Pyramidi on monitahoinen, jonka pohjassa on monikulmio. Kaikki pinnat puolestaan ​​muodostavat kolmioita, jotka suppenevat yhteen kärkeen. Pyramidit ovat kolmion muotoisia, nelikulmaisia ​​ja niin edelleen. Jotta voit määrittää, mikä pyramidi on edessäsi, riittää, että lasket kulmien lukumäärän sen pohjassa. "Pyramidin korkeuden" määritelmä löytyy hyvin usein koulun opetussuunnitelman geometriatehtävistä. Artikkelissa yritämme pohtia erilaisia ​​tapoja löytää se.

Pyramidin osat

Jokainen pyramidi koostuu seuraavista elementeistä:

• sivupinnat, joissa on kolme kulmaa ja jotka suppenevat ylhäällä;
• apothem edustaa korkeutta, joka laskeutuu sen huipulta;
• pyramidin yläosa on piste, joka yhdistää sivureunat, mutta ei ole pohjan tasossa;
• kanta on monikulmio, joka ei sisällä kärkeä;
• pyramidin korkeus on segmentti, joka leikkaa pyramidin huipun ja muodostaa sen pohjan kanssa suoran kulman.

Kuinka löytää pyramidin korkeus, jos sen tilavuus tunnetaan

Kaavan V \u003d (S * h) / 3 (kaavassa V on tilavuus, S on peruspinta-ala, h on pyramidin korkeus) avulla huomaamme, että h \u003d (3 * V) / S . Materiaalin vahvistamiseksi ratkaistaan ​​ongelma välittömästi. Kolmion muotoinen pohja on 50 cm 2 ja tilavuus 125 cm 3 . Kolmion muotoisen pyramidin korkeutta ei tunneta, mikä meidän on löydettävä. Täällä kaikki on yksinkertaista: lisäämme tiedot kaavaamme. Saamme h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Kuinka löytää pyramidin korkeus, jos diagonaalin pituus ja sen reuna ovat tiedossa

Kuten muistamme, pyramidin korkeus muodostaa suoran kulman kantansa kanssa. Ja tämä tarkoittaa, että korkeus, reuna ja diagonaalin puolikas muodostavat yhdessä Monet tietysti muistavat Pythagoraan lauseen. Kun tiedät kaksi ulottuvuutta, kolmatta arvoa ei ole vaikea löytää. Muista hyvin tunnettu lause a² = b² + c², jossa a on hypotenuusa ja tässä tapauksessa pyramidin reuna; b - ensimmäinen haara tai puolet lävistäjästä ja c - vastaavasti toinen haara tai pyramidin korkeus. Tästä kaavasta c² = a² - b².

Nyt ongelmana: tavallisessa pyramidissa lävistäjä on 20 cm, kun taas reunan pituus on 30 cm. Sinun täytyy löytää korkeus. Ratkaisemme: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Siten c \u003d √ 500 \u003d noin 22.4.

Kuinka löytää katkaistun pyramidin korkeus

Se on monikulmio, jonka poikkileikkaus on yhdensuuntainen kantansa kanssa. Katkaistun pyramidin korkeus on segmentti, joka yhdistää sen kaksi kantaa. Korkeus löytyy säännöllisestä pyramidista, jos molempien kannan diagonaalien pituudet sekä pyramidin reuna tunnetaan. Olkoon suuremman kannan lävistäjä d1, kun taas pienemmän kannan diagonaali on d2 ja reunan pituus on l. Korkeuden selvittämiseksi voit laskea korkeuksia kaavion kahdesta vastakkaisesta yläpisteestä sen pohjaan. Näemme, että meillä on kaksi suorakulmaista kolmiota, on vielä löydettävä niiden jalkojen pituudet. Tee tämä vähentämällä pienempi lävistäjä suuremmasta lävistäjästä ja jakamalla se 2:lla. Joten löydämme yhden haaran: a \u003d (d1-d2) / 2. Sen jälkeen meidän on Pythagoraan lauseen mukaan löydettävä vain toinen jalka, joka on pyramidin korkeus.

