Luettelemme alkeisfunktioiden integraalit, joita joskus kutsutaan taulukkomuodoiksi:

Mikä tahansa yllä olevista kaavoista voidaan todistaa ottamalla oikean puolen derivaatta (tuloksena saadaan integrandi).

Integrointimenetelmät

Tarkastellaanpa joitain integroinnin perusmenetelmiä. Nämä sisältävät:

1. Hajotusmenetelmä(suora integraatio).

Tämä menetelmä perustuu taulukkointegraalien suoraan soveltamiseen sekä epämääräisen integraalin ominaisuuksien 4 ja 5 käyttöön (eli vakiotekijän ottaminen pois suluista ja/tai integrandin esittäminen funktioiden summana - laajentamalla integrandia termeiksi).

Esimerkki 1 Esimerkiksi löytääksesi (dx/x 4), voit käyttää suoraan taulukkointegraalia x n dx:lle. Todellakin, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Katsotaanpa vielä muutama esimerkki.

Esimerkki 2 Löytääksemme käytämme samaa integraalia:

Esimerkki 3 Löytääksesi sinun on otettava

Esimerkki 4 Löytääksemme edustamme integrandia muodossa ja käytä taulukkointegraalia eksponentiaaliselle funktiolle:

Harkitse vakiokertoimen sulkemista.

Esimerkki 5Etsitään esim . Tämän huomioon ottaen saamme

Esimerkki 6 Etsitään. Koska , käytämme taulukkointegraalia Saada

Voit myös käyttää sulkeita ja taulukkointegraaleja seuraavissa kahdessa esimerkissä:

Esimerkki 7

(käytämme ja );

Esimerkki 8

(käytämme ja ).

Katsotaanpa monimutkaisempia esimerkkejä, joissa käytetään summaintegraalia.

Esimerkki 9 Etsitään esimerkiksi
. Laajennusmenetelmän soveltamiseksi osoittajassa käytämme summakuution kaavaa  ja jaamme sitten tuloksena olevan polynomin termin nimittäjällä.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

On huomattava, että ratkaisun loppuun kirjoitetaan yksi yhteinen vakio C (eikä erillisiä kutakin termiä integroitaessa). Jatkossa ehdotetaan myös vakioiden jättämistä pois yksittäisten termien integroinnista ratkaisuprosessissa niin kauan kuin lauseke sisältää vähintään yhden epämääräisen integraalin (kirjoitamme yhden vakion ratkaisun loppuun).

Esimerkki 10 Etsitään . Tämän ongelman ratkaisemiseksi kerroimme osoittajan (sen jälkeen voimme pienentää nimittäjää).

Esimerkki 11. Etsitään. Tässä voidaan käyttää trigonometrisiä identiteettejä.

Joskus lausekkeen hajottamiseksi termeiksi on käytettävä monimutkaisempia tekniikoita.

Esimerkki 12. Etsitään . Integrandissa valitsemme murtoluvun kokonaislukuosan . Sitten

Esimerkki 13 Etsitään

2. Muuttuva korvausmenetelmä (korvausmenetelmä)

Menetelmä perustuu seuraavaan kaavaan: f(x)dx=f((t))`(t)dt, missä x =(t) on funktio, joka on differentioituva tarkasteluvälillä.

Todiste. Etsitään derivaatat muuttujan t suhteen kaavan vasemmasta ja oikeasta osasta.

Huomaa, että vasemmalla puolella on kompleksifunktio, jonka väliargumentti on x = (t). Siksi erottaaksemme sen t:n suhteen differentioidaan ensin integraali x:n suhteen ja sitten otetaan väliargumentin derivaatta t:n suhteen.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Oikean puolen johdannainen:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Koska nämä derivaatat ovat yhtä suuret, Lagrangen lauseen seurauksena todistettavan kaavan vasen ja oikea osa eroavat jonkin vakion verran. Koska itse määrittelemättömät integraalit on määritelty määrittelemättömään vakiotermiin asti, tämä vakio voidaan jättää pois lopullisesta merkinnästä. Todistettu.

Onnistuneen muuttujan muutoksen avulla voimme yksinkertaistaa alkuperäistä integraalia ja yksinkertaisimmissa tapauksissa pienentää sen taulukkomuotoiseksi. Tätä menetelmää sovellettaessa erotetaan lineaarisen ja epälineaarisen substituution menetelmät.

a) Lineaarinen korvausmenetelmä katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1
. Lett = 1 – 2x siis

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

On huomattava, että uutta muuttujaa ei tarvitse kirjoittaa erikseen. Tällaisissa tapauksissa puhutaan funktion muuntamisesta differentiaalin merkin alla tai vakioiden ja muuttujien käyttöönotosta differentiaalin merkin alle, ts. noin implisiittisen muuttujan substituutio.

Esimerkki 2 Etsitään esimerkiksi cos(3x + 2)dx. Differentiaalin ominaisuuksien perusteella dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), sittencos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Molemmissa tarkasteluissa esimerkeissä integraalien etsimiseen käytettiin lineaarista substituutiota t=kx+b(k0).

