Pienoiskokoinen ja melko yksinkertainen tehtävä, joka toimii pelastusköydenä kelluvalle opiskelijalle. Luonnossa heinäkuun puolivälin uninen valtakunta, joten on aika asettua kannettavan tietokoneen kanssa rannalle. Varhain aamulla soi auringonsäde teoriasta, joka keskittyi pian käytäntöön, joka julistetusta keveydestä huolimatta sisältää lasinsirpaleita hiekassa. Tältä osin suosittelen harkitsemaan tunnollisesti muutamia esimerkkejä tältä sivulta. Käytännön tehtävien ratkaisemiseksi sinun on kyettävä löytää johdannaisia ja ymmärtää artikkelin materiaalin Funktion monotonisuuden ja äärimmäisyyden intervallit.

Ensinnäkin lyhyesti pääasiasta. Oppitunnilla aiheesta toiminnan jatkuvuus Annoin jatkuvuuden määritelmän pisteessä ja jatkuvuuden intervallissa. Toiminnon esimerkinomainen käyttäytyminen segmentillä on muotoiltu samalla tavalla. Funktio on jatkuva segmentillä, jos:

1) se on jatkuva aikavälillä ;
2) jatkuva pisteessä oikealla ja pisteessä vasemmalle.

Toisessa kappaleessa käsitellään ns yksipuolinen jatkuvuus toimii jossain pisteessä. Sen määrittelyyn on useita lähestymistapoja, mutta pysyn aiemmin alkaneessa linjassa:

Funktio on jatkuva pisteessä oikealla, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen oikeanpuoleinen raja on sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä: . Se on jatkuvaa pisteessä vasemmalle, jos se on määritelty tietyssä pisteessä ja sen vasen raja on sama kuin arvo kyseisessä pisteessä:

Kuvittele, että vihreät pisteet ovat nauloja, joihin maaginen kuminauha on kiinnitetty:

Ota henkisesti punainen viiva käsiisi. Ilmeisesti riippumatta siitä, kuinka pitkälle venytetään kuvaajaa ylös ja alas (akselia pitkin), funktio pysyy silti rajoitettu- pensas ylhäällä, pensas alla ja tuotteemme laiduntaa aitauksessa. Tällä tavalla, segmentillä jatkuva funktio rajoittuu siihen. Matemaattisen analyysin aikana tämä näennäisesti yksinkertainen tosiasia todetaan ja todistetaan tiukasti Weierstrassin ensimmäinen lause.…Monet ovat ärsyyntyneitä siitä, että alkeellisia väitteitä perustellaan ikävästi matematiikassa, mutta tällä on tärkeä merkitys. Oletetaan, että tietty froteekeskiajan asukas veti kaavion taivaalle näkyvyyden rajojen yli, ja tämä lisättiin. Ennen kaukoputken keksintöä rajallinen toiminta avaruudessa ei ollut ollenkaan ilmeinen! Todellakin, mistä tiedät, mikä meitä odottaa horisontin takana? Loppujen lopuksi maata pidettiin joskus litteänä, joten nykyään tavallinen teleportaatiokin vaatii todisteita =)

Mukaan toinen Weierstrassin lause, jatkuva segmentillätoiminto saavuttaa sen tarkka yläreuna ja hänen tarkka alareuna .

Numeroon myös soitetaan segmentin funktion enimmäisarvo ja merkitty , ja numerolla - funktion vähimmäisarvo välissä varoituksen kanssa.

Meidän tapauksessamme:

Merkintä : teoriassa tietueet ovat yleisiä .

Karkeasti sanottuna suurin arvo sijaitsee siellä, missä kaavion korkein piste on, ja pienin - missä alin piste.

Tärkeä! Kuten artikkelissa jo todettiin funktion ääripää, funktion suurin arvo ja pienin funktion arvo – EI OLE SAMA, mitä toiminto maksimi ja funktion minimi. Joten tässä esimerkissä luku on funktion minimi, mutta ei minimiarvo.

