Pythagoraan lause sanoo:

Suorakulmaisessa kolmiossa jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö:

a 2 + b 2 = c 2,

• a ja b- suoran kulman muodostavat jalat.
• Kanssa on kolmion hypotenuusa.

Pythagoraan lauseen kaavat

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pythagoraan lauseen todiste

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla:

S = \frac(1)(2)ab

Mielivaltaisen kolmion pinta-alan laskemiseksi pintakaava on:

• p- puolikehä. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r on piirretyn ympyrän säde. Suorakulmiolle r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sitten vertaamme molempien kaavojen oikeat puolet kolmion pinta-alalle:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \vasen((a+b)^(2) -c^(2) \oikea)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Käänteinen Pythagoraan lause:

Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin kolmio on suorakulmainen kolmio. Eli mille tahansa positiivisten lukujen kolminkertaiselle a, b ja c, sellasta

a 2 + b 2 = c 2,

on suorakulmainen kolmio jaloilla a ja b ja hypotenuusa c.

Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen. Sen todisti tiedemies matemaatikko ja filosofi Pythagoras.

Lauseen merkitys siinä, että sitä voidaan käyttää muiden lauseiden todistamiseen ja ongelmien ratkaisemiseen.

Lisämateriaali:

Ongelman ratkaisu:

252 \u003d 242 + 72, silloin kolmio on suorakulmainen ja sen pinta-ala on puolet sen jalkojen tulosta, ts. S \u003d hc * s: 2, missä c on hypotenuusa, hc on hypotenuusan korkeus, sitten hc = = = 6,72 (cm)

Vastaus: 6,72 cm.

Lavan tarkoitus:

dia numero 4

"4" - 1 väärä vastaus

"3" - vastaukset ovat vääriä.

Suosittelen tekemään:

dia numero 5

Lavan tarkoitus:

Oppitunnin lopussa:

Lauseet on kirjoitettu taululle:

Oppitunti on hyödyllinen, kaikki on selvää.

Pitää silti tehdä kovasti töitä.

Kyllä, se on vaikea oppia!

Näytä asiakirjan sisältö
"Matematiikan oppitunnin projekti "Lause, Pythagoraan lauseen käänteis""

Oppitunnin projekti "Lause, Pythagoraan lauseen käänteis"

Oppitunti uuden tiedon "löydöstä".

Oppitunnin tavoitteet:

toiminta: opiskelijoiden kykyjen muodostaa itsenäisesti rakentaa uusia toimintatapoja refleksiivisen itseorganisaation menetelmän pohjalta;

koulutuksellinen: käsitteellisen perustan laajentaminen sisällyttämällä siihen uusia elementtejä.

Koulutustoiminnan motivaatiovaihe (5 min)

Opettajan ja opiskelijoiden keskinäinen tervehdys, tuntiin valmistautumisen tarkistaminen, huomion ja sisäisen valmiuden järjestäminen, opiskelijoiden nopea mukaan ottaminen bisnesrytmiin ratkaisemalla ongelmia valmiiden piirustusten mukaan:

Etsi BC, jos ABCD on rombi.

ABCD on suorakulmio. AB:AD = 3:4. Etsi AD.

Etsi AD.

Etsi AB.

Etsi aurinko.

Vastaukset tehtäviin valmiiden piirustusten mukaan:

1.BC = 3; 2.AD=4 cm; 3.AB = 3√2cm.

Uuden tiedon ja toimintatapojen "löydön" vaihe (15 min)

Lavan tarkoitus: oppitunnin aiheen ja tavoitteiden muotoilu johtavan dialogin avulla (vastaanotto "ongelmatilanne").

Muotoile väitteitä, jotka ovat käänteisiä datalle ja ota selvää, ovatko ne totta:dia numero 1

Jälkimmäisessä tapauksessa opiskelijat voivat muotoilla tämän väitteen vastaisen väitteen.

Opetus parityöskentelyyn lauseen todisteen, Pythagoraan lauseen käänteisen opiskelun parissa.

Opastan opiskelijoille toimintatapaa, materiaalin sijaintia.

Tehtävä pariskunnille: dia numero 2

Itsenäinen työ pareittain opiskella lauseen todistetta, Pythagoraan lauseen käänteistä. Todisteiden julkinen puolustaminen.

