Aritmeettinen ja geometrinen progressio

Teoreettista tietoa

Teoreettista tietoa

	Aritmeettinen progressio	Geometrinen eteneminen
Määritelmä	Aritmeettinen progressio a n on sarja, jossa jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen samaan numeroon lisätty jäsen d (d- etenemisero)	Geometrinen eteneminen b n on nollasta poikkeavien lukujen sarja, jonka jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla luvulla q (q- etenemisen nimittäjä)
Toistumisen kaava	Kaikille luonnollisille n a n + 1 = a n + d	Kaikille luonnollisille n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Kaavan n:s termi	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Ominainen ominaisuus
Ensimmäisen n ehdon summa

Esimerkkejä tehtävistä kommentein

Harjoitus 1

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 1 = -6, a 2

N:nnen termin kaavan mukaan:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 pv

Ehdon mukaan:

a 1= -6 siis a 22= -6 + 21 d.

On tarpeen löytää etenemisero:

d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Vastaus: a 22 = -48.

Tehtävä 2

Etsi geometrisen progression viides termi: -3; 6;...

1. menetelmä (käyttäen n-termin kaavaa)

Geometrisen progression n:nnen termin kaavan mukaan:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Koska b 1 = -3,

2. menetelmä (käytetään toistuvaa kaavaa)

Koska etenemisen nimittäjä on -2 (q = -2), niin:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Vastaus: b 5 = -48.

Tehtävä 3

Aritmeettisessa progressiossa ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Etsi tämän etenemisen seitsemänkymmentäviides termi.

Aritmeettiselle progressiolle ominaisella ominaisuudella on muoto .

Siksi:

.

Korvataan tiedot kaavaan:

Vastaus: 95.

Tehtävä 4

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a n= 3n - 4. Laske ensimmäisen seitsemäntoista termin summa.

Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summan löytämiseksi käytetään kahta kaavaa:

.

Kumpi niistä on kätevämpi käyttää tässä tapauksessa?

Ehdolla tunnetaan alkuperäisen etenemisen n:nnen termin kaava ( a n) a n= 3n - 4. Löydät heti a 1, Ja a 16 löytämättä d. Siksi käytämme ensimmäistä kaavaa.

Vastaus: 368.

Tehtävä 5

Aritmeettisessa progressiossa ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Etsi etenemisen 22. termi.

N:nnen termin kaavan mukaan:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21p.

Ehdolla, jos a 1= -6 siis a 22= -6 + 21p. On tarpeen löytää etenemisero:

d = a 2-a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Vastaus: a 22 = -48.

Tehtävä 6

Useita peräkkäisiä geometrisen progression termejä kirjoitetaan:

Etsi x:n osoittaman etenemisen termi.

Ratkaisussa käytämme n:nnen termin kaavaa b n = b 1 ∙ q n - 1 geometrisia progressioita varten. Jakson ensimmäinen termi. Löytääksesi etenemisen q nimittäjä, sinun on otettava mikä tahansa annetuista etenemisen ehdoista ja jaettava se edellisellä. Esimerkissämme voimme ottaa ja jakaa. Saadaan, että q = 3. Korvataan n:n sijasta kaavassa 3, koska on tarpeen löytää tietyn geometrisen progression kolmas termi.

Korvaamalla löydetyt arvot kaavaan, saamme:

.

Vastaus:.

Tehtävä 7

Valitse n:nnen termin kaavan antamista aritmeettisista progressioista se, jonka ehto täyttyy a 27 > 9:

Koska annetun ehdon on täytyttävä etenemisen 27. termillä, korvaamme 27:n n:n sijaan kussakin neljässä etenemisessä. Neljännessä vaiheessa saamme:

.

Vastaus: 4.

Tehtävä 8

Aritmeettisessa progressiossa a 1= 3, d = -1,5. Määritä n:n suurin arvo, jolle epäyhtälö pätee a n > -6.

Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi, eli jokainen termi eroaa edellisestä q kertaa. (Oletetaan, että q ≠ 1, muuten kaikki on liian triviaalia). On helppo nähdä, että geometrisen progression n:nnen termin yleinen kaava on b n = b 1 q n – 1 ; termit numeroilla b n ja b m eroavat q n – m kertaa.

Jo muinaisessa Egyptissä he tiesivät paitsi aritmeettista, myös geometrista etenemistä. Tässä on esimerkiksi ongelma Rhindin papyruksesta: ”Seitsemällä kasvolla on seitsemän kissaa; Jokainen kissa syö seitsemän hiirtä, jokainen hiiri seitsemän tähkärasia ja jokainen ohran tähkä voi kasvattaa seitsemän mittaa ohraa. Kuinka suuria ovat tämän sarjan luvut ja niiden summa?

Riisi. 1. Muinaisen Egyptin geometrinen etenemisongelma

Tämä tehtävä toistettiin monta kertaa eri variaatioilla muiden kansojen kesken muina aikoina. Esimerkiksi kirjoitettuna 1200-luvulla. Leonardo Pisalaisen (Fibonaccin) "Abakuksen kirjassa" on ongelma, jossa 7 vanhaa naista ilmestyy matkalla Roomaan (ilmeisesti pyhiinvaeltajia), joista jokaisella on 7 muulia, joista jokaisessa on 7 laukkua, joista jokaisessa sisältää 7 leipää, joista jokaisessa on 7 veistä, joista jokaisessa on 7 tuppia. Ongelma kysyy kuinka monta esinettä on.

Geometrisen progression S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) ensimmäisen n jäsenen summa. Tämä kaava voidaan todistaa esimerkiksi näin: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Lisää luku b 1 q n kohtaan S n ja saat:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Tästä S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), ja saadaan tarvittava kaava.

Jo yhdellä muinaisen Babylonin savitauluista, jotka ovat peräisin 600-luvulta. eKr sisältää summan 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Totta, kuten useissa muissakin tapauksissa, emme tiedä, kuinka tämä tosiasia oli babylonialaisten tiedossa .

Geometrisen etenemisen nopeaa kasvua useissa kulttuureissa, erityisesti Intiassa, käytetään toistuvasti universumin laajuuden visuaalisena symbolina. Kuuluisassa legendassa shakin ulkonäöstä hallitsija antaa sen keksijälle mahdollisuuden valita palkinnon itse, ja hän kysyy vehnänjyvien lukumäärää, joka saadaan, jos yksi asetetaan shakkilaudan ensimmäiselle ruudulle, kaksi toinen, neljä kolmannella, kahdeksan neljännellä jne. aina kun numero tuplaantuu. Vladyka luuli, että puhumme korkeintaan muutamasta pussista, mutta hän laski väärin. On helppo nähdä, että kaikille shakkilaudan 64 ruudulle keksijä joutuisi saamaan (2 64 - 1) jyvät, joka ilmaistaan ​​20-numeroisena numerona; vaikka koko maan pinta kylvettäisiin, tarvittavan viljamäärän kerääminen kestäisi vähintään 8 vuotta. Tämä legenda tulkitaan joskus osoittavan shakkipeliin kätketyt käytännöllisesti katsoen rajattomat mahdollisuudet.

On helppo nähdä, että tämä luku on todella 20-numeroinen:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (tarkempi laskelma antaa 1,84 ∙ 10 19). Mutta mietin, voitko selvittää, mihin numeroon tämä numero päättyy?

Geometrinen progressio voi olla kasvava, jos nimittäjä on suurempi kuin 1, tai laskeva, jos se on pienempi kuin yksi. Jälkimmäisessä tapauksessa luku q n riittävän suurelle n:lle voi tulla mielivaltaisen pieneksi. Kun kasvava geometrinen eteneminen kasvaa odottamattoman nopeasti, pienenevä geometrinen eteneminen pienenee yhtä nopeasti.

Mitä suurempi n, sitä heikompi luku q n eroaa nollasta ja mitä lähempänä geometrisen progression S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) n termien summa on lukua S = b 1 / ( 1 – q). (Esimerkiksi F. Viet perusteli tällä tavalla). Lukua S kutsutaan äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaksi. Kuitenkin vuosisatojen ajan kysymys siitä, mitä tarkoitus on summata KOKO geometrinen progressio ja sen ääretön määrä termejä, ei ollut tarpeeksi selvä matemaatikoille.

Vähenevä geometrinen eteneminen on nähtävissä esimerkiksi Zenonin aporioissa "Puolijako" ja "Achilles ja kilpikonna". Ensimmäisessä tapauksessa on selvästi osoitettu, että koko tie (olettaen pituus 1) on summa loputtomasta määrästä osia 1/2, 1/4, 1/8 jne. Näin on tietysti äärellisen summan äärettömän geometrisen progression ideoiden näkökulma. Ja silti - kuinka tämä voi olla?

Riisi. 2. Eteneminen kertoimella 1/2

Achilleusta koskevassa aporiassa tilanne on hieman monimutkaisempi, koska tässä etenemisen nimittäjä ei ole 1/2, vaan jokin muu luku. Oletetaan esimerkiksi, että Akhilleus juoksee nopeudella v, kilpikonna liikkuu nopeudella u ja niiden välinen alkuetäisyys on l. Akhilleus kulkee tämän matkan ajassa l/v, ja tänä aikana kilpikonna liikkuu etäisyyden lu/v. Kun Akhilleus juoksee tätä segmenttiä, hänen ja kilpikonnan välinen etäisyys tulee yhtä suureksi kuin l (u /v) 2 jne. Osoittautuu, että kilpikonnan saavuttaminen tarkoittaa äärettömästi pienenevän geometrisen progression summan löytämistä ensimmäisellä termillä l ja nimittäjä u /v. Tämä summa - segmentti, jonka Akhilleus lopulta juoksee kohtaamispaikkaan kilpikonnan kanssa - on yhtä suuri kuin l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Mutta jälleen kerran, kuinka tämä tulos tulkitaan ja miksi siinä on mitään järkeä, ei ollut kovin selvää pitkään aikaan.

Riisi. 3. Geometrinen eteneminen kertoimella 2/3

Archimedes käytti geometrisen progression summaa määrittääkseen paraabelisegmentin alueen. Rajaa tämä paraabelin segmentti jänteellä AB ja olkoon paraabelin pisteen D tangentti yhdensuuntainen AB:n kanssa. Olkoon C pisteen AB keskipiste, E pisteen AC keskipiste, F pisteen CB keskipiste. Piirretään DC:n suuntaisia ​​viivoja pisteiden A, E, F, B kautta; Leikkaa pisteessä D piirretty tangentti nämä suorat pisteissä K, L, M, N. Piirretään myös segmentit AD ja DB. Leikkaa suora EL suoran AD pisteessä G ja paraabelin pisteessä H; suora FM leikkaa suoran DB pisteessä Q ja paraabelin pisteessä R. Yleisen kartioleikkausteorian mukaan DC on paraabelin (eli sen akselin suuntaisen segmentin) halkaisija; se ja tangentti pisteessä D voivat toimia koordinaattiakseleina x ja y, joissa paraabelin yhtälö on kirjoitettu muodossa y 2 = 2px (x on etäisyys D:stä mihin tahansa tietyn halkaisijan pisteeseen, y on pisteen pituus tietyn tangentin suuntainen segmentti tästä halkaisijapisteestä johonkin itse paraabelin pisteeseen).