Katsotaan nyt tätä koko asiaa käytännössä. Meillä on tehtävä edessämme. Katkaistun pyramidin pohjassa on neliö, suuremman pohjan diagonaalipituus on 10 cm, pienemmän 6 cm ja reunan pituus 4 cm. Korkeus on löydettävä. Aluksi löydämme yhden jalan: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Yksi jalka on 2 cm ja hypotenuusa on 4 cm. Osoittautuu, että toinen jalka tai korkeus on 16- 4 \u003d 12, eli h \u003d √12 = noin 3,5 cm.

Lause. Pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin sen pohjan pinta-alan ja kolmasosan sen korkeuden tulo.

Ensin todistetaan tämä lause kolmiopyramidille ja sitten monikulmiolle.

1) Rakennamme kolmiopyramidin SABC (kuva 102) perusteella prisman SABCDE, jonka korkeus on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus ja jonka toinen sivureuna osuu reunaan SB. Osoittakaamme, että pyramidin tilavuus on kolmasosa tämän prisman tilavuudesta. Erota tämä pyramidi prismasta. Jäljelle jää nelikulmainen pyramidi SADEC (joka on esitetty erikseen selvyyden vuoksi). Piirretään siihen leikkaustaso kärjen S ja kannan DC diagonaalin läpi. Tuloksena olevilla kahdella kolmion muotoisella pyramidilla on yhteinen kärki S ja samat kantat DEC ja DAC, jotka sijaitsevat samassa tasossa; näin ollen edellä todistetun lemman mukaan nämä pyramidit ovat samanarvoisia. Verrataanpa yhtä niistä, nimittäin SDEC:tä, tähän pyramidiin. SDEC-pyramidin pohjaksi voit ottaa \(\Delta\)SDE; silloin sen huippu on pisteessä C ja korkeus on yhtä suuri kuin tämän pyramidin korkeus. Koska \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, niin saman lemman mukaan pyramidit SDEC ja SABC ovat yhtä suuret.

Olemme jakaneet ABCDES-prisman kolmeen samankokoiseen pyramidiin: SABC, SDEC ja SDAC. (Ilmeisesti mikä tahansa kolmioprisma voidaan kohdistaa tällaiselle osiolle. Tämä on yksi kolmiomaisen prisman tärkeimmistä ominaisuuksista.) Siten kolmen pyramidin tilavuuksien summa, jotka ovat kooltaan yhtä suuria kuin annettu, on pyramidin tilavuus. prisma; Näin ollen

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

jossa H on pyramidin korkeus.

2) Piirretään polygonaalisen pyramidin SABCDE pohjan jonkin kärjen E (kuva 103) kautta lävistäjät EB ja EC.

Sitten piirrämme leikkaustasot reunan SE ja jokaisen diagonaalin läpi. Sitten monikulmiopyramidi jaetaan useisiin kolmiomaisiin pyramideihin, joiden korkeus on yhteinen annetun pyramidin kanssa. Ilmaisee kolmiomaisten pyramidien kantojen pinta-aloja b 1 ,b 2 ,b 3 ja korkeus H:n kautta, meillä on:

tilavuus SABCDE = 1/3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =

= (alue ABCDE) H / 3 .

Seuraus. Jos V, B ja H tarkoittavat lukuja, jotka ilmaisevat minkä tahansa pyramidin tilavuuden, pohjapinta-alan ja korkeuden, niin

Lause. Katkaistun pyramidin tilavuus on yhtä suuri kuin kolmen pyramidin tilavuuksien summa, jotka ovat yhtä korkeita kuin katkaistun pyramidin korkeus, ja kantajista: yksi on tämän pyramidin alempi kanta, toinen on ylempi kanta ja kolmannen pyramidin pohjapinta-ala on yhtä suuri kuin ylemmän ja alemman kannan pinta-alojen geometrinen keskiarvo.

