Niillä on monia ominaisuuksia:
1. Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen tietyllä aikavälillä A, jos se kasvaa tai pienenee tällä aikavälillä
2. Funktiota kutsutaan kasvaa tietyllä aikavälillä A, jos jollekin niiden joukon A luvuille täyttyy seuraava ehto:.
Kasvavan funktion kuvaajalla on erityinen piirre: kun siirretään x-akselia pitkin intervallia pitkin vasemmalta oikealle A kaaviopisteiden ordinaatit kasvavat (kuva 4).
3. Funktiota kutsutaan vähenee jossain välissä A, jos niitä on useita A ehto täyttyy:.
Pienevän funktion kuvaajalla on erityinen ominaisuus: siirryttäessä x-akselia pitkin intervallia pitkin vasemmalta oikealle A kaaviopisteiden ordinaatit pienenevät (kuva 4).
4. Funktiota kutsutaan jopa
jossain setissä X, jos ehto täyttyy: 
.
Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen ordinaatta-akselin suhteen (kuva 2).
5. Funktiota kutsutaan outo
jossain setissä X, jos ehto täyttyy: 
.
Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen (kuva 2).
6. Jos toiminto y = f(x)
f(x) f(x), niin he sanovat, että toiminto y = f(x) hyväksyy pienin arvo
klo=f(x) klo X= x(Kuva 2, funktio ottaa pienimmän arvon pisteestä, jossa on koordinaatit (0;0)).
7. Jos toiminto y = f(x) on määritelty joukossa X ja on olemassa sellainen, että mille tahansa epäyhtälölle f(x) f(x), niin he sanovat, että toiminto y = f(x) hyväksyy korkein arvo klo=f(x) klo X= x(Kuva 4, funktiolla ei ole suurinta ja pienintä arvoa) .
Jos tälle toiminnolle y = f(x) kaikki luetellut ominaisuudet on tutkittu, niin sanotaan opiskella toimintoja.
n1.doc
OGOI SPO Ryazanin pedagoginen korkeakoulu
ABSTRAKTI
Aihe: ”Numeeriset funktiot ja niiden ominaisuudet. Suorat ja käänteiset suhteet"
Titova Elena Vladimirovna
Erikoisuus: 050709 ”Opetus peruskoulussa esiopetuksen alan lisäkoulutuksella”
Kurssi: 1 Ryhmä: 2
Osasto: koulu
Pää: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Ryazan
Johdanto…………………………………………………………………………………3
Teoreettinen osa
Numeeriset funktiot
1.2 Toimintojen määrittelytavat………………………………………………….6
1.3 Toiminnon ominaisuudet…………………………………………………………7
2. Suorat ja käänteiset suhteet
2.1 Suoran suhteellisuuden käsite…………………..9
2.2 Suoran verrannollisen riippuvuuden ominaisuudet………………………………………………….10
2.3 Käänteisen suhteellisuuden käsite ja sen ominaisuudet……………………………………………………………………
Käytännön osa
3.1 Funktionaalinen propedeutiikka matematiikan alkukurssilla....11
3.2 Suhteellisesti riippuvaisten suureiden ongelmien ratkaiseminen……18
Johtopäätös…………………………………………………………………………………….
Lähdeluettelo………………………………..22
Johdanto
Matematiikassa ajatus funktiosta ilmestyi määrän käsitteen ohella. Se liittyi läheisesti geometrisiin ja mekaanisiin käsitteisiin. Termin funktio (latinasta – toteutus) esitti ensimmäisen kerran Leibniz vuonna 1694. Toiminnalla hän ymmärsi abskissat, ordinaatit ja muut segmentit, jotka liittyvät tiettyä suoraa kuvaavaan pisteeseen.
1700-luvun ensimmäisellä puoliskolla. tapahtui siirtymä funktion käsitteen visuaalisesta esityksestä analyyttiseen määritelmään. Sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli ja sitten akateemikko Leonhard Euler uskoivat, että funktio
Tämä analyyttinen ilmaisu, koostuu muuttujasta ja vakiosta.
Toisin sanoen funktio ilmaistaan erityyppisillä kaavoilla: y=ax+b, y= =axІ+bx+c jne.
Nykyään tiedämme, että funktio voidaan ilmaista paitsi matemaattisella kielellä myös graafisesti. Tämän menetelmän keksijä oli Descartes. Tällä löydöllä oli valtava rooli matematiikan jatkokehityksessä: siirtyminen pisteistä numeroihin, suorista yhtälöihin, geometriasta algebraan tapahtui. Siten tuli mahdolliseksi löytää yhteisiä tekniikoita ongelmien ratkaisemiseksi.
Toisaalta koordinaattimenetelmän ansiosta tuli mahdolliseksi kuvata geometrisesti erilaisia riippuvuuksia.
Siten graafit tarjoavat visuaalisen esityksen suureiden välisen suhteen luonteesta; niitä käytetään usein tieteen ja tekniikan eri aloilla.
Nykyaikaisen kouluopetuksen kehityksen päätrendit ilmenevät inhimillistymisen, humanitarisoinnin, toiminta- ja persoonallisuuslähtöisen lähestymistavan opetuksen organisointiin ideoissa.
Toisen asteen matematiikan opetuksen pohjalta korostuu opetuksen kehittävän toiminnan tärkeysjärjestys.
Näin ollen numeerisen funktion käsitteen tutkiminen peruskoulussa on varsin merkittävä osa koululaisten matemaattisten käsitteiden muodostumista. Peruskoulun opettajan on keskityttävä tämän käsitteen tutkimiseen, koska toiminnon ja monien ihmisen toiminnan alueiden välillä on suora yhteys, mikä auttaa myöhemmin lapsia pääsemään tieteen maailmaan.
sitä paitsi , Opiskelijat pääsääntöisesti ymmärtävät muodollisesti funktion käsitteen määritelmän, eikä heillä ole kokonaisvaltaista ymmärrystä toiminnallisesta riippuvuudesta, ts. eivät osaa soveltaa tietojaan matemaattisten ja käytännön ongelmien ratkaisemiseen; liittää funktion yksinomaan analyyttiseen lausekkeeseen, jossa muuttuja klo ilmaistaan muuttujan kautta X; ei voi tulkita funktioiden esityksiä eri malleissa; on vaikea rakentaa funktioista kuvaajia niiden ominaisuuksien perusteella jne.
Näiden vaikeuksien syyt eivät liity pelkästään eikä niinkään algebrakurssin funktionaalisen materiaalin opiskelumenetelmiin, vaan opiskelijoiden ajattelun valmistautumattomuuteen havaita ja omaksua käsite "toiminto".
Tämä tarkoittaa, että ennen kuin käsite "toiminto" otetaan käyttöön, on tarpeen tehdä työtä toiminnallisten ajattelutaitojen muodostamiseksi, jotta "sillä hetkellä, kun toiminnallisen riippuvuuden yleinen ajatus tulee opiskelijoiden tietoisuuteen, tämä tietoisuus on riittävän valmistautunut uuden käsitteen ja siihen liittyvien ideoiden ja taitojen sisällölliseen ja tehokkaaseen hahmottamiseen, ei vain muodolliseen havaintoon” (A.Ya. Khinchin)
1. Numeeriset funktiot
1.1 Funktionaalisen riippuvuuden käsitteen kehittäminen matematiikassa
Analysoidaanpa pedagogisten ideoiden kehittämisen edistymistä matematiikan tärkeimmän komponentin - toiminnallisen riippuvuuden - opettamisen alalla.
Koulumatematiikan kurssin toiminnallinen linja on yksi johtavista algebran, algebran ja analyysin alkujen kursseista. Tämän linjan opetusmateriaalin pääominaisuus on, että sen avulla voit luoda erilaisia yhteyksiä matematiikan opetuksessa.
Useiden vuosisatojen aikana toiminnan käsite on muuttunut ja parantunut. Tarve tutkia toiminnallista riippuvuutta koulumatematiikan kurssilla on ollut pedagogisen lehdistön painopisteenä 1800-luvun jälkipuoliskolta lähtien. Sellaiset tunnetut metodologit kuin M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky kiinnittivät töissään paljon huomiota tähän asiaan.
Toiminnallisen riippuvuuden idean kehittäminen eteni useissa vaiheissa:
Ensimmäinen taso- vaihe, jossa funktion käsite tuodaan (pääasiassa analyyttisen lausekkeen kautta) koulun matematiikan kurssille.