Paraabeliyhtälön perusteella DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, ja koska DK = 2DL, niin KA = 4LH. Koska KA = 2LG, LH = HG. Paraabelin segmentin ADB pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion ΔADB pinta-ala ja segmenttien AHD ja DRB pinta-alat yhdistettyinä. Segmentin AHD pinta-ala on puolestaan ​​yhtä suuri kuin kolmion AHD ja muiden segmenttien AH ja HD pinta-ala, joilla kullakin voit suorittaa saman toiminnon - jakaa kolmioon (Δ) ja kaksi jäljellä olevaa segmenttiä () jne.:

Kolmion ΔAHD pinta-ala on puolet kolmion ΔALD pinta-alasta (niillä on yhteinen kanta AD ja korkeudet eroavat 2 kertaa), mikä puolestaan ​​on yhtä suuri kuin puolet kolmion pinta-alasta. kolmio ΔAKD ja siten puolet kolmion ΔACD pinta-alasta. Siten kolmion ΔAHD pinta-ala on yhtä suuri kuin neljäsosa kolmion ΔACD pinta-alasta. Samoin kolmion ΔDRB pinta-ala on yhtä kuin neljäsosa kolmion ΔDFB pinta-alasta. Joten kolmioiden ΔAHD ja ΔDRB pinta-alat yhdessä ovat yhtä kuin neljäsosa kolmion ΔADB pinta-alasta. Tämän toiminnon toistaminen, kun sitä sovelletaan segmentteihin AH, HD, DR ja RB, valitsee niistä kolmiot, joiden pinta-ala yhdessä on 4 kertaa pienempi kuin kolmioiden ΔAHD ja ΔDRB pinta-ala yhteensä, ja siis 16 kertaa pienempi kuin kolmion ΔADB pinta-ala. Ja niin edelleen:

Siten Arkhimedes osoitti, että "jokainen suoran ja paraabelin välinen segmentti muodostaa neljä kolmasosaa kolmiosta, jolla on sama kanta ja sama korkeus".

Geometrinen progressio on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on nollasta poikkeava ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Geometrinen eteneminen on merkitty b1,b2,b3, …, bn, …

Geometrisen etenemisen ominaisuudet

Geometrisen virheen minkä tahansa termin suhde sen edelliseen termiin on sama luku, eli b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Tämä seuraa suoraan aritmeettisen progression määritelmästä. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi. Yleensä geometrisen progression nimittäjä merkitään kirjaimella q.

Yksi tapa määrittää geometrinen progressio on määrittää sen ensimmäinen termi b1 ja geometrisen virheen q nimittäjä. Esimerkiksi b1=4, q=-2. Nämä kaksi ehtoa määrittelevät geometrisen etenemisen 4, -8, 16, -32, ….

Jos q>0 (q ei ole yhtä kuin 1), niin eteneminen on monotoninen sarja. Esimerkiksi sekvenssi 2, 4,8,16,32, ... on monotonisesti kasvava sekvenssi (b1=2, q=2).

Jos geometrisen virheen nimittäjä on q=1, niin geometrisen etenemisen kaikki termit ovat keskenään yhtä suuria. Tällaisissa tapauksissa etenemisen sanotaan olevan vakiosekvenssi.

Kaava etenemisen n:nnelle termille

Jotta lukujono (bn) olisi geometrinen progressio, on välttämätöntä, että jokainen sen jäsen toisesta alkaen on naapurijäsenten geometrinen keskiarvo. Eli on tarpeen täyttää seuraava yhtälö - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), millä tahansa n>0:lla, jossa n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Geometrisen etenemisen n:nnen termin kaava on:

bn=b1*q^(n-1), missä n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Katsotaanpa yksinkertaista esimerkkiä:

Geometrisessä progressiossa b1=6, q=3, n=8 etsi bn.

Käytetään geometrisen progression n:nnen termin kaavaa.

Geometrinen progressio on uudenlainen lukujono, johon olemme tutustumassa. Onnistuneiden seurustelujen kannalta ei haittaa ainakin tietää ja ymmärtää. Silloin geometrisen etenemisen kanssa ei ole ongelmia.)

Mikä on geometrinen progressio? Geometrisen etenemisen käsite.

Aloitamme kiertueen tuttuun tapaan perusasioista. Kirjoitan keskeneräisen numerosarjan:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Voitko havaita kuvion ja kertoa, mitkä numerot tulevat seuraavaksi? Pippuri on kirkas, sitten seuraavat luvut 100 000, 1 000 000 ja niin edelleen. Jopa ilman paljon henkistä vaivaa, kaikki on selvää, eikö?)

OK. Toinen esimerkki. Kirjoitan tämän sarjan:

1, 2, 4, 8, 16, …

Voitko kertoa, mitkä numerot tulevat seuraavaksi numeron 16 ja nimen jälkeen kahdeksas sarjan jäsen? Jos keksit, että se olisi numero 128, niin hyvä. Puolet taistelusta on siis ymmärryksessä järkeä Ja avainkohdat geometrinen progressio on jo tehty. Voit kasvaa edelleen.)

Ja nyt siirrymme taas tuntemuksista tiukkaan matematiikkaan.

Geometrisen etenemisen pääkohdat.

Avainkohta #1

Geometrinen eteneminen on numerosarja. Samoin eteneminen. Ei mitään hienoa. Vain tämä sekvenssi on järjestetty eri tavalla. Siksi sillä on tietysti eri nimi, kyllä...

Avainkohta #2

Toisen avainkohdan kohdalla kysymys on hankalampi. Palataanpa hieman taaksepäin ja muistetaan aritmeettisen progression keskeinen ominaisuus. Tässä se on: jokainen jäsen on erilainen kuin edellinen samalla määrällä.

Onko mahdollista muotoilla samanlainen avainominaisuus geometriselle progressiolle? Ajattele hieman... Katso lähemmin annettuja esimerkkejä. Arvasitko? Joo! Geometrisessa etenemisessä (mikä tahansa!) jokainen sen jäsen eroaa edellisestä saman monta kertaa. Aina!

Ensimmäisessä esimerkissä tämä luku on kymmenen. Riippumatta siitä, minkä sekvenssin jäsenen otat, se on suurempi kuin edellinen kymmenen kertaa.

Toisessa esimerkissä se on kaksi: jokainen termi on suurempi kuin edellinen kahdesti.

Juuri tämä avainkohta on se, että geometrinen eteneminen eroaa aritmeettisesta etenemisestä. Aritmeettisessa progressiossa jokainen seuraava termi saadaan lisäämällä sama arvo kuin edellisellä termillä. Ja täällä - kertolasku edellisellä kaudella samalla määrällä. Siinä koko ero.)

Avainkohta #3

Tämä avainkohta on täysin identtinen aritmeettisen progression kanssa. Nimittäin: Jokainen geometrisen progression termi on paikallaan. Kaikki on täsmälleen sama kuin aritmeettisessa etenemisessä ja kommentit ovat mielestäni tarpeettomia. On ensimmäinen termi, on sata ja ensimmäinen jne. Vaihdetaan ainakin kaksi termiä – kuvio (ja sen mukana geometrinen eteneminen) katoaa. Jäljelle jää vain numerosarja ilman logiikkaa.

Siinä kaikki. Se on koko geometrisen etenemisen pointti.

Termit ja nimitykset.

Mutta nyt, kun olemme ymmärtäneet geometrisen etenemisen merkityksen ja avainkohdat, voimme siirtyä teoriaan. Muuten, mitä on teoria ymmärtämättä sen merkitystä, eikö niin?

Kuinka geometrinen eteneminen merkitään?

Miten geometrinen progressio kirjoitetaan yleisessä muodossa? Ei ongelmaa! Jokainen etenemisen termi kirjoitetaan myös kirjaimeksi. Vain aritmeettisessa progressiossa käytetään yleensä kirjainta "A", geometriselle – kirjain "b". Jäsennumero, kuten tavallista, on merkitty hakemisto oikeassa alakulmassa. Luettelemme yksinkertaisesti etenemisen jäsenet toisistaan ​​pilkuilla tai puolipisteillä erotettuina.

Kuten tämä:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Lyhyesti, tämä kehitys on kirjoitettu näin: (b n) .

Tai näin, rajallisille edistyksille:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Tai lyhyesti sanottuna:

(b n), n=30 .

Se on itse asiassa kaikki nimitys. Kaikki on sama, vain kirjain on erilainen, kyllä.) Ja nyt siirrytään suoraan määritelmään.

Geometrisen progression määritelmä.

Geometrinen progressio on numerosarja, jossa ensimmäinen termi on muu kuin nolla ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Siinä koko määritelmä. Useimmat sanat ja lauseet ovat sinulle selkeitä ja tuttuja. Jos tietysti ymmärrät geometrisen etenemisen merkityksen "sormillasi" ja yleensä. Mutta on myös muutamia uusia lauseita, joihin haluaisin kiinnittää erityistä huomiota.

Ensin sanat: "jonka ensimmäinen jäsen ei-nolla".

Tätä ensimmäisen kauden rajoitusta ei otettu käyttöön sattumalta. Mitä luulet tapahtuvan, jos ensimmäinen jäsen b 1 on yhtä suuri kuin nolla? Mitä toinen termi on yhtä suuri, jos jokainen termi on suurempi kuin edellinen? saman monta kertaa? Sanotaanko kolme kertaa? Katsotaanpa... Kerro ensimmäinen termi (eli 0) kolmella ja saat... nolla! Entä kolmas jäsen? Myös nolla! Ja neljäs termi on myös nolla! Ja niin edelleen…

Saamme vain pussin sämpylöitä, sarja nollia:

0, 0, 0, 0, …

Tietysti sellaisella sarjalla on oikeus elämään, mutta sillä ei ole käytännön merkitystä. Kaikki on selvää. Jokainen sen jäsen on nolla. Minkä tahansa määrän termejä summa on myös nolla... Mitä mielenkiintoista sillä voi tehdä? Ei mitään…

Seuraavat avainsanat: "kerrottu samalla nollasta poikkeavalla luvulla."

Tällä samalla numerolla on myös oma erikoisnimi - geometrisen progression nimittäjä. Aloitetaan tutustuminen.)

Geometrisen progression nimittäjä.

Kaikki on yhtä yksinkertaista kuin päärynöiden kuoriminen.

Geometrisen progression nimittäjä on nollasta poikkeava luku (tai määrä), joka osoittaa kuinka monta kertaaetenemisen jokainen termi enemmän kuin edellinen.

Jälleen, samoin kuin aritmeettinen progressio, tässä määritelmässä etsittävä avainsana on sana "lisää". Se tarkoittaa, että jokainen geometrisen progression termi saadaan kertolasku juuri tähän nimittäjään edellinen jäsen.

Anna minun selittää.