Yksi pareista aloittaa esityksensä lauseen muotoilulla. Todisteista käydään aktiivista keskustelua, jonka aikana yhtä tai toista vaihtoehtoa perustellaan opettajan ja opiskelijoiden kysymyksillä.

Lauseen todistuksen vertaaminen opettajan todistukseen

Opettaja työskentelee taululla ja puhuu vihkossa työskenteleville oppilaille.

Annettu: ABC - kolmio, AB 2 \u003d AC 2 + BC 2

Selvitä, onko ABC suorakaiteen muotoinen. Todiste:

Tarkastellaan A 1 B 1 C 1 siten, että ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. Sitten Pythagoraan lauseen mukaan A 1 B 1 2 \u003d A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

Koska A 1 C 1 \u003d AC, B 1 C 1 \u003d BC, niin: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d AB 2, siis AB 2 \u003d A 1 B 1 2 ja AB \u003d A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC kolmella sivulla, josta ˂C = ˂C 1 = 90 0, eli ABC on suorakaiteen muotoinen. Joten, jos kolmion yhden sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, kolmio on suorakulmainen kolmio.

Tätä lausuntoa kutsutaan lause, joka on päinvastainen Pythagoraan lauseen kanssa.

Yhden opiskelijan julkinen esittely Pythagoraan kolmioista (ennakolta valmisteltu tieto).

dia numero 3

Tiedon jälkeen esitän opiskelijoille muutaman kysymyksen.

Ovatko seuraavat kolmiot Pythagoraan kolmioita?

hypotenuusan 25 ja jalan 15 kanssa;

jaloilla 5 ja 4?

Ensisijaisen konsolidoinnin vaihe ääntämisellä ulkoisessa puheessa (10 min)

Lavan tarkoitus: osoita Pythagoraan lauseen käänteisen lauseen soveltaminen ongelmien ratkaisuprosessissa.

Ehdotan tehtävän nro 499 a) ratkaisua oppikirjasta. Yksi opiskelijoista kutsutaan taululle, ratkaisee ongelman opettajan ja oppilaiden avulla lausuen ratkaisun ulkoisessa puheessa. Kutsutun opiskelijan esityksen aikana esitän muutaman kysymyksen:

Kuinka tarkistaa, onko kolmio suorakulmainen kolmio?

Mille puolelle piirretään kolmion pienin korkeus?

Mitä kolmion korkeuden laskentatapaa käytetään usein geometriassa?

Etsi haluamasi korkeus käyttämällä kaavaa kolmion pinta-alan laskemiseksi.

Ongelman ratkaisu:

25 2 \u003d 24 2 + 7 2, silloin kolmio on suorakulmainen ja sen pinta-ala on puolet sen jalkojen tulosta, ts. S = h s * s: 2, jossa s on hypotenuusa, h s on hypotenuusan korkeus, sitten h s = = = 6,72 (cm)

Vastaus: 6,72 cm.

Itsenäisen työn vaihe standardin mukaisella itsetestauksella (10 min)

Lavan tarkoitus: parantaa itsenäistä toimintaa oppitunnilla suorittamalla itsetutkiskelua, opettaa arvioimaan toimintaa, analysoimaan, tekemään johtopäätöksiä.

On ehdotettu työskennellä itsenäisesti ehdotuksella arvioida riittävästi heidän työtään ja antaa asianmukainen arvio.

dia numero 4

Arviointikriteerit: "5" - kaikki vastaukset ovat oikein

"4" - 1 väärä vastaus

"3" - vastaukset ovat vääriä.

Opiskelijoille kerrotaan kotitehtävistä, tiedotetaan sen toteuttamisesta (3 min).

Kerron opiskelijoille kotitehtävistä, selitän sen toteuttamisen metodologian, tarkistan työn sisällön ymmärtämisen.

Suosittelen tekemään:

dia numero 5

Opetustoiminnan reflektointivaihe oppitunnilla (2 min)

Lavan tarkoitus: opettaa oppilaita arvioimaan valmiuksiaan havaita tietämättömyyttä, löytää vaikeuksien syitä, määrittää toimintansa tulos.

Tässä vaiheessa ehdotan, että jokainen opiskelija valitsee vain yhden kavereista, joka haluaa kiittää yhteistyöstä ja selittää, missä tämä yhteistyö tarkalleen näkyi.

