Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssien kanssa, niiden eksponentit laskevat aina yhteen (a b * a c = a b + c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaislukuindikaattoreista. Juuri he palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän funktion käytöstä löytyy melkein kaikkialta, missä vaaditaan yksinkertaista monimutkainen kertolasku yksinkertaiseen yhteenlaskuun. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertainen ja helppokäyttöinen kieli.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log a b=c, eli minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (eli minkä tahansa positiivisen) logaritmi "b" kantansa "a" mukaan katsotaan "c":n potenssiksi. ", johon on tarpeen nostaa kantaa "a", jotta lopulta saadaan arvo "b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log 2 8. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun täytyy löytää sellainen tutkinto, että 2:sta vaadittuun tutkintoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia mielessäsi, saamme luvun 3! Ja aivan oikein, koska 2 potenssilla 3 antaa vastauksessa luvun 8.

Logaritmien lajikkeet

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On olemassa kolmenlaisia ​​logaritmisia lausekkeita:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e = 2,7).
2. Desimaali a, jossa kantaluku on 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan ​​tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Oikeiden logaritmien arvojen saamiseksi tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys päätöksissä.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli niistä ei keskustella ja ne ovat totta. Esimerkiksi lukuja on mahdotonta jakaa nollalla, ja on myös mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria negatiivisista luvuista. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla opit helposti toimimaan myös pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• kanta "a" on aina suurempi kuin nolla, eikä samalla oltava yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuria kuin niiden arvot;
• jos a > 0, niin a b > 0, käy ilmi, että "c":n on oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Esimerkiksi tehtävänä annettiin löytää vastaus yhtälöön 10 x \u003d 100. Se on erittäin helppoa, sinun on valittava tällainen teho, nostamalla numeroa kymmenen, johon saamme 100. Tämä on tietysti 10 2 \u003d 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisena. Saamme log 10 100 = 2. Logaritmeja ratkottaessa kaikki toiminnot käytännöllisesti katsoen konvergoivat sen selvittämiseen, missä määrin logaritmin kanta on syötettävä tietyn luvun saamiseksi.

Jotta voit määrittää tuntemattoman asteen arvon tarkasti, sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkin eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tietoa kertotaulukosta. Suuremmat arvot vaativat kuitenkin tehotaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät ymmärrä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä numerorivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Solujen leikkauskohdassa määritetään numeroiden arvot, jotka ovat vastaus (a c =b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mitkä tahansa matemaattiset numeeriset lausekkeet voidaan kirjoittaa logaritmisiksi yhtälöiksi. Esimerkiksi 3 4 =81 voidaan kirjoittaa logaritmina 81 kantaan 3, joka on neljä (log 3 81 = 4). Negatiivisten potenssien osalta säännöt ovat samat: 2 -5 = 1/32 kirjoitetaan logaritmina, saadaan log 2 (1/32) = -5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Käsittelemme yhtälöiden esimerkkejä ja ratkaisuja hieman alempana heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne voidaan erottaa yhtälöistä.

Esitetään seuraavan muotoinen lauseke: log 2 (x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin merkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta suuruutta: halutun luvun logaritmi kakkoskahdessa on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt, joissa on logaritmi (esim. logaritmi 2 x = √9) sisältävät yhden tai useamman tietyn numeerisen arvon vastauksessa, kun taas epäyhtälöä ratkaistaessa molemmat hyväksyttävät arvot ja pisteet, jotka rikkovat tämän toiminnon. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva numerosarja tai joukko.

Peruslauseita logaritmeista

Ratkaistaessa primitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Logaritmisista yhtälöistä tai epäyhtälöistä tulee kuitenkin ensinnäkin ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Tutustumme yhtälöesimerkkeihin myöhemmin, analysoidaan ensin jokaista ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Perusidentiteetti näyttää tältä: a logaB =B. Sitä sovelletaan vain, jos a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuloksen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa edellytyksenä on: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmien kaavan esimerkeillä ja ratkaisulla. Olkoon log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, sitten a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saadaan, että s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (asteominaisuudet ), ja edelleen määritelmän mukaan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mikä oli todistettava.
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log a q b n = n/q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmin asteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu säännöllisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Kirjataan a b \u003d t, niin käy ilmi a t \u003d b. Jos nostat molemmat osat potenssiin m: a tn = b n ;

mutta koska a tn = (a q) nt/q = b n , joten log a q b n = (n*t)/t, niin log a q b n = n/q log a b. Lause on todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuudesta

Yleisimmät logaritmiongelmien tyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät lähes kaikista ongelmakirjoista, ja ne sisältyvät myös matematiikan kokeiden pakolliseen osaan. Jos haluat päästä yliopistoon tai läpäistä matematiikan pääsykokeita, sinun on tiedettävä, kuinka ratkaista tällaiset tehtävät oikein.