Yleisessä tapauksessa seuraava lause pätee.

Lineaarinen korvauslause. Olkoon F(x) jokin antiderivaata funktiolle f(x). Sittenf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, missä k ja b ovat joitain vakioita,k0.

Todiste.

Integraalin f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C määritelmän mukaan. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Otetaan integraalimerkin vakiotekijä k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nyt voidaan jakaa yhtälön vasen ja oikea osa k:lla ja saada todistettava väite vakiotermin merkintään asti.

Tämä lause sanoo, että jos lauseke (kx+b) korvataan integraalin f(x)dx= F(x) + C määritelmässä, niin tämä johtaa lisätekijän 1/k esiintymiseen edessä. antijohdannaisesta.

Todistetun lauseen avulla ratkaisemme seuraavat esimerkit.

Esimerkki 3

Etsitään . Tässä kx+b= 3 –x, eli k= -1,b= 3. Sitten

Esimerkki 4

Etsitään. Tässä kx+b= 4x+ 3, eli k= 4,b= 3. Sitten

Esimerkki 5

Etsitään . Tässä kx+b= -2x+ 7, eli k= -2,b= 7. Sitten

.

Esimerkki 6 Etsitään
. Tässä kx+b= 2x+ 0, eli k= 2,b=0.

.

Verrataan saatua tulosta esimerkkiin 8, joka on ratkaistu hajotusmenetelmällä. Ratkaisimme saman ongelman toisella menetelmällä, saimme vastauksen
. Verrataanpa tuloksia: Näin ollen nämä lausekkeet eroavat toisistaan ​​vakiotermillä , eli saadut vastaukset eivät ole ristiriidassa keskenään.

Esimerkki 7 Etsitään
. Valitsemme nimittäjästä täyden neliön.

Joissakin tapauksissa muuttujan muutos ei pelkistä integraalia suoraan taulukkomuotoiseksi, mutta se voi yksinkertaistaa ratkaisua mahdollistamalla hajotusmenetelmän soveltamisen seuraavassa vaiheessa.

Esimerkki 8 Etsitään esimerkiksi . Korvaa t=x+ 2, sitten dt=d(x+ 2) =dx. Sitten

,

missä C \u003d C 1 - 6 (kun korvataan lauseke (x + 2) t:n sijaan, kahden ensimmäisen termin sijasta saadaan ½x 2 -2x - 6).

Esimerkki 9 Etsitään
. Olkoon t= 2x+ 1, sitten dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Korvaamme lausekkeen (2x + 1) t:n sijaan, avaa sulut ja anna samanlaiset.

Huomaa, että muunnosprosessissa siirryimme toiseen vakiotermiin, koska muunnosprosessin vakiotermien ryhmä voitaisiin jättää pois.

b) Epälineaarisen substituution menetelmä katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 1
. Olkoon t= -x 2 . Lisäksi x voidaan ilmaista t:llä, sitten löytää lauseke dx:lle ja toteuttaa muuttujan muutos haluttuun integraaliin. Mutta tässä tapauksessa on helpompi tehdä toisin. Etsi dt=d(-x 2) = -2xdx. Huomaa, että lauseke xdx on halutun integraalin integrandin tekijä. Ilmaisemme sen tuloksena olevasta yhtälöstä xdx= - ½dt. Sitten

Integroinnin peruskaavat ja -menetelmät. Summan tai erotuksen integrointisääntö. Vakion poistaminen integraalimerkistä. Muuttuva korvausmenetelmä. Osien integroinnin kaava. Esimerkki ongelmanratkaisusta.

Neljä tärkeintä integrointimenetelmää on lueteltu alla.

1) Summan tai erotuksen integrointisääntö.
.
Tässä ja alla u, v, w ovat integrointimuuttujan x funktioita.

2) Vakion poistaminen integraalimerkistä.
Olkoon c x:stä riippumaton vakio. Sitten se voidaan ottaa pois integraalimerkistä.

3) Muuttuva korvausmenetelmä.
Harkitse epämääräistä integraalia.
Jos on mahdollista valita tällainen funktio, φ (x) x:stä, niin
,
sitten muuttujan t = φ(x) muuttamisen jälkeen meillä on
.

4) Osien integroinnin kaava.
,
missä u ja v ovat integrointimuuttujan funktioita.

Epämääräisten integraalien laskemisen perimmäinen tavoite on muunnosten avulla tuoda annettu integraali yksinkertaisimpiin integraaleihin, joita kutsutaan taulukkointegraaleiksi. Taulukkointegraalit ilmaistaan ​​perusfunktioina tunnettujen kaavojen avulla.
Katso integraalitaulukko >>>

Esimerkki

Laske epämääräinen integraali

Ratkaisu

Huomaa, että integrandi on kolmen termin summa ja erotus:
, ja .
Käytämme menetelmää 1 .

Lisäksi huomaamme, että uusien integraalien integrandit kerrotaan vakioilla 5, 4, ja 2 , vastaavasti. Käytämme menetelmää 2 .

Integraalitaulukosta löydämme kaavan
.
Asetus n = 2 , löydämme ensimmäisen integraalin.

