eli toistetaan, mitä tiedät graafisesta ratkaisumenetelmästä.

Menetelmä yhtälöjärjestelmien graafiseen ratkaisemiseen on kaavion rakentaminen kullekin tietylle yhtälölle, joka sisältyy tähän järjestelmään ja on samassa koordinaattitasossa, ja myös silloin, kun on löydettävä näiden kaavioiden pisteiden leikkauspiste . Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi ovat tämän pisteen koordinaatit (x; y).

On muistettava, että graafiselle yhtälöjärjestelmälle on yleistä, että niillä on joko yksi ainoa oikea ratkaisu tai ääretön määrä ratkaisuja tai niitä ei ole ollenkaan.

Tarkastellaan nyt lähemmin jokaista näistä ratkaisuista. Ja niin, yhtälöjärjestelmällä voi olla ainutlaatuinen ratkaisu, jos suorat, jotka ovat järjestelmän yhtälöiden kaavioita, leikkaavat. Jos nämä suorat ovat yhdensuuntaisia, tällaisella yhtälöjärjestelmällä ei ole lainkaan ratkaisuja. Jos järjestelmän yhtälöiden suorien kaavioiden yhteensopivuus on, tällainen järjestelmä antaa sinun löytää monia ratkaisuja.

No, katsotaan nyt algoritmia, jolla ratkaistaan ​​kahden yhtälöjärjestelmän, jossa on 2 tuntematonta, graafinen menetelmä:

Ensin rakennetaan ensin kaavio 1. yhtälöstä;
Toinen vaihe on piirtää kaavio, joka liittyy toiseen yhtälöön;
Kolmanneksi meidän on löydettävä kaavioiden leikkauspisteet.
Ja tuloksena saamme kunkin leikkauspisteen koordinaatit, jotka ovat yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Tarkastellaan tätä menetelmää yksityiskohtaisemmin esimerkin avulla. Meille annetaan yhtälöjärjestelmä ratkaistavaksi:

Yhtälöiden ratkaiseminen

1. Ensin rakennetaan kaavio tästä yhtälöstä: x2+y2=9.

Mutta on huomattava, että tämä yhtälökaavio on ympyrä, jonka keskipiste on origossa, ja sen säde on yhtä suuri kuin kolme.

2. Seuraava vaiheemme on piirtää yhtälö, kuten: y = x - 3.

Tässä tapauksessa meidän on rakennettava suora ja löydettävä pisteet (0;−3) ja (3;0).

3. Katsotaan mitä saamme. Näemme, että suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteestään A ja B.

Nyt etsimme näiden pisteiden koordinaatteja. Näemme, että koordinaatit (3;0) vastaavat pistettä A ja koordinaatit (0;−3) vastaavat pistettä B.

Ja mitä saamme tuloksena?

Suoran ja ympyrän leikkauspisteessä saadut luvut (3;0) ja (0;−3) ovat juuri järjestelmän molempien yhtälöiden ratkaisuja. Ja tästä seuraa, että nämä luvut ovat myös tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisuja.

Eli tämän ratkaisun vastaus on luvut: (3;0) ja (0;−3).