Opettajan kiitossana on viimeinen. Samalla valitsen ne, jotka ovat saaneet vähiten kohteliaisuuksia.

Oppitunnin lopussa:

Lauseet on kirjoitettu taululle:

Oppitunti on hyödyllinen, kaikki on selvää.

Vain muutama asia on hieman epäselvä.

Pitää silti tehdä kovasti töitä.

Kyllä, se on vaikea oppia!

Lapset tulevat esiin ja laittavat merkin (rasti) heille sopivimpien sanojen viereen oppitunnin lopussa.

On huomionarvoista, että Pythagoraan lauseessa esitetty ominaisuus on suorakulmaisen kolmion ominaisuus. Tämä seuraa lauseesta, joka on päinvastainen Pythagoraan lauseen kanssa.

Lause: Jos kolmion toisen sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin kolmio on suorakulmainen kolmio.

Heronin kaava

Johdetaan kaava, joka ilmaisee kolmion tason sen sivujen pituuksilla. Tämä kaava liittyy Aleksandrian Heronin nimeen, muinaisen kreikkalaisen matemaatikko ja mekaanikko, joka eli luultavasti 1. vuosisadalla jKr. Heron kiinnitti paljon huomiota geometrian käytännön sovelluksiin.

Lause. Kolmion, jonka sivut ovat a, b, c, pinta-ala S lasketaan kaavalla S=, missä p on kolmion puolikehä.

Todiste.

Annettu: ?ABC, AB=c, BC=a, AC=b. Kulmat A ja B ovat teräviä. CH - korkeus.

Todistaa:

Todiste:

Tarkastellaan kolmiota ABC, jossa AB=c , BC=a, AC=b. Jokaisella kolmiolla on vähintään kaksi terävää kulmaa. Olkoot A ja B kolmion ABC teräviä kulmia. Tällöin kolmion korkeuden CH kanta H on sivulla AB. Otetaan käyttöön merkintä: CH = h, AH=y, HB=x. Pythagoraan lauseen mukaan a 2 - x 2 \u003d h 2 \u003d b 2 -y 2, mistä

Y 2 - x 2 \u003d b 2 - a 2 tai (y - x) (y + x) \u003d b 2 - a 2, ja koska y + x \u003d c, niin y - x \u003d (b2 - a2).

Kun lisätään kaksi viimeistä yhtälöä, saadaan:

2y = +c, mistä

y \u003d, ja siksi h 2 \u003d b 2 -y 2 \u003d (b - y) (b + y) \u003d

Siksi h = .

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutus: muotoile ja todista Pythagoraan lause ja Pythagoraan lauseen käänteinen. Näytä niiden historiallinen ja käytännön merkitys.

Kehittäminen: kehittää huomiokykyä, muistia, opiskelijoiden loogista ajattelua, kykyä päätellä, vertailla, tehdä johtopäätöksiä.

Koulutus: kasvattaa kiinnostusta ja rakkautta aihetta kohtaan, tarkkuutta, kykyä kuunnella tovereita ja opettajia.

Varusteet: Pythagoraan muotokuva, julisteet tiivistämistehtävillä, oppikirja "Geometria" luokat 7-9 (I.F. Sharygin).

Tuntisuunnitelma:

I. Organisaatiohetki - 1 min.

II. Kotitehtävien tarkistaminen - 7 min.

III. Opettajan johdantopuhe, historiallinen tausta - 4-5 min.

IV. Pythagoraan lauseen muotoilu ja todistus - 7 min.

V. Lauseen formulointi ja todistus käänteisesti Pythagoraan lauseeseen - 5 min.

Uuden materiaalin korjaaminen:

a) suun kautta - 5-6 minuuttia.
b) kirjallinen - 7-10 min.

VII. Kotitehtävät - 1 min.

VIII. Oppitunnin yhteenveto - 3 min.

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki.

II. Kotitehtävien tarkistaminen.

p.7.1, nro 3 (laudalla valmiin piirustuksen mukaan).

Kunto: Suorakulmaisen kolmion korkeus jakaa hypotenuusan osiksi, joiden pituus on 1 ja 2. Etsi tämän kolmion haarat.