Valitettavasti ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai kaaviota logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi, mutta jokaiseen matemaattiseen epäyhtälöön tai logaritmiseen yhtälöön voidaan soveltaa tiettyjä sääntöjä. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko lauseke yksinkertaistaa tai pelkistää yleiseen muotoon. Voit yksinkertaistaa pitkiä logaritmisia lausekkeita, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin pian.

Logaritmisia yhtälöitä ratkaistaessa on määritettävä, millainen logaritmi meillä on edessämme: lausekkeen esimerkki voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalin.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että sinun on määritettävä, missä määrin kanta 10 on yhtä suuri kuin 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisuissa on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: Esimerkkejä ja ratkaisuja

Katsotaanpa siis esimerkkejä logaritmien päälauseiden käytöstä.

1. Tuloksen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa on tarpeen jakaa suuri luvun b arvo yksinkertaisemmiksi tekijöiksi. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kuten näette, logaritmin asteen neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan ensi silmäyksellä monimutkaisen ja ratkaisemattoman lausekkeen. On tarpeen vain kertoa kanta ja ottaa sitten eksponenttiarvot pois logaritmin etumerkistä.

Tehtävät kokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti paljon logaritmisongelmia Unified State Examissa (valtiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (kokeen helpoin testiosa), vaan myös osassa C (vaikeimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti edellyttää tarkkaa ja täydellistä tietoa aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ongelmanratkaisut on otettu kokeen virallisista versioista. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) = 4. Ratkaisu:
kirjoitetaan lauseke uudelleen yksinkertaistaen sitä bitti log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 = 2 4 , siis 2x = 17; x = 8,5.

• Kaikki logaritmit on parasta pelkistää samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmin etumerkin alla olevat lausekkeet on merkitty positiivisiksi, joten kun otetaan pois lausekkeen eksponentti, joka on logaritmin etumerkin alla ja sen kantana, logaritmin alle jäävän lausekkeen tulee olla positiivinen.

Tämän artikkelin painopiste on logaritmi. Tässä annamme logaritmin määritelmän, näytämme hyväksytty merkintätapa, annamme esimerkkejä logaritmeista ja puhumme luonnollisista ja desimaalilogaritmeista. Harkitse sen jälkeen logaritmisen perusidentiteettiä.

Sivulla navigointi.

Logaritmin määritelmä

Logaritmin käsite syntyy, kun ratkaistaan ​​ongelma tietyssä mielessä käänteisesti, kun on löydettävä eksponentti tunnetusta asteen arvosta ja tunnetusta kannasta.

Mutta tarpeeksi johdanto, on aika vastata kysymykseen "mikä on logaritmi"? Antakaamme sopiva määritelmä.

Määritelmä.

Logaritmi b:stä kantaan a, jossa a>0, a≠1 ja b>0 on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa luku a saadaksesi tuloksen b.

Tässä vaiheessa huomaamme, että puhutun sanan "logaritmi" pitäisi heti herättää kaksi seuraavaa kysymystä: "mikä numero" ja "millä perusteella". Toisin sanoen, logaritmia ei yksinkertaisesti ole, vaan jossain kannassa on vain luvun logaritmi.

Esittelemme heti logaritmin merkintä: luvun b logaritmi kantaan a merkitään yleensä loga b : na . Luvun b logaritmilla kantaan e ja logaritmilla kantaan 10 on omat erikoisnimensä lnb ja lgb, eli ne eivät kirjoita log e b , vaan lnb , eivätkä log 10 b , vaan lgb .

Nyt voit tuoda: .
Ja levyt ei ole järkeä, koska ensimmäisessä niistä on negatiivinen luku logaritmin merkin alla, toisessa - negatiivinen luku kannassa ja kolmannessa - sekä negatiivinen luku logaritmin merkin alla että yksikkö pohjassa.