Kirjoitetaan toinen integraali muotoon
.
Huomaamme sen. Sitten

Käytetään kolmatta menetelmää. Teemme muuttujan t = φ muutoksen (x) = log x.
.
Integraalitaulukosta löydämme kaavan

Koska integroinnin muuttuja voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella, niin

Kirjoitetaan kolmas integraali muotoon
.
Käytämme kaavaa integrointiin osien mukaan.
Päästää .
Sitten
;
;

;
;
.

Tältä sivulta löydät:

1. Itse asiassa antijohdannaisten taulukko - se voidaan ladata PDF-muodossa ja tulostaa;

2. Video tämän taulukon käytöstä;

3. Joukko esimerkkejä antiderivaatin laskemisesta eri oppikirjoista ja testeistä.

Itse videossa analysoimme monia ongelmia, joissa sinun on laskettava antiderivatiiviset funktiot, usein melko monimutkaisia, mutta mikä tärkeintä, ne eivät ole valtalakeja. Kaikki yllä ehdotetussa taulukossa tiivistetyt funktiot on tunnettava ulkoa, kuten johdannaiset. Ilman niitä integraalien jatkotutkimus ja niiden soveltaminen käytännön ongelmien ratkaisemiseen on mahdotonta.

Tänään jatkamme primitiivien käsittelyä ja siirrymme hieman monimutkaisempaan aiheeseen. Jos viime kerralla tarkastelimme antiderivaatteja vain tehofunktioista ja hieman monimutkaisemmista rakenteista, niin tänään analysoimme trigonometriaa ja paljon muuta.

Kuten sanoin viime oppitunnilla, antiderivaatteja, toisin kuin johdannaisia, ei koskaan ratkaista "tyhjinä" käyttämällä mitään vakiosääntöjä. Lisäksi huono uutinen on, että toisin kuin johdannaista, antiderivaasta ei ehkä oteta huomioon ollenkaan. Jos kirjoitamme täysin satunnaisen funktion ja yritämme löytää sen derivaatan, onnistumme erittäin suurella todennäköisyydellä, mutta antiderivaavaa ei tässä tapauksessa lasketa melkein koskaan. Mutta on hyviä uutisia: on olemassa melko suuri joukko funktioita, joita kutsutaan alkeisfunktioiksi, joiden antiderivaatat on erittäin helppo laskea. Ja kaikki muut monimutkaisemmat rakenteet, jotka annetaan erilaisissa ohjauksissa, itsenäisissä ja kokeissa, itse asiassa koostuvat näistä perusfunktioista lisäämällä, vähentämällä ja muilla yksinkertaisilla toimilla. Tällaisten funktioiden antiderivaatat on jo pitkään laskettu ja koottu erityisiin taulukoihin. Tällaisten funktioiden ja taulukoiden kanssa työskentelemme tänään.

Mutta aloitamme, kuten aina, toistolla: muista, mikä on antiderivaatti, miksi niitä on ääretön määrä ja kuinka määrittää niiden yleinen muoto. Tätä varten tein kaksi yksinkertaista tehtävää.

Helppojen esimerkkien ratkaiseminen

Esimerkki #1

Huomaa heti, että $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ vihjaa heti meille, että funktion vaadittu antiderivaata liittyy trigonometriaan. Ja todellakin, jos katsomme taulukkoa, huomaamme, että $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ on vain $\text(arctg)x$. Joten kirjoitetaan:

Löytääksesi sinun on kirjoitettava seuraavat tiedot:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Esimerkki #2

Myös täällä me puhumme trigonometrisista funktioista. Jos katsomme taulukkoa, se todellakin osoittautuu tältä:

Meidän on löydettävä koko antijohdannaisten joukosta se, joka kulkee määritellyn pisteen läpi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Kirjoitetaan lopuksi ylös:

Se on niin yksinkertaista. Ainoa ongelma on, että yksinkertaisten funktioiden antiderivaattien laskemiseksi sinun on opittava antiderivaattien taulukko. Kuitenkin, kun olet oppinut johdannaistaulukon sinulle, luulen, että tämä ei ole ongelma.

Eksponentiaalisen funktion sisältävien ongelmien ratkaiseminen

Aloitetaan kirjoittamalla seuraavat kaavat:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Katsotaan kuinka tämä kaikki toimii käytännössä.

Esimerkki #1

Jos katsomme hakasulkeiden sisältöä, huomaamme, että antiderivaatataulukossa ei ole sellaista lauseketta, että $((e)^(x))$ on neliössä, joten tämä neliö on avattava. Tätä varten käytämme lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

Etsitään jokaiselle termille antijohdannainen:

\[((e)^(2x))=((\vasen(((e)^(2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(((e)^(-2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Ja nyt keräämme kaikki termit yhteen lausekkeeseen ja saamme yhteisen antijohdannaisen:

Esimerkki #2

Tällä kertaa eksponentti on jo suurempi, joten lyhennetty kertolasku on melko monimutkainen. Laajennamme sulkuja:

Yritetään nyt ottaa kaavamme antijohdannainen tästä konstruktiosta:

