Voidaan määrittää eri tavoin (yksi piste ja vektori, kaksi pistettä ja vektori, kolme pistettä jne.). Tämä mielessä pitäen tasoyhtälöllä voi olla erilaisia ​​muotoja. Tietyissä olosuhteissa tasot voivat myös olla yhdensuuntaisia, kohtisuorassa, leikkaavia jne. Puhumme tästä tässä artikkelissa. Opimme luomaan yleisen tasoyhtälön ja paljon muuta.

Yhtälön normaali muoto

Oletetaan, että on avaruus R 3, jolla on suorakaiteen muotoinen XYZ-koordinaatisto. Määritellään vektori α, joka vapautuu alkupisteestä O. Piirretään vektorin α pään kautta taso P, joka on kohtisuorassa sitä vastaan.

Merkitään mielivaltainen piste P:llä Q = (x, y, z). Merkitään pisteen Q sädevektori kirjaimella p. Tässä tapauksessa vektorin α pituus on yhtä suuri kuin р=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tämä on sivulle suunnattu yksikkövektori, kuten vektori α. α, β ja γ ovat kulmia, jotka muodostuvat vektorin Ʋ ja avaruusakselien x, y, z positiivisten suuntien välille, vastaavasti. Minkä tahansa pisteen QϵП projektio vektoriin Ʋ on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Yllä oleva yhtälö on järkevä, kun p=0. Ainoa asia on, että taso P tässä tapauksessa leikkaa pisteen O (α=0), joka on koordinaattien origo, ja pisteestä O irrotettu yksikkövektori Ʋ on kohtisuorassa P:tä vastaan ​​huolimatta suunnastaan, mikä tarkoittaa, että vektori Ʋ määritetään etumerkin tarkkuudella. Edellinen yhtälö on tasomme P yhtälö ilmaistuna vektorimuodossa. Mutta koordinaateissa se näyttää tältä:

P tässä on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Olemme löytäneet avaruuden tason yhtälön normaalimuodossa.

Yleinen yhtälö

Jos kerromme yhtälön koordinaateissa millä tahansa luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, saamme yhtälön, joka vastaa tätä yhtälöä, joka määrittää juuri tämän tason. Se näyttää tältä:

Tässä A, B, C ovat lukuja, jotka ovat samanaikaisesti erilaisia ​​kuin nolla. Tätä yhtälöä kutsutaan yleistasoyhtälöksi.

Tasojen yhtälöt. Erikoistapaukset

Yhtälöä yleisessä muodossa voidaan muuttaa lisäehtojen läsnä ollessa. Katsotaanpa joitain niistä.

Oletetaan, että kerroin A on 0. Tämä tarkoittaa, että tämä taso on yhdensuuntainen annetun Ox-akselin kanssa. Tässä tapauksessa yhtälön muoto muuttuu: Ву+Cz+D=0.

Samalla tavalla yhtälön muoto muuttuu seuraavissa olosuhteissa:

• Ensinnäkin, jos B = 0, niin yhtälö muuttuu muotoon Ax + Cz + D = 0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden Oy-akselin kanssa.
• Toiseksi, jos C=0, yhtälö muunnetaan muotoon Ax+By+D=0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden annetun Oz-akselin kanssa.
• Kolmanneksi, jos D=0, yhtälö näyttää muotoa Ax+By+Cz=0, mikä tarkoittaa, että taso leikkaa O:n (origo).
• Neljänneksi, jos A=B=0, yhtälö muuttuu muotoon Cz+D=0, mikä osoittautuu rinnakkaiseksi Oxyn kanssa.
• Viidenneksi, jos B=C=0, yhtälöstä tulee Ax+D=0, mikä tarkoittaa, että taso Oyz:ään on yhdensuuntainen.
• Kuudenneksi, jos A=C=0, yhtälö saa muotoa Ву+D=0, eli se raportoi rinnakkaisuuden Oxz:lle.

Yhtälön tyyppi segmenteissä

Jos luvut A, B, C, D ovat erilaisia ​​kuin nolla, yhtälön (0) muoto voi olla seuraava:

x/a + y/b + z/c = 1,

jossa a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Saamme tuloksena, että tämä taso leikkaa Ox-akselin pisteessä, jonka koordinaatit (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c). ).

Kun otetaan huomioon yhtälö x/a + y/b + z/c = 1, ei ole vaikeaa kuvitella visuaalisesti tason sijaintia suhteessa annettuun koordinaattijärjestelmään.

Normaalivektorikoordinaatit

Tason P normaalivektorilla n on koordinaatit, jotka ovat tämän tason yleisen yhtälön eli n (A, B, C) kertoimia.

Normaalin n:n koordinaattien määrittämiseksi riittää, että tiedetään tietyn tason yleinen yhtälö.

Käytettäessä segmentissä yhtälöä, jonka muoto on x/a + y/b + z/c = 1, sekä käytettäessä yleistä yhtälöä, voit kirjoittaa minkä tahansa tietyn tason normaalivektorin koordinaatit: (1 /a + 1/b + 1/ Kanssa).

On syytä huomata, että normaalivektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ​​​​ongelmia. Yleisimpiä ovat ongelmat, jotka liittyvät tasojen kohtisuoran tai yhdensuuntaisuuden osoittamiseen, tasojen välisten kulmien tai tasojen ja suorien välisten kulmien löytämiseen.

Tasoyhtälön tyyppi pisteen ja normaalivektorin koordinaattien mukaan

Nollasta poikkeavaa vektoria n, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, kutsutaan normaaliksi tietylle tasolle.

Oletetaan, että koordinaattiavaruudessa (suorakulmainen koordinaattijärjestelmä) Oxyz on annettu:

• piste Mₒ koordinaattein (xₒ,yₒ,zₒ);
• nollavektori n=A*i+B*j+C*k.

On tarpeen luoda yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen Mₒ kautta kohtisuorassa normaaliin n nähden.

Valitsemme minkä tahansa mielivaltaisen pisteen avaruudesta ja merkitsemme sitä M (x y, z). Olkoon minkä tahansa pisteen M (x,y,z) sädevektori r=x*i+y*j+z*k ja pisteen Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) sädevektori - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Piste M kuuluu annettuun tasoon, jos vektori MₒM on kohtisuorassa vektoriin n nähden. Kirjoitetaan ortogonaalisuusehto käyttämällä skalaarituloa:

[MₒM, n] = 0.

Koska MₒM = r-rₒ, tason vektoriyhtälö näyttää tältä:

Tällä yhtälöllä voi olla toinen muoto. Tätä varten käytetään skalaaritulon ominaisuuksia ja yhtälön vasen puoli muunnetaan. = -. Jos merkitsemme sitä c:ksi, saadaan seuraava yhtälö: - c = 0 tai = c, joka ilmaisee projektioiden pysyvyyden tiettyjen tasoon kuuluvien pisteiden sädevektoreiden normaalivektoriin.