BC = a; CA=b; BA=c; BD = a1; DA = b1; CD = hC

Lisäkysymys: kirjoita suhteet suorakulmaiseen kolmioon.

kohta 7.1, nro 5. Leikkaa suorakulmainen kolmio kolmeksi samankaltaiseksi kolmioksi.

Selittää.

ASN ~ ABC ~ SVN

(Kiinnitä oppilaiden huomio samanlaisten kolmioiden vastaavien kärkien oikeaan tallentamiseen)

III. Opettajan johdantopuhe, historiallinen tausta.

Totuus pysyy ikuisena, heti kun heikko ihminen sen tietää!

Ja nyt Pythagoraan lause on totta, kuten hänen kaukaisella aikakaudellaan.

Ei ole sattumaa, että aloitin oppituntini saksalaisen kirjailijan Chamisson sanoilla. Tämän päivän oppituntimme käsittelee Pythagoraan lausetta. Kirjoitetaan oppitunnin aihe.

Ennen sinua on muotokuva suuresta Pythagorasista. Syntynyt vuonna 576 eaa. Elettyään 80 vuotta hän kuoli vuonna 496 eaa. Tunnetaan antiikin kreikkalaisena filosofina ja opettajana. Hän oli kauppias Mnesarchuksen poika, joka vei hänet usein matkoilleen, minkä ansiosta pojassa kehittyi uteliaisuus ja halu oppia uusia asioita. Pythagoras on lempinimi, joka on annettu hänelle hänen kaunopuheisuudestaan ​​("Pythagoras" tarkoittaa "vakuuttavaa puhetta"). Hän ei itse kirjoittanut mitään. Opiskelijat tallensivat kaikki hänen ajatuksensa. Pythagoras hankki ensimmäisen luentonsa tuloksena 2000 opiskelijaa, jotka vaimoineen ja lastensa kanssa muodostivat valtavan koulun ja loivat valtion nimeltä "Suuri Kreikka", joka perustuu kunnioitetun Pythagoraan lakeihin ja sääntöihin. jumalallisina käskyinä. Hän oli ensimmäinen, joka kutsui päättelyään elämän tarkoituksesta filosofiaksi (filosofia). Hän oli taipuvainen mystifiointiin ja demonstratiiviseen käytökseen. Kerran Pythagoras piiloutui maan alle ja oppi kaikesta, mitä tapahtui, äidiltään. Sitten kuihtuneena kuin luuranko, hän julisti kansankokouksessa olleensa Hadesissa ja osoitti hämmästyttävää tietoisuutta maallisista tapahtumista. Tästä syystä kosketetut asukkaat tunnustivat hänet Jumalaksi. Pythagoras ei koskaan itkenyt, ja intohimot ja jännitys olivat yleensä saavuttamattomissa. Hän uskoi tulevansa siemenestä, joka on parempi kuin ihminen. Pythagoraan koko elämä on legenda, joka on tullut meidän aikaan ja kertoi meille antiikin maailman lahjakkaimmasta miehestä.

IV. Pythagoraan lauseen muotoilu ja todiste.

Pythagoraan lauseen muotoilu on sinulle tuttu algebran kurssista. Muistakaamme häntä.

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Tämä lause tunnettiin kuitenkin monta vuotta ennen Pythagorasta. 1500 vuotta ennen Pythagorasta muinaiset egyptiläiset tiesivät, että kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5, on suorakaiteen muotoinen, ja käyttivät tätä ominaisuutta suorien kulmien rakentamiseen maa-alueita ja rakennuksia rakennettaessa. Vanhimpaan meille tulleeseen kiinalaiseen matemaattiseen ja tähtitieteelliseen teokseen "Zhiu-bi", joka on kirjoitettu 600 vuotta ennen Pythagorasta, muiden suorakulmaiseen kolmioon liittyvien lauseiden ohella on myös Pythagoran lause. Jo aikaisemmin tämä lause oli hindujen tiedossa. Pythagoras ei siis löytänyt tätä suorakulmaisen kolmion ominaisuutta, vaan hän oli luultavasti ensimmäinen, joka yleisti ja todisti sen, siirsi sen käytännön alalta tieteen kentälle.