Kuten näette, eksponentiaalisen funktion antiderivaatteissa ei ole mitään monimutkaista ja yliluonnollista. Kaikki lasketaan taulukoiden avulla, mutta tarkkaavaiset opiskelijat huomaavat varmasti, että antiderivaata $((e)^(2x))$ on paljon lähempänä vain $((e)^(x))$ kuin $((a). )^(x ))$. Joten, ehkä on olemassa jokin erikoisempi sääntö, joka sallii antiderivaatin $((e)^(x))$ löytää $((e)^(2x))$? Kyllä, sellainen sääntö on olemassa. Ja lisäksi se on olennainen osa antijohdannaisten taulukon kanssa työskentelyä. Analysoimme sitä nyt käyttämällä samoja lausekkeita, joiden kanssa olemme juuri työskennelleet esimerkkinä.

Säännöt antijohdannaisten taulukon kanssa työskentelemisestä

Kirjoitetaan funktiomme uudelleen:

Edellisessä tapauksessa käytimme seuraavaa kaavaa ratkaisemaan:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaattorinimi(lna))\]

Mutta nyt tehdään se vähän toisin: muista millä perusteella $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kuten jo todettiin, koska $((e)^(x))$ johdannainen ei ole muuta kuin $((e)^(x))$, joten sen antiderivaata on sama kuin sama $((e) ^( x))$. Mutta ongelma on, että meillä on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Yritetään nyt löytää derivaatta $((e)^(2x))$:

\[((\vasen(((e)^(2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(2x))\cdot ((\vasen(2x \oikea))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Kirjoitetaan rakentaminen uudelleen:

\[((\left(((e)^(2x)) \oikea))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\vasen(\frac(((e)^(2x)))(2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Ja tämä tarkoittaa, että kun löydämme antijohdannaisen $((e)^(2x))$, saamme seuraavan:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kuten näet, saimme saman tuloksen kuin aiemmin, mutta emme käyttäneet kaavaa löytääksemme $((a)^(x))$. Nyt tämä saattaa tuntua typerältä: miksi monimutkaistaa laskelmia, kun on olemassa standardikaava? Hieman monimutkaisemmissa ilmaisuissa näet kuitenkin, että tämä tekniikka on erittäin tehokas, ts. käyttämällä johdannaisia ​​antijohdannaisten löytämiseen.

Etsitään lämmittelynä $((e)^(2x))$ antiderivaata samalla tavalla:

\[((\vasen(((e)^(-2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Laskettaessa rakenteemme kirjoitetaan seuraavasti:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta menimme toisin päin. Juuri tällä tavalla, joka nyt näyttää meille hieman monimutkaisemmalta, on tulevaisuudessa tehokkaampi laskea monimutkaisempia antiderivaatteja ja käyttää taulukoita.

Merkintä! Tämä on erittäin tärkeä kohta: antiderivaatteja, kuten johdannaisia, voidaan laskea monin eri tavoin. Kuitenkin, jos kaikki laskelmat ja laskelmat ovat yhtä suuret, vastaus on sama. Varmistimme tämän juuri esimerkissä $((e)^(-2x))$ - toisaalta laskemme tämän antiderivaatin "kautta" käyttämällä määritelmää ja laskemalla sen muunnosten avulla, toisaalta muistimme, että $ ((e)^(-2x))$ voidaan esittää muodossa $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ ja sitten käytä antiderivaavaa funktiolle $( (a)^(x))$. Kaikkien muutosten jälkeen lopputulos on kuitenkin odotettu.

Ja nyt kun ymmärrämme tämän kaiken, on aika siirtyä johonkin olennaisempaan. Nyt analysoimme kahta yksinkertaista rakennetta, mutta niitä ratkaistaessa esitettävä tekniikka on tehokkaampi ja hyödyllisempi työkalu kuin yksinkertainen "juoksu" vierekkäisten antiderivaalien välillä taulukosta.

Ongelmanratkaisu: etsi funktion antiderivaata

Esimerkki #1

Anna osoittajissa oleva määrä, jaa se kolmeen erilliseen osaan:

Tämä on melko luonnollinen ja ymmärrettävä siirtymä - useimmilla opiskelijoilla ei ole ongelmia sen kanssa. Kirjoitetaan lauseemme uudelleen seuraavasti:

Muistetaan nyt tämä kaava:

Meidän tapauksessamme saamme seuraavat:

Päästäksesi eroon kaikista näistä kolmikerroksisista jakeista, ehdotan seuraavaa:

Esimerkki #2

Toisin kuin edellinen murto-osa, nimittäjä ei ole tulo, vaan summa. Tässä tapauksessa emme voi enää jakaa murtolukuamme useiden yksinkertaisten murtolukujen summalla, vaan meidän on jotenkin yritettävä varmistaa, että osoittaja sisältää suunnilleen saman lausekkeen kuin nimittäjä. Tässä tapauksessa se on melko helppo tehdä:

Tällainen merkintä, jota matematiikan kielellä kutsutaan "nollan lisäämiseksi", antaa meille mahdollisuuden jakaa murto-osa jälleen kahteen osaan:

Nyt etsitään mitä etsimme:

Siinä kaikki laskelmat. Huolimatta näennäisesti suuremmasta monimutkaisuudesta kuin edellisessä tehtävässä, laskelmien määrä osoittautui vielä pienemmäksi.

