Tämän opetusvideon aiheena ovat liikeominaisuudet sekä rinnakkaiskäännös. Oppitunnin alussa toistamme jälleen liikkeen käsitteen, sen päätyypit - aksiaali- ja keskisymmetria. Sen jälkeen tarkastellaan kaikkia liikkeen ominaisuuksia. Analysoidaan "rinnakkaissiirron" käsitettä, mihin sitä käytetään, nimetään sen ominaisuudet.

Teema: Liike

Oppitunti: Liike. Liikeominaisuudet

Todistetaan lause: liikkuessaan segmentti siirtyy segmenttiin.

Selvitetään lauseen muotoilu kuvan 1 avulla. 1. Jos tietyn janan MN päät näkyvät liikkeen aikana joissakin pisteissä M 1 ja N 1, vastaavasti, mikä tahansa janan MN piste P menee välttämättä janan M 1 N 1 johonkin pisteeseen P 1, ja päinvastoin, janan M 1 N 1 jokaiseen pisteeseen Q 1 näytetään jokin janan MN piste Q.

Todiste.

Kuten kuvasta voidaan nähdä, MN = MP + PN.

Anna pisteen P mennä johonkin tason pisteeseen P 1 ". Liikkeen määritelmä tarkoittaa segmenttien MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 pituuksien yhtäläisyyttä. "N 1. Näistä yhtälöistä seuraa, että M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, eli piste Р 1 "kuuluu jana M 1 N 1 ja osuu yhteen pisteen P 1 kanssa, muuten yllä olevan yhtälön sijasta kolmion epäyhtälö M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 olisi tosi. että siirrettäessä mikä tahansa janan MN piste P väistämättä menee johonkin janan M 1 N 1 pisteeseen P 1. Lauseen toinen osa (koskee pistettä Q 1) todistetaan täsmälleen samalla tavalla .

Todistettu lause pätee kaikkiin liikkeisiin!

Lause: liikkuessa kulma menee samaan kulmaan.

Olkoon RAOB annettu (kuva 2). Ja annetaan jokin liike, jossa kärki РО menee pisteeseen О 1 ja pisteet A ja B - vastaavasti pisteisiin А 1 ja В 1 .

Tarkastellaan kolmioita AOB ja A 1 O 1 B 1 . Lauseen ehdon mukaan pisteet A, O ja B liikkuvat siirtyessään pisteisiin A 1, O 1 ja B 1, vastaavasti. Siksi pituudet AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 ja AB \u003d A 1 B 1 ovat yhtä suuret. Siten AOB \u003d A 1 O 1 B 1 kolmelta puolelta. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa vastaavien kulmien O ja O 1 yhtäläisyys.

Joten mikä tahansa liike säilyttää kulmat.

Liikkeen perusominaisuuksista seuraa paljon seurauksia, erityisesti se, että mikä tahansa hahmo liikkeen aikana kartoitetaan sitä vastaavaksi kuvioksi.

Harkitse toista liikettä - yhdensuuntaista siirtoa.

Rinnakkaissiirto jollekin tietylle vektorille kutsutaan sellaista tason kartoitusta itseensä, jossa jokainen tason piste M menee saman tason pisteeseen M 1, joka (kuva 3).

Todistetaan se rinnakkaiskäännös on liike.

Todiste.

Tarkastellaan mielivaltaista segmenttiä MN (kuva 4). Siirtyy piste M pisteeseen M 1 rinnakkaissiirron aikana ja piste N - pisteeseen N 1. Tässä tapauksessa rinnakkaissiirron ehdot täyttyvät: ja . Harkitse nelikulmiota

MM 1 N 1 N. Sen kaksi vastakkaista sivua (MM 1 ja NN 1) ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset rinnakkaisten translaatioehtojen sanelemana. Siksi tämä nelikulmio on suunnikas yhden jälkimmäisen merkin mukaan. Tämä tarkoittaa, että suunnikkaan kahdella muulla sivulla (MN ja M 1 N 1) on yhtä pitkät, mikä oli todistettava.

Näin ollen rinnakkaissiirto on todellakin liikettä.

Tehdään yhteenveto. Tunnemme jo kolme liiketyyppiä: aksiaalinen symmetria, keskussymmetria ja yhdensuuntainen translaatio. Olemme osoittaneet, että liikkuessaan segmentti siirtyy segmentiksi ja kulma samaan kulmaan. Lisäksi voidaan osoittaa, että suora siirtyy suoraksi liikkeessä ja ympyrä samansäteiseksi ympyräksi.

1. Atanasyan L. S. ym. Geometria luokat 7-9. Oppikirja oppilaitoksille. - M.: Koulutus, 2010.

2. Farkov A. V. Geometriakokeet: luokka 9. L. S. Atanasyanin ja muiden oppikirjaan - M .: Tentti, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometria, tili. 7-11 solulle. yleistä inst. - M.: Enlightenment, 1995.

1. Venäjän koulutusportaali ().

2. Pedagogisten ideoiden festivaali "Avoin oppitunti" ().

1. Atanasyan (katso viitteet), s. 293, § 1, kohta 114.

Ominaisuus 1. Olkoon f tason pisteiden liike, A", B" ja C" pisteiden A, B ja C kuvia f:n liikkeen aikana. Sitten pisteet A", B" ja C " sijaitsevat samalla suoralla, jos ja vain jos pisteet A, B ja C ovat kollineaarisia.

Ominaisuus 4. Liikkuessaan se muuttuu sitä vastaavaksi segmentiksi Ominaisuus 5. Liikkuessaan säde muuttuu säteeksi.

Ominaisuus 7. Olkoon ympyrä, jonka säde on r ja jonka keskipiste on pisteessä O. Sitten se muuttuu liikkuessaan samansäteiseksi ympyräksi, jonka keskipiste on pisteen O kuvan mukainen.

Affiinilla tasokehyksellä tarkoitamme järjestyttyä ei-kollineaaristen pisteiden kolmoisosaa. Ominaisuus 7. Siirrettäessä kehys muuttuu kehykseksi ja ortonormaali kehys ortonormaaliksi kehykseksi.

Lause (Liikkeiden peruslause). Olkoon tasossa ortonormaalit kehykset u. Sitten on ainutlaatuinen liike g, joka vie kehyksen R:stä R:hen: .

Seuraus. Jos f on tason liike: muunnetaan ortonormaali kehys R ortonormaaliksi kehykseksi R", niin jokainen tason piste M, jolla on x- ja y-koordinaatit suhteessa R:ään, vastaa pistettä M"= f(M), jolla on sama x- ja y-koordinaatit suhteessa R:ään".

"Tason liikkeiden ja joidenkin niiden ominaisuuksien tutkiminen". sivu 21/21

Tason liikkeiden tutkiminen

ja jotkin niiden ominaisuudet

Sisältö

Liiketeorian kehityksen historiasta.

Liikkeiden määritelmä ja ominaisuudet.

Kuvioiden yhteensopivuus.

Liikkeiden tyypit.

4.1. Rinnakkaissiirto.

4.2. Vuoro.

4.3. Symmetria suorasta viivasta.

4.4 Liukuva symmetria.

5. Aksiaalisymmetrian erityisominaisuuksien tutkiminen.

6. Muiden liikkeiden olemassaolon mahdollisuuden tutkiminen.

7. Liikkuvuuslause. Kahdenlaisia ​​liikkeitä.

8. Liikkeiden luokittelu. Challin lause.

Liikkeet geometristen muunnosten ryhmänä.

Liikkeiden soveltaminen ongelmanratkaisuun.

Kirjallisuus.

Liiketeorian kehityshistoria.

Ensimmäisenä, joka alkoi todistaa joitain geometrisia väitteitä, pidetään antiikin kreikkalaisena matemaatikkona Thales Miletuksesta(625-547 eaa.). Thalesin ansiosta geometria alkoi muuttua käytännöllisistä säännöistä todelliseksi tieteeksi. Ennen Thalesta todisteita ei yksinkertaisesti ollut olemassa!

Kuinka Thales suoritti todistuksensa? Tätä tarkoitusta varten hän käytti liikkeitä.

Liikenne - tämä on kuvioiden muunnos, jossa pisteiden väliset etäisyydet säilyvät. Jos kaksi hahmoa yhdistetään tarkasti toisiinsa liikkeen avulla, niin nämä luvut ovat samat, yhtä suuret.

