Keskitetty johonkin pisteeseen A.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Määritelmä
Sinus on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| hypotenuusan pituuteen |AC|.

Kosini (cos α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| hypotenuusan pituuteen |AC|.

Hyväksytyt nimitykset

;
;
.

;
;
.

Sinifunktion kuvaaja, y = sin x

Kosinifunktion kuvaaja, y = cos x

Sinin ja kosinin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= synti x ja y= cos x jaksollinen jaksolla 2 π.

Pariteetti

Sinifunktio on outo. Kosinifunktio on parillinen.

Määritelmäalue ja arvot, äärimmäisyydet, lisäys, lasku

Sini- ja kosinifunktiot ovat jatkuvia määritelmäalueellaan, eli kaikille x:ille (katso jatkuvuuden todiste). Niiden tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa (n - kokonaisluku).

	y= synti x	y= cos x
Laajuus ja jatkuvuus	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Arvoalue	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Nouseva
Laskeva
Maksimit, y= 1
Minimi, y = - 1
Nollat, y= 0
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y= 0	y= 1

Peruskaavat

Sinin ja kosinin neliösumma

Sini- ja kosinikaavat summalle ja erolle

;
;

Kaavat sinien ja kosinien tulolle

Summa- ja erotuskaavat

Sinin ilmaisu kosinin kautta

;
;
;
.

Kosinin ilmaus sinin kautta

;
;
;
.

Ilmaisu tangentin suhteen

; .

Sille, meillä on:
; .

osoitteessa:
; .

Taulukko sinistä ja kosineista, tangenteista ja kotangenteista

Tämä taulukko näyttää sinien ja kosinien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta

;

Eulerin kaava

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; . Kaavojen johtaminen >>>

N:nnen kertaluvun johdannaiset:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekantti, kosekantti

Käänteiset funktiot

Sinin ja kosinin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arsini ja arkosiini.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.

Yksi matematiikan haaroista, jonka kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavojen avulla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään pi-lukua laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia ​​loogisia ketjuja.

Trigonometrian alkuperä

Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria tekee yleensä.

Historiallisesti suorakulmaiset kolmiot ovat olleet pääasiallinen tutkimuskohde tässä matemaattisen tieteen osassa. 90 asteen kulman olemassaolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää tarkasteltavan kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän mallin ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.

Ensimmäinen taso

Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat tämän matematiikan osan arkielämän käytön rajojen laajentamisen.

Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijoiden käyttöön saadaan saatuja tietoja fysiikassa ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, joiden kanssa työ alkaa lukiossa.

Pallomainen trigonometria

Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opiskella koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi, että maan pinta ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pintamerkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteinen tila.

Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.

Suorakulmainen kolmio

Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.

Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.

Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.

Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.

Määritelmä

Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.

Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.

Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.

Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.

Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.

Yksinkertaisimmat kaavat

Trigonometriassa ei tule toimeen ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.

Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.

Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itsenäisesti johtaa tarvittavat monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.

Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen

Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa ja toisessa lisätään sinin ja kosinin parillinen tulo.

Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu aiemmista - käytännössä yritä saada ne itse, ottaen alfa-kulma yhtä suureksi kuin beeta-kulma.

Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.

Lauseet

Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti ja siten myös kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.

Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän kaksi sädettä, eli ympyrä, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.

Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että kahden sivun neliöiden summasta vähennetään niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.

Virheitä huolimattomuudesta

Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.

Ensinnäkin tavallisia murtolukuja ei pidä muuntaa desimaaliluvuiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen tavalliseksi murtoluvuksi, ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.

Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisesti kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärtämisen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.

Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.

Sovellus

Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.

Lopulta

Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.

Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.

Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.

Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä terävän kulman tangentti ja kotangentti. Nämä ovat trigonometrian perusteet.

Muista tuo oikea kulma on 90 asteen kulma. Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.

Terävä kulma- alle 90 astetta.

Tylppä kulma- yli 90 astetta. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhmä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)

Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Joten kulmaa A vastapäätä olevaa sivua merkitään.

Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.

Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.

Jalat- teräviä kulmia vastapäätä olevat sivut.

Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.

Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:

Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:

Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:

Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:

Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):

Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.

Todistakaamme joitain niistä.

Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?

Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.

Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .

Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omansa. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (paitsi oikea) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?

Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.

Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna välinen suhde juhlia ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää kaikki sen trigonometriset funktiot erityisten taulukoiden avulla. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.

Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.

Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.

Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.

1. Kolmion kulma on , . Löytö .

Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.

Koska , .

2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö .

Etsitään Pythagoraan lauseella.

Ongelma ratkaistu.

Usein ongelmissa on kolmioita, joissa on kulmat ja tai kulmat ja . Muista niiden perussuhteet ulkoa!

Kolmiolle, jossa on kulmat ja kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

Kolmio, jossa on kulmia ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.

Pohdimme tehtäviä suorakulmaisten kolmioiden ratkaisemiseksi - eli tuntemattomien sivujen tai kulmien löytämiseksi. Mutta ei siinä vielä kaikki! Matematiikan kokeen muunnelmissa on monia tehtäviä, joissa esiintyy kolmion ulkokulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Tästä lisää seuraavassa artikkelissa.

En saa sinua olemaan kirjoittamatta huijauslehtiä. Kirjoittaa! Sisältää trigonometrian huijauslehtiä. Myöhemmin aion selittää, miksi huijauslappuja tarvitaan ja kuinka niistä on hyötyä. Ja tässä - tietoa siitä, kuinka ei opita, vaan muistaa joitain trigonometrisiä kaavoja. Joten - trigonometriaa ilman huijauslehteä!Käytämme assosiaatioita ulkoa muistamiseen.

1. Lisäyskaavat:

kosinit "menevät aina pareittain": kosini-kosini, sini-sini. Ja vielä yksi asia: kosinit ovat "riittämättömiä". He "kaikki on vialla", joten he muuttavat merkit: "-" "+":ksi ja päinvastoin.

Poskiontelot - "sekoitus": sini-kosini, kosini-sini.

2. Summa- ja erotuskaavat:

kosinit "menevät aina pareittain". Kun olet lisännyt kaksi kosinusta - "pullat", saamme kosiniparin - "koloboks". Ja jos vähennetään, emme todellakaan saa kolobokkeja. Saamme pari siniä. Edelleen miinuksella.

Poskiontelot - "sekoitus" :

3. Kaavat tuotteen muuntamiseksi summaksi ja erotukseksi.

Milloin saamme kosiniparin? Kun lisäät kosinit. Siksi

Milloin saamme siniparin? Kun vähennetään kosinit. Täältä:

"Sekoitus" saadaan sekä lisäämällä että vähentämällä sinejä. Kumpi on hauskempaa: lisääminen vai vähentäminen? Aivan oikein, fold. Ja kaavaan lisää:

Ensimmäisessä ja kolmannessa kaavassa suluissa - määrä. Ehtojen paikkojen uudelleenjärjestelystä summa ei muutu. Järjestys on tärkeä vain toiselle kaavalle. Mutta jotta ei menisi sekaannukseen, muistamisen helpottamiseksi otamme eron kaikissa kolmessa kaavassa ensimmäisissä suluissa

ja toiseksi summa

Taskussa olevat pinnasängyn lakanat antavat mielenrauhaa: jos unohdat kaavan, voit kirjoittaa sen pois. Ja ne antavat luottamusta: jos et käytä huijauslehteä, kaavat jäävät helposti mieleen.