Opetusta ilman pakottamista

(Opas matematiikan kiehtovaan maailmaan)

Matematiikkaa pitää jo silloin opettaa, että se laittaa mielen järjestykseen. (M.V. Lomonosov)

Joten miten opit matematiikkaa?

Tämä kysymys kiinnostaa monia.

Ensimmäinen askel on sulkea umpeen menneisyyden aukot. Jos missasit (et ymmärtänyt, et opiskellut periaatteessa jne.) mitään aihetta, ennemmin tai myöhemmin astut ehdottomasti tämän haravan päälle. Klassisella tuloksella... Näin matematiikka toimii.

Opitpa uutta aihetta tai palaat vanhaan, hallitse matemaattiset määritelmät ja termit! Kiinnitä huomiota, en sano - "opi", mutta sanon "mestari". Nämä ovat eri asioita. Sinun on ymmärrettävä esimerkiksi mikä on nimittäjä, erottaja tai arcsini yksinkertaisella, jopa primitiivisellä tasolla. Mikä se on, miksi sitä tarvitaan ja kuinka käsitellä sitä. Elämästä tulee helpompaa.

Jos kysyn, kuinka tiheän rajoitetun ympäristön siirtymälaitetta käytetään, tuntuu epämukavalta vastata, eikö niin? Ja jos ymmärrät, että tämä laite on tavallinen ovi? Se on itse asiassa vähän hauskempaa.

Ja tietysti sinun on päätettävä. Jos et tiedä miten päättää, ei hätää. Pitää yrittää ja yrittää. Kaikki kerran eivät tienneet miten. Mutta ne, jotka yrittivät ja yrittivät, vaikkakin väärin, virhein, tietävät nyt kuinka ratkaista. Ja joka ei yrittänyt, ei opiskellut - hän ei koskaan oppinut.

Tässä ovat kolme osatekijää vastauksessa kysymykseen: "Kuinka opettaa matematiikkaa?" Poista aukkoja, hallitse termit ymmärrettävällä tasolla ja ratkaise tehtäviä mielekkäästi.

Jos matematiikka näyttää sinulle joidenkin sääntöjen, kaavojen, lausekkeiden viidakosta, jossa on mahdotonta navigoida, lohdutan sinua. Siellä on polkuja ja opastähtiä! Sinä asettut, totut siihen ja alat myös ihailla näitä villiä ...

Koulukurssin matematiikka ei ratkaise monimutkaisia ​​esimerkkejä, koska se ei osaa. Hän osaa hyvin ratkaista jotain, kuten 5x \u003d 10, toisen asteen yhtälön diskriminantin kautta ja saman yksinkertaisen trigonometriasta, logaritmeista jne. Ja kaikki matematiikan voima on tarkoitettu monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen. Tätä varten tarvitaan sääntöjä ja kaavoja erilaisille muunnoksille. Niiden avulla voimme kirjoittaa alkuperäisen ilmaisun meille sopivassa muodossa muuttamatta sen olemusta.

"Matematiikka on taidetta kutsua eri asioita samalla nimellä." (A. Poincare)

Esimerkiksi 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Se on edelleen sama numero 8! Vain tallennettu eri muodoissa. Mikä tyyppi valita - me päätämme! Tehtävän ja maalaisjärjen mukainen.

Matematiikan tärkein opastähti on kyky muuttaa lausekkeita. Melkein mikä tahansa ratkaisu alkaa alkuperäisen lausekkeen muuntamisesta. Sääntöjen ja kaavojen avulla, jotka eivät ole ollenkaan niin järjetön määrä kuin luulet.

Sanomme usein: "Kaikki kaavat toimivat vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle." Oletetaan, että (a + b) melkein kaikki kirjoittavat sen muistiin muodossa a + 2ab + b . Mutta kaikki eivät (valitettavasti) ymmärrä, että x + 2x + 1 voidaan kirjoittaa muodossa (x + 1) . Ja tässä on mitä sinun tulee tietää! Kaavat täytyy tietää henkilökohtaisesti! Osaa tunnistaa ne ovelien opettajien salaamista lausekkeista, tunnistaa kaavojen osia, saattaa ne tarvittaessa valmiiksi.

Lausekkeiden muuntaminen on aluksi hankalaa. Vaatii työvoimaa. Alkuvaiheessa on tarpeen tarkistaa mahdollisuuksien mukaan muunnoksen oikeellisuus käänteisellä muunnolla. Laskettu - kerro takaisin ja tuo samanlaiset. Se osoittautui alkuperäiseksi ilmaisuksi - hurraa! Löytyi yhtälön juuret - korvike alkuperäisestä lausekkeesta. Katso mitä tapahtui. Ja niin edelleen.

Joten kutsun sinut matematiikan ihmeelliseen maailmaan. Ja aloitetaan matkamme tutustumalla murtolukuihin, sillä tämä on ehkä haavoittuvin paikka useimmille koululaisille.

Onnea!

Oppitunti 1.

Murtotyypit. Muutokset.

Joka osaa murtoluvut, hän on vahva, hän on rohkea matematiikassa!

Jakeet ovat kolmenlaisia.

1. Yhteiset jakeet , esimerkiksi: , , , .

Joskus vaakaviivan sijasta he laittavat vinoviivan: 1/2, 3/7, 19/5. Viiva, sekä vaakasuora (vinkulium) että vino (solidus) tarkoittaa samaa toimenpidettä: yläluvun (osoittaja) jakaminen alimmalla numerolla (nimittäjä). Ja siinä se! Viivan sijasta on täysin mahdollista laittaa jakomerkki - kaksi pistettä. 1/2 = 1:2.

Kun jako on täysin mahdollista, se on tehtävä. Joten murto-osan 32/8 sijasta on paljon miellyttävämpää kirjoittaa luku 4. Eli. 32 on yksinkertaisesti jaettu 8:lla. 32/8 = 32: 8 = 4. En puhu murtoluvusta 4/1, joka on myös yhtä kuin 4. Ja jos se ei jaa kokonaan, jätämme sen murto-osa. Joskus on tehtävä päinvastoin. Tee murto-osa kokonaisluvusta. Mutta siitä lisää myöhemmin.

2. Desimaalit esimerkiksi: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. sekalaisia ​​numeroita , esimerkiksi: , , , .

Sekanumeroita ei käytännössä käytetä lukiossa. Niiden kanssa työskentelyä varten ne on muutettava tavallisiksi jakeiksi. Mutta sinun on ehdottomasti osattava tehdä se! Ja sitten tällainen numero törmää tehtävässä ja roikkuu ... Tyhjästä. Mutta muistamme tämän menettelyn!