Nyt saadaan tasomme vektoriyhtälön kirjoittamisen koordinaattimuoto = 0. Koska r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ja n = A*i+B *j+С*k, meillä on:

Osoittautuu, että meillä on yhtälö tasolle, joka kulkee kohtisuorassa normaaliin n:ään nähden:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tasoyhtälön tyyppi kahden pisteen koordinaattien ja tason kanssa kollineaarisen vektorin mukaan

Määritellään kaksi mielivaltaista pistettä M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) sekä vektori a (a′,a″,a‴).

Nyt voimme luoda yhtälön tietylle tasolle, joka kulkee olemassa olevien pisteiden M′ ja M″ kautta sekä minkä tahansa pisteen M, jonka koordinaatit (x, y, z) ovat yhdensuuntaiset annetun vektorin a kanssa.

Tässä tapauksessa vektorien M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') on oltava samassa tasossa vektorin kanssa a=(a′,a″,a‴), mikä tarkoittaa, että (M′M, M″M, a)=0.

Joten tasoyhtälömme avaruudessa näyttää tältä:

Kolmen pisteen leikkaavan tason yhtälön tyyppi

Oletetaan, että meillä on kolme pistettä: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), jotka eivät kuulu samalle suoralle. On tarpeen kirjoittaa yhtälö tasolle, joka kulkee annetun kolmen pisteen kautta. Geometrian teoria väittää, että tällainen taso on todella olemassa, mutta se on ainoa ja ainutlaatuinen. Koska tämä taso leikkaa pisteen (x′,y′,z′), sen yhtälön muoto on seuraava:

Tässä A, B, C eroavat nollasta samanaikaisesti. Lisäksi annettu taso leikkaa vielä kaksi pistettä: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Tässä suhteessa seuraavat ehdot on täytettävä:

Nyt voimme luoda homogeenisen järjestelmän tuntemattomilla u, v, w:

Meidän tapauksessamme x, y tai z on mielivaltainen piste, joka täyttää yhtälön (1). Kun yhtälö (1) ja yhtälöjärjestelmä (2) ja (3) on annettu, yllä olevassa kuvassa esitetty yhtälöjärjestelmä täyttyy vektorilla N (A,B,C), joka on ei-triviaali. Siksi tämän järjestelmän determinantti on nolla.

Yhtälö (1), jonka olemme saaneet, on tason yhtälö. Se kulkee tarkalleen 3 pisteen läpi, ja tämä on helppo tarkistaa. Tätä varten meidän on laajennettava determinanttimme ensimmäisen rivin elementteihin. Determinantin olemassa olevista ominaisuuksista seuraa, että tasomme leikkaa samanaikaisesti kolme alun perin annettua pistettä (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Eli olemme ratkaisseet meille annetun tehtävän.

Tasojen välinen dihedraalinen kulma

Dihedraalinen kulma on spatiaalinen geometrinen kuvio, jonka muodostaa kaksi puolitasoa, jotka lähtevät yhdestä suorasta. Toisin sanoen tämä on se osa tilaa, jota nämä puolitasot rajoittavat.

Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa, joilla on seuraavat yhtälöt:

Tiedämme, että vektorit N=(A,B,C) ja N¹=(A¹,B1,C1) ovat kohtisuorassa annettujen tasojen mukaan. Tässä suhteessa vektorien N ja N¹ välinen kulma φ on yhtä suuri kuin kulma (dihedral), joka sijaitsee näiden tasojen välissä. Pistetuotteella on muoto:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

juuri siksi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Riittää, kun otetaan huomioon, että 0≤φ≤π.

Itse asiassa kaksi tasoa, jotka leikkaavat, muodostavat kaksi kulmaa (dihedral): φ 1 ja φ 2. Niiden summa on yhtä suuri kuin π (φ 1 + φ 2 = π). Mitä tulee niiden kosineihin, niiden absoluuttiset arvot ovat yhtä suuret, mutta ne eroavat etumerkissä, toisin sanoen cos φ 1 = -cos φ 2. Jos yhtälössä (0) korvataan A, B ja C numeroilla -A, -B ja -C, niin saatu yhtälö määrittää saman tason, ainoan, kulman φ yhtälössä cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | korvataan π-φ:lla.

Kohtisuoran tason yhtälö

Tasoja, joiden välinen kulma on 90 astetta, kutsutaan kohtisuoraksi. Yllä esitetyn materiaalin avulla voimme löytää toista kohti kohtisuoran tason yhtälön. Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa, jos cosφ=0. Tämä tarkoittaa, että NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Yhdensuuntaisen tason yhtälö

Kahta tasoa, jotka eivät sisällä yhteisiä pisteitä, kutsutaan yhdensuuntaisiksi.

Ehto (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kappaleessa) on, että vektorit N ja N¹, jotka ovat kohtisuorassa niihin nähden, ovat kollineaarisia. Tämä tarkoittaa, että seuraavat suhteellisuusedellytykset täyttyvät:

A/A1=B/B1=C/C1.

Jos suhteellisuusehtoja laajennetaan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tämä osoittaa, että nämä tasot osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että yhtälöt Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kuvaavat yhtä tasoa.

Etäisyys koneeseen pisteestä

Oletetaan, että meillä on taso P, joka saadaan yhtälöllä (0). On tarpeen löytää etäisyys siihen pisteestä, jonka koordinaatit (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Tätä varten sinun on saatettava tason P yhtälö normaalimuotoon:

(ρ,v)=р (р≥0).

Tässä tapauksessa ρ (x,y,z) on pisteemme Q sädevektori, joka sijaitsee P:llä, p on nollapisteestä vapautetun kohtisuoran P pituus, v on yksikkövektori, joka sijaitsee suunta a.

Jonkin P:hen kuuluvan pisteen Q = (x, y, z) erotus ρ-ρº sädevektori samoin kuin tietyn pisteen sädevektori Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) on sellainen vektori, sen projektion itseisarvo, jonka v:lle on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on löydettävä arvosta Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) P:hen:

D=|(ρ-ρ 0,v)|, mutta

(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Joten se käy ilmi

d=|(ρ0,v)-р|.

Siten löydämme tuloksena olevan lausekkeen itseisarvon, eli halutun d:n.

Parametrikieltä käyttämällä saamme ilmeisen:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jos tietty piste Q 0 on tason P toisella puolella, kuten koordinaattien origo, niin vektorien ρ-ρ 0 ja v välillä on siis:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-r>0.

Siinä tapauksessa, että piste Q 0 yhdessä koordinaattien origon kanssa sijaitsee P:n samalla puolella, luotu kulma on terävä, eli:

d=(ρ-ρ0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Tuloksena käy ilmi, että ensimmäisessä tapauksessa (ρ 0 ,v)>р, toisessa (ρ 0 ,v)<р.

Tangenttitaso ja sen yhtälö

Pinnan tangenttitaso kosketuspisteessä Mº on taso, joka sisältää kaikki mahdolliset tangentit tämän pinnan pisteen läpi piirretyille käyrille.