Muinaisista ajoista lähtien matemaatikot ovat löytäneet yhä enemmän todisteita Pythagoraan lauseesta. Niitä tunnetaan yli sataviisikymmentä. Muistakaamme Pythagoraan lauseen algebrallinen todistus, joka on meille tuttu algebran kurssista. ("Matematiikka. Algebra. Funktiot. Data-analyysi" G.V. Dorofeev, M., "Bubblehead", 2000).

Kehota oppilaita muistamaan piirustuksen todistus ja kirjoittamaan se taululle.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Muinaiset hindut, joille tämä päättely kuuluu, eivät yleensä kirjoittaneet sitä muistiin, vaan seurasivat piirustusta vain yhdellä sanalla: "Katso".

Tarkastellaanpa nykyaikaisessa esityksessä yhtä Pythagoraan kuuluvista todisteista. Oppitunnin alussa muistimme lauseen suhteista suorakulmaisessa kolmiossa:

h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

Lisäämme kaksi viimeistä yhtäläisyyttä termi kerrallaan:

b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2

Huolimatta tämän todisteen näennäisestä yksinkertaisuudesta, se ei ole kaukana yksinkertaisimmasta. Loppujen lopuksi tätä varten oli tarpeen piirtää korkeus suorakulmaiseen kolmioon ja harkita samanlaisia ​​kolmioita. Kirjoita tämä todistus muistikirjaasi.

V. Lauseen väite ja todistus päinvastoin kuin Pythagoraan lause.

Mikä on tämän lauseen käänteisversio? (... jos ehto ja johtopäätös ovat päinvastaiset.)

Yritetään nyt muotoilla lause, Pythagoraan lauseen käänteinen.

Jos kolmiossa, jossa on sivut a, b ja c, yhtäläisyys 2 \u003d a 2 + b 2 on tosi, tämä kolmio on suorakulmainen ja suora kulma on vastakkainen sivun c kanssa.

(Käänteisen lauseen todiste julisteessa)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Todistaa:

ABC - suorakaiteen muotoinen,

Todiste:

Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota A 1 B 1 C 1,

jossa C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.

Sitten Pythagoraan lauseen mukaan B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

Eli B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC ABC:n kolmella sivulla - suorakaiteen muotoinen

C = 90°, mikä oli todistettava.

VI. Opistetun aineiston konsolidointi (suullinen).

1. Julisteen mukaan valmiin piirustuksen kanssa.

Kuva 1: etsi AD, jos BD = 8, BDA = 30°.

Kuva 2: etsi CD, jos BE = 5, BAE = 45°.

Kuva 3: etsi BD, jos BC = 17, AD = 16.

2. Onko kolmio suorakulmainen, jos sen sivut ilmaistaan ​​numeroilla:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (ei)	9 2 + 12 2 = 15 2 (kyllä)	15 2 + 20 2 = 25 2 (kyllä)

Millä nimellä kutsutaan kahdessa viimeisessä tapauksessa lukujen kolmoiskappaleita? (pytagoralainen).

VI. Ongelmanratkaisu (kirjallisesti).

Nro 9. Tasasivuisen kolmion sivu on yhtä suuri kuin a. Etsi tämän kolmion korkeus, rajatun ympyrän säde, piirretyn ympyrän säde.

№ 14. Osoita, että suorakulmaisessa kolmiossa rajatun ympyrän säde on yhtä suuri kuin hypotenuusan mediaani ja yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

VII. Kotitehtävät.

Kohta 7.1, s. 175-177, analysoi Lause 7.4 (yleistetty Pythagoraan lause), nro 1 (suullinen), nro 2, nro 4.

VIII. Oppitunnin tulokset.

Mitä uutta opit tänään tunnilla? …………

Pythagoras oli ennen kaikkea filosofi. Nyt haluan lukea sinulle muutamia hänen sanojaan, jotka ovat tärkeitä meidän aikanamme sinulle ja minulle.

• Älä nosta pölyä elämän tielle.
• Tee vain sitä, mikä tulevaisuudessa ei häiritse sinua eikä pakota sinua tekemään parannusta.
• Älä koskaan tee sitä, mitä et tiedä, vaan opi kaikki mitä sinun tarvitsee tietää, niin vietät hiljaista elämää.
• Älä sulje silmiäsi, kun haluat nukkua ymmärtämättä kaikkia toimiasi edellisenä päivänä.
• Opi elämään yksinkertaisesti ja ilman luksusta.