Yhteiset jakeet ovat monipuolisimpia. Aloitetaan niistä. Muuten, jos murtoluvussa on kaikenlaisia ​​logaritmeja, sinejä ja muita kirjaimia, tämä ei muuta mitään. Siinä mielessä, että kaikki toiminnot murtolukulausekkeilla eivät eroa toiminnoista tavallisilla murtoluvuilla!

Joten mene eteenpäin! Yksi ominaisuus tarjoaa kaikki murto-muunnokset! Niin sitä kutsutaan murto-osan perusominaisuus. Muista: jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan (jaetaan) samalla luvulla, murto-osa ei muutu. Nuo:

Ja me tarvitsemme sitä, kaikki nämä muutokset? - kysyt. Ja miten! Nyt näet itse. Aluksi käytetään murto-osan perusominaisuutta murtolukujen vähentämiseen. Vaikuttaa siltä, ​​että asia on alkeellinen. Jaamme osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla ja se on siinä! On mahdotonta mennä pieleen! Mutta... ihminen on luova olento. Virheitä voi tehdä kaikkialla! Varsinkin jos ei tarvitse pienentää murto-osaa muodosta 5/10, vaan murto-rationaalinen lauseke.

Yleensä opiskelija ei ajattele osoittajan ja nimittäjän jakamista samalla luvulla (tai lausekkeella)! Hän vain ylittää kaiken saman ylhäältä ja alhaalta! Tässä piilee tyypillinen virhe, virhe, jos haluat.

Sinun on esimerkiksi yksinkertaistettava lauseke: .

Mitä olemme tekemässä? Ylitämme tekijän a yläpuolella ja asteen alempana! Saamme: .

Kaikki on oikein. Mutta todella jaoit koko osoittaja ja koko nimittäjä päällä kerroin a. Jos olet tottunut vain yliviivaamaan, voit kiireessä yliviivata a-kirjaimen lausekkeesta ja saada uudelleen. Mikä olisi kategorisesti väärin: anteeksiantamaton virhe. Koska täällä koko osoittaja päällä jo ei jaettu! Tätä osaa ei voida pienentää.

Kun vähennät, sinun on jaettava koko osoittaja ja koko nimittäjä!

Murtolukujen pienentäminen tekee elämästä paljon helpompaa. Saat jostain murto-osan, esimerkiksi 375/1000. Ja kuinka työskennellä hänen kanssaan nyt? Ilman laskinta? Kerro, sano, lisää, neliö!? Ja jos et ole liian laiska, vähennä varovasti viidellä ja jopa viidellä ja jopa ... samalla kun sitä pienennetään. Saamme 3/8! Paljon mukavampaa, eikö?

Murtoluvun pääominaisuus antaa sinun muuntaa tavalliset murtoluvut desimaaleiksi ja päinvastoin ilman laskinta! Se on tärkeää CT:ssä, eikö?

Se on helppoa desimaalien kanssa. Kuten kuullaan, niin kirjoitetaan! Oletetaan 0,25. Se on nollapiste, kaksikymmentäviisi sadasosaa. Joten kirjoitamme: 25/100. Vähennämme (jaa osoittaja ja nimittäjä 25:llä), saamme tavallisen murtoluvun: 1/4. Kaikki. Sitä tapahtuu, eikä mikään vähene. Esimerkiksi 0,3. Tämä on kolme kymmenesosaa, ts. 3/10.

Entä jos kokonaisluvut eivät ole nollia? Se on okei. Kirjoitamme koko murto-osan ilman pilkkuja osoittajaan ja nimittäjään - mitä kuullaan. Esimerkiksi: 3.17. Tämä on kolme kokonaista, seitsemäntoista sadasosaa. Kirjoitamme osoittajaan 317 ja nimittäjään 100. Saamme 317/100. Mitään ei vähennetä, se tarkoittaa kaikkea. Tämä on vastaus. Kaikesta yllä olevasta hyödyllinen johtopäätös: Mikä tahansa desimaaliluku voidaan muuntaa yhteiseksi murtoluvuksi.

Mutta käänteinen muunnos, tavallisesta desimaaliin, ei tule toimeen ilman laskinta. Mutta sinun täytyy! Miten aiot kirjoittaa vastauksen? Luemme huolellisesti ja hallitsemme tämän prosessin.

Mikä on desimaaliluku? Hänen nimittäjänsä on aina 10 tai 100 tai 1000 tai 10 000 ja niin edelleen. Jos yhteisellä murtoluvullasi on tällainen nimittäjä, ei ole ongelmaa. Esimerkiksi 4/10 = 0,4. Tai 7/100 = 0,07. Tai 12/10 = 1,2. Entä jos tulos on 1/2? Ja vastaus on kirjoitettava desimaalilla ...

Me muistamme murto-osan perusominaisuus! Matematiikan avulla voit kertoa osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla. Muuten kenelle tahansa! Paitsi tietysti nolla. Hyödynnetään tätä ominaisuutta hyödyksemme! Millä nimittäjä voidaan kertoa, ts. 2 niin, että siitä tulee 10, 100 tai 1000 (pienempi on tietysti parempi...)? 5, ilmeisesti. Voit vapaasti kertoa nimittäjä viidellä. Mutta silloin on myös osoittaja kerrottava viidellä. Saamme 1/2 = 0,5. Siinä kaikki.

Nimittäjät voivat kuitenkin olla erilaisia. Esimerkiksi murto-osa 3/16. Sitten voit yksinkertaisesti jakaa 3:lla 16:lla. Laskin puuttuessa joudut jakamaan kulmalla, kuten perusluokilla opetettiin. Saamme 0,1875.

Ja on joitakin erittäin huonoja nimittäjiä. Esimerkiksi murto-osaa 1/3 ei voi muuttaa hyväksi desimaaliksi. Ja laskimella ja kulmalla jaettuna saamme 0,3333333 ... Tästä syystä vielä yksi hyödyllinen johtopäätös. Jokainen yhteinen murtoluku ei muunna desimaaliksi!

Eli tavalliset ja desimaaliluvut lajiteltuina. On vielä käsiteltävä sekalukuja. Niiden kanssa työskentelyä varten ne on muutettava tavallisiksi jakeiksi. Kuinka tehdä se? Voit ottaa viidesluokkalaisen kiinni ja kysyä häneltä. Mutta ei aina viidesluokkalainen ole lähellä ... Sinun on tehtävä se itse. Tämä ei ole vaikeaa. Kerro murto-osan nimittäjä kokonaisluvulla ja lisää murto-osan osoittaja. Tämä on yhteisen murtoluvun osoittaja. Entä nimittäjä? Nimittäjä pysyy samana. Se kuulostaa monimutkaiselta, mutta itse asiassa se on melko yksinkertainen. Katsotaanpa esimerkkiä.