Lasketaan vaikka toinen kalu, täytyy ottaa ensimmäinen jäsen ja moninkertaistaa sen nimittäjään. Laskemiseen kymmenes kalu, täytyy ottaa yhdeksäs jäsen ja moninkertaistaa sen nimittäjään.

Itse geometrisen progression nimittäjä voi olla mikä tahansa. Ehdottomasti kuka tahansa! Kokonainen, murto-osa, positiivinen, negatiivinen, irrationaalinen - kaikki. Paitsi nolla. Tämän määritelmän sana "ei-nolla" kertoo meille. Miksi tätä sanaa tarvitaan täällä - siitä lisää myöhemmin.

Geometrisen progression nimittäjä useimmiten osoitettu kirjeellä q.

Kuinka löytää se q? Ei ongelmaa! Meidän on otettava mikä tahansa etenemisen termi ja jakaa edellisellä termillä. Jako on murto-osa. Tästä syystä nimi - "etenemisen nimittäjä". Nimittäjä, se yleensä istuu murto-osassa, kyllä...) Vaikka loogisesti ajatellen arvo q pitäisi kutsua yksityinen geometrinen progressio, samanlainen kuin ero aritmeettista progressiota varten. Mutta sovimme, että soitamme nimittäjä. Emmekä myöskään keksi pyörää uudelleen.)

Määritellään esimerkiksi määrä q tälle geometriselle progressiolle:

2, 6, 18, 54, …

Kaikki on alkeellista. Otetaan se minkä tahansa sekvenssi numero. Otamme mitä haluamme. Paitsi aivan ensimmäinen. Esimerkiksi 18. Ja jakaa edellinen numero. Eli klo 6.

Saamme:

q = 18/6 = 3

Siinä kaikki. Tämä on oikea vastaus. Tämän geometrisen etenemisen nimittäjä on kolme.

Etsitään nyt nimittäjä q toiselle geometriselle progressiolle. Esimerkiksi tämä:

1, -2, 4, -8, 16, …

Aivan sama. Riippumatta siitä, millaisia ​​merkkejä jäsenillä itsellään on, otamme silti vastaan minkä tahansa sekvenssin numero (esimerkiksi 16) ja jaa luvulla edellinen numero(eli -8).

Saamme:

d = 16/(-8) = -2

Ja siinä se.) Tällä kertaa etenemisen nimittäjä osoittautui negatiiviseksi. Miinus kaksi. Tapahtuu.)

Otetaan nyt tämä eteneminen:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Ja jälleen, riippumatta sekvenssin numerotyypistä (oliko kokonaislukuja, parillisia murtolukuja, jopa negatiivisia, jopa irrationaalisia), otamme minkä tahansa luvun (esimerkiksi 1/9) ja jaamme sen edellisellä numerolla (1/3). Murtolukujen kanssa työskentelyä koskevien sääntöjen mukaan tietysti.

Saamme:

Siinä kaikki.) Tässä nimittäjä osoittautui murtoluvuksi: q = 1/3.

Mitä mieltä olet tästä "kehityksestä"?

3, 3, 3, 3, 3, …

Ilmeisesti täällä q = 1 . Muodollisesti tämä on myös geometrinen eteneminen, vain kanssa identtisiä jäseniä.) Mutta tällaiset edistysaskeleet eivät ole mielenkiintoisia opiskelun ja käytännön soveltamisen kannalta. Sama kuin eteneminen kiinteillä nollia. Siksi emme ota niitä huomioon.

Kuten näette, etenemisen nimittäjä voi olla mikä tahansa - kokonaisluku, murtoluku, positiivinen, negatiivinen - mikä tahansa! Se ei voi olla vain nolla. Etkö arvaa miksi?

No, käytetään jotakin konkreettista esimerkkiä nähdäksemme, mitä tapahtuu, jos otamme sen nimittäjänä q nolla.) Olkaamme esimerkiksi b 1 = 2 , A q = 0 . Mitä sitten toinen termi on yhtä suuri?

Me laskemme:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Entä kolmas jäsen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Geometristen progressioiden tyypit ja käyttäytyminen.

Kaikki oli enemmän tai vähemmän selvää: jos etenemisero d on positiivinen, niin eteneminen lisääntyy. Jos ero on negatiivinen, eteneminen vähenee. Vaihtoehtoja on vain kaksi. Kolmatta ei ole.)

Mutta geometrisen progression käyttäytymisen myötä kaikki on paljon mielenkiintoisempaa ja monipuolisempaa!)

Ei ole väliä kuinka jäsenet käyttäytyvät täällä: he kasvavat ja laskevat ja lähestyvät loputtomasti nollaa ja jopa vaihtavat merkkejä, heittäen itsensä vuorotellen "plussaan" ja sitten "miinukseen"! Ja kaikessa tässä monimuotoisuudessa sinun on kyettävä ymmärtämään hyvin, kyllä...

Selvitetään se?) Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta.

Nimittäjä on positiivinen ( q >0)

Positiivisella nimittäjällä voidaan ensinnäkin mennä geometrisen progression termeihin plus ääretön(eli kasvaa ilman rajoituksia) ja voi mennä miinus ääretön(eli vähennä ilman rajoituksia). Olemme jo tottuneet tähän kehityskulkujen käyttäytymiseen.

Esimerkiksi:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Täällä kaikki on yksinkertaista. Jokainen etenemisen termi saadaan enemmän kuin edellinen. Lisäksi jokainen termi osoittautuu kertolasku edellinen jäsen päällä positiivinen numero +2 (esim. q = 2 ). Tällaisen etenemisen käyttäytyminen on ilmeistä: kaikki etenemisen jäsenet kasvavat loputtomasti ja menevät avaruuteen. Plus ääretön...

Ja nyt on edistystä:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Tässäkin saadaan jokainen etenemisen termi kertolasku edellinen jäsen päällä positiivinen numero +2. Mutta tällaisen etenemisen käyttäytyminen on täsmälleen päinvastainen: jokainen etenemisen termi saadaan vähemmän kuin edellinen, ja kaikki sen ehdot pienenevät rajattomasti miinus äärettömyyteen.

Ajatelkaamme nyt: mitä yhteistä näillä kahdella etenemisellä on? Aivan oikein, nimittäjä! Siellä sun täällä q = +2 . Positiivinen luku. Kaksi. Ja täällä käyttäytymistä Nämä kaksi kehitystä ovat pohjimmiltaan erilaisia! Etkö osaa arvata miksi? Joo! Kyse on kaikesta ensimmäinen jäsen! Se on hän, kuten sanotaan, joka soittaa sävelmää.) Katso itse.

Ensimmäisessä tapauksessa etenemisen ensimmäinen termi positiivinen(+1) ja siten kaikki seuraavat termit, jotka saadaan kertomalla luvulla positiivinen nimittäjä q = +2 , tulee myös olemaan positiivinen.

Mutta toisessa tapauksessa ensimmäinen termi negatiivinen(-1). Siksi kaikki seuraavat etenemisen ehdot, jotka saadaan kertomalla positiivinen q = +2 , myös hankitaan negatiivinen. Koska "miinus" - "plus" antaa aina "miinuksen", kyllä.)

Kuten näette, toisin kuin aritmeettinen progressio, geometrinen progressio voi käyttäytyä täysin eri tavalla, ei vain riippuen nimittäjästäq, mutta myös riippuen ensimmäisestä jäsenestä lähtien, Joo.)

Muista: geometrisen progression käyttäytyminen määräytyy ainutlaatuisesti sen ensimmäisen termin perusteella b 1 ja nimittäjäq .

Ja nyt alamme analysoida vähemmän tuttuja, mutta paljon mielenkiintoisempia tapauksia!

Otetaan esimerkiksi tämä sekvenssi:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Tämä sarja on myös geometrinen progressio! Tämän etenemisen jokainen termi myös osoittautuu kertolasku edellinen jäsen, samalla numerolla. Se on vain numero - murtoluku: q = +1/2 . Tai +0,5 . Lisäksi (tärkeää!) numero vähemmän kuin yksi:q = 1/2<1.

Miksi tämä geometrinen eteneminen on mielenkiintoinen? Mihin sen jäsenet ovat menossa? Katsotaanpa:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Mitä mielenkiintoisia asioita tässä voi huomata? Ensinnäkin etenemisen väheneminen on heti havaittavissa: jokainen sen jäsen Vähemmän täsmälleen edellinen 2 kertaa. Tai geometrisen progression määritelmän mukaan jokainen termi lisää Edellinen 1/2 kertaa, koska etenemisen nimittäjä q = 1/2 . Ja kun kerrotaan positiivisella luvulla, joka on pienempi kuin yksi, tulos yleensä pienenee, kyllä...

Mitä lisää voidaan nähdä tämän kehityksen käyttäytymisessä? Vähenevätkö sen jäsenet? rajoittamaton, menee miinus äärettömyyteen? Ei! Ne katoavat erityisellä tavalla. Aluksi ne vähenevät melko nopeasti ja sitten yhä hitaammin. Ja pysyen koko ajan positiivinen. Vaikka hyvin, hyvin pieni. Ja mihin he itse pyrkivät? Etkö arvannut? Joo! He pyrkivät kohti nollaa!) Lisäksi, huomioi, etenemisemme jäsenet ovat nollasta koskaan tavoita! Vain lähestyy häntä äärettömän läheltä. Se on erittäin tärkeää.)

Samanlainen tilanne tapahtuu seuraavassa etenemisessä:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tässä b 1 = -1 , A q = 1/2 . Kaikki on ennallaan, vain nyt termit lähestyvät nollaa toiselta puolelta, alhaalta. Pysyminen koko ajan negatiivinen.)

Sellainen geometrinen eteneminen, jonka ehdot lähestyä nollaa ilman rajoituksia(riippumatta positiivisesta tai negatiivisesta puolelta), matematiikassa on erityinen nimi - loputtomasti pienenevä geometrinen progressio. Tämä kehitys on niin mielenkiintoinen ja epätavallinen, että siitä tullaan jopa keskustelemaan erillinen oppitunti .)

Olemme siis harkinneet kaiken mahdollisen positiivinen nimittäjät ovat sekä suuria että pienempiä. Emme pidä itse yksikköä nimittäjänä yllä mainituista syistä (muistakaa esimerkki kolmosjonosta...)

Tehdään yhteenveto:

positiivinenJa enemmän kuin yksi (q>1), sitten etenemisen ehdot:

a) kasvaa ilman rajoituksia (josb 1 >0);

b) vähennä rajoituksetta (josb 1 <0).

Jos geometrisen progression nimittäjä positiivinen Ja vähemmän kuin yksi (0< q<1), то члены прогрессии:

a) äärettömän lähellä nollaa edellä(Josb 1 >0);

b) lähestyy äärettömän lähellä nollaa alhaalta(Josb 1 <0).

Nyt on vielä pohdittava tapausta negatiivinen nimittäjä.

Nimittäjä on negatiivinen ( q <0)

Emme mene pitkälle esimerkkinä. Miksi juuri pörröinen mummo?!) Olkoon esimerkiksi etenemisen ensimmäinen termi b 1 = 1 , ja otetaan nimittäjä q = -2.