Olkoon katkaistun pyramidin (kuva 104) kantojen pinta-alat B ja b, korkeus H ja tilavuus V (katkaistu pyramidi voi olla kolmion tai monikulmion muotoinen - sillä ei ole väliä).

Se on todistettava

V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1/3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),

missä √B b on geometrinen keskiarvo välillä B ja b.

Todistaaksemme pienemmällä pohjalla asetamme pienen pyramidin, joka täydentää tätä katkaistua pyramidia täydelliseksi. Sitten voimme pitää katkaistun pyramidin V tilavuutta erona kahden tilavuuden - täyden pyramidin ja ylemmän lisäpyramidin - välillä.

Merkitsee lisäpyramidin korkeutta kirjaimella X, löydämme sen

V = 1/3 B (H+ X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - b)X].

Korkeuden löytämiseksi X käytämme lausetta , jonka mukaan voimme kirjoittaa yhtälön:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

Tämän yhtälön yksinkertaistamiseksi poimimme sen aritmeettisen neliöjuuren molemmilta puolilta:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

Tästä yhtälöstä (joka voidaan ajatella suhteessa) saamme:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

ja siten

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

Korvaamalla tämä lauseke kaavaan, jonka saimme tilavuudelle V, löydämme:

$$ V = \frac(1)(3)\left $$

Koska V- b= (√B + √ b) (√B - √ b), sitten vähentämällä murto-osaa erolla √B - √ b saamme:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

eli saamme kaavan, joka vaadittiin todistettavaksi.

Muut materiaalit

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka kanta on mielivaltainen monikulmio, ja kaikki pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki, joka on pyramidin huippu.

Pyramidi on kolmiulotteinen hahmo. Siksi melko usein on löydettävä paitsi sen pinta-ala, myös sen tilavuus. Pyramidin tilavuuden kaava on hyvin yksinkertainen:

missä S on pohjan pinta-ala ja h on pyramidin korkeus.

Korkeus Pyramidia kutsutaan suoraksi viivaksi, joka lasketaan sen yläosasta pohjaan suorassa kulmassa. Näin ollen pyramidin tilavuuden löytämiseksi on tarpeen määrittää, mikä monikulmio sijaitsee pohjalla, laskea sen pinta-ala, selvittää pyramidin korkeus ja löytää sen tilavuus. Harkitse esimerkkiä pyramidin tilavuuden laskemisesta.

Tehtävä: annetaan säännöllinen nelikulmainen pyramidi.

Pohjan sivut a = 3 cm, kaikki sivureunat b = 4 cm. Laske pyramidin tilavuus.
Muista ensin, että tilavuuden laskemiseksi tarvitset pyramidin korkeuden. Voimme löytää sen käyttämällä Pythagoraan lausetta. Tätä varten tarvitsemme diagonaalin pituuden tai pikemminkin puolet siitä. Sitten tiedämme kaksi suorakulmaisen kolmion sivua, voimme löytää korkeuden. Etsi ensin diagonaali:

Korvaa arvot kaavassa:


Löydämme korkeuden h käyttämällä d:tä ja reunaa b:


Nyt etsitään

Minkä tahansa avaruuden geometrisen hahmon pääominaisuus on sen tilavuus. Tässä artikkelissa pohditaan, mikä on pyramidi, jonka pohjassa on kolmio, ja näytämme myös kuinka löytää kolmion muotoisen pyramidin tilavuus - säännöllinen täysi ja katkaistu.

Mikä on kolmiopyramidi?

Kaikki ovat kuulleet muinaisista egyptiläisistä pyramideista, mutta ne ovat kuitenkin nelikulmaisia ​​säännöllisiä, eivät kolmion muotoisia. Selitetään kuinka saada kolmion muotoinen pyramidi.

Otetaan mielivaltainen kolmio ja yhdistetään kaikki sen kärjet johonkin pisteeseen, joka sijaitsee tämän kolmion tason ulkopuolella. Tuloksena olevaa kuviota kutsutaan kolmion muotoiseksi pyramidiksi. Se näkyy alla olevassa kuvassa.