Oletetaan, että näit tehtävässä kauhistuneen numeron:

Riitelemme rauhallisesti, ilman paniikkia. Koko osa on 1. Yksi. Murto-osa on 3/7. Siksi murto-osan nimittäjä on 7. Tämä nimittäjä on tavallisen murtoluvun nimittäjä. Harkitse: osoittaja. Kerrotaan 7 yhdellä (kokonaislukuosa) ja lisätään 3 (murto-osan osoittaja). Saamme 10. Tämä on tavallisen murtoluvun osoittaja. Siinä kaikki. Se näyttää vielä yksinkertaisemmalta matemaattisessa merkinnässä:

Helposti? Varmista sitten menestyksesi! Muunna nämä sekaluvut , , yhteisiksi murtoluvuiksi. Sinun pitäisi saada 10/3, 23/10 ja 21/4.

No melkein kaikki. Muistat murtotyypit ja ymmärsit kuinka kääntää ne tyypistä toiseen. Kysymys jää: miksi tehdä näin? Missä ja milloin tätä syvällistä tietoa kannattaa soveltaa?

Jokainen esimerkki itsessään ehdottaa tarpeellisia toimia. Jos esimerkissä tavalliset murtoluvut, desimaalit ja jopa sekaluvut sekoitetaan nippuun, käännetään kaikki tavallisiksi murtoluvuiksi. Se voidaan aina tehdä. No, jos se on kirjoitettu esimerkiksi 0,8 + 0,3, niin ajattelemme niin ilman käännöstä. Miksi tarvitsemme lisätyötä? Valitsemme ratkaisutavan mikä on meille kätevä!

Jos tehtävä on täynnä desimaalimurtolukuja, mutta hm... joitain pelottavia, mene tavallisiin, kokeile sitä! Ehkä kaikki järjestyy. Esimerkiksi luku 0,125 on neliöitävä. Ei niin helppoa, jos et ole menettänyt tapaasi käyttää laskimen! Sinun ei tarvitse vain kertoa sarakkeen numeroita, vaan myös miettiä, mihin pilkku lisätään! Se ei todellakaan toimi mielessäni! Ja jos menet tavalliseen murto-osaan? 0,125 = 125/1000. Vähennämme viidellä (tämä on aloitus). Saamme 25/200. Jälleen kerran 5. Saamme 5/40. Vielä kutistuu! Takaisin 5:een! Saamme 1/8. Neliöidy helposti (mielessäsi!) ja saat 1/64. Kaikki!

Tehdään yhteenveto oppitunnistamme.

1. Murtolukuja on kolmenlaisia: tavalliset, desimaaliluvut ja sekaluvut.

2. Desimaalit ja sekaluvut voidaan aina muuntaa yhteisiksi murtoluvuiksi. Käänteinen siirto ei ole aina mahdollista.

3. Tehtävän kanssa työskentelyyn tarkoitettujen murtolukutyyppien valinta riippuu juuri tästä tehtävästä. Jos yhdessä tehtävässä on erityyppisiä murtolukuja, on luotettavinta vaihtaa tavallisiin murtolukuihin.

Käytännön vinkkejä:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus! Nämä eivät ole yleisiä sanoja, eivät hyviä toiveita! Tämä on kova tarve! On parempi kirjoittaa luonnokseen kaksi ylimääräistä riviä kuin tehdä virhe laskettaessa päässäsi.

2. Esimerkeissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja - siirry tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikki murtoluvut loppuun asti.

4. Pelistämme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä kahden pisteen jakoa (noudatamme jakojärjestystä!).

5. Jaamme mielessämme yksikön murto-osaan yksinkertaisesti kääntämällä murto-osan.

Yritä nyt soveltaa teoriaa käytäntöön.

Joten, ratkaistaan ​​se koetilassa! Ratkaisemme esimerkin, tarkistamme, ratkaisemme seuraavat. Päätimme kaiken - tarkistimme uudelleen ensimmäisestä viimeiseen esimerkkiin. Ja sitten katsomme vastauksia.

Päätetty? Etsitkö vastauksia, jotka vastaavat sinun omiasi. Vastaukset on kirjoitettu häiriintyneenä, niin sanotusti poissa kiusauksesta...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Ja nyt teemme johtopäätökset. Jos kaikki toimi - onnea sinulle! Alkeislaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei... Kärsivällisyys ja työ jauhaa kaiken.

Tämän artikkelin materiaali on yleinen katsaus murtolukuja sisältävien lausekkeiden muuntamiseen. Tässä tarkastellaan perusmuunnoksia, jotka ovat ominaisia ​​fraktiolausekkeille.

Sivulla navigointi.

Murtolukulausekkeet ja murtolausekkeet

Aluksi selvennetään, minkälaista ilmaisumuunnosta aiomme käsitellä.

Artikkelin otsikko sisältää itsestään selittävän lauseen " lausekkeet murtoluvuilla". Eli alla puhutaan numeeristen lausekkeiden ja muuttujalausekkeiden muuntamisesta, joiden tietueessa on vähintään yksi murto-osa.

Huomaamme heti, että artikkelin " Murtolukujen muuntaminen: yleinen näkemys" julkaisemisen jälkeen"Emme ole enää kiinnostuneita yksittäisistä jakeista. Tarkastellaan siis edelleen summia, eroja, tuloja, osittaisia ​​ja monimutkaisempia lausekkeita, joissa on juurit, potenssit, logaritmit, joita yhdistää vain vähintään yhden murto-osan läsnäolo.

Ja puhutaan murtolausekkeita. Tämä ei ole sama asia kuin murtolukuja sisältävät lausekkeet. Murtolukulausekkeet ovat yleisempi käsite. Jokainen lauseke, jossa on murtolukuja, ei ole murtolukulauseke. Esimerkiksi lauseke ei ole murto-osalauseke, vaikka se sisältääkin murto-osan, se on rationaalinen kokonaislukulauseke. Älä siis kutsu murtolukuja sisältävää lauseketta murtolausekkeeksi ilman, että olet täysin varma, että se on.

Perusidenttiset muunnokset lausekkeista murtolukujen kanssa

Esimerkki.

Yksinkertaista ilmaisu .

Ratkaisu.