Tällä tavalla Thales todisti joukon geometrian ensimmäisiä lauseita. Jos tasoa kierretään jäykkänä kokonaisuutena jonkin pisteen ympäri O 180 o, palkki OA menee jatkoon OA ’ . Sellaisella kääntyminen (kutsutaan myös keskussymmetria keskitetty O ) jokainen piste MUTTA siirtyy johonkin pisteeseen MUTTA ’ , mitä O on janan keskipiste AA ’ (Kuva 1).

Kuva 1 Kuva 2

Päästää O - pystysuorien kulmien yhteinen kärki AOB ja MUTTA ’ OV ’ . Mutta sitten on selvää, että kun käännetään 180°, toisen pystykulman sivut siirtyvät vain toisen sivuille, ts. nämä kaksi kulmaa ovat kohdakkain. Tämä tarkoittaa, että pystykulmat ovat yhtä suuret (kuva 2).

Todistaa kulmien yhtäläisyyden tasakylkisen kolmion pohjassa, Thales käytti aksiaalinen symmetria : hän yhdisti tasakylkisen kolmion kaksi puoliskoa taivuttamalla piirrosta kulman puolittajaa pitkin kärjessä (kuva 3). Samalla tavalla Thales osoitti, että halkaisija puolittaa ympyrän.

Kuva 3 Kuva 4

Soveltuva Thales ja toinen liike - rinnakkaissiirto , jossa kaikki kuvion pisteet ovat siirtyneet tiettyyn suuntaan saman etäisyyden verran. Hänen avullaan hän todisti lauseen, joka nyt kantaa hänen nimeään:

jos kulman toiselle puolelle jätetään yhtä suuret segmentit ja näiden osien päiden läpi vedetään yhdensuuntaisia ​​viivoja, kunnes ne leikkaavat kulman toisen puolen, saadaan samat segmentit myös kulman toiselle puolelle(Kuva 4).

Muinaisina aikoina liikkeen ideaa käyttivät myös kuuluisat Euclid, "Beginnings" -kirjan kirjoittaja - kirja, joka on selvinnyt yli kaksi tuhatta vuotta. Eukleides oli Ptolemaios I:n aikalainen, joka hallitsi Egyptissä, Syyriassa ja Makedoniassa vuosina 305-283 eaa.

Liikkeet olivat implisiittisesti läsnä esimerkiksi Eukleideen päättelyssä kolmioiden yhtäläisyyden merkkejä todistaessaan: "Asetetaan yksi kolmio toiselle sillä ja sillä tavalla." Eukleideen mukaan kahta lukua kutsutaan samanarvoisiksi, jos ne voidaan "yhdistää" kaikilla pisteillään, ts. siirtämällä yhtä hahmoa yhtenäisenä kokonaisuutena, voidaan se tarkasti asettaa toisen hahmon päälle. Euklidiselle liike ei ollut vielä matemaattinen käsite. Aksioomijärjestelmästä, jonka hän esitti ensimmäisen kerran "Periaatteissa", tuli perusta geometriselle teorialle ns. Euklidinen geometria.

Nykyaikana matemaattisten tieteenalojen kehitys jatkuu. Analyyttinen geometria luotiin 1000-luvulla. Matematiikan professori Bolognan yliopistossa Bonaventure Cavalieri(1598-1647) julkaisee esseen "Geometria, esitetty uudella tavalla jakamattoman jatkuvan avulla." Cavalierin mukaan mitä tahansa litteää hahmoa voidaan pitää sarjana yhdensuuntaisia ​​viivoja tai "jälkiä", jotka viiva jättää liikkuessaan yhdensuuntaisesti itsensä kanssa. Samalla tavalla annetaan käsitys kappaleista: ne muodostuvat tasojen liikkuessa.

Liiketeorian jatkokehitys liittyy ranskalaisen matemaatikon ja tieteen historioitsijan nimeen Michel Chall(1793-1880). Vuonna 1837 hän julkaisi teoksen "Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen". Schall todistaa oman geometrisen tutkimuksensa aikana tärkeimmän lauseen:

jokainen tason suuntaa säilyttävä liike on joko

rinnakkaissiirto tai kierto,

mikä tahansa tason suuntaa muuttava liike on joko aksiaalinen

symmetria tai liukuva symmetria.

Challin lauseen todistus on suoritettu kokonaisuudessaan tämän tiivistelmän kohdassa 8.

Tärkeä rikastus, jonka geometria on velkaa 1800-luvulle, on geometristen muutosten teorian, erityisesti matemaattisen liiketeorian (siirtymien) luominen. Tähän mennessä oli tarpeen antaa luokitus kaikille olemassa oleville geometrisille järjestelmille. Tämän ongelman ratkaisi saksalainen matemaatikko Christian Felix Klein(1849-1925).

Vuonna 1872 Erlangenin yliopiston professorina Klein piti luennon aiheesta "Uusimpien geometristen tutkimusten vertaileva katsaus". Hänen esittämä ajatus kaiken geometrian uudelleenajattelusta liiketeorian pohjalta oli ns. "Erlangen-ohjelma".

Kleinin mukaan tietyn geometrian rakentamiseksi sinun on määritettävä joukko elementtejä ja joukko muunnoksia. Geometrian tehtävänä on tutkia niitä elementtien välisiä suhteita, jotka pysyvät muuttumattomina tietyn ryhmän kaikissa muunnoksissa. Esimerkiksi Eukleideen geometria tutkii niitä kuvioiden ominaisuuksia, jotka pysyvät muuttumattomina liikkeen aikana. Toisin sanoen, jos yksi kuvio saadaan toisesta liikkeellä (tällaisia ​​​​kuvioita kutsutaan kongruenteiksi), näillä kuvioilla on samat geometriset ominaisuudet.

Tässä mielessä liikkeet muodostavat geometrian ja viiden perustan kongruenssiaksioomat riippumaton ryhmä erottaa ne modernin geometrian aksioomajärjestelmästä. Tämän täydellisen ja melko tiukan aksioomijärjestelmän, joka tiivistää kaikki aikaisemmat tutkimukset, ehdotti saksalainen matemaatikko. David Gilbert(1862-1943). Hänen 20 aksiooman järjestelmä, joka on jaettu viiteen ryhmään, julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1899 kirjassa "geometrian perusteet".

Vuonna 1909 saksalainen matemaatikko Friedrich Schur(1856-1932) Thalesin ja Kleinin ideoita seuraten kehitti toisen geometrian aksioomajärjestelmän - joka perustuu liikkeiden huomioimiseen. Hänen järjestelmässään erityisesti Hilbertin kongruenssiaksioomien ryhmän sijaan kolmen hengen ryhmä liikkeen aksioomat.

Liikkeiden tyyppejä ja joitakin tärkeitä ominaisuuksia käsitellään yksityiskohtaisesti tässä esseessä, mutta ne voidaan ilmaista lyhyesti seuraavasti: liikkeet muodostavat ryhmän, joka määrittää ja määrittää euklidisen geometrian.

Liikkeiden määritelmä ja ominaisuudet.

Siirtämällä tämän kuvion kutakin pistettä jollakin tavalla, saadaan uusi kuva. Sanotaan, että tämä luku on saatu muunnos tästä. Figuurin muuttumista toiseksi kutsutaan liikkeeksi, jos se säilyttää pisteiden väliset etäisyydet, ts. kääntää mitkä tahansa kaksi pistettä X ja Y yksi muoto per piste X ’ ja Y ’ toinen kuva niin XY = X ’Y ’.

Määritelmä. Muodonmuutos, joka säilyttää etäisyyden

pisteiden välillä kutsutaan tämän kuvion liikkeeksi.

! Kommentti: geometrian liikkeen käsite liittyy tavanomaiseen siirtymäajatukseen. Mutta jos siirtämisestä puhuttaessa kuvittelemme jatkuvan prosessin, niin geometriassa vain kuvion alku- ja loppu (kuva)sijainnilla on meille merkitystä. Tämä geometrinen lähestymistapa eroaa fyysisestä.

Liikkuessa eri pisteet vastaavat eri kuvia ja jokaista pistettä X yksi luku asetetaan vastaamaan ainoaa piste X ’ toinen hahmo. Tämän tyyppistä muunnosa kutsutaan yksi yhteen tai bijektiivinen.