Nyt puhutaan logaritmien lukemisen säännöt. Kirjauslogi a b luetaan "logaritmina b:stä kantaan a". Esimerkiksi logaritmi 2 3 on logaritmi kolmesta kantaan 2 ja on kahden kokonaisluvun logaritmi kahden peruskolmanteen viiden neliöjuuresta. Logaritmia kantaan e kutsutaan luonnollinen logaritmi, ja merkintä lnb luetaan "b:n luonnollisena logaritmina". Esimerkiksi ln7 on luvun seitsemän luonnollinen logaritmi, ja luemme sen pi:n luonnolliseksi logaritmiksi. Logaritmilla kantaan 10 on myös erityinen nimi - desimaalilogaritmi, ja merkintä lgb luetaan "desimaalilogaritmiksi b". Esimerkiksi lg1 on yhden desimaalilogaritmi ja lg2.75 on kahden pisteen seitsemänkymmenenviiden sadasosan desimaalilogaritmi.

Erikseen kannattaa keskittyä ehdoihin a>0, a≠1 ja b>0, joissa logaritmin määritelmä annetaan. Selvitetään, mistä nämä rajoitukset tulevat. Tämän tekemisessä meitä auttaa muodon yhtäläisyys, nimeltään , joka seuraa suoraan edellä annetusta logaritmin määritelmästä.

Aloitetaan a≠1:stä. Koska yksi on yhtä suuri kuin yksi minkä tahansa potenssin kanssa, yhtälö voi olla totta vain b=1:lle, mutta log 1 1 voi olla mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden välttämiseksi a≠1 hyväksytään.

Perustellaan ehdon a>0 tarkoituksenmukaisuus. Kun a=0, logaritmin määritelmän mukaan meillä olisi yhtäläisyys , mikä on mahdollista vain, kun b=0 . Mutta sitten log 0 0 voi olla mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku, koska nolla mihin tahansa nollasta poikkeavaan potenssiin on nolla. Tämä epäselvyys voidaan välttää ehdolla a≠0 . Ja a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Lopuksi ehto b>0 seuraa epäyhtälöstä a>0 , koska , ja positiivisella kantalla a olevan asteen arvo on aina positiivinen.

Tämän kappaleen lopuksi sanomme, että logaritmin soinnillinen määritelmä antaa sinun ilmoittaa välittömästi logaritmin arvon, kun logaritmin merkin alla oleva luku on tietty kanta. Todellakin, logaritmin määritelmä antaa meille mahdollisuuden väittää, että jos b=a p , niin luvun b logaritmi kantaan a on yhtä suuri kuin p . Eli yhtälölogi a a p =p on tosi. Tiedämme esimerkiksi, että 2 3 = 8 , sitten log 2 8 = 3 . Puhumme tästä lisää artikkelissa.

Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (a>0, a ei ole yhtä suuri kuin 1) on luku c siten, että a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Huomaa, että ei-positiivisen luvun logaritmia ei ole määritelty. Lisäksi logaritmin kantaluvun on oltava positiivinen luku, joka ei ole yhtä suuri kuin 1. Jos esimerkiksi neliöimme -2, saamme luvun 4, mutta tämä ei tarkoita, että 4:n kanta -2 logaritmi olisi 2.

Peruslogaritminen identiteetti

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On tärkeää, että tämän kaavan oikean ja vasemman osan määritelmäalueet ovat erilaiset. Vasen puoli on määritelty vain b>0:lle, a>0:lle ja a ≠ 1:lle. Oikea puoli on määritelty mille tahansa b:lle, eikä se riipu a:sta ollenkaan. Siten peruslogaritmisen "identiteetin" käyttäminen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa voi johtaa DPV:n muutokseen.

Kaksi ilmeistä logaritmin määritelmän seurausta

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Todellakin, kun nostetaan lukua a ensimmäiseen potenssiin, saamme saman luvun, ja kun nostetaan se nollapotenssiin, saamme yhden.

Tulon logaritmi ja osamäärän logaritmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Haluaisin varoittaa koululaisia ​​näiden kaavojen ajattelemattomasta käytöstä logaritmisen yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa. Kun niitä käytetään "vasemmalta oikealle", ODZ kapenee, ja kun siirrytään logaritmien summasta tai erotuksesta tulon tai osamäärän logaritmiin, ODZ laajenee.

Itse asiassa lauseke log a (f (x) g (x)) määritellään kahdessa tapauksessa: kun molemmat funktiot ovat ehdottomasti positiivisia tai kun f(x) ja g(x) ovat molemmat pienempiä kuin nolla.