Tässä tapauksessa voit avata sulut, jotka antavat lausekkeen , joka sisältää samankaltaisia ​​termejä ja sekä −3 ja 3 . Niiden vähentämisen jälkeen saamme murto-osan.

Esitetään lyhyt muoto ratkaisun kirjoittamiseen:

Vastaus:

.

Työskentely yksittäisten murtolukujen kanssa

Lausekkeet, joista puhumme muuntamalla, eroavat muista lausekkeista pääasiassa murtolukujen läsnäololla. Ja fraktioiden läsnäolo vaatii työkaluja niiden kanssa työskentelemiseen. Tässä kappaleessa käsittelemme tämän lausekkeen tietueeseen sisältyvien yksittäisten murtolukujen muuntamista, ja seuraavassa kappaleessa jatkamme operaatioiden suorittamista murtoluvuilla, jotka muodostavat alkuperäisen lausekkeen.

Millä tahansa murtoluvulla, joka on alkuperäisen lausekkeen komponentti, voit suorittaa minkä tahansa muunnoksen, joka on mainittu artikkelissa Murtolukumuunnos. Eli voit ottaa erillisen murtoluvun, työskennellä sen osoittajan ja nimittäjän kanssa, pienentää sitä, tuoda sen uuteen nimittäjään jne. On selvää, että tällä muunnoksella valittu murto-osa korvataan sen kanssa identtisellä murtoluvulla ja alkuperäinen lauseke korvataan lausekkeella, joka on identtinen sen kanssa. Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki.

Muunna lauseke murtoluvulla yksinkertaisempaan muotoon.

Ratkaisu.

Aloitetaan muunnos työskentelemällä murtoluvulla. Avaa ensin sulut ja anna samanlaiset termit murtoluvun osoittajaan: . Nyt se vaatii yhteisen tekijän x sulkemista osoittajassa ja sitä seuraavaa algebrallisen murtoluvun pienentämistä: . Jää vain korvata saatu tulos murto-osan sijaan alkuperäisessä lausekkeessa, joka antaa .

Vastaus:

.

Toimintojen suorittaminen murtoluvuilla

Osa prosessista, jossa lausekkeet muunnetaan murtoluvuilla, on usein tehtävä toiminnot murtoluvuilla. Ne suoritetaan hyväksytyn toimenpiteiden suorittamismenettelyn mukaisesti. On myös syytä pitää mielessä, että mikä tahansa luku tai lauseke voidaan aina esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1.

Esimerkki.

Yksinkertaista ilmaisu .

Ratkaisu.

Ongelmaa voidaan lähestyä eri näkökulmista. Käsiteltävän aiheen yhteydessä edetään tekemällä toimintoja murtoluvuilla. Aloitetaan kertomalla murtoluvut:

Nyt kirjoitamme tulon murto-osana nimittäjällä 1, jonka jälkeen vähennämme murtoluvut:

Irrationaalisuudesta nimittäjässä voidaan silti päästä eroon haluttaessa ja tarpeen mukaan , jolla voit viimeistellä muutoksen.

Vastaus:

Juurien, potenssien, logaritmien jne. ominaisuuksien soveltaminen.

Murtolukuja sisältävien lausekkeiden luokka on erittäin laaja. Sellaiset lausekkeet voivat itse murtolukujen lisäksi sisältää juuria, eri eksponenttiasteita, moduuleja, logaritmeja, trigonometrisiä funktioita jne. Luonnollisesti niitä muunnettaessa sovelletaan vastaavia ominaisuuksia.

Murtolukuja sovellettaessa kannattaa korostaa murto-osan juuren ominaisuus, murto-osan ominaisuus asteeseen, osamäärän moduulin ominaisuus ja erotuksen logaritmin ominaisuus .

Selvyyden vuoksi annamme muutaman esimerkin. Esimerkiksi lausekkeessa Asteen ominaisuuksien perusteella voi olla hyödyllistä korvata ensimmäinen murto asteella, jolloin voimme edelleen esittää lausekkeen neliöerona. Kun muunnataan logaritminen lauseke on mahdollista korvata murto-osan logaritmi logaritmien erolla, mikä edelleen mahdollistaa samanlaisten termien tuomisen ja siten lausekkeen yksinkertaistamisen: . Trigonometristen lausekkeiden muuntaminen saattaa edellyttää saman kulman sinin ja kosinin välisen suhteen korvaamista tangentilla. On myös mahdollista, että joudut siirtymään puoliargumentista sopivilla kaavoilla koko argumenttiin, jolloin pääset eroon esimerkiksi murto-argumentista. .

Juurien, asteiden jne. ominaisuuksien soveltaminen. ilmaisujen muuntamista käsitellään tarkemmin artikkeleissa:

• Irrationaalisten lausekkeiden muuntaminen juurien ominaisuuksien avulla,
• Lausekkeiden muunnos potenssien ominaisuuksilla,
• Logaritmien lausekkeiden muuntaminen logaritmien ominaisuuksien avulla,
• Trigonometristen lausekkeiden muuntaminen.

Desimaaliluvut, kuten 0,2; 1,05; 3.017 jne. niin kuin niitä kuullaan, niin ne kirjoitetaan. Nolla piste kaksi, saamme murto-osan. Kokonainen viisi sadasosaa, saamme murto-osan. Kolme kokonaista seitsemäntoista tuhannesosaa, saamme murto-osan. Numerot ennen desimaalipistettä desimaaliluvussa ovat murtoluvun kokonaislukuosa. Desimaalipilkun jälkeen oleva luku on tulevan murtoluvun osoittaja. Jos desimaalipilkun jälkeen on yksinumeroinen luku, nimittäjä on 10, jos kaksinumeroinen - 100, kolminumeroinen - 1000 jne. Joitakin tuloksena olevia fraktioita voidaan pienentää. Esimerkeissämme

Murtoluvun muuntaminen desimaaliluvuksi

Tämä on käänteinen edelliselle muutokselle. Mikä on desimaaliluku? Hänen nimittäjänsä on aina 10 tai 100 tai 1000 tai 10 000 ja niin edelleen. Jos tavallisella murtoluvullasi on tällainen nimittäjä, ei ole ongelmaa. Esimerkiksi tai

Jos murto-osa, esimerkiksi . Tässä tapauksessa sinun on käytettävä murtoluvun perusominaisuutta ja muutettava nimittäjä 10:ksi tai 100:ksi tai 1000 ... Esimerkissämme, jos kerromme osoittajan ja nimittäjän 4:llä, saadaan murto, joka voidaan kirjoittaa desimaalilukuna 0,12.