Ratkaisun vivahteet

Ja tässä piilee taulukkoprimitiivien kanssa työskentelyn päävaikeus, tämä on erityisen havaittavissa toisessa tehtävässä. Tosiasia on, että voidaksemme valita joitain elementtejä, jotka lasketaan helposti taulukon kautta, meidän on tiedettävä, mitä tarkalleen etsimme, ja juuri näiden elementtien etsinnässä koko antiderivaatien laskenta koostuu.

Toisin sanoen ei riitä, että opetella ulkoa antijohdannaisten taulukko - täytyy pystyä näkemään jotain, mitä ei vielä ole, mutta mitä tämän ongelman kirjoittaja ja kääntäjä tarkoitti. Siksi monet matemaatikot, opettajat ja professorit väittävät jatkuvasti: "Mitä on antiderivaalien ottaminen tai integrointi - onko se vain työkalu vai onko se oikeaa taidetta?" Itse asiassa omasta mielestäni integraatio ei ole ollenkaan taidetta - siinä ei ole mitään ylevää, se on vain harjoittelua ja vielä kerran harjoittelua. Ja harjoitellaksemme ratkaistaan ​​kolme vakavampaa esimerkkiä.

Harjoittele integraatiota käytännössä

Tehtävä 1

Kirjoitetaan seuraavat kaavat:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Kirjoitetaan seuraavaa:

Tehtävä #2

Kirjoitetaan se uudelleen seuraavasti:

Antijohdannaisen kokonaismäärä on yhtä suuri:

Tehtävä nro 3

Tämän tehtävän monimutkaisuus on siinä, että toisin kuin edellisissä funktioissa, yläpuolella ei ole muuttujaa $x$, ts. meille ei ole selvää, mitä lisätä, vähentää saadaksesi vähintään jotain samanlaista kuin alla. Itse asiassa tämän lausekkeen katsotaan olevan jopa yksinkertaisempi kuin mitä tahansa lauseketta aikaisemmista rakenteista, koska tämä funktio voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Saatat nyt kysyä: miksi nämä funktiot ovat samanarvoisia? Tarkistetaan:

Kirjoitetaan uudestaan:

Muutetaanpa hieman ilmaisuamme:

Ja kun selitän kaiken tämän opiskelijoilleni, syntyy melkein aina sama ongelma: ensimmäisellä funktiolla kaikki on enemmän tai vähemmän selvää, toisella voit myös selvittää sen onnella tai harjoituksella, mutta minkälainen vaihtoehtoinen tietoisuus tarvitset kolmannen esimerkin ratkaisemiseksi? Itse asiassa, älä pelkää. Tekniikkaa, jota käytimme laskettaessa viimeistä antiderivaavaa, kutsutaan "funktion hajottamiseksi yksinkertaisimmiksi", ja tämä on erittäin vakava tekniikka, ja sille omistetaan erillinen videotunti.

Sillä välin ehdotan, että palataan siihen, mitä juuri tutkimme, eli eksponentiaalisiin funktioihin ja monimutkaistaan ​​tehtäviä jonkin verran sisällöllään.

Monimutkaisempia ongelmia antiderivatiivisten eksponentiaalisten funktioiden ratkaisemiseksi

Tehtävä 1

Huomaa seuraavat asiat:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Löytääksesi tämän lausekkeen antijohdannaisen, käytä standardikaavaa $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Meidän tapauksessamme primitiivinen on seuraava:

Tietenkin juuri ratkaisemamme rakentamisen taustalla tämä näyttää yksinkertaisemmalta.

Tehtävä #2

Jälleen on helppo nähdä, että tämä funktio on helppo jakaa kahteen erilliseen termiin - kahteen erilliseen murto-osaan. Kirjoitetaan uudelleen:

On vielä löydettävä kunkin näiden termien antijohdannainen yllä olevan kaavan mukaan:

Huolimatta eksponentiaalisten funktioiden ilmeisen monimutkaisemmasta tehofunktioihin verrattuna, laskelmien ja laskelmien kokonaismäärä osoittautui paljon yksinkertaisemmiksi.

Tietäville opiskelijoille se, mitä olemme juuri käsitelleet (etenkin sitä taustaa vasten, mitä olemme käsitelleet aiemmin), voivat tietysti tuntua alkeellisilta ilmaisuilta. Valittuani nämä kaksi tehtävää tämän päivän video-opetusohjelmaan en kuitenkaan asettanut tavoitteeksi kertoa sinulle toista monimutkaista ja hienoa temppua - halusin vain näyttää, että sinun ei pitäisi pelätä käyttää tavallisia algebratemppuja alkuperäisten funktioiden muuntamiseen. .