Kuten näette, tarkasteltavana oleva kuva muodostuu neljästä kolmiosta, jotka yleensä ovat erilaisia. Jokainen kolmio on pyramidin tai sen pinnan sivut. Tätä pyramidia kutsutaan usein tetraedriksi, toisin sanoen nelisivuiseksi kolmiulotteiseksi hahmoksi.

Sivujen lisäksi pyramidissa on myös reunat (niitä on 6) ja kärjet (niitä on 4).

kolmiomaisella pohjalla

Kuva, joka saadaan käyttämällä mielivaltaista kolmiota ja avaruuden pistettä, on yleisessä tapauksessa epäsäännöllinen kalteva pyramidi. Kuvittele nyt, että alkuperäisellä kolmiolla on samat sivut ja avaruuden piste sijaitsee täsmälleen sen geometrisen keskipisteen yläpuolella etäisyydellä h kolmion tasosta. Näillä lähtötiedoilla rakennettu pyramidi on oikea.

On selvää, että säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin reunojen, sivujen ja kärkien lukumäärä on sama kuin mielivaltaisesta kolmiosta rakennetun pyramidin määrä.

Oikealla kuviolla on kuitenkin joitain erityispiirteitä:

• sen korkeus, vedettynä ylhäältä, leikkaa tarkalleen pohjan geometrisessa keskustassa (mediaanien leikkauspiste);
• tällaisen pyramidin sivupinta muodostuu kolmesta identtisestä kolmiosta, jotka ovat tasakylkisiä tai tasasivuisia.

Säännöllinen kolmiopyramidi ei ole vain puhtaasti teoreettinen geometrinen esine. Joillakin luonnon rakenteilla on muotonsa, kuten timantin kidehila, jossa hiiliatomi on yhdistetty neljään samaan atomiin kovalenttisilla sidoksilla, tai metaanimolekyyli, jossa pyramidin huiput muodostuvat vetyatomeista.

kolmion muotoinen pyramidi

Voit määrittää täysin minkä tahansa pyramidin tilavuuden mielivaltaisella n-kulmiolla pohjassa käyttämällä seuraavaa lauseketta:

Tässä symboli S o tarkoittaa pohjan pinta-alaa, h on pyramidin huipulta piirretyn hahmon korkeus merkittyyn kantaan.

Koska mielivaltaisen kolmion pinta-ala on puolet sen sivun a pituuden ja tälle sivulle lasketun apoteemin h a tulosta, voidaan kolmion muotoisen pyramidin tilavuuden kaava kirjoittaa seuraavassa muodossa:

V = 1/6 × a × h a × h

Yleiselle tyypille korkeuden määrittäminen ei ole helppo tehtävä. Helpoin tapa ratkaista se on käyttää kaavaa pisteen (kärkipisteen) ja tason (kolmiokanta) väliselle etäisyydelle, jota edustaa yleinen yhtälö.

Oikealle sillä on erityinen ulkoasu. Sen pohjan (tasasivuisen kolmion) pinta-ala on yhtä suuri kuin:

Korvaamme sen yleiseen lausekkeeseen V:lle, saamme:

V = √3/12 × a 2 × h

Erikoistapaus on tilanne, jossa tetraedrin kaikki sivut osoittautuvat identtisiksi tasasivuisiksi kolmioksi. Tällöin sen tilavuus voidaan määrittää vain sen reunan a parametrin tuntemisen perusteella. Vastaava lauseke näyttää tältä:

Katkaistu pyramidi

Jos kärjen sisältävä yläosa leikataan pois säännöllisestä kolmiomaisesta pyramidista, saadaan katkaistu kuvio. Toisin kuin alkuperäinen, se koostuu kahdesta tasasivuisesta kolmiopohjasta ja kolmesta tasakylkistä puolisuunnikasta.

Alla oleva kuva näyttää, miltä tavallinen paperista valmistettu katkaistu kolmiopyramidi näyttää.