Toinen vaihe Funktiokäsitteen käyttöönotolle lukion algebran kurssille on ominaista pääasiassa siirtyminen funktionaalisen riippuvuuden graafiseen esitykseen ja tutkittavien funktioiden valikoiman laajentaminen.
Kolmas vaihe Venäläisen koulun kehitys alkoi 20-luvulla. kahdeskymmenes vuosisata. Neuvostoajan metodologisen kirjallisuuden analyysi osoitti, että funktion käsitteen käyttöönottoa koulun matematiikan kurssilla seurasi kiivaita keskusteluja, ja se antoi meille mahdollisuuden tunnistaa neljä pääongelmaa, joista metodologien välillä oli mielipide-eroja, nimittäin:
1) opiskelijoiden toimintakäsitteen tutkimisen tarkoitus ja merkitys;
2) lähestymistavat funktion määrittelyyn;
3) toiminnallinen propedeutiikka;
4) toiminnallisen materiaalin paikka ja määrä koulumatematiikan kurssilla.
Neljäs vaihe johtuen RSFSR:n talouden siirtämisestä suunnitellulle pohjalle
Vuonna 1934 koulu sai A. P. Kiselevin ensimmäisen vakaan oppikirjan "Algebra", joka on tarkistettu A. P. Barsukovin toimituksella kahdessa osassa.
Sen toinen osa sisälsi osiot "Funktiot ja niiden kuvaajat", "Kvadraattinen funktio". Lisäksi osiossa "Asteen käsitteen yleistäminen" tarkasteltiin eksponentiaalista funktiota ja sen kuvaajaa ja osiossa "Logaritmit" logaritmista funktiota ja sen kuvaajaa.
Siinä funktio määriteltiin muuttuvan suuren käsitteen kautta: "Se muuttuva suure, jonka numeeriset arvot muuttuvat toisen numeeristen arvojen mukaan, kutsutaan riippuvaiseksi muuttujaksi tai funktioksi toinen muuttuva määrä." Se ei kuitenkaan heijasta kirjeenvaihdon ajatusta, eikä siinä ole mainintaa analyyttisestä ilmaisusta, jonka avulla voimme päätellä, että tässä määritelmässä on merkittävä puute.
I. Ya. Khinchin kiinnitti paljon huomiota tähän ongelmaan teoksissaan.
Tiedemies piti funktion idean muodostumista formalismin ilmentymänä opetuksessa. Hän uskoi, että lukiossa funktion käsitettä tulisi opettaa kirjeenvaihdon käsitteen pohjalta.
Tälle ajanjaksolle on ominaista riittämätön aika toimintojen opiskeluun, huonosti suunnitellut harjoitusjärjestelmät, opiskelijoiden puutteellinen ymmärtäminen toiminnan käsitteen todellisesta olemuksesta sekä koulusta valmistuneiden toiminnallisten ja graafisten taitojen heikko taso.
Näin ollen tarve uudistaa toisen asteen matematiikan opetusta on jälleen noussut esiin. Koko koulumatematiikan uudelleenjärjestely joukkoteoreettisen lähestymistavan pohjalta merkitsi viidettä vaihetta toiminnallisen riippuvuuden idean kehityksessä. Ajatuksen sarjateoreettisesta lähestymistavasta otti joukko ranskalaisia tutkijoita, jotka yhdistyivät salanimellä Nicolas Bourbaki. Roymontissa (Ranska, 1959) pidettiin kansainvälinen kokous, jossa julistettiin kaikkien tavanomaisten kurssien kaataminen. Painopisteenä oli kaiken joukkoteoriaan perustuvan koulumatematiikan rakenteita ja yhdistelmiä.
Tärkeä rooli uudistusideoiden kehittämisessä oli V. L. Goncharovin artikkeleilla, joissa kirjoittaja korosti varhaisen ja pitkän aikavälin toiminnallisen propedeutiikan merkitystä ja ehdotti sellaisten harjoitusten käyttöä, jotka koostuvat useiden ennalta määrättyjen tehtävien suorittamisesta. numerokorvaukset samassa kirjainlausekkeessa.
Ohjelmien ja oppikirjojen vakiintuminen loi pohjaa myönteisille muutoksille opiskelijoiden toiminnallisen tiedon laadussa. 1960-luvun lopulla ja 70-luvun alussa negatiivisten arvostelujen ohella lehdistössä alkoi ilmestyä niitä, jotka havaitsivat koulusta valmistuneiden funktioiden ja kaavioiden tuntemuksen parantuneen. Opiskelijoiden matemaattisen kehityksen taso pysyi kuitenkin yleisesti ottaen riittämättömänä. Koulun matematiikan kursseilla käytettiin edelleen kohtuuttoman paljon aikaa muodolliseen valmistautumiseen, eikä niissä kiinnitetty riittävästi huomiota opiskelijoiden itsenäisen oppimiskyvyn kehittämiseen.
1.2 Menetelmät funktioiden määrittämiseksi
Niin, numeerinen toiminto on vastaavuus reaalilukujen numeerisen joukon R välillä, jossa jokainen numero joukosta X vastaa yhtä numeroa joukosta R.
Vastaavasti X edustaa funktion määritelmäaluetta (DOF).
Itse funktio on merkitty latinalaisten aakkosten pienillä kirjaimilla (f, d, e, k).
Jos joukolle X on annettu funktio f, niin joukon X lukua x vastaava reaaliluku y merkitään f(x) (y=f(x)).
Muuttujaa x kutsutaan Perustelu. Kutsutaan lukujoukkoa, jonka muoto on f(x) kaikille x:ille toimintoaluef.
Useimmiten funktiot määritellään erityyppisillä kaavoilla: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, missä x on reaaliluku, y on vastaava yksikköluku.
Voit kuitenkin asettaa yhden kaavan joukko funktioita, joiden eron määrää vain määritelmäalue:
Y= 2x-3, missä x kuuluu reaalilukujen joukkoon ja y=2x-3,
X - kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon.
Usein määritettäessä funktiota kaavalla, OOF-arvoa ei määritellä (OOF on lausekkeen f(x) määritelmäalue).
On myös varsin kätevää esittää numeeriset funktiot visuaalisesti, ts. käyttämällä koordinaattitasoa. 
1.3 Toiminnon ominaisuudet.
Kuten monilla muillakin, numeerisilla funktioilla on seuraavat ominaisuudet:
Kasvava, pienenevä, monotonisuus, funktion määritelmä- ja arvoalue, rajallisuus ja rajattomuus, parillinen ja pariton, jaksollisuus.
Toimialue ja toimintovalikoima.
Alkeismatematiikassa funktioita tutkitaan vain reaalilukujoukolla R. Tämä tarkoittaa, että funktion argumentti voi ottaa vain ne reaaliarvot, joille funktio on määritelty, ts. se hyväksyy myös vain todelliset arvot. Argumentin x kaikkien sallittujen reaaliarvojen joukkoa X, jolle funktio y = f(x) on määritelty, kutsutaan funktion toimialueeksi. Kaikkien y:n todellisten arvojen joukkoa Y, jonka funktio ottaa, kutsutaan funktion alueeksi. Nyt voidaan antaa funktiolle tarkempi määritelmä: joukkojen X ja Y välisen vastaavuuden sääntö (laki), jonka mukaan jokaiselle joukon X alkiolle löytyy yksi ja vain yksi alkio joukosta Y, on kutsutaan funktioksi. 
Funktio katsotaan määritellyksi, jos: funktion X määritelmäalue on määritelty; funktion Y arvoalue on määritetty; vastaavuuden sääntö (laki) tunnetaan ja sellainen, että jokaiselle argumentin arvolle löytyy vain yksi funktion arvo. Tämä funktion yksilöllisyyden vaatimus on pakollinen.
Rajoitetut ja rajattomat toiminnot. Funktiota kutsutaan rajatuksi, jos siinä on positiivinen luku M, joka | f(x) | M kaikille x:n arvoille. Jos tällaista numeroa ei ole, toiminto on rajoittamaton.
Parilliset ja parittomat funktiot. Jos jollekin x:lle funktion määritelmäalueesta pätee: f (- x) = f (x), niin funktiota kutsutaan parilliseksi; jos se tapahtuu: f (- x) = - f (x), niin funktiota kutsutaan parittomaksi. Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen Y-akselin suhteen (kuva 5) ja parittoman funktion kaavio on symmetrinen origon suhteen (kuva 6). 
Jaksottainen toiminto. Funktio f (x) on jaksollinen, jos on nollasta poikkeava luku T siten, että mille tahansa funktion määritelmäalueen x:lle pätee seuraava: f (x + T) = f (x). Tätä pienintä lukua kutsutaan funktion jaksoksi. Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia.