Saamme seuraavan sekvenssin:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Ja niin edelleen.) Jokainen etenemisen termi saadaan kertolasku edellinen jäsen päällä negatiivinen luku-2. Tässä tapauksessa kaikki parittomilla paikoilla (ensimmäinen, kolmas, viides jne.) seisovat jäsenet ovat positiivinen, ja parillisissa paikoissa (toinen, neljäs jne.) – negatiivinen. Merkit vaihtelevat tiukasti. Plus-miinus-plus-miinus... Tätä geometrista etenemistä kutsutaan - kasvava merkki vuorotellen.

Mihin sen jäsenet ovat menossa? Mutta ei missään.) Kyllä, absoluuttisena arvona (eli modulo) etenemisemme jäsenet lisääntyvät rajattomasti (siis nimi "kasvava"). Mutta samaan aikaan jokainen etenemisen jäsen heittää sinut vuorotellen kuumuuteen ja sitten kylmään. Joko "plus" tai "miinus". Edistymisemme horjuu... Lisäksi vaihteluiden laajuus kasvaa nopeasti joka askeleella, kyllä.) Siksi etenemisen jäsenten pyrkimykset ovat menossa jonnekin erityisesti Tässä Ei. Ei plus äärettömyyteen, miinus äärettömyyteen eikä nollaan - ei missään.

Tarkastellaan nyt jotain murto-osaa nollan ja miinus yhden välillä.

Antaa olla esimerkiksi b 1 = 1 , A q = -1/2.

Sitten saadaan edistyminen:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Ja taas meillä on vuorotellen merkkejä! Mutta toisin kuin edellisessä esimerkissä, tässä on jo selvä taipumus termien lähestyä nollaa.) Vain tällä kertaa termimme lähestyvät nollaa ei tiukasti ylhäältä tai alhaalta, vaan taas epäröi. Otetaan vuorotellen positiivisia ja negatiivisia arvoja. Mutta samalla he moduulit ovat tulossa yhä lähemmäksi vaalittua nollaa.)

Tätä geometrista etenemistä kutsutaan äärettömästi laskeva merkki, vuorotteleva.

Miksi nämä kaksi esimerkkiä ovat kiinnostavia? Ja se, että molemmissa tapauksissa tapahtuu vuorottelevia merkkejä! Tämä temppu on tyypillinen vain negatiivisella nimittäjällä oleville progressioille, kyllä.) Joten jos jossain tehtävässä näet geometrisen progression vuorottelevin termein, tiedät jo varmasti, että sen nimittäjä on 100 % negatiivinen etkä tee virhettä merkissä.)

Muuten, negatiivisen nimittäjän tapauksessa ensimmäisen termin merkki ei vaikuta lainkaan itse etenemisen käyttäytymiseen. Etenemisen ensimmäisen termin merkistä riippumatta termien merkkiä noudatetaan joka tapauksessa. Ainoa kysymys on, missä paikoissa(parillinen tai pariton) jäsenillä on tietyt merkit.

Muistaa:

Jos geometrisen progression nimittäjä negatiivinen , silloin etenemisen ehtojen merkit ovat aina vaihtoehtoinen.

Samalla jäsenet itse:

a) korottaa rajoituksettamodulo, Josq<-1;

b) lähestyy nollaa äärettömästi, jos -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Siinä kaikki. Kaikki tyypilliset tapaukset on analysoitu.)

Analysoidessani erilaisia ​​esimerkkejä geometrisista progressioista käytin ajoittain sanoja: "tapua nollaan", "taipumus plus äärettömyyteen", "taipumus miinus äärettömyyteen"... Se on okei.) Nämä puhekuvat (ja erityiset esimerkit) ovat vain alustava johdatus käyttäytymistä erilaisia ​​numerosarjoja. Geometrisen progression esimerkkiä käyttäen.

Miksi meidän edes tarvitsee tietää etenemisen käyttäytyminen? Mitä väliä sillä on minne hän menee? Kohti nollaa, plus äärettömyyteen, miinus äärettömyyteen... Mitä tämä tekee meille?

Asia on siinä, että jo yliopistossa korkeamman matematiikan kurssilla tarvitset kykyä työskennellä monenlaisten numeeristen sekvenssien kanssa (millä tahansa, ei vain progressioilla!) ja kykyä kuvitella tarkalleen kuinka tämä tai tuo sekvenssi käyttäytyy - kasvaako se, väheneekö se rajattomasti, suuntautuuko tiettyyn numeroon (eikä välttämättä nollaan) tai ei edes yleensä mihinkään... Tälle aiheelle on omistettu kokonainen osio matematiikan aikana analyysi - rajojen teoria. Ja hieman tarkemmin - konsepti numerosarjan raja. Erittäin mielenkiintoinen aihe! On järkevää mennä yliopistoon ja selvittää se.)

Joitakin esimerkkejä tästä osiosta (sekvenssit, joilla on raja) ja erityisesti loputtomasti pienenevä geometrinen progressio He alkavat tottua siihen koulussa. Olemme tottuneet siihen.)

Lisäksi kyky tutkia hyvin sekvenssien käyttäytymistä hyödyttää sinua suuresti tulevaisuudessa ja on erittäin hyödyllinen toimintotutkimus. Kaikkein monipuolisin. Mutta kyky työskennellä pätevästi funktioiden kanssa (laskea derivaatat, tutkia niitä kokonaan, rakentaa niiden kaavioita) nostaa jo dramaattisesti matemaattista tasoasi! Onko sinulla epäilyksiä? Ei tarvetta. Muista myös sanani.)

Katsotaanpa elämän geometrista etenemistä?

Ympäröivässä elämässä kohtaamme geometrisen etenemisen hyvin, hyvin usein. Jopa tietämättään.)

Esimerkiksi erilaiset mikro-organismit, jotka ympäröivät meitä kaikkialla valtavia määriä ja joita emme voi edes nähdä ilman mikroskooppia, lisääntyvät tarkasti geometrisesti.

Oletetaan, että yksi bakteeri lisääntyy jakautumalla puoliksi ja antaa jälkeläisiä kahdeksi bakteeriksi. Jokainen niistä puolestaan ​​​​jakaa lisääntyessään puoliksi, jolloin saadaan 4 bakteerin yhteinen jälkeläinen. Seuraava sukupolvi tuottaa 8 bakteeria, sitten 16 bakteeria, 32, 64 ja niin edelleen. Jokaisen seuraavan sukupolven myötä bakteerien määrä kaksinkertaistuu. Tyypillinen esimerkki geometrisesta etenemisestä.)

Myös jotkut hyönteiset – kirvat ja kärpäset – lisääntyvät eksponentiaalisesti. Ja joskus myös kaneja, muuten.)

Toinen esimerkki geometrisesta etenemisestä, joka on lähempänä jokapäiväistä elämää, on ns korkoa korolle. Tämä mielenkiintoinen ilmiö löytyy usein pankkitalletuksista ja sitä kutsutaan korkojen pääomittaminen. Mikä se on?

Itse olet tietysti vielä nuori. Opiskelet koulussa, et käy pankeissa. Mutta vanhempasi ovat jo aikuisia ja itsenäisiä ihmisiä. He menevät töihin, ansaitsevat rahaa päivittäiseen leipäänsä ja laittavat osan rahoista pankkiin säästäen.)

Oletetaan, että isäsi haluaa säästää tietyn summan rahaa perhelomaa varten Turkissa ja laittaa pankkiin 50 000 ruplaa 10 % vuodessa kolmen vuoden ajan vuotuisella korolla. Lisäksi koko tämän ajanjakson aikana talletuksella ei voi tehdä mitään. Et voi täydentää talletusta etkä nostaa rahaa tililtä. Kuinka paljon voittoa hän saa näiden kolmen vuoden jälkeen?

Ensinnäkin meidän on selvitettävä, mikä on 10 prosenttia vuodessa. Se tarkoittaa sitä Vuodessa Pankki lisää 10 % alkuperäiseen talletussummaan. Mistä? Tietenkin alkaen alkuperäinen talletussumma.

Laskemme tilin koon vuoden kuluttua. Jos alkuperäinen talletussumma oli 50 000 ruplaa (eli 100%), kuinka paljon korkoa tilillä on vuoden kuluttua? Juuri niin, 110%! Alkaen 50 000 ruplaa.

Joten laskemme 110% 50 000 ruplasta:

50000·1,1 = 55000 ruplaa.

Toivottavasti ymmärrät, että 110 %:n löytäminen arvosta tarkoittaa arvon kertomista luvulla 1,1? Jos et ymmärrä miksi näin on, muista viides ja kuudes luokka. Nimittäin – yhteys prosenttien ja murto-osien ja osien välillä.)

Näin ollen ensimmäisen vuoden korotus on 5 000 ruplaa.

Kuinka paljon rahaa tilillä on kahden vuoden kuluttua? 60 000 ruplaa? Valitettavasti (tai pikemminkin onneksi) kaikki ei ole niin yksinkertaista. Koko korkojen pääomituksen temppu on se, että jokaisen uuden koronkertymän yhteydessä nämä samat korot otetaan jo huomioon uudesta määrästä! Häneltä, joka jo on tilillä Tällä hetkellä. Ja edelliseltä kaudelta kertynyt korko lisätään alkuperäiseen talletussummaan ja siten itse osallistuu uuden koron laskemiseen! Eli niistä tulee täysi osa kokonaistiliä. Tai yleistä iso alkukirjain. Siitä syystä nimi - korkojen pääomittaminen.

Se on taloustieteessä. Ja matematiikassa tällaisia ​​prosentteja kutsutaan korkoa korolle. Tai korkoprosentti.) Heidän temppunsa on, että peräkkäin laskettaessa prosenttiosuudet lasketaan joka kerta uudesta arvosta. Eikä alkuperäisestä...

Siksi laskea summa läpi kaksi vuotta, meidän on laskettava 110 % tilillä olevasta summasta Vuodessa. Eli jo 55 000 ruplasta.

Laskemme 110% 55 000 ruplasta:

55000·1,1 = 60500 ruplaa.

Tämä tarkoittaa, että prosentuaalinen korotus toisena vuonna on 5 500 ruplaa ja kahden vuoden osalta 10 500 ruplaa.

Nyt voit jo arvata, että kolmen vuoden kuluttua tilillä oleva summa on 110% 60 500 ruplasta. Se on taas 110% edellisestä (viime vuonna) määriä.

Tässä ajattelemme:

60500·1,1 = 66550 ruplaa.

Järjestämme nyt rahasummamme vuosien mukaan järjestyksessä:

50000;

55 000 = 50 000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Eli miten on? Miksei geometrinen progressio? Ensimmäinen jäsen b 1 = 50000 , ja nimittäjä q = 1,1 . Jokainen termi on tiukasti 1,1 kertaa suurempi kuin edellinen. Kaikki on tiukasti määritelmän mukaista.)

Ja kuinka monta ylimääräistä korkobonusta isäsi "kerää", kun hänen 50 000 ruplaansa ovat olleet hänen pankkitilillä kolme vuotta?