Jotkut murtoluvut on helpompi jakaa kuin muuntaa nimittäjä. Esimerkiksi,

Joitakin murtolukuja ei voi muuntaa desimaaliluvuiksi!
Esimerkiksi,

Sekoitettu murto-osa muunnetaan virheelliseksi

Sekoitettu jae, kuten , muunnetaan helposti vääräksi jakeeksi. Tätä varten sinun on kerrottava kokonaisluvun osa nimittäjällä (alhaalla) ja lisättävä se osoittajaan (ylhäällä), jättäen nimittäjä (alhaalla) ennalleen. Tuo on

Kun muunnat sekafraktiota vääräksi, voit muistaa, että voit käyttää jakeiden lisäämistä

Väärän murtoluvun muuntaminen sekamurtoluvuksi (koko osan korostaminen)

Väärä murto-osa voidaan muuntaa sekamurto-osaksi korostamalla koko osa. Harkitse esimerkkiä, . Määritä kuinka monta kokonaislukukertaa "3" sopii "23":een. Tai jaamme 23:lla 3:lla laskimella, kokonaisluku desimaalipilkuun asti on haluttu. Tämä on "7". Seuraavaksi määritämme tulevan murto-osan osoittajan: kerromme tuloksena olevan "7" nimittäjällä "3" ja vähennämme tuloksen osoittajasta "23". Kuinka löytäisimme osoittajasta "23" jäävän ylimäärän, jos poistaisimme enimmäismäärän "3". Nimittäjä jätetään ennalleen. Kaikki on tehty, kirjoita tulos ylös

Murtoluvut

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Murtoluvut lukiossa eivät ole kovin ärsyttäviä. Toistaiseksi. Kunnes törmäät eksponenteihin, joilla on rationaaliset eksponentit ja logaritmit. Ja siellä…. Painat, painat laskinta, ja se näyttää koko tulostaulukon joistakin numeroista. Sinun täytyy ajatella omalla päällään, kuten kolmannella luokalla.

Käsitellään murtolukuja vihdoinkin! No kuinka paljon niissä voi hämmentyä!? Lisäksi kaikki on yksinkertaista ja loogista. Niin, mitä ovat murtoluvut?

Murtotyypit. Muutokset.

Jakeet ovat kolmenlaisia.

1. Yhteiset jakeet , esimerkiksi:

Joskus vaakaviivan sijasta he laittavat vinoviivan: 1/2, 3/4, 19/5, hyvin ja niin edelleen. Täällä käytämme usein tätä kirjoitusasua. Ylimpään numeroon soitetaan osoittaja, alempi - nimittäjä. Jos sekoitat jatkuvasti näitä nimiä (se tapahtuu ...), kerro itsellesi lause ilmaisulla: " Zzzzz muistaa! Zzzzz nimittäjä - ulos zzzz u!" Katso, kaikki muistetaan.)

Viiva, joka on vaakasuora, mikä on vino, tarkoittaa jako ylänumerosta (osoittaja) alanumeroon (nimittäjä). Ja siinä se! Viivan sijasta on täysin mahdollista laittaa jakomerkki - kaksi pistettä.

Kun jako on täysin mahdollista, se on tehtävä. Joten murto-osan "32/8" sijasta on paljon miellyttävämpää kirjoittaa numero "4". Nuo. 32 on yksinkertaisesti jaettu 8:lla.

32/8 = 32: 8 = 4

En puhu murto-osasta "4/1". Mikä on myös vain "4". Ja jos se ei jaa kokonaan, jätämme sen murto-osaksi. Joskus on tehtävä päinvastoin. Tee murto-osa kokonaisluvusta. Mutta siitä lisää myöhemmin.

2. Desimaalit , esimerkiksi:

Tässä muodossa on tarpeen kirjoittaa tehtävien "B" vastaukset.

3. sekalaisia ​​numeroita , esimerkiksi:

Sekanumeroita ei käytännössä käytetä lukiossa. Niiden kanssa työskentelyä varten ne on muutettava tavallisiksi jakeiksi. Mutta sinun on ehdottomasti osattava tehdä se! Ja sitten tällainen numero törmää palapeliin ja roikkuu ... Tyhjästä. Mutta muistamme tämän menettelyn! Hieman alempana.

Kaikkein monipuolisin yhteisiä murtolukuja. Aloitetaan niistä. Muuten, jos murtoluvussa on kaikenlaisia ​​logaritmeja, sinejä ja muita kirjaimia, tämä ei muuta mitään. Siinä mielessä, että kaikki toiminnot murtolukulausekkeilla eivät eroa toiminnoista tavallisilla murtoluvuilla!

Murtoluvun perusominaisuus.

Mennään siis! Ensinnäkin yllätän sinut. Yksi ominaisuus tarjoaa kaikki murto-muunnokset! Niin sitä kutsutaan murto-osan perusominaisuus. Muistaa: Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan (jaetaan) samalla luvulla, murtoluku ei muutu. Nuo:

On selvää, että voit kirjoittaa pidemmälle, kunnes olet sinisilmäinen. Älä anna sinien ja logaritmien hämmentää sinua, käsittelemme niitä edelleen. Tärkeintä on ymmärtää, että kaikki nämä erilaiset ilmaisut ovat sama murto-osa . 2/3.

Ja me tarvitsemme sitä, kaikki nämä muutokset? Ja miten! Nyt näet itse. Ensin käytetään murto-osan perusominaisuutta for murto-osien lyhenteet. Vaikuttaa siltä, ​​että asia on alkeellinen. Jaamme osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla ja se on siinä! On mahdotonta mennä pieleen! Mutta... ihminen on luova olento. Virheitä voi tehdä kaikkialla! Varsinkin jos sinun ei tarvitse pienentää murtolukua, kuten 5/10, vaan murtolauseke, jossa on kaikenlaisia ​​kirjaimia.

Kuinka murto-osia pienennetään oikein ja nopeasti ilman turhaa työtä, löytyy erityisosasta 555.

Normaali opiskelija ei vaivaudu jakamaan osoittajaa ja nimittäjää samalla luvulla (tai lausekkeella)! Hän vain ylittää kaiken saman ylhäältä ja alhaalta! Tässä piilee tyypillinen virhe, virhe, jos haluat.