Katkaistun kolmion muotoisen pyramidin tilavuuden määrittämiseksi on tarpeen tietää sen kolme lineaarista ominaisuutta: pohjan jokainen sivu ja kuvion korkeus, joka on yhtä suuri kuin ylemmän ja alemman kannan välinen etäisyys. Vastaava tilavuuden kaava kirjoitetaan seuraavasti:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Tässä h on kuvan korkeus, A ja a ovat suuren (alemman) ja pienen (ylemmän) tasasivuisen kolmion sivujen pituudet.

Ongelman ratkaisu

Jotta artikkelin tiedot olisivat lukijalle selvempiä, näytämme selkeällä esimerkillä, kuinka joitain kirjoitettuja kaavoja käytetään.

Olkoon kolmion muotoisen pyramidin tilavuus 15 cm 3. Tiedetään, että luku on oikea. Sinun tulisi löytää sivureunan apoteemi a b, jos tiedetään, että pyramidin korkeus on 4 cm.

Koska kuvion tilavuus ja korkeus tunnetaan, voit käyttää sopivaa kaavaa laskeaksesi sen pohjan sivun pituuden. Meillä on:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm

Figuurin apoteemin laskettu pituus osoittautui suuremmiksi kuin sen korkeus, mikä pätee kaikentyyppisille pyramideille.

Lause.

Pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa pohjan pinta-alan ja korkeuden tulosta..

Todiste:

Ensin todistetaan lause kolmiopyramidille, sitten mielivaltaiselle.

1. Tarkastellaan kolmion muotoista pyramidiaOABCtilavuudella V, peruspinta-alaS ja korkeus h. Piirrä akseli oh (OM2- korkeus), harkitse osaaA1 B1 C1pyramidit, joiden taso on kohtisuorassa akseliin nähdenvai niinja siksi yhdensuuntainen pohjan tason kanssa. MerkitseX abskissa piste M1 tämän tason leikkauspiste x-akselin kanssa ja läpiS(x)- poikkileikkauksen pinta-ala. Ilmaista S(x) kautta S, h ja X. Huomaa, että kolmiot A1 AT1 FROM1 ja ABC ovat samanlaisia. Todellakin A1 AT1 II AB, eli kolmio OA 1 AT 1 samanlainen kuin kolmio OAB. FROM näin ollen MUTTA1 AT1 : MUTTAB= OA 1: OA .

suorakulmaiset kolmiot OA 1 AT 1 ja OAB ovat myös samanlaisia ​​(niillä on yhteinen terävä kulma kärjen O kanssa). Siksi OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Tällä tavalla MUTTA 1 AT 1 : A B = x: h.Samoin se on todistettuB1 C1:Aurinko = X: h ja A1 C1:AC = X: h.Kolmio siisA1 B1 C1 ja ABCsamanlainen samankaltaisuuskertoimella X: h.Siksi S(x) : S = (x: h)² tai S(x) = S x²/ h².

Sovelletaan nyt peruskaavaa kappaleiden tilavuuksien laskemiseena= 0, b=h saamme

2. Todistetaan nyt lause mielivaltaiselle pyramidille, jolla on korkeus h ja perusalue S. Tällainen pyramidi voidaan jakaa kolmiomaisiin pyramideihin, joiden kokonaiskorkeus h. Ilmaisemme kunkin kolmion muotoisen pyramidin tilavuuden osoittamamme kaavan mukaan ja lisäämme nämä tilavuudet. Kun suluista otetaan yhteinen kerroin 1/3h, saadaan suluissa kolmiomaisten pyramidien kantojen summa, ts. alkuperäisen pyramidin kantojen pinta-ala S.

Siten alkuperäisen pyramidin tilavuus on 1/3Sh. Lause on todistettu.

Seuraus:

Katkaistun pyramidin tilavuus V, jonka korkeus on h ja kantapinta-alat S ja S1 , lasketaan kaavalla

h - pyramidin korkeus

Lopettaa - yläpohjan alue

S matalampi - alapohjan alue