Me laskemme:

66550 – 50000 = 16550 ruplaa

Ei tietenkään paljoa. Mutta tämä on jos alkuperäinen talletussumma on pieni. Mitä jos on enemmän? Sanotaan, ei 50, vaan 200 tuhatta ruplaa? Sitten kolmen vuoden lisäys on 66 200 ruplaa (jos lasket). Mikä on jo erittäin hyvä.) Entä jos panos on vieläkin suurempi? Se siitä...

Johtopäätös: mitä suurempi alkutalletus, sitä kannattavampi korkopääoma tulee. Tästä syystä pankit tarjoavat korkopääomitettuja talletuksia pitkiä aikoja. Sanotaan vaikka viideksi vuodeksi.

Myös kaikenlaiset pahat taudit, kuten influenssa, tuhkarokko ja vielä kauheammat taudit (sama SARS 2000-luvun alussa tai rutto keskiajalla) haluavat levitä eksponentiaalisesti. Siksi epidemioiden laajuus, kyllä...) Ja kaikki johtuu siitä, että geometrinen eteneminen koko positiivinen nimittäjä (q>1) – asia, joka kasvaa todella nopeasti! Muista bakteerien lisääntyminen: yhdestä bakteerista saadaan kaksi, kahdesta - neljä, neljästä - kahdeksan ja niin edelleen... Sama koskee minkä tahansa infektion leviämistä.)

Geometrisen progression yksinkertaisimmat tehtävät.

Aloitetaan, kuten aina, yksinkertaisesta ongelmasta. Puhtaasti tarkoituksen ymmärtämiseksi.

1. Tiedetään, että geometrisen progression toinen termi on yhtä suuri kuin 6 ja nimittäjä on -0,5. Etsi sen ensimmäinen, kolmas ja neljäs termi.

Joten meille on annettu loputon geometrinen eteneminen, mutta tiedossa toinen termi tämä eteneminen:

b 2 = 6

Lisäksi tiedämme myös etenemisen nimittäjä:

q = -0,5

Ja sinun täytyy löytää ensimmäinen, kolmas Ja neljäs tämän kehityksen jäseniä.

Toimimme siis. Kirjoitamme sarjan muistiin tehtävän ehtojen mukaisesti. Suoraan yleisessä muodossa, jossa toinen termi on kuusi:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Aloitetaan nyt etsiminen. Aloitamme, kuten aina, yksinkertaisimmasta. Voit laskea esimerkiksi kolmannen termin b 3? Voi! Sinä ja minä tiedämme jo (suoraan geometrisen progression mielessä), että kolmas termi (b 3) enemmän kuin toinen (b 2 ) V "q" kerran!

Joten kirjoitamme:

b 3 =b 2 · q

Korvaamme kuusi tähän lausekkeeseen sen sijaan b 2 ja sen sijaan -0,5 q ja laskemme. Emmekä tietenkään jätä huomiotta miinustakaan...

b3 = 6·(-0,5) = -3

Kuten tämä. Kolmas termi osoittautui negatiiviseksi. Ei ihme: nimittäjämme q– negatiivinen. Ja plussan kertominen miinuksella on tietysti miinus.)

Nyt lasketaan etenemisen seuraava, neljäs termi:

b 4 =b 3 · q

b4 = -3·(-0,5) = 1,5

Neljäs lukukausi on taas plussalla. Viides termi on jälleen miinus, kuudes plus ja niin edelleen. Merkit vaihtelevat!

Joten kolmas ja neljäs termi löydettiin. Tuloksena on seuraava järjestys:

b1; 6; -3; 1,5; ...

Nyt jäljellä on vain löytää ensimmäinen termi b 1 tunnetun toisen mukaan. Tätä varten astumme toiseen suuntaan, vasemmalle. Tämä tarkoittaa, että tässä tapauksessa etenemisen toista termiä ei tarvitse kertoa nimittäjällä, vaan jakaa.

Jaamme ja saamme:

Siinä kaikki.) Vastaus ongelmaan on seuraava:

-12; 6; -3; 1,5; …

Kuten näet, ratkaisuperiaate on sama kuin . Me tiedämme minkä tahansa jäsen ja nimittäjä geometrinen progressio - voimme löytää minkä tahansa muun sen jäsenen. Löydämme haluamamme.) Ainoa ero on, että yhteenlasku/vähennys korvataan kerto-/jakolaskulla.

Muista: jos tiedämme vähintään yhden geometrisen etenemisen jäsenen ja nimittäjän, voimme aina löytää minkä tahansa muun tämän etenemisen jäsenen.

Perinteen mukaan seuraava ongelma on OGE:n todellisesta versiosta:

2.

...; 150; X; 6; 1,2; ...

Eli miten on? Tällä kertaa ei ole ensimmäistä termiä, ei nimittäjää q, annetaan vain numerosarja... Jotain jo tuttua, eikö? Joo! Samanlainen ongelma on jo ratkaistu aritmeettisessa progressiossa!

Emme siis pelkää. Aivan sama. Käännytään päämme päähän ja muistetaan geometrisen etenemisen alkeellinen merkitys. Katsomme sekvenssiämme huolellisesti ja selvitämme, mitkä kolmen pääosan (ensimmäinen termi, nimittäjä, terminumero) geometrisen etenemisen parametrit ovat piilossa siinä.

Jäsennumerot? Ei ole jäsennumeroita, kyllä... Mutta niitä on neljä peräkkäinen numeroita. En näe mitään järkeä selittää, mitä tämä sana tarkoittaa tässä vaiheessa.) Onko tässä järjestyksessä kaksi? viereiset tunnetut numerot? Syödä! Nämä ovat 6 ja 1.2. Joten voimme löytää etenemisen nimittäjä. Otetaan siis luku 1.2 ja jaetaan edelliseen numeroon. Kuuteen.

Saamme:

Saamme:

x= 150·0,2 = 30

Vastaus: x = 30 .

Kuten näet, kaikki on melko yksinkertaista. Suurin vaikeus on vain laskelmissa. Se on erityisen vaikeaa negatiivisten ja murto-osien nimittäjien tapauksessa. Joten ne, joilla on ongelmia, toista aritmetiikka! Kuinka työskennellä murtolukujen kanssa, kuinka työskennellä negatiivisten lukujen kanssa ja niin edelleen... Muuten hidastut armottomasti täällä.

Muokataan nyt ongelmaa hieman. Nyt menee mielenkiintoiseksi! Poistetaan viimeinen numero 1.2 siitä. Ratkaistaan ​​nyt tämä ongelma:

3. Useita peräkkäisiä geometrisen progression termejä kirjoitetaan:

...; 150; X; 6; ...

Etsi x-kirjaimella merkityn etenemisen termi.

Kaikki on samanlaista, vain kaksi vierekkäistä kuuluisa Meillä ei nyt ole etenemisen jäseniä. Tämä on suurin ongelma. Koska suuruus q kahden vierekkäisen termin avulla voimme helposti määrittää emme voi. Onko meillä mahdollisuus selviytyä tehtävästä? Varmasti!

kirjoitetaan tuntematon termi " x"suoraan geometrisen progression merkityksessä! Yleisesti ottaen.

Kyllä kyllä! Aivan tuntemattomalla nimittäjällä!

Toisaalta X:lle voidaan kirjoittaa seuraava suhde:

x= 150·q

Toisaalta meillä on täysi oikeus kuvata tätä samaa X:ää läpi Seuraava jäsen, kuuteen asti! Jaa kuusi nimittäjällä.

Kuten tämä:

x = 6/ q

Ilmeisesti nyt voimme rinnastaa nämä molemmat suhteet. Koska me ilmaisemme sama magnitudi (x), mutta kaksi eri tavoilla.

Saamme yhtälön:

Kerrotaan kaikki q, yksinkertaistamalla ja lyhentämällä, saamme yhtälön:

q2 = 1/25

Ratkaisemme ja saamme:

q = ±1/5 = ±0,2

Oho! Nimittäjä osoittautui kaksinkertaiseksi! +0,2 ja -0,2. Ja kumpi kannattaa valita? Umpikuja?

Rauhoittaa! Kyllä, ongelma todellakin on kaksi ratkaisua! Ei siinä mitään vikaa. Sitä tapahtuu.) Et ole yllättynyt, kun saat esimerkiksi kaksi juuria, kun ratkaiset tavallisen ongelman? Täällä on sama tarina.)

varten q = +0,2 me tulemme saamaan:

X = 150 0,2 = 30

Ja varten q = -0,2 tahtoa:

X = 150·(-0,2) = -30

Saamme kaksinkertaisen vastauksen: x = 30; x = -30.

Mitä tämä mielenkiintoinen tosiasia tarkoittaa? Ja mitä on olemassa kaksi etenemistä, joka täyttää ongelman ehdot!

Kuten nämä:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Molemmat sopivat.) Miksi arvelet, että vastauksemme jakautuivat? Vain siksi, että tietyn etenemisen (1,2) jäsen poistuu kuuden jälkeen. Ja kun tiedetään vain geometrisen progression edellinen (n-1) ja myöhempi (n+1) termi, emme voi enää sanoa mitään yksiselitteisesti niiden välissä olevasta n:nnestä termistä. Vaihtoehtoja on kaksi – plussalla ja miinuksella.

Mutta ei hätää. Yleensä geometrisen etenemisen tehtävissä on lisätietoa, joka antaa yksiselitteisen vastauksen. Sanotaanpa sanat: "vaihtuva eteneminen" tai "edistyminen positiivisella nimittäjällä" ja niin edelleen... Juuri näiden sanojen pitäisi toimia vihjeenä siitä, mikä merkki plus vai miinus tulisi valita lopullista vastausta valmisteltaessa. Jos tällaista tietoa ei ole, niin kyllä, tehtävällä on kaksi ratkaisua.)

Nyt päätämme itse.

4. Selvitä, onko luku 20 geometrisen progression jäsen:

4 ; 6; 9; …

5. Vaihtelevan geometrisen progression merkki:

…; 5; x ; 45; …

Etsi kirjaimen osoittama etenemisen termi x .

6. Etsi geometrisen progression neljäs positiivinen termi:

625; -250; 100; …

7. Geometrisen progression toinen termi on -360 ja sen viides termi on 23,04. Etsi tämän etenemisen ensimmäinen termi.

Vastaukset (häiriössä): -15; 900; Ei; 2.56.

Onnittelut, jos kaikki sujui!

Jokin ei sovi? Oliko jossain kaksoisvastaus? Lue tehtävän ehdot huolellisesti!

Viimeinen ongelma ei ratkea? Siinä ei ole mitään monimutkaista.) Työskentelemme suoraan geometrisen progression merkityksen mukaan. No, voit piirtää kuvan. Se auttaa.)