Sinun on esimerkiksi yksinkertaistettava lauseke:

Ei ole mitään ajateltavaa, yliviivataan kirjain "a" ylhäältä ja kakkonen alhaalta! Saamme:

Kaikki on oikein. Mutta todella jaoit koko osoittaja ja koko nimittäjä "a". Jos olet tottunut vain yliviivaamaan, niin kiireessä voit yliviivata "a"-merkin lausekkeessa

ja saada uudestaan

Mikä olisi kategorisesti väärin. Koska täällä koko osoittaja jo "a":ssa ei jaettu! Tätä osaa ei voida pienentää. Muuten, tällainen lyhenne on... vakava haaste opettajalle. Tätä ei anneta anteeksi! Muistaa? Kun vähennetään, on tarpeen jakaa koko osoittaja ja koko nimittäjä!

Murtolukujen pienentäminen tekee elämästä paljon helpompaa. Saat jostain murto-osan, esimerkiksi 375/1000. Ja kuinka työskennellä hänen kanssaan nyt? Ilman laskinta? Kerro, sano, lisää, neliö!? Ja jos et ole liian laiska, vähennä varovasti viidellä ja jopa viidellä ja jopa ... kun sitä pienennetään, lyhyesti sanottuna. Saamme 3/8! Paljon mukavampaa, eikö?

Murtoluvun perusominaisuus mahdollistaa tavallisten murtolukujen muuntamisen desimaaleiksi ja päinvastoin ilman laskinta! Tämä on tärkeää kokeen kannalta, eikö?

Kuinka muuntaa murtoluvut muodosta toiseen.

Se on helppoa desimaalien kanssa. Kuten kuullaan, niin kirjoitetaan! Oletetaan 0,25. Se on nollapiste, kaksikymmentäviisi sadasosaa. Joten kirjoitamme: 25/100. Vähennämme (jakaa osoittaja ja nimittäjä 25:llä), saamme tavallisen murto-osan: 1/4. Kaikki. Sitä tapahtuu, eikä mikään vähene. Kuten 0.3. Tämä on kolme kymmenesosaa, ts. 3/10.

Entä jos kokonaisluvut eivät ole nollia? Se on okei. Kirjoita koko murto-osa muistiin ilman pilkkuja osoittajassa ja nimittäjässä - mitä kuullaan. Esimerkiksi: 3.17. Tämä on kolme kokonaista, seitsemäntoista sadasosaa. Kirjoitamme osoittajaan 317 ja nimittäjään 100. Saamme 317/100. Mitään ei vähennetä, se tarkoittaa kaikkea. Tämä on vastaus. Alkeis Watson! Kaikesta yllä olevasta hyödyllinen johtopäätös: mikä tahansa desimaaliluku voidaan muuntaa yhteiseksi murtoluvuksi .

Mutta käänteinen muunnos, tavallisesta desimaaliin, ei tule toimeen ilman laskinta. Mutta sinun täytyy! Miten kirjoitat vastauksen kokeeseen!? Luemme huolellisesti ja hallitsemme tämän prosessin.

Mikä on desimaaliluku? Hänellä on nimittäjä aina on arvoltaan 10 tai 100 tai 1000 tai 10 000 ja niin edelleen. Jos tavallisella murtoluvullasi on tällainen nimittäjä, ei ole ongelmaa. Esimerkiksi 4/10 = 0,4. Tai 7/100 = 0,07. Tai 12/10 = 1,2. Ja jos vastauksessa osan "B" tehtävään se osoittautui 1/2? Mitä kirjoitamme vastaukseksi? Desimaalit vaaditaan...

Me muistamme murto-osan perusominaisuus ! Matematiikan avulla voit kertoa osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla. Muuten kenelle tahansa! Paitsi tietysti nolla. Hyödynnetään tätä ominaisuutta hyödyksemme! Millä nimittäjä voidaan kertoa, ts. 2 niin, että siitä tulee 10, 100 tai 1000 (pienempi on tietysti parempi...)? 5, ilmeisesti. Voit vapaasti kertoa nimittäjän (tämä on meille välttämätön) viidellä. Mutta silloin osoittaja on myös kerrottava viidellä. Tämä on jo matematiikka vaatii! Saamme 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Siinä kaikki.

Kaikenlaisia ​​nimittäjiä tulee kuitenkin vastaan. Esimerkiksi murto-osa 3/16 putoaa. Kokeile ja mieti, millä kerrot 16:lla saadaksesi 100 tai 1000... Eikö toimi? Sitten voit yksinkertaisesti jakaa 3:lla 16:lla. Laskin puuttuessa joudut jakamaan nurkassa, paperille, kuten perusluokilla opetettiin. Saamme 0,1875.

Ja on joitakin erittäin huonoja nimittäjiä. Esimerkiksi murto-osaa 1/3 ei voi muuttaa hyväksi desimaaliksi. Sekä laskimella että paperilla saamme 0,3333333 ... Tämä tarkoittaa, että 1/3 tarkkaan desimaalimurtoon ei käännä. Aivan kuten 1/7, 5/6 ja niin edelleen. Monet niistä ovat kääntämättömiä. Tästä syystä toinen hyödyllinen johtopäätös. Jokainen yhteinen murtoluku ei muunna desimaaliksi. !

Muuten, tämä on hyödyllistä tietoa itsetutkiskelua varten. Vastauksena kohtaan "B" sinun on kirjoitettava desimaalimurto. Ja sait esimerkiksi 4/3. Tätä murtolukua ei muunneta desimaaliksi. Tämä tarkoittaa, että teit jossain matkan varrella virheen! Tule takaisin ja tarkista ratkaisu.

Eli tavalliset ja desimaaliluvut lajiteltuina. On vielä käsiteltävä sekalukuja. Niiden kanssa työskentelyä varten ne kaikki on muutettava tavallisiksi jakeiksi. Kuinka tehdä se? Voit ottaa kuudesluokkalaisen kiinni ja kysyä häneltä. Mutta ei aina kuudesluokkalainen ole käsillä... Meidän on tehtävä se itse. Tämä ei ole vaikeaa. Kerro murto-osan nimittäjä kokonaisluvulla ja lisää murto-osan osoittaja. Tämä on yhteisen murtoluvun osoittaja. Entä nimittäjä? Nimittäjä pysyy samana. Se kuulostaa monimutkaiselta, mutta itse asiassa se on melko yksinkertainen. Katsotaanpa esimerkkiä.

Ilmoita ongelma, jonka näit kauhistuneena, numero:

Rauhallisesti, ilman paniikkia, ymmärrämme. Koko osa on 1. Yksi. Murto-osa on 3/7. Siksi murto-osan nimittäjä on 7. Tämä nimittäjä on tavallisen murtoluvun nimittäjä. Laskemme osoittajan. Kerrotaan 7 yhdellä (kokonaislukuosa) ja lisätään 3 (murto-osan osoittaja). Saamme 10. Tämä on tavallisen murtoluvun osoittaja. Siinä kaikki. Se näyttää vielä yksinkertaisemmalta matemaattisessa merkinnässä:

Selvästi? Varmista sitten menestyksesi! Muunna tavallisiksi murtoluvuiksi. Sinun pitäisi saada 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.