Muuten, mitä tapahtuu segmentin ulkopuolella? Kyllä, edes tulva, kyseessä olevan ongelman yhteydessä, tämä ei kiinnosta meitä ollenkaan. Tehtävä sisältää vain kahden luvun etsimisen ja siinä se!

Lisäksi ratkaisu on puhtaasti analyyttinen, joten ei tarvitse piirtää!

Algoritmi on pinnalla ja ehdottaa itseään yllä olevasta kuvasta:

1) Etsi funktion arvot kriittiset kohdat, jotka kuuluvat tähän segmenttiin.

Ota vielä yksi herkku: ääripään riittävää kuntoa ei tarvitse tarkistaa, koska, kuten juuri näytettiin, minimi- tai maksimiarvo ei vielä taattu mikä on pienin tai suurin arvo. Esittelyfunktio saavuttaa maksiminsa ja kohtalon tahdosta sama luku on funktion suurin arvo välillä . Mutta tällaista sattumaa ei tietenkään aina tapahdu.

Joten ensimmäisessä vaiheessa on nopeampaa ja helpompaa laskea funktion arvot segmenttiin kuuluvissa kriittisissä pisteissä välittämättä siitä, onko niissä äärimmäisiä vai ei.

2) Laskemme funktion arvot segmentin päissä.

3) Valitse 1. ja 2. kappaleen funktion arvoista pienin ja suurin luku, kirjoita vastaus muistiin.

Istuumme sinisen meren rannalla ja lyömme kantapäät matalassa vedessä:

Esimerkki 1

Etsi segmentin funktion suurin ja pienin arvo

Ratkaisu:
1) Laske funktion arvot kriittisissä pisteissä, jotka kuuluvat tähän segmenttiin:

Lasketaan funktion arvo toisessa kriittisessä pisteessä:

2) Laske funktion arvot segmentin päissä:

3) "Rasva"-tulokset saatiin eksponentiaaleilla ja logaritmeilla, mikä vaikeuttaa merkittävästi niiden vertailua. Tästä syystä aseistamme itsemme laskimella tai Excelillä ja laskemme likimääräiset arvot unohtamatta, että:

Nyt kaikki on selvää.

Vastaus:

Murto-rationaalinen ilmentymä itsenäiselle ratkaisulle:

Esimerkki 6

Etsi segmentin funktion enimmäis- ja minimiarvot

Käytännön näkökulmasta mielenkiintoisinta on derivaatan käyttö funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi. Mihin se liittyy? Voittojen maksimoiminen, kustannusten minimoiminen, laitteiden optimaalisen kuormituksen määrittäminen... Toisin sanoen monilla elämänalueilla on ratkaistava joidenkin parametrien optimointi. Ja tämä on funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelma.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa etsitään yleensä joltain väliltä X, joka on joko funktion koko alue tai osa aluetta. Itse väli X voi olla jana, avoin väli , ääretön intervalli.

Tässä artikkelissa puhumme yhden muuttujan y=f(x) eksplisiittisesti annetun funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisestä.

Sivulla navigointi.

Funktion suurin ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Pysähdytään lyhyesti tärkeimpiin määritelmiin.

Funktion suurin arvo , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Funktion pienin arvo y=f(x) välissä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) arvo, joka on hyväksytty tarkasteluvälillä abskissalla.

Kiinteät pisteet ovat argumentin arvoja, joissa funktion derivaatta häviää.

Miksi tarvitsemme kiinteitä pisteitä, kun etsimme suurimpia ja pienimpiä arvoja? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos differentioituvalla funktiolla on jossain pisteessä ääriarvo (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), tämä piste on stationäärinen. Siten funktio ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X jossakin kiinteässä pisteessä tästä intervallista.

Lisäksi funktio voi usein saada suurimmat ja pienimmät arvot pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja itse funktio on määritelty.