Kuten näet, kaikki on alkeellista. Jos eteneminen on lyhyt. Mitä jos se on pitkä? Vai onko tarvittavien jäsenten määrä kovin suuri? Haluaisin analogisesti aritmeettisen progression kanssa jollain tavalla saada kätevän kaavan, jonka avulla se on helppo löytää minkä tahansa minkä tahansa geometrisen progression termi hänen numeronsa mukaan. Kertomatta monta, monta kertaa q. Ja on olemassa sellainen kaava!) Yksityiskohdat ovat seuraavassa oppitunnissa.

Geometrisen progression n:nnen termin kaava on hyvin yksinkertainen. Sekä merkitykseltään että yleisilmeeltään. Mutta n:nnen termin kaavassa on kaikenlaisia ​​ongelmia - erittäin alkeellisista melko vakaviin. Ja tutustumisprosessissa harkitsemme ehdottomasti molempia. No, tutustutaan?)

Eli itse asiassa heti alkuun kaavan

Tässä hän on:

b n = b 1 · qn -1

Kaava on vain kaava, ei mitään yliluonnollista. Se näyttää vielä yksinkertaisemmalta ja kompaktimmalta kuin vastaava kaava. Kaavan merkitys on myös yhtä yksinkertainen kuin huopasaappaat.

Tämän kaavan avulla voit löytää MIKÄ tahansa geometrisen progression jäsenen sen NUMEROLLA " n".

Kuten näette, merkitys on täydellinen analogia aritmeettisen progression kanssa. Tiedämme luvun n - voimme myös laskea termin tämän luvun alle. Kumman haluammekaan. Ilman toistuvasti kertomista "q":lla monta, monta kertaa. Se on koko pointti.)

Ymmärrän, että tällä progressioiden kanssa työskentelyn tasolla kaikkien kaavaan sisältyvien määrien pitäisi olla sinulle jo selviä, mutta pidän silti velvollisuuteni tulkita jokainen niistä. Varmuuden vuoksi.

Eli näillä mennään:

b 1 – ensimmäinen geometrisen etenemisen termi;

q – ;

n- jäsennumero;

b n – nth (nth) geometrisen progression termi.

Tämä kaava yhdistää minkä tahansa geometrisen etenemisen neljä pääparametria - bn, b 1 , q Ja n. Ja kaikki etenemisongelmat pyörivät näiden neljän avainluvun ympärillä.

"Miten se poistetaan?"– Kuulen uteliaan kysymyksen... Alkeista! Katso!

Mikä on yhtä suuri toinen etenemisen jäsen? Ei ongelmaa! Kirjoitamme suoraan:

b 2 = b 1 ·q

Entä kolmas jäsen? Ei sekään ongelma! Kerrotaan toinen termi taas kerran päälläq.

Kuten tämä:

B 3 = b 2 q

Muistakaamme nyt, että toinen termi puolestaan ​​on yhtä suuri kuin b 1 ·q ja korvaa tämä lauseke yhtälöimme:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Saamme:

B 3 = b 1 ·q 2

Luemme nyt tekstimme venäjäksi: kolmas termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi kerrottuna q in:llä toinen astetta. Ymmärrätkö? Ei vielä? Okei, vielä yksi askel.

Mikä on neljäs termi? Aivan sama! Kerro Edellinen(eli kolmas termi) q:ssa:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Kaikki yhteensä:

B 4 = b 1 ·q 3

Ja jälleen käännämme venäjäksi: neljäs termi on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi kerrottuna q in:llä kolmas astetta.

Ja niin edelleen. Eli miten on? Saitko kuvion kiinni? Joo! Jokaiselle termille, jolla on mikä tahansa luku, identtisten tekijöiden määrä q (eli nimittäjän aste) on aina yksi vähemmän kuin halutun jäsenen lukumäärän.

Siksi kaavamme on ilman muutoksia:

b n =b 1 · qn -1

Siinä kaikki.)

No, ratkaistaan ​​ongelmat, luulisin?)

Kaavaongelmien ratkaiseminenngeometrisen progression termi.

Aloitetaan tavalliseen tapaan kaavan suorasta soveltamisesta. Tässä tyypillinen ongelma:

Geometrisessä progressiossa se tiedetään b 1 = 512 ja q = -1/2. Etsi etenemisen kymmenes termi.

Tämä ongelma voidaan tietysti ratkaista ilman mitään kaavoja. Suoraan geometrisen etenemisen mielessä. Mutta meidän on lämmitettävä n:nnen termin kaavalla, eikö niin? Täällä lämmitellään.

Tietomme kaavan soveltamiseksi ovat seuraavat.

Ensimmäinen jäsen on tiedossa. Tämä on 512.

b 1 = 512.

Etenemisen nimittäjä tunnetaan myös: q = -1/2.

Jäljelle jää vain selvittää, mikä on jäsenen lukumäärä n. Ei ongelmaa! Kiinnostaako kymmenes lukukausi? Joten korvaamme yleisen kaavan kymmenen n:n sijaan.

Ja laske aritmetiikka huolellisesti:

Vastaus: -1

Kuten näette, etenemisen kymmenes termi osoittautui miinukseksi. Ei mitään yllättävää: etenemisnimittäjämme on -1/2, ts. negatiivinen määrä. Ja tämä kertoo meille, että etenemisemme merkit vaihtelevat, kyllä.)

Täällä kaikki on yksinkertaista. Tässä on samanlainen ongelma, mutta laskelmien kannalta hieman monimutkaisempi.

Geometrisessä progressiossa tiedetään, että:

b 1 = 3

Etsi etenemisen kolmastoista termi.

Kaikki on sama, vain tällä kertaa etenemisen nimittäjä on irrationaalinen. Kahden juuri. No, ei hätää. Kaava on universaali asia, se voi selviytyä kaikista numeroista.

Työskentelemme suoraan kaavan mukaan:

Kaava tietysti toimi niin kuin pitääkin, mutta... tähän jotkut ihmiset juuttuvat. Mitä tehdä seuraavaksi juurille? Kuinka nostaa juuri kahdestoista potenssiin?

Miten-miten... Sinun on ymmärrettävä, että mikä tahansa kaava on tietysti hyvä asia, mutta kaiken aiemman matematiikan tietoa ei peruuteta! Kuinka rakentaa? Kyllä, muista asteiden ominaisuudet! Tehdään juuresta murto-aste ja – asteen nostamista koskevan kaavan mukaan.

Kuten tämä:

Vastaus: 192

Ja siinä kaikki.)

Mikä on suurin vaikeus n:nnen termin kaavan suorassa soveltamisessa? Joo! Suurin vaikeus on työskennellä tutkintojen kanssa! Nimittäin negatiivisten lukujen, murtolukujen, juurien ja vastaavien konstruktien nostaminen potenssiin. Joten ne, joilla on ongelmia tämän kanssa, toistakaa tutkinnot ja niiden ominaisuudet! Muuten hidastat myös tätä aihetta, kyllä...)

Ratkaistaan ​​nyt tyypilliset hakuongelmat yksi kaavan elementeistä, jos kaikki muut annetaan. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti resepti on yhtenäinen ja hirvittävän yksinkertainen - kirjoita kaavan-jäsen ylipäätään! Aivan muistikirjassa kunnon vieressä. Ja sitten ehdosta selvitämme, mitä meille on annettu ja mitä puuttuu. Ja ilmaisemme halutun arvon kaavasta. Kaikki!

Esimerkiksi tällainen harmiton ongelma.

Geometrisen progression, jonka nimittäjä on 3, viides termi on 567. Etsi tämän etenemisen ensimmäinen termi.

Ei mitään monimutkaista. Työskentelemme suoraan loitsun mukaan.

Kirjoitetaan kaava n:nnelle termille!

b n = b 1 · qn -1

Mitä meille on annettu? Ensin annetaan etenemisen nimittäjä: q = 3.

Lisäksi meille on annettu viides jäsen: b 5 = 567 .

Kaikki? Ei! Meille on annettu myös numero n! Tämä on viisi: n = 5.

Toivottavasti ymmärrät jo tallenteen sisällön b 5 = 567 kaksi parametria piilotetaan kerralla - tämä on itse viides termi (567) ja sen numero (5). Puhuin tästä jo samankaltaisella oppitunnilla, mutta mielestäni se on mainitsemisen arvoinen myös täällä.)

Nyt korvaamme tietomme kaavalla:

567 = b 1 ·3 5-1

Teemme aritmetiikkaa, yksinkertaistamme ja saamme yksinkertaisen lineaarisen yhtälön:

81 b 1 = 567

Ratkaisemme ja saamme:

b 1 = 7

Kuten näet, ensimmäisen termin löytämisessä ei ole ongelmia. Mutta kun etsitään nimittäjää q ja numerot n Myös yllätyksiä voi tulla. Ja sinun on myös oltava varautunut niihin (yllätyksiin), kyllä.)

Esimerkiksi tämä ongelma:

Positiivisen nimittäjän geometrisen progression viides termi on 162 ja tämän etenemisen ensimmäinen termi on 2. Etsi etenemisen nimittäjä.

Tällä kertaa meille annetaan ensimmäinen ja viides termi, ja meitä pyydetään löytämään etenemisen nimittäjä. Nyt sitä mennään.

Kirjoitamme kaavannjäsen!

b n = b 1 · qn -1

Alkuperäiset tietomme ovat seuraavat:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Arvo puuttuu q. Ei ongelmaa! Etsitään se nyt.) Korvaamme kaavaan kaiken, mitä tiedämme.

Saamme:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Yksinkertainen neljännen asteen yhtälö. Ja nyt - huolellisesti! Ratkaisun tässä vaiheessa monet opiskelijat poimivat heti iloisesti juuren (neljännen asteen) ja saavat vastauksen q=3 .

Kuten tämä:

q4 = 81

q = 3

Mutta itse asiassa tämä on keskeneräinen vastaus. Tarkemmin sanottuna epätäydellinen. Miksi? Pointti on, että vastaus q = -3 sopii myös: (-3) 4 on myös 81!

Tämä johtuu tehoyhtälöstä x n = a on aina ollut kaksi vastakkaista juurta klo jopan . Plussalla ja miinuksella:

Molemmat sopivat.

Esimerkiksi päätettäessä (esim. toinen astetta)

x 2 = 9

Jostain syystä et ole yllättynyt ulkonäöstäsi kaksi juuret x=±3? Se on sama täällä. Ja minkä tahansa muun kanssa jopa aste (neljäs, kuudes, kymmenes jne.) on sama. Yksityiskohdat aiheesta aiheesta

Siksi oikea ratkaisu olisi:

q 4 = 81

q= ±3

Okei, olemme selvittäneet merkit. Kumpi on oikein - plus vai miinus? No, luetaan ongelman kuvaus uudelleen etsiessään lisäinformaatio. Tietenkin sitä ei ehkä ole olemassa, mutta tässä ongelmassa tällaista tietoa saatavilla. Meidän ehtomme ilmoittaa pelkällä tekstillä, että eteneminen annetaan positiivinen nimittäjä.

Siksi vastaus on ilmeinen:

q = 3

Täällä kaikki on yksinkertaista. Mitä luulet tapahtuvan, jos ongelman ilmaus olisi tällainen:

Geometrisen progression viides termi on 162 ja tämän etenemisen ensimmäinen termi on 2. Etsi etenemisen nimittäjä.