Mutta tärkein ominaisuus oppimistoiminnalle ala-asteella on yksitoikkoinen.
Monotoninen toiminto. Jos millä tahansa kahdella argumentin x1 ja x2 arvolla ehto x2 > x1 edellyttää f (x2) > f (x1), niin funktio | f(x) | kutsutaan kasvavaksi; jos mille tahansa x1:lle ja x2:lle ehto x2 > x1 edellyttää f (x2)
2. Suorat ja käänteiset suhteet.
2.1 Suoran suhteellisuuden käsite.
Peruskoulussa funktio ilmenee suorina ja käänteisinä suhteina.
Suora suhteellisuus- tämä on ennen kaikkea toiminto, joka voidaan antaa kaavalla y=kx, jossa k on nollasta poikkeava reaaliluku. Funktion y = kx nimi liittyy tämän kaavan sisältämiin muuttujiin x ja y. Jos asenne kaksi määrää on yhtä kuin jokin nollasta poikkeava luku, niin niitä kutsutaan suoraan verrannollinen.
K on suhteellisuuskerroin.
Yleensä funktio y=kx on matemaattinen malli monista matematiikan alkukurssilla käsitellyistä todellisista tilanteista.
Oletetaan esimerkiksi, että yhdessä pakkauksessa on 2 kg jauhoja ja x tällaisia paketteja ostettiin, niin koko ostettu jauhomassa on y. Tämä voidaan kirjoittaa kaavana seuraavasti: y=2x, missä 2=k.
2.2 Suoran suhteellisuuden ominaisuudet.
Suoralla suhteellisella suhteella on useita ominaisuuksia:
Funktion y=kx määritelmäalue on reaalilukujen joukko R;
Suoran verrannollisuuden graafi on origon kautta kulkeva suora;
Kun k>0, funktio y=kx kasvaa koko määritelmäalueen yli (k
Jos funktio f on suora verrannollisuus, niin (x1,y1),(x2,y2) ovat vastaavien muuttujien x ja y pareja, joissa x ei ole yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa x1/x2=y1/y2.
xuseita kertoja vastaava positiivinen arvo y kasvaa (pienenee) samalla määrällä.
2.3 Käänteisen suhteellisuuden käsite.
Käänteinen suhteellisuus- Tämä toiminto, joka voidaan antaa kaavalla y=k/x, jossa k on nollasta poikkeava reaaliluku. Funktion y = k/x nimi liittyy muuttujiin x ja y, joiden tulo on yhtä suuri kuin jokin reaaliluku, joka ei ole nolla.
Käänteisen suhteellisuuden ominaisuudet:
Funktion y=k/x määritelmäalue ja arvoalue on reaalilukujen joukko R;
Suoran suhteellisuusgraafi – hyperbola;
Kun k 0 vastaavasti pienenee koko määritelmäalueen läpi, haarautuu - alas)
Jos funktio f on käänteinen verrannollisuus, niin (x1,y1),(x2,y2) ovat vastaavien muuttujien x ja y pareja, joissa x ei ole yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa x1/x2=y2/y1.
Jos muuttujien arvotxJayovat sitten positiivisia reaalilukuja
kasvavalla (pienenevällä) muuttujallaxuseita kertoja y:n vastaava arvo pienenee (kasvaa) samalla määrällä.
Käytännön osa
3.1 Funktionaalinen propedeutiikka matematiikan alkukurssilla
Funktionaalisen riippuvuuden käsite on yksi matemaattisen tieteen johtavista, joten tämän käsitteen muodostaminen opiskelijoiden keskuudessa on tärkeä tehtävä opettajan määrätietoisessa toiminnassa lasten matemaattisen ajattelun ja luovan toiminnan kehittämiseksi. Toiminnallisen ajattelun kehittyminen edellyttää ennen kaikkea kyvyn löytää uusia yhteyksiä ja hallita yleissivistävää tekniikkaa ja taitoja.
Matematiikan alkukurssilla merkittävä rooli tulee antaa funktionaaliselle propedeutiikalle, joka valmistaa opiskelijat opiskelemaan systemaattisia algebran ja geometrian kursseja ja juurruttaa heihin ajattelun dialektisyyttä, ymmärrystä kausaalisten suhteiden välillä. ympäröivän todellisuuden ilmiöitä. Tältä osin hahmotellaan propedeuttisen työn pääsuunnat aineen opetuksen alkuvaiheessa L.G.:n ohjelman mukaisesti. Peterson:
Joukkojen käsite, kahden joukon elementtien ja funktioiden vastaavuus. Aritmeettisten operaatioiden tulosten riippuvuus komponenttien muutoksista.
Taulukko-, sana-, analyyttiset, graafiset menetelmät funktion määrittämiseen.
Lineaarinen riippuvuus.
Koordinaattijärjestelmä, ensimmäinen ja toinen koordinaatti, järjestetty pari.
Yksinkertaisimpien kombinatoristen ongelmien ratkaiseminen: mahdollisten permutaatioiden, äärellisen joukon alkioiden osajoukkojen kokoaminen ja laskeminen.
Yhden ja kahden muuttujan luonnollisten arvojen systemaattisen laskemisen käyttäminen kaavioongelmia ratkaistaessa.
Taulukoiden täyttäminen aritmeettisilla laskelmilla, data sovellettavien tehtävien ehdoista. Tietojen valitseminen taulukosta ehtojen mukaan.
Suhteellisten määrien välinen suhde; soveltava tutkimus niiden kaavioista.
Matematiikan peruskurssin sisältö antaa opiskelijoille mahdollisuuden muodostaa käsityksen yhdestä matematiikan tärkeimmistä ajatuksista - ajatus yhdenmukaisuudesta.Oppilaat suorittaessaan tehtäviä ilmaisujen merkityksen selvittämiseksi ja taulukoita täyttäessään toteavat, että kukin lukupari vastaa enintään yhtä tuloksena saatua lukua. Tämän ymmärtämiseksi on kuitenkin analysoitava taulukoiden sisältö.
Keksi kaikki mahdolliset esimerkit kahden yksinumeroisen luvun lisäämisestä siten, että vastaus on 12.
Tätä tehtävää suorittaessaan opiskelijat muodostavat suhteen kahden termien arvojoukon välille. Muodostettu vastaavuus on funktio, koska jokainen ensimmäisen termin arvo vastaa toisen termin yhtä arvoa vakiosummalla.
Maljakossa on 10 omenaa. Kuinka monta omenaa jää jäljelle, jos otat 2 omenaa? 3 omenaa? 5 omenaa? Kirjoita ratkaisu taulukkoon. Mistä tulos riippuu? Kuinka monella yksiköllä se muuttuu? Miksi?
Tämä ongelma itse asiassa esittelee toiminnon klo = 10 - X, jossa muuttuja X ottaa arvot 2, 3, 5. Tämän tehtävän suorittamisen tuloksena opiskelijoiden on päätettävä: mitä suurempi alaosa, sitä pienempi ero.
Ajatus toiminnallisesta kirjeenvaihdosta on läsnä myös harjoituksissa, kuten:
Yhdistä matemaattiset lausekkeet ja vastaavat numeeriset arvot nuolella:
15 + 6 27 35
Johdanto kirjain symbolit antaa sinun esitellä opiskelijoille modernin matematiikan tärkeimmät käsitteet - muuttuja, yhtälö, epätasa-arvo, mikä edistää toiminnallisen ajattelun kehittymistä, koska toiminnallisen riippuvuuden idea liittyy läheisesti heihin. Muuttujan kanssa työskennellessään opiskelija ymmärtää, että lausekkeen sisältämät kirjaimet voivat saada erilaisia numeerisia arvoja, ja itse kirjainlauseke on numeeristen lausekkeiden yleistetty merkintä.
Opiskelijoiden kokemus kommunikoinnista harjoitusten kanssa kuvioiden muodostaminen numerosarjoihin ja niiden jatkaminen:
1, 2, 3, 4… (klo = X + 1)
1, 3, 5, 7… (klo= 2 · X + 1)
Konsepti määriä, yhdessä numerokäsitteen kanssa, on matematiikan alkukurssin pääkäsite. Tämän osan aineisto on rikas lähde epäsuoran toiminnallisen propedeutiikan toteuttamiseen. Ensinnäkin tämä on riippuvuus (käänteisesti verrannollinen) valitun määräyksikön (mitan) ja sen numeerisen arvon (mitta) välillä - mitä suurempi mitta, sitä pienempi luku saadaan, kun määrä mitataan tällä mittarilla. Siksi on tärkeää, että jokaisen suuren kanssa työskennellessä opiskelijat hankkivat kokemusta suureiden mittaamisesta eri standardeilla voidakseen tietoisesti valita ensin sopivan ja sitten yhden mittauksen.