Mitä tulee liikkeisiin, termiä "lukujen tasa-arvo" (suorat viivat, segmentit, tasot jne.) sijaan käytetään termiä "yhdenmukaisuus" ja symbolia käytetään  . Merkkiä є käytetään kuvaamaan kuulumista. Tätä silmällä pitäen voimme antaa oikeamman liikkeen määritelmän:

Liike on tason π bijektiivinen muunnos φ, jonka alla millä tahansa

erilaisia ​​kohtia X, Y є π suhdetta XY  φ (X ) φ (Y ).

Kahden liikkeen peräkkäisen suorituksen tulosta kutsutaan sävellys. Jos liike tehdään ensin φ , jota seuraa liike ψ , niin näiden liikkeiden koostumus on merkitty ψ ◦ φ .

Yksinkertaisin esimerkki liikkeestä on identiteettinäyttö (on tapana merkitä - ε ), jossa jokaisessa kohdassa X , joka kuuluu tasoon, tätä pistettä itseään verrataan, ts. ε (X ) = X .

Tarkastellaan joitain liikkeiden tärkeitä ominaisuuksia.

C omaisuutta 1.

Lemma 2. 1. Sävellysφ ◦ ψ kaksi liikettäψ , φ on liike.

Todiste.

Anna hahmon F liikkeellä käännettynä ψ hahmoksi F ' ja kuva F ' on käännetty sanalla liike φ hahmoksi F ''. Anna pointin X lukuja F menee asiaan X ' muodot F ja toisen osan aikana piste X ' muodot F ' menee asiaan X '' lukuja F ''. Sitten hahmon muunnos F hahmoksi F '', jossa mielivaltainen piste X lukuja F menee asiaan X '' lukuja F '', säilyttää pisteiden välisen etäisyyden ja on siksi myös liike.

Huomaa, että sävellyksen äänitys alkaa aina viimeisestä osasta, koska koostumuksen tulos on lopullinen kuva - se on asetettu linjaan alkuperäisen kanssa:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C omaisuutta 2.

Lemma 2.2 . Josφ – liike, sitten muutosφ -1 on myös liikettä.

Todiste.

Anna muodon muuttua F hahmoksi F ' kääntää kuvion eri kohdat F kuvan eri kohdissa F '. Anna mielivaltainen piste X lukuja F tämän muutoksen alla menee pisteeseen X ' muodot F ’.

Muodon muunnos F ' hahmoksi F , jossa kohta X ' menee asiaan X , kutsutaan muunnos käänteinen annetulle. Jokaiselle liikkeelle φ on mahdollista määritellä vastasuuntainen liike, joka on merkitty φ -1 .

Väittäen samalla tavalla kuin ominaisuuden 1 todistus, voimme varmistaa, että liikkeelle käänteinen muunnos on myös liike.

On selvää, että muutos φ -1 täyttää tasa-arvot:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , missä ε on identtinen näyttö.

Kiinteistö 3 (koostumusten assosiatiivisuus).

Lemma 2.3. Olkoon φ 1 , φ 2 , φ 3 - vapaaehtoiset liikkeet. Sitten φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Se tosiasia, että liikkeiden koostumuksella on assosiatiivisuusominaisuus, antaa meille mahdollisuuden määrittää assosiaatio φ luonnollisella indikaattorilla n .

Laitetaanpa φ 1 = φ ja φ n+1 = φ n ◦ φ , jos n ≥ 1 . Näin liike φ n saatu n - Useita peräkkäisiä liikkeitä φ .

C omaisuutta 4 (suoruuden säilyttäminen).

Lause 2. 1. Pisteet, jotka sijaitsevat samalla suoralla, siirtyvät liikkuessaan pisteiksi,

Liikenne painovoiman vaikutuksen alaisia ​​kappaleita

Opintojaksot >> Fysiikka

Lentoreittien tyyppi niitä liikkeet vahvistaa... aero- ja hydrodynamiikka on lisääntynyt opiskella liikkeet kiinteät aineet kaasussa ja ... kitka) on omaisuutta todelliset nesteet vastustavat... tynnyriä ja kone horisontti käsivarret tehty jonkin verran kulma, ...

Opiskelu sähkönjohtavuusjakaumat ylipuristetuissa räjähdysaalloissa kondensoituneissa räjähteissä

Diplomityö >> Kemia

... tutkimusta sähköfyysinen ominaisuuksia... tulokset ja niitä analyysi 2.1 ... räjähdystuotteet sisään kone Chapman-Jouguet ... antaa sinun laskea liikennettä puoliklassinen elektroni. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O jonkin verran systemaattiset virheet johtavuuden mittauksessa...

Ominaisuudet tekniset materiaalit (2)

Käytännön työt >> Teollisuus, tuotanto

OSA I Rakenneteräkset ja lejeeringit Rakenneteräkset ovat koneenosien (koneenrakennusteräkset), rakenteiden ja rakenteiden (rakennusteräkset) valmistukseen tarkoitettuja teräksiä. Hiilirakenneteräkset Hiilirakenneteräkset...

Johdanto.

Geometriset muunnokset ovat melko myöhäinen matematiikan haara. Ensimmäiset geometriset muunnokset alettiin harkita 1600-luvulla, kun taas projektiiviset muunnokset ilmestyivät vasta 1800-luvun alussa.

Algebrassa tarkastellaan erilaisia ​​toimintoja. Funktio f antaa jokaiselle funktion alueelta olevalle luvulle x tietyn luvun f(x) - funktion f arvon pisteessä x. Geometriassa otetaan huomioon funktiot, joilla on muita määrittelyalueita ja arvojoukkoja. He antavat pisteen jokaiselle pisteelle. Näitä funktioita kutsutaan geometrisiksi muunnoksiksi.

Geometrisilla muunnoksilla on suuri merkitys geometriassa. Geometristen muunnosten avulla määritellään sellaiset tärkeät geometriset käsitteet kuin kuvioiden yhtäläisyys ja samankaltaisuus. Geometristen muunnosten ansiosta monet erilaiset geometrian tosiasiat sopivat yhtenäiseen teoriaan.

Abstraktissa puhumme pääasiassa tilan muunnoksia. Kaikki tilan liikkeet, yhtäläisyydet, ympyrä- ja affiinit muunnokset sekä tason affiiniset ja projektiiviset muunnokset otetaan huomioon. Jokaisessa muunnoksessa tarkastellaan sen ominaisuuksia ja esimerkkejä soveltamisesta geometristen tehtävien ratkaisuun.

Ensin tarkastellaan joitain peruskäsitteitä, joita meidän on työskenneltävä muunnosten kanssa. Tarkastellaan kahta termiä: etäisyys ja muunnos. Joten mitä tarkoitamme näillä sanoilla:

Määritelmä. Etäisyys kahden pisteen välillä kutsutaan janan pituutta, jonka päät ovat näissä pisteissä.

Määritelmä. Muutos joukkoa kutsutaan tämän joukon yksi-yhteen kartoittamiseksi itseensä.

Siirrytään nyt tiettyjen geometristen muunnostyyppien tarkasteluun.

Osa I. Avaruuden liikkeet.

Liikkeiden yleiset ominaisuudet.

Määritelmä. Tilamuunnos on ns liikettä, jos se säilyttää pisteiden väliset etäisyydet.

Liikkeen ominaisuudet.

1. Liikkeen käänteismuunnos on liike.
2. Liikkeiden koostumus on liike.
3. Liikkuessaan suora muuttuu suoraksi, säde säteeksi, segmentti segmentiksi, taso tasoksi, puolitaso puolitasoksi.
4. Liikkeessä olevan tasokulman kuva on samansuuruinen tasokulma.
5. Liike säilyttää kulman suorien viivojen välillä, suoran ja tason välillä, tasojen välillä.
6. Liike säilyttää suorien viivojen, suoran ja tason, tasojen yhdensuuntaisuuden.

Kiinteistötodistukset.

1 ja 2. Seuraa liikkeen määritelmää.

1. Olkoon pisteet A, X ja B samalla suoralla ja piste X välillä A ja B. Silloin AX + XB = AB. Olkoot pisteet А´, Х´, В´ pisteiden А, Х, В kuvia liikkeen aikana. Sitten А´Х´+Х´В´=А´В´ (liikkeen määritelmästä). Ja tästä seuraa, että pisteet A´, X´, B´ ovat yhdellä suoralla ja X´ A´ ja B´ välissä.
   Todistetusta väitteestä seuraa heti, että liikkuessaan suora muuttuu suoraksi, säde säteeksi, segmentti segmentiksi.