Käyttämällä "salaista" tekniikkaa

Lopuksi haluaisin analysoida toista mielenkiintoista tekniikkaa, joka toisaalta ylittää sen, mitä olemme pääasiassa analysoineet tänään, mutta toisaalta se ei ole ensinnäkään mitenkään monimutkainen, ts. jo aloittelevat opiskelijat voivat hallita sen, ja toiseksi, se löytyy melko usein kaikenlaisista ohjauksista ja itsenäisistä töistä, ts. Sen tunteminen on erittäin hyödyllistä sen lisäksi, että tunnet antijohdannaisten taulukon.

Tehtävä 1

Ilmeisesti meillä on jotain hyvin samanlaista kuin tehofunktio. Miten tässä tapauksessa pitäisi edetä? Ajatellaanpa sitä: $x-5$ eroaa $x$:sta ei niin paljoa - vain lisätty $-5$. Kirjoitetaan se näin:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \oikea))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Yritetään löytää johdannainen $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\vasen(((\vasen(x-5 \oikea))^(5)) \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\vasen(x-5 \oikea)) ^(4))\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(4))\]

Tämä tarkoittaa:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ oikea))^(\prime ))\]

Taulukossa ei ole tällaista arvoa, joten olemme nyt johtaneet tämän kaavan itse käyttämällä potenssifunktion standardia antiderivatiivista kaavaa. Kirjoitetaan vastaus näin:

Tehtävä #2

Monille opiskelijoille, jotka katsovat ensimmäistä ratkaisua, saattaa tuntua, että kaikki on hyvin yksinkertaista: riittää, että korvataan $x$ potenssifunktiossa lineaarisella lausekkeella, ja kaikki loksahtaa paikoilleen. Valitettavasti kaikki ei ole niin yksinkertaista, ja nyt näemme tämän.

Analogisesti ensimmäisen lausekkeen kanssa kirjoitamme seuraavaa:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(\alkuluku ))=\]

\[=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\]

Palataksemme johdannaiseen, voimme kirjoittaa:

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) )^(9))\]

\[((\vasen(4-3x \oikea))^(9))=((\vasen(\frac(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)))(-30) \oikea))^(\prime ))\]

Tästä seuraa heti:

Ratkaisun vivahteet

Huomaa: jos viime kerralla mikään ei olennaisesti muuttunut, niin toisessa tapauksessa $-30 $ ilmestyi $-10 $ sijaan. Mitä eroa on -10 $ ja -30 $ välillä? Ilmeisesti kertoimella -3 $. Kysymys: mistä se tuli? Tarkemmin katsottuna voit nähdä, että se on otettu kompleksisen funktion derivaatan laskemisen tuloksena - kerroin, joka oli $x$, näkyy alla olevassa antiderivaatassa. Tämä on erittäin tärkeä sääntö, jota en alun perin aikonut analysoida ollenkaan tämän päivän video-opetusohjelmassa, mutta ilman sitä taulukkomuotoisten antiderivaalien esitys olisi epätäydellinen.

Joten tehdään se uudelleen. Olkoon päätehotoimintomme:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ja nyt korvataan $x$:n sijaan lauseke $kx+b$. Mitä sitten tapahtuu? Meidän on löydettävä seuraavat:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \oikea)\cdot k)\]

Millä perusteella väitämme tämän? Erittäin yksinkertainen. Etsitään edellä kirjoitetun konstruktion johdannainen:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \oikea))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\vasen(kx+b \oikea))^(n))\]

Tämä on sama ilmaisu, joka oli alun perin. Näin ollen tämä kaava on myös oikea, ja sitä voidaan käyttää täydentämään antijohdannaisten taulukkoa, mutta on parempi muistaa koko taulukko.

Päätelmät "salaisuudesta: vastaanotto:

• Molemmat juuri tarkastelemamme funktiot voidaan itse asiassa pelkistää taulukossa ilmoitettuihin antiderivaatteihin avaamalla asteet, mutta jos neljännen asteen kanssa selvitään enemmän tai vähemmän jotenkin, niin en tekisi yhdeksättä astetta ollenkaan. uskaltanut paljastaa.
• Jos paljastaisimme asteet, saamme niin paljon laskelmia, että yksinkertainen tehtävä vie meiltä riittämättömän määrän aikaa.
• Siksi sellaisia ​​tehtäviä, joiden sisällä on lineaarisia lausekkeita, ei tarvitse ratkaista "tyhjinä". Heti kun kohtaat antiderivaatan, joka eroaa taulukossa olevasta vain lausekkeen $kx+b$ sisällä, muista heti yllä kirjoitettu kaava, korvaa se taulukkomuotoiseksi antiderivaatiasi, niin kaikki muuttuu paljon. nopeammin ja helpommin.

Luonnollisesti tämän tekniikan monimutkaisuuden ja vakavuuden vuoksi palaamme toistuvasti sen pohtimiseen tulevissa video-opetusohjelmissa, mutta tänään minulla on kaikki. Toivon, että tämä oppitunti todella auttaa niitä opiskelijoita, jotka haluavat ymmärtää antiderivaatteja ja integraatiota.