Muuntamalla tämä lauseke summaksi log a f (x) + log a g (x) , joudumme rajoittumaan vain tapaukseen, jossa f(x)>0 ja g(x)>0. Hyväksyttyjen arvojen vaihteluväli on kaventunut, eikä tätä voida kategorisesti hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen menettämiseen. Samanlainen ongelma on kaavalla (6).

Aste voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas haluaisin vaatia tarkkuutta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Yhtälön vasen puoli on luonnollisesti määritelty kaikille f(x):n arvoille nollaa lukuun ottamatta. Oikea puoli on vain f(x)>0! Ottamalla teho pois logaritmista, kavennetaan jälleen ODZ:tä. Käänteinen menettely johtaa sallittujen arvojen alueen laajentamiseen. Kaikki nämä huomautukset eivät koske vain 2:n tehoa, vaan myös mitä tahansa parillista potenssia.

Kaava muuttaa uuteen tukikohtaan

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Se harvinainen tapaus, jolloin ODZ ei muutu muuntamisen aikana. Jos olet valinnut kannan c viisaasti (positiivinen eikä yhtä suuri kuin 1), kaava uuteen kantaan siirtymiseen on täysin turvallinen.

Jos valitsemme luvun b uudeksi kantaksi c, saamme tärkeän kaavan (8) erikoistapauksen:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä logaritmeilla

Esimerkki 1 Laske: lg2 + lg50.
Ratkaisu. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Käytimme logaritmien summan kaavaa (5) ja desimaalilogaritmin määritelmää.

Esimerkki 2 Laske: lg125/lg5.
Ratkaisu. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Käytimme uutta kantasiirtymäkaavaa (8).

Taulukko logaritmiin liittyvistä kaavoista

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

(kreikan kielestä λόγος - "sana", "suhde" ja ἀριθμός - "luku") b syystä a(log α b) kutsutaan sellaiseksi numeroksi c, Ja b= a c, eli log α b=c Ja b=ac ovat samanarvoisia. Logaritmi on järkevä, jos a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Toisin sanoen logaritmi numeroita b syystä A muotoiltu eksponenttiksi, johon luku on nostettava a saadaksesi numeron b(logaritmi on olemassa vain positiivisille luvuille).

Tästä formulaatiosta seuraa, että laskenta x= log α b, vastaa yhtälön a x =b ratkaisemista.

Esimerkiksi:

log 2 8 = 3, koska 8 = 2 3 .

Huomaa, että ilmoitettu logaritmin muotoilu mahdollistaa sen määrittämisen välittömästi logaritmin arvo kun logaritmin etumerkin alla oleva luku on kantaluvun tietty potenssi. Itse asiassa logaritmin muotoilu mahdollistaa sen, että jos b=a c, sitten luvun logaritmi b syystä a on yhtä suuri Kanssa. On myös selvää, että logaritmin aihe liittyy läheisesti aiheeseen numeron aste.

Tässä viitataan logaritmin laskemiseen logaritmi. Logaritmi on logaritmin ottamisen matemaattinen operaatio. Kun otetaan logaritmi, tekijöiden tulot muunnetaan termien summiksi.

Tehostaminen on logaritmille käänteinen matemaattinen operaatio. Potentioinnissa annettu kanta nostetaan sen lausekkeen potenssiin, jolla potentioiminen suoritetaan. Tässä tapauksessa termien summat muunnetaan tekijöiden tuloksi.

Melko usein käytetään reaalilogaritmeja, joiden kanta on 2 (binääri), e Eulerin luku e ≈ 2,718 (luonnollinen logaritmi) ja 10 (desimaali).

Tässä vaiheessa sitä kannattaa harkita logaritmien näytteitä loki 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Ja merkinnöillä lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ei ole järkeä, koska ensimmäisessä niistä sijoitetaan negatiivinen luku logaritmin etumerkin alle, toisessa - negatiivinen luku kanta, ja kolmannessa - ja negatiivinen luku logaritmin ja kantayksikön merkin alla.

Edellytykset logaritmin määrittämiselle.

Ehtoja a > 0, a ≠ 1, b > 0 kannattaa tarkastella erikseen. logaritmin määritelmä. Pohditaan, miksi nämä rajoitukset otetaan käyttöön. Tämä auttaa meitä yhtälössä muodossa x = log α b, jota kutsutaan logaritmiksi perusidentiteetiksi, mikä seuraa suoraan edellä annetusta logaritmin määritelmästä.

Ota ehto a≠1. Koska yksi on yhtä suuri kuin yksi mille tahansa potenssille, yhtälö x=log α b voi olla olemassa vain silloin, kun b = 1, mutta log 1 1 on mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden poistamiseksi otamme a≠1.