Vastataan heti yhteen tämän aiheen yleisimmistä kysymyksistä: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei ei aina. Joskus välin X rajat osuvat yhteen funktion alueen rajojen kanssa tai väli X on ääretön. Ja jotkut funktiot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat ottaa sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia - ja paljon tulee selväksi.

Segmentillä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvon janan sisällä olevista kiinteistä pisteistä [-6;6] .

Harkitse toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Muuta segmentiksi . Tässä esimerkissä funktion pienin arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin - pisteessä, jonka abskissa vastaa välin oikeaa rajaa.

Kuvassa 3 janan [-3; 2] rajapisteet ovat funktion suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden abskissoja.

Avoimella alueella

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvot kiinteässä pisteessä avoimen intervallin (-6;6) sisällä.

Intervallilla ei voi tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

äärettömyydessä

Seitsemännessä kuvassa esitetyssä esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y ) kiinteässä pisteessä, jonka abskissa x=1 , ja pienin arvo (min y ) saavutetaan intervallin oikealla rajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 .

Intervallilla funktio ei saavuta pienintä tai suurinta arvoa. Kun x=2 suuntautuu oikealle, funktioarvot pyrkivät miinus äärettömyyteen (suora x=2 on pystysuora asymptootti), ja kun abskissa pyrkii plus äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 . Tämän esimerkin graafinen esitys näkyy kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi segmentiltä .

Kirjoitamme algoritmin, jonka avulla voimme löytää segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon.

1. Etsimme funktion toimialueen ja tarkistamme, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaisia ​​pisteitä esiintyy funktioissa, joissa on argumentti moduulimerkin alla ja potenssifunktioissa, joissa on murto-rationaalinen eksponentti). Jos tällaisia ​​pisteitä ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritämme kaikki kiinteät pisteet, jotka kuuluvat segmenttiin. Tätä varten vertaamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan vaiheeseen.
4. Laskemme funktion arvot valituissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on), pisteissä, joissa ensimmäistä derivaattia ei ole (jos sellainen on), sekä myös kohdissa x=a ja x=b .
5. Valitsemme saaduista funktion arvoista suurimman ja pienimmän - ne ovat funktion halutut enimmäisarvot ja pienimmät arvot.

Analysoidaan algoritmia, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä löytääksemme segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot.

Esimerkki.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

• segmentillä;
• välillä [-4;-1] .

Ratkaisu.

Toimintoalue on koko joukko reaalilukuja, paitsi nolla, eli . Molemmat segmentit kuuluvat määritelmän piiriin.

Löydämme funktion derivaatan suhteessa:

Ilmeisesti funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4;-1] .

Kiinteät pisteet määritetään yhtälöstä . Ainoa todellinen juuri on x=2 . Tämä paikallaan oleva piste putoaa ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa laskemme funktion arvot janan päissä ja paikallaan olevassa pisteessä, eli kohdissa x=1, x=2 ja x=4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan kohdassa x=1 ja pienin arvo – kohdassa x=2.

Toisessa tapauksessa laskemme funktion arvot vain janan [-4;-1] päissä (koska se ei sisällä kiinteitä pisteitä):

Ratkaisu.

Aloitetaan toiminnon laajuudesta. Neliötrinomi murtoluvun nimittäjästä ei saa kadota:

On helppo tarkistaa, että kaikki ongelman tilasta tulevat intervallit kuuluvat funktion alueeseen.

Erotetaan funktio:

On selvää, että johdannainen on olemassa koko funktion alueella.

Etsitään paikallaan olevia pisteitä. Johdannainen katoaa . Tämä liikkumaton piste osuu väliin (-3;1] ja (-3;2).

Ja nyt voit verrata kussakin pisteessä saatuja tuloksia funktion kuvaajaan. Siniset katkoviivat osoittavat asymptootteja.

Tämä voi päättyä funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseen. Tässä artikkelissa käsiteltyjen algoritmien avulla voit saada tuloksia mahdollisimman vähällä toimenpiteellä. Voi kuitenkin olla hyödyllistä määrittää ensin funktion kasvu- ja laskuvälit ja vasta sen jälkeen tehdä johtopäätökset funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta millä tahansa aikavälillä. Tämä antaa selkeämmän kuvan ja tiukan perustelun tuloksille.