Integroitumisen oppiminen ei ole vaikeaa. Tätä varten sinun tarvitsee vain oppia tietyt, melko pienet säännöt ja kehittää eräänlainen hohto. Tietysti säännöt ja kaavat on helppo oppia, mutta on melko vaikeaa ymmärtää, missä ja milloin tätä tai toista integrointi- tai eriyttämissääntöä tulee soveltaa. Tämä on itse asiassa integroitumiskykyä.

1. Antijohdannainen. Epämääräinen integraali.

Oletuksena on, että lukijalla on tämän artikkelin lukemiseen mennessä jo joitain erottelutaitoja (eli johdannaisten löytämistä).

Määritelmä 1.1: Funktiota kutsutaan antiderivaataksi, jos yhtälö pätee:

Kommentit:> Sanan "primordial" painotus voidaan sijoittaa kahdella tavalla: noinärtynyt tai alkuperäinen a tietäen.

Omaisuus 1: Jos funktio on funktion antiderivaata, niin funktio on myös funktion antiderivaata.

Todiste: Todistakaamme tämä antiderivaatin määritelmästä. Etsitään funktion derivaatta:

Ensimmäinen lukukausi sisään määritelmä 1.1 on yhtä suuri kuin , ja toinen termi on vakion derivaatta, joka on yhtä suuri kuin 0.

.

Tee yhteenveto. Kirjoitetaan tasa-arvoketjun alku ja loppu:

Siten funktion derivaatta on yhtä suuri, ja siksi se on määritelmän mukaan sen antiderivaata. Omaisuus on todistettu.

Määritelmä 1.2: Funktion epämääräinen integraali on koko joukko tämän funktion antiderivaatteja. Se on merkitty näin:

.

Harkitse tietueen kunkin osan nimiä yksityiskohtaisesti:

on integraalin yleinen merkintä,

on integrandi (integrandi) lauseke, integroitava funktio.

on differentiaali, ja kirjaimen jälkeistä lauseketta, tässä tapauksessa , kutsutaan integrointimuuttujaksi.

Kommentit: Tämän määritelmän avainsanat ovat "koko joukko". Nuo. jos tulevaisuudessa tätä "plus C" ei kirjoiteta vastaukseen, niin tarkastajalla on täysi oikeus olla hyvittämättä tätä tehtävää, koska on tarpeen löytää koko joukko antiderivaatteja, ja jos C puuttuu, vain yksi löytyy.

Johtopäätös: Jotta voidaan tarkistaa, onko integraali laskettu oikein, on tarpeen löytää tuloksen derivaatta. Sen on vastattava integrandia.
Esimerkki:
Harjoittele: Laske epämääräinen integraali ja tarkista.

Ratkaisu:

Integraalin laskentatavalla ei ole tässä tapauksessa merkitystä. Oletetaan, että se on ilmestys ylhäältä. Tehtävämme on osoittaa, että ilmoitus ei pettänyt meitä, ja tämä voidaan tehdä verifioinnin avulla.

Tutkimus:

Tulosta erotettaessa saatiin integrandi, mikä tarkoittaa, että integraali on laskettu oikein.

2. Aloita. Integraalien taulukko.

Integrointia varten ei tarvitse joka kerta muistaa funktiota, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin annettu integrandi (eli käyttää integraalin määritelmää suoraan). Jokainen matemaattisen analyysin tehtäväkokoelma tai oppikirja sisältää luettelon integraalien ominaisuuksista ja taulukon yksinkertaisimmista integraaleista.

Listataan ominaisuudet.

Ominaisuudet:
1.
Differentiaalin integraali on yhtä suuri kuin integrointimuuttuja.
2. , missä on vakio.
Vakiokerroin voidaan ottaa pois integraalimerkistä.

3.
Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa (jos termien määrä on äärellinen).
Integroitu pöytä:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Useimmiten tehtävänä on pelkistää tutkittava integraali taulukkomuotoiseksi ominaisuuksien ja kaavojen avulla.

Esimerkki:

[ Käytetään integraalien kolmatta ominaisuutta ja kirjoitetaan se kolmen integraalin summaksi.]

[ Käytetään toista ominaisuutta ja otetaan vakiot pois integrointimerkistä.]

[ Ensimmäisessä integraalissa käytämme taulukkointegraalia nro 1 (n=2), toisessa - samaa kaavaa, mutta n=1, ja kolmannessa integraalissa voit joko käyttää samaa taulukkointegraalia, mutta n=0 tai ensimmäinen ominaisuus. ]
.
Tarkastetaan erottelulla:

Alkuperäinen integrandi saatiin, joten integrointi suoritettiin ilman virheitä (eikä edes mielivaltaisen vakion C lisäämistä unohdettu).

Taulukkointegraalit on opittava ulkoa yhdestä yksinkertaisesta syystä - jotta tiedettäisiin mihin pyrkiä, ts. tietää annetun lausekkeen muunnoksen tarkoituksen.

Tässä vielä muutama esimerkki:
1)
2)
3)

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Harjoitus 1. Laske epämääräinen integraali:

+ Näytä/piilota vihje #1.

1) Käytä kolmatta ominaisuutta ja esitä tämä integraali kolmen integraalin summana.

+ Näytä/piilota vihje #2.