Tämän tyyppisellä pintayhtälöllä F(x,y,z)=0, tangenttitason yhtälö tangenttipisteessä Mº(xº,yº,zº) näyttää tältä:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jos määrität pinnan eksplisiittisessä muodossa z=f (x,y), tangenttitasoa kuvataan yhtälöllä:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Kahden tason leikkauspiste

Koordinaatistossa (suorakulmainen) Oxyz sijaitsee, on annettu kaksi tasoa П′ ja П″, jotka leikkaavat eivätkä ole samat. Koska mikä tahansa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa sijaitseva taso määräytyy yleisellä yhtälöllä, oletetaan, että P' ja P' on annettu yhtälöillä A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Tässä tapauksessa meillä on tason P′ normaali n′ (A′,B′,C′) ja P″ normaali n″ (A″,B″,C″). Koska tasomme eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä täsmää, nämä vektorit eivät ole kollineaarisia. Matematiikan kieltä käyttäen tämä ehto voidaan kirjoittaa seuraavasti: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Merkitään P′:n ja P″:n leikkauskohdassa olevaa suoraa kirjaimella a, tässä tapauksessa a = P′ ∩ P″.

a on suora viiva, joka koostuu (yhteisten) tasojen P′ ja P″ kaikkien pisteiden joukosta. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoralle a kuuluvan pisteen koordinaattien tulee samanaikaisesti täyttää yhtälöt A′x+B′y+C′z+D′=0 ja A″x+B″y+C″z+D″=0 . Tämä tarkoittaa, että pisteen koordinaatit ovat seuraavan yhtälöjärjestelmän osittainen ratkaisu:

Tuloksena käy ilmi, että tämän yhtälöjärjestelmän (yleinen) ratkaisu määrittää jokaisen suoran pisteen koordinaatit, jotka toimivat P′:n ja P″:n leikkauspisteenä, ja määrittää suoran viivan. a Oxyz (suorakulmaisessa) koordinaattijärjestelmässä avaruudessa.

Jotta yksi taso voidaan piirtää minkä tahansa kolmen pisteen läpi avaruudessa, on välttämätöntä, että nämä pisteet eivät ole samalla suoralla.

Tarkastellaan pisteitä M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) yleisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Jotta mielivaltainen piste M(x, y, z) olisi samassa tasossa pisteiden M 1, M 2, M 3 kanssa, vektorien on oltava samassa tasossa.

(
) = 0

Täten,

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:

Tason yhtälö, jossa on kaksi pistettä ja tason kanssa kollineaarinen vektori.

Olkoon pisteet M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) ja vektori annettu
.

Tehdään yhtälö tasolle, joka kulkee annettujen pisteiden M 1 ja M 2 kautta sekä mielivaltaiselle vektorin suuntaiselle pisteelle M (x, y, z) .

Vektorit
ja vektori
on oltava samassa tasossa, ts.

(
) = 0

Tasoyhtälö:

Tason yhtälö käyttäen yhtä pistettä ja kahta vektoria,

kollineaarisesti lentokoneeseen nähden.

Olkoon kaksi vektoria annettu
Ja
, kollineaariset tasot. Sitten tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) vektorit
on oltava samassa tasossa.

Tasoyhtälö:

Tason yhtälö pisteeltä ja normaalivektorilta .

Lause. Jos piste M on annettu avaruudessa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), sitten pisteen M läpi kulkevan tason yhtälö 0 kohtisuorassa normaalivektoriin nähden (A, B, C) on muotoa:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Todiste. Tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) muodostetaan vektori. Koska vektori on normaalivektori, silloin se on kohtisuorassa tasoon nähden ja siten kohtisuorassa vektoriin nähden
. Sitten skalaaritulo

= 0

Siten saamme tason yhtälön

Lause on todistettu.

Tason yhtälö segmenteissä.

Jos yleisessä yhtälössä Ax + Bi + Cz + D = 0 jaamme molemmat puolet (-D)

,

korvaamalla
, saamme tason yhtälön segmenteissä:

Numerot a, b, c ovat tason leikkauspisteitä x-, y- ja z-akselien kanssa, vastaavasti.

Tason yhtälö vektorimuodossa.

Missä

- nykyisen pisteen sädevektori M(x, y, z),

Yksikkövektori, jonka kohtisuoran suunta on pudotettu tasolle origosta.

,  ja  ovat kulmia, jotka tämä vektori muodostaa x-, y-, z-akselien kanssa.

p on tämän kohtisuoran pituus.

Koordinaateissa tämä yhtälö näyttää tältä:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Etäisyys pisteestä tasoon.

Etäisyys mielivaltaisesta pisteestä M 0 (x 0, y 0, z 0) tasoon Ax+By+Cz+D=0 on:

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4; -3; 12) on origosta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Joten A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, käytämme kaavaa:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Esimerkki. Etsi kahden pisteen P(2; 0; -1) kautta kulkevan tason yhtälö ja

Q(1; -1; 3) kohtisuorassa tasoon 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normaalivektori tasolle 3x + 2y – z + 5 = 0
yhdensuuntainen halutun tason kanssa.

Saamme:

Esimerkki. Etsi pisteiden A(2, -1, 4) kautta kulkevan tason yhtälö ja

B(3, 2, -1) kohtisuorassa tasoon nähden X + klo + 2z – 3 = 0.

Tason vaadittava yhtälö on muotoa: A x+B y+C z+ D = 0, normaalivektori tälle tasolle (A, B, C). Vektori
(1, 3, -5) kuuluu tasoon. Meille annetulla tasolla, joka on kohtisuorassa haluttuun nähden, on normaalivektori (1, 1, 2). Koska pisteet A ja B kuuluvat molempiin tasoihin ja tasot ovat siis keskenään kohtisuorassa

Normaalivektori siis (11, -7, -2). Koska piste A kuuluu haluttuun tasoon, silloin sen koordinaattien on täytettävä tämän tason yhtälö, ts. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Yhteensä saamme tason yhtälön: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4, -3, 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.

Normaalivektorin koordinaattien löytäminen
= (4, -3, 12). Tason vaadittava yhtälö on muotoa: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Kertoimen D löytämiseksi korvaamme pisteen P koordinaatit yhtälöön:

16 + 9 + 144 + D = 0

Yhteensä saamme vaaditun yhtälön: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Esimerkki. Annetut ovat pyramidin kärkien koordinaatit A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Laske reunan A 1 A 2 pituus.

Etsi reunojen A 1 A 2 ja A 1 A 4 välinen kulma.

Etsi reunan A 1 A 4 ja pinnan A 1 A 2 A 3 välinen kulma.

Ensin löydetään normaalivektori kasvolle A 1 A 2 A 3 vektorien ristitulona
Ja
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Etsitään normaalivektorin ja vektorin välinen kulma
.

-4 – 4 = -8.

Haluttu kulma  vektorin ja tason välillä on  = 90 0 - .

Etsi kasvojen pinta-ala A 1 A 2 A 3.

Etsi pyramidin tilavuus.

Etsi tason A 1 A 2 A 3 yhtälö.

Käytetään kaavaa kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälöön.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Kun käytät tietokoneversiota " Korkeampi matematiikan kurssi” voit ajaa ohjelman, joka ratkaisee yllä olevan esimerkin mille tahansa pyramidin kärkien koordinaateille.