Toiseksi, kun tutkitaan liikkumis-, työ-, osto- ja myyntiprosesseja kuvaavia määriä, muodostuu ajatuksia nopeuden, ajan ja etäisyyden, hinnan, määrän ja kustannusten välisestä suhteesta seuraavan tyyppisten tekstiongelmien ratkaisuprosessissa - pelkistys ykseys (neljännen löytäminen verrannollinen) , tuntemattoman löytäminen kahdella erolla, suhteellinen jako.
Opiskelijoiden on erityisen vaikea ymmärtää näiden suureiden välistä suhdetta, koska "suhteellisen riippuvuuden" käsite ei ole erityisen tutkimuksen ja assimiloinnin aihe. Ohjelmassa L.G. Peterson ratkaisee tämän ongelman menetelmällisesti käyttämällä seuraavia tekniikoita:
- Puuttuvien tietojen ongelmien ratkaiseminen ("avoin" tila):
Vasjan koulukoti on 540 m ja Pashan 480 m. Kuka asuu lähempänä? Kuka pääsee sinne nopeammin?
Sasha osti muistikirjoja 30 ruplalla ja kyniä 45 ruplalla. Mihin tuotteisiin hän käytti eniten rahaa? Mitä tuotteita hän osti lisää?
Analysoimalla näiden tehtävien tekstejä opiskelijat huomaavat, että heiltä puuttuu dataa ja että vastaukset kysymyksiin riippuvat hinnasta ja nopeudesta.
- Tehtävien ehtojen kiinnittäminen ei vain taulukkoon (kuten klassisessa menetelmässä ehdotetaan), vaan myös kaavion muodossa. Tämän avulla voit "visualisoida" ongelmassa tarkastellut riippuvuudet. Joten jos liikkuvat esineet kulkevat saman 12 km:n matkan eri aikoina (2 tuntia, 3 tuntia, 4 tuntia, 6 tuntia), niin kaavion avulla käänteinen suhde tulkitaan selkeästi - mitä enemmän osia (aikaa), sitä pienempiä kukin. osa (nopeus).
- Muuta yhtä tehtävätiedoista ja vertaa ongelmien ratkaisun tuloksia.
Omenoita tuotiin koulun ruokalaan 48 kg. Kuinka monta laatikkoa he voisivat tuoda, jos kaikissa laatikoissa olisi sama määrä omenoita?
Opiskelija suorittaa tehtävän ehdot ja kirjaa suureiden väliset suhteet erilaisilla teoreettisen tiedon jäsentämiskeinoilla - taulukkoon, kaavioon ja suullisesti.
Tässä on hyödyllistä kiinnittää huomiota tarkasteltavien määrien moninkertaiseen suhteeseen - kuinka monta kertaa enemmän yksi on, kuinka monta kertaa enemmän (vähemmän) on toinen, kolmannen ollessa vakio.
Peruskoulussa oppilaat esitellään implisiittisesti taulukkomuotoiset, analyyttiset, sanalliset ja graafiset menetelmät funktioiden määrittämiseen.
Esimerkiksi nopeuden, ajan ja matkan välinen suhde voidaan ilmaista:
A) suullisesti: "etäisyyden löytämiseksi sinun on kerrottava nopeus ajalla";
B) analyyttisesti: s= v t;
B) taulukkomuotoinen: v =5 km/h
d) graafisesti (käyttämällä koordinaattisädettä tai kulmaa).
Graafinen tapa määrittää riippuvuus välillä v, t, s antaa meille mahdollisuuden muodostaa käsitys nopeudesta muutoksena liikkuvan kohteen sijainnissa aikayksikköä kohden (yleisesti hyväksytyn kanssa - kuljetun matkana aikayksikköä kohti) ja liikkeen kuvaajien vertailua kahdesta kappaleesta (liikkuvat toisistaan riippumatta) selventää ajatusta nopeudesta liikkeen nopeutta kuvaavana suureena.
Yhdistetyt numeeriset lausekkeet(suluilla ja ilman), niiden arvojen laskeminen toimintojärjestyksen sääntöjen mukaisesti antaa opiskelijoille mahdollisuuden ymmärtää, että tulos riippuu toimintojen suoritusjärjestyksestä.
Järjestä sulut muodostamaan oikeat yhtäläisyydet.
20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26
Aikana L.G. Peterson, opiskelijat esitellään implisiittisesti lineaarinen riippuvuus, funktion erikoistapauksena. Tämä funktio voidaan määrittää lomakkeen kaavalla klo= kh + b, Missä X- itsenäinen muuttuja, k Ja b- numerot. Sen toimialue on kaikkien reaalilukujen joukko.
Ajettuaan 350 kilometriä juna alkoi kulkea t tuntia 60 km/h nopeudella. Kuinka monta kilometriä juna kulki yhteensä?(350 + 60 · t)
Täyttämällä tehtäviä nimetyillä numeroilla opiskelijat ymmärtävät riippuvuuden suureiden numeeriset arvot eri mittayksiköiden käytöstä.
Sama segmentti mitattiin ensin senttimetreinä, sitten desimereinä. Ensimmäisessä tapauksessa saimme 135 enemmän kuin toisessa. Mikä on segmentin pituus senttimetreinä? (Riippuvuus= 10 · X)
Opiskellessaan matematiikan alkukurssia opiskelijat muodostavat käsitteen luonnollisesta lukusarjasta, luonnollisen sarjan segmentistä, omaksuvat luonnollisen lukusarjan ominaisuudet - äärettömyyden, järjestyksen jne. ajatus luonnollisen luvun rajattoman kasvun tai sen osuuden pienenemisen mahdollisuudesta.
3-4 luokan matematiikan kurssilla kiinnitetään paljon huomiota opiskelijoiden käytön opetukseen kaavat, niiden riippumaton johtopäätös. Tässä on tärkeää opettaa opiskelijat esittämään samat tiedot eri muodoissa - graafisesti ja analyyttisesti, jolloin opiskelijat voivat valita lomakkeen oman kognitiivisen tyylinsä mukaisesti.
Opiskelijoita kiinnostavat erityisesti tehtävät, jotka liittyvät muuttujaarvotaulukoiden analysointiin, niiden välisten riippuvuuksien "löytämiseen" ja niiden kirjoittamiseen kaavoiksi.
Taulukossa esitettyjä lukuja analysoidessaan opiskelijat huomaavat helposti, että ensimmäisen rivin luvut kasvavat yhdellä ja toisella rivillä neljällä. Opettajan tehtävänä on kiinnittää huomiota muuttujien arvojen väliseen suhteeseen A Ja b. Matemaattisen koulutuksen soveltavan suuntautumisen vahvistamiseksi tämä tilanne tulisi "elvyttää" ja siirtää juoniksi.
Kehittääksesi opiskelijoiden kykyä johtaa kaavoja, sinun on opetettava heitä kirjoittamaan erilaisia väitteitä matemaattisella kielellä (yhtä-arvojen muodossa):
Kynä on kolme kertaa kalliimpi kuin kynä ( R = Vastaanottaja + 3);
Määrä A Kun jaetaan viidellä, jäännös on 2 ( A= 5 · b + 2);
Suorakulmion pituus on 12 cm suurempi kuin leveys ( A = b + 12).
Edellytyksenä on keskustella mahdollisista vaihtoehdoista näiden määrien arvoille ja täyttää vastaavat taulukot.
Erityinen paikka L.G.:n aikana. Peterson ottaa vastaan liittyviä tehtäviä matemaattinen tutkimus:
Esitä luku 16 kahden tekijän tulona eri tavoin. Etsi kunkin menetelmän tekijöiden summa. Missä tapauksessa pienempi määrä saatiin? Tee sama numeroiden 36 ja 48 kanssa. Mikä on arvauksesi?
Samanlaisia tehtäviä suorittaessaan (tutkimalla monikulmion kulmien lukumäärän ja kulmien astemittojen kokonaisarvon välistä suhdetta, saman pinta-alan eri muotoisten kuvioiden kehän arvon välistä suhdetta jne.) opiskelijat parantavat omaa osaamistaan. taidot työskennellä taulukon kanssa, koska ratkaisu on kätevä tallentaa taulukkoon. Lisäksi taulukkomuotoista ratkaisun kiinnitysmenetelmää käytetään, kun ratkaistaan epätyypillisiä matemaattisia ongelmia järjestetyn haun tai rationaalisen valinnan menetelmällä.