+ Näytä/piilota vihje #3.

3) Käytä kahdelle ensimmäiselle termille ensimmäistä taulukkointegraalia ja kolmannelle - toista taulukkointegraalia.

+ Näytä/piilota ratkaisu ja vastaus.

4) Ratkaisu:

Vastaus:

Tärkeimmät integraalit jokaisen opiskelijan tulisi tietää

Listatut integraalit ovat perusta, perusta. Nämä kaavat on tietysti syytä muistaa. Kun lasket monimutkaisempia integraaleja, sinun on käytettävä niitä jatkuvasti.

Kiinnitä erityistä huomiota kaavoihin (5), (7), (9), (12), (13), (17) ja (19). Muista lisätä vastaukseen mielivaltainen vakio C integroinnin yhteydessä!

Vakion integraali

∫ A d x = A x + C (1)

Tehotoimintojen integrointi

Itse asiassa voisi rajoittua kaavoihin (5) ja (7), mutta muut tämän ryhmän integraalit ovat niin yleisiä, että niihin kannattaa kiinnittää vähän huomiota.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Eksponentiaalifunktion ja hyperbolisten funktioiden integraalit

Tietenkin kaavaa (8) (ehkä kätevin muistaa) voidaan pitää kaavan (9) erikoistapauksena. Kaavat (10) ja (11) hyperbolisen sinin ja hyperbolisen kosinin integraaleille saadaan helposti kaavasta (8), mutta on parempi muistaa nämä suhteet.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometristen funktioiden perusintegraalit

Virhe, jonka opiskelijat tekevät usein: he sekoittavat merkit kaavoissa (12) ja (13). Muistaen, että sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini, jostain syystä monet ihmiset uskovat, että sinx-funktion integraali on yhtä suuri kuin cosx. Tämä ei ole totta! Sinin integraali on "miinus kosini", mutta cosx:n integraali on "vain sini":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Käänteisiksi trigonometrisiksi funktioiksi pelkistävät integraalit

Kaava (16), joka johtaa arkitangenttiin, on luonnollisesti kaavan (17) erikoistapaus, kun a=1. Vastaavasti (18) on (19) erikoistapaus.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − kaaret x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaaret x a + C (a > 0) (19)

Monimutkaisemmat integraalit

Nämä kaavat on myös hyvä muistaa. Niitä käytetään myös melko usein, ja niiden tuotanto on melko tylsää.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Yleiset integrointisäännöt

1) Kahden funktion summan integraali on yhtä suuri kuin vastaavien integraalien summa: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Kahden funktion eron integraali on yhtä suuri kuin vastaavien integraalien erotus: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Vakio voidaan ottaa pois integraalimerkistä: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

On helppo nähdä, että ominaisuus (26) on yksinkertaisesti ominaisuuksien (25) ja (27) yhdistelmä.

4) Kompleksisen funktion integraali, jos sisäfunktio on lineaarinen: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Tässä F(x) on funktion f(x) antiderivaata. Huomaa, että tämä kaava toimii vain, kun sisäfunktio on Ax + B.

Tärkeää: ei ole universaalia kaavaa kahden funktion tulon integraalille sekä murto-osan integraalille:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (kolmekymmentä)

Tämä ei tietenkään tarkoita, että murto-osaa tai tuotetta ei voida integroida. On vain niin, että joka kerta kun näet integraalin, kuten (30), sinun on keksittävä tapa "taistella" sen kanssa. Joissakin tapauksissa integrointi osien mukaan auttaa sinua, jossain joudut muuttamaan muuttujaa, ja joskus jopa "koulu" algebran tai trigonometrian kaavat voivat auttaa.

Yksinkertainen esimerkki määrittelemättömän integraalin laskemisesta

Esimerkki 1. Etsi integraali: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Käytämme kaavoja (25) ja (26) (funktioiden summan tai eron integraali on yhtä suuri kuin vastaavien integraalien summa tai ero. Saadaan: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Muista, että vakio voidaan ottaa pois integraalimerkistä (kaava (27)). Lauseke muunnetaan muotoon

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Nyt käytetään vain perusintegraalien taulukkoa. Meidän on sovellettava kaavoja (3), (12), (8) ja (1). Integroidaan potenssifunktio, sini, eksponentti ja vakio 1. Älä unohda lisätä mielivaltaista vakiota C loppuun:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Perusmuutosten jälkeen saamme lopullisen vastauksen:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testaa itsesi differentiaatiolla: ota tuloksena olevan funktion derivaatta ja varmista, että se on yhtä suuri kuin alkuperäinen integrandi.

Integraalien yhteenvetotaulukko

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − kaaret x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − kaaret x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Lataa integraalitaulukko (osa II) tästä linkistä

Jos opiskelet yliopistossa, jos sinulla on vaikeuksia korkeamman matematiikan (matemaattinen analyysi, lineaarinen algebra, todennäköisyysteoria, tilastot) kanssa, jos tarvitset pätevän opettajan palveluita, mene korkeamman matematiikan tutorin sivulle. Ratkaistaan ​​ongelmasi yhdessä!

Saatat myös olla kiinnostunut