Käynnistä ohjelma kaksoisnapsauttamalla kuvaketta:

Syötä avautuvaan ohjelmaikkunaan pyramidin kärkien koordinaatit ja paina Enter. Tällä tavalla kaikki päätöspisteet voidaan saada yksitellen.

Huomautus: Jotta voit suorittaa ohjelman, sinulla on oltava Maple-ohjelma ( Waterloo Maple Inc.) asennettuna tietokoneellesi, mikä tahansa versio alkaen MapleV Release 4.

Tasojen yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran määrittämiseksi sekä näiden geometristen kohteiden välisten etäisyyksien laskemiseksi on kätevää käyttää yhden tai toisen tyyppisiä numeerisia toimintoja. Mihin ongelmiin on kätevää käyttää tasoyhtälöä segmenteissä? Tässä artikkelissa tarkastellaan mitä se on ja kuinka sitä käytetään käytännön tehtävissä.

Mikä on viivayhtälö?

Taso voidaan määritellä kolmiulotteisessa avaruudessa useilla tavoilla. Tässä artikkelissa esitellään joitain niistä, kun ratkaistaan ​​erilaisia ​​​​ongelmia. Tässä annamme yksityiskohtaisen kuvauksen yhtälöstä tason segmenteissä. Yleensä sillä on seuraava muoto:

Kun symbolit p, q, r tarkoittavat tiettyjä lukuja. Tämä yhtälö voidaan helposti kääntää yleislausekkeeksi ja muunlaisiksi numeerisiksi funktioiksi tasolle.

Mukavuus yhtälön kirjoittamisessa segmenteissä on, että se sisältää eksplisiittiset koordinaatit tason leikkauspisteestä kohtisuorien koordinaattiakseleiden kanssa. Taso leikkaa x-akselilla koordinaattien origon suhteen segmentin, jonka pituus on p, y-akselilta - yhtä suuri kuin q, z -akselilla - pituudella r.

Jos yhtälössä ei ole mitään kolmesta muuttujasta, tämä tarkoittaa, että taso ei kulje vastaavan akselin läpi (matemaatikot sanovat, että se leikkaa äärettömässä).

Yhtälöiden yleisen ja segmenttien välinen suhde

Tiedetään, että taso on annettu seuraavalla yhtälöllä:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Tämä tason yleinen yhtälö on kirjoitettava segmenteiksi.

Kun samanlainen ongelma ilmenee, sinun on noudatettava tätä tekniikkaa: siirrä vapaa termi tasa-arvon oikealle puolelle. Sitten jaamme koko yhtälön tällä termillä yrittäen ilmaista sen edellisessä kappaleessa annetussa muodossa. Meillä on:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Saimme segmenteinä tason yhtälön, joka alun perin annettiin yleisessä muodossa. On huomattava, että taso katkaisee segmenttejä, joiden pituus on 3, 2 ja 6 x-, y- ja z-akseleille, vastaavasti. Y-akseli leikkaa tason negatiivisella koordinaattialueella.

Kun yhtälöä muodostetaan segmenteiksi, on tärkeää, että kaikkia muuttujia edeltää "+"-merkki. Vain tässä tapauksessa luku, jolla tämä muuttuja jaetaan, näyttää koordinaattileikkauksen akselilla.

Normaalivektori ja piste tasossa

Tiedetään, että jollakin tasolla on (3; 0; -1). Tiedetään myös, että se kulkee pisteen (1; 1; 1) läpi. Sinun tulisi kirjoittaa yhtälö segmenteinä tälle tasolle.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on ensin käytettävä yleistä muotoa tälle kaksiulotteiselle geometriselle objektille. Yleinen muoto kirjoitetaan seuraavasti:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Ensimmäiset kolme kerrointa ovat tässä ohjevektorin koordinaatit, joka on määritelty ongelmalausekkeessa, eli:

Vielä on löydettävä vapaa termi D. Se voidaan määrittää seuraavalla kaavalla:

D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z 1).

Missä koordinaattiarvot indeksillä 1 vastaavat tasoon kuuluvan pisteen koordinaatteja. Korvaamme niiden arvot ongelmaolosuhteista, saamme:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Nyt voimme kirjoittaa yhtälön kokonaan:

Tekniikka tämän lausekkeen muuntamiseksi yhtälöksi tasosegmenteissä on jo osoitettu edellä. Sovelletaan sitä:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Vastaus ongelmaan on saatu. Huomaa, että tämä taso leikkaa vain x- ja z-akselit. Y:lle se on yhdensuuntainen.

Kaksi suoraa, jotka määrittelevät tason

Tilageometrian kurssista jokainen koululainen tietää, että kaksi mielivaltaista suoraa määrittelevät yksiselitteisesti tason kolmiulotteisessa avaruudessa. Ratkaistaan ​​samanlainen ongelma.

On olemassa kaksi tunnettua viivayhtälöä:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + a*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + p*(-1; 0; 1).

On tarpeen kirjoittaa segmenteiksi näiden viivojen läpi kulkevan tason yhtälö.

Koska molempien suorien on sijaittava tasossa, tämä tarkoittaa, että niiden vektorien (ohjaimien) on oltava kohtisuorassa tason vektoriin (suuntaajaan) nähden. Samalla tiedetään, että mielivaltaisen kahden suunnatun segmentin vektoritulo antaa tuloksen kolmannen koordinaattien muodossa, kohtisuorassa kahteen alkuperäiseen segmenttiin. Kun tämä ominaisuus otetaan huomioon, saadaan halutun tason normaalin vektorin koordinaatit:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Koska se voidaan kertoa mielivaltaisella luvulla, tässä tapauksessa muodostetaan uusi suunnattu segmentti, samansuuntainen alkuperäisen kanssa, niin saatujen koordinaattien etumerkki voidaan korvata vastakkaisella (kerrottu -1), saamme:

Tiedämme suuntavektorin. Jäljelle jää ottaa mielivaltainen piste yhdeltä suoralta ja muodostaa tason yleinen yhtälö:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Kääntämällä tämä yhtäläisyys lausekkeeksi segmenteissä, saamme:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Siten taso leikkaa kaikki kolme akselia koordinaattijärjestelmän positiivisella alueella.

Aivan kuten kaksi suoraa, kolme pistettä määrittelevät tason yksilöllisesti kolmiulotteisessa avaruudessa. Kirjoitetaan vastaava yhtälö segmenteiksi, jos tunnetaan seuraavat tasossa olevien pisteiden koordinaatit:

Jatketaan seuraavalla tavalla: lasketaan kahden mielivaltaisen vektorin koordinaatit, jotka yhdistävät nämä pisteet, ja etsitään sitten vektori n¯, joka on normaali tasoon nähden laskemalla löydettyjen suunnattujen segmenttien tulo. Saamme:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Otetaan esimerkkinä piste P ja luodaan yhtälö tasolle:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 tai z = 0.

Meillä on yksinkertainen lauseke, joka vastaa xy-tasoa tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Sitä ei voi kirjoittaa janoiksi, koska x- ja y-akselit kuuluvat tasoon ja z-akselille leikatun janan pituus on nolla (piste (0; 0; 0) kuuluu tasoon).