Tasolle todistus voidaan suorittaa seuraavasti. Olkoot a, b kaksi tasomme α, a´, b´ leikkaavaa suoraa niiden kuvissa. Ilmeisesti a´ ja b´ leikkaavat. Olkoon α´ taso, joka sisältää suorat a´, b´. Osoitetaan, että α´ on tason α kuva. Olkoon М tason α mielivaltainen piste, joka ei ole suorilla a ja b. Piirretään viiva c kautta M, joka leikkaa suorat a ja b eri pisteissä. Tämän suoran kuva on suora c´, ​​joka leikkaa suorat a´, b´ eri pisteissä. Tämä tarkoittaa, että M´, pisteen M kuva, on myös tasossa α´. Siten tason α minkä tahansa pisteen kuva on tasossa α´. Samalla tavalla osoitetaan, että minkä tahansa tason α´ pisteen esikuva on tasossa α. Tästä syystä α´ on tason α kuva.

Nyt ei ole vaikea todistaa väitettä myös puolitasolle. Tarvitaan vain täydentää puolitaso tasoksi, harkita puolitasoa rajoittavaa suoraa a ja sen kuvaa a´, ja sitten todistaa ristiriitaisesti, että puolitason minkä tahansa kahden pisteen kuvat ovat a´:n sama puoli.

1. Seuraa kiinteistöstä 3.
2. Se seuraa ominaisuudesta 4 ja viivojen (viiva ja taso, kaksi tasoa) välisen kulman määrittelystä avaruudessa.
3. Oletetaan päinvastoin, ts. olkoon rinnakkaisten linjojemme (suora ja taso, tasot) kuvat leikkaavat toisiaan (yhdensuuntaisten viivojen tapauksessa on silti tarpeen osoittaa, että niiden kuvat eivät voi olla vinoviivoja, mutta tämä seuraa välittömästi siitä, että taso, joka sisältää nämä viivat siirtyvät tasoon). Harkitse sitten heidän yhteistä kohtaa. Siinä on kaksi prototyyppiä, mikä on muunnoksen määritelmän mukaan mahdotonta.

Määritelmä. Kuvaa F kutsutaan yhtä suuri kuva Ф´, jos on liike, joka muuttaa Ф:ksi Ф´.

Liikkeiden tyypit.

3.1. Identiteetin muunnos.

Määritelmä. Identiteetin muunnos E-avaruutta kutsutaan muunnokseksi, jossa jokainen avaruuden piste menee itseensä.

Ilmeisesti identtinen muunnos on liike.

3.2. Rinnakkaissiirto.

Määritelmä. Olkoon vektori avaruudessa annettu. Rinnakkaissiirto avaruutta vektoriin kutsutaan muunnokseksi, jossa jokainen piste M kartoitetaan pisteeseen M´ siten, että .

Lause 3.2. Rinnakkaissiirto - liike.

Todiste. Olkoon А´, В´ pisteiden А, В kuvia rinnakkaissiirrossa vektoriin . Riittää, kun osoitetaan, että AB=A´B´, joka seuraa yhtälöstä:

Siirrä omaisuutta. Rinnakkaiskäännös kääntää suoran (tason) itsestään tai sen kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi (taso).

Todiste. Todistamme Lauseen 3.2, että vektorit säilyvät rinnakkaiskäännöksen aikana. Tämä tarkoittaa, että suorien suuntavektorit ja tasojen normaalivektorit säilyvät. Tästä seuraa väitteemme.

keskussymmetria.

Määritelmä. Symmetria pisteen O suhteen ( keskussymmetria) on avaruusmuunnos, joka kuvaa pisteen O itseensä ja minkä tahansa muun pisteen M pisteeseen M´ siten, että piste O on janan MM´ keskipiste. Piste O on nimeltään symmetrian keskusta.

Lause 3.4. Keskisymmetria - liike.

Todiste.

Olkoon A, B kaksi mielivaltaista pistettä, A´, B´ niiden kuvat, О symmetrian keskipiste. Sitten .

keskussymmetrian ominaisuus. Keskisymmetria ottaa suoran (tason) itseensä tai sen kanssa yhdensuuntaiseksi (taso).

Todiste. Todisttaessamme Lauseen 3.4, osoitimme, että vektorit ovat käänteisiä rinnakkaiskäännöksen aikana. Tämä tarkoittaa, että suorien suuntavektorit ja keskisymmetristen tasojen normaalivektorit vaihtavat vain suuntaa. Tästä seuraa väitteemme.

Lause liiketehtävästä.

Lause 5.1. (lause liikemäärittelystä) Kun on annettu kaksi tetraedria ABCD ja A´B´C´D´, joilla on vastaavasti samat reunat, on olemassa yksi ja vain yksi avaruuden liike, joka kohdistaa pisteet A, B, C, D pisteisiin A´, B´, C´, D ´.

Todiste.

minä Olemassaolo. Jos A osuu yhteen A´:n kanssa, B osuu yhteen B´:n kanssa, C osuu yhteen C´:n kanssa, D osuu yhteen D´:n kanssa, niin yksinkertaisesti annetaan identiteettimuunnos. Jos ei, niin oletamme varmuuden vuoksi, että A ei ole sama kuin A´. Tarkastellaan pisteiden A ja A´ symmetriatasoa α. Olkoon symmetria S α tetraedri ABCD tetraedriin A´B 1 C 1 D 1 .

Nyt, jos В 1 osui yhteen В´:n kanssa, С 1 - С´:n kanssa, D 1 - D´:n kanssa, niin todiste on valmis. Jos ei, voimme olettaa yleisyyden menettämättä, että pisteet В´ ja В 1 eivät osuneet yhteen. Tarkastellaan pisteiden B 1 ja B´ symmetriatasoa β. Piste A´ on yhtä kaukana pisteistä B1 ja B´, joten se sijaitsee tasolla β. Olkoon symmetria S β vie tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 tetraedriin A´B´C 2 D 2 .

Nyt, jos С 2 on sama kuin С´ ja D 2 on sama kuin D´, niin todiste on valmis. Jos ei, voimme olettaa yleisyyden menettämättä, että pisteet С´ ja С 2 eivät osuneet yhteen. Tarkastellaan pisteiden С 2 ja С´ symmetriatasoa γ. Pisteet А´, В´ ovat yhtä kaukana pisteistä С 2 ja С´, joten ne sijaitsevat tasossa γ. Olkoon symmetria S γ vie tetraedrin A´B´C 2 D 2 tetraedriin A´B´C´D 3 .

Nyt, jos D 3 on sama kuin D', niin todiste on valmis. Jos ei, niin tarkastelemme pisteiden D 3 ja D´ symmetriatasoa δ. Pisteet А´, В´, С´ ovat yhtä kaukana pisteistä D 3 ja D´, joten ne sijaitsevat tasossa δ. Siten symmetria S δ vie tetraedrin A´B´C´D 3 tetraedriin A´B´C´D´.

Näin ollen vaaditun määrän peilisymmetrioiden kokoonpano muuttaa tetraedrin ABCD tetraedriksi A´B´C´D´. Ja tämä muunnos on liike (liikkeiden ominaisuus 2).

II. Ainutlaatuisuus. Olkoon 2 liikettä f ja g, jotka vievät A:sta A´, B:stä B´, C:stä C´, D:stä D´. Silloin liike on identtinen muunnos, koska jättää pisteet A, B, C, D kiinteiksi. Joten f=g.

Lauseen 5.1 (olemassaolo) todistuksessa itse asiassa

Lause 5.2. Mikä tahansa tilan liike on enintään neljän peilisymmetrian koostumus.

Avaruuden homoteetisuus.

Tarkastellaanpa ensin tärkeää erityistapausta samankaltaisuudesta, homoteetista.

Määritelmä. Homoteetisuus keskipisteellä O ja kertoimella on avaruuden muunnos, jossa kunkin pisteen X kuva on piste X´ siten, että .

Homoteetin ominaisuudet.

Kiinteistötodistukset.

1 ja 2. Seuraa homoteetin määritelmästä.

3. Se todistetaan samalla tavalla kuin vastaava lause tasossa. Todellakin, jos tarkastelemme avaruuden mielivaltaista pistettä X, riittää, että todistamme lauseemme tasolle (AXB).

4. Ristiriitaisesti todistettu.

1. Seuraa ominaisuudesta 1.

samankaltaisuusominaisuudet.

Lause 2.1. Avaruuden samankaltaisuus voidaan esittää homoteetin ja liikkeen f koostumuksella:

Todiste. Tehdään mielivaltaiseen pisteeseen keskittyvä homotetiikka. Tarkastellaan muunnosa f siten, että (sellaisen muunnoksen olemassaolo seuraa muunnoksen määritelmästä). Muunnos f on liikettä liikkeen määritelmän mukaan.

Huomaa, että valitsemalla f liikkeelle, voimme saada esityksen samankaltaisuudestamme myös tässä muodossa.

samankaltaisuusominaisuudet.

Kiinteistötodistukset.

1 ja 2. Lauseen 2.1 seuraukset.

3. Seuraa samankaltaisuuden määritelmää.

4. Kuution osalta lause on ilmeisesti totta. Kuutioista koostuvalle rungolle tietysti myös.

Kuutiohilalle voidaan asettaa mielivaltainen monitaho M. Hiomme tämän hilan. Kun hilamme yhden kuution sivu pyrkii nollaan, kahden kappaleen tilavuudet: kappale I, joka koostuu kuutioista kokonaan M:n sisällä, ja kappale S, joka koostuu kuutioista, joilla on yhteiset pisteet M:n kanssa, taipuvat tilavuuteen. monitahoisen M (tämä seuraa siitä tosiasiasta, että monitahomme M kullakin pinnalla tämän pinnan ylittävien kuutioiden tilavuus on yleensä nolla). Samaan aikaan monitahoisen M kuvalle M´, jolla on samankaltaisuus, kappaleiden I´, S´ (kappaleiden I, S) tilavuudet pyrkivät monitahoisen M´ tilavuuteen. Kappaleille I ja S lauseemme on tosi, mikä tarkoittaa, että se pätee myös monitahoiselle M.

Mielivaltaisen kappaleen tilavuus määräytyy vastaavan monitahoisen kappaleen tilavuuksina, joten lause pätee myös mielivaltaiselle kappaleelle.

Lause 2.2. (tilan samankaltaisuuden asettamisesta) Jos kaksi tetraedria ABCD ja A´B´C´D´ annetaan siten, että , silloin on olemassa täsmälleen yksi avaruuden samankaltaisuus, jolle A→A´, B→B´, С→С´, D→D´.

Todiste. Tällaisen samankaltaisuuden olemassaolo seuraa Lauseesta 2.1 ja avaruuden liikkeen määrittämistä koskevasta lauseesta (osa I, Lause 5.1). Olkoon kaksi tällaista muunnosta: P ja Р´. Tällöin muunnos on liike, jolla on kiinteät pisteet A, B, C, D, ts. f on identiteettimuunnos. Siksi P=P'.

Tehtävä 1.

Pisteet M, N, P sijaitsevat kolmion ABC sivuilla AB, BC, AC. Pisteet M´, N´, P´ ovat symmetrisiä pisteiden M, N, P kanssa sivujen AB, BC, AC suhteen. Osoita, että kolmioiden MNP ja M´N´P´ pinta-alat ovat yhtä suuret.

Ratkaisu.

Säännöllisen kolmion osalta väite on ilmeinen.

Samalla tavalla mikä tahansa puolisuunnikas voidaan muuntaa tasakylkiseksi ykköseksi affiinilla muunnolla, ts. riittää todistamaan minkä tahansa affiinin väitteen tasakylkiselle puolisuunnikkaan.

Tehtävä 2.

Puolisuunnikkaan ABCD, jonka kanta on AD ja BC, piirretään pisteen B kautta, joka on yhdensuuntainen sivun CD kanssa ja joka leikkaa diagonaalin AC pisteessä P, ja pisteen C kautta suora, joka on yhdensuuntainen sivun AB kanssa ja leikkaa diagonaalin BD pisteessä Q. Todista. että suora PQ on yhdensuuntainen kantasuunnikkaan kanssa.

Ratkaisu.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan osalta väite on ilmeinen.

Puristus suoraviivaiseksi.

Määritelmä. Puristus suoraviivaiseksiℓ kertoimella k () on muunnos, joka vie mielivaltaisen pisteen M pisteeseen M´ siten, että ja , missä .

Lause 2.1. Supistuminen suoraksi on affiini muunnos.

Todiste. Suoralla tarkistuksella varmistetaan, että suora menee suoraksi. Voit jopa huomata, että suoraksi kutistuminen on yhdensuuntaisen projektion erikoistapaus (kun projektion suunta on kohtisuorassa tasojen leikkausviivaa vastaan).

Lause 2.2. Kaikille affiineille muunnoksille on olemassa neliöhila, joka tämän muunnoksen aikana muuttuu suorakaiteen muotoiseksi hilaksi.

Todiste. Otetaan mielivaltainen neliöhila ja tarkastellaan yhtä sen neliöistä OABS. Muunnollamme se muuttuu suunnikkaaksi О´А´В´С´. Jos O´A´B´C´ on suorakulmio, niin todistuksemme on valmis. Muussa tapauksessa oletetaan varmuuden vuoksi, että kulma А´О´В´ on terävä. Kierrämme neliö OABS ja koko hilamme pisteen O ympäri. Kun neliö OABS kytkeytyy päälle (eli piste A on siirtynyt pisteeseen B), piste A´ menee pisteeseen B´ ja B´ pisteen kärkeen. suuntaviiva O´A´ W´S´:n vieressä. Nuo. kulma A´O´B´ muuttuu tylpäksi. Jatkuvuusperiaatteen mukaan hän oli jossain vaiheessa suora. Tällä hetkellä neliö OABS muuttui suorakulmioksi ja hilamme suorakaiteen muotoiseksi hilaksi jne.

Lause 2.3. Affiininen muunnos voidaan esittää suoraviivaiseksi supistumisen ja samankaltaisuuden koostumuksella.

Todiste. Seuraa Lauseen 2.2.

Lause 2.4. Affiininen muunnos, joka muuttaa tietyn ympyrän ympyräksi, on samankaltaisuus.

Todiste. Kuvaamme neliötä lähellä ympyräämme ja kierrämme sitä niin, että se muuttuu suorakulmioksi muunnoksen aikana (Lause 2.2.). Ympyrämme tulee ympyrään, joka on merkitty tähän suorakulmioon, joten tämä suorakulmio on neliö. Nyt voimme määrittää neliöruudukon, jonka muunnoksemme muuttaa neliöruudukoksi. On selvää, että muutoksemme on samankaltaisuus.

3. Avaruuden affiinimuunnokset.

Määritelmä. affiininen avaruusmuunnos on avaruusmuunnos, joka muuttaa jokaisen tason tasoksi.

Ominaisuudet.

1. Affiinin muunnoksen aikana suorista viivoista tulee suoria viivoja.
2. Avaruuden affiininen muunnos indusoi kunkin tason affiinin kartoituksen sen kuvaan.
3. Affiinin muunnoksen alla yhdensuuntaiset tasot (suorat viivat) siirtyvät yhdensuuntaisiksi tasoiksi (suorat viivat).

Kiinteistötodistukset.

1. Se seuraa siitä tosiasiasta, että suora on kahden tason leikkauspiste, ja affiinin muunnoksen määritelmästä.
2. Se seuraa affiinisen muunnoksen ja ominaisuuden 1 määritelmästä.
3. Tasoilla se todistetaan ristiriidalla, suorilla viivoilla - ominaisuuden 2 ja tason affiinin muunnosominaisuuden kautta.

Lause 3.1. (affine space-muunnoksen määrittämisestä) Jokaiselle tietylle tetraedrille ABCD ja A´B´C´D´ on ainutlaatuinen affiinimuunnos, joka vie A:n A´:ksi, B:stä B´, C:stä C´:ksi, D:stä D´.

Todiste. Todistus on samanlainen kuin Lause 1.1. (rakennetaan suuntaissärmiöiden hiloja).

Lauseen 3.1 todistuksesta seuraa, että jos meillä on jokin vino koordinaattijärjestelmä W ja W´ on sen kuva affiinisessa muunnoksessa, niin mielivaltaisen avaruuden pisteen koordinaatit W-koordinaatistossa ovat yhtä suuret kuin sen koordinaatit. kuva W´-koordinaatistossa.

Tästä seuraa heti lisää ominaisuuksia affiininen muunnos.

1. Affiininen muunnos on affiini.
2. Affiiniset muunnokset säilyttävät rinnakkaisten segmenttien pituuksien suhteet.

Olkoon nyt annettu koordinaattijärjestelmä (O, , , ) avaruudessa ja affiininen muunnos f vie O:ksi O´ ja kantavektorit vektoreihin , vastaavasti. Etsitään pisteen M(x,y,z) kuvan M´(x´,y´,z´) koordinaatit x´, y´, z´ muunnoksen f alta.

Lähdetään siitä, että pisteellä M koordinaattijärjestelmässä (О, , , ) on samat koordinaatit kuin pisteellä М´ koordinaatistossa (О´, , , ). Täältä

Siksi meillä on tasa-arvo (*):

Se kannattaa myös huomioida , koska vektorit , , ovat lineaarisesti riippumattomia.

Tätä determinanttia kutsutaan affiinin muunnoksen determinantti.

Lause 3.2. Yhtälöiden (*) at antama muunnos on affiini.

Todiste. Riittää, kun tarkistetaan, että muunnoksen (*) käänteismuunnos on affiini (ominaisuus 4). Otetaan mielivaltainen taso Аx´+Вy´+Сz´+D=0, jossa А, В, С eivät ole yhtä aikaa nolla. Suorittamalla korvaukset (*), saamme sen esikuvan yhtälön:

Jäljelle jää vain tarkistaa, että kertoimet kohdissa x, y, z tuloksena olevassa yhtälössä eivät ole samanaikaisesti yhtä suuret kuin nolla. Tämä on totta, koska muuten järjestelmä

nollasta poikkeavalla determinantilla olisi vain nollaratkaisu: A=B=C=0, mikä ei ole totta.

Lause 3.3. Affiinimuunnosa vastaavien kappaleiden tilavuuksille V ja V´ on riippuvuus .

Todiste. Muodostakoon ei-koplanaariset vektorit , , avaruuden vektorikanta ja vektorit , ja . Laskemalla näiden vektorien sekatulon saamme:

.

Hyödynnetään sitä, että vektoreille kuin reunoihin rakennetun orientoidun suuntaissärmiön tilavuus on yhtä suuri kuin näiden vektoreiden sekatulo:

,

missä V 0 on kantavektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuus.

Affiininen muunnos ei muuta vastaavien vektoreiden koordinaatteja vastaavissa emäksissä. Siksi tilavuuden V suuntaissärmiön kuvan tilavuudelle V´ meillä on:

,

missä on vektoreille kuin reunoihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuus.

Täältä saamme: . Edelleen , joten suuntaamattomille volyymeille meillä on . Tämä yhtäläisyys voidaan ulottaa koskemaan kaikkia elimiä samalla tavalla kuin yhtäläisyyden osoitus 4 (osa II, §2).

Tehtävä.

Suuntasärmiön kärki on yhdistetty kolmen sellaisen pinnan keskipisteisiin, jotka eivät sisällä sitä. Laske tuloksena olevan tetraedrin tilavuuden suhde annetun suuntaissärmiön tilavuuteen.

Ratkaisu.

Lasketaan tämä suhde kuutiolle ja muutettuaan kuution suuntaissärmiöksi affiinilla muunnolla, käytämme sitä tosiasiaa, että affiinimuunnos säilyttää tilavuuksien suhteen. Kuutiolle suhde on helppo laskea. Se on yhtä suuri kuin 1:12.

Vastaus: 1:12.

Avaruuden suhde.

Määritelmä. Kutsutaan affinista muunnosa, jolla on kiinteiden pisteiden taso liittyvä muunnos ρ (sukulaisuus), ja sen kiinteiden pisteiden tasoa kutsutaan sukulaisuustaso. Elementtejä, jotka liittyvät toisiinsa, kutsutaan liittyvät.

Määritelmä. Yhteisiä pisteitä yhdistävien viivojen suuntaa kutsutaan sukulaisuuden suunta.

sukulaisominaisuudet.

1. Liittyvät suorat (tasot) leikkaavat sukulaisuustasolla tai ovat sen suuntaisia.
2. (Sukusuhteen suunnan määrittämisen oikeellisuus) Viivat, joista jokainen yhdistää kaksi toisiinsa liittyvää pistettä, ovat yhdensuuntaisia.
3. Jos suhteen suunta ei ole samansuuntainen tämän suhteen tason kanssa, niin jokainen kahta toisiinsa liittyvää pistettä yhdistävä segmentti jaetaan suhdetasolla samassa suhteessa.
4. Mikä tahansa taso, joka on yhdensuuntainen sukulaissuunnan kanssa, on liikkumaton tässä sukulaisuussuhteessa. Siinä indusoidaan tason sukulaisuus (affiini muunnos, jossa on kiinteiden pisteiden viiva, jota kutsutaan sukulaisakseliksi), jonka akseli on sen leikkausviiva tietyn avaruusaffiniteetin tason kanssa.

Kiinteistötodistukset.

1. Todistus on samanlainen kuin peilisymmetriaominaisuuden todistus (osa I, §3.5).

2. Olkoot A, B kaksi erillistä pistettä; A´, B´ ovat heidän kuvansa suhteessa, α on suhteen taso. Päästää . Sitten (affiinin muunnoksen ominaisuus), ts. AA´||BB´ jne.

3 ja 4. Seuraa omaisuustodistuksesta 2.

Määritelmä. Pinta, jota yhtälö edustaa , kutsutaan ellipsoidi. Ellipsoidin erikoistapaus on pallo.

Tapahtuu seuraava tosiasia, jota emme todista, mutta tarvitsemme sitä seuraavien lauseiden todistuksessa:

Lause 4.1. Affiininen muunnos muuttaa ellipsoidin ellipsoidiksi.

Lause 4.2. Avaruuden mielivaltainen affiinimuunnos voidaan esittää samankaltaisuuden ja suhteen koostumuksella.

Todiste. Kuvaa affiininen muunnos f pallo σ ellipsoidille σ´. Lauseesta 3.1 seuraa, että f voidaan antaa näillä kuvioilla. Tarkastellaan tasoa α´, joka sisältää ellipsoidin keskipisteen ja leikkaa sen jonkin ympyrän ω´ pitkin (sellaisen tason olemassaolo voidaan helposti todistaa jatkuvuusnäkökulmasta). Olkoon α α´:n esikuva, ω´:n esikuva ja β pallo, jonka halkaisijaympyränä on ympyrä ω´. On olemassa suhde ρ-kuvaus β:lle σ´ ja samankaltaisuus P-kartoituksessa σ:lle β. Sitten on vaadittu edustus.

Lause 4.3 seuraa välittömästi edellisen lauseen todistuksesta:

Lause 4.3. Affiininen muunnos, joka säilyttää pallon, on samankaltaisuus.

Osa IV. Projektiiviset muunnokset.

1. Tason projektiiviset muunnokset.

Määritelmä. Projektiivinen taso– tavallinen (euklidinen) taso, jota täydentävät pisteet äärettömyydessä ja suora viiva äärettömässä, ns. sopimattomia elementtejä. Tässä tapauksessa jokaista riviä täydentää yksi väärä piste, koko taso - yksi väärä viiva; yhdensuuntaisia ​​viivoja täydentää yhteinen virheellinen piste, ei-rinnakkaiset - erilaiset; virheelliset pisteet, jotka täydentävät kaikkia mahdollisia tason suoria, kuuluvat väärään suoraan.

Määritelmä. Kutsutaan projektiivista tasomuunnosta, joka vie minkä tahansa suoran suoraksi projektiivinen.

Seuraus. Projektiivinen muunnos, joka säilyttää suoran äärettömyydessä, on affininen; mikä tahansa affiinimuunnos on projektiivinen, säilyttäen viivan äärettömyydessä.

Määritelmä. keskussuunnittelu tasoa α tasolle β, jonka keskipisteenä on piste O, joka ei ole näillä tasoilla, kutsutaan kartoitukseksi, joka yhdistää minkä tahansa tason α pisteen A suoran OA ja tason β leikkauspisteen A' pisteeseen.

Lisäksi, jos tasot α ja β eivät ole yhdensuuntaisia, niin tasossa α on suora ℓ siten, että pisteen O ja suoran ℓ kautta kulkeva taso on yhdensuuntainen tason β kanssa. Oletetaan, että projektiomme aikana ℓ menee tason β äärettömyyteen olevaan suoraan (tässä tapauksessa jokainen suoran ℓ piste B menee siihen pisteeseen äärettömässä, joka täydentää OB:n suuntaisia ​​suoria). Tasossa β on suora ℓ´ siten, että pisteen O ja suoran ℓ´ kautta kulkeva taso on yhdensuuntainen tason α kanssa. Tarkastellaan ℓ´ suoran α kuvaa äärettömässä. Rivejä ℓ ja ℓ´ kutsutaan omistettu.

Voidaan sanoa, että projektiivitason yksinkertainen muunnos on annettu (jos tasot α ja β yhdistetään).

Se seuraa heti määritelmästä Keskiprojektion ominaisuudet:

1. Keskussuunnittelu on projektiivinen muutos.
2. Keskeisen suunnittelun käänteinen muunnos on keskusmalli, jossa on sama keskusta.
3. Valittujen kanssa yhdensuuntaiset viivat muuttuvat yhdensuuntaisiksi.

Määritelmä. Olkoon pisteet A, B, C, D samalla suoralla. Kaksinkertainen asenne(AB; CD) näitä pisteitä kutsutaan arvoksi. Jos yksi pisteistä on äärettömässä, voidaan lyhentää segmenttien, joiden loppu on tämä piste, pituuksia.

Lause 1.1. Keskusprojektio säilyttää kaksoissuhteen.

Todiste. Olkoon О projektiokeskus, А, В, С, D – neljä yhdellä suoralla olevaa pistettä, A´, B´, C´, D´ – niiden kuvat.

samoin .

Jakamalla yhtälön toisella, saamme .

Vastaavasti pisteen C sijasta, ottaen huomioon pisteen D, saamme .

Täältä , eli .

Jotta todistus olisi täydellinen, on huomioitava, että kaikkia segmenttejä, alueita ja kulmia voidaan pitää suunnattuina.

Lause 1.2. Ei anneta tason π neljä pistettä A, B, C, D yhdellä suoralla ja tason π´ neljä pistettä M, N, P, Q eivät ole yhdellä suoralla. Sitten on keskus (rinnakkais) projektio ja samankaltaisuus, joka kuvaa A:n M:ksi, B:n N:ksi, C:n P:ksi, D:n Q:ksi.

Todiste.

Mukavuussyistä sanomme, että ABCD ja MNPQ ovat nelikulmioita, vaikka itse asiassa tämä ei ole välttämätöntä (esimerkiksi segmentit AB ja CD voivat leikata). Todistuksesta nähdään, että emme käytä missään, että pisteet A, B, C, D ja M, N, P, Q muodostavat nelikulmioita tässä järjestyksessä.

.

Piirretään nyt suorat AK, BL, CF, DG pisteiden A, B, C, D kautta yhdensuuntaisesti X 1 X 2:n kanssa (K, L ovat DC:llä; G, F ovat AB) ja pisteiden N, M - kautta. suorat NT , MS ovat yhdensuuntaisia ​​Y 1 Y 2:n kanssa (T, S ovat PQ:lla). Keski- (rinnakkaisprojektio) f avulla muunnetaan puolisuunnikkaan ABLK tason π´ puolisuunnikkaan A´B´L´K´, joka on samanlainen kuin puolisuunnikkaan MNTS (tämä on mahdollista todisteemme osan I mukaan) . Lisäksi pisteiden X 1 , X 2 valinnasta seuraa, että suora X 1 X 2 on tason π´ erottuva suora. Merkitään pisteet С´, D´ suoralle L´K´ siten, että puolisuunnikkaan ABCD on samanlainen kuin puolisuunnikkaan A´B´C´D´. Piirrä viivat C´F´, D´G´ yhdensuuntaisesti linjan B´L´ kanssa (F´, G´ ovat Ð´В´) ja merkitse piste Y 1 ´ suoralle A´B´ siten, että , . Merkitse suoralle C´D´ piste Y 2 ´ siten, että Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (katso kuva). Pisteiden Y 1 ´ ja Y 2 ´ valinnasta seuraa, että suora Y 1 ´Y 2 ´ on tason π´ erottuva suora. Muunnoksen f mukaan piste E menee suorien A´B´ ja L´K´ leikkauspisteeseen E´. Piste С menee johonkin pisteeseen С 0 ´ suoralla С´D´.

Osoittakaamme, että С 0 on sama kuin С´. Siitä tosiasiasta, että X 2 siirtyy muunnoksen f alla suoran C´D´ äärettömään pisteeseen ja Y 2 ´ on suoran CD äärettömässä olevan pisteen kuva ja keskusprojektio säilyttää kaksoissuhteet, seuraa että , missä . Tarkastellaan nyt muunnosa g, keskusprojektion koostumusta ja samankaltaisuutta, joka vie puolisuunnikkaan CDGF puolisuunnikkaan C´D´G´F´. Muunnokselle g voidaan samalla tavalla osoittaa se . Tästä seuraa, että pisteet С 0 ja С´ ovat samat. Vastaavasti voidaan osoittaa, että D 0 - pisteen D kuva muunnoksessa f - on sama kuin D´. Siten muunnos f muuntaa nelikulmion ABCD nelikulmioksi A´B´C´D´, joka on samanlainen kuin nelikulmio MNPQ, tarpeen mukaan.

Lause 1.3. Olkoon annettu neljä pistettä, joista kolme ei ole samalla suoralla: A, B, C, D ja A´, B´, C´, D´. Sitten on ainutlaatuinen projektiivinen muunnos, jossa A:sta A´, B:stä B´, C:stä C´, D:stä D´.

Olemassaolo tällainen muunnos seuraa lauseesta 1.1.

ainutlaatuisuus voidaan todistaa samalla tavalla kuin affiinin muunnoksen ainutlaatuisuus (Lause 1.1, osa III): harkitse neliöhilaa, rakenna sen kuva ja tarkenna sitä. Kierrä kohtaamiamme vaikeuksia

Lause massakeskuksen liikkeestä.

Joissakin tapauksissa järjestelmän (erityisesti jäykän kappaleen) liikkeen luonteen määrittämiseksi riittää, että tiedetään sen massakeskuksen liikelaki. Jos esimerkiksi heittää kiveä kohteeseen, sinun ei tarvitse tietää ollenkaan, kuinka se kaatuu lennon aikana, vaan on tärkeää selvittää osuuko se kohteeseen vai ei. Tätä varten riittää, kun tarkastellaan tämän kehon jonkin pisteen liikettä.

Tämän lain löytämiseksi siirrymme järjestelmän liikeyhtälöihin ja lisäämme niiden vasen ja oikea osa termi kerrallaan. Sitten saamme:

Muunnetaan tasa-arvon vasen puoli. Massakeskuksen sädevektorin kaavasta saadaan:

Ottamalla tämän yhtälön molemmista osista toisen kerran derivaatta ja huomioimalla, että summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa, löydämme:

missä on järjestelmän massakeskipisteen kiihtyvyys. Koska järjestelmän sisäisten voimien ominaisuuden mukaan , sitten korvaamalla kaikki löydetyt arvot, saamme lopulta:

Yhtälö ja ilmaisee lauseen järjestelmän massakeskuksen liikkeestä: järjestelmän massan ja sen massakeskipisteen kiihtyvyyden tulo on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien geometrinen summa. Vertaamalla materiaalin pisteen liikeyhtälöön, saamme lauseen toisen lausekkeen: järjestelmän massakeskipiste liikkuu aineellisena pisteenä, jonka massa on yhtä suuri kuin koko järjestelmän massa ja johon kohdistuu kaikki järjestelmään vaikuttavat ulkoiset voimat.

Projisoimalla tasa-arvon molemmat puolet koordinaattiakseleille, saamme:

Nämä yhtälöt ovat massakeskuksen liikedifferentiaaliyhtälöt suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän akseleiden projektioissa.

Todistetun lauseen merkitys on seuraava.

1) Lause perustelee pistedynamiikan menetelmiä. Yhtälöistä voidaan nähdä, että ratkaisut, jotka saamme, kun tarkastelemme annettua kappaletta materiaalina pisteenä, määräävät tämän kappaleen massakeskuksen liikelain, nuo. niillä on hyvin erityinen merkitys.

Erityisesti, jos keho liikkuu eteenpäin, sen liikkeen määrää täysin massakeskuksen liike. Näin ollen progressiivisesti liikkuvaa kappaletta voidaan aina pitää aineellisena pisteenä, jonka massa on yhtä suuri kuin kappaleen massa. Muissa tapauksissa kehoa voidaan pitää aineellisena pisteenä vain silloin, kun käytännössä kehon asennon määrittämiseen riittää sen massakeskuksen sijainnin tiedostaminen.

2) Lause sallii minkä tahansa järjestelmän massakeskuksen liikelakia määritettäessä jättää huomioimatta kaikki aiemmin tuntemattomat sisäiset voimat. Tämä on sen käytännön arvo.

Joten auton liike vaakatasossa voi tapahtua vain ulkoisten voimien vaikutuksesta, tien sivulta pyöriin vaikuttavien kitkavoimien vaikutuksesta. Ja auton jarruttaminen on myös mahdollista vain näillä voimilla, ei jarrupalojen ja jarrurummun välisen kitkan avulla. Jos tie on tasainen, pyörät jarruttavat kuinka paljon tahansa, ne liukuvat eivätkä pysäytä autoa.

Tai lentävän ammuksen räjähdyksen jälkeen (sisäisten voimien vaikutuksesta) sen palaset hajoavat niin, että niiden massakeskipiste liikkuu samaa rataa pitkin.

Mekaanisen järjestelmän massakeskuksen liikettä koskevaa lausetta tulisi käyttää mekaniikan ongelmien ratkaisemiseen, jotka vaativat:

Määritä mekaaniseen järjestelmään (useimmiten kiinteään kappaleeseen) kohdistettujen voimien mukaan massakeskuksen liikelaki;

Selvitä mekaaniseen järjestelmään kuuluvien kappaleiden annetun liikelain mukaan ulkoisten rajoitteiden reaktiot;

Määritä mekaaniseen järjestelmään kuuluvien kappaleiden annetun keskinäisen liikkeen perusteella näiden kappaleiden liikelaki suhteessa johonkin kiinteään vertailukehykseen.

Tätä lausetta käyttämällä voidaan laatia yksi mekaanisen järjestelmän liikeyhtälöistä, jolla on useita vapausasteita.

Tehtäviä ratkaistaessa käytetään usein lauseen seurauksia mekaanisen järjestelmän massakeskipisteen liikkeestä.

Johtopäätös 1. Jos mekaaniseen järjestelmään kohdistuvien ulkoisten voimien päävektori on nolla, niin järjestelmän massakeskus on levossa tai liikkuu tasaisesti ja suoraviivaisesti. Koska massakeskuksen kiihtyvyys on nolla, .

Johtopäätös 2. Jos ulkoisten voimien päävektorin projektio jollakin akselilla on nolla, niin järjestelmän massakeskipiste joko ei muuta asemaansa tämän akselin suhteen tai liikkuu tasaisesti sen suhteen.

Jos esimerkiksi kaksi voimaa alkaa vaikuttaa kehoon muodostaen parin (kuva 38), niin massakeskipiste FROM se liikkuu samaa rataa pitkin. Ja itse keho pyörii massakeskuksen ympäri. Ja sillä ei ole väliä, missä pari voimaa käytetään.

Muuten, statiikassa osoitimme, että parin vaikutus kehoon ei riipu siitä, missä sitä käytetään. Tässä olemme osoittaneet, että rungon pyöriminen tapahtuu keskiakselin ympäri FROM.

Kuva 38

Lause kineettisen momentin muutoksesta.

Mekaanisen järjestelmän kineettinen momentti suhteessa kiinteään keskustaan O on mitta järjestelmän liikkeestä tämän keskuksen ympärillä. Tehtäviä ratkaistaessa ei yleensä käytetä itse vektoria, vaan sen projektioita kiinteän koordinaattijärjestelmän akseleille, joita kutsutaan kineettisiksi momenteiksi akselin ympäri. Esimerkiksi - järjestelmän kineettinen momentti suhteessa kiinteään akseliin Oz .

Mekaanisen järjestelmän kineettinen momentti on tähän järjestelmään kuuluvien pisteiden ja kappaleiden kineettisten momenttien summa. Harkitse menetelmiä materiaalipisteen ja jäykän kappaleen liikemäärän kulmamäärän määrittämiseksi niiden eri liiketapauksissa.

Aineelliselle pisteelle, jonka massa on nopeus, kulmamomentti jonkin akselin ympäri Oz määritellään tämän pisteen liikemäärävektorin momentiksi valitun akselin ympäri:

Pisteen kulmamomentti katsotaan positiiviseksi, jos pisteen liike tapahtuu akselin positiivisen suunnan puolelta vastapäivään.

Jos piste tekee monimutkaisen liikkeen, sen kulmaliikemäärän määrittämiseksi liikemäärävektoria tulee pitää suhteellisten ja siirrettävien liikkeiden määrien summana (kuva 41).

Mutta missä on etäisyys pisteestä pyörimisakseliin ja

Riisi. 41

Kulmamomenttivektorin toinen komponentti voidaan määritellä samalla tavalla kuin voimamomentti akselin ympäri. Voiman momentin arvo on nolla, jos suhteellinen nopeusvektori on samassa tasossa kuin translaatiokiertoakseli.

Jäykän kappaleen liikemäärä suhteessa kiinteään keskustaan ​​voidaan määritellä kahden komponentin summana: ensimmäinen niistä kuvaa kappaleen liikkeen translaatioosaa yhdessä sen massakeskuksen kanssa, toinen järjestelmän liikettä. massakeskipisteen ympärillä:

Jos keho suorittaa translaatioliikettä, toinen komponentti on yhtä suuri kuin nolla

Jäykän kappaleen kineettinen momentti lasketaan yksinkertaisimmin, kun se pyörii kiinteän akselin ympäri

missä on kappaleen hitausmomentti pyörimisakselin suhteen.

Lause mekaanisen järjestelmän kulmamomentin muutoksesta sen liikkuessa kiinteän keskuksen ympäri muotoillaan seuraavasti: mekaanisen järjestelmän liikemäärävektorin kokonaisaikaderivaata suhteessa johonkin kiinteään keskukseen O suuruus ja suunta on yhtä suuri kuin mekaaniseen järjestelmään kohdistuvien ulkoisten voimien päämomentti, joka on määritelty suhteessa samaan keskustaan

missä - kaikkien keskustan ympärillä olevien ulkoisten voimien päämomentti O.

Ratkaistaessa ongelmia, joissa kappaleiden katsotaan pyörivän kiinteän akselin ympäri, he käyttävät lausetta liikemäärän muutoksesta suhteessa kiinteään akseliin

Mitä tulee massakeskuksen liikettä koskevaan lauseeseen, niin liikemäärän muutosta koskevalla lauseella on seurauksia.

Johtopäätös 1. Jos kaikkien ulkoisten voimien päämomentti jonkin kiinteän keskuksen suhteen on nolla, niin mekaanisen järjestelmän kineettinen momentti suhteessa tähän keskustaan ​​pysyy muuttumattomana.

Johtopäätös 2. Jos kaikkien ulkoisten voimien päämomentti jonkin kiinteän akselin ympäri on nolla, niin mekaanisen järjestelmän liikemomentti tämän akselin ympäri pysyy muuttumattomana.

Liikemäärän muutosteoreemaa käytetään ratkaisemaan ongelmia, joissa tarkastellaan mekaanisen järjestelmän liikettä, joka koostuu kiinteän akselin ympäri pyörivästä keskuskappaleesta ja yhdestä tai useammasta kappaleesta, jonka liike liittyy keskeiseen. kierteiden avulla kappaleet voivat liikkua keskusrungon pintaa pitkin tai sen kanavissa sisäisten voimien vaikutuksesta. Tämän lauseen avulla voidaan määrittää keskuskappaleen pyörimislain riippuvuus jäljellä olevien kappaleiden asennosta tai liikkeestä.