Mikä on ero? Joo! Kunnossa Ei mitään nimittäjän merkkiä ei mainita. Ei suoraan eikä välillisesti. Ja tässä ongelma olisi jo olemassa kaksi ratkaisua!

q = 3 Ja q = -3

Kyllä kyllä! Sekä plus- että miinuspuolella.) Matemaattisesti tämä tosiasia tarkoittaisi, että niitä on kaksi etenemistä, jotka sopivat ongelman olosuhteisiin. Ja jokaisella on oma nimittäjänsä. Harjoittele vain huvin vuoksi ja kirjoita jokaisen viisi ensimmäistä termiä.)

Harjoitellaan nyt jäsennumeron löytämistä. Tämä ongelma on vaikein, kyllä. Mutta myös luovempi.)

Annettu geometrinen eteneminen:

3; 6; 12; 24; …

Mikä luku tässä etenemisessä on numero 768?

Ensimmäinen askel on edelleen sama: kirjoita kaavanjäsen!

b n = b 1 · qn -1

Ja nyt, kuten tavallista, korvaamme sen tiedolla, jonka tiedämme. Hm... se ei toimi! Missä on ensimmäinen termi, missä on nimittäjä, missä on kaikki muu?!

Missä, missä... Miksi tarvitsemme silmät? Räpyttää ripsiäsi? Tällä kertaa eteneminen annetaan meille suoraan muodossa sekvenssejä. Nähdäänkö ensimmäinen jäsen? Me näemme! Tämä on kolminkertainen (b 1 = 3). Entä nimittäjä? Emme näe sitä vielä, mutta se on erittäin helppo laskea. Jos tietysti ymmärrät...

Joten laskemme. Suoraan geometrisen progression merkityksen mukaan: otamme minkä tahansa sen termistä (paitsi ensimmäistä) ja jaamme edellisellä.

Ainakin näin:

q = 24/12 = 2

Mitä muuta tiedämme? Tiedämme myös jonkin tämän etenemisen termin, joka on yhtä suuri kuin 768. Jollakin luvulla n:

b n = 768

Emme tiedä hänen numeroaan, mutta tehtävämme on juuri löytää hänet.) Joten etsimme. Olemme jo ladaneet kaikki korvaamiseen tarvittavat tiedot kaavaan. Itse tietämättä.)

Tässä korvataan:

768 = 3 2n -1

Tehdään alkeet - jaetaan molemmat puolet kolmella ja kirjoitetaan yhtälö uudelleen tavalliseen muotoon: tuntematon on vasemmalla, tunnettu on oikealla.

Saamme:

2 n -1 = 256

Tämä on mielenkiintoinen yhtälö. Meidän on löydettävä "n". Mitä, epätavallista? Kyllä, en väitä. Itse asiassa tämä on yksinkertaisin asia. Sitä kutsutaan nimellä tuntematon (tässä tapauksessa se on numero n) maksaa indikaattori astetta.

Geometrisen progression oppimisvaiheessa (tämä on yhdeksäs luokka) ei opeteta ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä, kyllä... Tämä on lukion aihe. Mutta ei mitään pelottavaa. Vaikka et tiedä kuinka tällaiset yhtälöt ratkaistaan, yritetään löytää omamme n yksinkertaisen logiikan ja terveen järjen ohjaamana.

Aloitetaan puhuminen. Vasemmalla meillä on kakkonen tietyssä määrin. Emme vielä tiedä, mikä tämä tutkinto tarkalleen on, mutta se ei ole pelottavaa. Mutta tiedämme varmasti, että tämä aste on yhtä suuri kuin 256! Joten muistamme, missä määrin kaksi antaa meille 256. Muistatko? Joo! SISÄÄN kahdeksas astetta!

256 = 2 8

Jos et muista tai sinulla on ongelmia asteiden tunnistamisessa, sekin on ok: vain peräkkäin neliö kaksi, kuutio, neljäs, viides ja niin edelleen. Valinta itse asiassa, mutta tällä tasolla toimii melko hyvin.

Tavalla tai toisella saamme:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Eli 768 on yhdeksäs edistymisemme jäsen. Siinä se, ongelma ratkaistu.)

Vastaus: 9

Mitä? Tylsä? Oletko kyllästynyt perusasioihin? Olla samaa mieltä. Ja minä myös. Siirrytään seuraavalle tasolle.)

Monimutkaisempia tehtäviä.

Ratkaistaan ​​nyt haastavampia ongelmia. Ei aivan superhienoja, mutta sellaisia, joihin vastauksen saaminen vaatii vähän työtä.

Esimerkiksi tämä.

Etsi geometrisen progression toinen termi, jos sen neljäs termi on -24 ja seitsemäs termi on 192.

Tämä on genren klassikko. Muutamia kaksi erilaista etenemisen termiä tunnetaan, mutta toinen termi on löydettävä. Lisäksi kaikki jäsenet EIVÄT ole naapureita. Mikä aluksi hämmentää, kyllä...

Kuten tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi, harkitsemme kahta menetelmää. Ensimmäinen menetelmä on universaali. Algebrallinen. Toimii moitteettomasti kaikkien lähdetietojen kanssa. Siksi aloitamme siitä.)

Kuvaamme jokaisen termin kaavan mukaan njäsen!

Kaikki on täsmälleen samalla tavalla kuin aritmeettisessa progressiossa. Vain tällä kertaa teemme yhteistyötä toinen yleinen kaava. Siinä kaikki.) Mutta olemus on sama: otamme ja yksi kerrallaan Korvaamme alkutietomme n:nnen termin kaavaan. Jokaiselle jäsenelle - omansa.

Neljännelle lukukaudelle kirjoitamme:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Syödä. Yksi yhtälö on valmis.

Seitsemännelle lukukaudelle kirjoitamme:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Yhteensä meillä on kaksi yhtälöä sama eteneminen .

Kokoamme niistä järjestelmän:

Uhkaavasta ulkonäöstään huolimatta järjestelmä on melko yksinkertainen. Ilmeisin ratkaisu on yksinkertainen korvaaminen. ilmaisemme b 1 ylhäältä yhtälöstä ja korvaa se alempaan:

Hetkinen hieman alayhtälön kanssa (pienentämällä tehoja ja jakamalla -24:llä), saamme:

q 3 = -8

Muuten, tämä sama yhtälö voidaan saavuttaa yksinkertaisemmalla tavalla! Kumpi? Nyt näytän sinulle toisen salaisen, mutta erittäin kauniin, tehokkaan ja hyödyllisen tavan ratkaista tällaisia ​​järjestelmiä. Sellaiset järjestelmät, joiden yhtälöt sisältävät toimii vain. Ainakin yhdessä. Nimeltään jakomenetelmä yhtälöstä toiseen.

Meillä on siis järjestelmä edessämme:

Molemmissa yhtälöissä vasemmalla - tehdä työtä, ja oikealla on vain numero. Tämä on erittäin hyvä merkki.) Otetaan se ja... jaetaan vaikkapa alempi yhtälö ylemmällä! Mitä tarkoittaa, jaetaan yhtälö toisella? Erittäin yksinkertainen. Otetaan se vasen puoli yksi yhtälö (alempi) ja jakaa hänet päällä vasen puoli toinen yhtälö (ylempi). Oikea puoli on samanlainen: oikea puoli yksi yhtälö jakaa päällä oikea puoli toinen.

Koko jakoprosessi näyttää tältä:

Nyt vähentämällä kaikkea, mitä voidaan vähentää, saamme:

q 3 = -8

Mitä hyvää tässä menetelmässä on? Kyllä, koska tällaisen jaon prosessissa kaikki huono ja epämukava voidaan turvallisesti vähentää ja täysin vaaraton yhtälö jää! Tästä syystä on niin tärkeää saada vain kertolasku ainakin yhdessä järjestelmän yhtälöistä. Ei ole kertomista - ei ole mitään vähennettävää, kyllä...

Yleensä tämä menetelmä (kuten monet muutkin ei-triviaalit järjestelmien ratkaisumenetelmät) ansaitsee jopa erillisen oppitunnin. Aion ehdottomasti tarkastella sitä tarkemmin. Jonain päivänä…

Sillä ei kuitenkaan ole väliä kuinka tarkalleen ratkaiset järjestelmän, joka tapauksessa nyt meidän on ratkaistava tuloksena oleva yhtälö:

q 3 = -8

Ei hätää: pura kuutiojuuri ja olet valmis!

Huomaa, että tähän ei tarvitse laittaa plus/miinus-merkkiä purkamisen yhteydessä. Meillä on parittoman (kolmannen) asteen juuri. Ja vastaus on myös sama, kyllä.)

Joten etenemisen nimittäjä on löydetty. Miinus kaksi. Loistava! Prosessi on käynnissä.)

Ensimmäiselle termille (esimerkiksi ylemmästä yhtälöstä) saamme:

Loistava! Tiedämme ensimmäisen termin, tiedämme nimittäjän. Ja nyt meillä on mahdollisuus löytää kuka tahansa etenemisen jäsen. Mukaan lukien toinen.)

Toisella termillä kaikki on melko yksinkertaista:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Vastaus: -6

Joten olemme hajottaneet algebrallisen menetelmän ongelman ratkaisemiseksi. Vaikea? Ei todellakaan, olen samaa mieltä. Pitkä ja tylsä? Kyllä ehdottomasti. Mutta joskus voit vähentää huomattavasti työn määrää. Tätä varten on graafinen menetelmä. Vanha hyvä ja meille tuttu.)

Piirretään ongelma!

Joo! Tarkalleen. Jälleen kuvaamme etenemistämme numeroakselilla. Ei ole tarpeen seurata viivainta, ei ole välttämätöntä ylläpitää yhtäläisiä välejä termien välillä (joka muuten ei ole sama, koska eteneminen on geometrista!), vaan yksinkertaisesti kaavamaisesti Piirretään sarjamme.

Sain sen näin:

Katso nyt kuvaa ja ota selvää. Kuinka monta identtistä tekijää "q" eroaa neljäs Ja seitsemäs jäsenet? Aivan oikein, kolme!

Siksi meillä on täysi oikeus kirjoittaa:

-24·q 3 = 192

Täältä on nyt helppo löytää q:

q 3 = -8

q = -2

Hienoa, nimittäjä on jo taskussamme. Katsotaan nyt kuvaa uudelleen: kuinka monta tällaista nimittäjää on välissä toinen Ja neljäs jäsenet? Kaksi! Siksi muodostamme nimittäjän kirjataksemme näiden termien välisen yhteyden neliöity.

Joten kirjoitamme:

b 2 · q 2 = -24 , missä b 2 = -24/ q 2

Korvaamme löytämämme nimittäjämme lausekkeeseen b 2, laskemme ja saamme:

Vastaus: -6

Kuten näet, kaikki on paljon yksinkertaisempaa ja nopeampaa kuin järjestelmän kautta. Lisäksi täällä meidän ei tarvinnut edes laskea ensimmäistä termiä ollenkaan! Ollenkaan.)

