Rajat aiheuttavat kaikille matematiikan opiskelijoille paljon vaivaa. Rajan ratkaisemiseksi joudut joskus käyttämään monia temppuja ja valitsemaan useista ratkaisumenetelmistä juuri se, joka sopii tiettyyn esimerkkiin.

Tässä artikkelissa emme auta sinua ymmärtämään kykyjesi rajoja tai ymmärtämään hallinnan rajoja, mutta yritämme vastata kysymykseen: kuinka ymmärtää korkeamman matematiikan rajoja? Ymmärtäminen tulee kokemuksen myötä, joten annamme samalla useita yksityiskohtaisia ​​esimerkkejä rajojen ratkaisemisesta selitysten kera.

Rajan käsite matematiikassa

Ensimmäinen kysymys kuuluu: mikä on tämä raja ja minkä raja? Voimme puhua numeeristen sekvenssien ja funktioiden rajoista. Meitä kiinnostaa funktion rajan käsite, sillä juuri sitä opiskelijat kohtaavat useimmiten. Mutta ensin yleisin rajan määritelmä:

Oletetaan, että siinä on jokin muuttuva arvo. Jos tämä arvo lähestyy muutosprosessissa rajattomasti tiettyä numeroa a , Tuo a – tämän arvon raja.

Tietyllä aikavälillä määritetylle funktiolle f(x)=y tällaista lukua kutsutaan rajaksi A , johon funktio pyrkii milloin X , pyrkii tiettyyn pisteeseen A . Piste A kuuluu väliin, jolle funktio määritellään.

Se kuulostaa hankalalta, mutta se on kirjoitettu hyvin yksinkertaisesti:

Lim- englannista raja- raja.

Rajan määrittämiselle on myös geometrinen selitys, mutta tässä emme syvenny teoriaan, koska meitä kiinnostaa enemmän asian käytännön kuin teoreettinen puoli. Kun sanomme niin X pyrkii johonkin arvoon, tämä tarkoittaa, että muuttuja ei ota luvun arvoa, vaan lähestyy sitä äärettömän lähellä.

Otetaan konkreettinen esimerkki. Tehtävänä on löytää raja.

Tämän esimerkin ratkaisemiseksi korvaamme arvon x=3 funktioksi. Saamme:

Muuten, jos olet kiinnostunut, lue erillinen artikkeli tästä aiheesta.

Esimerkeissä X voi taipua mihin tahansa arvoon. Se voi olla mikä tahansa luku tai ääretön. Tässä esimerkki kun X taipumus äärettömyyteen:

Intuitiivisesti mitä suurempi luku nimittäjässä on, sitä pienemmän arvon funktio ottaa. Siis rajattomalla kasvulla X merkitys 1/x vähenee ja lähestyy nollaa.

Kuten näet, rajan ratkaisemiseksi sinun tarvitsee vain korvata tavoite arvo funktioon X . Tämä on kuitenkin yksinkertaisin tapaus. Usein rajan löytäminen ei ole niin ilmeistä. Rajojen sisällä on tyypin epävarmuustekijöitä 0/0 tai ääretön / ääretön . Mitä tehdä tällaisissa tapauksissa? Turvaudu temppuihin!

Epävarmuus sisällä

Epävarmuus muodosta ääretön/ääretön

Olkoon raja:

Jos yritämme korvata funktion äärettömyyden, saamme äärettömän sekä osoittajaan että nimittäjään. Yleisesti ottaen kannattaa sanoa, että tällaisten epävarmuustekijöiden ratkaisemisessa on tietty taiteen elementti: pitää huomata, kuinka funktiota voi muuttaa siten, että epävarmuus katoaa. Meidän tapauksessamme jaamme osoittajan ja nimittäjän X ylimmässä tutkinnossa. Mitä tapahtuu?

Edellä jo käsitellystä esimerkistä tiedämme, että termit, jotka sisältävät x:n nimittäjässä, ovat yleensä nolla. Sitten ratkaisu rajaan on:

Tyyppiepävarmuuksien ratkaisemiseksi ääretön / ääretön jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla X korkeimmalle tasolle.

Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus

Toinen epävarmuustyyppi: 0/0

Kuten aina, arvojen korvaaminen funktiolla x = -1 antaa 0 osoittajassa ja nimittäjässä. Katsokaa hieman tarkemmin ja huomaatte, että osoittajassa on toisen asteen yhtälö. Etsitään juuret ja kirjoitetaan:

Vähennetään ja saadaan:

Joten jos kohtaat tyypin epävarmuutta 0/0 – kerro osoittaja ja nimittäjä.

Esimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi esittelemme taulukon joidenkin funktioiden rajoituksista:

L'Hopitalin sääntö sisällä

Toinen tehokas tapa poistaa molemmat epävarmuudet. Mikä on menetelmän ydin?

Jos rajassa on epävarmuutta, ota osoittajan ja nimittäjän derivaatta, kunnes epävarmuus katoaa.

L'Hopitalin sääntö näyttää tältä:

Tärkeä pointti : raja, jossa osoittajan ja nimittäjän johdannaisten on oltava osoittajan ja nimittäjän sijasta.

Ja nyt - todellinen esimerkki:

Tyypillistä epävarmuutta on 0/0 . Otetaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat:

Voila, epävarmuus selviää nopeasti ja tyylikkäästi.

Toivomme, että pystyt soveltamaan näitä tietoja hyödyllisesti käytännössä ja löytämään vastauksen kysymykseen "miten ratkaista rajoja korkeammassa matematiikassa". Jos joudut laskemaan sekvenssin rajan tai funktion rajan jossakin pisteessä, eikä tähän työhön ole ollenkaan aikaa, ota yhteyttä ammattimaiseen opiskelijapalveluun nopean ja yksityiskohtaisen ratkaisun saamiseksi.



Hän on ollut kaksikymmentäkahdeksan pitkää vuotta, ja lisäksi kaksikymmentäkahdeksan talvea,

Hän piti yhden salaisuuden ja oli esimerkillinen aviomies perheessä.
Kaikki näytti olevan kuten tavallisesti: vaimoni valmisteli illallista...
Mutta yhtäkkiä tapahtui ongelmia: hän otti sen ja muisti salaisuuden.
Kaalikeiton melun ja happaman tuoksun alla, kihlattujeni murina aamulla,
Hän muisti kaiken pienintä yksityiskohtaa myöten, aivan kuin se olisi tapahtunut eilen...
...Hän istui ikkunan vieressä, ja ihanan pehmeä kuunvalo
Maalasi kauniin siluettinsa vaaleilla sävyillä...
Säikeet valuivat olkapäiden yli, liukuivat kuin käärmeet rintaan...
Ja hän ajatteli hätäisesti: "Minä menen naimisiin hänen kanssaan jonain päivänä!"
Hän muisti kaiken pienintä yksityiskohtaa myöten: linjojen kaaret, huulten pehmeyden...
Ja hänen yksinkertaisten puheensa kuumuus ja valtava tammi ikkunan ulkopuolella.
Käsien vyyhti... Vartalojen yhteensulautuminen... Ruskeiden hiusten kaskadi...
Ja kuinka hän halusi hänet kiihkeästi, kyyneliin asti!
Vapinaisten tunnustusten virta, kuinka hän kuiskasi ne korvaani!
Hauska kihara korvan yläpuolella, joka vapisi hengityksestä...
Hän katsoi häntä märillä silmillä kuin yö.
Sanat olivat huumaavia kuin viini: "Rakastan sinua... Anna minulle tytär..."
Aamulla hän menetti rauhansa: hän meteli, sitten kyllästyi...
Sitten hän peitti kasvonsa kädellä ja istui tuolille ja oli hiljaa.
Vaimo mutisi, kuten aina. Hän moitti karannutta keittoa...
Ja hän huomautti, että vuodet eivät sopineet hänelle hänen ikääntyessään.
Aivan kuten valkoinen väri ja värjätyt hiukset eivät sovi hänelle.
Ja 28 vuoteen kaikki ei jotenkin ollut vakavaa...
Yhtäkkiä hän hyppäsi ylös, tarttui takkiinsa ja unohti hattunsa ja sukkinsa.
Kaikki 28 vuotta eivät ole samoja... Kaikki 28 talvea ovat melankolisia.
Löytyi se talo. Talossa on tammi. Hän juoksi portaita ylös kuin nuoli...
Pysäyttääksesi vapina kylmiltä huulilta ja inhottavan pelkuruuden - pois!
Hän varmaan juo teetä ja kääriytyy huiviin...
Ja hiljainen suru virtaa hänen kauniista silmistään...
Tai ehkä hän alkoi neuloa? Tai kenties kutoa pitsiä?
Hänelle on niin paljon kerrottavaa! Ja tärkeintä on sanoa - olen pahoillani...
Hän avasi oven... Hänen silmissään oli kysymys. Hän oli taas kaksikymmentä vuotta vanha...
Ruskeiden hiusten kaskadi... Sydämelle tuttu siluetti...
Korvan yläpuolella on pieni kihara... Aivan kuten monta vuotta sitten - täsmälleen sama...
"Etkö ole erehtynyt?" - Ei, en voinut... Oletko Anya? Hänen tyttärensä…"
"Ja Anya?" - "Äiti ei ole enää... Kuka sinä olet?" Hän kääntyi takaisin:
"Kävin hänen luonaan kaksikymmentäkahdeksan vuotta..." - Hän odotti sinua... Kaksikymmentäviisi...
Kuinka huimausta... Kuinka sydämeni painui rintaani!
Ja hän muisti hänen sanansa rukouksella: "Älä lähde!"
Hän kumartui. Hän ryntäsi pois. Käsien kietoutuminen... ruumiiden yhteenliittyminen...
Rakastan sinua... Anna minulle tytär... Mutta hän todella halusi tyttären.
Kuinka outoa. Anyaa ei ole enää... Itkin... Heitin sen hiljaisuuteen: "Rakastan sinua monta, monta vuotta... Sinä yksin..."