Luokassa on 13 lasta. Pojilla on yhtä monta hampaita kuin tytöillä on sormia ja varpaita. Kuinka monta poikaa ja kuinka monta tyttöä luokassa on? (Jokaisella pojalla on täsmälleen 32 hammasta).
Matematiikan opetus ohjelman mukaan L.G. Peterson varmistaa, että opiskelijat ymmärtävät aritmeettisten operaatioiden tulosten ja komponenttien välisen suhteen ja käsityksen siitä aritmeettisten operaatioiden tuloksen muutoksen "nopeus" komponenttien muutoksista riippuen:
Harjoitukset numeroiden koostumuksesta;
Erityiset laskentamenetelmät (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);
Summan, erotuksen, tuotteen, osamäärän estimointi.
Tällaisia tehtäviä suoritettaessa on tärkeää esittää tiedot moniaistisesti.
Miten summa muuttuu, jos yhtä termiä suurennetaan 10:llä ja toista vähennetään 5:llä?
Miten suorakulmion (tai kahden luvun tulo) pinta-ala muuttuu, jos yhtä sivuista (yksi luvuista) kasvatetaan kolmella?
Merkittävä osa opiskelijoista suorittaa tällaisia tehtäviä korvaamalla tiettyjä numeerisia arvoja. Metodologisesti pätevä tässä tilanteessa olisi tulkita ehto graafisesti ja analyyttisesti.
(A+ 3) · b = A· b+ 3 ·b
Lukion funktion käsite liittyy koordinaattijärjestelmä. Aikana L.G. Peterson sisältää materiaalia tämänsuuntaiseen propedeuttiseen työhön:
Numeerinen segmentti, numeerinen säde, koordinaattisäde;
Pythagoraan taulukko, koordinaatit tasossa (koordinaattikulma);
Liikenneaikataulut;
Ympyrä-, pylväs- ja viivakaaviot, jotka esittävät visuaalisesti erillisten määrien välisiä suhteita.
Joten aritmeettisten operaatioiden tutkimus, luvun lisääminen ja pienentäminen useilla yksiköillä tai useilla kertoilla, aritmeettisten operaatioiden komponenttien ja tulosten välinen suhde, ongelmien ratkaiseminen neljännen verrannollisuuden löytämisessä, nopeuden, ajan ja etäisyyden välisestä suhteesta; hinta, määrä ja arvo; yksittäisen tavaran massa, niiden määrä ja kokonaismassa; tuottavuus, aika ja työ; jne. ovat toisaalta funktiokäsitteen muodostumisen taustalla, toisaalta niitä tutkitaan toiminnallisten käsitteiden pohjalta. On huomattava, että graafisella mallinnolla on melko suuri propedeuttinen merkitys: ongelmatilanteiden graafinen tulkinta, piirtäminen, piirtäminen jne. Graafisessa muodossa esitetty tieto on helpommin havaittavaa, tilavaa ja melko ehdollista, suunniteltu välittämään tietoa vain esineen oleellisista ominaisuuksista ja kehittämään opiskelijoiden graafisia taitoja.
Lisäksi toiminnallisen riippuvuuden propedeutiikan tuloksena tulisi olla nuorempien koululaisten korkea henkinen aktiivisuus, älyllisten, yleisten aineellisten ja erityisten matemaattisten taitojen kehittyminen. Kaikki tämä luo vankan perustan paitsi primaarimatematiikan metodologisten ongelmien ratkaisemiselle - laskennallisten taitojen muodostumiselle, kyvylle ratkaista tekstitehtävät jne., vaan myös matemaattisen sisällön kehitysmahdollisuuksien toteuttamiselle ja, mikä ei vähemmän tärkeää, funktioiden menestyksekkääseen opiskeluun lukiossa.
3.2 Suhteellisesti riippuvaisten suureiden ongelmien ratkaiseminen
Ongelman ratkaiseminen tarkoittaa loogisesti oikean toimintosarjan käyttämistä
ja operaatiot numeroilla, määrillä, jotka ovat eksplisiittisesti tai implisiittisesti käytettävissä ongelmassa,
suhteita tehtävän vaatimuksen täyttämiseksi (vastaa sen kysymykseen).
Matematiikan tärkeimmät ovat: aritmeettinen Ja
algebrallinen tapoja ratkaista ongelmia. klo aritmeettinen tapa
vastaus tehtävän kysymykseen löytyy aritmeettisen suorituksen tuloksena
toimia numeroiden suhteen.
Eri aritmeettiset menetelmät saman ongelman ratkaisemiseksi ovat erilaisia
datan, datan ja tuntemattomien, datan ja haetun väliset suhteet,
aritmeettisten operaatioiden valinnan tai sekvenssin taustalla
käyttää näitä suhteita valitessaan toimia.
Sanatehtävän ratkaiseminen aritmetiikkaa käyttämällä on monimutkaista toimintaa.
ratkaiseva. Siinä on kuitenkin useita vaiheita:
1. Tehtävän sisällön ymmärtäminen ja analysointi.
2. Etsi ja laadi suunnitelma ongelman ratkaisemiseksi.
3. Ratkaisusuunnitelman toteuttaminen. Vaatimuksen täyttymistä koskevan johtopäätöksen muotoileminen
tehtävät (vastaaminen tehtävän kysymykseen).
4. Ratkaisun tarkistaminen ja mahdollisten virheiden poistaminen.
Suhteellisen jaon ongelmat esitellään eri tavoin: voit tarjota
valmiin ongelman ratkaisemiseksi tai voit ensin laatia sen muuttamalla ongelmaa
löytääksesi neljännen verrannollisen. Molemmissa tapauksissa ratkaisun menestys
Suhteellisen jaon ongelmat määräytyvät vankan ratkaisukyvyn perusteella
ongelmat neljännen suhteelliseksi löytämisessä, siis as
valmisteluun tulee sisältyä sopivan tyyppisten ongelmien ratkaiseminen
neljäs verrannollinen. Siksi toinen on parempi
mainitut vaihtoehdot suhteellisten jakoongelmien käyttöönottamiseksi.
Siirrytään oppikirjasta valmiiden tehtävien sekä koottujen tehtävien ratkaisemiseen
opettaja, mukaan lukien erilaiset määräryhmät, sinun on ensin määritettävä mikä
tehtävässä käsitellyt määrät ja kirjoita sitten tehtävä lyhyesti taulukkoon,
on aiemmin jakanut ongelman kysymyksen kahteen kysymykseen, jos se sisältää sanan
joka. Pääsääntöisesti opiskelijat suorittavat ratkaisun itsenäisesti, analysoivat
suoritetaan vain yksittäisten opiskelijoiden kanssa. Lyhyen muistiinpanon sijasta voit tehdä
piirustus. Esimerkiksi, jos ongelma koskee kankaanpalasia, lankakeloja ja
jne., niin ne voidaan esittää segmenteillä kirjoittamalla vastaava numeerinen
näiden määrien arvot. Huomaa, että sinun ei pidä suorittaa lyhyttä lenkkiä joka kerta.
nauhoittaminen tai piirtäminen, jos opiskelija tietää ongelman luettuaan kuinka ratkaista se, niin
anna hänen päättää, ja ne, joiden on vaikea käyttää lyhyttä muistiinpanoa tai piirustusta
Tehtävän ratkaisemiseksi. Vähitellen tehtävien tulisi monimutkaistaa esittelyllä
lisätiedot (esimerkiksi: "Ensimmäinen kappale sisälsi 16 m ainetta ja toinen
2 kertaa vähemmän.") tai kysymyksen esittäminen (esimerkiksi: "Kuinka monta metriä
Oliko ensimmäisessä kappaleessa enemmän materiaalia kuin toisessa?).
Kun tutustut suhteettoman jako-ongelman ratkaisuun, voit mennä
toinen tapa: ratkaise ensin valmiit ongelmat ja suorita myöhemmin
muutetaan neljännen verrannollisuuden löytämisen ongelma ongelmaksi
suhteellinen jako ja niiden ratkaisemisen jälkeen vertaa sekä itse ongelmia että
heidän päätöksensä.
Harjoitukset auttavat yleistämään kykyä ratkaista tarkastelun tyyppisiä ongelmia.
luova luonne. Nimetään joitakin niistä.