Tässä on niin yksinkertainen ja selkeä tapa - valo. Mutta sillä on myös vakava haittapuoli. Arvasitko? Joo! Se on hyvä vain hyvin lyhyille etenemisen osille. Sellaisia, joissa meitä kiinnostavien jäsenten väliset etäisyydet eivät ole kovin suuria. Mutta kaikissa muissa tapauksissa on jo vaikea piirtää kuvaa, kyllä... Sitten ratkaisemme ongelman analyyttisesti, järjestelmän kautta.) Ja järjestelmät ovat universaaleja asioita. He voivat käsitellä mitä tahansa numeroita.

Toinen eeppinen haaste:

Geometrisen progression toinen termi on 10 enemmän kuin ensimmäinen ja kolmas termi on 30 enemmän kuin toinen. Etsi etenemisen nimittäjä.

Mitä, siistiä? Ei lainkaan! Aivan sama. Jälleen käännämme ongelman lauseen puhtaaksi algebraksi.

1) Kuvaamme jokaisen termin kaavan mukaan njäsen!

Toinen termi: b 2 = b 1 q

Kolmas termi: b 3 = b 1 q 2

2) Kirjoitamme jäsenten välisen yhteyden ongelmalauseesta.

Luimme ehdon: "Geometrisen progression toinen termi on 10 suurempi kuin ensimmäinen." Lopeta, tämä on arvokasta!

Joten kirjoitamme:

b 2 = b 1 +10

Ja käännämme tämän lauseen puhtaaksi matematiikaksi:

b 3 = b 2 +30

Meillä on kaksi yhtälöä. Yhdistetään ne systeemiksi:

Järjestelmä näyttää yksinkertaiselta. Mutta kirjaimille on liian monta eri indeksiä. Korvataan toisen ja kolmannen termin sijaan niiden lausekkeet ensimmäisellä termillä ja nimittäjällä! Oliko turhaa, että maalasimme ne?

Saamme:

Mutta tällainen järjestelmä ei ole enää lahja, kyllä... Miten tämä ratkaistaan? Valitettavasti ei ole olemassa universaalia salaloitsua monimutkaisten asioiden ratkaisemiseksi epälineaarinen Matematiikassa ei ole järjestelmiä eikä voi olla. Se on fantastinen! Mutta ensimmäinen asia, jonka pitäisi tulla mieleesi, kun yrität murtaa niin kovaa pähkinää, on selvittää Mutta eikö yksi järjestelmän yhtälöistä ole pelkistetty kauniiseen muotoon, joka mahdollistaa esimerkiksi yhden muuttujan ilmaisemisen helposti toisella?

Selvitetään se. Järjestelmän ensimmäinen yhtälö on selvästi yksinkertaisempi kuin toinen. Me kidutamme häntä.) Eikö meidän pitäisi yrittää ensimmäisestä yhtälöstä jotain ilmaista kautta jotain? Koska haluamme löytää nimittäjän q, silloin meidän olisi edullisinta ilmaista b 1 kautta q.

Joten yritetään tehdä tämä menettely ensimmäisellä yhtälöllä käyttäen vanhoja hyviä:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Kaikki! Joten ilmaisimme tarpeeton anna meille muuttuja (b 1) kautta tarpeellista(q). Kyllä, se ei ole yksinkertaisin ilmaisu. Jonkinlainen murto-osa... Mutta järjestelmämme on kunnollisella tasolla, kyllä.)

Tyypillinen. Tiedämme mitä tehdä.

Kirjoitamme ODZ (Välttämättä!) :

q ≠ 1

Kerromme kaiken nimittäjällä (q-1) ja peruutamme kaikki murtoluvut:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Jaamme kaiken kymmenellä, avaa sulut ja kerää kaikki vasemmalta:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Ratkaisemme tuloksen ja saamme kaksi juuria:

q 1 = 1

q 2 = 3

On vain yksi lopullinen vastaus: q = 3 .

Vastaus: 3

Kuten näet, polku useimpien ongelmien ratkaisemiseen, joihin liittyy geometrisen progression n:nnen termin kaava, on aina sama: lue tarkkaavaisesti ongelman ehto ja käyttämällä n:nnen termin kaavaa käännämme kaiken hyödyllisen tiedon puhtaaksi algebraksi.

Nimittäin:

1) Kuvaamme erikseen jokaista tehtävässä annettua termiä kaavan mukaannth jäsen.

2) Tehtävän ehdoista käännetään jäsenten välinen yhteys matemaattiseen muotoon. Muodostamme yhtälön tai yhtälöjärjestelmän.

3) Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön tai yhtälöjärjestelmän, etsimme etenemisen tuntemattomat parametrit.

4) Jos vastaus on epäselvä, lue tehtäväehdot huolellisesti saadaksesi lisätietoja (jos sellaisia ​​on). Tarkistamme myös vastaanotetun vastauksen DL:n ehdoilla (jos sellaisia ​​on).

Listataan nyt tärkeimmät ongelmat, jotka johtavat useimmiten virheisiin geometristen etenemisongelmien ratkaisuprosessissa.

1. Perusaritmetiikka. Operaatiot murtoluvuilla ja negatiivisilla luvuilla.

2. Jos vähintään yhdessä näistä kolmesta kohdasta on ongelmia, teet väistämättä virheitä tässä aiheessa. Valitettavasti... Älä siis ole laiska ja toista edellä mainittu. Ja seuraa linkkejä - mene. Joskus se auttaa.)

Muokatut ja toistuvat kaavat.

Katsotaanpa nyt paria tyypillistä koeongelmaa vähemmän tutulla ehdon esityksellä. Kyllä, kyllä, arvasit sen! Tämä muokattu Ja toistuva n. termikaavat. Olemme jo kohdanneet tällaisia ​​kaavoja ja työskennelleet aritmeettisen progression parissa. Täällä kaikki on samanlaista. Olemus on sama.

Esimerkiksi tämä OGE:n ongelma:

Geometrinen eteneminen saadaan kaavalla b n = 3 2 n . Etsi sen ensimmäisen ja neljännen ehdon summa.

Tällä kertaa eteneminen ei ole meille aivan tavallista. Jonkinlaisen kaavan muodossa. Mitä sitten? Tämä kaava on myös kaavanjäsen! Sinä ja minä tiedämme, että n:nnen termin kaava voidaan kirjoittaa sekä yleismuodossa, kirjaimilla että for spesifinen eteneminen. KANSSA erityisiä ensimmäinen termi ja nimittäjä.

Meidän tapauksessamme meille annetaan itse asiassa yleinen termikaava geometriselle etenemiselle seuraavilla parametreilla:

b 1 = 6

q = 2

Tarkistetaanko?) Kirjoita n:nnen termin kaava yleismuotoon ja korvaa se b 1 Ja q. Saamme:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Yksinkertaistamme tekijöiden jakamisen ja potenssien ominaisuuksien käyttöä, ja saamme:

b n= 6 2n -1 = 3,2,2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kuten näet, kaikki on reilua. Mutta tavoitteemme ei ole osoittaa tietyn kaavan johtamista. Tämä on niin, lyyrinen poikkeama. Puhtaasti ymmärryksen vuoksi.) Tavoitteenamme on ratkaista ongelma ehdossa meille annetun kaavan mukaisesti. Ymmärrätkö sen?) Joten työskentelemme suoraan muokatun kaavan kanssa.

Laskemme ensimmäisen termin. Korvataan n=1 yleiseen kaavaan:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kuten tämä. Muuten, en ole laiska ja kiinnitän jälleen kerran huomiosi tyypilliseen virheeseen ensimmäisen termin laskennassa. ÄLÄ katso kaavaa b n= 3 2n, ryntää heti kirjoittamaan, että ensimmäinen termi on kolme! Tämä on törkeä virhe, kyllä...)

Jatketaan. Korvataan n=4 ja laske neljäs termi:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ja lopuksi laskemme tarvittavan määrän:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Vastaus: 54

Toinen ongelma.

Geometrinen eteneminen määritellään ehdoilla:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Etsi etenemisen neljäs termi.

Tässä eteneminen annetaan toistuvalla kaavalla. No okei.) Kuinka työskennellä tämän kaavan kanssa – tiedämme myös.

Toimimme siis. Askel askeleelta.

1) Laske kaksi peräkkäinen etenemisen jäsen.

Ensimmäinen kausi on jo annettu meille. Miinus seitsemän. Mutta seuraava, toinen termi, voidaan helposti laskea käyttämällä toistumiskaavaa. Jos ymmärrät sen toimintaperiaatteen, tietysti.)

Joten laskemme toisen termin tunnetun ensimmäisen mukaan:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Laske etenemisen nimittäjä

Ei myöskään ongelmaa. Suoraan, jaetaan toinen mulkku päällä ensimmäinen.

Saamme:

q = -21/(-7) = 3

3) Kirjoita kaavanth jäsen tavallisessa muodossa ja laske tarvittava jäsen.

Tiedämme siis ensimmäisen termin, samoin nimittäjä. Joten kirjoitamme:

b n= -7,3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7,27 = -189

Vastaus: -189

Kuten näet, työskentely tällaisten geometristen kaavojen kanssa ei pohjimmiltaan eroa aritmeettisen etenemisen kaavoista. On vain tärkeää ymmärtää näiden kaavojen yleinen olemus ja merkitys. No, sinun on myös ymmärrettävä geometrisen progression merkitys, kyllä.) Ja silloin ei tule tyhmiä virheitä.

No, päätetäänkö itse?)

Hyvin perustehtävät lämmittelyyn:

1. Annettu geometrinen progressio, jossa b 1 = 243, a q = -2/3. Etsi etenemisen kuudes termi.

2. Geometrisen progression yleinen termi saadaan kaavasta b n = 5∙2 n +1 . Etsi tämän etenemisen viimeisen kolminumeroisen termin numero.

3. Geometrinen eteneminen saadaan ehdoilla:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Etsi etenemisen viides termi.

Hieman monimutkaisempi:

4. Annettu geometrinen progressio:

b 1 =2048; q =-0,5

Mitä kuudes negatiivinen termi on yhtä suuri?

Mikä näyttää super vaikealta? Ei lainkaan. Logiikka ja geometrisen etenemisen merkityksen ymmärtäminen pelastavat sinut. No, n:nnen termin kaava tietysti.

5. Geometrisen progression kolmas termi on -14 ja kahdeksas termi 112. Etsi etenemisen nimittäjä.

6. Geometrisen etenemisen ensimmäisen ja toisen jäsenen summa on 75 ja toisen ja kolmannen jäsenen summa on 150. Etsi etenemisen kuudes termi.

Vastaukset (sekaisin): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Siinä on melkein kaikki. Meidän tarvitsee vain opetella laskemaan geometrisen progression ensimmäisen n termin summa kyllä ​​löytää loputtomasti pienenevä geometrinen progressio ja sen määrä. Todella mielenkiintoinen ja epätavallinen asia muuten! Tästä lisää seuraavilla tunneilla.)