Käänteinen operaatio - väärän murtoluvun muuntaminen sekaluvuksi - vaaditaan harvoin lukiossa. No, jos... Ja jos et ole lukiossa, voit tutkia erityistä § 555. Samassa paikassa muuten opit vääristä murtoluvuista.

No melkein kaikki. Muistit murtolukutyypit ja ymmärsit Miten muuntaa ne tyypistä toiseen. Kysymys jää: miksi tee se? Missä ja milloin tätä syvällistä tietoa kannattaa soveltaa?

Vastaan. Jokainen esimerkki itsessään ehdottaa tarpeellisia toimia. Jos esimerkissä tavalliset murtoluvut, desimaalit ja jopa sekaluvut sekoitetaan nippuun, käännetään kaikki tavallisiksi murtoluvuiksi. Se voidaan aina tehdä. No, jos kirjoitetaan jotain, kuten 0,8 + 0,3, niin ajattelemme niin ilman käännöstä. Miksi tarvitsemme lisätyötä? Valitsemme sinulle sopivan ratkaisun meille !

Jos tehtävä on täynnä desimaalilukuja, mutta hm... jonkinlaisia ​​pahoja, mene tavallisiin, kokeile! Katso, kaikki järjestyy. Esimerkiksi luku 0,125 on neliöitävä. Ei niin helppoa, jos et ole menettänyt tapaasi käyttää laskimen! Sinun ei tarvitse vain kertoa sarakkeen numeroita, vaan myös miettiä, mihin pilkku lisätään! Se ei todellakaan toimi mielessäni! Ja jos menet tavalliseen murto-osaan?

0,125 = 125/1000. Vähennämme viidellä (tämä on aloitus). Saamme 25/200. Jälleen kerran 5. Saamme 5/40. Voi, se kutistuu! Takaisin 5:een! Saamme 1/8. Neliöidy helposti (mielessäsi!) ja saat 1/64. Kaikki!

Tehdään yhteenveto tästä oppitunnista.

1. Murtolukuja on kolmenlaisia. Tavalliset, desimaali- ja sekaluvut.

2. Desimaalit ja sekaluvut aina voidaan muuntaa yhteisiksi murtoluvuiksi. Käänteinen käännös ei aina saatavilla.

3. Tehtävän kanssa työskentelyyn tarkoitettujen murtolukutyyppien valinta riippuu juuri tästä tehtävästä. Jos yhdessä tehtävässä on erityyppisiä murtolukuja, on luotettavinta vaihtaa tavallisiin murtolukuihin.

Nyt voit harjoitella. Muunna ensin nämä desimaaliluvut tavallisiksi murtoluvuiksi:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sinun pitäisi saada tällaisia ​​vastauksia (sotkussa!):

Tällä lopetamme. Tällä oppitunnilla selostimme murtolukujen avainkohtia. Sattuu kuitenkin niin, ettei ole mitään erikoista päivitettävää...) Jos joku on kokonaan unohtanut, tai ei ole vielä perehtynyt... Ne voivat mennä erityiseen §:ään 555. Siellä on kaikki perusasiat kuvattu yksityiskohtaisesti. Monet yhtäkkiä ymmärtää kaiken ovat alkamassa. Ja he ratkaisevat murtoluvut lennossa).

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen on yksi algebran oppimisen avaimista ja erittäin hyödyllinen taito kaikille matemaatikoille. Yksinkertaistamisen avulla voit pelkistää monimutkaisen tai pitkän lausekkeen yksinkertaiseksi lausekkeeksi, jonka kanssa on helppo työskennellä. Yksinkertaistamisen perustaidot ovat hyviä myös niille, jotka eivät ole innostuneet matematiikasta. Noudattamalla muutamia yksinkertaisia ​​sääntöjä monia yleisimmistä algebrallisten lausekkeiden tyypeistä voidaan yksinkertaistaa ilman erityistä matemaattista tietoa.

Askeleet

Tärkeitä määritelmiä

1. Samanlaisia ​​jäseniä . Nämä ovat jäseniä, joilla on sama muuttuja, jäseniä, joilla on samat muuttujat, tai vapaita jäseniä (jäseniä, jotka eivät sisällä muuttujaa). Toisin sanoen samanlaiset termit sisältävät yhden muuttujan samassa laajuudessa, sisältävät useita identtisiä muuttujia tai eivät sisällä muuttujaa ollenkaan. Lausekkeen termien järjestyksellä ei ole väliä.

   • Esimerkiksi 3x 2 ja 4x 2 ovat samanlaisia ​​termejä, koska ne sisältävät toisen asteen muuttujan "x" (toisessa potenssissa). X ja x 2 eivät kuitenkaan ole samanlaisia ​​jäseniä, koska ne sisältävät muuttujan "x" eri järjestyksessä (ensimmäinen ja toinen). Vastaavasti -3yx ja 5xz eivät ole samanlaisia ​​jäseniä, koska ne sisältävät erilaisia ​​muuttujia.

2. Faktorisointi . Tämä on sellaisten lukujen löytämistä, joiden tulo johtaa alkuperäiseen numeroon. Millä tahansa alkuperäisellä numerolla voi olla useita tekijöitä. Esimerkiksi luku 12 voidaan jakaa seuraaviin tekijöiden sarjaan: 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, joten voimme sanoa, että luvut 1, 2, 3, 4, 6 ja 12 ovat tekijöiden tekijöitä. numero 12. Tekijät ovat samat kuin jakajat , eli luvut, joilla alkuperäinen luku on jaollinen.

   • Jos esimerkiksi haluat kertoa luvun 20, kirjoita se näin: 4×5.
   • Huomaa, että factoring-laskennassa muuttuja otetaan huomioon. Esimerkiksi 20x = 4 (5x).
   • Alkulukuja ei voida kertoa, koska ne ovat jaollisia vain itsellään ja 1:llä.

3. Muista ja noudata toimintojen järjestystä virheiden välttämiseksi.

   • Sulkumerkit
   • Tutkinto
   • Kertominen
   • Division
   • Lisäys
   • Vähennyslasku

   Casting Like Members

   1. Kirjoita ilmaisu muistiin. Yksinkertaisimmat algebralliset lausekkeet (jotka eivät sisällä murtolukuja, juuria ja niin edelleen) voidaan ratkaista (yksinkertaistaa) vain muutamassa vaiheessa.