Ongelmalause 2:

Annettu funktio, joka on määritelty ja jatkuva jollain aikavälillä . On löydettävä funktion suurin (pienin) arvo tällä aikavälillä.

Teoreettinen perusta.
Lause (toinen Weierstrassin lause):

Jos funktio on määritelty ja jatkuva suljetulla aikavälillä, se saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa tällä välillä.

Funktio voi saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa joko intervallin sisäisissä pisteissä tai sen rajoilla. Havainnollistetaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot.

Selitys:
1) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa intervallin vasemmalla reunalla pisteessä ja minimiarvonsa intervallin oikealla reunalla pisteessä .
2) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä (tämä on maksimipiste) ja minimiarvonsa intervallin oikealla rajalla pisteessä.
3) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa intervallin vasemmalla reunalla pisteessä ja minimiarvonsa pisteessä (tämä on minimipiste).
4) Funktio on vakio välissä, ts. se saavuttaa minimi- ja maksimiarvonsa missä tahansa välin kohdassa, ja minimi- ja maksimiarvot ovat samat.
5) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä ja minimiarvonsa pisteessä (huolimatta siitä, että funktiolla on sekä maksimi että minimi tällä välillä).
6) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä (tämä on maksimipiste) ja minimiarvonsa pisteessä (tämä on minimipiste).
Kommentti:

"Maksimi" ja "maksimiarvo" ovat eri asioita. Tämä seuraa maksimin määritelmästä ja lauseen "maksimiarvo" intuitiivisesta ymmärtämisestä.

Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi 2.



4) Valitse saaduista arvoista suurin (pienin) ja kirjoita vastaus muistiin.

Esimerkki 4:

Määritä funktion suurin ja pienin arvo segmentillä.
Ratkaisu:
1) Etsi funktion derivaatta.

2) Etsi stationaariset pisteet (ja pisteet, jotka epäilevät ääripäätä) ratkaisemalla yhtälö . Kiinnitä huomiota pisteisiin, joissa ei ole kaksipuolista äärellistä derivaatta.

3) Laske funktion arvot kiinteissä pisteissä ja intervallin rajoilla.

4) Valitse saaduista arvoista suurin (pienin) ja kirjoita vastaus muistiin.

Tämän janan funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä, jossa on koordinaatit.

Tämän janan funktio saavuttaa minimiarvonsa pisteessä, jossa on koordinaatit.

Voit tarkistaa laskelmien oikeellisuuden katsomalla tutkittavan funktion kaaviota.


Kommentti: Funktio saavuttaa maksimiarvonsa maksimipisteessä ja minimiarvon janan rajalla.

Erikoistapaus.

Oletetaan, että haluat löytää jonkin segmentin funktion enimmäis- ja vähimmäisarvon. Algoritmin ensimmäisen kappaleen suorittamisen jälkeen, ts. johdannaista laskettaessa käy selväksi, että esimerkiksi se ottaa vain negatiiviset arvot koko tarkasteltavasta segmentistä. Muista, että jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva. Huomasimme, että funktio pienenee koko aikavälillä. Tämä tilanne on esitetty artikkelin alussa olevassa kaaviossa nro 1.

Toiminto pienenee intervalliin, ts. sillä ei ole ääripisteitä. Kuvasta näkyy, että funktio ottaa pienimmän arvon segmentin oikealta reunalta ja suurimman arvon vasemmalta. jos intervallin derivaatta on kaikkialla positiivinen, funktio kasvaa. Pienin arvo on segmentin vasemmalla reunalla, suurin on oikealla.

Usein on tarpeen ratkaista ongelmia, joissa on tarpeen löytää suurin tai pienin arvo niiden arvojen joukosta, jonka funktio ottaa segmentille.