1. Etsi yhtälö tasolle, joka kulkee tietyn pisteen kautta yhdensuuntaisesti kahden annetun (ei-kollineaarisen) vektorin kanssa

Huomautus: 1 tapa . Otetaan mielivaltainen piste tasosta M (x, y, z). Vektorit ovat samantasoisia, koska ne sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Siksi heidän sekoitettu tuote
Kirjoittamalla tämä ehto koordinaatteina, saamme halutun tason yhtälön:

Tämä determinantti on helpompi laskea laajentamalla ensimmäistä riviä pitkin.

Menetelmä 2 . Vektorit
yhdensuuntainen halutun tason kanssa. Siksi vektori, joka on yhtä suuri kuin vektorien ristitulo
kohtisuorassa tähän tasoon nähden , eli
Ja
. Vektori on tason normaalivektori . Jos
Ja
, sitten vektori löytyy kaavalla:

Tasoyhtälö löytää pisteen mukaan
ja normaalivektori

2. Etsi yhtälö tasolle, joka kulkee kahden tietyn vektorin suuntaisen pisteen kautta
.(
ei-kollineaarinen).

Huomautus: 1 tapa. Olkoon M (x, y, z) mielivaltainen piste tasossa. Sitten vektorit ja
sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, joten ne ovat samassa tasossa, ts. heidän sekatyönsä
Kun tämä ehto on kirjoitettu koordinaatteina, saadaan halutun tason yhtälö .

Menetelmä 2 . Normaalivektori haluttuun tasoon on yhtä suuri kuin vektorien vektoritulo
, eli
tai koordinaateissa:

Halutun tason yhtälö löydetty normaalivektorilla ja kohta
(tai piste
)kaavalla (2.1.1)

(katso esimerkki 1, kohta 2.2).

3. Etsi pisteen läpi kulkevan tason yhtälö
yhdensuuntainen tason kanssa 2x – 6y – 3z +5 =0.

Huomautus: Normaali vektori löydämme tämän tason yleisestä yhtälöstä 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vektori kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, joten se on kohtisuorassa mihin tahansa sen suuntaiseen tasoon. Vektori voidaan pitää halutun tason normaalivektorina. Luodaan yhtälö halutulle tasolle pisteen perusteella
ja normaalivektori
(katso esimerkki 1, kohta 2.2).

Vastaus:

4. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
kohtisuorassa tasojen 2x + y – 2z + 1 =0 leikkausviivaa vastaan ​​ja

x + y + z – 5 = 0.

Huomautus: 1 tapa. Sen kuhunkin tasoon nähden kohtisuorassa olevat vektorit (vektorien koordinaatit löytyvät tasojen yleisistä yhtälöistä, kaava (2.2.1)) ovat kohtisuorassa leikkausviivansa kanssa ja siten yhdensuuntaisia ​​halutun tason kanssa. Haluttu taso kulkee pisteen läpi
yhdensuuntainen kahden vektorin kanssa
(ks. tehtävä 1 kohta 5).

Halutun tason yhtälöllä on muoto:

Laajentamalla kolmannen kertaluvun determinanttia ensimmäistä riviä pitkin, saamme vaaditun yhtälön.

Menetelmä 2. Luodaan tason yhtälö pisteen perusteella
ja normaalivektori kaavan (2.2.1) mukaisesti. Normaali vektori yhtä suuri kuin vektorien vektoritulo
,nuo.
Vektoreista lähtien
ovat kohtisuorassa tasojen leikkausviivaa vastaan, sitten vektori yhdensuuntainen tasojen leikkausviivan kanssa ja kohtisuorassa haluttuun tasoon nähden.

Vektorit (katso kaava 2.2.1), sitten

Luodaan tason yhtälö pisteen perusteella
ja normaalivektori

(katso esimerkin 1 kohta 2.2)

Vastaus:

5. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö
Ja
kohtisuorassa tasoon nähden 3x – y + 3z +15 = 0.

Huomautus: 1 tapa. Kirjataan muistiin tietyn n:n normaalivektorin koordinaatit kiilto

3x – y + 3z +15 = 0:
Koska tasot ovat kohtisuorassa, niin vektori yhdensuuntainen halutun tason kanssa Muodostetaan halutun tason yhtälö
joka on yhdensuuntainen vektorin kanssa ja kulkee pisteiden läpi
(ks. tehtävän 2 ratkaisu, kohta 5; menetelmä 1).

Laskemalla determinantin saamme halutun tason yhtälön

10x + 15y - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

Menetelmä 2. Muodostetaan halutun tason yhtälö pisteen mukaan
ja normaalivektori
Vektori

Muodostamme halutun tason yhtälön .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (katso tehtävä 2, kohta 5; menetelmä 2). Jaa yhtälön molemmat puolet viidellä.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Vastaus: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle

Ja

Huomautus: Luodaan yhtälö kolmen pisteen läpi kulkevalle tasolle (katso esimerkki 1, kappale 2.3, kaava 2.3.1).

Laajentamalla determinanttia saamme

Vastaus:

Kommentti. Determinantin laskennan oikeellisuuden tarkistamiseksi on suositeltavaa korvata näiden pisteiden koordinaatit, joiden kautta taso kulkee tuloksena olevaan yhtälöön. Tuloksena pitäisi olla identiteetti; muuten laskelmissa on virhe.

7. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
yhdensuuntainen x-tason kanssa – 4y + 5z + 1 = 0.

Huomautus: Tietyn tason yleisestä yhtälöstä
x – 4y + 5z + 1 = 0 etsi normaalivektori
(kaava 2.2.1). Vektori kohtisuorassa haluttuun tasoon nähden
Luodaan tason yhtälö pisteen perusteella
ja normaalivektori
(katso esimerkki 1; kohta 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Vastaus: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
yhdensuuntainen vektorien kanssa

Huomautus: Katso ratkaisu ongelmaan 1, kohta 5. Ratkaisemme ongelman jollakin esitetyistä menetelmistä.

Vastaus: x – y – z – 1 = 0.

9. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
kohtisuorassa tasojen 3x – 2y – z + 1 = 0 ja x – y – z = 0 leikkausviivaa vastaan.

Huomautus: Katso ratkaisu tehtävään 4, kohta 5. Ratkaisemme ongelman jollakin esitetyistä tavoista.

Vastaus: x +2y – z – 8 = 0.

10. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

kohtisuorassa tasoon nähden 3x – y – 4z = 0.

Huomautus: Katso ratkaisu ongelmaan 5, kohta 5.

Vastaus: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

yhdensuuntainen pisteiden A (5; –2; 3) ja B (6; 1; 0) määrittämän suoran kanssa.

Huomautus: Haluttu taso on yhdensuuntainen suoran AB kanssa, joten se on yhdensuuntainen vektorin kanssa
Halutun tason yhtälö löydämme, kuten kappaleen 5 tehtävässä 2 (jollakin menetelmistä).

Vastaus: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. Piste P (2; –1; –2) toimii origosta tasoon pudotetun kohtisuoran kantana. Kirjoita yhtälö tälle tasolle.