P.S. PIDÄ HUOLTA RAKKAUDESTA - se on onnellisuutesi perusta...



Nainen, joka antaa anteeksi hyvin usein ja kestää hyvin pitkään, lähtee usein odottamatta ja ikuisesti!



Tiedä, että jokaisella on erilainen "vamma",
Tiedä, että jokaisella on erilainen "pelko".
Älä tuomitse kellotornistasi
Ei tiedetä kuinka monta kerrosta siellä on.

Älä katso rajoja
Älä keksi rajoja aivoillasi.
Mistä et koskaan uneksinut painajaisessa?
Joillekin se on yleistä.

Tiedä, että jokaisella on erilainen "pitäisi",
Tiedä, että kaikkien "vaikeudet" ovat erilaisia.
Kuitenkin ajatus helvetistä
On mahdotonta yleistää ja vertailla.

Tiedä, että totuus on erilainen,
Eikä se, joka tarjoillaan vadilla.
Katso tarkemmin niitä, joiden kohtalot ovat pelottavia,
Nämä ovat vahvimpia ihmisiä.

Älä sano, etten muista sinua...
Muistan kaiken, monta kertaa päivässä
Toistan puhelinnumeron
Mutta en koskaan soita sinulle.
Tuntui kuin sydämeni olisi murtautumassa
Ja yksinäisten päivien rajalla

He menivät horisontin ulkopuolelle sielussani.
Oli rakkautta, oli rakkautta, oli!
Eikä tähän lauseeseen ole mitään lisättävää.
Taikalinnamme paloi maan tasalle
Eikä hän jättänyt tuhkaa meille muistettavaksi.
Muistan kaiken ja muistan kukkivan puutarhan,
Ja lehtien läpi - säteet joka puolelta,
Kuin valkoisesta, valkoisesta kellotornista
Sielussasi - kuulet - hiljainen soitto kaataa.
Rakkaus on mennyt, eikä palaa koskaan,
Ja jotta et ikävöisi häntä ikuisesti,
Silmäsi ovat kuin kaksi surullista aurinkoa
He menivät horisontin ulkopuolelle sielussani.

Onnen tavoittelu on taas epäonnistunut...
Ja on sateinen ilta, ulkona on synkkää...
Ja lapsena... levitin hilloa sämpylän päälle
Ja ehdottomasti onnellinen, tyhmän onnellinen...