Koulun opetussuunnitelman aiheiden huomioiminen videotuntien avulla on kätevä tapa opiskella ja omaksua materiaalia. Video auttaa kiinnittämään opiskelijoiden huomion tärkeimpiin teoreettisiin kohtiin ja välttämään tärkeitä yksityiskohtia. Tarvittaessa oppilaat voivat aina kuunnella videotunnin uudelleen tai palata muutamaan aiheeseen taaksepäin.

Tämä 8. luokalle tarkoitettu opetusvideo auttaa oppilaita oppimaan uuden geometrian aiheen.

Edellisessä aiheessa tutkimme Pythagoraan lausetta ja analysoimme sen todisteita.

On myös lause, joka tunnetaan käänteisenä Pythagoraan lauseena. Tarkastellaanpa sitä tarkemmin.

Lause. Kolmio on suorakulmainen, jos se täyttää yhtälön: kolmion toisen sivun neliö on sama kuin kahden muun neliön summa.

Todiste. Oletetaan, että meille annetaan kolmio ABC, jossa yhtälö AB 2 = CA 2 + CB 2 on tosi. Meidän on todistettava, että kulma C on 90 astetta. Tarkastellaan kolmiota A 1 B 1 C 1, jossa kulma C 1 on 90 astetta, sivu C 1 A 1 on yhtä suuri kuin CA ja sivu B 1 C 1 on yhtä suuri kuin BC.

Pythagoraan lausetta soveltaen kirjoitetaan kolmion sivujen suhde A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Korvaamalla lausekkeen yhtäläisillä puolilla saadaan A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.

Lauseen ehdoista tiedämme, että AB 2 = CA 2 + CB 2 . Sitten voidaan kirjoittaa A 1 B 1 2 = AB 2 , mikä tarkoittaa, että A 1 B 1 = AB.

Olemme havainneet, että kolmioissa ABC ja A 1 B 1 C 1 kolme sivua ovat yhtä suuret: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Nämä kolmiot ovat siis yhteneväisiä. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa, että kulma C on yhtä suuri kuin kulma C 1 ja on vastaavasti 90 astetta. Olemme määrittäneet, että kolmio ABC on suorakulmainen kolmio ja sen kulma C on 90 astetta. Olemme todistaneet tämän lauseen.

Kirjoittaja antaa sitten esimerkin. Oletetaan, että meille annetaan mielivaltainen kolmio. Sen sivujen mitat ovat tiedossa: 5, 4 ja 3 yksikköä. Tarkistetaan lause Pythagoraan lauseesta käänteisestä lauseesta: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Jos väite on oikein, annettu kolmio on suorakulmainen kolmio.

Seuraavissa esimerkeissä kolmiot ovat myös suorakulmaisia, jos niiden sivut ovat yhtä suuret:

5, 12, 13 yksikköä; yhtälö 13 2 = 5 2 + 12 2 on tosi;

8, 15, 17 yksikköä; yhtälö 17 2 = 8 2 + 15 2 on tosi;

7, 24, 25 yksikköä; yhtälö 25 2 = 7 2 + 24 2 on totta.

Pythagoraan kolmion käsite tunnetaan. Se on suorakulmainen kolmio, jonka sivuarvot ovat kokonaislukuja. Jos Pythagoraan kolmion jalat on merkitty a:lla ja c:llä sekä hypotenuusalla b, tämän kolmion sivujen arvot voidaan kirjoittaa seuraavilla kaavoilla:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

missä m, n, k ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja ja m:n arvo on suurempi kuin n:n arvo.

Mielenkiintoinen tosiasia: kolmiota, jonka sivut ovat 5, 4 ja 3, kutsutaan myös Egyptin kolmioksi, tällainen kolmio tunnettiin muinaisessa Egyptissä.

Tässä opetusvideossa tutustuimme lauseeseen, Pythagoraan lauseen käänteiseen. Harkitse todistetta yksityiskohtaisesti. Oppilaat oppivat myös, mitä kolmioita kutsutaan Pythagoraan kolmioksi.

Opiskelijat voivat helposti tutustua aiheeseen "Lause, Pythagoraan lauseen käänteis" itse tämän videotunnin avulla.