Todistakaamme ehdon tarpeellisuus a>0. klo a = 0 logaritmin muotoilun mukaan voi olla olemassa vain, kun b = 0. Ja sitten sen mukaan loki 0 0 voi olla mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku, koska nollasta mihin tahansa nollasta poikkeavaan potenssiin on nolla. Tämän epäselvyyden poistamiseksi ehto a≠0. Ja milloin a<0 joudumme hylkäämään logaritmin rationaalisten ja irrationaalisten arvojen analyysin, koska eksponentti rationaalisella ja irrationaalisella eksponentilla määritellään vain ei-negatiivisille kantajille. Tästä syystä ehto a>0.

Ja viimeinen ehto b>0 seuraa eriarvoisuudesta a>0, koska x = log α b, ja tutkinnon arvo, jolla on positiivinen kanta a aina positiivinen.

Logaritmien ominaisuudet.

Logaritmit ominaista erottuva ominaisuudet, mikä johti niiden laajaan käyttöön helpottaen huomattavasti huolellisia laskelmia. Siirtymisessä "logaritmien maailmaan" kertolasku muuttuu paljon helpommaksi yhteenlaskuksi, jako vähennykseksi ja potenssiin nostaminen ja juuren ottaminen muuttuvat kertoimeksi ja jakoksi eksponentin avulla.

Skotlantilainen matemaatikko John Napier julkaisi logaritmien muotoilun ja niiden arvojen taulukon (trigonometrisille funktioille) ensimmäisen kerran vuonna 1614. Muiden tutkijoiden suurentamia ja yksityiskohtaisia ​​logaritmisia taulukoita käytettiin laajalti tieteellisissä ja teknisissä laskelmissa, ja ne säilyivät merkityksellisinä, kunnes elektronisia laskimia ja tietokoneita alettiin käyttää.

Tänään puhumme aiheesta logaritmikaavat ja antaa esittelyn ratkaisuesimerkkejä.

Ne merkitsevät itsessään ratkaisukuvioita logaritmien perusominaisuuksien mukaisesti. Ennen kuin käytät logaritmikaavoja ratkaisuun, muistamme ensin kaikki ominaisuudet:

Nyt näytämme näiden kaavojen (ominaisuuksien) perusteella esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta kaavojen perusteella.

Logaritmi positiivinen luku b kannassa a (merkitty log a b) on eksponentti, johon a on nostettava, jotta saadaan b, kun b > 0, a > 0 ja 1.

Määritelmän mukaan log a b = x, mikä vastaa a x = b, joten log a a x = x.

Logaritmit, esimerkkejä:

log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8

loki 7 49 = 2, koska 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, koska 5-1 = 1/5

Desimaalilogaritmi on tavallinen logaritmi, jonka kanta on 10. Merkitään lg.

log 10 100 = 2, koska 10 2 = 100

luonnollinen logaritmi- myös tavallinen logaritmilogaritmi, mutta kantaluvulla e (e \u003d 2,71828 ... - irrationaalinen luku). Kutsutaan nimellä ln.

Logaritmien kaavat tai ominaisuudet on hyvä muistaa, koska niitä tarvitaan myöhemmin ratkottaessa logaritmeja, logaritmisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä. Käydään jokainen kaava läpi uudelleen esimerkkien avulla.

• Peruslogaritminen identiteetti
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Tuloksen logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien summa
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Logaritmiskelpoisen luvun asteen ja logaritmin kannan ominaisuudet

  Logaritmiluvun eksponentti log a b m = mlog a b

  Logaritmin kantaluvun eksponentti log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jos m = n, saadaan log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Siirtyminen uudelle perustalle
  log a b = log c b / log c a,

  jos c = b, saadaan log b b = 1

  sitten log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kuten näet, logaritmikaavat eivät ole niin monimutkaisia ​​kuin miltä ne näyttävät. Nyt, kun olemme tarkastelleet esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta, voimme siirtyä logaritmiin yhtälöihin. Tarkastelemme esimerkkejä logaritmisen yhtälöiden ratkaisemisesta yksityiskohtaisemmin artikkelissa: "". Älä missaa!

Jos sinulla on kysyttävää ratkaisusta, kirjoita ne artikkelin kommentteihin.

Huomaa: päätin hankkia toisen luokan koulutuksen ulkomailla vaihtoehtona.