Huomautus: Normaali vektori haluttuun tasoon on vektori
Etsitään sen koordinaatit P (2; –1; –2) ja O(0; 0; 0)

nuo.
Luodaan tasolle yhtälö pisteen ja normaalivektorin mukaan
(katso esimerkki 1, kohta 2.2).

Vastaus: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
yhdensuuntainen tason kanssa: a)xoy; b) yoz; c) xoz.

Huomautus: Vektori
– yksikköakselin vektori oz on kohtisuorassa xoy-tasoon nähden, joten se on kohtisuorassa haluttua tasoa vastaan
Muodostamme tason yhtälön pisteessä A (0; –1; 2) ja

= (0; 0; 1), koska
(katso ratkaisu tehtävään 3, kohta 5).
z – 2 = 0.

Ratkaisemme tehtävät b) ja c) samalla tavalla.

b)
Missä
(1; 0; 0).

V)
Missä (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Vastaus: a) z - 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle
Ja

B (2; 1; –1) kohtisuorassa tasoon nähden: a) xoy; b) xoz.

Huomautus: Xoy-tason normaalivektori on vektori

= (0; 0; 1) – oz-akselin yksikkövektori. Luodaan yhtälö kahden pisteen läpi kulkevalle tasolle
ja B (2; 1; –1) ja kohtisuorassa normaalivektorin omaavaan tasoon nähden
(0; 0; 1), jollakin kappaleen 5 tehtävän 5 ratkaisumenetelmistä.
y – 1 = 0.

Sama ongelma b):
missä = (0; 1; 0).

Vastaus: a) y - 1 = 0; b) x + z – 1 = 0.

15. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle
Ja

B (2; 3; –1) yhdensuuntainen oz-akselin kanssa.

Huomautus: oz-akselilla voimme ottaa yksikkövektorin = (0; 0; 1). Tehtävän ratkaisu on samanlainen kuin tehtävän 2, kohdan 5 ratkaisu (millä tahansa menetelmällä).

Vastaus: x – y + 1 = 0.

16. Muodosta yhtälö ox-akselin ja pisteen kautta kulkevalle tasolle

Huomautus: Lentokone
kulkee ox-akselin läpi, siis pisteen O(0; 0; 0) läpi. Härkäakselilla voimme ottaa yksikkövektorin = (1; 0; 0). Muodostamme halutun tason yhtälön käyttämällä kahta pistettä A(2; –1; 6) ja O(0; 0; 0) sekä vektoria yhdensuuntainen tason kanssa. (Katso ratkaisu ongelmaan 2, kohta 5).

Vastaus: 6y + z = 0.

17. Millä A:n arvolla tasot Ax + 2y – 7z – 1 = 0 ja 2x – y + 2z = 0 ovat kohtisuorassa?

Huomautus: Tasojen yleisistä yhtälöistä

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 ja
2x – y + 2z = 0 normaalivektoria

= (A; 2; –7) ja
= (2; –1; 2) (2.2.1). Kahden tason kohtisuoran ehto (2.6.1).

Vastaus: A = 8.

18. Millä tason A arvolla 2x + 3y – 6z – 23 = 0 ja

4x + Ay – 12z + 7 = 0 on rinnakkainen?

Huomautus:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 ja
4x + Ay – 12v + 7 = 0

= (2; 3; –6) ja
= (4;A; –12) (2.2.1). Koska
(2.5.1)

Vastaus: A = 6.

19. Etsi kahden tason 2x + y + z + 7 = 0 ja x – 2y + 3z = 0 välinen kulma.

Huomautus:
2x + y + z + 7 = 0 ja
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) ja
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Vastaus:

20. Laadi kanoniset yhtälöt pisteen läpi kulkevasta suorasta

A (1; 2; –3) yhdensuuntainen vektorin kanssa =(1; –2; 1).

Huomautus: Katso ratkaisu kohdan 3.1 esimerkkiin.

Vastaus:

21. Kirjoita parametriyhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle

A (–2; 3; 1) yhdensuuntainen vektorin kanssa =(3; –1; 2).

Huomautus: Katso esimerkin ratkaisu kohdasta 3.2.

Vastaus:
.

22. Laadi kanoniset ja parametriset yhtälöt pisteiden A (1; 0; –2) ja B (1; 2; –4) kautta kulkevalle suoralle.

Huomautus: Katso lauseen 3.3 esimerkin 1 ratkaisu.

Vastaus: A)
b)

23. Laadi kanoniset ja parametriset yhtälöt kahden tason x – 2y +3z – 4 = 0 ja 3x + 2y – 5z – 4 = 0 leikkauspisteeksi määritellylle suoralle.

Huomautus: Katso esimerkki 1, kohta 3.4. Olkoon z = 0, sitten pisteen x- ja y-koordinaatit
löydämme järjestelmän ratkaisusta

Siksi pointti
, joka makaa halutulla rivillä, on koordinaatit

(2; -1; 0). Halutun suoran suuntavektorin löytäminen tasojen yleisistä yhtälöistä
x – 2y +3z – 4 = 0 ja
3x + 2y - 5z - 4 = 0

löytää normaalivektorit =(1; –2; 3) ja
=(3; 2; –5).

Löydämme suoran suoran kanoniset yhtälöt pisteestä
(2; –1; 0) ja suuntavektori

(Katso kaava (3.1.1)).

Suoran viivan parametriset yhtälöt löytyvät kaavalla (3.2.1) tai kanonisista yhtälöistä:
Meillä on:

Vastaus:
;
.

24. Pisteen läpi
(2; –3; –4) piirrä suoran kanssa yhdensuuntainen viiva

.

Huomautus: Halutun suoran kanoniset yhtälöt etsitään pisteen mukaan
ja suuntavektori Koska
sitten suuntavektorille suoraan voit ottaa suuntavektorin suora L. Katso seuraavaksi ratkaisu ongelmaan 23, kappale 5 tai esimerkin 1 kohta 3.4.

Vastaus:

25. Annetut kolmion kärjet A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) ja C (–1; 3; 5). Etsi kärjestä B piirretyn kolmion ABC mediaanin yhtälö.

Huomautus: Löydämme pisteen M koordinaatit ehdosta AM = MC (BM on kolmion ABC mediaani).

KANSSA Jätetään suoran BM kanoniset yhtälöt kahdelle pisteelle B (2; 4; –1) ja
(Katso esimerkki 1, kohta 3.3).

Vastaus:

26. Laadi kanoniset ja parametriset yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle
(–1; –2; 2) yhdensuuntainen härän akselin kanssa.

Huomautus: Vektori
– yksikkövektori axisox on yhdensuuntainen halutun suoran kanssa. Siksi sitä voidaan pitää suoran suuntausvektorina
= (1; 0; 0). Muodostetaan yhtälöt suorasta pisteestä

(–1; –2: 2) ja vektori = (1; 0; 0) (katso esimerkki, kohta 3.1 ja esimerkki 1, kohta 3.2).