Ennen sen ratkaisemista on hyödyllistä kysyä, mihin ongelman kysymyksistä vastataan
suurempi numero ja miksi, ja päätettyään tarkistaa, vastaako se tätä tyyppiä
tuloksena olevat numerot, mikä on yksi tapa tarkistaa ratkaisu. Voit jatkaa
selvittää, olisiko vastaus voinut tuottaa samat luvut ja millä ehdoilla.
Hyödyllisiä harjoituksia opiskelijoille ongelmien muodostamiseen ja niiden ratkaisemiseen,
ja tehtävänmuutosharjoituksia. Tämä on ennen kaikkea kokoelma
samanlaisia ongelmia kuin ratkaistu. Joten määrien ongelman ratkaisemisen jälkeen: hinta,
määrä ja hinta - tarjoa samanlaisen ongelman laatimista ja ratkaisemista
samat määrät tai muiden kanssa, kuten nopeus, aika ja matka.
Tämä on niiden ratkaisun ongelmien kokoelma, joka on kirjoitettu erikseen
toimintoja ja ilmaisumuodossa on ongelmien kokoamista ja ratkaisemista niiden mukaan
lyhyt kaavamainen merkintä
1 tapa:
X = 15 * 30 / 8 = 56 ruplaa 25 kopekkaa
Menetelmä 2: kankaan määrä on kasvanut 15/8 kertaa, mikä tarkoittaa, että he maksavat 15/8 kertaa enemmän rahaa
X = 30*15/8 = 56 ruplaa 25 kopekkaa
2. Eräs herrasmies kutsui puusepän ja käski tämän rakentamaan pihan. Hän antoi hänelle 20 työntekijää ja kysyi, kuinka monta päivää he rakentaisivat hänen pihansa. Puuseppä vastasi: 30 päivässä. Mutta mestarin täytyy rakentaa se 5 päivässä, ja tätä varten hän kysyi puusepältä: kuinka monta ihmistä sinulla on oltava, jotta voit rakentaa heidän kanssaan pihan 5 päivässä; ja puuseppä kysyy hämmentyneenä sinulta, aritmeetikko: kuinka monta ihmistä hänen pitää palkata rakentaakseen pihan 5 päivässä?
Taululle kirjoitetaan keskeneräinen lyhyt ehto:
Vaihtoehto I: suhteellinen
Vaihtoehto II: ilman mittasuhteita
minä 
II. X = 20*6 = 120 työntekijää
3. He veivät 560 sotilasta ruoan kanssa 7 kuukaudeksi, mutta heidät määrättiin palvelemaan 10 kuukautta ja he halusivat poistaa ihmiset itsestään, jotta ruokaa riittäisi 10 kuukaudeksi. Kysymys kuuluu, kuinka monta ihmistä pitäisi vähentää?
Vanha tehtävä.
Ratkaise tämä ongelma ilman suhteetta:
(Kuukausien määrä kasvaa kertoimella, mikä tarkoittaa, että sotilaiden määrä vähenee kertoimella.
560 – 392 = 168 (sotilaita on vähennettävä)
Muinaisina aikoina monenlaisten ongelmien ratkaisemiseksi niiden ratkaisemiseksi oli erityisiä sääntöjä. Tuttuja suoran ja käänteisen suhteellisuuden ongelmia, joissa meidän on löydettävä neljäs kahden suuren kolmesta arvosta, kutsuttiin "kolminkertaisen säännön" ongelmiksi.
Jos kolmelle määrälle annettiin viisi arvoa ja oli tarpeen löytää kuudes, sääntöä kutsuttiin "viisinkertaiseksi". Samoin neljälle määrälle oli "seitsemännkertainen sääntö". Näiden sääntöjen soveltamiseen liittyviä ongelmia kutsuttiin myös "monimutkaisiksi kolminkertaisiksi säännöiksi".
4.
Kolme kanaa muni 3 munaa 3 päivässä. Kuinka monta munaa 12 kanaa munii 12 päivässä?
| Kanat | päivää | munat |
| 3 | 3 | 3 |
| 12 | 12 | X |
Sinun on otettava selvää:
Kuinka monta kertaa kanojen määrä on kasvanut? (4 kertaa)
Miten munien määrä muuttui, jos päivien määrä ei muuttunut? (nousu 4 kertaa)
Kuinka monta kertaa päivien määrä on kasvanut? (4 kertaa)
Miten munien määrä muuttui? (nousu 4 kertaa)
X = 3 * 4 * 4 = 48 (munat)
5
. Jos kirjuri osaa kirjoittaa 15 lehteä 8 päivässä, kuinka monta kirjuria tarvitsee kirjoittaa 405 lehtiä 9 päivässä?
(kirjoittajien määrä kasvaa arkkien lisääntyessä kertaa ja vähenee
Työpäivien lisääntymisestä 
(kirjurit)).
Tarkastellaan monimutkaisempaa ongelmaa neljällä suurella.
6.
18 huoneen valaisemiseen käytettiin 120 tonnia kerosiinia 48 päivässä, ja jokaisessa huoneessa paloi 4 lamppua. Kuinka monta päivää 125 kiloa kerosiinia riittää, jos 20 huonetta valaistaan ja jokaisessa huoneessa sytytetään 3 lamppua?
Kerosiinin käyttöpäivien määrä kasvaa kerosiinin määrän kasvaessa
kertaa ja vähentämällä lamppuja kertoimella.
Kerosiinin käyttöpäivien määrä vähenee huoneiden lisääntyessä 20 ajat.
X = 48 * * : = 60 (päivää)
Lopullinen arvo on X = 60. Tämä tarkoittaa, että 125 kiloa kerosiinia riittää 60 päiväksi.
Johtopäätös
Peruskoulun toiminnallisen riippuvuuden tutkimisen metodologinen järjestelmä, joka on kehitetty modulaarisen opetuksen yhteydessä, edustaa eheyttä, joka muodostuu pääkomponenttien (kohde, sisältö, organisatorinen, teknologinen, diagnostinen) ja periaatteiden (modulaarisuus, tietoinen näkökulma, avoimuus, oppimisen keskittyminen opiskelijan persoonallisuuden kehittämiseen, metodologisen konsultoinnin monipuolisuus).
Modulaarinen lähestymistapa on keino parantaa peruskoulun opiskelijoiden toiminnallisen riippuvuuden tutkimusprosessia, jonka avulla: opiskelijat hallitsevat toiminnallisten tietojen ja toimintatapojen järjestelmän, käytännön (toiminnalliset) taidot; opettaja - kehittää toiminnalliseen materiaaliin perustuvaa matemaattista ajatteluaan, kehittää itsenäisyyttä oppimisessa.
Peruskoulun toimintojen opiskeluprosessin metodologinen tuki rakentuu modulaaristen ohjelmien pohjalta, joiden avulla tunnistetaan aiheen ymmärtämisen, oppimateriaalin sisällön onnistuneen ja täydellisen omaksumisen ja hankkimisen edellyttämät perusmallit. vankat tiedot, taidot ja kyvyt omaavat opiskelijat.
Bibliografia.
Demidova T.E., Tonkikh A.P., Tekstiongelmien ratkaisemisen teoria ja käytäntö: Oppikirja. apu opiskelijoille korkeampi ped. oppikirja laitokset. – M.: Publishing Center “Academy”, 2002. -288 s.
Fridman L. M. Mathematics: Oppikirja pedagogisten yliopistojen ja korkeakoulujen opettajille ja opiskelijoille. – M.: Koululehti, 2002.- 208 s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Matematiikan alkukurssin perusteet: Oppikirja. käsikirja pedagogian opiskelijoille. uch - sch erityisillä. ”Opetus yleissivistävän koulutuksen ala-asteilla. Shk." - M.: Koulutus, 1998. – 320-lukua.
Stoilova L.P. Matematiikka: Oppikirja opiskelijoille. korkeampi Ped. oppikirja laitokset. – M.: Kustannuskeskus “Akakdemiya”, 1999. – 424 s.
Pekhletsky I. D. Matematiikka: Oppikirja. – 2. painos stereotyyppinen – M.: Publishing Center “Academy”; Mastery, 2002. – 304 s.
Kryuchkova V.V. Suhteellisten määrien ongelmien käsittely kehitystilassa: Opettajien käsikirja alussa. luokat: Osa 2 / Ryazan Regional Institute for Educational Development. Ryazan, 1996. – 75s.
Padun T. A. Epätyypilliset tehtävät alkeismatematiikan kurssilla: Metodologiset. Suositeltava Auttaa peruskoulun opettajia / Ryaz. Alue Koulutuksen kehittämisinstituutti. – Ryazan, 2003 – 85 s.