      • Yksinkertaistaa esimerkiksi lauseketta 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Määrittele samanlaiset jäsenet (jäsenet, joilla on sama muuttuja, jäsenet samoilla muuttujilla tai vapaat jäsenet).

      • Etsi samanlaisia ​​termejä tästä lausekkeesta. Termit 2x ja 4x sisältävät samassa järjestyksessä olevan muuttujan (ensimmäinen). Myös 1 ja -3 ovat vapaita jäseniä (eivät sisällä muuttujaa). Siten tässä ilmaisussa termit 2x ja 4x ovat samanlaisia, ja jäsenet 1 ja -3 ovat myös samanlaisia.

   3. Anna samanlaiset termit. Tämä tarkoittaa niiden lisäämistä tai vähentämistä ja lausekkeen yksinkertaistamista.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Kirjoita lauseke uudelleen ottaen huomioon annetut termit. Saat yksinkertaisen lausekkeen, jossa on vähemmän termejä. Uusi lauseke on sama kuin alkuperäinen.

      • Esimerkissämme: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, eli alkuperäinen lauseke on yksinkertaistettu ja helpompi käsitellä.

   5. Noudata järjestystä, jossa toiminnot suoritetaan, kun syötät samanlaisia ​​termejä. Esimerkissämme oli helppo tuoda samanlaisia ​​termejä. Kuitenkin monimutkaisissa lausekkeissa, joissa jäsenet on suljettu suluissa ja murto- ja juuret ovat läsnä, tällaisten termien tuominen ei ole niin helppoa. Noudata näissä tapauksissa toimintojen järjestystä.

      • Harkitse esimerkiksi lauseketta 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tässä olisi virhe määritellä heti 3x ja 2x samanlaisiksi termeiksi ja lainata niitä, koska ensin on laajennettava sulkeita. Siksi suorita toiminnot niiden järjestyksessä.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nyt, kun lauseke sisältää vain yhteen- ja vähennysoperaatioita, voit heittää samankaltaisia ​​termejä.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Kerroin sulkeissa

   1. löytö suurin yhteinen jakaja(GCD) lausekkeen kaikista kertoimista. GCD on suurin luku, jolla kaikki lausekkeen kertoimet ovat jaollisia.

      • Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 9x 2 + 27x - 3. Tässä tapauksessa gcd=3, koska mikä tahansa tämän lausekkeen kerroin on jaollinen kolmella.

   2. Jaa lausekkeen jokainen termi gcd:llä. Tuloksena olevat termit sisältävät pienempiä kertoimia kuin alkuperäisessä lausekkeessa.

      • Esimerkissämme jaa jokainen lauseketermi 3:lla.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ilmeestä selvisi 3x2 + 9x-1. Se ei ole sama kuin alkuperäinen ilmaus.

   3. Kirjoita alkuperäinen lauseke yhtä suureksi kuin gcd:n tulo kertaa tuloksena oleva lauseke. Eli merkitse tuloksena oleva lauseke sulkeisiin ja laita GCD pois suluista.

      • Esimerkissämme: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Yksinkertaistaa murtolukulausekkeita ottamalla kertoimen pois suluista. Miksi kertoja otetaan pois suluista, kuten aiemmin tehtiin? Sitten opit yksinkertaistamaan monimutkaisia ​​lausekkeita, kuten murto-osalausekkeita. Tässä tapauksessa kertoimen jättäminen pois suluista voi auttaa pääsemään eroon murto-osasta (nimittäjästä).

      • Harkitse esimerkiksi murtolauseketta (9x 2 + 27x - 3)/3. Käytä sulkeita yksinkertaistaaksesi tätä lauseketta.
        • Laske kerroin 3 (kuten teit aiemmin): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Huomaa, että sekä osoittajalla että nimittäjällä on nyt numero 3. Tätä voidaan pienentää ja saat lausekkeen: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Koska mikä tahansa murtoluku, jonka nimittäjässä on numero 1, on yhtä suuri kuin osoittaja, alkuperäinen murtolukulauseke yksinkertaistetaan seuraavasti: 3x2 + 9x-1.

   Muita yksinkertaistamistekniikoita

   1. Murtolukulausekkeiden yksinkertaistaminen. Kuten edellä todettiin, jos sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät samat termit (tai jopa samat lausekkeet), niitä voidaan pienentää. Tätä varten sinun on poistettava osoittajan tai nimittäjän yhteinen tekijä tai sekä osoittaja että nimittäjä. Tai voit jakaa osoittajan jokaisen termin nimittäjällä ja siten yksinkertaistaa lauseketta.

      • Harkitse esimerkiksi murtolauseketta (5x 2 + 10x + 20)/10. Tässä yksinkertaisesti jakaa osoittajan kukin termi nimittäjällä (10). Mutta huomaa, että 5x2-termi ei ole edes jaollinen 10:llä (koska 5 on pienempi kuin 10).
        • Joten kirjoita yksinkertaistettu lauseke näin: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Radikaalilausekkeiden yksinkertaistaminen. Radikaalimerkin alla olevia lausekkeita kutsutaan radikaalilausekkeiksi. Niitä voidaan yksinkertaistaa hajottamalla ne sopiviksi tekijöiksi ja poistamalla myöhemmin yksi tekijä juuren alta.

      • Harkitse yksinkertaista esimerkkiä: √(90). Luku 90 voidaan jakaa seuraaviin tekijöihin: 9 ja 10, ja 9:stä ota neliöjuuri (3) ja ota 3 juuren alta.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Yksinkertaistaa ilmaisuja voimilla. Joissakin lausekkeissa on termien kerto- tai jakooperaatioita asteella. Jos termit kerrotaan yhdellä kantalla, niiden asteet lasketaan yhteen; kun kyseessä on jakotermit, joilla on sama kanta, niiden asteet vähennetään.

      • Harkitse esimerkiksi lauseketta 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Kertolaskutapauksessa lisää eksponentit ja jakotapauksessa vähennä ne.
        • 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Seuraavassa on selitys termien kerto- ja jakamissäännöstä asteella.
        • Termien kertominen valtuuksilla vastaa termien kertomista itsestään. Esimerkiksi, koska x 3 = x × x × x ja x 5 = x × x × x × x × x, niin x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × × x) tai x 8 .
        • Samoin termien jakaminen valtuuksilla vastaa termien jakamista itsestään. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Koska samanlaisia ​​termejä, jotka ovat sekä osoittajassa että nimittäjässä, voidaan vähentää, kahden "x":n tai x 2:n tulo jää osoittajaan.