Vastaus:
;

27. Laadi kanoniset yhtälöt pisteen läpi kulkevasta suorasta
(3; –2; 4) kohtisuorassa tasoon 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Huomautus: Tason yleisestä yhtälöstä
5x + 3y – 7z + 1 = 0 etsi normaalivektori = (5; 3; -7). Kunnon mukaan vaadittu suora
siis vektori
nuo. vektori on suoran L suuntavektori: = (5; 3; -7). Muodostamme kanonisia yhtälöitä suorasta pisteestä
(3; –2; 4) ja suuntavektori

= (5; 3; -7). (Katso esimerkki kohta 3.1).

Vastaus:

28. Muodosta parametriyhtälöt origosta tasoon pudotetulle kohtisuoralle 4x – y + 2z – 3 = 0.

Huomautus: Luodaan yhtälö halutulle kohtisuoralle, ts. suora viiva kohtisuorassa tasoon nähden
4x – y + 2z – 3 = 0 ja kulkee pisteen O kautta (0; 0; 0). (Katso ratkaisu ongelmaan 27, kohta 5 ja esimerkki 1, kohta 3.2).

Vastaus:

29. Etsi suoran leikkauspiste
ja lentokoneita

x – 2y + z – 15 = 0.

Huomautus: Löytää suoran leikkauspisteen M

L:
ja lentokoneita

x – 2y + z – 15 = 0, meidän on ratkaistava yhtälöjärjestelmä:

;

Järjestelmän ratkaisemiseksi muunnamme suoran kanoniset yhtälöt parametrisiksi yhtälöiksi. (Katso tehtävä 23, kohta 5).

Vastaus:

30. Etsi pisteen M (4; –3; 1) projektio tasolle x + 2y – z – 3 = 0.

Huomautus: Pisteen M projektio tasolle on piste P - piste p pisteestä M tasoon pudotetun kohtisuoran leikkauspiste
ja tasaisuus Laaditaan kohtisuoran MR:n parametriset yhtälöt (katso tehtävän 28 ratkaisu, kohta 5).

Etsitään piste P - suoran MR ja tason leikkauspiste (Katso ratkaisu ongelmaan 29, kohta 5).

Vastaus:

31. Etsi pisteen A(1; 2; 1) projektio suoralle

Huomautus: Pisteen A projektio suoralle L:
on t pisteet B suoran L ja tason leikkauspiste
joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa linjaa L vastaan. Suoran L kanonisista yhtälöistä kirjoitetaan suuntavektori =(3; -1; 2). Lentokone on kohtisuorassa linjaa L vastaan, joten
Joten vektori voidaan pitää tason normaalivektorina
= (3; –1; 2). Luodaan tasolle yhtälö pisteessä A(1; 2; 1) ja = (3; –1; 2) (katso esimerkki 1, kohta 2.2):
3 (x - 1) - 1 (y - 2) + 2 (z - 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Etsi suoran ja tason leikkauspiste B (ks. tehtävä 29, kappale 5):

Vastaus:

32. Piirrä pisteen M kautta (3; –1; 0) suora viiva, joka on yhdensuuntainen kahden tason x – y + z – 3 = 0 ja x + y + 2z – 3 = 0 kanssa.

Huomautus: Lentokoneet
x – y + z – 3 = 0 ja
x + y + 2z – 3 = 0 eivät ole rinnakkaisia, koska ehto (2.5.1) ei täyty:
Lentokoneet
leikkaavat. Vaadittu suora L, yhdensuuntainen tasojen kanssa
yhdensuuntainen näiden tasojen leikkausviivan kanssa. (Katso ratkaisu tehtäviin 24 ja 23, kohta 5).

Vastaus:

33. Kirjoita yhtälö kahden suoran läpi kulkevalle tasolle

Huomautus:1 tapa. Muodostetaan halutun tason yhtälö pisteen mukaan
, makaa suoralla linjalla , ja normaalivektori . Vektori on yhtä suuri kuin suorien suuntavektorien vektoritulo
, jonka löydämme suorien kanonisista yhtälöistä
(kaava 3.1.1): = (7; 3; 5) ja

= (5; 5; –3)

Pistekoordinaatit
löydämme suoran kanonisista yhtälöistä

Muodostamme tason yhtälön pisteen mukaan
ja normaalivektori =(–34; 46; 20) (katso esimerkki 1, kohta 2.2)
17x – 23v – 10z + 36 = 0.

Menetelmä 2. Suuntavektoreiden etsiminen = (7; 3; 5) ja = (5; 5; –3) suorien kanonisista yhtälöistä
Täysi pysähdys
(0; 2; –1) löytyy yhtälöstä

. Otetaan mielivaltainen piste koneessa

M(x;y;z). Vektorit
- ovat samassa tasossa, joten
Tästä ehdosta saadaan tason yhtälö:

Vastaus: 17x – 23v – 10z +36 = 0.

34. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
(2; 0; 1) ja suora

Huomautus: Varmista ensin, että asia
tällä suoralla linjalla pensasaidat:
Täysi pysähdys
ja suuntavektori löydämme suoran kanonisista yhtälöistä
:
(1; –1; –1) ja

= (1; 2; –1). Halutun tason normaalivektori
Löydämme normaalivektorin koordinaatit tietäen koordinaatit =(1; 2; –1) ja

= (1; 1; 2):

Muodostamme tason yhtälön pisteestä
(2; 0; 1) ja normaalivektori = (–5; 3; 1):

–5 (x – 2) + 3 (y – 0) + 1 (z – 1) = 0.

Vastaus: 5x – 3y – z – 9 = 0.

Tason yhtälö. Kuinka kirjoittaa tason yhtälö?
Lentokoneiden keskinäinen järjestely. Tehtävät

Tilageometria ei ole paljon monimutkaisempaa kuin "litteä" geometria, ja lentomme avaruudessa alkavat tästä artikkelista. Aiheen hallitsemiseksi sinulla on oltava hyvä käsitys aiheesta vektorit, lisäksi on suositeltavaa tuntea tason geometria - siellä on monia yhtäläisyyksiä, monia analogioita, joten tiedot sulautuvat paljon paremmin. Oppituntieni sarjassa 2D-maailma avautuu artikkelilla Tason suoran yhtälö. Mutta nyt Batman on jättänyt taulutelevision ja lähtee liikkeelle Baikonurin kosmodromista.

Aloitetaan piirustuksista ja symboleista. Kaavamaisesti taso voidaan piirtää suunnikkaan muotoon, mikä luo vaikutelman avaruudesta:

Taso on ääretön, mutta meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä. Käytännössä suunnikkaan lisäksi piirretään myös soikea tai jopa pilvi. Teknisistä syistä minun on helpompi kuvata kone juuri tällä tavalla ja juuri tässä asennossa. Todelliset tasot, joita tarkastelemme käytännön esimerkeissä, voivat sijaita millä tahansa tavalla - ota piirustus henkisesti käsiisi ja käännä sitä avaruudessa antamalla tasolle kaltevuuden, minkä tahansa kulman.