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa: IX – X luokalla. Käsikirja opettajille. – M.: Koulutus, 1983. – 351 s., ill.
Dorofeev G.V. Humanistinen kurssi on opetusaineen "Matematiikka" perusta lukiossa // Matematiikka koulussa. – 1997. – Nro 4. - P.59-66, s. 59.
Ajankohtaisia ongelmia matematiikan opetuksessa peruskoulussa. /Toim. MI. Moreau, A.M. Pullea. - M.: Pedagogiikka, 1977. - 262 s.
Bantova M.A., Beltyukova G.V. Matematiikan opetusmenetelmät peruskoulussa. - M.: Pedagogiikka, 1984. - 301 s.
Davydov V.V. Matematiikka, 3. luokka: Oppikirja 4-vuotiaalle peruskoululle. - M.: Kustannuskeskus "Akatemia", 1998. - 212 s.
Moro M.I. ja muut Matematiikka: Oppikirja kolmivuotisen peruskoulun 3. luokalle ja nelivuotisen peruskoulun 4. luokalle. /Toim. Kalyagina Yu.M. - M.: Koulutus, 1997. - 240 s.
Peterson L.G. Matematiikka, 3. luokka. Osat 1, 2. Oppikirja 4-vuotiaalle peruskoululle. - M.: "Balass", 2001.
Tämä materiaali on koottu liittovaltion koulutusstandardin mukaisesti
matematiikan oppitunti 9. luokalla aiheesta: "Numeeriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kaaviot", A.G. Mordkovichin oppikirja.
Oppitunti kehityksen ohjauksesta ja uuden tiedon löytämisestä
oppitunnin liite ja esitys.
Ladata:
Esikatselu:
Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com
Dian kuvatekstit:
Numeeriset funktiot, niiden ominaisuudet ja graafit. Matematiikan oppitunti 9. luokalla Saratovin IDPO-alaryhmän nro 9 Zavodskoyn piirin loppusertifioinnissa 25.10.2013
Epigrafi "Ainoa tieteeseen johtava tie on aktiivisuus." Bernard Show
Luova työ Keksi "palakohtainen" funktio, rakenna kaavio ja lue se. Ratkaisu y =
Suullinen työ Nimeä funktio ja määrittele se analyyttisesti
Teoreettinen tietokilpailu Muotoile numeerisen funktion määritelmä. Mitä kutsutaan funktion määritelmäalueeksi. Mitä kutsutaan funktion kuvaajaksi. Listaa tapoja määrittää funktio. Mitä funktiota kutsutaan kasvavaksi (vähentäväksi). Mitä funktiota kutsutaan parilliseksi (parittiseksi). Mitä lukua kutsutaan funktion pienimmäksi (suurimmaksi) arvoksi. Mitä toimintoa kutsutaan rajoitetuksi.
Testit GIA-muodossa (perustaso)
vastaa Vaihtoehto nro 5 Vaihtoehto nro 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3
Harjoitusten suorittaminen GIA nro 1. Piirrä funktion y = x 2 - 4 +3 kuvaaja, etsi kaavion avulla monotonisuuden intervallit. Millä a:n arvoilla suoralla y=a on kaksi yhteistä pistettä tämän funktion kuvaajan kanssa? Vastaus: a>3, a = -1
Nro 2. Ratkaise graafisesti epäyhtälö x -2 ≤ -x 3 Vastaus: x≤ -1
Opin opin toistan lujitin Tänään luokassa
Esikatselu:
Tekninen kartta 9 luokan matematiikan oppitunnista aiheesta: "Numeeriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kaaviot", A.G. Mordkovichin oppikirja. Oppitunti kehityksen ohjauksesta ja uuden tiedon löytämisestä. | ||||||||||||||||||
Oppitunnin vaiheet | Lavatehtävät | Opettajan toiminta | Opiskelijoiden toimintaa | UUD |
||||||||||||||
1. Organisaation itsemääräämisoikeus oppimistoimintoihin (1) | Luo suotuisa psykologinen työasenne | Tervehdys, mobilisaatio lasten huomio. | He raportoivat poissaoloista ja liittyvät oppitunnin liikerytmiin. | Henkilökohtainen: itsemääräämisoikeus Sääntely : oppituntivalmiuden arviointi |
||||||||||||||
2. Oppitunnin tavoitteiden ja tavoitteiden asettaminen. Motivaatio opiskelijoiden oppimistoimintaan. (3) | Perustietojen ja toimintatapojen päivittäminen | Ilmoittaa oppitunnin aiheen ja tarkoituksen, kirjoittaa päivämäärän taululle.Tänään tunnilla teemme yhteenvedon luvun ”Numeeriset funktiot” tutkimuksen tuloksista. Jatketaan opiskelujen funktioiden kaavioiden rakentamisen ja lukemisen taitojen harjoittelua ja katsotaan kuinka syvästi tutkittu aihe esitetään tenttikokeissa. | Muistikirjaan kirjoittaminen | Sääntely: tavoitteiden asettaminen Kommunikaatiokykyinen:valmistautuminen pohdiskeluun |
||||||||||||||
3. Tietojen päivittäminen (12) | Perustietojen ja toimintatapojen päivittäminen koetunnille valmistautumiseksi. | Oppituntia varten sinua pyydettiin keksimään "palaittainen" funktio, rakentamaan kaavio ja lukemaan se. Katsotaanpa luovuutesi. 1. Kutsuu 2 opiskelijaa taululle halutessaan. 2. Suorittaa rinnakkaisen diaesityksen kaikista tutkituista numeerisista funktioista. (Liite nro 2). 3. Johtaa frontaalisen keskustelun teoreettisista kysymyksistä (Liite nro 3) 4. Antaa arvosanat läksyistä ja suullisista töistä kotitehtävät huomioiden. | 1. Hallituksessa työskentelee kaksi henkilöä. (Liite nro 1) 2. Loput opiskelijat nimeävät kuvatun funktion paikaltaan ja määrittelevät sen analyyttisesti. 3. Opiskelijat osallistuvat aktiivisesti suullisiin kuulusteluihin. | Sääntely: tahdonvoimainen itsesääntely vaikeissa tilanteissa Viestintä: ajatusten ilmaiseminen, mielipiteensä argumentointi Kognitiivinen: kyky soveltaa tietoa käytännön ongelmiin Henkilökohtainen: kestävän motivaation muodostuminen oppia ja lujittaa uusia asioita |
||||||||||||||
4. Tiedon yleistäminen ja systematisointi.(8) | Väliheijastus | Tutkimme ja tarkastelimme numeeristen funktioiden ominaisuuksia. Tehdään pieni testi ja varmistamme, että tietosi on vahva. Ehdotetut testit vastaavat perusvaikeustasoa, sinulla on 7 minuuttia. Toivon sinulle menestystä! 1. Jakaa testejä (Liite nro 4) 2. Kerää paperit ajan päätyttyä, kirjoittaa oikeat vastaukset taululle
3. Monet suorittivat testin hyvin, jotkut ymmärsivät, että heidän oli toistettava se. | Ratkaise testi ja tee muistiinpanoja tarvittaessa. Ajan päätyttyä paperit luovutetaan. Tarkista heidän vastauksensa. | Sääntely: ymmärtää tiedon hankinnan laatua ja tasoa Kognitiivinen: valita tehokkaimmat tavat ratkaista ongelmia Henkilökohtainen: itseanalyysin ja itsehillinnän taitojen kehittäminen |
||||||||||||||
5. Tiedon ja taitojen soveltaminen uudessa tilanteessa. (15) | Tutkimustaitojen kehittäminen, itsediagnostiikka ja tulosten itsekorjaus | Harjoitusten suorittaminen (GIA) Nro 1 Piirrä funktion kaavio Y = x 2-4 +3 kaavion avulla, löytää yksitoikkoisuuden jaksoja. Millä a:n arvoilla suoralla y=a on kaksi yhteistä pistettä tämän funktion kuvaajan kanssa? (Liite nro 5) Kirjoita tehtävän lyhyesti taululle, kutsuu opiskelijan ratkaisemaan sen ja seuraa tehtävän oikeaa ratkaisua. Arvioi. Nro 2. Ratkaise graafisesti epäyhtälö x-2 ≤ -x 3 (Liite nro 6) Haastaa opiskelijat rakentamaan funktiokaavioita, selittää, kuinka kaavion testipisteiden avulla voidaan määrittää epäyhtälön ratkaisu (varjostus) | Kaksi henkilöä työskentelee erikseen käyttämällä sivulaudalla olevia kortteja, loput suorittavat tehtävän nro 1 ratkaisun muistikirjassa. Funktiokaaviot näkyvät interaktiivisella taululla. He ehdottavat eriarvoisuuden ratkaisemista valinnalla tai algebrallisesti. Täydennä epäyhtälön ratkaisu ja kirjoita vastaus. | Henkilökohtainen: kognitiivisen kiinnostuksen muodostuminen tutkimusaiheeseen, kestävä motivaatio opiskella ja lujittaa uusia asioita Kognitiivinen: analysoida esinettä ja korostaa olennaisia ja ei-olennaisia piirteitä. Kommunikaatiokykyinen:järjestää koulutusyhteistyötä opettajan ja luokkatovereiden kanssa. Sääntely: määrittää uuden tason asenteessa itseään toiminnan kohteena |
||||||||||||||
6. Tietoja kotitehtävistä (2) | Varmistetaan, että lapset ymmärtävät kotitehtävien tarkoituksen, sisällön ja tavat | Taso 1: toista p7, nro 27,29 Taso 2: toista vaihe 7, nro 30,33 | Kirjoita läksyt muistiin | |||||||||||||||
7. Heijastus (4) | Anna laadullinen arvio luokan ja yksittäisten oppilaiden työstä Aloita lasten reflektio oman toiminnan motivaatiosta ja vuorovaikutuksesta opettajan ja muiden lasten kanssa | 1. Tarjoaa ehdotuksen jatkamista "Tänään luokassa toistin... Olen turvannut... Opin … Sain selville …" 2. Tarjoutuu merkitsemään korttiin väitteen, joka sopii parhaiten oppitunnin työhön 3. Antaa arvosanat | 1. Vastaa kysymyksiin 2. Merkitse kortteihin (Liite nro 7) | Kognitiivinen: toimintatapojen ja -ehtojen pohtiminen, onnistumisen ja epäonnistumisen syiden riittävä ymmärtäminen, toiminnan prosessin ja tulosten valvonta ja arviointi Viestintä: kyky ilmaista ajatuksiaan, argumentointi |
Esikatselu:
Liite 1.