Käännytään esimerkiksi janan [-1; 2]. Toimiaksemme funktion kanssa meidän on piirrettävä sen kaavio.

Rakennetusta graafista voidaan nähdä, että funktio saa suurimman arvon tällä segmentillä, joka on yhtä suuri kuin 2, pisteistä: x = -1 ja x = 1; pienin arvo, joka on yhtä suuri kuin -7, funktio saa x = 2.

Piste x \u003d 0 on funktion f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 minimipiste. Tämä tarkoittaa, että on olemassa pisteen x \u003d 0 lähialue, esimerkiksi väli (-1/2; 1/2) - siten, että tässä ympäristössä funktio saa pienimmän arvon kohdassa x \u003d 0. suuremmalla aikavälillä, esimerkiksi segmentillä [ -one; 2], funktio ottaa pienimmän arvon janan lopussa, ei minimipisteessä.

Siten funktion pienimmän arvon löytämiseksi tietyltä segmentiltä on tarpeen verrata sen arvoja segmentin päissä ja minimipisteissä.

Yleisesti oletetaan, että funktio f(x) on jatkuva janalla ja että funktiolla on derivaatta jokaisessa segmentin sisäpisteessä.

Segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi on välttämätöntä:

1) etsi funktion arvot segmentin päistä, ts. numerot f(a) ja f(b);

2) löytää funktion arvot kiinteässä pisteessä, jotka kuuluvat väliin (a; b);

3) valitse löydetyistä arvoista suurin ja pienin.

Sovelletaan hankittua tietoa käytännössä ja pohditaan ongelmaa.

Etsi segmentin funktion f (x) \u003d x 3 + x / 3 suurin ja pienin arvo.

Ratkaisu.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

Väli (1/2; 2) sisältää yhden kiinteän pisteen x 1 = 1, f(1) = 4.

3) Lukuista 6 1/8, 9 ½ ja 4 suurin on 9 ½, pienin on 4.

Vastaus. Suurin piirteen arvo on 9 ½, pienin ominaisuuden arvo on 4.

Usein tehtäviä ratkaistaessa on tarpeen löytää funktion suurin ja pienin arvo ei segmentiltä, ​​vaan väliltä.

Käytännön tehtävissä funktiolla f(x) on tavallisesti vain yksi kiinteä piste tietyllä intervallilla: joko maksimipiste tai minimipiste. Näissä tapauksissa funktio f(x) saa suurimman arvon tietyllä aikavälillä maksimipisteessä ja minimipisteessä pienimmän arvon tässä välissä. Käännytään ongelmaan.

Luku 36 kirjoitetaan kahden positiivisen luvun tulona, ​​joiden summa on pienin.

Ratkaisu.

1) Olkoon ensimmäinen tekijä x, sitten toinen tekijä on 36/x.

2) Näiden lukujen summa on x + 36/x.

3) Tehtävän ehtojen mukaan x on positiivinen luku. Joten ongelma pelkistetään x:n arvon löytämiseen siten, että funktio f (x) \u003d x + 36 / x ottaa pienimmän arvon välillä x > 0.

4) Etsi derivaatta: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) Kiinteät pisteet x 1 = 6, x 2 = -6. Välillä x > 0 on vain yksi kiinteä piste x = 6. Pisteen x = 6 läpi kulkiessaan derivaatta muuttaa merkin “–” merkiksi “+”, joten x = 6 on minimipiste. Näin ollen funktio f(x) = x + 36/x saa pienimmän arvon välillä x > 0 pisteessä x = 6 (tämä on arvo f(6) = 12).

Vastaus. 36 = 6 ∙ 6.

Kun ratkaistaan ​​joitain ongelmia, joissa on tarpeen löytää funktion suurin ja pienin arvo, on hyödyllistä käyttää seuraavaa lausetta:

jos funktion f(x) arvot jollain välillä ovat ei-negatiivisia, niin tämä funktio ja funktio (f(x)) n , jossa n on luonnollinen luku, ottavat suurimman (pienimmän) arvon sama kohta.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.