Glamouria, etikettiä, timantteja, poreallas...
Nyt onnen lisäksi "All inclusiven" kohtalossa
Ja lapsena söin auringonkukansiemeniä,
Ja onnella ei tuntunut olevan rajoja...

Meistä on tullut paljon kuin klovneja...
Kaikilla on meikit, jotka nauravat ulospäin...
Ja lapsuudessa... vain aurinko murtautui taivaalta
Ja iloinen sydän hymyili niin paljon...

Valitsemme ihmisiä, kuten tattari Tuhkimossa...
Ota yhteyttä kaikkiin tarvitsemasi... Kannattamattomat menevät liesille...
Ja lapsuudessa kirkas taivas uskoi meihin...
Missä on ilo tuoreen leivän tuoksusta?

Ja nyt ystävyydenkin voi ostaa...
Teimme sen... Elämme turkisten ja nahan maailmassa...
Ja lapsena he pelastivat myrskyn sekaisin...
Ja antamalla onnea he saivat sen.

Olemme menettäneet rehellisyyden ja herkkyyden vuosien varrella...
Keksimme itse rajat ja kehykset...
Onko sinulla pulla ja purkki kirsikkahilloa?
Ole siis helvetin onnellinen!

Katson sinua ja ymmärrän, että rakastan sinua edelleen. Tämä rakkaus on viime vuosien krooninen sairaus. Se tuo niin sietämätöntä tuskaa, että heittäydyn täysin vieraiden ihmisten kimppuun, yrittäen joutua heidän harhaan, heidän kanssaan yhtäkkiä näissä syleilyissä löydän juuri sen särkylääkkeen, jota ryppyisten sydämien omistajien mukaan ei ole ollenkaan. Ymmärrän, että minua petetään, mutta silti jatkan halaamista - en voi tappaa itseäni muuten, se sattuu, se kiusaa, se ei anna minun nukkua yöllä, joten istun ikkunalaudalla ja Toisen minuutin kuluttua huudan sydäntä särkevästi illuusioiden kidutuksesta. Pitäisikö minun ottaa sinuun yhteyttä saadakseni apua? Hyödytön. Tiedät rakkaudestani, mutta et tarvitse sitä, "suusi on täynnä ilmaisemattomia tunteita." Olemme samassa vastuuttomuuden verkossa, mutta emme voi auttaa toisiamme. Kiedot kätesi ohuiden valkoisten lankojen ja sauvojen ympärille ja katsot jonnekin todellisuuden rajojen ulkopuolelle toivoen Jumala tietää kenen apua. Ja meidän välillämme on vain yksi ero: rakkauteni sinua kohtaan melkein pudotti minut jaloistani, ja rakkautesi jotakuta kohtaan ruokkii ja elvyttää sinua odotuksella, vaikkakin petollisesti. En halua katsoa sinua enää, karkotan sinun mahdollisuuden sydämestäni, mutta tämä tekee siitä vielä tuskallisempaa. Niinpä hän käy läpi kärsimysprosessin kuiskaten, myös toivoen Jumala tietää kenen apua. Aika?..

Elämäsi on täyttä valhetta, pornoa, jokapäiväistä elämää, Internet-riippuvuutta ja matkapuhelinorjuutta. No, enkö ole oikeassa? Kerro minulle, oletko koskaan tehnyt jotain todella poikkeavaa? Ei koskaan. Etkä voi. Tiedätkö miksi? Koska kaikki tämä on mukavuusalueesi ulkopuolella. Olet pakattu siihen. Kuin polypropeenipussissa. Olet lihanpaloja, arjen ja työn rajojen puristamia. Vai olenko väärässä? Ehkä olen väärässä? Korjaa minua.
Voitko esimerkiksi antaa matkapuhelimesi ensimmäiselle tapaamallesi henkilölle? A? Hankala kysymys. Voitko alustaa ruuvin tietokoneellasi heti? Tyhmä? Vitsailitko itseäsi? Tiedätkö miksi et tee tätä? Koska se on sama kuin itsemurha. Et ole olemassa ilman sitä.