(tarkistaa läksyt)
Ratkaisu
Esikatselu:
Liite 2
Suullinen työ
Nimeä funktio ja määritä se analyyttisesti
Esikatselu:
Esikatselu:
Liite 3
Teoreettinen tutkimus
- Muotoile numeerisen funktion määritelmä.
Testaus- ja mittausmateriaalit. Algebra ja analyysin alku: 10. luokka / Comp. A.N. Rurukin. - M.: VAKO, 2011. - 112 s. - (Testaus- ja mittausmateriaalit).
Käsikirjassa esitellään algebran ja perusanalyysin testi- ja mittausmateriaalit (KIM) luokalle 10: kokeet Unified State Examination -tehtävien muodossa sekä itsenäiset ja testityöt kaikista opiskeluista aiheista. Vastaukset löytyvät kaikkiin tehtäviin. Ehdotetun materiaalin avulla voit testata tietoa käyttämällä erilaisia ohjaustapoja.
Julkaisu on suunnattu opettajille, koululaisille ja heidän vanhemmilleen.
Sisältö
Kääntäjästä................................................ 3
Vaatimukset opiskelijoiden valmistautumistasolle ............... 4
Tehtävien suorittaminen ja niiden arviointi ................................................ 4
Testi 1. Toiminto. Määritelmäalue ja funktion arvoalue...................6
Testi 2. Toiminnon perusominaisuudet................................................ 8
Testi 3. Funktiokaaviot................................................ ..............................10
Koe 4. Yleistys aiheesta ”Numeeriset funktiot ja niiden ominaisuudet”................................... 12
Testi 5. Trigonometristen lausekkeiden merkitykset................16
Testi 6. Trigonometrinen perusidentiteetti. Vähennyskaavat...................18
Testi 7. Funktiot y = sinx ja y = cosx................................................ ...20
Testi 8. Funktiot y = tgx ja y = ctgx................................................ ..............................22
Koe 9. Aiheen "Trigonometriset funktiot" yleistys ... 24
Koe 10. Arkosiini ja arcsiini. Yhtälöiden ratkaiseminen cosx = a ja sinx = a...........28
Testi 11. Arktangentti ja arkotangentti. Yhtälöiden tgx = a ja ctgx = a ratkaiseminen.........30
Koe 12. Yksinkertaisimmat yhtälöt ja epäyhtälöt...................................32
Koe 13. Aiheen "Trigonometriset yhtälöt" yleistys.................................34
Testi 14. Argumenttien summan ja eron funktiot...................................38
Testi 15. Kaksoisargumenttikaavat................................................ .....40
Testi 16. Trigonometristen funktioiden summien muuntaminen tuloiksi.................................42
Koe 17. Trigonometristen lausekkeiden muuntaminen... 44
Koe 18. Trigonometriset yhtälöt, yhtälöjärjestelmät, epäyhtälöt......46
Koe 19. Aiheen "Trigonometristen lausekkeiden muunnos" yleistys................................48
Testi 20. Sakeuden raja. Äärettömän geometrisen progression summa........52
Testi 21. Toimintaraja. Johdannan määritelmä... 54
Testi 22. Johdannaisten laskenta................................................ .......56
Testi 23. Funktion kuvaajan tangentin yhtälö......58
Koe 24. Derivaatan soveltaminen monotonisuuden ja äärimmäisyyden funktioiden tutkimiseen...60
Testi 25. Derivaatan avulla määrien suurimmat ja pienimmät arvot....62
Koe 26. Aiheen "Johdannainen" yleistys................................................ ........64
Koe 27. Lopputulos 10. luokan ohjelman mukaan.................................68
Osat: Matematiikka
Luokka: 9
Oppitunnin tyyppi: Oppitunti tiedon yleistämisestä ja systematisoinnista.
Laitteet:
- Interaktiiviset laitteet (PC, multimediaprojektori).
- Testi, materiaali Microsoft Wordissa ( Liite 1).
- Interaktiivinen ohjelma "Autograph".
- Yksilöllinen koe - monisteet ( Liite 2).
Tuntien aikana
1. Organisatorinen hetki
Oppitunnin tarkoitus ilmoitetaan.
Oppitunnin I vaihe
Kotitehtävien tarkistaminen
- Kerää esitteitä kodin itsenäisestä työstä didaktisesta materiaalista S-19 vaihtoehto 1.
- Ratkaise taululle tehtäviä, jotka aiheuttivat vaikeuksia oppilaille läksyjen tekemisessä.
Oppitunnin II vaihe
1. Frontaalinen tutkimus.
2. Blitz-kysely: Korosta oikea vastaus kokeessa taululle (Liite 1, s. 2-3).
Oppitunti vaihe III
Harjoituksia tekemässä.
1. Ratkaise nro 358 (a). Ratkaise yhtälö graafisesti: .
2. Kortit (neljä heikkoa oppilasta ratkaisee vihkossa tai taululla):
1) Selvitä lausekkeen merkitys: a) ; b)
.
2) Etsi funktioiden määrittelyalue: a) ; b) y = .
3. Ratkaise nro 358 (a). Ratkaise yhtälö graafisesti: .
Yksi oppilas ratkaisee taululla, loput vihkossa. Tarvittaessa opettaja auttaa opiskelijaa.
Interaktiiviselle taululle rakennettiin suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä AutoGraph-ohjelmalla. Opiskelija piirtää vastaavat kaaviot merkillä, löytää ratkaisun ja kirjoittaa vastauksen muistiin. Sitten tehtävä tarkistetaan: kaava syötetään näppäimistöllä ja kaavion tulee olla samassa koordinaatistossa jo piirretyn kaavion kanssa. Kaavioiden leikkauspisteen abskissa on yhtälön juuri.
Ratkaisu:
Vastaus: 8
Ratkaise nro 360(a). Piirrä ja lue funktion kaavio:
Oppilaat suorittavat tehtävän itsenäisesti.
Kuvaajan rakenne tarkistetaan AutoGraph-ohjelmalla, ominaisuudet kirjoittaa taululle yksi opiskelija (määrittelyalue, arvoalue, pariteetti, monotonisuus, jatkuvuus, nollat ja etumerkin vakioisuus, suurimmat ja pienimmät arvot). toiminto).
Ratkaisu:
Ominaisuudet:
1) D( f) = (-); E( f) = , kasvaa )