Nimitykset: lentokoneet merkitään yleensä pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, ilmeisesti siksi, ettei niitä sekoitettaisi keskenään suora viiva tasossa tai kanssa suora viiva avaruudessa. Olen tottunut käyttämään kirjainta. Piirustuksessa se on kirjain "sigma", eikä ollenkaan reikä. Kuitenkin reikäinen lentokone on varmasti melko hauska.

Joissakin tapauksissa on kätevää käyttää samoja kreikkalaisia ​​kirjaimia pienemmillä alaindeksillä osoittamaan tasoja, esimerkiksi .

On selvää, että tason määrittelee yksiselitteisesti kolme eri pistettä, jotka eivät ole samalla linjalla. Siksi lentokoneiden kolmikirjaiminen nimitykset ovat melko suosittuja - esimerkiksi niihin kuuluvien pisteiden mukaan jne. Usein kirjaimet on suljettu suluissa: jotta tasoa ei sekoitettaisi toiseen geometriseen kuvioon.

Kokeneille lukijoille annan pikavalintavalikko:

• Miten luodaan tason yhtälö pisteen ja kahden vektorin avulla?
• Miten luodaan tason yhtälö pisteen ja normaalivektorin avulla?

emmekä joudu pitkiin odotuksiin:

Yleinen tasoyhtälö

Tason yleinen yhtälö on muotoa , jossa kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti.

Useat teoreettiset laskelmat ja käytännön ongelmat pätevät sekä tavanomaiseen ortonormaaliin kantaan että affiiniseen avaruuden kantaan (jos öljy on öljyä, palaa oppitunnille Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektorien perusta). Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kaikki tapahtumat tapahtuvat ortonormaalilla pohjalla ja suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Harjoitellaan nyt vähän avaruudellista mielikuvitustamme. Ei haittaa, jos omasi on huono, nyt kehitämme sitä hieman. Jopa hermoilla pelaaminen vaatii harjoittelua.

Yleisimmässä tapauksessa, kun luvut eivät ole yhtä suuria kuin nolla, taso leikkaa kaikki kolme koordinaattiakselia. Esimerkiksi näin:

Toistan vielä kerran, että kone jatkaa loputtomiin kaikkiin suuntiin, ja meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä.

Tarkastellaan yksinkertaisimpia tasojen yhtälöitä:

Kuinka ymmärtää tämä yhtälö? Ajattele sitä: "Z" on AINA yhtä suuri kuin nolla kaikille "X" ja "Y" arvoille. Tämä on "natiivi" koordinaattitason yhtälö. Itse asiassa muodollisesti yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , josta näet selvästi, että emme välitä siitä, mitkä arvot "x" ja "y" ottavat, on tärkeää, että "z" on nolla.

Samoin:
– koordinaattitason yhtälö;
– koordinaattitason yhtälö.

Monimutkaistaan ​​ongelmaa hieman, harkitsemme tasoa (tässä ja edelleen kappaleessa oletetaan, että numeeriset kertoimet eivät ole nolla). Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: . Miten se pitäisi ymmärtää? "X" on AINA kaikille "Y"- ja "Z"-arvoille yhtä suuri kuin tietty luku. Tämä taso on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa. Esimerkiksi taso on yhdensuuntainen tason kanssa ja kulkee pisteen läpi.

Samoin:
– tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa;
– tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa.

Lisätään jäseniä: . Yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , eli "zet" voi olla mikä tahansa. Mitä se tarkoittaa? "X" ja "Y" yhdistetään relaatiolla, joka piirtää tietyn suoran tasoon (saat selville tasossa olevan suoran yhtälö?). Koska "z" voi olla mikä tahansa, tämä suora "toistetaan" millä tahansa korkeudella. Siten yhtälö määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa

Samoin:
– koordinaattiakselin suuntaisen tason yhtälö;
– koordinaattiakselin suuntaisen tason yhtälö.

Jos vapaat termit ovat nolla, tasot kulkevat suoraan vastaavien akselien läpi. Esimerkiksi klassinen "suora suhteutus": . Piirrä suora viiva tasoon ja kerro se henkisesti ylös ja alas (koska "Z" on mikä tahansa). Johtopäätös: yhtälön määrittelemä taso kulkee koordinaattiakselin läpi.

Viimeistelemme tarkastelun: tason yhtälö kulkee alkuperän läpi. No, tässä on aivan ilmeistä, että piste täyttää tämän yhtälön.

Ja lopuksi piirustuksen tapaus: – taso on ystävällinen kaikkien koordinaattiakseleiden kanssa, samalla kun se "leikkaa" aina kolmion, joka voi sijaita missä tahansa kahdeksasta oktantista.

Lineaariset epäyhtälöt avaruudessa

Tietojen ymmärtäminen edellyttää opiskelua hyvin lineaariset epäyhtälöt tasossa, koska monet asiat ovat samanlaisia. Kappale tulee olemaan luonteeltaan lyhyt yleiskatsaus, jossa on useita esimerkkejä, koska materiaali on käytännössä melko harvinaista.

Jos yhtälö määrittelee tason, niin epäyhtälöt
kysyä puolivälit. Jos epäyhtälö ei ole tiukka (luettelon kaksi viimeistä), niin epäyhtälön ratkaisu sisältää puoliavaruuden lisäksi myös itse tason.

Esimerkki 5

Etsi tason yksikkönormaalivektori .

Ratkaisu: Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Merkitään tämä vektori merkillä . On täysin selvää, että vektorit ovat kollineaarisia:

Ensin poistetaan normaalivektori tason yhtälöstä: .

Kuinka löytää yksikkövektori? Yksikkövektorin löytämiseksi tarvitset joka jaa vektorin koordinaatti vektorin pituudella.

Kirjoitetaan normaalivektori muotoon ja selvitetään sen pituus:

Yllä olevan mukaan:

Vastaus:

Varmentaminen: mitä vaadittiin tarkistettavaksi.

Lukijat, jotka tutkivat huolellisesti oppitunnin viimeistä kappaletta, luultavasti huomasivat sen yksikkövektorin koordinaatit ovat täsmälleen vektorin suuntakosinit:

Pidetään tauko käsillä olevasta ongelmasta: kun sinulle annetaan mielivaltainen nollasta poikkeava vektori, ja ehdon mukaan sen suuntakosinit on löydettävä (katso oppitunnin viimeiset tehtävät Vektorien pistetulo), löydät itse asiassa tämän kanssa kollineaarisen yksikkövektorin. Itse asiassa kaksi tehtävää samassa pullossa.

Tarve löytää yksikkönormaalivektori syntyy joissakin matemaattisen analyysin ongelmissa.

Olemme selvittäneet kuinka kalastaa normaali vektori, nyt vastataan päinvastaiseen kysymykseen:

Miten luodaan tason yhtälö pisteen ja normaalivektorin avulla?

Tämä normaalivektorin ja pisteen jäykkä rakenne on tikkataulun tuntema. Ojenna kätesi eteenpäin ja valitse mielivaltaisesti mielivaltainen piste avaruudesta, esimerkiksi pieni kissa senkkissä. Ilmeisesti tämän pisteen kautta voit piirtää yhden tason, joka on kohtisuorassa käteesi nähden.

Vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla: