Todiste kaavasta .

=

= =

koska sini ja kosini eivät riipu kulman lisäyksestä, joka on kerrannainen

Ja tämä yhtäläisyys on jo ilmeinen, koska tämä on kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Siten logaritmi on olemassa kaikille tason pisteille nollaa lukuun ottamatta. Tosipositiivisen luvun argumentti on 0, joten tämä ääretön pistejoukko on , eli yksi arvoista, nimittäin at , putoaa todelliselle akselille. Jos lasketaan negatiivisen luvun logaritmi, saadaan , eli pisteiden joukkoa siirretään ylöspäin eikä mikään niistä putoa todelliselle akselille.

Kaavasta voidaan nähdä, että vain kun alkuperäisen luvun argumentti on nolla, yksi logaritmin arvoista putoaa todelliselle akselille. Ja tämä vastaa oikeaa puoliakselia, ja siksi koulumatematiikan aikana huomioitiin vain positiivisten lukujen logaritmit. Negatiivisten ja imaginaarilukujen logaritmit ovat myös olemassa, mutta niillä ei ole yhtä arvoa reaaliakselilla.

Seuraava piirros näyttää missä tasossa positiivisen luvun logaritmin kaikki arvot sijaitsevat. Yksi niistä on todellisella akselilla, loput ovat ylä- ja alapuolella , , ja niin edelleen. Negatiivisen tai kompleksiluvun argumentti on muu kuin nolla, joten tätä pistesarjaa siirretään pystysuunnassa, jolloin todellisella akselilla ei ole pisteitä.

Esimerkki. Laske.

Ratkaisu. Määritetään luvun moduuli (yhtä kuin 2) ja argumentti 180 0 , eli . Siis = .

Liite 1. Todisteita koskevat kysymykset (lippuja varten).

Luento #1

1. Todista osien integroinnin kaava.

Luento #2

1. Osoita, että muutos , jossa r = LCM (r 1 ,...,r k) vähentää integraalin rationaalisen murtoluvun integraaliksi.

2. Todista, että substituutio vähentää muodon integraalia rationaalisen murtoluvun integraaliin.

3. Johda sinin ja kosinin muunnoskaavat

Universaalille trigonometriselle muutokselle.

4. Osoita, että siinä tapauksessa, että funktio on pariton kosinin suhteen, korvaus pienentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi.

5. Todista, että siinä tapauksessa, kun

korvaaminen: vähentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi.

6. Todista, että muodon integraalille

7. Todista kaava

8. Todista, että muodon integraalille korvauksella on oma integraalinsa rationaaliseen murto-osaan.

9. Todista, että muodon integraalille korvaus pienentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi.

Luento #3

1. Todista, että funktio on funktion antijohdannainen.

2. Todista Newton-Leibnizin kaava: .

3. Todista eksplisiittisesti annetun käyrän pituuden kaava:

.

4. Todista kaava napakoordinaateissa annetun käyrän pituudelle

Luento #4

Todista lause: suppenee, konvergoi.

Luento #5

1. Johda (todista) kaava eksplisiittisesti annetun pinnan pinta-alalle .

2. Kaavojen johtaminen napakoordinaatteihin siirtymistä varten.

3. Napakoordinaattien Jacobin determinantin johtaminen.

4. Sylinterimäisiin koordinaatteihin siirtymisen kaavojen johtaminen.

5. Sylinterimäisten koordinaattien Jacobin determinantin johtaminen.

6. Kaavojen johtaminen pallomaisiin koordinaatteihin siirtymistä varten:

.

Luento #6

1. Osoita, että korvaus pelkistää homogeenisen yhtälön yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

2. Johda lineaarisen homogeenisen yhtälön ratkaisun yleinen muoto.

3. Johda yleiskuva lineaarisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisusta Lagrangen menetelmällä.

4. Osoita, että korvaus pelkistää Bernoullin yhtälön lineaariseksi yhtälöksi.

Luento numero 7.

1. Osoita, että korvaus alentaa yhtälön järjestystä k:llä.

2. Todista, että korvaus alentaa yhtälön järjestystä yhdellä .

3. Todista lause: Funktio on lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu ja sillä on ominaisjuuri.

4. Todista lause, että lineaarisen homogeenisen eron ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. yhtälö on myös sen ratkaisu.

5. Todista lause ratkaisujen asettamisesta: Jos - lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu oikealla puolella ja - saman differentiaaliyhtälön ratkaisu, mutta oikealla puolella, niin summa on ratkaisu yhtälöstä oikean puolen kanssa.

Luento numero 8.

1. Todista lause, että funktiojärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

2. Todista lause, että kertalukua n olevaa lineaarista homogeenista differentiaaliyhtälöä on n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.

3. Osoita, että jos 0 on monikertaisyyden juuri, niin tätä juuria vastaava ratkaisujärjestelmä on muotoa .

Luento numero 9.

1. Osoita eksponentiaalisella muodolla, että kompleksilukuja kerrottaessa moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään.

2. Todista De Moivren kaava asteelle n

3. Todista kompleksiluvun kertaluvun n juuren kaava

4. Todista se Ja

ovat sinin ja kosinin yleistyksiä, ts. reaaliluvuille nämä kaavat antavat sinin (kosinin).

5. Todista kompleksiluvun logaritmin kaava:

Liite 2

Pienet ja suulliset kysymykset teorian tuntemuksesta (kollokvioihin).

Luento #1

1. Mikä on antiderivaatti ja epämääräinen integraali, miten ne eroavat?

2. Selitä, miksi se on myös antiderivatiivinen.

3. Kirjoita kaava osien integrointiin.

4. Mitä vaihtoa tarvitaan muotointegraalissa ja miten se poistaa juuret?

5. Kirjoita muistiin rationaalisen murtoluvun integrandin laajennuksen tyyppi yksinkertaisimmille siinä tapauksessa, että kaikki juuret ovat erilaisia ​​ja todellisia.

6. Kirjoita muistiin rationaalisten murtolukujen integrandin laajennuksen tyyppi yksinkertaisiksi siinä tapauksessa, että kaikki juuret ovat todellisia ja monikertaisuudella k on yksi monijuuri.

Luento numero 2.

1. Kirjoita mikä on rationaalisen murtoluvun hajoaminen yksinkertaisimmiksi, jos nimittäjällä on kerroin 2 astetta negatiivisen erottimen kanssa.

2. Mikä korvaus vähentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi?

3. Mikä on universaali trigonometrinen substituutio?

4. Mitä korvauksia tehdään tapauksissa, joissa integraalimerkin alla oleva funktio on pariton sinin (kosinin) suhteen?

5. Mitä korvauksia tehdään, jos integrandi sisältää lausekkeet , tai .

Luento numero 3.

1. Määrätyn integraalin määritelmä.

2. Listaa joitain määrätyn integraalin pääominaisuuksia.

3. Kirjoita Newton-Leibnizin kaava.

4. Kirjoita kaava kierroskappaleen tilavuudelle.

5. Kirjoita eksplisiittisen käyrän pituuden kaava.

6. Kirjoita parametrisen käyrän pituuden kaava.

Luento numero 4.

1. Virheellisen integraalin määritelmä (rajan avulla).

2. Mitä eroa on 1. ja 2. tyyppisten virheellisten integraalien välillä?

3. Anna yksinkertaisia ​​esimerkkejä 1. ja 2. tyypin suppenevista integraaleista.

4. Mitkä integraalit (T1) konvergoivat.

5. Miten konvergenssi liittyy antiderivaatin (T2) äärelliseen rajaan?

6. Mikä on tarvittava konvergenssimerkki, sen muotoilu.

7. Vertailumerkki lopullisessa muodossa

8. Vertailutesti rajoittavassa muodossa.

9. Moniintegraalin määritelmä.

Luento numero 5.

1. Integrointijärjestyksen muuttaminen, näytä yksinkertaisimmalla esimerkillä.

2. Kirjoita pinta-alan kaava.

3. Mitä ovat napakoordinaatit, kirjoita siirtymäkaavat.

4. Mikä on napakoordinaatiston jakobinen?

5. Mitä ovat sylinterimäiset ja pallomaiset koordinaatit, mikä on niiden ero.

6. Mikä on sylinterimäisten (pallomaisten) koordinaattien jakobinen.

Luento numero 6.

1. Mikä on 1. asteen differentiaaliyhtälö (yleinen näkymä).

2. Mikä on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö, joka on ratkaistu derivaatan suhteen. Anna joku esimerkki.

3. Mikä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia.

4. Mikä on yleinen, erityinen ratkaisu, Cauchyn ehdot.

5. Mikä on homogeeninen yhtälö, mikä on yleinen menetelmä sen ratkaisemiseksi.

6. Mikä on lineaarinen yhtälö, mikä on sen ratkaisualgoritmi, mikä on Lagrange-menetelmä.

7. Mikä on Bernoullin yhtälö, sen ratkaisemisen algoritmi.

Luento numero 7.

1. Mikä korvaus on tarpeen muodon yhtälölle.

2. Mikä korvaus on tarpeen muotoyhtälölle .

3. Näytä esimerkein, kuinka se voidaan ilmaista muodossa .

4. Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka kertaluku on n.

5. Mikä on karakteristinen polynomi, ominaisyhtälö.

6. Muotoile lause, jossa r funktio on lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu.

7. Muotoile lause, jonka mukaan lineaarisen homogeenisen yhtälön ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös sen ratkaisu.

8. Muotoile ratkaisumääräyslause ja sen seuraukset.

9. Mitä ovat lineaarisesti riippuvat ja lineaarisesti riippumattomat funktiojärjestelmät, anna esimerkkejä.

10. Mikä on n funktion järjestelmän Wronsky-determinantti, anna esimerkki Wronsky-determinantista LZS- ja LNS-järjestelmille.

Luento numero 8.

1. Mikä ominaisuus Wronsky-determinantilla on, jos järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen funktio.

2. Kuinka monta lineaarisesti riippumatonta ratkaisua kertaluvun n lineaariselle homogeeniselle differentiaaliyhtälölle on olemassa.

3. FSR:n (fundamental system of solutions) määritelmä kertalukua n olevalle lineaariselle homogeeniselle yhtälölle.

4. Kuinka monta toimintoa SRF sisältää?

5. Kirjoita muistiin yhtälöjärjestelmän muoto Lagrange-menetelmällä haettavaksi, kun n=2.

6. Kirjoita muistiin tietyn ratkaisun tyyppi siinä tapauksessa, kun

7. Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälöjärjestelmä, kirjoita esimerkki.

8. Mikä on autonominen differentiaaliyhtälöjärjestelmä.

9. Differentiaaliyhtälöjärjestelmän fyysinen merkitys.

10. Kirjoita ylös, mistä funktioista yhtälöjärjestelmän FSR koostuu, jos tämän järjestelmän päämatriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat tiedossa.

Luento numero 9.

1. Mikä on kuvitteellinen yksikkö.

2. Mikä on konjugaattiluku ja mitä tapahtuu, kun se kerrotaan alkuperäisellä.

3. Mikä on kompleksiluvun trigonometrinen, eksponentiaalinen muoto.

4. Kirjoita Eulerin kaava.

5. Mikä on kompleksiluvun moduuli, argumentti.

6. mitä tapahtuu moduuleille ja argumenteille kerto- (jako) aikana.

7. Kirjoita De Moivren kaava asteelle n.

8. Kirjoita kertaluvun n juuren kaava.

9. Kirjoita yleistetyt sini- ja kosinikaavat kompleksiselle argumentille.

10. Kirjoita kompleksiluvun logaritmin kaava.

Liite 3. Tehtävät luennoista.

Luento #1

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki. .

Luento #2

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki.. , missä, numero.

Esimerkki. Jaa eksponentiaalisessa muodossa.

Esimerkki. Etsi De Moivren kaavalla.

Esimerkki. Etsi kaikki juuriarvot.

Annetaan logaritmin pääominaisuudet, logaritmin kuvaaja, määritelmäalue, arvojoukko, peruskaavat, lisäys ja vähennys. Tarkastellaan logaritmin derivaatan löytämistä. Sekä integraali, potenssisarjan laajennus ja esitys kompleksilukujen avulla.

Sisältö

Toimialue, arvojoukko, nouseva, laskeva

Logaritmi on monotoninen funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Logaritmin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

Verkkotunnus	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Arvoalue	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Yksitoikkoinen	kasvaa monotonisesti	vähenee monotonisesti
Nollat, y= 0	x= 1	x= 1
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	Ei	Ei
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Yksityiset arvot

10 kantalogaritmia kutsutaan desimaalilogaritmi ja se on merkitty näin:

peruslogaritmi e nimeltään luonnollinen logaritmi:

Peruslogaritmikaavat

Käänteisfunktion määritelmästä seuraavat logaritmin ominaisuudet:

Logaritmien pääominaisuus ja sen seuraukset

Peruskorvauskaava

Logaritmi on logaritmin ottamisen matemaattinen operaatio. Kun otetaan logaritmi, tekijöiden tulot muunnetaan termien summiksi.
Potentiaatio on logaritmille käänteinen matemaattinen operaatio. Potentioinnissa annettu kanta nostetaan sen lausekkeen potenssiin, jolla potentioiminen suoritetaan. Tässä tapauksessa termien summat muunnetaan tekijöiden tuloiksi.

Todistus logaritmien peruskaavoista

Logaritmiin liittyvät kaavat seuraavat eksponenttifunktioiden kaavoista ja käänteisfunktion määritelmästä.

Harkitse eksponentiaalisen funktion ominaisuutta
.
Sitten
.
Käytä eksponentiaalisen funktion ominaisuutta
:
.

Todistetaan perusmuutoskaava.
;
.
Asetus c = b, meillä on:

Käänteinen funktio

Kantalogaritmin a käänteisluku on eksponenttifunktio, jonka eksponentti a.

Jos sitten

Jos sitten

Logaritmin derivaatta

Johdannainen logaritmista modulo x :
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Kaavojen johtaminen >>>

Logaritmin derivaatan löytämiseksi se on vähennettävä kantaan e.
;
.

Integraali

Logaritmin integraali lasketaan integroimalla osilla : .
Niin,

Lausekkeet kompleksilukuina

Harkitse kompleksilukufunktiota z:
.
Ilmaistaan ​​kompleksiluku z moduulin kautta r ja argumentti φ :
.
Sitten logaritmin ominaisuuksia käyttämällä meillä on:
.
Tai

Argumentti kuitenkin φ ei ole selkeästi määritelty. Jos laitamme
, jossa n on kokonaisluku,
silloin se on sama numero eri n.

Siksi logaritmi kompleksisen muuttujan funktiona ei ole yksiarvoinen funktio.

Power-sarjan laajennus

Laajennus tapahtuu:

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.

Katso myös:

Todellinen logaritmi

Reaaliluvun logaritmi a b on järkevää style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Yleisimmin käytettyjä ovat seuraavat logaritmityypit.

Jos tarkastelemme logaritmista lukua muuttujana, saamme logaritminen funktio, Esimerkiksi: . Tämä funktio on määritelty numerorivin oikealla puolella: x> 0 , on siellä jatkuva ja differentioituva (ks. kuva 1).

Ominaisuudet

luonnolliset logaritmit

Sillä tasa-arvo

(1)

Erityisesti,

Tämä sarja konvergoi nopeammin, ja lisäksi kaavan vasen puoli voi nyt ilmaista minkä tahansa positiivisen luvun logaritmin.

Suhde desimaalilogaritmiin: .

Desimaalilogaritmit

Riisi. 2. Tukkimittakaava

Logaritmit kantaan 10 (symboli: lg a) ennen laskimien keksintöä käytettiin laajasti laskelmissa. Desimaalilogaritmien epäyhtenäistä asteikkoa käytetään yleisesti myös diasäännöissä. Samanlaista asteikkoa käytetään laajalti eri tieteenaloilla, esimerkiksi:

• Kemia - vetyionien aktiivisuus ().
• Musiikkiteoria - musiikillinen asteikko suhteessa musiikin äänten taajuuksiin.

Logaritmista asteikkoa käytetään myös laajalti tunnistamaan eksponentti eksponenttiriippuvuudessa ja kertoimen eksponentti. Samanaikaisesti logaritmisella asteikolla yhtä tai kahta akselia pitkin piirretty kuvaaja saa suoran muodon, jota on helpompi tutkia.

Monimutkainen logaritmi

Moniarvoinen toiminto

Riemannin pinta

Kompleksinen logaritminen funktio on esimerkki Riemannin pinnasta; sen kuvitteellinen osa (kuva 3) koostuu äärettömästä määrästä spiraalimaisesti kierrettyjä oksia. Tämä pinta on yksinkertaisesti yhdistetty; sen ainoa nolla (ensimmäisen kertaluvun) saadaan z= 1 , erikoispisteet: z= 0 ja (äärettömän kertaluvun haarapisteet).

Logaritmin Riemannin pinta on kompleksitason yleispeite ilman pistettä 0 .

Historiallinen ääriviiva

Todellinen logaritmi

Monimutkaisten laskelmien tarve kasvoi nopeasti 1500-luvulla, ja suuri osa vaikeuksista liittyi moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin. Vuosisadan lopulla useat matemaatikot keksivät lähes samanaikaisesti ajatuksen: korvata aikaa vievä kertolasku yksinkertaisella yhteenlaskolla, vertaamalla geometrisia ja aritmeettisia progressioita erityisillä taulukoilla, kun taas geometrinen tulee olemaan alkuperäinen. Sitten jako korvataan automaattisesti mittaamattoman yksinkertaisemmalla ja luotettavammalla vähennyslaskulla. Hän oli ensimmäinen, joka julkaisi tämän ajatuksen kirjassaan Arithmetica integra»Michael Stiefel, joka ei kuitenkaan ponnistellut vakavasti ideansa toteuttamiseksi.

Edmund Wingate ja William Oughtred keksivät 1620-luvulla ensimmäisen liukusäätimen, ennen taskulaskinten tuloa, välttämättömän työkalun insinöörille.

Lähes nykyaikaista ymmärrystä logaritmista - eksponentiolle käänteisenä operaationa - ilmestyi ensimmäisen kerran Wallis ja Johann Bernoulli, ja lopulta Euler laillisti sen 1700-luvulla. Kirjassa "Introduction to the Analysis of Infinite" () Euler antoi nykyaikaiset määritelmät sekä eksponentiaalisille että logaritmisille funktioille, laajensi ne potenssisarjoiksi ja pani erityisesti merkille luonnollisen logaritmin roolin.

Eulerilla on myös se etu, että se laajentaa logaritmisen funktion kompleksiseen alueeseen.

Monimutkainen logaritmi

Ensimmäiset yritykset laajentaa logaritmia kompleksilukuihin tehtiin 1600-1700-luvun vaihteessa Leibniz ja Johann Bernoullin toimesta, mutta he eivät onnistuneet luomaan kokonaisvaltaista teoriaa - ennen kaikkea siitä syystä, että logaritmin käsite ei ollut vielä selkeä. määritelty. Keskustelu tästä aiheesta käytiin ensin Leibnizin ja Bernoullin välillä ja XVIII vuosisadan puolivälissä - d'Alembertin ja Eulerin välillä. Bernoulli ja d'Alembert uskoivat, että se oli määriteltävä log(-x) = log(x). Negatiivisten ja kompleksilukujen logaritmien täydellisen teorian julkaisi Euler vuosina 1747-1751, eikä se pohjimmiltaan eroa nykyisestä.

Vaikka kiista jatkui (D'Alembert puolusti näkemystään ja perusteli sitä yksityiskohtaisesti artikkelissa Encyclopediassa ja muissa teoksissa), Eulerin näkökulma sai nopeasti yleismaailmallisen tunnustuksen.

Logaritmiset taulukot

Logaritmiset taulukot

Logaritmin ominaisuuksista seuraa, että moninumeroisten lukujen aikaa vievän kertolaskujen sijaan riittää, että etsitään (taulukoiden mukaan) ja lasketaan yhteen niiden logaritmit ja suoritetaan sitten potentioiminen samoilla taulukoilla, eli etsi tuloksen arvo sen logaritmin avulla. Jakaminen eroaa vain siinä, että logaritmit vähennetään. Laplace sanoi, että logaritmien keksintö "pidensi tähtitieteilijöiden ikää" nopeuttamalla huomattavasti laskentaprosessia.

Siirrettäessä desimaalipilkku luvussa kohtaan n numeroa, tämän luvun desimaalilogaritmin arvo muuttuu n. Esimerkiksi lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Tästä seuraa, että riittää tehdä desimaalilogaritmien taulukko numeroille välillä 1-10.

Ensimmäiset logaritmitaulukot julkaisi John Napier (), ja ne sisälsivät vain trigonometristen funktioiden logaritmit ja niissä oli virheitä. Hänestä riippumatta Keplerin ystävä Jost Burgi julkaisi taulukonsa (). Vuonna 1617 Oxfordin matematiikan professori Henry Briggs julkaisi taulukoita, jotka sisälsivät jo itse numeroiden desimaalilogaritmit 1:stä 1000:een 8 (myöhemmin 14) numerolla. Mutta myös Briggsin taulukoissa oli virheitä. Ensimmäinen Vega-taulukoihin () perustuva virheetön painos ilmestyi vasta vuonna 1857 Berliinissä (Bremiver-taulukot).

Venäjällä ensimmäiset logaritmitaulukot julkaistiin vuonna 1703 L. F. Magnitskyn osallistuessa. Neuvostoliitossa julkaistiin useita logaritmitaulukoiden kokoelmia.

• Bradis V.M. Nelinumeroiset matemaattiset taulukot. 44. painos, M., 1973.

Suunnitelma:

Johdanto

• 1 Todellinen logaritmi
  • 1.1 Ominaisuudet
  • 1.2 logaritminen funktio
  • 1.3 luonnolliset logaritmit
  • 1.4 Desimaalilogaritmit
• 2 Monimutkainen logaritmi
  • 2.1 Määritelmä ja ominaisuudet
  • 2.2 Esimerkkejä
  • 2.3 Analyyttinen jatko
  • 2.4 Riemannin pinta
• 3 Historiallinen ääriviiva
  • 3.1 Todellinen logaritmi
  • 3.2 Monimutkainen logaritmi
• 4 Logaritmiset taulukot
• 5 Sovellukset
Kirjallisuus
Huomautuksia

Johdanto

Riisi. 1. Logaritmisen funktioiden kuvaajat

Luvun logaritmi b syystä a (kreikasta. λόγος - "sana", "asenne" ja ἀριθμός - "luku" määritellään osoittimeksi siitä, kuinka paljon pohjaa on nostettava a saadaksesi numeron b. Nimitys: . Määritelmästä seuraa, että merkinnät ja ovat vastaavia.

Esimerkiksi koska.

1. Todellinen logaritmi

Reaaliluvun logaritmi a b järkevää kun. Kuten tiedät, eksponentiaalinen funktio y = a x on monotoninen ja jokainen arvo ottaa vain kerran, ja sen arvojen alue sisältää kaikki positiiviset reaaliluvut. Tämä tarkoittaa, että positiivisen luvun todellisen logaritmin arvo on aina olemassa ja se määräytyy yksiselitteisesti.

Yleisimmin käytettyjä ovat seuraavat logaritmityypit.

1.1. Ominaisuudet

Todiste

Todistetaan se.

(koska ehdolla bc > 0). ■

Todiste

Todistetaan se

(koska ehdon mukaan ■

Todiste

Käytämme henkilöllisyyttä todistamaan se. Logaritme identiteetin molemmat puolet kantaan c. Saamme:

Todiste

Todistetaan se.

(koska b s> 0 ehdon mukaan). ■

Todiste

Todistetaan se

Todiste

Ota vasemman ja oikean puolen logaritmi kantaan c :

Vasen puoli: Oikea puoli:

Ilmaisujen tasa-arvo on ilmeinen. Koska logaritmit ovat yhtä suuret, niin logaritmisen funktion monotonisuuden vuoksi itse lausekkeet ovat yhtä suuret. ■

1.2. logaritminen funktio

Jos tarkastelemme logaritmista lukua muuttujana, saamme logaritminen funktio y= loki a x (katso kuva 1). Se määritellään osoitteessa . Arvoalue: .

Toiminto kasvaa jyrkästi a> 1 ja tiukasti laskeva 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Suoraan x= 0 on vasen pystyasymptootti, koska at a> 1 ja 0< a < 1 .

Logaritmisen funktion derivaatta on:

Todiste

I. Todistakaamme se

Kirjoitetaan henkilöllisyys muistiin e ln x = x ja erottaa sen vasemman ja oikean puolen

Me ymmärrämme sen, mistä se seuraa sitä

II. Todistetaan se

Logaritminen funktio toteuttaa isomorfismin positiivisten reaalilukujen kertovan ryhmän ja kaikkien reaalilukujen additiivisen ryhmän välillä.

1.3. luonnolliset logaritmit

Suhde desimaalilogaritmiin: .

Kuten edellä todettiin, luonnollisen logaritmin derivaatalla on yksinkertainen kaava:

Tästä syystä luonnollisia logaritmeja käytetään pääasiassa matemaattisessa tutkimuksessa. Ne esiintyvät usein ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä, tutkittaessa tilastollisia riippuvuuksia (esimerkiksi alkulukujakaumaa) jne.

Luonnollisen logaritmin määrittelemätön integraali on helppo löytää integroimalla osien mukaan:

Taylor-sarjan laajennus voidaan esittää seuraavasti:
kun tasa-arvo

(1)

Erityisesti,

Tämä sarja konvergoi nopeammin, ja lisäksi kaavan vasen puoli voi nyt ilmaista minkä tahansa positiivisen luvun logaritmin.

1.4. Desimaalilogaritmit

Riisi. 2a. Logaritminen asteikko

Riisi. 2b. Logaritminen asteikko symboleilla

Logaritmit kantaan 10 (symboli: lg a) ennen laskimien keksintöä käytettiin laajasti laskelmissa. Desimaalilogaritmien epäyhtenäistä asteikkoa sovelletaan yleensä myös diasääntöihin. Samanlaista asteikkoa käytetään monilla tieteenaloilla, esimerkiksi:

• Fysiikka - äänen intensiteetti (desibeleinä).
• Tähtitiede on tähtien kirkkauden asteikko.
• Kemia - vetyionien aktiivisuus (pH).
• Seismologia - Richterin asteikko.
• Musiikkiteoria - musiikillinen asteikko suhteessa musiikin äänten taajuuksiin.
• Historia on logaritminen aika-asteikko.

Logaritmista asteikkoa käytetään myös laajalti tunnistamaan eksponentti eksponenttiriippuvuudessa ja kertoimen eksponentti. Samanaikaisesti logaritmisella asteikolla yhtä tai kahta akselia pitkin piirretty kuvaaja saa suoran muodon, jota on helpompi tutkia.

2. Kompleksinen logaritmi

2.1. Määritelmä ja ominaisuudet

Kompleksilukujen logaritmi määritellään samalla tavalla kuin todellinen. Käytännössä luonnollista kompleksilogaritmia käytetään lähes yksinomaan, jota merkitsemme ja määrittelemme kaikkien kompleksilukujen joukoksi. z sellasta e z = w . Kompleksi logaritmi on olemassa mille tahansa , ja sen reaaliosa on yksiselitteisesti määritetty, kun taas imaginaarilla on ääretön määrä arvoja. Tästä syystä sitä kutsutaan moniarvoiseksi funktioksi. Jos kuvitella w eksponentiaalisessa muodossa:

,

sitten logaritmi löydetään kaavasta:

Tässä on oikea logaritmi, r = | w | , k on mielivaltainen kokonaisluku. Arvo, joka saadaan, kun k= 0 kutsutaan tärkein merkitys monimutkainen luonnollinen logaritmi; argumentin arvo on tapana ottaa välissä (− π,π] ) Vastaava (jo yksiarvoinen) funktio on ns. päähaara logaritmi ja sitä merkitään . Joskus myös tarkoittaa logaritmin arvoa, joka ei ole päähaaralla.

Kaavasta seuraava:

• Logaritmin reaaliosa määritetään kaavalla:

• Negatiivisen luvun logaritmi löytyy kaavasta:

Koska kompleksiset trigonometriset funktiot liittyvät eksponentiaaliseen (Eulerin kaava), kompleksilogaritmi, eksponentiaalisen funktion käänteisfunktiona, liittyy käänteisiin trigonometrisiin funktioihin. Esimerkki tällaisesta yhteydestä:

2.2. Esimerkkejä

Tässä on logaritmin pääarvo joillekin argumenteille:

Sinun tulee olla varovainen muuntaessasi monimutkaisia ​​logaritmeja ottaen huomioon, että ne ovat moniarvoisia, ja siksi näiden lausekkeiden yhtäläisyys ei seuraa minkään lausekkeen logaritmien yhtäläisyydestä. Esimerkki virheellisestä päättelystä:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - Ilmeinen absurdi.

Huomaa, että logaritmin pääarvo on vasemmalla ja taustahaaran arvo oikealla ( k= − 1). Syynä virheeseen on ominaisuuden huolimaton käyttö, joka yleensä monimutkaisessa tapauksessa tarkoittaa logaritmin koko loputonta arvoa, ei vain pääarvoa.

2.3. Analyyttinen jatko

Riisi. 3. Kompleksinen logaritmi (imaginaariosa)

Kompleksiluvun logaritmi voidaan määritellä myös todellisen logaritmin analyyttiseksi jatkoksi koko kompleksitasolle. Alkaa käyrä Γ pisteestä 1, älä kulje nollan läpi, äläkä leikkaa reaaliakselin negatiivista osaa. Sitten logaritmin pääarvo loppupisteessä w käyrä Γ voidaan määrittää kaavalla:

Jos Γ on yksinkertainen käyrä (ilman itseleikkauksia), niin siinä oleville lukuille voidaan käyttää logaritmisia identiteettejä ilman pelkoa, esim.

Jos käyrän Γ annetaan leikata reaaliakselin negatiivinen osa, niin ensimmäinen tällainen leikkauspiste siirtää tuloksen pääarvohaaralta naapurihaaraan, ja jokainen myöhempi leikkaus aiheuttaa samanlaisen siirtymän logaritmisen funktion haaroja pitkin ( katso kuva).

Analyyttisesta jatkokaavasta seuraa, että logaritmin millä tahansa haaralla

Mille tahansa piirille S pisteen 0 sisällä:

Integraali otetaan positiiviseen suuntaan (vastapäivään). Tämä identiteetti on jäämien teorian taustalla.

Voidaan myös määritellä kompleksisen logaritmin analyyttinen jatko käyttämällä yllä olevaa sarjaa (1), joka on yleistetty kompleksisen argumentin tapaukseen. Laajennuksen tyypistä kuitenkin seuraa, että se on yhtä kuin nolla yksikössä, eli sarja viittaa vain kompleksisen logaritmin moniarvofunktion päähaaran.

2.4. Riemannin pinta

Kompleksinen logaritminen funktio on esimerkki Riemannin pinnasta; sen kuvitteellinen osa (kuva 3) koostuu äärettömästä määrästä spiraalin muotoon kierrettyjä oksia. Tämä pinta on yksinkertaisesti yhdistetty; sen ainoa nolla (ensimmäisen kertaluvun) saadaan z= 1 , erikoispisteet: z= 0 ja (äärettömän kertaluvun haarapisteet).

Logaritmin Riemannin pinta on kompleksitason yleispeite ilman pistettä 0 .

3. Historiallinen hahmotelma

3.1. Todellinen logaritmi

Monimutkaisten laskelmien tarve kasvoi nopeasti 1500-luvulla, ja suuri osa vaikeuksista liittyi moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin sekä juurien poimimiseen. Vuosisadan lopulla useat matemaatikot keksivät lähes samanaikaisesti ajatuksen: korvata aikaa vievä kertolasku yksinkertaisella yhteenlaskolla, vertaamalla geometrisia ja aritmeettisia progressioita erityisillä taulukoilla, kun taas geometrinen tulee olemaan alkuperäinen. Sitten jako korvataan automaattisesti mittaamattoman yksinkertaisemmalla ja luotettavammalla vähennyslaskulla ja asteen juuren erotuksella n pelkistyy jakamaan radikaalilausekkeen logaritmin arvolla n. Hän oli ensimmäinen, joka julkaisi tämän ajatuksen kirjassaan Arithmetica integra» Michael Stiefel, joka ei kuitenkaan ponnistellut vakavasti ideansa toteuttamiseksi.

Vuonna 1614 skotlantilainen amatöörimatemaatikko John Napier julkaisi latinaksi esseen " Kuvaus hämmästyttävästä logaritmitaulukosta"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Siinä oli lyhyt kuvaus logaritmeista ja niiden ominaisuuksista sekä 8-numeroiset taulukot sinien, kosinien ja tangenttien logaritmeista, askeleella 1". logaritmi, Napierin ehdottama, vakiinnutti asemansa tieteessä. Napier hahmotteli logaritmien teoriaa toisessa kirjassaan " Rakenna hämmästyttävä logaritmitaulukko"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), jonka hänen poikansa julkaisi postuumisti vuonna 1619.

Funktion käsitettä ei vielä ollut olemassa, ja Napier määritti logaritmin kinemaattisesti vertaamalla tasaista ja logaritmisesti hidasta liikettä; esimerkiksi hän määritteli sinin logaritmin seuraavasti:

Tietyn sinin logaritmi on luku, joka aina kasvoi aritmeettisesti samalla nopeudella kuin täysisini alkoi pienentyä geometrisesti.

Nykyaikaisessa merkinnässä Napierin kinemaattinen malli voidaan esittää differentiaaliyhtälöllä: dx/x = -dy/M, jossa M on skaalauskerroin, joka on otettu käyttöön, jotta arvosta tulisi kokonaisluku, jossa on tarvittava määrä numeroita (desimaalit eivät vielä olleet laajalti käytössä). Napier otti M = 10000000.

Tarkkaan ottaen Napier taulukoi väärän funktion, jota nyt kutsutaan logaritmiksi. Jos merkitsemme sen funktiota LogNap(x), niin se liittyy luonnolliseen logaritmiin seuraavasti:

Ilmeisesti LogNap (M) = 0, eli "täyssinin" logaritmi on nolla - tätä Napier pyrki määritelmällään. .

Napier-logaritmin pääominaisuus: jos suureet muodostavat geometrisen progression, niin niiden logaritmit muodostavat aritmeettisen progression. Ei-Pier-funktion logaritmin säännöt erosivat kuitenkin nykyaikaisen logaritmin säännöistä.

Esimerkiksi, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Valitettavasti kaikki Napierin taulukon arvot sisälsivät laskentavirheen kuudennen numeron jälkeen. Tämä ei kuitenkaan estänyt uutta laskentamenetelmää saamasta laajaa suosiota, ja monet eurooppalaiset matemaatikot, mukaan lukien Kepler, ryhtyivät laatimaan logaritmiataulukoita. Jo viisi vuotta myöhemmin, vuonna 1619, Lontoon matematiikan opettaja John Spidell ( John Spidell) julkaisi uudelleen Napierin taulukot, muunnettuina niin, että niistä tuli itse asiassa luonnollisten logaritmien taulukoita (vaikka Spydell säilytti skaalauksen kokonaislukuihin). Termi "luonnollinen logaritmi" loi italialainen matemaatikko Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) XVI vuosisadan puolivälissä.

Edmund Wingate ja William Oughtred keksivät 1620-luvulla ensimmäisen liukusäätimen, ennen taskulaskinten tuloa, välttämättömän työkalun insinöörille.

Lähellä nykyaikaista ymmärrystä logaritmista - operaationa, joka on käänteinen valtaan nostamiseen - ilmestyi ensimmäisen kerran Wallisissa ja Johann Bernoullissa, ja lopulta Euler laillisti sen 1700-luvulla. Kirjassa Introduction to the Analysis of Infinites (1748) Euler antoi moderneja määritelmiä sekä eksponentiaalisille että logaritmisille funktioille, laajensi ne potenssisarjoiksi ja pani erityisesti merkille luonnollisen logaritmin roolin.

Eulerilla on myös se etu, että se laajentaa logaritmisen funktion kompleksiseen alueeseen.

3.2. Monimutkainen logaritmi

Ensimmäiset yritykset laajentaa logaritmia kompleksilukuihin tehtiin 1600-1700-luvun vaihteessa Leibniz ja Johann Bernoullin toimesta, mutta he eivät onnistuneet luomaan kokonaisvaltaista teoriaa - ennen kaikkea siitä syystä, että logaritmin käsite ei ollut vielä selkeä. määritelty. Keskustelu tästä aiheesta käytiin ensin Leibnizin ja Bernoullin välillä ja XVIII vuosisadan puolivälissä - d'Alembertin ja Eulerin välillä. Bernoulli ja d'Alembert uskoivat, että se oli määriteltävä log(-x) = log(x). Negatiivisten ja kompleksilukujen logaritmien täydellisen teorian julkaisi Euler vuosina 1747-1751, eikä se pohjimmiltaan eroa nykyisestä.

Vaikka kiista jatkui (D'Alembert puolusti näkemystään ja perusteli sitä yksityiskohtaisesti artikkelissa Encyclopediassa ja muissa teoksissa), Eulerin näkökulma sai nopeasti yleistä tunnustusta.

4. Logaritmiset taulukot

Logaritmiset taulukot

Logaritmin ominaisuuksista seuraa, että moniarvoisten lukujen aikaa vievän kertolaskujen sijaan riittää, että etsitään (taulukoista) ja lasketaan yhteen niiden logaritmit ja suoritetaan sitten potentioiminen samoilla taulukoilla, eli etsitään tuloksen arvo logaritmilla. Jakaminen eroaa vain siinä, että logaritmit vähennetään. Laplace sanoi, että logaritmien keksintö "pidensi tähtitieteilijöiden ikää" nopeuttamalla huomattavasti laskentaprosessia.

Siirrettäessä desimaalipilkku luvussa kohtaan n numeroa, tämän luvun desimaalilogaritmin arvo muuttuu n. Esimerkiksi lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Tästä seuraa, että riittää tehdä desimaalilogaritmien taulukko numeroille välillä 1-10.

Ensimmäiset logaritmitaulukot julkaisi John Napier (1614), ja ne sisälsivät vain trigonometristen funktioiden logaritmit ja niissä oli virheitä. Hänestä riippumatta Joost Burgi, Keplerin ystävä, julkaisi taulukonsa (1620). Vuonna 1617 Oxfordin matematiikan professori Henry Briggs julkaisi taulukoita, jotka sisälsivät jo itse numeroiden desimaalilogaritmit 1:stä 1000:een 8 (myöhemmin 14) numerolla. Mutta myös Briggsin taulukoissa oli virheitä. Ensimmäinen Vega-taulukoihin perustuva erehtymätön painos (1783) ilmestyi vasta vuonna 1857 Berliinissä (Bremiver-taulukot).

Venäjällä ensimmäiset logaritmitaulukot julkaistiin vuonna 1703 L. F. Magnitskyn osallistuessa. Neuvostoliitossa julkaistiin useita logaritmitaulukoiden kokoelmia.

• Bradis V.M. Nelinumeroiset matemaattiset taulukot. 44. painos, M., 1973.

Bradis-taulukoita (1921) käytettiin oppilaitoksissa ja teknisissä laskelmissa, jotka eivät vaatineet suurta tarkkuutta. Ne sisälsivät numeroiden ja trigonometristen funktioiden desimaalilogaritmien mantissoja, luonnollisia logaritmeja ja joitain muita hyödyllisiä laskentatyökaluja.

• Vega G. Seitsennumeroisten logaritmien taulukot, 4. painos, M., 1971.

Ammattimainen kokoelma tarkkoja laskelmia varten.

• Viisinumeroiset trigonometristen suureiden luonnonarvot, niiden logaritmit ja lukujen logaritmit, 6. painos, M .: Nauka, 1972.
• Luonnonlogaritmien taulukot, 2. painos, 2 osaa, Moskova: Nauka, 1971.

Tällä hetkellä, laskimien yleistyessä, tarve käyttää logaritmitaulukoita on kadonnut.

M, ominaisuus (monimutkainen analyysi).

logaritminen funktio

Logaritminen funktio on funktio muotoa f(x) = logax, joka on määritelty funktiolle

Verkkotunnus: . Arvoalue: . Funktio kasvaa tiukasti arvolla > 1 ja laskee tiukasti arvolla 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Viiva x = 0 on vasen pystyasymptootti, koska a > 1 ja 0< a < 1.

Logaritmisen funktion derivaatta on:

Logaritminen funktio toteuttaa isomorfismin positiivisten reaalilukujen kertovan ryhmän ja kaikkien reaalilukujen additiivisen ryhmän välillä.

Monimutkainen logaritmi

Määritelmä ja ominaisuudet

Kompleksilukujen logaritmi määritellään samalla tavalla kuin todellinen. Käytännössä käytetään lähes yksinomaan luonnollista kompleksilogaritmia, jonka merkitsemme ja määrittelemme kaikkien kompleksilukujen z joukoksi siten, että ez = w. Kompleksinen logaritmi on olemassa kenelle tahansa, ja sen reaaliosa määräytyy yksiselitteisesti, kun taas imaginaarilla on ääretön määrä arvoja. Tästä syystä sitä kutsutaan moniarvoiseksi funktioksi. Jos edustamme w:tä eksponentiaalisessa muodossa:

sitten logaritmi löydetään kaavasta:

Tässä -- reaalilogaritmi, r = | w | , k on mielivaltainen kokonaisluku. Arvoa, joka saadaan, kun k = 0, kutsutaan kompleksisen luonnollisen logaritmin pääarvoksi; siinä olevan argumentin arvo on tapana ottaa välissä (? p, p]. Vastaavaa (jo yksiarvoista) funktiota kutsutaan logaritmin päähaaroksi ja sitä merkitään. Joskus logaritmin arvo, joka ei makaa päähaaralla on myös merkitty.

Kaavasta seuraava:

Logaritmin reaaliosa määritetään kaavalla:

Negatiivisen luvun logaritmi löytyy kaavasta.